O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
O documento apresenta várias questões sobre figuras geométricas planas e sólidos, incluindo quadrados, retângulos, triângulos, círculos e polígonos. As questões testam o reconhecimento dessas formas e a compreensão de suas propriedades, como número de lados, ângulos e faces. Algumas questões pedem para identificar figuras em desenhos ou associar sólidos a suas respectivas planificações.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para ajudar os alunos a fixarem os conceitos apresentados.
O documento apresenta 30 problemas de matemática envolvendo as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Os problemas variam em complexidade e abordam cálculos com números inteiros, frações, porcentagens e operações sequenciais. As respostas são fornecidas no formato de cálculos detalhados para cada problema.
1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre funções quadráticas, incluindo calcular raízes, determinar valores de funções, identificar gráficos e achar vértices.
2) São dados exemplos de funções do tipo f(x)=ax2+bx+c para serem resolvidos.
3) Inclui também exercícios modelando situações reais como lançamento de objetos e custos de produção usando funções quadráticas.
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
Este documento contém 10 questões de matemática com 5 alternativas de resposta cada. As questões abordam tópicos como potenciação, combinatória, operações algébricas, área, volume, notação científica e raízes.
Este documento contém 29 questões de matemática sobre tópicos como porcentagem, razão, proporção, geometria e álgebra. As questões variam de cálculos simples a problemas mais complexos e a maioria requer o cálculo de porcentagens, razões ou proporções para chegar à resposta correta. O documento também fornece o gabarito com as respostas para cada questão.
O documento apresenta 15 questões sobre polígonos regulares e suas propriedades, como ângulos internos e externos, número de lados e diagonais. As questões abordam identificar polígonos a partir destas propriedades e calcular medidas de ângulos. O gabarito fornece as respostas para cada uma das questões.
O documento explica conceitos básicos sobre porcentagem, como calcular porcentagens de valores e diferentes métodos para realizar esses cálculos, como utilizando frações decimais. Também fornece exemplos passo a passo de cálculos envolvendo porcentagens em situações de descontos e acréscimos.
O documento apresenta várias questões sobre figuras geométricas planas e sólidos, incluindo quadrados, retângulos, triângulos, círculos e polígonos. As questões testam o reconhecimento dessas formas e a compreensão de suas propriedades, como número de lados, ângulos e faces. Algumas questões pedem para identificar figuras em desenhos ou associar sólidos a suas respectivas planificações.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para ajudar os alunos a fixarem os conceitos apresentados.
O documento apresenta 30 problemas de matemática envolvendo as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Os problemas variam em complexidade e abordam cálculos com números inteiros, frações, porcentagens e operações sequenciais. As respostas são fornecidas no formato de cálculos detalhados para cada problema.
1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre funções quadráticas, incluindo calcular raízes, determinar valores de funções, identificar gráficos e achar vértices.
2) São dados exemplos de funções do tipo f(x)=ax2+bx+c para serem resolvidos.
3) Inclui também exercícios modelando situações reais como lançamento de objetos e custos de produção usando funções quadráticas.
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
Este documento contém 10 questões de matemática com 5 alternativas de resposta cada. As questões abordam tópicos como potenciação, combinatória, operações algébricas, área, volume, notação científica e raízes.
Este documento contém 29 questões de matemática sobre tópicos como porcentagem, razão, proporção, geometria e álgebra. As questões variam de cálculos simples a problemas mais complexos e a maioria requer o cálculo de porcentagens, razões ou proporções para chegar à resposta correta. O documento também fornece o gabarito com as respostas para cada questão.
O documento apresenta 15 questões sobre polígonos regulares e suas propriedades, como ângulos internos e externos, número de lados e diagonais. As questões abordam identificar polígonos a partir destas propriedades e calcular medidas de ângulos. O gabarito fornece as respostas para cada uma das questões.
O documento explica conceitos básicos sobre porcentagem, como calcular porcentagens de valores e diferentes métodos para realizar esses cálculos, como utilizando frações decimais. Também fornece exemplos passo a passo de cálculos envolvendo porcentagens em situações de descontos e acréscimos.
O trabalho proposto envolvendo ALIMENTAÇÃO buscou mobilizar conceitos matemáticos importantes no Ensino Fundamental, tais como:
Números decimais,medidas de massa e superfície, razão e proporção, porcentagens, representações gráficas com construção e interpretação de tabelas e gráficos, noção de média e escalas.
1) O documento explica o que é uma equação do 1o grau e seus componentes, como incógnita, 1o e 2o membros.
2) Detalha como resolver equações do 1o grau através de operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) Fornece exemplos numéricos de resolução de equações.
Este documento apresenta um resumo da história da numeração e dos números, desde os primórdios da contagem até o desenvolvimento do sistema de numeração decimal e dos algarismos indo-arábicos. Aprender a contar foi um longo processo que envolveu diversas civilizações ao longo de milhares de anos, desde as primeiras formas rudimentares usando objetos até chegar aos símbolos matemáticos atuais.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grauBetão Betão
1. The document contains a math exercise with 26 quadratic equations.
2. Students are asked to solve each quadratic equation for the set of solutions (S).
3. The equations cover a range of standard quadratic forms including factored, unfactored, and equations set to other expressions.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
Este documento apresenta três produtos notáveis da álgebra: o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos e o produto da soma pela diferença de dois termos. Exemplos e exercícios são fornecidos para cada um destes produtos notáveis.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
O documento explica as características de círculos e circunferências, incluindo que uma circunferência é uma linha em forma de círculo enquanto um círculo é uma superfície plana. Ele também define termos como raio, diâmetro e corda e fornece fórmulas para calcular o perímetro, área, comprimento de arcos e áreas de setores circulares. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas para cálculos.
1) O documento discute a história da equação do 2o grau, desde os babilônios e hindus até a fórmula de Bhaskara.
2) A fórmula de Bhaskara é apresentada como uma maneira de reduzir equações do 2o grau a equações do 1o grau.
3) Métodos para resolver diferentes tipos de equações do 2o grau são explicados, incluindo equações completas e incompletas.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
Este documento fornece sugestões de atividades para o desenvolvimento de habilidades em matemática do 9o ano. As atividades são focadas em descritores que avaliam habilidades como: (1) identificar a localização/movimentação de objetos em mapas e outras representações; (2) identificar propriedades de figuras tridimensionais e suas planificações; (3) identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas. As sugestões incluem atividades práticas com mapas, objetos tridimensionais e construção de tri
O documento fornece informações sobre porcentagem, incluindo sua definição, como calcular porcentagens e representá-las em frações e números decimais. Explica como resolver problemas envolvendo porcentagem de valores e como diferentes alunos podem chegar à mesma solução de forma distinta.
Mat exercicios equacao do segundo grau parte itrigono_metria
A equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau 2 da forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Este documento apresenta exercícios propostos sobre resolução de equações do segundo grau para encontrar suas raízes.
O documento apresenta exercícios de resolução de equações do segundo grau do tipo completo e incompleto. As questões estão divididas em cinco partes, cobrindo diferentes tipos de equações de segundo grau, como equações do tipo ax2 + bx + c = 0, equações racionais e fatoradas. Ao todo são apresentados 55 exercícios para serem resolvidos e entregues na segunda-feira para avaliação, valendo 3 pontos extras.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O trabalho proposto envolvendo ALIMENTAÇÃO buscou mobilizar conceitos matemáticos importantes no Ensino Fundamental, tais como:
Números decimais,medidas de massa e superfície, razão e proporção, porcentagens, representações gráficas com construção e interpretação de tabelas e gráficos, noção de média e escalas.
1) O documento explica o que é uma equação do 1o grau e seus componentes, como incógnita, 1o e 2o membros.
2) Detalha como resolver equações do 1o grau através de operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) Fornece exemplos numéricos de resolução de equações.
Este documento apresenta um resumo da história da numeração e dos números, desde os primórdios da contagem até o desenvolvimento do sistema de numeração decimal e dos algarismos indo-arábicos. Aprender a contar foi um longo processo que envolveu diversas civilizações ao longo de milhares de anos, desde as primeiras formas rudimentares usando objetos até chegar aos símbolos matemáticos atuais.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grauBetão Betão
1. The document contains a math exercise with 26 quadratic equations.
2. Students are asked to solve each quadratic equation for the set of solutions (S).
3. The equations cover a range of standard quadratic forms including factored, unfactored, and equations set to other expressions.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
Este documento apresenta três produtos notáveis da álgebra: o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos e o produto da soma pela diferença de dois termos. Exemplos e exercícios são fornecidos para cada um destes produtos notáveis.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
O documento explica as características de círculos e circunferências, incluindo que uma circunferência é uma linha em forma de círculo enquanto um círculo é uma superfície plana. Ele também define termos como raio, diâmetro e corda e fornece fórmulas para calcular o perímetro, área, comprimento de arcos e áreas de setores circulares. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas para cálculos.
1) O documento discute a história da equação do 2o grau, desde os babilônios e hindus até a fórmula de Bhaskara.
2) A fórmula de Bhaskara é apresentada como uma maneira de reduzir equações do 2o grau a equações do 1o grau.
3) Métodos para resolver diferentes tipos de equações do 2o grau são explicados, incluindo equações completas e incompletas.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
Este documento fornece sugestões de atividades para o desenvolvimento de habilidades em matemática do 9o ano. As atividades são focadas em descritores que avaliam habilidades como: (1) identificar a localização/movimentação de objetos em mapas e outras representações; (2) identificar propriedades de figuras tridimensionais e suas planificações; (3) identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas. As sugestões incluem atividades práticas com mapas, objetos tridimensionais e construção de tri
O documento fornece informações sobre porcentagem, incluindo sua definição, como calcular porcentagens e representá-las em frações e números decimais. Explica como resolver problemas envolvendo porcentagem de valores e como diferentes alunos podem chegar à mesma solução de forma distinta.
Mat exercicios equacao do segundo grau parte itrigono_metria
A equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau 2 da forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Este documento apresenta exercícios propostos sobre resolução de equações do segundo grau para encontrar suas raízes.
