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(19) 3251-1012
                                                                                                                                   www.elitecampinas.com.br
                                                                                   O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA

                         MATEMÁTICA                                             Assim, a arrecadação mensal é dada por:
                                                                                1) primeiro mês: R$9000,00
    QUESTÃO 31                                                                  2) segundo mês: R$16200,00
                                                                                3) terceiro mês: R$32400,00
Analise as alternativas abaixo e marque a correta.
                                                                                4) quarto mês: R$21600,00
a) Se B = {m ∈ N | m 2 < 40} , então o número de elementos do                   Total: R$79200,00
conjunto B é 6.                                                                 Dividindo o total por 10000, notamos que, se cada camiseta fosse
              1        1                                                        vendida por R$7,92, o mesmo montante teria sido arrecadado. Logo, a
b) Se α =         +         , então α ∈ [( R − Q) ∩ ( R − Z )]                  alternativa correta é a alternativa A.
             2 −1    2 +1
c) Se c=a+b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a,
necessariamente.                                                                    QUESTÃO 33
d) Se A =]1, 5[ e B =] − 3, 3[ , então B − A =] − 3, 1[ .                       Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z1 = –x
                                                                                – 2i, z2 = –2i, z3 = –2 + 3i e z4 = x + yi, onde x e y são números reais
    Resolução                                  Alternativa            B         quaisquer e i2 = –1.
Analisando cada alternativa:                                                    Sobre o conjunto desses números complexos que atendem
a) Observe que B = {0,1,2,3,4,5,6}, ou seja, B possui 7 elementos.              simultaneamente às condições
Assim, a alternativa está incorreta.
                                                                                           I) Re( z1 ⋅ z2 ) ≤ Im( z1 ⋅ z2 )
          1          1             2 +1+ 2 −1     2 2
b) α =          +          =                    =      =2 2.                               II) | z3 + z4 |≤ 2
         2 −1       2 +1       (      )(
                                   2 −1    2 +1)  2 −1
                                                                                é correto afirmar que
Assim, temos que α é um número irracional, ou seja, não é racional              a) representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de
nem inteiro. Assim, α ∈ (IR − Q) ∩ (IR − Z) .                                   área.
                                                                                b) possui vários elementos que são números imaginários puros.
c) Se c = a + b e b é divisor de a, segue que a = k.b, para algum inteiro       c) possui vários elementos que são números reais.
k. Assim, temos que c = k.b + b, ou seja, c = b(k+1). Portanto, o               d) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que
número c é múltiplo de b, o que não significa que c seja múltiplo de a.         pertence à reta (r) 3x + 2y = 0
Alternativa incorreta.
d) Seja A = ]1;5[ e B = ]-3;3[. Assim, B – A = {x / x está em B e x não             Resolução                                        Alternativa D
está em A} = ]-3;1] ≠ ]-3;1[. Alternativa incorreta.                                        ⎧z1 = − x + 2i
                                                                                            ⎪
                                                                                            ⎨              ⇒ z1 ⋅ z2 = ( − x + 2i ) ⋅ (2i ) = −4 − 2 xi
OBS: no item (a), admitimos que 0 é um número natural, embora em                            ⎪z2 = 2i
                                                                                            ⎩
Análise Matemática tal número seja considerado inteiro, e não natural.          A condição I então fica:
    QUESTÃO 32                                                                                    Re( z1 ⋅ z2 ) ≤ Im( z1 ⋅ z2 ) ⇒ −4 ≤ −2 x ⇒ x ≤ 2
Um fabricante de camisetas que pretendia vender seu estoque no                  A condição II, por sua vez, pode ser escrita como:
prazo de 4 meses, mantendo o preço de cada camiseta, obteve o                               | z3 + z4 |≤ 2 ⇒| z4 − ( − z3 ) |≤ 2 ⇒| z4 − (2 − 3i ) |≤ 2
seguinte resultado:
- no primeiro mês, vendeu 10% de seu estoque;                                   Observe que esta condição nos diz que os números z4 que satisfazem
- no segundo, 20% do restante das mercadorias; e                                a esta condição são aqueles cuja distância até o número complexo (–
- no terceiro, 50% do que sobrou                                                z3) = 2 – 3i é menor ou igual a 2, ou seja, trata-se de um círculo de
Ao ver que sobraram 3.600 camisetas, no quarto mês, o fabricante                centro (2,–3) e raio 2.
                                     1                                          No plano de Argand-Gauss, temos:
reduziu o preço de cada uma em 33 % , conseguindo assim liquidar
                                    3                                                                            y
todo seu estoque e recebendo R$ 21.600,00 pelas vendas deste mês.
É correto afirmar que o fabricante
a) arrecadaria a mesma importância total, durante os 4 meses, se
cada camiseta fosse vendida por x reais, x∈[7,8]                                                                          2
b) tinha um estoque que superava 834 dúzias de camisetas.
c) no terceiro mês, vendeu uma quantidade de camisetas 200% a mais
                                                                                                                                            x
que no segundo mês.
d) no primeiro mês, recebeu mais de R$ 9.000,00
    Resolução                                      Alternativa A
Seja x o total de camisetas do estoque. De acordo com o enunciado,
temos que:                                                                                              –3
- No primeiro mês foram vendidos 10% do estoque, restando então
90%.x.
- No segundo mês o total de vendas foi de 20% do restante, ou seja,
sobra no estoque um total de 80%.90%.x = 72%.x.                                 A intersecção das condições I e II será então tomar os pontos do
- Ao final do terceiro mês, ele vende 50% da mercadoria que está no             círculo sombreado acima que têm parte real menor ou igual a 2. Isso
estoque, ou seja, sobra no estoque 50%.72%.x = 36%.x.                           corresponde à metade da esquerda desse círculo:
Portanto, no início do quarto mês o vendedor tem 36% do seu estoque
inicial disponível para vendas, num total de 3600 camisetas. Logo,
                                                                                                                  y
36%.x = 3600 ⇒ x = 10000 camisetas.
Observe que:
1) primeiro mês: 1000 camisetas vendidas
2) segundo mês: 1800 camisetas vendidas                                                                                       2
3) terceiro mês: 3600 camisetas vendidas                                                                                                   x
                                                  1
Para o quarto mês, ele fez uma redução de 33 % nos preços das
                                                  3
camisetas, ou seja, reduziu 1/3 do preço, conseguindo vender todas
as que restavam no estoque e arrecadando R$21.600,00 por elas.
Seja p o preço unitário por camiseta antes da redução de preços. Do                                      –3
enunciado, temos:
                 2                     2
                   ⋅ p ⋅ 3600 = 21600 ⇒ ⋅ p = 6 ⇒ p = 9
                 3                     3                                        a) Falsa. A área desse semicírculo de raio 2 será dada por:

                                                                            1
(19) 3251-1012
                                                                                                                             www.elitecampinas.com.br
                                                                                 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA

                       1                                                      distância permanece igual a 35 m. Assim, a alternativa B também está
                    S = π 22 = 2π ≈ 6,28 > 6                                  correta.
                       2                                                      c) A distância total percorrida será a soma dos termos de uma PA, que
b) Falsa. O número –3i é o único número complexo imaginário puro                                                ⎛ 2a1 + (n − 1)r ⎞
nessa região, conforme o gráfico.                                             pode ser calculada por Sn = ⎜                      ⎟ r . Assim, temos que,
                                                                                                                ⎝       2        ⎠
c) Falsa. Não há intersecção com o eixo x (eixo real), logo não há
nenhum número real nesse semicírculo.                                         após 10 segundos, o cão terá percorrido uma distância de
d) Verdadeira. Os elementos do círculo (condição II) que são o de                    (2 ⋅ 2 + 9 ⋅ 2).10
                                                                              S10 =                     = 110 m, enquanto o gato terá percorrido
menor e o de maior módulo podem ser obtidos geometricamente                                   2
traçando a reta que liga o centro (2,–3) à origem:
                                                                                                        (2 ⋅ 3 + 9 ⋅ 1).10
                                                                              uma distância de S10 =                       = 75 m. Assim, após os 10
                       y                                                                                         2
                                                                              segundos o cão terá percorrido exatamente 110 m = 35 + 75, ou seja,
                                                                              ele alcançará o gato. Assim, a alternativa C também está correta.
                                                                              d) No oitavo segundo, levando em consideração que o gato percorre
                                                                              distâncias em PA:
                                    2                                                             an = a1 + (n − 1) ⋅ r ⇒ a8 = 3 + 7 = 10
                                                                              Assim, o gato percorre 10 m, e não 14. Assim, a alternativa D está
                                                    x                         incorreta.
                            A
                                                                                  QUESTÃO 35
                                                                              Sejam as seqüências de números reais (-3, x, y,…) que é uma
                                                                              progressão aritmética de razão r, e (x, y, 24,...) que é uma progressão
                                                                              geométrica de razão q.
               –3                                                             O valor de
                                                                                         r
                                                                                            pertence ao intervalo:
                                                                                         q
                                                                                 ⎡ 1⎡                ⎡1 ⎡
                                                                              a) ⎢0, ⎢            b) ⎢ ,1⎢            c) [1,2[              d) [ 2,3[
                                        B                                        ⎣ 2⎣                ⎣2 ⎣
                                                                                  Resolução                                   Alternativa C
                                                                              Por hipótese, temos:
                                                                              PA ( -3,-3+r,-3+2r,...)
O ponto A é o de menor módulo e o ponto B é o de maior módulo. A              PG ( x, xq, xq2,...)
                                                                              Assim, temos as seguintes igualdades:
reta AB tem equação:
                                                                                         x = – 3 + r; y= – 3 + 2r; y = xq; 24 = yq = (– 3 + 2r)q
                   0    0       1                                             Assim,
                                                                              24=(– 3 + 2r).q      (1)
                   2 −3 1 = 0 ⇒ 3 x + 2y = 0                                  – 3 + 2r = (– 3 + r)q           (2)
                   x y 1                                                              −3 + r −3 + 2r                                             9
                                                                              Logo,          =        ⇔ 4r 2 − 36r + 81= 0 ⇔ (2r − 9)2 = 0 ⇔ r =
Assim, o elemento z de menor módulo possível, cujo afixo                             −3 + 2r     24                                              2
corresponde ao ponto A, pertence não só círculo, mas de fato ao
semicírculo considerado, e também pertence á reta 3x + 2y = 0.                Substituindo em (1), temos:
                                                                                                 9
                                                                                   24 = ( −3 + 2. ). q ⇔ 24 = 6q ⇔ q = 4 .
    QUESTÃO 34                                                                                   2
Um cão e um gato, ambos parados, observam-se a uma distância de                              9
                                                                                          r      9
35 m. No mesmo instante, em que o cão inicia uma perseguição ao               Portanto,     = 2 = = 1,125 .
gato, este parte em fuga.                                                                 q   4  8
O cão percorre 2 m no primeiro segundo, 4 m no seguinte, 6 m no
terceiro segundo e, assim, sucessivamente. O gato, apavorado,
percorre 3 m no primeiro segundo, 4 m no seguinte, 5 m no terceiro
                                                                                  QUESTÃO 36
segundo e, assim, sucessivamente.                                             Considere π = 3,14 e i = −1 e marque a alternativa correta.
Considerando que os dois animais se deslocam sempre sem                       a) Se S(x) = x2(x-a) + bx – c, onde a, b, e c são números reais
interrupção em seu movimento e numa trajetória retilínea de mesmo             positivos,    admite     duas     raízes      simétricas,   então
sentido, assinale a alternativa INCORRETA.                                                 1
a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido uma distância igual            log a + log    = co logb
                                                                                           c
àquela que o separa do gato naquele instante.
                                                                              b) O polinômio P(x) ao ser dividido por (x-1) deixa resto 6 e ao ser
b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão ainda está 35 m distante
                                                                              dividido por (x+3) deixa resto -2. Se P(x) dividido por Q(x) = x2 + 2x – 3
do gato.
                                                                              deixa resto R(x), então R(0) = 2P(-3)
c) Em dez segundos, o cão alcançará o gato.
d) No oitavo segundo, o gato percorre 14 metros.                              c) Se os números complexos 2π, 2i e i-5 são raízes do polinômio A(x)
                                                                              de coeficientes reais e termo independente nulo, então, o grau de A(x)
    Resolução                                 Alternativa D                   é, necessariamente, um número par maior do que 4
Note que a distâncias percorridas por segundo do cão e do gato são            d) Se no polinômio B(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 16 os coeficientes a, b
progressões aritméticas. Assim:                                               e c são números reais, então as possíveis raízes racionais de B(x)
Cão: (2,4,6,8,10,...)                                                         estão entre os divisores de 16, necessariamente.
Gato: (3,4,5,6,7,...)
Analisando cada uma das alternativas, temos:
                                                                                  Resolução                                       Alternativa A
a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido 2+4+6+8+10 = 30 m,             Analisando cada alternativa, temos:
enquanto o gato terá percorrido 3+4+5+6+7 = 25 m, ou seja, o cão              a) Correta: Seja S(x) = x3 − ax2 + bx − c um polinômio que admite
percorre 5 m a mais do que o gato. Como a distância entre cão e gato          duas raízes simétricas. A partir das relações de Girard:
era, inicialmente, de 35 m, após o quinto segundo essa distância será                                           −a
de 30 m. Assim, a alternativa A está correta.                                                           r1 + r2 + r3 = −
                                                                                                                    =a
b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão terá percorrido 12 m,
                                                                                                                 1
enquanto o gato também terá percorrido a mesma distância. Logo, a             Como a soma de duas raízes simétricas é zero, a terceira raiz é o
                                                                              próprio a. Assim:
                                                                          2
(19) 3251-1012
                                                                                                                                          www.elitecampinas.com.br
                                                                                              O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA

                 S(a) = a3 − aa2 + ba − c = 0 ⇒ c = ab                                     Uma pessoa fará uma viagem e em cada uma de suas malas colocou
                                                                                           um cadeado contendo um segredo formado por cinco dígitos. Cada
Aplicando logaritmo em ambos os lados:
                                                                                           dígito é escolhido dentre os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na
       c = ab ⇒ log c = log a + logb ⇒ log a − log c = − logb                              primeira mala, o segredo do cadeado começa e termina com dígito par
                                   1                                                       e os demais são dígitos consecutivos em ordem crescente. Na
                     ⇒ log a + log = co logb                                               segunda mala, o segredo do cadeado termina em dígito ímpar e
                                   c
                                                                                           apenas o 1º e 2º dígitos são iguais entre si.
b) Incorreta: Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por x2 + 2x − 3 =                       Dessa maneira, se ela esquecer:
(x – 1)(x + 3). Assim, existe um polinômio Q(x) tal que                                    a) o segredo do cadeado da primeira mala, deverá fazer no máximo
P(x) = Q(x)(x − 1)(x + 3) + R(x) .                                                          (52 x 83 ) tentativas para abri-lo.
Como o grau do polinômio divisor é 2, podemos escrever R(x) = Ax +                         b) o segredo do cadeado da segunda mala, o número máximo de
B. Pelo teorema do resto, temos:                                                           tentativas para abri-lo será de 1890.
                      P(1) = R(1) = 6 ⇒ A + B = 6                                          c) apenas os três dígitos consecutivos em ordem crescente do
                  P(−3) = R(−3) = −2 ⇒ −3A + B = −2                                        cadeado da primeira mala, ela conseguirá abri-lo com, no máximo, 8
Resolvendo o sistema, encontramos R(x) = 2x + 4.                                           tentativas.
Assim, R(0) = 4, enquanto 2.P(-3) = -4.                                                    d) apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da segunda mala,
c) Incorreta: Seja A(x) um polinômio com coeficientes reais. Pelo                          deverá tentar no máximo 10 vezes para abri-lo.
teorema das raízes complexas, se os números 2i e i – 5 são raízes de                           Resolução                                      Alternativa               C
A(x) então os números conjugados -2i e – i – 5 também são raízes.                          Pelo enunciado, temos:
Como 2π é raiz e o termo independente sempre é nulo, temos que 0                           1) Primeira mala: primeiro e último algarismos são pares, os outros
também é raiz, e o grau de A(x) é, no mínimo, 6. Entretanto, não                           são dígitos consecutivos em ordem crescentes.
podemos afirmar nada com relação às multiplicidades de cada raiz,                          Nesse caso, note que temos 5 possibilidades para o primeiro
muito menos que as únicas raízes são essas; logo, não podemos                              algarismo, 5 possibilidades para o último, 8 possibilidades para o
garantir que o grau sempre será par.                                                       segundo (uma vez que o segundo número nunca pode ser 8 ou 9) e
d) Incorreta: Observe que uma condição fundamental para que o                              apenas 1 possibilidade para o terceiro e quarto números, uma vez que
teorema das raízes racionais funcione é que TODOS os coeficientes                          eles devem estar em ordem crescente. Assim, o total de possibilidades
do polinômio sejam inteiros. Como sabemos que os coeficientes a, b e                       é dado por 52.8 = 200.
c são reais (não necessariamente inteiros), não podemos afirmar que                        Assim, a alternativa (a) está incorreta, uma vez que 200 < 52.83. Além
as possíveis raízes racionais de B(x)=x4+ax3+bx2+cx+16 estão entre                         disso, note que existem apenas 8 seqüências de três números
os divisores de 16.                                                                        consecutivos montada a partir dos números 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9, de
                                                                                           modo que se ela se esquecer dos três dígitos consecutivos então ela
    QUESTÃO 37                                                                             precisará apenas de 8 tentativas para abrir a mala.
                                                                                           2) Segunda mala: último algarismo ímpar, com apenas o primeiro e
                                                              20
                                       ⎛1     3⎞                                           segundo algarismos iguais entre si.
Sabendo-se que x0 = −i , x1 = 3 e x2 = ⎜ + i   ⎟                   são raízes de
                                       ⎜2    2 ⎟                                           Nesse caso, existem 5 possibilidades para o último número, 9
                                       ⎝       ⎠                                           possibilidades para o primeiro (que não pode ser igual ao último, uma
P ( x ) = x 6 − 3 x 5 + x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 − ax + 3 , onde i é a unidade imaginária       vez que apenas o primeiro e o segundo são iguais), 1 possibilidade
e a é número real, marque a alternativa FALSA.                                             para o segundo (ele deve ser igual ao primeiro), 8 possibilidades para
a) O número a também é raiz de P ( x ) .                                                   o terceiro, que não pode ser igual ao último nem ao primeiro/segundo;
                                                                                           e 7 possibilidades para o quarto, que não pode ser igual a nenhum dos
b) A soma das raízes reais de P ( x ) é um número par.                                     anteriores. Assim, o total de possibilidades é dado por 5.9.1.8.7 =
c) O produto das raízes imaginárias de P ( x ) é diferente de a                            2520.
d) P ( x ) é divisível por x 2 + x + 1 .                                                   Assim, a alternativa (b) está incorreta, pois 2520 > 1890. Além disso,
                                                                                           note que, caso ela esqueça apenas os dois primeiros dígitos do
    Resolução                                        Alternativa                 C         cadeado da segunda mala, então ela não precisará fazer 10 tentativas
Seja P(x) = x6 − 3x5 + x 4 − 4x3 + 3x2 − ax + 3 um polinômio tal                           para abrir a mala, uma vez que os outros algarismos devem ser
                                                                                           diferentes dos dois primeiros. Assim, na pior das hipóteses, ela deverá
que x0 = -i é raiz. Como a é real, então todos os coeficientes de P(x)                     fazer 7 tentativas, o que torna a alternativa (d) incorreta.
são reais, daí segue que i também é raiz de P.
P(i) = i6 − 3i5 + i4 − 4i3 + 3i2 − ai + 3 = −1 − 3i + 1 + 4i − 3 − ai + 3 = 0
                                                                                               QUESTÃO 39
                               ⇒ i − ai = 0 ⇒ a = 1                                        Uma pessoa deve escolher (não importando a ordem) sete, dentre dez
Alternativa A (correta):                                                                   cartões numerados de 1 a 10, cada um deles contendo uma pergunta
Calculando P(1), temos: P(1) = 1 − 3 + 1 − 4 + 3 − 1 + 3 = 0                               diferente. Se nessa escolha houver, pelo menos três, dos cinco
Assim, a = 1 é raiz real de P(x).                                                          primeiros cartões, ela terá n formas de escolha.
Alternativa B (correta):                                                                   Sendo assim, pode-se afirmar que n é um número
As raízes reais de P(x) são 1 e 3, uma vez que temos 6 raízes, sendo                       a) quadrado perfeito.                b) múltiplo de 11.
                                                                                           c) ímpar.                            d) primo.
4 delas complexas ( x0 , x0 , x2 , x2 ), logo a soma das raízes reais de P é
um número par.                                                                                 Resolução                                    Alternativa B
Alternativa C (FALSA):                                                                     De acordo com o enunciado, a pessoa deve escolher 3,4 ou 5 cartôes
                          20                                                               dos 5 primeiros (pelo menos três) e o que falta para completar os 7
          ⎛1    3⎞                   ⎛ 20π ⎞       ⎛ 2π ⎞   1  3                           cartões dos 5 restantes. Como a ordem não importa, temos:
Seja x2 = ⎜ + i   ⎟            = cis ⎜       = cis ⎜      =− +   i.
          ⎜2
          ⎝     2 ⎟
                  ⎠                  ⎝  3 ⎟⎠       ⎝ 3 ⎟⎠   2  2                           ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞
                                                                                           ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 110 , possibilidades para escolher os
                                                                                           ⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎝ 2 ⎠
                               1   3
Logo, o número x2 = −            −   i também é raiz de P(x).                              cartões (que é um múltiplo de 11).
                               2   2
                                        ⎛1 3⎞
                                                                                               QUESTÃO 40
                             2    2
Assim, x0 ⋅ x0 ⋅ x2 ⋅ x2 = x0 ⋅ x2 = 1⋅ ⎜ + ⎟ = 1 = a
                                        ⎝4 4⎠                                              Analise as proposições seguintes.
Alternativa D (correta):                                                                     (02)     Se     1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + … + n(n !) = (n + 1)!− 1 ,   com
Observando que as raízes de x2 + x + 1 são dadas por x2 e x2 , temos                                    n ∈ {1,2,3,4,…} ,        então,        o        valor      de
que P(x) é divisível por x2 + x + 1.                                                                    1(1!) + 2(2!) + + 10(10!) + 1
                                                                                                                                      é igual a 18.
                                                                                                          8!(1 + 2 + 3 + 4 + + 10)
    QUESTÃO 38
                                                                                       3
(19) 3251-1012
                                                                                                                                         www.elitecampinas.com.br
                                                                                          O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA

                          p
                              ⎛ m ⎞                                                n                        4

  (04)      O valor de   ∑ ⎜ m − 1⎟   é p2 .                                      ∑a          2j   b j 1 = ∑ a2 j ⋅ b j 1 ⇔ n = 4 e portanto não podemos afirmar que c21
                     m =1 ⎝   ⎠                                                    j =1                     j =1
                                                                                          4
  (08)   Uma caixa (I) contém 6 garrafas com rótulo e duas
         garrafas sem rótulo; outra caixa (II) contém 4 garrafas
                                                                                  =    ∑a
                                                                                       j =1
                                                                                                   2j   ⋅ bj1
         com rótulo e uma sem rótulo. Uma caixa é selecionada
                                                                                  Obs: O produto escalar entre duas n-uplas é definido por:
         aleatoriamente e dela uma garrafa é retirada. A
                                                                                                       u=(x1,x2,...,xn) e v=(y1,y2,...,yn),
         probabilidade dessa garrafa retirada ser sem rótulo é de
         22,5%.                                                                            u,v = ( x1, x2 ,..., xn ),( y1, y 2 ,..., y n ) = x1y1+x2y2+...+xnyn.
   (16)  Dois dígitos distintos são selecionados aleatoriamente                   II) A proposição é verdadeira, pois usando o fato de que det(A) =
         dentre os dígitos de 1 a 9. Se a soma entre eles é par, a                det(At), det(AB)=detA.detB e det(kA)=kndetA, onde n é a ordem da
                                                   5                              matriz, temos:
         probabilidade de ambos serem ímpares é .                                 AYB=2Bt ⇒ det(AYB)=det(2Bt) ⇔ detA.detY.detB=2ndetB,
                                                   8
A soma das proposições verdadeiras é igual a:                                                     2n
                                                                                  Logo, det Y =
a)14            b)24              c) 26             d) 30                                        det A
    Resolução                                         Alternativa C               Como det A =
                                                                                                    1
                                                                                                        =
                                                                                                          1
                                                                                                             = 4 temos:
(02) A proposição é verdadeira, pois por hipótese:                                               det A−1 1
                                                                                                           4
         1(1)!+ 2(2)!+ ... + 10(10)!+ 1 11!− 1 + 1 11!     990
                                       =          =      =     = 18                         2n     2n
               8!(1+ 2 + ... + 10)       8!(55)     8!.55 55                      det Y =        =    = 2n − 2
                                                                                           det A   4
(04) A proposição é falsa, pois a soma pedida é a soma das diagonais
                                                                                  III) A proposição é verdadeira:
do Triângulo Aritmético de Pascal. Como a soma das diagonais é dada
                                                                                  Por indução, temos:
      p
          ⎛ m ⎞ ⎛ p + 1⎞
por: ∑ ⎜         ⎟=⎜      ⎟                                                                                 ⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤
     m =1 ⎝ m − 1⎠ ⎝ p − 1⎠                                                       n=2: A2 = ⎢                    ⎥.⎢    ⎥=⎢     ⎥
                                                                                                            ⎣1 1⎦ ⎣1 1⎦ ⎣ 2 1⎦
                     ⎛ p + 1⎞
                            ⎟ = ( p + 1).p ≠ p ;
                                              2
Temos portanto que ⎜                                                                                                        ⎡ 1 0⎤
                     ⎝ p − 1⎠                                                     Assumindo para n=k:                  Ak = ⎢    ⎥ , temos:
(08) A proposição é verdadeira, pois o evento desejado ocorre quando                                                        ⎣ k 1⎦
escolhendo a caixa (I) retiramos uma garrafa sem rótulo ou                                       ⎡ 1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1  0⎤   k +1
escolhendo a caixa (II) retiramos uma garrafa sem rótulo. Podemos                 n=k+1: Ak .A = ⎢     ⎥.⎢    ⎥=⎢     ⎥=A
                                                                                                 ⎣ k 1⎦ ⎣1 1⎦ ⎣k + 1 1⎦
calcular    a    probabilidade          deste    evento ocorrer   de
     1 2 1 1 9
 P= . + . =         = 22,5%
     2 8 2 5 40                                                                               QUESTÃO 42
(16) A proposição é verdadeira, pois se a soma dos dígitos é par,                 Um suspeito de assaltar dois caixas de um supermercado foi intimado
temos as seguintes possibilidades:                                                a prestar depoimento e fez a seguinte declaração:
Par e Par ou Impar e Impar.                                                       “No primeiro caixa foram roubados dois pacotes de notas de 20 reais,
De 1 a 9, temos 4 números pares e 5 ímpares.                                      cinco pacotes de notas de 50 reais e um pacote de notas de 100 reais,
O número de eventos Par e Par é dado por: 4.3=12 e o número de                    totalizando 100 mil reais. No segundo caixa, foram roubados um
eventos Ímpar e Ímpar é 5.4 = 20.                                                 pacote de notas de 20 reais e três pacotes de notas de 100 reais, num
Assim, o espaço amostral é 32 e o número de eventos de interesse é                total de 50 mil reais. Os pacotes de notas de mesmo valor tinham a
20                                                                                mesma quantidade de notas.
                         20 5                                                     Cada pacote de notas de 100 reais tinha igual valor de cada pacote de
Logo a probabilidade é       = .                                                  notas de 50 reais.”
                         32 8                                                     Diante do depoimento do suspeito, pode-se concluir que:
Assim, a soma pedida é 26.                                                        a) ele pode ter falado a verdade.
                                                                                  b) ele falou, necessariamente a verdade.
    QUESTÃO 41                                                                    c) havia, necessariamente, 940 notas em cada pacote de notas de 20
Analise cada proposição classificando-a como VERDADEIRA ou                        reais.
FALSA.                                                                            d) ele mentiu, necessariamente.
I) Sejam as matrizes A = (aij)3xn e B = (bjk)nx4 (n ≥ 1) então a matriz C =                   Resolução                                       Alternativa            A
A·B é tal que o elemento c21 = ∑ a2 j ⋅ b j 1                                     De acordo com o enunciado, podemos formar o seguinte sistema:
II) A e B são matrizes inversíveis de ordem n. Se AYB = 2Bt, onde Bt é            ⎧2.20 x + 5.50 y + 1.100z = 100 000
a transposta de B, o determinante da inversa de A é igual a ¼ e o                 ⎪
                                                                                  ⎨      1.20 x + 3.100 z = 50 000       onde x é o número de pacotes
determinante de B é igual a ½, então o determinante da matriz Y é                 ⎪
igual a 2n-2                                                                      ⎩                y = 2z
                       ⎡1 0 ⎤         n  ⎡ 1 0⎤       *
                                                                                  com notas de 20 reais, y é o número de pacotes com notas de 50 reais
III) Seja a matriz A = ⎢    ⎥ então A = ⎢ n 1⎥ , n ∈ N                            e z é o número de pacotes com notas de 100 reais.
                       ⎣1 1⎦             ⎣     ⎦                                  Substituindo a terceira equação na primeira, temos:
É correto afirmar que são verdadeiras
a) todas as proposições             b) apenas II e III.
                                                                                                           ⎧40 x + 600z = 100 000
                                                                                                           ⎨
c) apenas I e II.                   d) apenas I e III.                                                     ⎩20 x + 300z = 50 000
    Resolução                                         Alternativa B               Logo, como o sistema é possível (embora indeterminado), o assaltante
I) A proposição é falsa, pois para obter um elemento cij do produto de            pode ter falado a verdade.
duas matrizes usamos o produto escalar entre os elementos da linha i
da primeira matriz e os elementos da coluna j da segunda matriz, já                           QUESTÃO 43
que cada fila forma uma n-upla ordenada com os seus elementos.                    A circunferência (λ ) x2 + y2 – 2x – 2y + k = 0 passa pelo ponto A(0,1).
Assim, usando as hipóteses da proposição:
                                                                                  Sabendo-se que o ponto P de (λ ) mais próximo da origem coincide
C = (AB)3x4 tem como elemento 21:
                                                  n                               com o baricentro do triângulo MNQ, onde M(0,k), N(2k,0) e Q(xQ,yQ) é
c21= a21b11+a22b21+a23b31+a24b41+...+ a2nbn1= ∑ a2 j b j 1 .                      correto afirmar que a área do triângulo MNQ é um número do intervalo
                                                  j =1
                                                                                     ⎡ 3⎡               ⎡3 ⎡               ⎡ 5⎡              ⎡5 ⎡
                                                                                  a) ⎢1, ⎢          b) ⎢ ,2⎢            c) ⎢2, ⎢         d) ⎢ ,3⎢
                                                                                     ⎣  2⎣              ⎣ 2 ⎣              ⎣  2⎣             ⎣2 ⎣


