O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo: (1) sua forma algébrica como expressão Z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária; (2) definição de parte real e imaginária de um número complexo; (3) exemplos de números complexos; (4) operações entre números complexos como soma, subtração, multiplicação e divisão.
O documento resume os principais conceitos sobre números complexos, incluindo:
1) Sua representação algébrica como a + bi, onde a é a parte real e bi é a parte imaginária;
2) O número imaginário i, cujo quadrado é igual a -1;
3) As operações básicas de soma, subtração, multiplicação e divisão entre números complexos nas formas algébrica e trigonométrica.
O documento apresenta exercícios sobre números complexos, incluindo operações com números complexos na forma algébrica e trigonométrica, equações envolvendo números complexos e determinação de raízes.
Os números complexos surgiram para resolver equações onde a raiz quadrada de um número negativo é necessária. Eles possuem uma parte real e imaginária da forma a + bi, onde i é igual à raiz quadrada de -1. As operações com números complexos envolvem manipular suas partes real e imaginária separadamente.
O documento discute números complexos, definindo-os como pares ordenados (x,y) onde x pertence aos números reais e y também pertence aos números reais. z é representado da forma x + y.i, onde i = √-1. As operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com números complexos seguem regras específicas.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com esses números. Aborda a definição de números complexos para resolver equações do tipo x2 = -1, sua representação na forma a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de apresentar a representação geométrica desses números no plano complexo.
Os números complexos podem ser representados na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. As operações básicas com números complexos são:
1) Adição: z + w = (a + c) + (b + d)i
2) Multiplicação: z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i
3) Inverso: o inverso de z = a + bi é z-1 = a - bi / (a2 + b2)
O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo: (1) sua forma algébrica como expressão Z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária; (2) definição de parte real e imaginária de um número complexo; (3) exemplos de números complexos; (4) operações entre números complexos como soma, subtração, multiplicação e divisão.
O documento resume os principais conceitos sobre números complexos, incluindo:
1) Sua representação algébrica como a + bi, onde a é a parte real e bi é a parte imaginária;
2) O número imaginário i, cujo quadrado é igual a -1;
3) As operações básicas de soma, subtração, multiplicação e divisão entre números complexos nas formas algébrica e trigonométrica.
O documento apresenta exercícios sobre números complexos, incluindo operações com números complexos na forma algébrica e trigonométrica, equações envolvendo números complexos e determinação de raízes.
Os números complexos surgiram para resolver equações onde a raiz quadrada de um número negativo é necessária. Eles possuem uma parte real e imaginária da forma a + bi, onde i é igual à raiz quadrada de -1. As operações com números complexos envolvem manipular suas partes real e imaginária separadamente.
O documento discute números complexos, definindo-os como pares ordenados (x,y) onde x pertence aos números reais e y também pertence aos números reais. z é representado da forma x + y.i, onde i = √-1. As operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com números complexos seguem regras específicas.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com esses números. Aborda a definição de números complexos para resolver equações do tipo x2 = -1, sua representação na forma a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de apresentar a representação geométrica desses números no plano complexo.
Os números complexos podem ser representados na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. As operações básicas com números complexos são:
1) Adição: z + w = (a + c) + (b + d)i
2) Multiplicação: z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i
3) Inverso: o inverso de z = a + bi é z-1 = a - bi / (a2 + b2)
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo: (1) sua origem para resolver equações do segundo grau, (2) sua forma algébrica como a soma de parte real e imaginária, e (3) suas representações no plano cartesiano.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo sua representação algébrica como z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária, operações como adição, multiplicação, conjugado e divisão, representação geométrica no plano cartesiano e representação trigonométrica ou polar.
2. São apresentadas propriedades de potenciação e radiciação de números complexos e suas representações geométricas no plano de Gauss.
3. Exemplos numéricos de problemas envolvendo números complexos são
(Curso extensivo) números complexos 01.08 e 02.08GuiVogt
O documento descreve a história do desenvolvimento dos números complexos, começando com Nicollo Tartaglia, que formulou uma fórmula geral para resolver equações do segundo grau. Gerônimo Cardano quebrou um juramento feito a Tartaglia e publicou a fórmula de Tartaglia. Raphael Bombelli considerou a raiz quadrada de números negativos como números imaginários. Leonhard Euler usou a letra i para representar a raiz quadrada de -1. Carl Friderich Gauss ampliou o uso do símbolo i e criou a expressão "número complex
Este documento fornece uma introdução aos números complexos, definindo-os como números da forma a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Também explica como representar números complexos graficamente e como realizar operações básicas com eles, tanto na forma algébrica quanto na forma trigonométrica.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua origem para resolver equações do tipo x2 = -1, sua forma algébrica como a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e sua representação geométrica no plano complexo.