O documento apresenta exercícios de resolução de equações do segundo grau do tipo completo e incompleto. As questões estão divididas em cinco partes, cobrindo diferentes tipos de equações de segundo grau, como equações do tipo ax2 + bx + c = 0, equações racionais e fatoradas. Ao todo são apresentados 55 exercícios para serem resolvidos e entregues na segunda-feira para avaliação, valendo 3 pontos extras.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
1) O documento descreve um CD contendo 302 questões de matemática sobre álgebra, porcentagem, trigonometria e estatística.
2) As questões são divididas em 6 unidades sobre esses conteúdos.
3) O CD é destinado a professores para elaboração de revisões e avaliações.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
1) O documento apresenta 18 exercícios sobre aplicações da função exponencial em diferentes áreas como microbiologia, radioatividade, economia e datação arqueológica com Carbono 14. 2) Os exercícios envolvem cálculos para determinar valores de variáveis como população de microrganismos, quantidade de substâncias radioativas, montantes financeiros e idade de fósseis usando funções exponenciais. 3) Muitos exercícios pedem para calcular valores de variáveis com base em funções do tipo f(x) = k.ax que
Dois clubes do Rio de Janeiro somaram 8 pontos no campeonato. Cada um dos outros clubes alcançou a mesma quantidade k de pontos. A quantidade de clubes é maior que 10.
1) O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo domínio, imagem, composição e função inversa.
2) Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos, como determinar se uma relação é uma função, calcular imagem e composição de funções.
3) Explica como determinar a função inversa de uma função bijetora, trocando a variável independente pela dependente e isolando-a.
O documento contém:
1) Um texto de introdução com uma citação de Mahatma Gandhi;
2) Nove questões de matemática resolvidas, com enunciados, soluções e respostas;
3) Informações sobre o professor Fabrício Maia e a disciplina de matemática.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de lógica, teoria dos conjuntos e relações numéricas para o ensino pré-vestibular. 2) Inclui definições de proposições, negação, conectivos lógicos, quantificadores e métodos de demonstração. 3) Também aborda os axiomas de Peano e o princípio da indução finita para demonstrar propriedades dos números naturais.
Matemática Para Concursos Militares - Volume2Everton Moraes
Este documento apresenta um livro virtual sobre cálculo voltado para vestibulares militares. O livro contém quatro capítulos sobre limites, derivadas, aplicações de derivada e integral, além de 112 exercícios resolvidos e 60 soluções. O autor espera que o livro contribua para a preparação dos estudantes, principalmente aqueles que não podem frequentar cursos presenciais.
O documento apresenta uma série de questões sobre cálculos envolvendo velocidade, tempo e distância em movimentos retilíneos uniformes e não uniformes. As questões abordam situações como o cálculo da velocidade média de veículos, tempo gasto em percursos, distância percorrida em determinados intervalos de tempo e instantes de colisão entre objetos em movimento.
1) Os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos em 2009 para apoiar o trabalho dos professores. Eles foram usados, testados e revisados para uma nova edição em 2010.
2) As alterações nos Cadernos foram apontadas pelos autores, leitores especializados e professores, que contribuíram com sugestões de aperfeiçoamento. Alguns dados também foram atualizados.
3) Quando receber a nova edição do Caderno, analise as mudanças para estar preparado para suas aulas. Utilize as orientações e
Matemática Para Concursos Militares - Volume1Everton Moraes
Este documento apresenta os principais conceitos da Teoria dos Conjuntos, incluindo elementos, conjuntos, relação de pertinência, variáveis, funções proposicionais, quantificadores universal e existencial, relação de inclusão, conjunto universo, conjunto vazio e conjunto das partes.
1) O documento discute razões, proporções e divisões em partes direta e inversamente proporcionais.
2) Ele define razões e proporções, apresenta suas propriedades e exemplos de sequências direta e inversamente proporcionais.
3) Também mostra como dividir números em partes direta e inversamente proporcionais usando razões e proporções.
O documento apresenta 128 problemas de probabilidade envolvendo urnas, bolas, cartas, dados e outros experimentos aleatórios. As questões abordam cálculos de probabilidades de eventos simples e compostos, como a probabilidade de extrair determinados números ou itens de uma amostra.
1) O documento contém 13 exercícios de matemática e estatística que envolvem contar o número de pessoas ou alunos em diferentes situações com base em dados fornecidos sobre suas preferências e atividades.
O documento descreve um experimento no qual o número de bactérias dobra a cada meia hora. Inicialmente havia 8 bactérias e após 6 horas o número de bactérias será 215.
Este documento divulga os gabaritos das provas de um concurso público para provimento de cargos efetivos na educação do município de Montes Claros, MG. Os gabaritos são para as provas de diversos cargos de professor e analista de conteúdo curricular nas áreas de artes, ciências, educação física, educação religiosa, espanhol, geografia e outras. O documento é assinado pelo presidente da comissão técnica de concursos da Universidade Estadual de Montes Claros.
Este documento fornece informações sobre fatoração de polinômios e resolução de equações de primeiro e segundo grau. Apresenta exemplos de fatoração por evidência, agrupamento, diferença de quadrados e trinômio perfeito. Explica também o teorema do resto de um polinômio e métodos de resolução de equações como substituição e adição.
1) O documento apresenta os principais tópicos de Matemática Básica, incluindo produtos notáveis, módulo e distância, potenciação e radiciação, polinômios, equações e inequações.
2) É dividido em seções que tratam de tópicos como produtos notáveis e fatoração, equações polinomiais do 1o e 2o grau, inequações do 1o e 2o grau, entre outros.
3) Contem exemplos resolvidos de cada tópico para auxiliar na compreensão dos conceitos
1) Ralf, David e Rubinho ocuparam as três primeiras posições da corrida desde o início, sem alteração.
2) A liderança mudou de mãos entre os três competidores nove vezes.
3) A segunda e terceira posições trocaram de lugar oito vezes.
O documento apresenta conceitos e resolução de equações do 2o grau, incluindo: (1) definição de equação do 2o grau com uma incógnita na forma ax2 + bx + c = 0; (2) métodos para reduzir equações a forma normal ax2 + bx + c = 0; e (3) uso da fórmula de Bhaskara para resolver equações completas do 2o grau.
Este documento contém o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as soluções de 20 questões e observações sobre a correção.
O documento apresenta um teste de Números Complexos com 12 questões. A questão 10 pede para calcular o valor numérico de uma expressão, sabendo que z7 = 1. A solução mostra que, nesse caso, z = 1 e todos os termos da expressão são iguais a 1, resultando em um valor numérico igual a zero. A questão 11 pede para calcular (3 + i)12 e a soma de 1 + z + z2 + ... + z15, onde z = √2 + i√2. A solução encontra que (3 + i)12 = 4096 e que a soma
1) O documento apresenta uma questão de múltipla escolha sobre números racionais e irracionais.
2) A questão seguinte trata de conjuntos e relações entre eles.
3) As demais questões envolvem cálculos e propriedades geométricas relacionadas a triângulos, circunferências, esferas, prisma e tetraedro regular.
Este documento apresenta exemplos de decomposição de expressões algébricas em factores através da aplicação da propriedade distributiva e dos casos notáveis da multiplicação e da diferença de dois quadrados. Inclui exercícios para os alunos decomporem expressões em factores utilizando estas propriedades.
Este documento apresenta exemplos de decomposição de expressões algébricas em factores através da aplicação da propriedade distributiva e dos casos notáveis da multiplicação e da diferença de dois quadrados. Inclui exercícios para os alunos decomporem expressões como x2 - y2, x2 + 10x + 25 e y2 + 4y + 4 em factores.
O documento apresenta notações matemáticas básicas como conjuntos numéricos, operações com conjuntos e funções. Define símbolos para determinante, transposta e complementar de conjuntos. Apresenta notações para intervalos, séries e funções trigonométricas e exponenciais complexas.
I) O documento apresenta notações matemáticas sobre conjuntos numéricos e operações.
II) Define símbolos como i (unidade imaginária), módulo e conjugado de números complexos, intervalos reais e matrizes.
III) Fornece exemplos de sistemas de coordenadas cartesianas retangulares.
Os três satélites A, B e C foram lançados para monitorar desmatamento, nascentes de rios e pesca predatória no Oceano Atlântico. Eles orbitam a Terra em períodos de 6, 10 e 9 dias, respectivamente. O próximo alinhamento ocorrerá após 90 dias.
1) O documento é uma lista de exercícios de Números Complexos com 12 questões.
2) As questões abordam cálculos e demonstrações envolvendo operações com números complexos como adição, multiplicação, raiz e argumento.
3) A lista tem como objetivo avaliar a compreensão dos alunos sobre os conceitos fundamentais de números complexos.
O documento fornece informações sobre o cálculo da capacidade de um açude em forma de losango. A capacidade é estimada multiplicando-se a área da superfície pelo a profundidade. Dados a área de 160.000 m2 e a profundidade de 2m, a capacidade é de 320.000 m3 ou 32.000.000 litros, o que poderia atender aproximadamente 16.000 famílias com consumo mensal de 2.000 litros cada.
O documento apresenta duas questões de matemática resolvidas sobre um concurso público para o cargo de Agente Administrativo. A primeira questão trata de variação percentual entre partidos políticos em diferentes eleições. A segunda questão envolve o cálculo do comprimento de uma escada colocada contra um edifício.
1) O documento contém 10 questões de matemática sobre tópicos como geometria plana, funções, probabilidade e progressões aritméticas. As questões envolvem cálculos e demonstrações relacionadas a paralelogramos, taxas ambientais, polinômios, venda de frutas e ângulos em triângulos.
Este documento contém 10 questões sobre funções trigonométricas, análise de funções e cálculo de Produto Interno Bruto (PIB). A questão 1 calcula o valor de uma expressão trigonométrica. A questão 7 explicita uma função composta e determina seu valor máximo. E a questão 9 calcula o valor do PIB de um país em 2004.
Este documento contém um conjunto de exercícios de matemática do 9o ano sobre equações do 2o grau, números reais e poliedros regulares. Os alunos devem resolver equações quadráticas completas e incompletas, identificar se números são reais ou não, nomear poliedros e determinar suas características angulares.
Este documento contém um conjunto de exercícios de matemática do 9o ano sobre equações do 2o grau, números reais e poliedros regulares. Os alunos devem resolver exercícios classificando equações como completas ou incompletas, resolvendo equações quadráticas, comparando números reais, identificando poliedros regulares e determinando propriedades geométricas de figuras planas e sólidos.