                                                                              4
(19) 3251-1012
                                                                                                                              www.elitecampinas.com.br
                                                                                O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA

    Resolução                                    Alternativa B                   Resolução                                        Alternativa A
Considerando que o ponto (0,1) está na circunferência, temos 02 + 12         (I) Verdadeira. Se P pertence simultaneamente à bissetriz dos
– 2.0 – 2.1 + k = 0, logo k = 1.                                             quadrantes ímpares (reta y = x) e à bissetriz dos quadrantes pares
Assim, a circunferência em questão é descrita pela equação: (x – 1)2 +                                                    ⎧y = x
(y – 1)2 = 1.                                                                (reta y = –x), então ele satisfaz o sistema ⎨         . Logo, P = (0,0).
O ponto P da circunferência mais próximo da origem pode ser obtido                                                        ⎩y = − x
geometricamente ao construirmos a reta que passa pela origem (0,0) e         Assim, temos o gráfico a seguir: a reta y = k é paralela ao eixo x,
pelo centro (1,1) da circunferência.                                         passando pelo ponto (0,k). Assim, o ponto S, simétrico do ponto P em
                  y                                                          relação         a        esta          reta,       é        o         ponto
                                                                             S = (0,2k), cuja soma das coordenadas é igual a 2k.
                                                                                                                  y

                                                                                                                  S(0,2k)
                      M
                                                                                                                                      y=k
                          P         N
                                                                                                              k

                                                  x
A partir do gráfico, temos que a distância da origem ao ponto P é dada                                            P(0,0)                 x
por 2 − 1 . Como este ponto está na reta x = y, temos que esta
distância é a diagonal de um quadrado. Assim:                                (II) Falsa. Se y 2 − 3 y ≤ x < 0 ⇒ y 2 − 3 y < 0 .
                    2− 2                                                     Graficamente, a solução desta inequação em y é:
 2 −1= x 2 ⇒ x =
                       2
                    ⎛2− 2 2− 2⎞
Portanto, o ponto P ⎜
                    ⎜ 2
                            ,       ⎟ é o baricentro do triângulo MNQ.
                                                                                                 +                                +
                    ⎝            2 ⎟⎠
Podemos obter as coordenadas do ponto Q, a partir das coordenadas
do baricentro:
                                                                                                          0
                                                                                                                  –           3

                  2 − 2 2 + xQ        2 − 2 1 + yQ                                                              0<y <3
                          =        e          =
                     2        3          2        3                          Como y é um número inteiro, os únicos valores possíveis nesse
           ⎛2−3 2 4−3 2⎞                                                     intervalo são y = 1 ou y = 2.
Assim Q = ⎜         ,         ⎟.                                                 ⎧
                                                                                 ⎪ y = 1 ⇒ y − 3 y = 1 − 3 ⋅ 1 = −2
                                                                                            2         2
           ⎜   2         2    ⎟                                              Se ⎨                                   .
           ⎝                  ⎠
                                                                                 ⎪ y = 2 ⇒ y − 3y = 2 − 3 ⋅ 2 = −2
                                                                                             2          2
                                                                                 ⎩
O triângulo MNQ tem como vértices os pontos M(0,1), N(2,0) e                 Nesse caso, y 2 − 3 y ≤ x < 0 ⇒ −2 ≤ x < 0 ⇒ x=–2 ou x=–1
Q(xQ,yQ), cuja área é dada por:                                              Logo, existem quatro pontos P(x,y) que atendem às condições: (–1,1),
           0     1 1                                                         (–1,2), (–2,1) e (–2,2).
         1           1                                                       (III) Verdadeira. A distância de um ponto P(x,y) até o eixo das
AMNQ =     2    0 1 = xQ + 2y Q − 2 .
         2           2                                                       abscissas é |y|, enquanto a distância desse mesmo ponto até o ponto
           xQ   yQ 1
                                                                             Q(0,6) é dada por ( x − 0)2 + ( y − 6)2 . Assim, o lugar geométrico em
Substituindo as coordenadas de Q temos:                                      questão é:
                                                                                    1 2                       x 2 + y 2 − 12y + 36
          1 2−3 2            1   9 2                                         | y |=     x + ( y − 6)2 ⇒ y 2 =                      ⇒
AMNQ ==           +4−3 2 −2 = 3−                                                    2                                    4
          2   2              2    2
                                                                                                                        x2
Aproximando     2 = 1, 4 , temos:                                            3 y 2 + 12y − 36 − x 2 = 0 ⇒ y 2 + 4 y −      = 12
                                                                                                                         3
     1                                                                       Completando quadrados nessa equação, temos:
AMNQ= 3 − 6,3 = 1,65 , que está entre 1,5 e 2.
     2                                                                                           x2               ( y + 2)2 x 2
                                                                             y 2 + 2 ⋅ y ⋅ +22 −    = 12 + 22 ⇒            −     =1
                                                                                                 3                    16     48
    QUESTÃO 44                                                               Esta é a equação de uma hipérbole centrada no ponto (0,–2), com as
Classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa cada afirmativa abaixo            medidas a 2 = 16 e b2 = 48 .
sobre o ponto P(x,y) no plano cartesiano.                                    Logo, c 2 = a 2 + b 2 = 16 + 48 = 64 ⇒ c = 8 .
( ) Se o ponto P pertence simultaneamente às bissetrizes dos
                                                                                                                                    c 8
quadrantes ímpares e dos quadrantes pares, então o ponto simétrico           A excentricidade da elipse é então dada por: e =        = =2
de P em relação à reta y = k (k ∈ *) tem a soma das coordenadas                                                                     a 4
igual a 2k.
( ) Sendo {x,y} ⊂ , então existem apenas dois pontos P(x,y) que                  QUESTÃO 45
                                                                             Considere as curvas, dadas pelas equações
                        ⎧x < 0
                        ⎪                                                    (I) 16x2 + 4y2 + 128x – 24y + 228 = 0
atendem às condições ⎨ 2
                        ⎪y − 3y ≤ x
                        ⎩                                                    (II) y = 7 - |x|
                                                                             (III) y2 – 6y – x + 5 = 0
( ) Os pontos P(x,y) tais que a sua distância ao eixo das abscissas é
                                                                             Analise cada afirmação a seguir, classificando-a em VERDADEIRA ou
igual à metade da distância de P ao ponto Q(0,6) formam uma
                                                                             FALSA
hipérbole de excentricidade igual a 2.
Sobre as afirmativas tem-se
                                                                             (01) O gráfico de (I) é representado por uma elipse, de (II) por duas
a) apenas uma falsa.
                                                                             retas e de (III) por uma parábola.
b) apenas duas falsas.
                                                                             (02) O centro de (I) é um ponto de (II) e coincide com o vértice de (III).
c) todas falsas.
                                                                             (04) A soma das coordenadas do foco de (III) é um número menor que
d) todas verdadeiras.
                                                                             -1


                                                                         5
(19) 3251-1012
                                                                                                                                             www.elitecampinas.com.br
                                                                                      O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA

                                        π                                                                                                ⎛    3⎞                  3
(08) A excentricidade de (I) é igual a cos                                        b) Se a função s: D               é tal que s( x ) = f ⎜ x + ⎟ , então s(0) = −
                                        6                                                                                                ⎝    2⎠                  2
A soma dos itens verdadeiros é um número do intervalo                             c) O domínio da função r: E     tal que r(x)= f(x)-3 é o intervalo real [-6
a)[1,3]          b)[4,7]          c) [8,11]         d) [12,15]
                                                                                  , 6]
    Resolução                                Alternativa C                        d) A função r: E   tal que r(x)= f(x) - 3 NÃO possui raízes em
(01) Falso
                                            ( x + 4)2 ( y − 3)2                        Resolução                                               Alternativa D
(I) A equação pode ser reescrita como                +           = 1 , que        Analisando cada item:
                                                4         16
                                                                                  a) Correta: O gráfico da função h é o mesmo da função f deslocado
representa uma elipse com eixo maior vertical e centro no ponto C = (-            3/2 no eixo y.
4,3)                                                                              Analisando os pontos de máximos e mínimos de f, podemos observar
(II) Da definição de módulo, temos:                                               que no intervalo [-3,3/2] a função é descrita por f(x) = - x, o que implica
 ⎧ y = 7 − x, se x ≥ 0                                                            que seus pontos de máximo e mínimo são respectivamente 3 e -3/2.
 ⎨                     , ou seja, tal equação representa duas semi-               Assim, o ponto de máximo da função h é 3 + 3/2 = 9/2 e o ponto de
 ⎩ y = 7 + x, se x < 0
retas no plano cartesiano e não duas retas.                                                                                                         ⎡ 9⎤
                                                                                  mínimo é -3/2 + 3/2 = 0 e portanto a imagem de h é dada por ⎢0, ⎥ .
(III)   Essa     última    equação     pode     ser    reescrita     como                                                                           ⎣ 2⎦
(y-3)2 = x + 4, que é uma parábola com eixo de simetria horizontal e                                      ⎛      3⎞ ⎛3⎞    3
vértice no ponto V = (-4,3)                                                       b) Correta: s(0) = f ⎜ 0 + ⎟ = f ⎜ ⎟ = −
                                                                                                          ⎝      2⎠ ⎝2⎠    2
(02) Verdadeiro
Do item anterior, vemos que P=(-4,3) é o centro da elipse e o vértice             c) O domínio de r é o mesmo domínio de f. Determinando os valores
da parábola. Além disso, P pertence ao gráfico de (II) pois x = -4 ⇒ y            de a:
= 7-|-4| = 3                                                                      Temos que o coeficiente angular no intervalo [-a,-3] é dado por
(04) Falso                                                                                               ⎛ 3⎞
                                                                                                     0 − ⎜− ⎟
                         1                                                             3−0               ⎝ 2⎠ ⇒ a −5 = 3 ⋅ 2 ⇒ a = 6 .
(y – 3)2 = x + 4 ⇒ p =     , onde p é o parâmetro da parábola (distância                          =
                         2                                                         ( −3 ) − ( −5 ) ( −5 ) − ( −a )      2 3
do foco a reta diretriz).                                                         Portanto, o domínio de f e de r é dado pelo intervalo real:
Sendo o vértice da parábola o ponto V = (-4,3) e dado que seu eixo de                                         [-a , a] = [-6 , 6]
simetria é horizontal obtemos o foco F por:                                       d) Incorreta: a função r: E    tal que r(x)= f(x) - 3 apresentará raiz real
                                p           7                                     para x=-3.
                       F = (−4 + ,3) = (− ,3)
                                2           2                                     Do enunciado f(-3)=3 ⇒ r(-3) = f(-3)-3= 3-3=0
                 1                                                                Logo -3 é raiz da função r.
Logo xf + yf = -
                 2
(08) Verdadeiro
                         ( x + 4)2 ( y − 3)2
Na equação da elipse              +          = 1 , o primeiro denominado
                             4        16
representa o valor de a2 (onde a é o semi-eixo maior da elipse) e o
segundo denominador representa o valor de b2 (onde b é o semi-eixo
menor da elipse). Assim: a = 4 e b = 2
Da relação fundamental da elipse a 2 = b 2 + c 2 (onde c é a metade da
distância focal), temos:
c= 2 3
                                             c
Logo a excentricidade, definida como e =       vale
                                             a
                                3       π
                                  = cos
                               2        6
Portanto, soma 02+08=10.
                                                                                       QUESTÃO 47
    QUESTÃO 46                                                                    Considere todo x ∈                 que torne possível e verdadeira a igualdade
Na figura abaixo, está representado o gráfico da função real f:[-                 log[f ( x − 1)] = log x − 2 x 2 + 1 , onde f é uma função real de A em B
                                                                                            2                 4

a,a]   , onde f(0)=0.                                                             e marque a alternativa correta.
                                                                                  a) O conjunto imagem de f é Im = + − {1}
                                                                                  b) f é uma função injetora.
                                                                                  c) Se B = + − {1} , então existe a inversa de f .
                                                                                  d) f tem domínio A = { x ∈               / | x |> 1}
                                                                                       Resolução                                                   Alternativa A
                                                                                  Observe          que            x 4 − 2 x 2 + 1 = ( x 2 − 1)2 =| x 2 − 1| ,    e    portanto,
                                                                                   log x 4 − 2 x 2 + 1 = log | x 2 − 1|
                                                                                  Pelas condições de existência do logaritmo, o logaritmando deve ser
                                                                                  positivo, portanto devemos ter
Analise as alternativas abaixo e marque a INCORRETA.                              i) | x 2 − 1|> 0 (o que acontece se e somente se x ≠ ±1 )
                                                                          3       ii) f ( x 2 − 1) > 0 .
a) O conjunto imagem da função h: A B, definida por h ( x ) = f ( x ) +
                                                                          2       Nos pontos onde isso acontece, vale:
       ⎡ 9⎤                                                                                          log[f ( x 2 − 1)] = log | x 2 − 1|⇒ f ( x 2 − 1) =| x 2 − 1| .
é Im = ⎢0, ⎥
       ⎣ 2⎦                                                                       Assim, temos que f (w ) =| w |

                                                                              6
(19) 3251-1012
                                                                                                                                                   www.elitecampinas.com.br
                                                                                        O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA

Verificando a segunda condição de existência citada, note que,                                  (gogof-1) (5/2) = g(g(f–1(5/2)))=g(g(1))=g(0)=4>0.
f (w ) =| w | , que é sempre não negativa.                                           c) Incorreta:
Esta função se anula somente quando w = 0 ou seja
                                                                                     Estudando os sinais da expressão
                                                                                                                                    [f ( x )]2     temos:
                       f ( x 2 − 1) = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1                                                                          g( x )
Logo o domínio da função f é              − {1, −1}                                  ⎧                       2
                                                                                     ⎪[f ( x )] > 0 ⇔ x ≠ − 3     ⎧g ( x ) > 0 ⇔ 1 < x < 4
                                                                                                2
Assim, o gráfico da função f deve ser:                                               ⎪                            ⎪
                                                                                     ⎨                          e ⎨g ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ou x = 4
                                         y                                           ⎪[f ( x )]2 = 0 ⇔ x = − 2    ⎪g ( x ) < 0 ⇔ x < 1 ou x > 4
                                                                                     ⎪
                                                                                     ⎩                       3    ⎩
                                                                                     A expressão não é definida para x=1 ou x=4. Assim:
                                                                                     ⎧ [f ( x )]2             2
                                                                                     ⎪            =0⇔ x=−
                                                                                     ⎪ g( x )                 3
                                                                                     ⎨
                                                                                     ⎪ [f ( x )]
                                                                                                2
                                    1                                                                                 2
                                                                                                  > 0 ⇔ x < 1 e x ≠ − ou x > 4
                                                                                     ⎪
                                                                                     ⎩ g( x )                         3
                                                                                                                                 13                          1
                              –1              1               x                      d) Incorreta: f(x) – g(x) = − x 2 +            x − 3 , cujas raízes são   e6eé
                                                                                                                                  2                          2
                                                                                                                1
                                                                                     não positiva para x ≤        ou x ≥ 6 .
a) Verdadeira: conforme o gráfico, todos os pontos não-negativos do                                             2
eixo y, exceto o 1, foram atingidos, e portanto Im(f ) = + − {1} .
b) Falsa: por exemplo, temos f ( −2) = f (2) = 2 .                                       QUESTÃO 49
c) Falsa: se fixarmos o contradomínio da função f como sendo                         Considere as funções reais
B = + − {1} , apenas a tornaremos uma função sobrejetora, mas ela                    f : R+ * → R tal que f ( x ) = x − 2
                                                                                                                             x
continuará sendo não injetora. Se não é uma função injetora, com                                                    ⎛ 1⎞
mais razão não é bijetora e, portanto, não admite inversa.                           g : R → R+ * tal que g ( x ) = ⎜ ⎟
                                                                                                                    ⎝2⎠
d) Falsa: conforme demonstrado no início, o domínio da função é
   − {1, −1} .                                                                       h : R+ * → R tal que h( x ) = − log2 x

                                                                                     e marque a alternativa correta.
      QUESTÃO 48                                                                                                                                       g( x )
As funções f:        do 1º grau e g:                  [b, +∞[ do 2º grau estão       a) O domínio da função k definida por k ( x ) =                          é o conjunto dos
                                                                                                                                                       h( x )
representadas no gráfico abaixo.                                                     números reais positivos.
                                                                                                                                  f ( x ) ⋅ h −1( x )
                                                                                     b) A função j definida por j ( x ) =                             se anula em dois pontos
                                                                                                                                    (g f )( x )
                                                                                     distintos.
                                                                                     c) A função m definida por m( x ) = −1 + (g f )( x ) não possui raiz.
                                                                                     d) Se g(h(a)) = 8 e h(g (2b )) = log3 9 , então (a − b ) é um número
                                                                                     primo.

                                                                                         Resolução                                                    Alternativa D
                                                                                     a) Falsa, pois para x = 1 , temos h(1) = 0 , e portanto a função
                                                                                                g( x )
                                                                                     k( x ) =          não está definida para x = 1. O domínio da função k seria
                                                                                                h( x )
                                                                                     R+ * − {1}
Com base nas informações acima é correto afirmar que:
a) o menor valor de b que torna a função g sobrejetora é um número                   b) Falsa.
inteiro.                                                                             Temos h(w ) = − log2 w e chamando h(w ) = x , temos:
b) (gogof-1) (5/2) > 0
                                                                                     h −1( x ) = w . Assim, x = − log2 w = − log2 h −1( x ) ⇒
     [f ( x )]
             2

c)               > 0 ⇔ {x ∈   | x < 1 ou x > 4}                                                                                ⎛ 1⎞
                                                                                                                                    x

      g( x )                                                                         log2 h −1( x ) = − x ⇒ h −1( x ) = 2− x = ⎜ ⎟ = g ( x ) .
                                                                                                                               ⎝2⎠
d) f(x)-g(x)≤0 ⇔ { x ∈        | x ≤ 0 ou x ≥ 6}
                                                                                                                                           f (x)           x −2
                                                                                                                                 ⎛ 1⎞               ⎛ 1⎞
      Resolução                                       Alternativa B                  Por outro lado, (g f )( x ) = g (f ( x )) = ⎜ ⎟               =⎜ ⎟           .
Da observação do gráfico, é possível descobrir que:                                                                              ⎝2⎠                ⎝2⎠
                                                                                                                                           x
                                    3                                                                                                 ⎛ 1⎞
                                    f (x) =
                                      x +1                                                                                 ( x − 2) ⋅ ⎜ ⎟
                                    2                                                                f ( x ) ⋅ h −1( x )              ⎝ 2 ⎠ = ( x − 2) , de modo que a
                                                                                     Logo, j ( x ) =                     =          x −2
Assim, x= -2/3 será raiz desta função.                                                                 (g f )( x )             ⎛ 1⎞               4
                                                                                                                               ⎜ ⎟
g( x ) = x 2 − 5 x + 4                                                                                                         ⎝2⎠
Assim, x=1 e x=4 serão raízes da função g, e seu ponto de mínimo                     função j se anula apenas num ponto, quando x=2
             Δ     9                                                                                                             ⎛ 1⎞
                                                                                                                                                           x −2
será y v = −    =− .                                                                 c) Falsa. Pelo item anterior, (g f )( x ) = ⎜ ⎟                              , e assim, temos
             4a    4                                                                                                             ⎝2⎠
                                      ⎧              9⎫                                                               x −2
a) Incorreta, pois a imagem de g(x)= ⎨ y ∈ R | y ≥ − ⎬ . Logo, para que                                          ⎛ 1⎞
                                      ⎩              4⎭                              m( x ) = −1 + (g f )( x ) = ⎜ ⎟ − 1 .
                                                                                                                 ⎝2⎠
g(x) seja sobrejetora, o valor mínimo de b é – 9/4, que é racional.
b) Correta, pois observando o gráfico, temos que, da função inversa,                 Resolvendo a equação m( x ) = 0 , temos
f(1)=5/2 ⇔ f–1(5/2) =1. Ainda observando o gráfico, temos:
                                                                                 7
(19) 3251-1012
                                                                                                                          www.elitecampinas.com.br
                                                                                 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA

                 ⎛ 1⎞
                      x −2
                                 ⎛ 1⎞
                                      x −2                                    educação, R$5.000,00 com o total pago à Previdência, e R$1.500,00
                 ⎜ 2 ⎟ − 1 = 0 ⇒ ⎜ 2 ⎟ = 1⇒ x = 2                             por dependente.
                 ⎝ ⎠             ⎝ ⎠                                          Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por este
Assim, a função m possui uma raiz.                                            trabalhador, no ano de 2007, foi de R$3.515,00, o número de
d) Verdadeira. Observe que g h( x ) = x para todo          x ∈ R+ *   e       dependentes considerado foi:
                                                                              a) 2            b) 3             c) 4             d) 6
 h g(w ) = w para todo w ∈ R , já que as funções g e h são funções
inversas uma da outra. Logo:                                                      Resolução                                 Alternativa C
                                                                              Seja x o total de dependentes. As deduções do imposto de renda
 ⎧8 = g (h(a )) = a ⇒ a = 8
 ⎨                                                                            desse trabalhador somam um total de:
 ⎩2 = log3 9 = h( g (2b )) = 2b ⇒ b = 1                                                             R$9400,00 + x.R$1500,00
Portanto: a − b = 8 − 1 = 7 , que é um número primo.                          O valor limite máximo (não incluído) de alguém que paga imposto com
                                                                              uma alíquota de 15% é calculado por:
                                                                                                   15%. ( 30000 ) − 2250 = 2250
    QUESTÃO 50
"A Arrecadação da CPMF, devido à ampliação de sua abrangência, e              Assim, analisemos o imposto pago, utilizando a alíquota de 27,5%:
ao aumento da alíquota, cresceu mais de 140% nos últimos anos (em                     I=27,5%. ⎡50000-(9400+1500x)⎤ -6000=3515
                                                                                               ⎣                  ⎦
bilhões de reais por ano)".
                                                                                                        9515
                                          Revista Veja - 14/03/2007                 40600 − 1500x =              = 34600 ⇒ 1500x = 6000
                                                                                                        0,275
                                                                                                                6000
                                                                                                       ⇒x=            =4
                                                                                                                1500
                                                                              Logo, o total de dependentes é 4.

                                                                                  QUESTÃO 52
                                                                              Sabendo-se que b é um número real tal que b > 1 e que a função real
                                                                                                               −x
                                                                              f:      B é tal que f(x) = 2 − b   , analise as alternativas abaixo e
                                                                              marque a FALSA.
                                                                              a) A função f admite valor mínimo.
                                                                                                  1
                                                                              b) x ≤ - 1 ⇔ 2 -      ≤ f(x) < 2
                                                                                                  b
                                                                              c) A função f é par.
                                                                              d) Se B = [0, 2[ então f é sobrejetora.
                                                                                  Resolução                                   Alternativa D
                                                                              Seja f(x) = 2 − b−|x| . Assim, f(−x) = 2 − b|− x| = 2 − b|x| = f(x) , e a
                                                                              função f é par. Logo, a alternativa (c) está correta.
Supondo que o crescimento da arrecadação representado no gráfico              Como b > 1, podemos reescrever a função como
acima é linear do ano 2005 ao ano de 2007 e que y% representa o                                         1              1
aumento da arrecadação do ano de 2005 ao ano de 2006, é correto               f(x) = 2 − b−|x| = 2 −        , onde 0 < |x| ≤ 1 .
                                                                                                       b|x|           b
afirmar que y é um número do intervalo:
a) [8, 9[         b) [9, 10[       c) [10, 11[   d) [11, 12[                  Daqui, segue que 1 ≤ f(x) ≤ 2 , de modo que f(x) admite um mínimo
                                                                              e um máximo. Além disso, fica evidente que o conjunto-imagem de f é
    Resolução                                 Alternativa B                   o intervalo [1;2], de modo que a alternativa (a) está correta, enquanto
De acordo com o gráfico, de 2005 a 2007, a arrecadação da CPMF                a alternativa (d) está incorreta.
salta de R$29,2 bilhões de reais para um valor estimado de R$34,8             Para verificar a validade da alternativa (b), note que se
bilhões.
                                                                                           1      1         1      1             1
Supondo linear o gráfico entre os anos citados, temos que a                   x ≤ −1 ⇒ |x| ≤ ⇒ − |x| ≥ − ⇒ f(x) ≥ 2 −
                                   29,2 + 34,8                                            b       b        b       b             b
arrecadação em 2006 é dada por                 =32 bilhões.                                                                  1
                                         2                                    Temos também que lim = 2 e portanto 2 − ≤ f(x) ≤ 2
O aumento de arrecadação, tomando com base o ano de 2005,                                            x →−∞                   b
                    R $32bi
corresponde a:                ≈ 1,09 . Desta forma a arrecadação
                   R $29,2bi                                                      QUESTÃO 53
aumentou cerca de 9% de 2005 para 2006.                                       Sabendo-se que a função real f: D → B definida por
Portanto y pertence ao intervalo [9, 10[                                                 x
                                                                              f(x) =           é inversível e que D e B são conjuntos os mais amplos
                                                                                      1− x
    QUESTÃO 51                                                                possíveis, é FALSO afirmar que
Considere a tabela para cálculo do imposto de renda a ser pago à              a) f é crescente para todo x tal que x < 1 ou x > 1.
Receita federal no ano de 2007 – ano base 2006 (valores                       b) a equação da assíntota horizontal de f é y = -1.
arredondados para facilitar os cálculos).                                     c) se g é tal que g(x) = |f-1(x)|, então não existe x real tal que g(x) = 1
    Rendimento para base            Alíquota    Parcela a deduzir             d) f-1(0) + f-1(-½) < 0
        de cálculo (R$)                 (%)            (R$)
         até 14.999,99                Isento             -
                                                                                  Resolução                                   Alternativa C
                                                                              a) Correta.
   De 15.000,00 a 30.000,00              15         2.250,00                  Tome x,y ≠ 1, e suponha que f(x) > f(y):
      acima de 30.000,00               27,5         6.000,00
                                                                                  x   y     x   y       x(1 − y) − y(1 − x)
Para se conhecer o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair                >    ⇒    −     >0⇒                     >0
do rendimento bruto todas as deduções a que se tem direito. Esse                 1−x 1−y   1−x 1− y       (1 − x)(1 − y)
rendimento para base de cálculo é multiplicado pela alíquota                                                   x−y
correspondente. Em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir                                             ⇒                  >0
                                                                                                          (1 − x)(1 − y)
correspondente, de acordo com a tabela acima, obtendo-se assim o
valor do imposto de renda a ser pago.                                         Se x,y < 1, temos que (1-x)(1-y) > 0. Da mesma forma, se x,y > 1,
Um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$50.000,00 teve direito         também encontramos (1-x)(1-y) > 0. Em ambos os casos temos x – y
às seguintes deduções: R$4.400,00 com o total de gastos em                    >                0                e,                  conseqüentemente,
                                                                              x > y. Assim, pela hipótese de que f(x) > f(y), f é crescente para todo x
                                                                          8
(19) 3251-1012
                                                                                                                                     www.elitecampinas.com.br
                                                                                O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA

> 1 ou x < 1. Observe que esse resultado só é válido nesse caso,
                                                                                                         a 6
quando olhamos o domínio de maneira separada. Caso contrário, f              Por Pitágoras EP =              .
não seria crescente. Assim, a alternativa (a) está correta.                                               2
b) Correta.                                                                                          3           6
                                       x     x −1    1      1                Assim cos θ =             ; senθ =    e tgθ = 2 .
Reescrevendo                    f(x) =    =        +    =      −1,                                  3           3
                                    1−x 1− x 1−x 1− x
percebemos que o gráfico de nossa função corresponde à uma                   Observando tg θ, como 1 < 2 < 3 , temos 45° < θ < 60° ;
hipérbole de assíntota vertical x = 1. Fazendo x → ±∞ , notamos que
   1                                                                         (01) VERDADEIRA: se 45° < θ < 60°                    ⇒ 90o < θ < 120o;
      − 1 → −1 , de modo que y = -1 é a assíntota horizontal de
1−x                                                                          (02) VERDADEIRA: tgθ = 2 , e como 1 < 2 < 3 , então
nossa função, o que torna a alternativa (b) correta.                         45° < θ < 60° ;
c) Incorreta.
                                                                                                                        2.tgθ     2 2
Note que se          g(x) =| f −1(x) | , existe algum ponto x tal que        (04) VERDADEIRA: tg (2θ ) =                        =      = −2 2 = −2tgθ ;
                                                                                                                       1 − tg 2θ 1 − 2
f −1(x) = −1 , uma vez que            −1 ∈ D . Assim, existe x tal que                                                               6 3 2 2 tg 2θ    2 2
           −1                                                                (08) FALSA: sen(2θ ) = 2.senθ .cosθ = 2.                 . =   ≠      =−
g(x) =| f (x) |=| −1 |= 1 , e a alternativa (c) está incorreta.                                                                     3 3   3    3       3
d) Correta.                                                                  (16) FALSA:
Seja   a    função    inversa    de   f   dada   por   −1
                                            f (x) = y , assim,                       ⎛ 3π    ⎞       1         1       1
                                                                             cossec ⎜     −θ ⎟ =             =     =       = − 3 ≠ tg 60°
     y                                            x                                  ⎝ 2     ⎠ sen ⎛ 3π    ⎞ −senθ       3
x=      ⇒ y = x(1 − y) = x − xy ⇒ y = f −1(x) =       . Desse                                      ⎜    −θ ⎟         −
   1−y                                          1+ x                                              ⎝ 2    ⎠               3
                                                                             Soma das proposições verdadeiras: 01 + 02 + 04 = 07
                                           −1
                               ⎛ 1⎞           2 = −1 <0, e a
modo, temos que f −1(0) + f −1 ⎜ − ⎟ = 0 +
                               ⎝ 2⎠        1
                                             2
                                                                                 QUESTÃO 55
                                                                             Considerando as definições e propriedades das funções
alternativa (d) está correta.
                                                                             trigonométricas, marque a alternativa correta.
                                                                             a) A função f definida por f ( x ) = sen2 x − cos2 x possui período e
    QUESTÃO 54
No cubo da figura abaixo, considere P o ponto de encontro das                imagem, respectivamente, iguais a π e ⎡0, 2 ⎤ .
                                                                                                                      ⎣     ⎦
diagonais da face ABCD e Q o ponto de encontro das diagonais da
face EFGH e θ é medida do ângulo PÊQ.                                        b) Se f e g são funções tais que f ( x ) = tgx e g ( x ) = x , sabendo-se
                                                                             que existe a função j definida por j ( x ) = (fog )( x ) , então j é periódica.
                                                                                                ⎤π π ⎡
                                                                             c) No intervalo de ⎥ , ⎢ a função h definida por h( x ) = cos 2 x é
                                                                                                ⎦4 2⎣
                                                                             decrescente.
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                                                                             d) O domínio da função g definida por g ( x ) = 3.arcsen          é
                                                                                                                                          2
                                                                                 ⎡1 ⎤
                                                                             D = ⎢ ,1⎥
                                                                                 ⎣3 ⎦
                                                                                 Resolução                                               Alternativa D
Analise as proposições seguintes.                                            a) Incorreta. Vamos transformar a diferença sen2x – cos2x numa
(01) 2θ é um ângulo maior que 90º                                            única função trigonométrica:
(02) θ é um ângulo do intervalo [45º, 60º]                                   sen 2 x − cos 2 x = 1 ⋅ sen 2 x − 1 ⋅ cos 2 x =
(04) tg 2θ = -2tg θ                                                                             1                             1
               1                                                               12 + 12 (                 ⋅ sen 2 x −              ⋅ cos 2 x) =
(08) sen 2θ =     tg2θ                                                                      2        2
               3                                                                           1 +1                          1 + 12
                                                                                                                          2

             ⎛ 3π     ⎞                                                              2            2                   π           π
(16) cossec ⎜     − θ ⎟ = tg60º                                                2(       sen2 x −    cos 2 x) = 2 (cos sen2 x − sen cos 2 x) =
             ⎝  2     ⎠                                                             2            2                    4           4
O número que representa a soma das proposições verdadeiras é                           ⎛      π⎞                        ⎛      π⎞
múltiplo de:                                                                   2 ⋅ sen⎜ 2 x − ⎟ . Logo, f ( x) = 2 ⋅ sen⎜ 2 x − ⎟
                                                                                       ⎝      4⎠                        ⎝      4⎠
a) 2               b) 3         c) 5         d) 7
    Resolução                                     Alternativa D                                 ⎛         π⎞              ⎛      π⎞
                                                                             Como − 1 ≤ sen⎜ 2 x −         ⎟ ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sen⎜ 2 x − ⎟ ≤ 1 ⇒
Do enunciado,podemos formar o triângulo PEQ a seguir:                                           ⎝         4⎠              ⎝      4⎠
                                                                                        ⎛     π⎞
                                                                             0 ≤ 2 sen⎜ 2 x − ⎟ ≤ 2 ⇒ 0 ≤ f ( x) ≤ 2 ⇒ Im( f ) = [0, 2 ]
                                                                                        ⎝     4⎠
                                                                             O gráfico da função f é:




                                      a 2
Do triângulo PEQ, temos: EQ =             ; PQ = a
                                       2