Este documento apresenta uma introdução aos números complexos, começando por explicar porque surgem e definindo o conjunto dos números complexos C. Apresenta a forma algébrica de um número complexo como z = a + bi, e explica operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão. Também introduz o plano complexo de Argand-Gauss e a forma trigonométrica de um número complexo.
Os números complexos começaram a ser estudados graças a Girolamo Cardano, que mostrou ser possível extrair raízes de números negativos. Posteriormente, matemáticos como Gauss formalizaram os números complexos de forma rigorosa. As operações com números na forma a + bi obedecem regras específicas para as partes real e imaginária.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com eles. É introduzido o número i que elevado ao quadrado é igual a -1, permitindo a resolução de equações como x2 + 1 = 0 e definindo o conjunto dos números complexos C.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos como uma extensão dos números reais que permite a raiz quadrada de números negativos.
2) Os números complexos são definidos como pares ordenados de números reais com operações de adição e multiplicação definidas.
3) Um número complexo pode ser escrito na forma algébrica a + bi, onde a é a parte real, b a parte imaginária e i a unidade imaginária.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e propriedades como conjugado e módulo.
Apresenta uma breve história do surgimento dos complexos, relacionando-os com uma Geometria e, ainda, apresentado os polígonos regulares formados pelas raízes de números complexos.
Este documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões abordam tópicos como operações com números complexos, raízes de polinômios, conjuntos solução de equações e representação geométrica de números complexos no plano.
1. O documento apresenta a representação trigonométrica de números complexos na forma z = r(cosθ + isenθ), onde r é o módulo e θ é o argumento. Também mostra como multiplicar e elevar à potência números nessa forma, além de explicar como encontrar raízes complexas.
2. Exemplos resolvidos mostram como aplicar as fórmulas apresentadas para multiplicar e encontrar raízes de números complexos.
3. Exercícios propostos pedem para aplicar as mesmas operações em outros números complexos.
Este documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações. É explicado que números complexos possuem parte real e imaginária e podem ser representados no plano de Argand-Gauss, com módulo e argumento. As operações como adição, multiplicação, divisão e potenciação são descritas para ambas as formas algébrica e trigonométrica.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com esses números. Aborda a definição de números complexos como solução de equações, sua representação na forma a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, módulo e argumento de um número complexo e conversão entre formas algébrica e trigonométrica.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
Este documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com eles. Introduz os números complexos como uma solução para equações do tipo x2 = -1 e define a relação fundamental i2 = -1. Explica que um número complexo possui parte real e imaginária e como representá-los graficamente no plano complexo.
Exercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexosDiego Oliveira
Este documento apresenta exemplos resolvidos de números complexos, incluindo como escrever números na forma padrão a + bi, operações com números complexos e determinação das partes real e imaginária. Os exemplos demonstram como decompor expressões em suas partes real e imaginária usando fórmulas trigonométricas e propriedades de logaritmos e potências de números complexos.
O documento introduz os números complexos, definindo a unidade imaginária i como a raiz quadrada de -1. Isso permite representar números complexos na forma a + bi e estabelece regras para operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com esses números. Exemplos ilustram como aplicar essas regras para cálculos envolvendo números complexos.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo: (1) sua origem para resolver equações do segundo grau, (2) sua forma algébrica como a soma de parte real e imaginária, e (3) suas representações no plano cartesiano.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo sua representação algébrica como z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária, operações como adição, multiplicação, conjugado e divisão, representação geométrica no plano cartesiano e representação trigonométrica ou polar.
2. São apresentadas propriedades de potenciação e radiciação de números complexos e suas representações geométricas no plano de Gauss.