Este documento apresenta resoluções comentadas de 10 questões de uma prova de matemática aplicada do Colégio Naval. As resoluções utilizam conceitos como teorema de Pitágoras, geometria plana, equações do segundo grau e razão e proporção.
1) O documento apresenta questões sobre matemática, incluindo geometria, álgebra e estatística.
2) As questões envolvem triângulos, relógios, porcentagens, equações e gráficos de funções.
3) A maioria das questões tem como solução uma das alternativas fornecidas, indicando tratar-se de um teste ou prova.
1) O documento apresenta 10 exercícios de matemática envolvendo números complexos.
2) No exercício 8, pede-se para determinar a hora de um jantar secreto a partir da representação dos ponteiros do relógio como números complexos.
3) No exercício 9, é solicitado calcular o módulo, argumento e representar graficamente o número complexo 2 + 2(√3)i.
O documento apresenta 10 questões de um exercício de matemática. As questões envolvem cálculos de velocidade, volume de água, números naturais, capacidade de tanque de gasolina, área de terreno e lado de cerâmica. A última questão propõe encontrar um valor para p dias com base no vazamento de uma torneira.
O documento apresenta 10 questões de matemática financeira e porcentagem. Na questão 1, calcula-se juros compostos e tempo para duplicação de capital. Na questão 2, calcula-se um valor inicial emprestado. Nas questões 3-4 resolvem-se exercícios de índice de variação de preços. Nas questões 5-8 analisam-se situações envolvendo descontos e porcentagens. Nas questões 9-10 calculam-se preços com descontos e composição de custos.
O documento apresenta 10 questões sobre sistemas lineares, equações matriciais e problemas de matemática financeira. As questões abordam tópicos como determinação de sistemas lineares, solução de equações matriciais, cálculo de custos de transporte e consumo de combustível.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre diversos temas como porcentagem, sistemas de equações, velocidade e outras. A questão 5 pede para calcular o número estimado de brasileiros analfabetos absolutos em matemática usando dados de uma pesquisa. A questão 9 fornece informações sobre códigos de barras e pede para determinar um dígito ausente. A questão 10 apresenta um sistema de equações para calcular o consumo de combustível de um carro em diferentes situações.
I. O documento apresenta uma questão sobre três irmãs: Ana, Beatriz e Clara, onde uma diz a verdade e as outras duas mentem.
II. Ana responde que se perguntarem para cada irmã se a outra mente ou fala a verdade, Beatriz dirá que Clara fala a verdade e Clara dirá que Beatriz mente.
III. O documento também contém outras questões sobre jogos matemáticos e lógica.
Este documento apresenta 10 questões de matemática. A questão 7 pede para calcular a quantidade mínima de metros de barbante necessária para embalar um pacote em forma de prisma retangular. As dimensões do pacote são dadas e 20 cm devem ser reservados para o laço.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre polinômios e suas raízes. A primeira questão pede para completar lacunas sobre as raízes de uma equação quarto grau. A segunda pergunta trata de polinômios de terceiro grau com raízes em progressão aritmética. A terceira questão aborda valores que fazem com que as raízes de um polinômio quarto grau estejam em progressão aritmética.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo polinômios, raízes e funções quadráticas.
2) A questão 5 pede para identificar qual afirmação é correta sobre o número 2 ser uma raiz dupla de um determinado polinômio.
3) A questão 10 pede para esboçar o gráfico do produto de duas funções quadráticas dadas e calcular o quociente de dois polinômios.
O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo álgebra, incluindo polinômios, raízes e divisibilidade. A questão 5 pede para determinar o valor de k para que 2 seja raiz de um polinômio, as outras raízes e os intervalos onde o polinômio é positivo. A questão 8 pede para calcular os valores de p e q sabendo que um polinômio é divisível por x-2 e seu valor em 1.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vetores e geometria. As questões envolvem cálculos com vetores, ângulos entre vetores, determinação de áreas e perímetros. O gabarito fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo vetores e suas operações. As questões 1-5 tratam de cálculos com vetores dados. As questões 6-8 envolvem representações gráficas de rotações de vetores. As questões 9-10 tratam de planos e suas interseções.
1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo.
2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos.
3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.
Este documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões abordam tópicos como operações com números complexos, raízes de polinômios, conjuntos solução de equações e representação geométrica de números complexos no plano.
Este documento contém 10 questões sobre cálculo e funções matemáticas. As questões incluem determinar soluções de equações trigonométricas, sistemas de equações, áreas de regiões delimitadas por funções e valores de variáveis que satisfaçam equações envolvendo funções compostas. Há também uma questão sobre interpretar medidas em uma planta de residência.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo trigonometria e geometria.
2) As questões incluem cálculos de seno, cosseno, tangente e áreas para diferentes figuras geométricas como circunferências e trapézios.
3) São solicitados também cálculos como distância entre cidades e determinação de ângulos e alturas de torres.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vários tópicos como geometria, trigonometria e física. As questões envolvem cálculos para determinar alturas, distâncias, áreas e tempos.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
Este documento contém 10 questões sobre círculos e circunferências no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como pontos de tangência, cordas, centros e raios de circunferências, regiões determinadas por condições geométricas e sistemas de equações.
Este documento contém 10 questões sobre geometria analítica no plano cartesiano. As questões envolvem cálculo de coordenadas de pontos, equações de retas e parábolas, áreas de polígonos e condições para que retas sejam concorrentes.
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em Cristo, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
2. (19) 3251-1012
www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA
MATEMÁTICA Assim, a arrecadação mensal é dada por:
1) primeiro mês: R$9000,00
QUESTÃO 31 2) segundo mês: R$16200,00
3) terceiro mês: R$32400,00
Analise as alternativas abaixo e marque a correta.
4) quarto mês: R$21600,00
a) Se B = {m ∈ N | m 2 < 40} , então o número de elementos do Total: R$79200,00
conjunto B é 6. Dividindo o total por 10000, notamos que, se cada camiseta fosse
1 1 vendida por R$7,92, o mesmo montante teria sido arrecadado. Logo, a
b) Se α = + , então α ∈ [( R − Q) ∩ ( R − Z )] alternativa correta é a alternativa A.
2 −1 2 +1
c) Se c=a+b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a,
necessariamente. QUESTÃO 33
d) Se A =]1, 5[ e B =] − 3, 3[ , então B − A =] − 3, 1[ . Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z1 = –x
– 2i, z2 = –2i, z3 = –2 + 3i e z4 = x + yi, onde x e y são números reais
Resolução Alternativa B quaisquer e i2 = –1.
Analisando cada alternativa: Sobre o conjunto desses números complexos que atendem
a) Observe que B = {0,1,2,3,4,5,6}, ou seja, B possui 7 elementos. simultaneamente às condições
Assim, a alternativa está incorreta.
I) Re( z1 ⋅ z2 ) ≤ Im( z1 ⋅ z2 )
1 1 2 +1+ 2 −1 2 2
b) α = + = = =2 2. II) | z3 + z4 |≤ 2
2 −1 2 +1 ( )(
2 −1 2 +1) 2 −1
é correto afirmar que
Assim, temos que α é um número irracional, ou seja, não é racional a) representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de
nem inteiro. Assim, α ∈ (IR − Q) ∩ (IR − Z) . área.
b) possui vários elementos que são números imaginários puros.
c) Se c = a + b e b é divisor de a, segue que a = k.b, para algum inteiro c) possui vários elementos que são números reais.
k. Assim, temos que c = k.b + b, ou seja, c = b(k+1). Portanto, o d) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que
número c é múltiplo de b, o que não significa que c seja múltiplo de a. pertence à reta (r) 3x + 2y = 0
Alternativa incorreta.
d) Seja A = ]1;5[ e B = ]-3;3[. Assim, B – A = {x / x está em B e x não Resolução Alternativa D
está em A} = ]-3;1] ≠ ]-3;1[. Alternativa incorreta. ⎧z1 = − x + 2i
⎪
⎨ ⇒ z1 ⋅ z2 = ( − x + 2i ) ⋅ (2i ) = −4 − 2 xi
OBS: no item (a), admitimos que 0 é um número natural, embora em ⎪z2 = 2i
⎩
Análise Matemática tal número seja considerado inteiro, e não natural. A condição I então fica:
QUESTÃO 32 Re( z1 ⋅ z2 ) ≤ Im( z1 ⋅ z2 ) ⇒ −4 ≤ −2 x ⇒ x ≤ 2
Um fabricante de camisetas que pretendia vender seu estoque no A condição II, por sua vez, pode ser escrita como:
prazo de 4 meses, mantendo o preço de cada camiseta, obteve o | z3 + z4 |≤ 2 ⇒| z4 − ( − z3 ) |≤ 2 ⇒| z4 − (2 − 3i ) |≤ 2
seguinte resultado:
- no primeiro mês, vendeu 10% de seu estoque; Observe que esta condição nos diz que os números z4 que satisfazem
- no segundo, 20% do restante das mercadorias; e a esta condição são aqueles cuja distância até o número complexo (–
- no terceiro, 50% do que sobrou z3) = 2 – 3i é menor ou igual a 2, ou seja, trata-se de um círculo de
Ao ver que sobraram 3.600 camisetas, no quarto mês, o fabricante centro (2,–3) e raio 2.
1 No plano de Argand-Gauss, temos:
reduziu o preço de cada uma em 33 % , conseguindo assim liquidar
3 y
todo seu estoque e recebendo R$ 21.600,00 pelas vendas deste mês.
É correto afirmar que o fabricante
a) arrecadaria a mesma importância total, durante os 4 meses, se
cada camiseta fosse vendida por x reais, x∈[7,8] 2
b) tinha um estoque que superava 834 dúzias de camisetas.
c) no terceiro mês, vendeu uma quantidade de camisetas 200% a mais
x
que no segundo mês.
d) no primeiro mês, recebeu mais de R$ 9.000,00
Resolução Alternativa A
Seja x o total de camisetas do estoque. De acordo com o enunciado,
temos que: –3
- No primeiro mês foram vendidos 10% do estoque, restando então
90%.x.