                                                                         9
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  • 2. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA MATEMÁTICA Assim, a arrecadação mensal é dada por: 1) primeiro mês: R$9000,00 QUESTÃO 31 2) segundo mês: R$16200,00 3) terceiro mês: R$32400,00 Analise as alternativas abaixo e marque a correta. 4) quarto mês: R$21600,00 a) Se B = {m ∈ N | m 2 < 40} , então o número de elementos do Total: R$79200,00 conjunto B é 6. Dividindo o total por 10000, notamos que, se cada camiseta fosse 1 1 vendida por R$7,92, o mesmo montante teria sido arrecadado. Logo, a b) Se α = + , então α ∈ [( R − Q) ∩ ( R − Z )] alternativa correta é a alternativa A. 2 −1 2 +1 c) Se c=a+b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a, necessariamente. QUESTÃO 33 d) Se A =]1, 5[ e B =] − 3, 3[ , então B − A =] − 3, 1[ . Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z1 = –x – 2i, z2 = –2i, z3 = –2 + 3i e z4 = x + yi, onde x e y são números reais Resolução Alternativa B quaisquer e i2 = –1. Analisando cada alternativa: Sobre o conjunto desses números complexos que atendem a) Observe que B = {0,1,2,3,4,5,6}, ou seja, B possui 7 elementos. simultaneamente às condições Assim, a alternativa está incorreta. I) Re( z1 ⋅ z2 ) ≤ Im( z1 ⋅ z2 ) 1 1 2 +1+ 2 −1 2 2 b) α = + = = =2 2. II) | z3 + z4 |≤ 2 2 −1 2 +1 ( )( 2 −1 2 +1) 2 −1 é correto afirmar que Assim, temos que α é um número irracional, ou seja, não é racional a) representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de nem inteiro. Assim, α ∈ (IR − Q) ∩ (IR − Z) . área. b) possui vários elementos que são números imaginários puros. c) Se c = a + b e b é divisor de a, segue que a = k.b, para algum inteiro c) possui vários elementos que são números reais. k. Assim, temos que c = k.b + b, ou seja, c = b(k+1). Portanto, o d) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que número c é múltiplo de b, o que não significa que c seja múltiplo de a. pertence à reta (r) 3x + 2y = 0 Alternativa incorreta. d) Seja A = ]1;5[ e B = ]-3;3[. Assim, B – A = {x / x está em B e x não Resolução Alternativa D está em A} = ]-3;1] ≠ ]-3;1[. Alternativa incorreta. ⎧z1 = − x + 2i ⎪ ⎨ ⇒ z1 ⋅ z2 = ( − x + 2i ) ⋅ (2i ) = −4 − 2 xi OBS: no item (a), admitimos que 0 é um número natural, embora em ⎪z2 = 2i ⎩ Análise Matemática tal número seja considerado inteiro, e não natural. A condição I então fica: QUESTÃO 32 Re( z1 ⋅ z2 ) ≤ Im( z1 ⋅ z2 ) ⇒ −4 ≤ −2 x ⇒ x ≤ 2 Um fabricante de camisetas que pretendia vender seu estoque no A condição II, por sua vez, pode ser escrita como: prazo de 4 meses, mantendo o preço de cada camiseta, obteve o | z3 + z4 |≤ 2 ⇒| z4 − ( − z3 ) |≤ 2 ⇒| z4 − (2 − 3i ) |≤ 2 seguinte resultado: - no primeiro mês, vendeu 10% de seu estoque; Observe que esta condição nos diz que os números z4 que satisfazem - no segundo, 20% do restante das mercadorias; e a esta condição são aqueles cuja distância até o número complexo (– - no terceiro, 50% do que sobrou z3) = 2 – 3i é menor ou igual a 2, ou seja, trata-se de um círculo de Ao ver que sobraram 3.600 camisetas, no quarto mês, o fabricante centro (2,–3) e raio 2. 1 No plano de Argand-Gauss, temos: reduziu o preço de cada uma em 33 % , conseguindo assim liquidar 3 y todo seu estoque e recebendo R$ 21.600,00 pelas vendas deste mês. É correto afirmar que o fabricante a) arrecadaria a mesma importância total, durante os 4 meses, se cada camiseta fosse vendida por x reais, x∈[7,8] 2 b) tinha um estoque que superava 834 dúzias de camisetas. c) no terceiro mês, vendeu uma quantidade de camisetas 200% a mais x que no segundo mês. d) no primeiro mês, recebeu mais de R$ 9.000,00 Resolução Alternativa A Seja x o total de camisetas do estoque. De acordo com o enunciado, temos que: –3 - No primeiro mês foram vendidos 10% do estoque, restando então 90%.x. - No segundo mês o total de vendas foi de 20% do restante, ou seja, sobra no estoque um total de 80%.90%.x = 72%.x. A intersecção das condições I e II será então tomar os pontos do - Ao final do terceiro mês, ele vende 50% da mercadoria que está no círculo sombreado acima que têm parte real menor ou igual a 2. Isso estoque, ou seja, sobra no estoque 50%.72%.x = 36%.x. corresponde à metade da esquerda desse círculo: Portanto, no início do quarto mês o vendedor tem 36% do seu estoque inicial disponível para vendas, num total de 3600 camisetas. Logo, y 36%.x = 3600 ⇒ x = 10000 camisetas. Observe que: 1) primeiro mês: 1000 camisetas vendidas 2) segundo mês: 1800 camisetas vendidas 2 3) terceiro mês: 3600 camisetas vendidas x 1 Para o quarto mês, ele fez uma redução de 33 % nos preços das 3 camisetas, ou seja, reduziu 1/3 do preço, conseguindo vender todas as que restavam no estoque e arrecadando R$21.600,00 por elas. Seja p o preço unitário por camiseta antes da redução de preços. Do –3 enunciado, temos: 2 2 ⋅ p ⋅ 3600 = 21600 ⇒ ⋅ p = 6 ⇒ p = 9 3 3 a) Falsa. A área desse semicírculo de raio 2 será dada por: 1
  • 3. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA 1 distância permanece igual a 35 m. Assim, a alternativa B também está S = π 22 = 2π ≈ 6,28 > 6 correta. 2 c) A distância total percorrida será a soma dos termos de uma PA, que b) Falsa. O número –3i é o único número complexo imaginário puro ⎛ 2a1 + (n − 1)r ⎞ nessa região, conforme o gráfico. pode ser calculada por Sn = ⎜ ⎟ r . Assim, temos que, ⎝ 2 ⎠ c) Falsa. Não há intersecção com o eixo x (eixo real), logo não há nenhum número real nesse semicírculo. após 10 segundos, o cão terá percorrido uma distância de d) Verdadeira. Os elementos do círculo (condição II) que são o de (2 ⋅ 2 + 9 ⋅ 2).10 S10 = = 110 m, enquanto o gato terá percorrido menor e o de maior módulo podem ser obtidos geometricamente 2 traçando a reta que liga o centro (2,–3) à origem: (2 ⋅ 3 + 9 ⋅ 1).10 uma distância de S10 = = 75 m. Assim, após os 10 y 2 segundos o cão terá percorrido exatamente 110 m = 35 + 75, ou seja, ele alcançará o gato. Assim, a alternativa C também está correta. d) No oitavo segundo, levando em consideração que o gato percorre distâncias em PA: 2 an = a1 + (n − 1) ⋅ r ⇒ a8 = 3 + 7 = 10 Assim, o gato percorre 10 m, e não 14. Assim, a alternativa D está x incorreta. A QUESTÃO 35 Sejam as seqüências de números reais (-3, x, y,…) que é uma progressão aritmética de razão r, e (x, y, 24,...) que é uma progressão geométrica de razão q. –3 O valor de r pertence ao intervalo: q ⎡ 1⎡ ⎡1 ⎡ a) ⎢0, ⎢ b) ⎢ ,1⎢ c) [1,2[ d) [ 2,3[ B ⎣ 2⎣ ⎣2 ⎣ Resolução Alternativa C Por hipótese, temos: PA ( -3,-3+r,-3+2r,...) O ponto A é o de menor módulo e o ponto B é o de maior módulo. A PG ( x, xq, xq2,...) Assim, temos as seguintes igualdades: reta AB tem equação: x = – 3 + r; y= – 3 + 2r; y = xq; 24 = yq = (– 3 + 2r)q 0 0 1 Assim, 24=(– 3 + 2r).q (1) 2 −3 1 = 0 ⇒ 3 x + 2y = 0 – 3 + 2r = (– 3 + r)q (2) x y 1 −3 + r −3 + 2r 9 Logo, = ⇔ 4r 2 − 36r + 81= 0 ⇔ (2r − 9)2 = 0 ⇔ r = Assim, o elemento z de menor módulo possível, cujo afixo −3 + 2r 24 2 corresponde ao ponto A, pertence não só círculo, mas de fato ao semicírculo considerado, e também pertence á reta 3x + 2y = 0. Substituindo em (1), temos: 9 24 = ( −3 + 2. ). q ⇔ 24 = 6q ⇔ q = 4 . QUESTÃO 34 2 Um cão e um gato, ambos parados, observam-se a uma distância de 9 r 9 35 m. No mesmo instante, em que o cão inicia uma perseguição ao Portanto, = 2 = = 1,125 . gato, este parte em fuga. q 4 8 O cão percorre 2 m no primeiro segundo, 4 m no seguinte, 6 m no terceiro segundo e, assim, sucessivamente. O gato, apavorado, percorre 3 m no primeiro segundo, 4 m no seguinte, 5 m no terceiro QUESTÃO 36 segundo e, assim, sucessivamente. Considere π = 3,14 e i = −1 e marque a alternativa correta. Considerando que os dois animais se deslocam sempre sem a) Se S(x) = x2(x-a) + bx – c, onde a, b, e c são números reais interrupção em seu movimento e numa trajetória retilínea de mesmo positivos, admite duas raízes simétricas, então sentido, assinale a alternativa INCORRETA. 1 a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido uma distância igual log a + log = co logb c àquela que o separa do gato naquele instante. b) O polinômio P(x) ao ser dividido por (x-1) deixa resto 6 e ao ser b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão ainda está 35 m distante dividido por (x+3) deixa resto -2. Se P(x) dividido por Q(x) = x2 + 2x – 3 do gato. deixa resto R(x), então R(0) = 2P(-3) c) Em dez segundos, o cão alcançará o gato. d) No oitavo segundo, o gato percorre 14 metros. c) Se os números complexos 2π, 2i e i-5 são raízes do polinômio A(x) de coeficientes reais e termo independente nulo, então, o grau de A(x) Resolução Alternativa D é, necessariamente, um número par maior do que 4 Note que a distâncias percorridas por segundo do cão e do gato são d) Se no polinômio B(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 16 os coeficientes a, b progressões aritméticas. Assim: e c são números reais, então as possíveis raízes racionais de B(x) Cão: (2,4,6,8,10,...) estão entre os divisores de 16, necessariamente. Gato: (3,4,5,6,7,...) Analisando cada uma das alternativas, temos: Resolução Alternativa A a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido 2+4+6+8+10 = 30 m, Analisando cada alternativa, temos: enquanto o gato terá percorrido 3+4+5+6+7 = 25 m, ou seja, o cão a) Correta: Seja S(x) = x3 − ax2 + bx − c um polinômio que admite percorre 5 m a mais do que o gato. Como a distância entre cão e gato duas raízes simétricas. A partir das relações de Girard: era, inicialmente, de 35 m, após o quinto segundo essa distância será −a de 30 m. Assim, a alternativa A está correta. r1 + r2 + r3 = − =a b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão terá percorrido 12 m, 1 enquanto o gato também terá percorrido a mesma distância. Logo, a Como a soma de duas raízes simétricas é zero, a terceira raiz é o próprio a. Assim: 2
  • 4. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA S(a) = a3 − aa2 + ba − c = 0 ⇒ c = ab Uma pessoa fará uma viagem e em cada uma de suas malas colocou um cadeado contendo um segredo formado por cinco dígitos. Cada Aplicando logaritmo em ambos os lados: dígito é escolhido dentre os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na c = ab ⇒ log c = log a + logb ⇒ log a − log c = − logb primeira mala, o segredo do cadeado começa e termina com dígito par 1 e os demais são dígitos consecutivos em ordem crescente. Na ⇒ log a + log = co logb segunda mala, o segredo do cadeado termina em dígito ímpar e c apenas o 1º e 2º dígitos são iguais entre si. b) Incorreta: Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por x2 + 2x − 3 = Dessa maneira, se ela esquecer: (x – 1)(x + 3). Assim, existe um polinômio Q(x) tal que a) o segredo do cadeado da primeira mala, deverá fazer no máximo P(x) = Q(x)(x − 1)(x + 3) + R(x) . (52 x 83 ) tentativas para abri-lo. Como o grau do polinômio divisor é 2, podemos escrever R(x) = Ax + b) o segredo do cadeado da segunda mala, o número máximo de B. Pelo teorema do resto, temos: tentativas para abri-lo será de 1890. P(1) = R(1) = 6 ⇒ A + B = 6 c) apenas os três dígitos consecutivos em ordem crescente do P(−3) = R(−3) = −2 ⇒ −3A + B = −2 cadeado da primeira mala, ela conseguirá abri-lo com, no máximo, 8 Resolvendo o sistema, encontramos R(x) = 2x + 4. tentativas. Assim, R(0) = 4, enquanto 2.P(-3) = -4. d) apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da segunda mala, c) Incorreta: Seja A(x) um polinômio com coeficientes reais. Pelo deverá tentar no máximo 10 vezes para abri-lo. teorema das raízes complexas, se os números 2i e i – 5 são raízes de Resolução Alternativa C A(x) então os números conjugados -2i e – i – 5 também são raízes. Pelo enunciado, temos: Como 2π é raiz e o termo independente sempre é nulo, temos que 0 1) Primeira mala: primeiro e último algarismos são pares, os outros também é raiz, e o grau de A(x) é, no mínimo, 6. Entretanto, não são dígitos consecutivos em ordem crescentes. podemos afirmar nada com relação às multiplicidades de cada raiz, Nesse caso, note que temos 5 possibilidades para o primeiro muito menos que as únicas raízes são essas; logo, não podemos algarismo, 5 possibilidades para o último, 8 possibilidades para o garantir que o grau sempre será par. segundo (uma vez que o segundo número nunca pode ser 8 ou 9) e d) Incorreta: Observe que uma condição fundamental para que o apenas 1 possibilidade para o terceiro e quarto números, uma vez que teorema das raízes racionais funcione é que TODOS os coeficientes eles devem estar em ordem crescente. Assim, o total de possibilidades do polinômio sejam inteiros. Como sabemos que os coeficientes a, b e é dado por 52.8 = 200. c são reais (não necessariamente inteiros), não podemos afirmar que Assim, a alternativa (a) está incorreta, uma vez que 200 < 52.83. Além as possíveis raízes racionais de B(x)=x4+ax3+bx2+cx+16 estão entre disso, note que existem apenas 8 seqüências de três números os divisores de 16. consecutivos montada a partir dos números 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9, de modo que se ela se esquecer dos três dígitos consecutivos então ela QUESTÃO 37 precisará apenas de 8 tentativas para abrir a mala. 2) Segunda mala: último algarismo ímpar, com apenas o primeiro e 20 ⎛1 3⎞ segundo algarismos iguais entre si. Sabendo-se que x0 = −i , x1 = 3 e x2 = ⎜ + i ⎟ são raízes de ⎜2 2 ⎟ Nesse caso, existem 5 possibilidades para o último número, 9 ⎝ ⎠ possibilidades para o primeiro (que não pode ser igual ao último, uma P ( x ) = x 6 − 3 x 5 + x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 − ax + 3 , onde i é a unidade imaginária vez que apenas o primeiro e o segundo são iguais), 1 possibilidade e a é número real, marque a alternativa FALSA. para o segundo (ele deve ser igual ao primeiro), 8 possibilidades para a) O número a também é raiz de P ( x ) . o terceiro, que não pode ser igual ao último nem ao primeiro/segundo; e 7 possibilidades para o quarto, que não pode ser igual a nenhum dos b) A soma das raízes reais de P ( x ) é um número par. anteriores. Assim, o total de possibilidades é dado por 5.9.1.8.7 = c) O produto das raízes imaginárias de P ( x ) é diferente de a 2520. d) P ( x ) é divisível por x 2 + x + 1 . Assim, a alternativa (b) está incorreta, pois 2520 > 1890. Além disso, note que, caso ela esqueça apenas os dois primeiros dígitos do Resolução Alternativa C cadeado da segunda mala, então ela não precisará fazer 10 tentativas Seja P(x) = x6 − 3x5 + x 4 − 4x3 + 3x2 − ax + 3 um polinômio tal para abrir a mala, uma vez que os outros algarismos devem ser diferentes dos dois primeiros. Assim, na pior das hipóteses, ela deverá que x0 = -i é raiz. Como a é real, então todos os coeficientes de P(x) fazer 7 tentativas, o que torna a alternativa (d) incorreta. são reais, daí segue que i também é raiz de P. P(i) = i6 − 3i5 + i4 − 4i3 + 3i2 − ai + 3 = −1 − 3i + 1 + 4i − 3 − ai + 3 = 0 QUESTÃO 39 ⇒ i − ai = 0 ⇒ a = 1 Uma pessoa deve escolher (não importando a ordem) sete, dentre dez Alternativa A (correta): cartões numerados de 1 a 10, cada um deles contendo uma pergunta Calculando P(1), temos: P(1) = 1 − 3 + 1 − 4 + 3 − 1 + 3 = 0 diferente. Se nessa escolha houver, pelo menos três, dos cinco Assim, a = 1 é raiz real de P(x). primeiros cartões, ela terá n formas de escolha. Alternativa B (correta): Sendo assim, pode-se afirmar que n é um número As raízes reais de P(x) são 1 e 3, uma vez que temos 6 raízes, sendo a) quadrado perfeito. b) múltiplo de 11. c) ímpar. d) primo. 