- No segundo mês o total de vendas foi de 20% do restante, ou seja,
sobra no estoque um total de 80%.90%.x = 72%.x. A intersecção das condições I e II será então tomar os pontos do
- Ao final do terceiro mês, ele vende 50% da mercadoria que está no círculo sombreado acima que têm parte real menor ou igual a 2. Isso
estoque, ou seja, sobra no estoque 50%.72%.x = 36%.x. corresponde à metade da esquerda desse círculo:
Portanto, no início do quarto mês o vendedor tem 36% do seu estoque
inicial disponível para vendas, num total de 3600 camisetas. Logo,
y
36%.x = 3600 ⇒ x = 10000 camisetas.
Observe que:
1) primeiro mês: 1000 camisetas vendidas
2) segundo mês: 1800 camisetas vendidas 2
3) terceiro mês: 3600 camisetas vendidas x
1
Para o quarto mês, ele fez uma redução de 33 % nos preços das
3
camisetas, ou seja, reduziu 1/3 do preço, conseguindo vender todas
as que restavam no estoque e arrecadando R$21.600,00 por elas.
Seja p o preço unitário por camiseta antes da redução de preços. Do –3
enunciado, temos:
2 2
⋅ p ⋅ 3600 = 21600 ⇒ ⋅ p = 6 ⇒ p = 9
3 3 a) Falsa. A área desse semicírculo de raio 2 será dada por:
1
3. (19) 3251-1012
www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA
1 distância permanece igual a 35 m. Assim, a alternativa B também está
S = π 22 = 2π ≈ 6,28 > 6 correta.
2 c) A distância total percorrida será a soma dos termos de uma PA, que
b) Falsa. O número –3i é o único número complexo imaginário puro ⎛ 2a1 + (n − 1)r ⎞
nessa região, conforme o gráfico. pode ser calculada por Sn = ⎜ ⎟ r . Assim, temos que,
⎝ 2 ⎠
c) Falsa. Não há intersecção com o eixo x (eixo real), logo não há
nenhum número real nesse semicírculo. após 10 segundos, o cão terá percorrido uma distância de
d) Verdadeira. Os elementos do círculo (condição II) que são o de (2 ⋅ 2 + 9 ⋅ 2).10
S10 = = 110 m, enquanto o gato terá percorrido
menor e o de maior módulo podem ser obtidos geometricamente 2
traçando a reta que liga o centro (2,–3) à origem:
(2 ⋅ 3 + 9 ⋅ 1).10
uma distância de S10 = = 75 m. Assim, após os 10
y 2
segundos o cão terá percorrido exatamente 110 m = 35 + 75, ou seja,
ele alcançará o gato. Assim, a alternativa C também está correta.
d) No oitavo segundo, levando em consideração que o gato percorre
distâncias em PA:
2 an = a1 + (n − 1) ⋅ r ⇒ a8 = 3 + 7 = 10
Assim, o gato percorre 10 m, e não 14. Assim, a alternativa D está
x incorreta.
A
QUESTÃO 35
Sejam as seqüências de números reais (-3, x, y,…) que é uma
progressão aritmética de razão r, e (x, y, 24,...) que é uma progressão
geométrica de razão q.
–3 O valor de
r
pertence ao intervalo:
q
⎡ 1⎡ ⎡1 ⎡
a) ⎢0, ⎢ b) ⎢ ,1⎢ c) [1,2[ d) [ 2,3[
B ⎣ 2⎣ ⎣2 ⎣
Resolução Alternativa C
Por hipótese, temos:
PA ( -3,-3+r,-3+2r,...)
O ponto A é o de menor módulo e o ponto B é o de maior módulo. A PG ( x, xq, xq2,...)
Assim, temos as seguintes igualdades:
reta AB tem equação:
x = – 3 + r; y= – 3 + 2r; y = xq; 24 = yq = (– 3 + 2r)q
0 0 1 Assim,
24=(– 3 + 2r).q (1)
2 −3 1 = 0 ⇒ 3 x + 2y = 0 – 3 + 2r = (– 3 + r)q (2)
x y 1 −3 + r −3 + 2r 9
Logo, = ⇔ 4r 2 − 36r + 81= 0 ⇔ (2r − 9)2 = 0 ⇔ r =
Assim, o elemento z de menor módulo possível, cujo afixo −3 + 2r 24 2
corresponde ao ponto A, pertence não só círculo, mas de fato ao
semicírculo considerado, e também pertence á reta 3x + 2y = 0. Substituindo em (1), temos:
9
24 = ( −3 + 2. ). q ⇔ 24 = 6q ⇔ q = 4 .
QUESTÃO 34 2
Um cão e um gato, ambos parados, observam-se a uma distância de 9
r 9
35 m. No mesmo instante, em que o cão inicia uma perseguição ao Portanto, = 2 = = 1,125 .
gato, este parte em fuga. q 4 8
O cão percorre 2 m no primeiro segundo, 4 m no seguinte, 6 m no
terceiro segundo e, assim, sucessivamente. O gato, apavorado,
percorre 3 m no primeiro segundo, 4 m no seguinte, 5 m no terceiro
QUESTÃO 36
segundo e, assim, sucessivamente. Considere π = 3,14 e i = −1 e marque a alternativa correta.
Considerando que os dois animais se deslocam sempre sem a) Se S(x) = x2(x-a) + bx – c, onde a, b, e c são números reais
interrupção em seu movimento e numa trajetória retilínea de mesmo positivos, admite duas raízes simétricas, então
sentido, assinale a alternativa INCORRETA. 1
a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido uma distância igual log a + log = co logb
c
àquela que o separa do gato naquele instante.
b) O polinômio P(x) ao ser dividido por (x-1) deixa resto 6 e ao ser
b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão ainda está 35 m distante
dividido por (x+3) deixa resto -2. Se P(x) dividido por Q(x) = x2 + 2x – 3
do gato.
deixa resto R(x), então R(0) = 2P(-3)
c) Em dez segundos, o cão alcançará o gato.
d) No oitavo segundo, o gato percorre 14 metros. c) Se os números complexos 2π, 2i e i-5 são raízes do polinômio A(x)
de coeficientes reais e termo independente nulo, então, o grau de A(x)
Resolução Alternativa D é, necessariamente, um número par maior do que 4
Note que a distâncias percorridas por segundo do cão e do gato são d) Se no polinômio B(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 16 os coeficientes a, b
progressões aritméticas. Assim: e c são números reais, então as possíveis raízes racionais de B(x)
Cão: (2,4,6,8,10,...) estão entre os divisores de 16, necessariamente.
Gato: (3,4,5,6,7,...)
Analisando cada uma das alternativas, temos:
Resolução Alternativa A
a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido 2+4+6+8+10 = 30 m, Analisando cada alternativa, temos:
enquanto o gato terá percorrido 3+4+5+6+7 = 25 m, ou seja, o cão a) Correta: Seja S(x) = x3 − ax2 + bx − c um polinômio que admite
percorre 5 m a mais do que o gato. Como a distância entre cão e gato duas raízes simétricas. A partir das relações de Girard:
era, inicialmente, de 35 m, após o quinto segundo essa distância será −a
de 30 m. Assim, a alternativa A está correta. r1 + r2 + r3 = −
=a
b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão terá percorrido 12 m,
1
enquanto o gato também terá percorrido a mesma distância. Logo, a Como a soma de duas raízes simétricas é zero, a terceira raiz é o
próprio a. Assim:
2
4. (19) 3251-1012
www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA
S(a) = a3 − aa2 + ba − c = 0 ⇒ c = ab Uma pessoa fará uma viagem e em cada uma de suas malas colocou
um cadeado contendo um segredo formado por cinco dígitos. Cada
Aplicando logaritmo em ambos os lados:
dígito é escolhido dentre os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na
c = ab ⇒ log c = log a + logb ⇒ log a − log c = − logb primeira mala, o segredo do cadeado começa e termina com dígito par
1 e os demais são dígitos consecutivos em ordem crescente. Na
⇒ log a + log = co logb segunda mala, o segredo do cadeado termina em dígito ímpar e
c
apenas o 1º e 2º dígitos são iguais entre si.
b) Incorreta: Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por x2 + 2x − 3 = Dessa maneira, se ela esquecer:
(x – 1)(x + 3). Assim, existe um polinômio Q(x) tal que a) o segredo do cadeado da primeira mala, deverá fazer no máximo
P(x) = Q(x)(x − 1)(x + 3) + R(x) . (52 x 83 ) tentativas para abri-lo.
Como o grau do polinômio divisor é 2, podemos escrever R(x) = Ax + b) o segredo do cadeado da segunda mala, o número máximo de
B. Pelo teorema do resto, temos: tentativas para abri-lo será de 1890.
P(1) = R(1) = 6 ⇒ A + B = 6 c) apenas os três dígitos consecutivos em ordem crescente do
P(−3) = R(−3) = −2 ⇒ −3A + B = −2 cadeado da primeira mala, ela conseguirá abri-lo com, no máximo, 8
Resolvendo o sistema, encontramos R(x) = 2x + 4. tentativas.
Assim, R(0) = 4, enquanto 2.P(-3) = -4. d) apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da segunda mala,
c) Incorreta: Seja A(x) um polinômio com coeficientes reais. Pelo deverá tentar no máximo 10 vezes para abri-lo.
teorema das raízes complexas, se os números 2i e i – 5 são raízes de Resolução Alternativa C
A(x) então os números conjugados -2i e – i – 5 também são raízes. Pelo enunciado, temos:
Como 2π é raiz e o termo independente sempre é nulo, temos que 0 1) Primeira mala: primeiro e último algarismos são pares, os outros
também é raiz, e o grau de A(x) é, no mínimo, 6. Entretanto, não são dígitos consecutivos em ordem crescentes.
podemos afirmar nada com relação às multiplicidades de cada raiz, Nesse caso, note que temos 5 possibilidades para o primeiro
muito menos que as únicas raízes são essas; logo, não podemos algarismo, 5 possibilidades para o último, 8 possibilidades para o
garantir que o grau sempre será par. segundo (uma vez que o segundo número nunca pode ser 8 ou 9) e
d) Incorreta: Observe que uma condição fundamental para que o apenas 1 possibilidade para o terceiro e quarto números, uma vez que
teorema das raízes racionais funcione é que TODOS os coeficientes eles devem estar em ordem crescente. Assim, o total de possibilidades
do polinômio sejam inteiros. Como sabemos que os coeficientes a, b e é dado por 52.8 = 200.
c são reais (não necessariamente inteiros), não podemos afirmar que Assim, a alternativa (a) está incorreta, uma vez que 200 < 52.83. Além
as possíveis raízes racionais de B(x)=x4+ax3+bx2+cx+16 estão entre disso, note que existem apenas 8 seqüências de três números
os divisores de 16. consecutivos montada a partir dos números 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9, de
modo que se ela se esquecer dos três dígitos consecutivos então ela
QUESTÃO 37 precisará apenas de 8 tentativas para abrir a mala.
2) Segunda mala: último algarismo ímpar, com apenas o primeiro e
20
⎛1 3⎞ segundo algarismos iguais entre si.
Sabendo-se que x0 = −i , x1 = 3 e x2 = ⎜ + i ⎟ são raízes de
⎜2 2 ⎟ Nesse caso, existem 5 possibilidades para o último número, 9
⎝ ⎠ possibilidades para o primeiro (que não pode ser igual ao último, uma
P ( x ) = x 6 − 3 x 5 + x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 − ax + 3 , onde i é a unidade imaginária vez que apenas o primeiro e o segundo são iguais), 1 possibilidade
e a é número real, marque a alternativa FALSA. para o segundo (ele deve ser igual ao primeiro), 8 possibilidades para
a) O número a também é raiz de P ( x ) . o terceiro, que não pode ser igual ao último nem ao primeiro/segundo;
e 7 possibilidades para o quarto, que não pode ser igual a nenhum dos
b) A soma das raízes reais de P ( x ) é um número par. anteriores. Assim, o total de possibilidades é dado por 5.9.1.8.7 =
c) O produto das raízes imaginárias de P ( x ) é diferente de a 2520.
d) P ( x ) é divisível por x 2 + x + 1 . Assim, a alternativa (b) está incorreta, pois 2520 > 1890. Além disso,
note que, caso ela esqueça apenas os dois primeiros dígitos do
Resolução Alternativa C cadeado da segunda mala, então ela não precisará fazer 10 tentativas
Seja P(x) = x6 − 3x5 + x 4 − 4x3 + 3x2 − ax + 3 um polinômio tal para abrir a mala, uma vez que os outros algarismos devem ser
diferentes dos dois primeiros. Assim, na pior das hipóteses, ela deverá
que x0 = -i é raiz. Como a é real, então todos os coeficientes de P(x) fazer 7 tentativas, o que torna a alternativa (d) incorreta.
são reais, daí segue que i também é raiz de P.
P(i) = i6 − 3i5 + i4 − 4i3 + 3i2 − ai + 3 = −1 − 3i + 1 + 4i − 3 − ai + 3 = 0
QUESTÃO 39
⇒ i − ai = 0 ⇒ a = 1 Uma pessoa deve escolher (não importando a ordem) sete, dentre dez
Alternativa A (correta): cartões numerados de 1 a 10, cada um deles contendo uma pergunta
Calculando P(1), temos: P(1) = 1 − 3 + 1 − 4 + 3 − 1 + 3 = 0 diferente. Se nessa escolha houver, pelo menos três, dos cinco
Assim, a = 1 é raiz real de P(x). primeiros cartões, ela terá n formas de escolha.
Alternativa B (correta): Sendo assim, pode-se afirmar que n é um número
As raízes reais de P(x) são 1 e 3, uma vez que temos 6 raízes, sendo a) quadrado perfeito. b) múltiplo de 11.
c) ímpar. d) primo.
4 delas complexas ( x0 , x0 , x2 , x2 ), logo a soma das raízes reais de P é
um número par. Resolução Alternativa B
Alternativa C (FALSA): De acordo com o enunciado, a pessoa deve escolher 3,4 ou 5 cartôes
20 dos 5 primeiros (pelo menos três) e o que falta para completar os 7
⎛1 3⎞ ⎛ 20π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 1 3 cartões dos 5 restantes. Como a ordem não importa, temos:
Seja x2 = ⎜ + i ⎟ = cis ⎜ = cis ⎜ =− + i.
⎜2
⎝ 2 ⎟
⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ 2 2 ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 110 , possibilidades para escolher os
⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎝ 2 ⎠
1 3
Logo, o número x2 = − − i também é raiz de P(x). cartões (que é um múltiplo de 11).
2 2
⎛1 3⎞
QUESTÃO 40
2 2
Assim, x0 ⋅ x0 ⋅ x2 ⋅ x2 = x0 ⋅ x2 = 1⋅ ⎜ + ⎟ = 1 = a
⎝4 4⎠ Analise as proposições seguintes.
Alternativa D (correta): (02) Se 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + … + n(n !) = (n + 1)!− 1 , com
Observando que as raízes de x2 + x + 1 são dadas por x2 e x2 , temos n ∈ {1,2,3,4,…} , então, o valor de
que P(x) é divisível por x2 + x + 1. 1(1!) + 2(2!) + + 10(10!) + 1
é igual a 18.
8!(1 + 2 + 3 + 4 + + 10)
QUESTÃO 38
3
5. (19) 3251-1012
www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA
p
⎛ m ⎞ n 4
(04) O valor de ∑ ⎜ m − 1⎟ é p2 . ∑a 2j b j 1 = ∑ a2 j ⋅ b j 1 ⇔ n = 4 e portanto não podemos afirmar que c21
m =1 ⎝ ⎠ j =1 j =1
4
(08) Uma caixa (I) contém 6 garrafas com rótulo e duas
garrafas sem rótulo; outra caixa (II) contém 4 garrafas
= ∑a
j =1
2j ⋅ bj1
com rótulo e uma sem rótulo. Uma caixa é selecionada
Obs: O produto escalar entre duas n-uplas é definido por:
aleatoriamente e dela uma garrafa é retirada. A
u=(x1,x2,...,xn) e v=(y1,y2,...,yn),
probabilidade dessa garrafa retirada ser sem rótulo é de
22,5%. u,v = ( x1, x2 ,..., xn ),( y1, y 2 ,..., y n ) = x1y1+x2y2+...+xnyn.
(16) Dois dígitos distintos são selecionados aleatoriamente II) A proposição é verdadeira, pois usando o fato de que det(A) =
dentre os dígitos de 1 a 9. Se a soma entre eles é par, a det(At), det(AB)=detA.detB e det(kA)=kndetA, onde n é a ordem da
5 matriz, temos:
probabilidade de ambos serem ímpares é . AYB=2Bt ⇒ det(AYB)=det(2Bt) ⇔ detA.detY.detB=2ndetB,
8
A soma das proposições verdadeiras é igual a: 2n
Logo, det Y =
a)14 b)24 c) 26 d) 30 det A
Resolução Alternativa C Como det A =
1
=
1
= 4 temos:
(02) A proposição é verdadeira, pois por hipótese: det A−1 1
4
1(1)!+ 2(2)!+ ... + 10(10)!+ 1 11!− 1 + 1 11! 990
= = = = 18 2n 2n
8!(1+ 2 + ... + 10) 8!(55) 8!.55 55 det Y = = = 2n − 2
det A 4
(04) A proposição é falsa, pois a soma pedida é a soma das diagonais
III) A proposição é verdadeira:
do Triângulo Aritmético de Pascal. Como a soma das diagonais é dada
Por indução, temos:
p
⎛ m ⎞ ⎛ p + 1⎞
por: ∑ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤
m =1 ⎝ m − 1⎠ ⎝ p − 1⎠ n=2: A2 = ⎢ ⎥.⎢ ⎥=⎢ ⎥
⎣1 1⎦ ⎣1 1⎦ ⎣ 2 1⎦
⎛ p + 1⎞
⎟ = ( p + 1).p ≠ p ;
2
Temos portanto que ⎜ ⎡ 1 0⎤
⎝ p − 1⎠ Assumindo para n=k: Ak = ⎢ ⎥ , temos:
(08) A proposição é verdadeira, pois o evento desejado ocorre quando ⎣ k 1⎦
escolhendo a caixa (I) retiramos uma garrafa sem rótulo ou ⎡ 1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ k +1
escolhendo a caixa (II) retiramos uma garrafa sem rótulo. Podemos n=k+1: Ak .A = ⎢ ⎥.⎢ ⎥=⎢ ⎥=A
⎣ k 1⎦ ⎣1 1⎦ ⎣k + 1 1⎦
calcular a probabilidade deste evento ocorrer de
1 2 1 1 9
P= . + . = = 22,5%
2 8 2 5 40 QUESTÃO 42
(16) A proposição é verdadeira, pois se a soma dos dígitos é par, Um suspeito de assaltar dois caixas de um supermercado foi intimado
temos as seguintes possibilidades: a prestar depoimento e fez a seguinte declaração:
Par e Par ou Impar e Impar. “No primeiro caixa foram roubados dois pacotes de notas de 20 reais,
De 1 a 9, temos 4 números pares e 5 ímpares. cinco pacotes de notas de 50 reais e um pacote de notas de 100 reais,
O número de eventos Par e Par é dado por: 4.3=12 e o número de totalizando 100 mil reais. No segundo caixa, foram roubados um
eventos Ímpar e Ímpar é 5.4 = 20. pacote de notas de 20 reais e três pacotes de notas de 100 reais, num
Assim, o espaço amostral é 32 e o número de eventos de interesse é total de 50 mil reais. Os pacotes de notas de mesmo valor tinham a
20 mesma quantidade de notas.
20 5 Cada pacote de notas de 100 reais tinha igual valor de cada pacote de
Logo a probabilidade é = . notas de 50 reais.”
32 8 Diante do depoimento do suspeito, pode-se concluir que:
Assim, a soma pedida é 26. a) ele pode ter falado a verdade.
b) ele falou, necessariamente a verdade.
QUESTÃO 41 c) havia, necessariamente, 940 notas em cada pacote de notas de 20
Analise cada proposição classificando-a como VERDADEIRA ou reais.
FALSA. d) ele mentiu, necessariamente.