4 delas complexas ( x0 , x0 , x2 , x2 ), logo a soma das raízes reais de P é um número par. Resolução Alternativa B Alternativa C (FALSA): De acordo com o enunciado, a pessoa deve escolher 3,4 ou 5 cartôes 20 dos 5 primeiros (pelo menos três) e o que falta para completar os 7 ⎛1 3⎞ ⎛ 20π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 1 3 cartões dos 5 restantes. Como a ordem não importa, temos: Seja x2 = ⎜ + i ⎟ = cis ⎜ = cis ⎜ =− + i. ⎜2 ⎝ 2 ⎟ ⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ 2 2 ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 110 , possibilidades para escolher os ⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎝ 2 ⎠ 1 3 Logo, o número x2 = − − i também é raiz de P(x). cartões (que é um múltiplo de 11). 2 2 ⎛1 3⎞ QUESTÃO 40 2 2 Assim, x0 ⋅ x0 ⋅ x2 ⋅ x2 = x0 ⋅ x2 = 1⋅ ⎜ + ⎟ = 1 = a ⎝4 4⎠ Analise as proposições seguintes. Alternativa D (correta): (02) Se 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + … + n(n !) = (n + 1)!− 1 , com Observando que as raízes de x2 + x + 1 são dadas por x2 e x2 , temos n ∈ {1,2,3,4,…} , então, o valor de que P(x) é divisível por x2 + x + 1. 1(1!) + 2(2!) + + 10(10!) + 1 é igual a 18. 8!(1 + 2 + 3 + 4 + + 10) QUESTÃO 38 3
  • 5. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA p ⎛ m ⎞ n 4 (04) O valor de ∑ ⎜ m − 1⎟ é p2 . ∑a 2j b j 1 = ∑ a2 j ⋅ b j 1 ⇔ n = 4 e portanto não podemos afirmar que c21 m =1 ⎝ ⎠ j =1 j =1 4 (08) Uma caixa (I) contém 6 garrafas com rótulo e duas garrafas sem rótulo; outra caixa (II) contém 4 garrafas = ∑a j =1 2j ⋅ bj1 com rótulo e uma sem rótulo. Uma caixa é selecionada Obs: O produto escalar entre duas n-uplas é definido por: aleatoriamente e dela uma garrafa é retirada. A u=(x1,x2,...,xn) e v=(y1,y2,...,yn), probabilidade dessa garrafa retirada ser sem rótulo é de 22,5%. u,v = ( x1, x2 ,..., xn ),( y1, y 2 ,..., y n ) = x1y1+x2y2+...+xnyn. (16) Dois dígitos distintos são selecionados aleatoriamente II) A proposição é verdadeira, pois usando o fato de que det(A) = dentre os dígitos de 1 a 9. Se a soma entre eles é par, a det(At), det(AB)=detA.detB e det(kA)=kndetA, onde n é a ordem da 5 matriz, temos: probabilidade de ambos serem ímpares é . AYB=2Bt ⇒ det(AYB)=det(2Bt) ⇔ detA.detY.detB=2ndetB, 8 A soma das proposições verdadeiras é igual a: 2n Logo, det Y = a)14 b)24 c) 26 d) 30 det A Resolução Alternativa C Como det A = 1 = 1 = 4 temos: (02) A proposição é verdadeira, pois por hipótese: det A−1 1 4 1(1)!+ 2(2)!+ ... + 10(10)!+ 1 11!− 1 + 1 11! 990 = = = = 18 2n 2n 8!(1+ 2 + ... + 10) 8!(55) 8!.55 55 det Y = = = 2n − 2 det A 4 (04) A proposição é falsa, pois a soma pedida é a soma das diagonais III) A proposição é verdadeira: do Triângulo Aritmético de Pascal. Como a soma das diagonais é dada Por indução, temos: p ⎛ m ⎞ ⎛ p + 1⎞ por: ∑ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ m =1 ⎝ m − 1⎠ ⎝ p − 1⎠ n=2: A2 = ⎢ ⎥.⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣1 1⎦ ⎣1 1⎦ ⎣ 2 1⎦ ⎛ p + 1⎞ ⎟ = ( p + 1).p ≠ p ; 2 Temos portanto que ⎜ ⎡ 1 0⎤ ⎝ p − 1⎠ Assumindo para n=k: Ak = ⎢ ⎥ , temos: (08) A proposição é verdadeira, pois o evento desejado ocorre quando ⎣ k 1⎦ escolhendo a caixa (I) retiramos uma garrafa sem rótulo ou ⎡ 1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ k +1 escolhendo a caixa (II) retiramos uma garrafa sem rótulo. Podemos n=k+1: Ak .A = ⎢ ⎥.⎢ ⎥=⎢ ⎥=A ⎣ k 1⎦ ⎣1 1⎦ ⎣k + 1 1⎦ calcular a probabilidade deste evento ocorrer de 1 2 1 1 9 P= . + . = = 22,5% 2 8 2 5 40 QUESTÃO 42 (16) A proposição é verdadeira, pois se a soma dos dígitos é par, Um suspeito de assaltar dois caixas de um supermercado foi intimado temos as seguintes possibilidades: a prestar depoimento e fez a seguinte declaração: Par e Par ou Impar e Impar. “No primeiro caixa foram roubados dois pacotes de notas de 20 reais, De 1 a 9, temos 4 números pares e 5 ímpares. cinco pacotes de notas de 50 reais e um pacote de notas de 100 reais, O número de eventos Par e Par é dado por: 4.3=12 e o número de totalizando 100 mil reais. No segundo caixa, foram roubados um eventos Ímpar e Ímpar é 5.4 = 20. pacote de notas de 20 reais e três pacotes de notas de 100 reais, num Assim, o espaço amostral é 32 e o número de eventos de interesse é total de 50 mil reais. Os pacotes de notas de mesmo valor tinham a 20 mesma quantidade de notas. 20 5 Cada pacote de notas de 100 reais tinha igual valor de cada pacote de Logo a probabilidade é = . notas de 50 reais.” 32 8 Diante do depoimento do suspeito, pode-se concluir que: Assim, a soma pedida é 26. a) ele pode ter falado a verdade. b) ele falou, necessariamente a verdade. QUESTÃO 41 c) havia, necessariamente, 940 notas em cada pacote de notas de 20 Analise cada proposição classificando-a como VERDADEIRA ou reais. FALSA. d) ele mentiu, necessariamente. I) Sejam as matrizes A = (aij)3xn e B = (bjk)nx4 (n ≥ 1) então a matriz C = Resolução Alternativa A A·B é tal que o elemento c21 = ∑ a2 j ⋅ b j 1 De acordo com o enunciado, podemos formar o seguinte sistema: II) A e B são matrizes inversíveis de ordem n. Se AYB = 2Bt, onde Bt é ⎧2.20 x + 5.50 y + 1.100z = 100 000 a transposta de B, o determinante da inversa de A é igual a ¼ e o ⎪ ⎨ 1.20 x + 3.100 z = 50 000 onde x é o número de pacotes determinante de B é igual a ½, então o determinante da matriz Y é ⎪ igual a 2n-2 ⎩ y = 2z ⎡1 0 ⎤ n ⎡ 1 0⎤ * com notas de 20 reais, y é o número de pacotes com notas de 50 reais III) Seja a matriz A = ⎢ ⎥ então A = ⎢ n 1⎥ , n ∈ N e z é o número de pacotes com notas de 100 reais. ⎣1 1⎦ ⎣ ⎦ Substituindo a terceira equação na primeira, temos: É correto afirmar que são verdadeiras a) todas as proposições b) apenas II e III. ⎧40 x + 600z = 100 000 ⎨ c) apenas I e II. d) apenas I e III. ⎩20 x + 300z = 50 000 Resolução Alternativa B Logo, como o sistema é possível (embora indeterminado), o assaltante I) A proposição é falsa, pois para obter um elemento cij do produto de pode ter falado a verdade. duas matrizes usamos o produto escalar entre os elementos da linha i da primeira matriz e os elementos da coluna j da segunda matriz, já QUESTÃO 43 que cada fila forma uma n-upla ordenada com os seus elementos. A circunferência (λ ) x2 + y2 – 2x – 2y + k = 0 passa pelo ponto A(0,1). Assim, usando as hipóteses da proposição: Sabendo-se que o ponto P de (λ ) mais próximo da origem coincide C = (AB)3x4 tem como elemento 21: n com o baricentro do triângulo MNQ, onde M(0,k), N(2k,0) e Q(xQ,yQ) é c21= a21b11+a22b21+a23b31+a24b41+...+ a2nbn1= ∑ a2 j b j 1 . correto afirmar que a área do triângulo MNQ é um número do intervalo j =1 ⎡ 3⎡ ⎡3 ⎡ ⎡ 5⎡ ⎡5 ⎡ a) ⎢1, ⎢ b) ⎢ ,2⎢ c) ⎢2, ⎢ d) ⎢ ,3⎢ ⎣ 2⎣ ⎣ 2 ⎣ ⎣ 2⎣ ⎣2 ⎣ 4
  • 6. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA Resolução Alternativa B Resolução Alternativa A Considerando que o ponto (0,1) está na circunferência, temos 02 + 12 (I) Verdadeira. Se P pertence simultaneamente à bissetriz dos – 2.0 – 2.1 + k = 0, logo k = 1. quadrantes ímpares (reta y = x) e à bissetriz dos quadrantes pares Assim, a circunferência em questão é descrita pela equação: (x – 1)2 + ⎧y = x (y – 1)2 = 1. (reta y = –x), então ele satisfaz o sistema ⎨ . Logo, P = (0,0). O ponto P da circunferência mais próximo da origem pode ser obtido ⎩y = − x geometricamente ao construirmos a reta que passa pela origem (0,0) e Assim, temos o gráfico a seguir: a reta y = k é paralela ao eixo x, pelo centro (1,1) da circunferência. passando pelo ponto (0,k). Assim, o ponto S, simétrico do ponto P em y relação a esta reta, é o ponto S = (0,2k), cuja soma das coordenadas é igual a 2k. y S(0,2k) M y=k P N k x A partir do gráfico, temos que a distância da origem ao ponto P é dada P(0,0) x por 2 − 1 . Como este ponto está na reta x = y, temos que esta distância é a diagonal de um quadrado. Assim: (II) Falsa. Se y 2 − 3 y ≤ x < 0 ⇒ y 2 − 3 y < 0 . 2− 2 Graficamente, a solução desta inequação em y é: 2 −1= x 2 ⇒ x = 2 ⎛2− 2 2− 2⎞ Portanto, o ponto P ⎜ ⎜ 2 , ⎟ é o baricentro do triângulo MNQ. + + ⎝ 2 ⎟⎠ Podemos obter as coordenadas do ponto Q, a partir das coordenadas do baricentro: 0 – 3 2 − 2 2 + xQ 2 − 2 1 + yQ 0<y <3 = e = 2 3 2 3 Como y é um número inteiro, os únicos valores possíveis nesse ⎛2−3 2 4−3 2⎞ intervalo são y = 1 ou y = 2. Assim Q = ⎜ , ⎟. ⎧ ⎪ y = 1 ⇒ y − 3 y = 1 − 3 ⋅ 1 = −2 2 2 ⎜ 2 2 ⎟ Se ⎨ . ⎝ ⎠ ⎪ y = 2 ⇒ y − 3y = 2 − 3 ⋅ 2 = −2 2 2 ⎩ O triângulo MNQ tem como vértices os pontos M(0,1), N(2,0) e Nesse caso, y 2 − 3 y ≤ x < 0 ⇒ −2 ≤ x < 0 ⇒ x=–2 ou x=–1 Q(xQ,yQ), cuja área é dada por: Logo, existem quatro pontos P(x,y) que atendem às condições: (–1,1), 0 1 1 (–1,2), (–2,1) e (–2,2). 1 1 (III) Verdadeira. A distância de um ponto P(x,y) até o eixo das AMNQ = 2 0 1 = xQ + 2y Q − 2 . 2 2 abscissas é |y|, enquanto a distância desse mesmo ponto até o ponto xQ yQ 1 Q(0,6) é dada por ( x − 0)2 + ( y − 6)2 . Assim, o lugar geométrico em Substituindo as coordenadas de Q temos: questão é: 1 2 x 2 + y 2 − 12y + 36 1 2−3 2 1 9 2 | y |= x + ( y − 6)2 ⇒ y 2 = ⇒ AMNQ == +4−3 2 −2 = 3− 2 4 2 2 2 2 x2 Aproximando 2 = 1, 4 , temos: 3 y 2 + 12y − 36 − x 2 = 0 ⇒ y 2 + 4 y − = 12 3 1 Completando quadrados nessa equação, temos: AMNQ= 3 − 6,3 = 1,65 , que está entre 1,5 e 2. 2 x2 ( y + 2)2 x 2 y 2 + 2 ⋅ y ⋅ +22 − = 12 + 22 ⇒ − =1 3 16 48 QUESTÃO 44 Esta é a equação de uma hipérbole centrada no ponto (0,–2), com as Classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa cada afirmativa abaixo medidas a 2 = 16 e b2 = 48 . sobre o ponto P(x,y) no plano cartesiano. Logo, c 2 = a 2 + b 2 = 16 + 48 = 64 ⇒ c = 8 . ( ) Se o ponto P pertence simultaneamente às bissetrizes dos c 8 quadrantes ímpares e dos quadrantes pares, então o ponto simétrico A excentricidade da elipse é então dada por: e = = =2 de P em relação à reta y = k (k ∈ *) tem a soma das coordenadas a 4 igual a 2k. ( ) Sendo {x,y} ⊂ , então existem apenas dois pontos P(x,y) que QUESTÃO 45 Considere as curvas, dadas pelas equações ⎧x < 0 ⎪ (I) 16x2 + 4y2 + 128x – 24y + 228 = 0 atendem às condições ⎨ 2 ⎪y − 3y ≤ x ⎩ (II) y = 7 - |x| (III) y2 – 6y – x + 5 = 0 ( ) Os pontos P(x,y) tais que a sua distância ao eixo das abscissas é Analise cada afirmação a seguir, classificando-a em VERDADEIRA ou igual à metade da distância de P ao ponto Q(0,6) formam uma FALSA hipérbole de excentricidade igual a 2. Sobre as afirmativas tem-se (01) O gráfico de (I) é representado por uma elipse, de (II) por duas a) apenas uma falsa. retas e de (III) por uma parábola. b) apenas duas falsas. (02) O centro de (I) é um ponto de (II) e coincide com o vértice de (III). c) todas falsas. (04) A soma das coordenadas do foco de (III) é um número menor que d) todas verdadeiras. -1 5
  • 7. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA π ⎛ 3⎞ 3 (08) A excentricidade de (I) é igual a cos b) Se a função s: D é tal que s( x ) = f ⎜ x + ⎟ , então s(0) = − 6 ⎝ 2⎠ 2 A soma dos itens verdadeiros é um número do intervalo c) O domínio da função r: E tal que r(x)= f(x)-3 é o intervalo real [-6 a)[1,3] b)[4,7] c) [8,11] d) [12,15] , 6] Resolução Alternativa C d) A função r: E tal que r(x)= f(x) - 3 NÃO possui raízes em (01) Falso ( x + 4)2 ( y − 3)2 Resolução Alternativa D (I) A equação pode ser reescrita como + = 1 , que Analisando cada item: 4 16 a) Correta: O gráfico da função h é o mesmo da função f deslocado representa uma elipse com eixo maior vertical e centro no ponto C = (- 3/2 no eixo y. 4,3) Analisando os pontos de máximos e mínimos de f, podemos observar (II) Da definição de módulo, temos: que no intervalo [-3,3/2] a função é descrita por f(x) = - x, o que implica ⎧ y = 7 − x, se x ≥ 0 que seus pontos de máximo e mínimo são respectivamente 3 e -3/2. ⎨ , ou seja, tal equação representa duas semi- Assim, o ponto de máximo da função h é 3 + 3/2 = 9/2 e o ponto de ⎩ y = 7 + x, se x < 0 retas no plano cartesiano e não duas retas. ⎡ 9⎤ mínimo é -3/2 + 3/2 = 0 e portanto a imagem de h é dada por ⎢0, ⎥ . (III) Essa última equação pode ser reescrita como ⎣ 2⎦ (y-3)2 = x + 4, que é uma parábola com eixo de simetria horizontal e ⎛ 3⎞ ⎛3⎞ 3 vértice no ponto V = (-4,3) b) Correta: s(0) = f ⎜ 0 + ⎟ = f ⎜ ⎟ = − ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ 2 (02) Verdadeiro Do item anterior, vemos que P=(-4,3) é o centro da elipse e o vértice c) O domínio de r é o mesmo domínio de f. Determinando os valores da parábola. Além disso, P pertence ao gráfico de (II) pois x = -4 ⇒ y de a: = 7-|-4| = 3 Temos que o coeficiente angular no intervalo [-a,-3] é dado por (04) Falso ⎛ 3⎞ 0 − ⎜− ⎟ 1 3−0 ⎝ 2⎠ ⇒ a −5 = 3 ⋅ 2 ⇒ a = 6 . (y – 3)2 = x + 4 ⇒ p = , onde p é o parâmetro da parábola (distância = 2 ( −3 ) − ( −5 ) ( −5 ) − ( −a ) 2 3 do foco a reta diretriz). Portanto, o domínio de f e de r é dado pelo intervalo real: Sendo o vértice da parábola o ponto V = (-4,3) e dado que seu eixo de [-a , a] = [-6 , 6] simetria é horizontal obtemos o foco F por: d) Incorreta: a função r: E tal que r(x)= f(x) - 3 apresentará raiz real p 7 para x=-3. F = (−4 + ,3) = (− ,3) 2 2 Do enunciado f(-3)=3 ⇒ r(-3) = f(-3)-3= 3-3=0 1 Logo -3 é raiz da função r. Logo xf + yf = - 2 (08) Verdadeiro ( x + 4)2 ( y − 3)2 Na equação da elipse + = 1 , o primeiro denominado 4 16 representa o valor de a2 (onde a é o semi-eixo maior da elipse) e o segundo denominador representa o valor de b2 (onde b é o semi-eixo menor da elipse). Assim: a = 4 e b = 2 Da relação fundamental da elipse a 2 = b 2 + c 2 (onde c é a metade da distância focal), temos: c= 2 3 c Logo a excentricidade, definida como e = vale a 3 π = cos 2 6 Portanto, soma 02+08=10. QUESTÃO 47 QUESTÃO 46 Considere todo x ∈ que torne possível e verdadeira a igualdade Na figura abaixo, está representado o gráfico da função real f:[- log[f ( x − 1)] = log x − 2 x 2 + 1 , onde f é uma função real de A em B 2 4 a,a] , onde f(0)=0. e marque a alternativa correta. a) O conjunto imagem de f é Im = + − {1} b) f é uma função injetora. c) Se B = + − {1} , então existe a inversa de f . d) f tem domínio A = { x ∈ / | x |> 1} Resolução Alternativa A Observe que x 4 − 2 x 2 + 1 = ( x 2 − 1)2 =| x 2 − 1| , e portanto, log x 4 − 2 x 2 + 1 = log | x 2 − 1| Pelas condições de existência do logaritmo, o logaritmando deve ser positivo, portanto devemos ter Analise as alternativas abaixo e marque a INCORRETA. i) | x 2 − 1|> 0 (o que acontece se e somente se x ≠ ±1 ) 3 ii) f ( x 2 − 1) > 0 . a) O conjunto imagem da função h: A B, definida por h ( x ) = f ( x ) + 2 Nos pontos onde isso acontece, vale: ⎡ 9⎤ log[f ( x 2 − 1)] = log | x 2 − 1|⇒ f ( x 2 − 1) =| x 2 − 1| . é Im = ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦ Assim, temos que f (w ) =| w | 6
  • 8. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA Verificando a segunda condição de existência citada, note que, (gogof-1) (5/2) = g(g(f–1(5/2)))=g(g(1))=g(0)=4>0. f (w ) =| w | , que é sempre não negativa. c) Incorreta: Esta função se anula somente quando w = 0 ou seja Estudando os sinais da expressão [f ( x )]2 temos: f ( x 2 − 1) = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 g( x ) Logo o domínio da função f é − {1, −1} ⎧ 2 ⎪[f ( x )] > 0 ⇔ x ≠ − 3 ⎧g ( x ) > 0 ⇔ 1 < x < 4 2 Assim, o gráfico da função f deve ser: ⎪ ⎪ ⎨ e ⎨g ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ou x = 4 y ⎪[f ( x )]2 = 0 ⇔ x = − 2 ⎪g ( x ) < 0 ⇔ x < 1 ou x > 4 ⎪ ⎩ 3 ⎩ A expressão não é definida para x=1 ou x=4. Assim: ⎧ [f ( x )]2 2 ⎪ =0⇔ x=− ⎪ g( x ) 3 ⎨ ⎪ [f ( x )] 2 1 2 > 0 ⇔ x < 1 e x ≠ − ou x > 4 ⎪ ⎩ g( x ) 3 13 1 –1 1 x d) Incorreta: f(x) – g(x) = − x 2 + x − 3 , cujas raízes são e6eé 2 2 1 não positiva para x ≤ ou x ≥ 6 . a) Verdadeira: conforme o gráfico, todos os pontos não-negativos do 2 eixo y, exceto o 1, foram atingidos, e portanto Im(f ) = + − {1} . b) Falsa: por exemplo, temos f ( −2) = f (2) = 2 . QUESTÃO 49 c) Falsa: se fixarmos o contradomínio da função f como sendo Considere as funções reais B = + − {1} , apenas a tornaremos uma função sobrejetora, mas ela f : R+ * → R tal que f ( x ) = x − 2 x continuará sendo não injetora. Se não é uma função injetora, com ⎛ 1⎞ mais razão não é bijetora e, portanto, não admite inversa. g : R → R+ * tal que g ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ d) Falsa: conforme demonstrado no início, o domínio da função é − {1, −1} . h : R+ * → R tal que h( x ) = − log2 x e marque a alternativa correta. QUESTÃO 48 g( x ) As funções f: do 1º grau e g: [b, +∞[ do 2º grau estão a) O domínio da função k definida por k ( x ) = é o conjunto dos h( x ) representadas no gráfico abaixo. números reais positivos. f ( x ) ⋅ h −1( x ) b) A função j definida por j ( x ) = se anula em dois pontos (g f )( x ) distintos. c) A função m definida por m( x ) = −1 + (g f )( x ) não possui raiz. d) Se g(h(a)) = 8 e h(g (2b )) = log3 9 , então (a − b ) é um número primo. Resolução Alternativa D a) Falsa, pois para x = 1 , temos h(1) = 0 , e portanto a função g( x ) k( x ) = não está definida para x = 1. O domínio da função k seria h( x ) R+ * − {1} Com base nas informações acima é correto afirmar que: a) o menor valor de b que torna a função g sobrejetora é um número b) Falsa. inteiro. Temos h(w ) = − log2 w e chamando h(w ) = x , temos: b) (gogof-1) (5/2) > 0 h −1( x ) = w . Assim, x = − log2 w = − log2 h −1( x ) ⇒ [f ( x )] 2 c) > 0 ⇔ {x ∈ | x < 1 ou x > 4} ⎛ 1⎞ x g( x ) log2 h −1( x ) = − x ⇒ h −1( x ) = 2− x = ⎜ ⎟ = g ( x ) . ⎝2⎠ d) f(x)-g(x)≤0 ⇔ { x ∈ | x ≤ 0 ou x ≥ 6} f (x) x −2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Resolução Alternativa B Por outro lado, (g f )( x ) = g (f ( x )) = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ . Da observação do gráfico, é possível descobrir que: ⎝2⎠ ⎝2⎠ x 3 ⎛ 1⎞ f (x) = x +1 ( x − 2) ⋅ ⎜ ⎟ 2 f ( x ) ⋅ h −1( x ) ⎝ 2 ⎠ = ( x − 2) , de modo que a Logo, j ( x ) = = x −2 Assim, x= -2/3 será raiz desta função. (g f )( x ) ⎛ 1⎞ 4 ⎜ ⎟ g( x ) = x 2 − 5 x + 4 ⎝2⎠ Assim, x=1 e x=4 serão raízes da função g, e seu ponto de mínimo função j se anula apenas num ponto, quando x=2 Δ 9 ⎛ 1⎞ x −2 será y v = − =− . c) Falsa. Pelo item anterior, (g f )( x ) = ⎜ ⎟ , e assim, temos 4a 4 ⎝2⎠ ⎧ 9⎫ x −2 a) Incorreta, pois a imagem de g(x)= ⎨ y ∈ R | y ≥ − ⎬ . Logo, para que ⎛ 1⎞ ⎩ 4⎭ m( x ) = −1 + (g f )( x ) = ⎜ ⎟ − 1 . ⎝2⎠ g(x) seja sobrejetora, o valor mínimo de b é – 9/4, que é racional. b) Correta, pois observando o gráfico, temos que, da função inversa, Resolvendo a equação m( x ) = 0 , temos f(1)=5/2 ⇔ f–1(5/2) =1. Ainda observando o gráfico, temos: 7
  • 9. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA ⎛ 1⎞ x −2 ⎛ 1⎞ x −2 educação, R$5.000,00 com o total pago à Previdência, e R$1.500,00 ⎜ 2 ⎟ − 1 = 0 ⇒ ⎜ 2 ⎟ = 1⇒ x = 2 por dependente. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por este Assim, a função m possui uma raiz. trabalhador, no ano de 2007, foi de R$3.515,00, o número de d) Verdadeira. Observe que g h( x ) = x para todo x ∈ R+ * e dependentes considerado foi: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 h g(w ) = w para todo w ∈ R , já que as funções g e h são funções inversas uma da outra. Logo: Resolução Alternativa C Seja x o total de dependentes. As deduções do imposto de renda ⎧8 = g (h(a )) = a ⇒ a = 8 ⎨ desse trabalhador somam um total de: ⎩2 = log3 9 = h( g (2b )) = 2b ⇒ b = 1 R$9400,00 + x.R$1500,00 Portanto: a − b = 8 − 1 = 7 , que é um número primo. O valor limite máximo (não incluído) de alguém que paga imposto com uma alíquota de 15% é calculado por: 15%. ( 30000 ) − 2250 = 2250 QUESTÃO 50 "A Arrecadação da CPMF, devido à ampliação de sua abrangência, e Assim, analisemos o imposto pago, utilizando a alíquota de 27,5%: ao aumento da alíquota, cresceu mais de 140% nos últimos anos (em I=27,5%. ⎡50000-(9400+1500x)⎤ -6000=3515 ⎣ ⎦ bilhões de reais por ano)". 9515 Revista Veja - 14/03/2007 40600 − 1500x = = 34600 ⇒ 1500x = 6000 0,275 6000 ⇒x= =4 1500 Logo, o total de dependentes é 4. QUESTÃO 52 Sabendo-se que b é um número real tal que b > 1 e que a função real −x f: B é tal que f(x) = 2 − b , analise as alternativas abaixo e marque a FALSA. a) A função f admite valor mínimo. 1 b) x ≤ - 1 ⇔ 2 - ≤ f(x) < 2 b c) A função f é par. d) Se B = [0, 2[ então f é sobrejetora. Resolução Alternativa D Seja f(x) = 2 − b−|x| . Assim, f(−x) = 2 − b|− x| = 2 − b|x| = f(x) , e a função f é par. Logo, a alternativa (c) está correta. Supondo que o crescimento da arrecadação representado no gráfico Como b > 1, podemos reescrever a função como acima é linear do ano 2005 ao ano de 2007 e que y% representa o 1 1 aumento da arrecadação do ano de 2005 ao ano de 2006, é correto f(x) = 2 − b−|x| = 2 − , onde 0 < |x| ≤ 1 . b|x| b afirmar que y é um número do intervalo: a) [8, 9[ b) [9, 10[ c) [10, 11[ d) [11, 12[ Daqui, segue que 1 ≤ f(x) ≤ 2 , de modo que f(x) admite um mínimo e um máximo. Além disso, fica evidente que o conjunto-imagem de f é Resolução Alternativa B o intervalo [1;2], de modo que a alternativa (a) está correta, enquanto De acordo com o gráfico, de 2005 a 2007, a arrecadação da CPMF a alternativa (d) está incorreta. salta de R$29,2 bilhões de reais para um valor estimado de R$34,8 Para verificar a validade da alternativa (b), note que se bilhões. 1 1 1 1 1 Supondo linear o gráfico entre os anos citados, temos que a x ≤ −1 ⇒ |x| ≤ ⇒ − |x| ≥ − ⇒ f(x) ≥ 2 − 29,2 + 34,8 b b b b b arrecadação em 2006 é dada por =32 bilhões. 1 2 Temos também que lim = 2 e portanto 2 − ≤ f(x) ≤ 2 O aumento de arrecadação, tomando com base o ano de 2005, x →−∞ b R $32bi corresponde a: ≈ 1,09 . Desta forma a arrecadação R $29,2bi QUESTÃO 53 aumentou cerca de 9% de 2005 para 2006. Sabendo-se que a função real f: D → B definida por Portanto y pertence ao intervalo [9, 10[ x f(x) = é inversível e que D e B são conjuntos os mais amplos 1− x QUESTÃO 51 possíveis, é FALSO afirmar que Considere a tabela para cálculo do imposto de renda a ser pago à a) f é crescente para todo x tal que x < 1 ou x > 1. Receita federal no ano de 2007 – ano base 2006 (valores b) a equação da assíntota horizontal de f é y = -1. arredondados para facilitar os cálculos). c) se g é tal que g(x) = |f-1(x)|, então não existe x real tal que g(x) = 1 Rendimento para base Alíquota Parcela a deduzir d) f-1(0) + f-1(-½) < 0 de cálculo (R$) (%) (R$) até 14.999,99 Isento - Resolução Alternativa C a) Correta. De 15.000,00 a 30.000,00 15 2.250,00 Tome x,y ≠ 1, e suponha que f(x) > f(y): acima de 30.000,00 27,5 6.000,00 x y x y x(1 − y) − y(1 − x) Para se conhecer o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair > ⇒ − >0⇒ >0 do rendimento bruto todas as deduções a que se tem direito. Esse 1−x 1−y 1−x 1− y (1 − x)(1 − y) rendimento para base de cálculo é multiplicado pela alíquota x−y correspondente. Em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir ⇒ >0 (1 − x)(1 − y) correspondente, de acordo com a tabela acima, obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago. Se x,y < 1, temos que (1-x)(1-y) > 0. Da mesma forma, se x,y > 1, Um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$50.000,00 teve direito também encontramos (1-x)(1-y) > 0. Em ambos os casos temos x – y às seguintes deduções: R$4.400,00 com o total de gastos em > 0 e, conseqüentemente, x > y. Assim, pela hipótese de que f(x) > f(y), f é crescente para todo x 8
  • 10. (19) 3251-1012 www.elitecampinas.com.br O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 2007 –MATEMÁTICA > 1 ou x < 1. Observe que esse resultado só é válido nesse caso, a 6 quando olhamos o domínio de maneira separada. Caso contrário, f Por Pitágoras EP = . não seria crescente. Assim, a alternativa (a) está correta. 2 b) Correta. 3 6 x x −1 1 1 Assim cos θ = ; senθ = e tgθ = 2 . Reescrevendo f(x) = = + = −1, 3 3 1−x 1− x 1−x 1− x percebemos que o gráfico de nossa função corresponde à uma Observando tg θ, como 1 < 2 < 3 , temos 45° < θ < 60° ; hipérbole de assíntota vertical x = 1. Fazendo x → ±∞ , notamos que 1 (01) VERDADEIRA: se 45° < θ < 60° ⇒ 90o < θ < 120o; − 1 → −1 , de modo que y = -1 é a assíntota horizontal de 1−x (02) VERDADEIRA: tgθ = 2 , e como 1 < 2 < 3 , então nossa função, o que torna a alternativa (b) correta. 45° < θ < 60° ; c) Incorreta. 2.tgθ 2 2 Note que se g(x) =| f −1(x) | , existe algum ponto x tal que (04) VERDADEIRA: tg (2θ ) = = = −2 2 = −2tgθ ; 1 − tg 2θ 1 − 2 f −1(x) = −1 , uma vez que −1 ∈ D . Assim, existe x tal que 6 3 2 2 tg 2θ 2 2 −1 (08) FALSA: sen(2θ ) = 2.senθ .cosθ = 2. . = ≠ =− g(x) =| f (x) |=| −1 |= 1 , e a alternativa (c) está incorreta. 3 3 3 3 3 d) Correta. (16) FALSA: Seja a função inversa de f dada por −1 f (x) = y , assim, ⎛ 3π ⎞ 1 1 1 cossec ⎜ −θ ⎟ = = = = − 3 ≠ tg 60° y x ⎝ 2 ⎠ sen ⎛ 3π ⎞ −senθ 3 x= ⇒ y = x(1 − y) = x − xy ⇒ y = f −1(x) = . Desse ⎜ −θ ⎟ − 1−y 1+ x ⎝ 2 ⎠ 3 Soma das proposições verdadeiras: 01 + 02 + 04 = 07 −1 ⎛ 1⎞ 2 = −1 <0, e a modo, temos que f −1(0) + f −1 ⎜ − ⎟ = 0 + ⎝ 2⎠ 1 2 QUESTÃO 55 Considerando as definições e propriedades das funções alternativa (d) está correta. trigonométricas, marque a alternativa correta. a) A função f definida por f ( x ) = sen2 x − cos2 x possui período e QUESTÃO 54 No cubo da figura abaixo, considere P o ponto de encontro das imagem, respectivamente, iguais a π e ⎡0, 2 ⎤ . ⎣ ⎦ diagonais da face ABCD e Q o ponto de encontro das diagonais da face EFGH e θ é medida do ângulo PÊQ. b) Se f e g são funções tais que f ( x ) = tgx e g ( x ) = x , sabendo-se que existe a função j definida por j ( x ) = (fog )( x ) , então j é periódica. ⎤π π ⎡ c) No intervalo de ⎥ , ⎢ a função h definida por h( x ) = cos 2 x é ⎦4 2⎣ decrescente. 3x − 1 d) O domínio da função g definida por g ( x ) = 3.arcsen é 2 ⎡1 ⎤ D = ⎢ ,1⎥ ⎣3 ⎦ Resolução Alternativa D Analise as proposições seguintes. a) Incorreta. Vamos transformar a diferença sen2x – cos2x numa (01) 2θ é um ângulo maior que 90º única função trigonométrica: (02) θ é um ângulo do intervalo [45º, 60º] sen 2 x − cos 2 x = 1 ⋅ sen 2 x − 1 ⋅ cos 2 x = (04) tg 2θ = -2tg θ 1 1 1 12 + 12 ( ⋅ sen 2 x − ⋅ cos 2 x) = (08) sen 2θ = tg2θ 2 2 3 1 +1 1 + 12 2 ⎛ 3π ⎞ 2 2 π π (16) cossec ⎜ − θ ⎟ = tg60º 2( sen2 x − cos 2 x) = 2 (cos sen2 x − sen cos 2 x) = ⎝ 2 ⎠ 2 2 4 4 O número que representa a soma das proposições verdadeiras é ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ múltiplo de: 2 ⋅ sen⎜ 2 x − ⎟ . Logo, f ( x) = 2 ⋅ sen⎜ 2 x − ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 Resolução Alternativa D ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ Como − 1 ≤ sen⎜ 2 x − ⎟ ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sen⎜ 2 x − ⎟ ≤ 1 ⇒ Do enunciado,podemos formar o triângulo PEQ a seguir: ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ π⎞ 0 ≤ 2 sen⎜ 2 x − ⎟ ≤ 2 ⇒ 0 ≤ f ( x) ≤ 2 ⇒ Im( f ) = [0, 2 ] ⎝ 4⎠ O gráfico da função f é: a 2 Do triângulo PEQ, temos: EQ = ; PQ = a 2 9