I) Sejam as matrizes A = (aij)3xn e B = (bjk)nx4 (n ≥ 1) então a matriz C = Resolução Alternativa A
A·B é tal que o elemento c21 = ∑ a2 j ⋅ b j 1 De acordo com o enunciado, podemos formar o seguinte sistema:
II) A e B são matrizes inversíveis de ordem n. Se AYB = 2Bt, onde Bt é ⎧2.20 x + 5.50 y + 1.100z = 100 000
a transposta de B, o determinante da inversa de A é igual a ¼ e o ⎪
⎨ 1.20 x + 3.100 z = 50 000 onde x é o número de pacotes
determinante de B é igual a ½, então o determinante da matriz Y é ⎪
igual a 2n-2 ⎩ y = 2z
⎡1 0 ⎤ n ⎡ 1 0⎤ *
com notas de 20 reais, y é o número de pacotes com notas de 50 reais
III) Seja a matriz A = ⎢ ⎥ então A = ⎢ n 1⎥ , n ∈ N e z é o número de pacotes com notas de 100 reais.
⎣1 1⎦ ⎣ ⎦ Substituindo a terceira equação na primeira, temos:
É correto afirmar que são verdadeiras
a) todas as proposições b) apenas II e III.
⎧40 x + 600z = 100 000
⎨
c) apenas I e II. d) apenas I e III. ⎩20 x + 300z = 50 000
Resolução Alternativa B Logo, como o sistema é possível (embora indeterminado), o assaltante
I) A proposição é falsa, pois para obter um elemento cij do produto de pode ter falado a verdade.
duas matrizes usamos o produto escalar entre os elementos da linha i
da primeira matriz e os elementos da coluna j da segunda matriz, já QUESTÃO 43
que cada fila forma uma n-upla ordenada com os seus elementos. A circunferência (λ ) x2 + y2 – 2x – 2y + k = 0 passa pelo ponto A(0,1).
Assim, usando as hipóteses da proposição:
Sabendo-se que o ponto P de (λ ) mais próximo da origem coincide
C = (AB)3x4 tem como elemento 21:
n com o baricentro do triângulo MNQ, onde M(0,k), N(2k,0) e Q(xQ,yQ) é
c21= a21b11+a22b21+a23b31+a24b41+...+ a2nbn1= ∑ a2 j b j 1 . correto afirmar que a área do triângulo MNQ é um número do intervalo
j =1
⎡ 3⎡ ⎡3 ⎡ ⎡ 5⎡ ⎡5 ⎡
a) ⎢1, ⎢ b) ⎢ ,2⎢ c) ⎢2, ⎢ d) ⎢ ,3⎢
⎣ 2⎣ ⎣ 2 ⎣ ⎣ 2⎣ ⎣2 ⎣
4
6. (19) 3251-1012
www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA
Resolução Alternativa B Resolução Alternativa A
Considerando que o ponto (0,1) está na circunferência, temos 02 + 12 (I) Verdadeira. Se P pertence simultaneamente à bissetriz dos
– 2.0 – 2.1 + k = 0, logo k = 1. quadrantes ímpares (reta y = x) e à bissetriz dos quadrantes pares
Assim, a circunferência em questão é descrita pela equação: (x – 1)2 + ⎧y = x
(y – 1)2 = 1. (reta y = –x), então ele satisfaz o sistema ⎨ . Logo, P = (0,0).
O ponto P da circunferência mais próximo da origem pode ser obtido ⎩y = − x
geometricamente ao construirmos a reta que passa pela origem (0,0) e Assim, temos o gráfico a seguir: a reta y = k é paralela ao eixo x,
pelo centro (1,1) da circunferência. passando pelo ponto (0,k). Assim, o ponto S, simétrico do ponto P em
y relação a esta reta, é o ponto
S = (0,2k), cuja soma das coordenadas é igual a 2k.
y
S(0,2k)
M
y=k
P N
k
x
A partir do gráfico, temos que a distância da origem ao ponto P é dada P(0,0) x
por 2 − 1 . Como este ponto está na reta x = y, temos que esta
distância é a diagonal de um quadrado. Assim: (II) Falsa. Se y 2 − 3 y ≤ x < 0 ⇒ y 2 − 3 y < 0 .
2− 2 Graficamente, a solução desta inequação em y é:
2 −1= x 2 ⇒ x =
2
⎛2− 2 2− 2⎞
Portanto, o ponto P ⎜
⎜ 2
, ⎟ é o baricentro do triângulo MNQ.
+ +
⎝ 2 ⎟⎠
Podemos obter as coordenadas do ponto Q, a partir das coordenadas
do baricentro:
0
– 3
2 − 2 2 + xQ 2 − 2 1 + yQ 0<y <3
= e =
2 3 2 3 Como y é um número inteiro, os únicos valores possíveis nesse
⎛2−3 2 4−3 2⎞ intervalo são y = 1 ou y = 2.
Assim Q = ⎜ , ⎟. ⎧
⎪ y = 1 ⇒ y − 3 y = 1 − 3 ⋅ 1 = −2
2 2
⎜ 2 2 ⎟ Se ⎨ .
⎝ ⎠
⎪ y = 2 ⇒ y − 3y = 2 − 3 ⋅ 2 = −2
2 2
⎩
O triângulo MNQ tem como vértices os pontos M(0,1), N(2,0) e Nesse caso, y 2 − 3 y ≤ x < 0 ⇒ −2 ≤ x < 0 ⇒ x=–2 ou x=–1
Q(xQ,yQ), cuja área é dada por: Logo, existem quatro pontos P(x,y) que atendem às condições: (–1,1),
0 1 1 (–1,2), (–2,1) e (–2,2).
1 1 (III) Verdadeira. A distância de um ponto P(x,y) até o eixo das
AMNQ = 2 0 1 = xQ + 2y Q − 2 .
2 2 abscissas é |y|, enquanto a distância desse mesmo ponto até o ponto
xQ yQ 1
Q(0,6) é dada por ( x − 0)2 + ( y − 6)2 . Assim, o lugar geométrico em
Substituindo as coordenadas de Q temos: questão é:
1 2 x 2 + y 2 − 12y + 36
1 2−3 2 1 9 2 | y |= x + ( y − 6)2 ⇒ y 2 = ⇒
AMNQ == +4−3 2 −2 = 3− 2 4
2 2 2 2
x2
Aproximando 2 = 1, 4 , temos: 3 y 2 + 12y − 36 − x 2 = 0 ⇒ y 2 + 4 y − = 12
3
1 Completando quadrados nessa equação, temos:
AMNQ= 3 − 6,3 = 1,65 , que está entre 1,5 e 2.
2 x2 ( y + 2)2 x 2
y 2 + 2 ⋅ y ⋅ +22 − = 12 + 22 ⇒ − =1
3 16 48
QUESTÃO 44 Esta é a equação de uma hipérbole centrada no ponto (0,–2), com as
Classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa cada afirmativa abaixo medidas a 2 = 16 e b2 = 48 .
sobre o ponto P(x,y) no plano cartesiano. Logo, c 2 = a 2 + b 2 = 16 + 48 = 64 ⇒ c = 8 .
( ) Se o ponto P pertence simultaneamente às bissetrizes dos
c 8
quadrantes ímpares e dos quadrantes pares, então o ponto simétrico A excentricidade da elipse é então dada por: e = = =2
de P em relação à reta y = k (k ∈ *) tem a soma das coordenadas a 4
igual a 2k.
( ) Sendo {x,y} ⊂ , então existem apenas dois pontos P(x,y) que QUESTÃO 45
Considere as curvas, dadas pelas equações
⎧x < 0
⎪ (I) 16x2 + 4y2 + 128x – 24y + 228 = 0
atendem às condições ⎨ 2
⎪y − 3y ≤ x
⎩ (II) y = 7 - |x|
(III) y2 – 6y – x + 5 = 0
( ) Os pontos P(x,y) tais que a sua distância ao eixo das abscissas é
Analise cada afirmação a seguir, classificando-a em VERDADEIRA ou
igual à metade da distância de P ao ponto Q(0,6) formam uma
FALSA
hipérbole de excentricidade igual a 2.
Sobre as afirmativas tem-se
(01) O gráfico de (I) é representado por uma elipse, de (II) por duas
a) apenas uma falsa.
retas e de (III) por uma parábola.
b) apenas duas falsas.
(02) O centro de (I) é um ponto de (II) e coincide com o vértice de (III).
c) todas falsas.
(04) A soma das coordenadas do foco de (III) é um número menor que
d) todas verdadeiras.
-1
5
7. (19) 3251-1012
www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA
π ⎛ 3⎞ 3
(08) A excentricidade de (I) é igual a cos b) Se a função s: D é tal que s( x ) = f ⎜ x + ⎟ , então s(0) = −
6 ⎝ 2⎠ 2
A soma dos itens verdadeiros é um número do intervalo c) O domínio da função r: E tal que r(x)= f(x)-3 é o intervalo real [-6
a)[1,3] b)[4,7] c) [8,11] d) [12,15]
, 6]
Resolução Alternativa C d) A função r: E tal que r(x)= f(x) - 3 NÃO possui raízes em
(01) Falso
( x + 4)2 ( y − 3)2 Resolução Alternativa D
(I) A equação pode ser reescrita como + = 1 , que Analisando cada item:
4 16
a) Correta: O gráfico da função h é o mesmo da função f deslocado
representa uma elipse com eixo maior vertical e centro no ponto C = (- 3/2 no eixo y.
4,3) Analisando os pontos de máximos e mínimos de f, podemos observar
(II) Da definição de módulo, temos: que no intervalo [-3,3/2] a função é descrita por f(x) = - x, o que implica
⎧ y = 7 − x, se x ≥ 0 que seus pontos de máximo e mínimo são respectivamente 3 e -3/2.
⎨ , ou seja, tal equação representa duas semi- Assim, o ponto de máximo da função h é 3 + 3/2 = 9/2 e o ponto de
⎩ y = 7 + x, se x < 0
retas no plano cartesiano e não duas retas. ⎡ 9⎤
mínimo é -3/2 + 3/2 = 0 e portanto a imagem de h é dada por ⎢0, ⎥ .
(III) Essa última equação pode ser reescrita como ⎣ 2⎦
(y-3)2 = x + 4, que é uma parábola com eixo de simetria horizontal e ⎛ 3⎞ ⎛3⎞ 3
vértice no ponto V = (-4,3) b) Correta: s(0) = f ⎜ 0 + ⎟ = f ⎜ ⎟ = −
⎝ 2⎠ ⎝2⎠ 2
(02) Verdadeiro
Do item anterior, vemos que P=(-4,3) é o centro da elipse e o vértice c) O domínio de r é o mesmo domínio de f. Determinando os valores
da parábola. Além disso, P pertence ao gráfico de (II) pois x = -4 ⇒ y de a:
= 7-|-4| = 3 Temos que o coeficiente angular no intervalo [-a,-3] é dado por
(04) Falso ⎛ 3⎞
0 − ⎜− ⎟
1 3−0 ⎝ 2⎠ ⇒ a −5 = 3 ⋅ 2 ⇒ a = 6 .
(y – 3)2 = x + 4 ⇒ p = , onde p é o parâmetro da parábola (distância =
2 ( −3 ) − ( −5 ) ( −5 ) − ( −a ) 2 3
do foco a reta diretriz). Portanto, o domínio de f e de r é dado pelo intervalo real:
Sendo o vértice da parábola o ponto V = (-4,3) e dado que seu eixo de [-a , a] = [-6 , 6]
simetria é horizontal obtemos o foco F por: d) Incorreta: a função r: E tal que r(x)= f(x) - 3 apresentará raiz real
p 7 para x=-3.
F = (−4 + ,3) = (− ,3)
2 2 Do enunciado f(-3)=3 ⇒ r(-3) = f(-3)-3= 3-3=0
1 Logo -3 é raiz da função r.
Logo xf + yf = -
2
(08) Verdadeiro
( x + 4)2 ( y − 3)2
Na equação da elipse + = 1 , o primeiro denominado
4 16
representa o valor de a2 (onde a é o semi-eixo maior da elipse) e o
segundo denominador representa o valor de b2 (onde b é o semi-eixo
menor da elipse). Assim: a = 4 e b = 2
Da relação fundamental da elipse a 2 = b 2 + c 2 (onde c é a metade da
distância focal), temos:
c= 2 3
c
Logo a excentricidade, definida como e = vale
a
3 π
= cos
2 6
Portanto, soma 02+08=10.
QUESTÃO 47
QUESTÃO 46 Considere todo x ∈ que torne possível e verdadeira a igualdade
Na figura abaixo, está representado o gráfico da função real f:[- log[f ( x − 1)] = log x − 2 x 2 + 1 , onde f é uma função real de A em B
2 4
a,a] , onde f(0)=0. e marque a alternativa correta.
a) O conjunto imagem de f é Im = + − {1}
b) f é uma função injetora.
c) Se B = + − {1} , então existe a inversa de f .
d) f tem domínio A = { x ∈ / | x |> 1}
Resolução Alternativa A
Observe que x 4 − 2 x 2 + 1 = ( x 2 − 1)2 =| x 2 − 1| , e portanto,
log x 4 − 2 x 2 + 1 = log | x 2 − 1|
Pelas condições de existência do logaritmo, o logaritmando deve ser
positivo, portanto devemos ter
Analise as alternativas abaixo e marque a INCORRETA. i) | x 2 − 1|> 0 (o que acontece se e somente se x ≠ ±1 )
3 ii) f ( x 2 − 1) > 0 .
a) O conjunto imagem da função h: A B, definida por h ( x ) = f ( x ) +
2 Nos pontos onde isso acontece, vale:
⎡ 9⎤ log[f ( x 2 − 1)] = log | x 2 − 1|⇒ f ( x 2 − 1) =| x 2 − 1| .
é Im = ⎢0, ⎥
⎣ 2⎦ Assim, temos que f (w ) =| w |
6
8. (19) 3251-1012
www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA
Verificando a segunda condição de existência citada, note que, (gogof-1) (5/2) = g(g(f–1(5/2)))=g(g(1))=g(0)=4>0.
f (w ) =| w | , que é sempre não negativa. c) Incorreta:
Esta função se anula somente quando w = 0 ou seja
Estudando os sinais da expressão
[f ( x )]2 temos:
f ( x 2 − 1) = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 g( x )
Logo o domínio da função f é − {1, −1} ⎧ 2
⎪[f ( x )] > 0 ⇔ x ≠ − 3 ⎧g ( x ) > 0 ⇔ 1 < x < 4
2
Assim, o gráfico da função f deve ser: ⎪ ⎪
⎨ e ⎨g ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ou x = 4
y ⎪[f ( x )]2 = 0 ⇔ x = − 2 ⎪g ( x ) < 0 ⇔ x < 1 ou x > 4
⎪
⎩ 3 ⎩
A expressão não é definida para x=1 ou x=4. Assim:
⎧ [f ( x )]2 2
⎪ =0⇔ x=−
⎪ g( x ) 3
⎨
⎪ [f ( x )]
2
1 2
> 0 ⇔ x < 1 e x ≠ − ou x > 4
⎪
⎩ g( x ) 3
13 1
–1 1 x d) Incorreta: f(x) – g(x) = − x 2 + x − 3 , cujas raízes são e6eé
2 2
1
não positiva para x ≤ ou x ≥ 6 .
a) Verdadeira: conforme o gráfico, todos os pontos não-negativos do 2
eixo y, exceto o 1, foram atingidos, e portanto Im(f ) = + − {1} .
b) Falsa: por exemplo, temos f ( −2) = f (2) = 2 . QUESTÃO 49
c) Falsa: se fixarmos o contradomínio da função f como sendo Considere as funções reais
B = + − {1} , apenas a tornaremos uma função sobrejetora, mas ela f : R+ * → R tal que f ( x ) = x − 2
x
continuará sendo não injetora. Se não é uma função injetora, com ⎛ 1⎞
mais razão não é bijetora e, portanto, não admite inversa. g : R → R+ * tal que g ( x ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
d) Falsa: conforme demonstrado no início, o domínio da função é
− {1, −1} . h : R+ * → R tal que h( x ) = − log2 x
e marque a alternativa correta.
QUESTÃO 48 g( x )
As funções f: do 1º grau e g: [b, +∞[ do 2º grau estão a) O domínio da função k definida por k ( x ) = é o conjunto dos
h( x )
representadas no gráfico abaixo. números reais positivos.
f ( x ) ⋅ h −1( x )
b) A função j definida por j ( x ) = se anula em dois pontos
(g f )( x )
distintos.
c) A função m definida por m( x ) = −1 + (g f )( x ) não possui raiz.
d) Se g(h(a)) = 8 e h(g (2b )) = log3 9 , então (a − b ) é um número
primo.
Resolução Alternativa D
a) Falsa, pois para x = 1 , temos h(1) = 0 , e portanto a função
g( x )
k( x ) = não está definida para x = 1. O domínio da função k seria
h( x )
R+ * − {1}
Com base nas informações acima é correto afirmar que:
a) o menor valor de b que torna a função g sobrejetora é um número b) Falsa.
inteiro. Temos h(w ) = − log2 w e chamando h(w ) = x , temos:
b) (gogof-1) (5/2) > 0
h −1( x ) = w . Assim, x = − log2 w = − log2 h −1( x ) ⇒
[f ( x )]
2
c) > 0 ⇔ {x ∈ | x < 1 ou x > 4} ⎛ 1⎞
x
g( x ) log2 h −1( x ) = − x ⇒ h −1( x ) = 2− x = ⎜ ⎟ = g ( x ) .
⎝2⎠
d) f(x)-g(x)≤0 ⇔ { x ∈ | x ≤ 0 ou x ≥ 6}
f (x) x −2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
Resolução Alternativa B Por outro lado, (g f )( x ) = g (f ( x )) = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ .
Da observação do gráfico, é possível descobrir que: ⎝2⎠ ⎝2⎠
x
3 ⎛ 1⎞
f (x) =
x +1 ( x − 2) ⋅ ⎜ ⎟
2 f ( x ) ⋅ h −1( x ) ⎝ 2 ⎠ = ( x − 2) , de modo que a
Logo, j ( x ) = = x −2
Assim, x= -2/3 será raiz desta função. (g f )( x ) ⎛ 1⎞ 4
⎜ ⎟
g( x ) = x 2 − 5 x + 4 ⎝2⎠
Assim, x=1 e x=4 serão raízes da função g, e seu ponto de mínimo função j se anula apenas num ponto, quando x=2
Δ 9 ⎛ 1⎞
x −2
será y v = − =− . c) Falsa. Pelo item anterior, (g f )( x ) = ⎜ ⎟ , e assim, temos
4a 4 ⎝2⎠
⎧ 9⎫ x −2
a) Incorreta, pois a imagem de g(x)= ⎨ y ∈ R | y ≥ − ⎬ . Logo, para que ⎛ 1⎞
⎩ 4⎭ m( x ) = −1 + (g f )( x ) = ⎜ ⎟ − 1 .
⎝2⎠
g(x) seja sobrejetora, o valor mínimo de b é – 9/4, que é racional.
b) Correta, pois observando o gráfico, temos que, da função inversa, Resolvendo a equação m( x ) = 0 , temos
f(1)=5/2 ⇔ f–1(5/2) =1. Ainda observando o gráfico, temos:
7
9. (19) 3251-1012
www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA
⎛ 1⎞
x −2
⎛ 1⎞
x −2 educação, R$5.000,00 com o total pago à Previdência, e R$1.500,00
⎜ 2 ⎟ − 1 = 0 ⇒ ⎜ 2 ⎟ = 1⇒ x = 2 por dependente.
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por este
Assim, a função m possui uma raiz. trabalhador, no ano de 2007, foi de R$3.515,00, o número de
d) Verdadeira. Observe que g h( x ) = x para todo x ∈ R+ * e dependentes considerado foi:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6
h g(w ) = w para todo w ∈ R , já que as funções g e h são funções
inversas uma da outra. Logo: Resolução Alternativa C
Seja x o total de dependentes. As deduções do imposto de renda
⎧8 = g (h(a )) = a ⇒ a = 8
⎨ desse trabalhador somam um total de:
⎩2 = log3 9 = h( g (2b )) = 2b ⇒ b = 1 R$9400,00 + x.R$1500,00
Portanto: a − b = 8 − 1 = 7 , que é um número primo. O valor limite máximo (não incluído) de alguém que paga imposto com
uma alíquota de 15% é calculado por:
15%. ( 30000 ) − 2250 = 2250
QUESTÃO 50
"A Arrecadação da CPMF, devido à ampliação de sua abrangência, e Assim, analisemos o imposto pago, utilizando a alíquota de 27,5%:
ao aumento da alíquota, cresceu mais de 140% nos últimos anos (em I=27,5%. ⎡50000-(9400+1500x)⎤ -6000=3515
⎣ ⎦
bilhões de reais por ano)".
9515
Revista Veja - 14/03/2007 40600 − 1500x = = 34600 ⇒ 1500x = 6000
0,275
6000
⇒x= =4
1500
Logo, o total de dependentes é 4.
QUESTÃO 52
Sabendo-se que b é um número real tal que b > 1 e que a função real
−x
f: B é tal que f(x) = 2 − b , analise as alternativas abaixo e
marque a FALSA.
a) A função f admite valor mínimo.
1
b) x ≤ - 1 ⇔ 2 - ≤ f(x) < 2
b
c) A função f é par.
d) Se B = [0, 2[ então f é sobrejetora.
Resolução Alternativa D
Seja f(x) = 2 − b−|x| . Assim, f(−x) = 2 − b|− x| = 2 − b|x| = f(x) , e a
função f é par. Logo, a alternativa (c) está correta.
Supondo que o crescimento da arrecadação representado no gráfico Como b > 1, podemos reescrever a função como
acima é linear do ano 2005 ao ano de 2007 e que y% representa o 1 1
aumento da arrecadação do ano de 2005 ao ano de 2006, é correto f(x) = 2 − b−|x| = 2 − , onde 0 < |x| ≤ 1 .
b|x| b
afirmar que y é um número do intervalo:
a) [8, 9[ b) [9, 10[ c) [10, 11[ d) [11, 12[ Daqui, segue que 1 ≤ f(x) ≤ 2 , de modo que f(x) admite um mínimo
e um máximo. Além disso, fica evidente que o conjunto-imagem de f é
Resolução Alternativa B o intervalo [1;2], de modo que a alternativa (a) está correta, enquanto
De acordo com o gráfico, de 2005 a 2007, a arrecadação da CPMF a alternativa (d) está incorreta.
salta de R$29,2 bilhões de reais para um valor estimado de R$34,8 Para verificar a validade da alternativa (b), note que se
bilhões.
1 1 1 1 1
Supondo linear o gráfico entre os anos citados, temos que a x ≤ −1 ⇒ |x| ≤ ⇒ − |x| ≥ − ⇒ f(x) ≥ 2 −
29,2 + 34,8 b b b b b
arrecadação em 2006 é dada por =32 bilhões. 1
2 Temos também que lim = 2 e portanto 2 − ≤ f(x) ≤ 2
O aumento de arrecadação, tomando com base o ano de 2005, x →−∞ b
R $32bi
corresponde a: ≈ 1,09 . Desta forma a arrecadação
R $29,2bi QUESTÃO 53
aumentou cerca de 9% de 2005 para 2006. Sabendo-se que a função real f: D → B definida por
Portanto y pertence ao intervalo [9, 10[ x
f(x) = é inversível e que D e B são conjuntos os mais amplos
1− x
QUESTÃO 51 possíveis, é FALSO afirmar que
Considere a tabela para cálculo do imposto de renda a ser pago à a) f é crescente para todo x tal que x < 1 ou x > 1.
Receita federal no ano de 2007 – ano base 2006 (valores b) a equação da assíntota horizontal de f é y = -1.
arredondados para facilitar os cálculos). c) se g é tal que g(x) = |f-1(x)|, então não existe x real tal que g(x) = 1
Rendimento para base Alíquota Parcela a deduzir d) f-1(0) + f-1(-½) < 0
de cálculo (R$) (%) (R$)
até 14.999,99 Isento -
Resolução Alternativa C
a) Correta.
De 15.000,00 a 30.000,00 15 2.250,00 Tome x,y ≠ 1, e suponha que f(x) > f(y):
acima de 30.000,00 27,5 6.000,00
x y x y x(1 − y) − y(1 − x)
Para se conhecer o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair > ⇒ − >0⇒ >0
do rendimento bruto todas as deduções a que se tem direito. Esse 1−x 1−y 1−x 1− y (1 − x)(1 − y)
rendimento para base de cálculo é multiplicado pela alíquota x−y
correspondente. Em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir ⇒ >0
(1 − x)(1 − y)
correspondente, de acordo com a tabela acima, obtendo-se assim o
valor do imposto de renda a ser pago. Se x,y < 1, temos que (1-x)(1-y) > 0. Da mesma forma, se x,y > 1,
Um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$50.000,00 teve direito também encontramos (1-x)(1-y) > 0. Em ambos os casos temos x – y
às seguintes deduções: R$4.400,00 com o total de gastos em > 0 e, conseqüentemente,
x > y. Assim, pela hipótese de que f(x) > f(y), f é crescente para todo x
8
10. (19) 3251-1012
www.elitecampinas.com.br
O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA
> 1 ou x < 1. Observe que esse resultado só é válido nesse caso,
a 6
quando olhamos o domínio de maneira separada. Caso contrário, f Por Pitágoras EP = .
não seria crescente. Assim, a alternativa (a) está correta. 2
b) Correta. 3 6
x x −1 1 1 Assim cos θ = ; senθ = e tgθ = 2 .
Reescrevendo f(x) = = + = −1, 3 3
1−x 1− x 1−x 1− x
percebemos que o gráfico de nossa função corresponde à uma Observando tg θ, como 1 < 2 < 3 , temos 45° < θ < 60° ;
hipérbole de assíntota vertical x = 1. Fazendo x → ±∞ , notamos que
1 (01) VERDADEIRA: se 45° < θ < 60° ⇒ 90o < θ < 120o;
− 1 → −1 , de modo que y = -1 é a assíntota horizontal de
1−x (02) VERDADEIRA: tgθ = 2 , e como 1 < 2 < 3 , então
nossa função, o que torna a alternativa (b) correta. 45° < θ < 60° ;
c) Incorreta.
2.tgθ 2 2
Note que se g(x) =| f −1(x) | , existe algum ponto x tal que (04) VERDADEIRA: tg (2θ ) = = = −2 2 = −2tgθ ;
1 − tg 2θ 1 − 2
f −1(x) = −1 , uma vez que −1 ∈ D . Assim, existe x tal que 6 3 2 2 tg 2θ 2 2
−1 (08) FALSA: sen(2θ ) = 2.senθ .cosθ = 2. . = ≠ =−
g(x) =| f (x) |=| −1 |= 1 , e a alternativa (c) está incorreta. 3 3 3 3 3
d) Correta. (16) FALSA:
Seja a função inversa de f dada por −1
f (x) = y , assim, ⎛ 3π ⎞ 1 1 1
cossec ⎜ −θ ⎟ = = = = − 3 ≠ tg 60°
y x ⎝ 2 ⎠ sen ⎛ 3π ⎞ −senθ 3
x= ⇒ y = x(1 − y) = x − xy ⇒ y = f −1(x) = . Desse ⎜ −θ ⎟ −
1−y 1+ x ⎝ 2 ⎠ 3
Soma das proposições verdadeiras: 01 + 02 + 04 = 07
−1
⎛ 1⎞ 2 = −1 <0, e a
modo, temos que f −1(0) + f −1 ⎜ − ⎟ = 0 +
⎝ 2⎠ 1
2
QUESTÃO 55
Considerando as definições e propriedades das funções
alternativa (d) está correta.
trigonométricas, marque a alternativa correta.
a) A função f definida por f ( x ) = sen2 x − cos2 x possui período e
QUESTÃO 54
No cubo da figura abaixo, considere P o ponto de encontro das imagem, respectivamente, iguais a π e ⎡0, 2 ⎤ .
⎣ ⎦
diagonais da face ABCD e Q o ponto de encontro das diagonais da
face EFGH e θ é medida do ângulo PÊQ. b) Se f e g são funções tais que f ( x ) = tgx e g ( x ) = x , sabendo-se
que existe a função j definida por j ( x ) = (fog )( x ) , então j é periódica.
⎤π π ⎡
c) No intervalo de ⎥ , ⎢ a função h definida por h( x ) = cos 2 x é
⎦4 2⎣
decrescente.
3x − 1
d) O domínio da função g definida por g ( x ) = 3.arcsen é
2
⎡1 ⎤
D = ⎢ ,1⎥
⎣3 ⎦
Resolução Alternativa D
Analise as proposições seguintes. a) Incorreta. Vamos transformar a diferença sen2x – cos2x numa
(01) 2θ é um ângulo maior que 90º única função trigonométrica:
(02) θ é um ângulo do intervalo [45º, 60º] sen 2 x − cos 2 x = 1 ⋅ sen 2 x − 1 ⋅ cos 2 x =
(04) tg 2θ = -2tg θ 1 1
1 12 + 12 ( ⋅ sen 2 x − ⋅ cos 2 x) =
(08) sen 2θ = tg2θ 2 2
3 1 +1 1 + 12
2
⎛ 3π ⎞ 2 2 π π
(16) cossec ⎜ − θ ⎟ = tg60º 2( sen2 x − cos 2 x) = 2 (cos sen2 x − sen cos 2 x) =
⎝ 2 ⎠ 2 2 4 4
O número que representa a soma das proposições verdadeiras é ⎛ π⎞ ⎛ π⎞
múltiplo de: 2 ⋅ sen⎜ 2 x − ⎟ . Logo, f ( x) = 2 ⋅ sen⎜ 2 x − ⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7
Resolução Alternativa D ⎛ π⎞ ⎛ π⎞
Como − 1 ≤ sen⎜ 2 x − ⎟ ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sen⎜ 2 x − ⎟ ≤ 1 ⇒
Do enunciado,podemos formar o triângulo PEQ a seguir: ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
⎛ π⎞
0 ≤ 2 sen⎜ 2 x − ⎟ ≤ 2 ⇒ 0 ≤ f ( x) ≤ 2 ⇒ Im( f ) = [0, 2 ]
⎝ 4⎠
O gráfico da função f é:
a 2
Do triângulo PEQ, temos: EQ = ; PQ = a
2
9