3. Exemplos numéricos de problemas envolvendo números complexos são
(Curso extensivo) números complexos 01.08 e 02.08GuiVogt
O documento descreve a história do desenvolvimento dos números complexos, começando com Nicollo Tartaglia, que formulou uma fórmula geral para resolver equações do segundo grau. Gerônimo Cardano quebrou um juramento feito a Tartaglia e publicou a fórmula de Tartaglia. Raphael Bombelli considerou a raiz quadrada de números negativos como números imaginários. Leonhard Euler usou a letra i para representar a raiz quadrada de -1. Carl Friderich Gauss ampliou o uso do símbolo i e criou a expressão "número complex
Este documento fornece uma introdução aos números complexos, definindo-os como números da forma a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Também explica como representar números complexos graficamente e como realizar operações básicas com eles, tanto na forma algébrica quanto na forma trigonométrica.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua origem para resolver equações do tipo x2 = -1, sua forma algébrica como a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e sua representação geométrica no plano complexo.
Este documento apresenta uma introdução aos números complexos, começando por explicar porque surgem e definindo o conjunto dos números complexos C. Apresenta a forma algébrica de um número complexo como z = a + bi, e explica operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão. Também introduz o plano complexo de Argand-Gauss e a forma trigonométrica de um número complexo.
Os números complexos começaram a ser estudados graças a Girolamo Cardano, que mostrou ser possível extrair raízes de números negativos. Posteriormente, matemáticos como Gauss formalizaram os números complexos de forma rigorosa. As operações com números na forma a + bi obedecem regras específicas para as partes real e imaginária.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com eles. É introduzido o número i que elevado ao quadrado é igual a -1, permitindo a resolução de equações como x2 + 1 = 0 e definindo o conjunto dos números complexos C.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos como uma extensão dos números reais que permite a raiz quadrada de números negativos.
2) Os números complexos são definidos como pares ordenados de números reais com operações de adição e multiplicação definidas.
3) Um número complexo pode ser escrito na forma algébrica a + bi, onde a é a parte real, b a parte imaginária e i a unidade imaginária.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e propriedades como conjugado e módulo.
Apresenta uma breve história do surgimento dos complexos, relacionando-os com uma Geometria e, ainda, apresentado os polígonos regulares formados pelas raízes de números complexos.
Este documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões abordam tópicos como operações com números complexos, raízes de polinômios, conjuntos solução de equações e representação geométrica de números complexos no plano.
1. O documento apresenta a representação trigonométrica de números complexos na forma z = r(cosθ + isenθ), onde r é o módulo e θ é o argumento. Também mostra como multiplicar e elevar à potência números nessa forma, além de explicar como encontrar raízes complexas.
2. Exemplos resolvidos mostram como aplicar as fórmulas apresentadas para multiplicar e encontrar raízes de números complexos.
3. Exercícios propostos pedem para aplicar as mesmas operações em outros números complexos.
Este documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações. É explicado que números complexos possuem parte real e imaginária e podem ser representados no plano de Argand-Gauss, com módulo e argumento. As operações como adição, multiplicação, divisão e potenciação são descritas para ambas as formas algébrica e trigonométrica.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com esses números. Aborda a definição de números complexos como solução de equações, sua representação na forma a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, módulo e argumento de um número complexo e conversão entre formas algébrica e trigonométrica.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
Este documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com eles. Introduz os números complexos como uma solução para equações do tipo x2 = -1 e define a relação fundamental i2 = -1. Explica que um número complexo possui parte real e imaginária e como representá-los graficamente no plano complexo.
Exercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexosDiego Oliveira
Este documento apresenta exemplos resolvidos de números complexos, incluindo como escrever números na forma padrão a + bi, operações com números complexos e determinação das partes real e imaginária. Os exemplos demonstram como decompor expressões em suas partes real e imaginária usando fórmulas trigonométricas e propriedades de logaritmos e potências de números complexos.
O documento introduz os números complexos, definindo a unidade imaginária i como a raiz quadrada de -1. Isso permite representar números complexos na forma a + bi e estabelece regras para operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com esses números. Exemplos ilustram como aplicar essas regras para cálculos envolvendo números complexos.
1) O resumo do documento é um teste avaliativo de matemática contendo 15 questões sobre números complexos. As questões abordam tópicos como soma, produto, conjugado, módulo, forma trigonométrica e algébrica de números complexos.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre operações com números complexos, incluindo:
1) Igualdade de complexos que ocorre quando suas partes reais e imaginárias são iguais;
2) O oposto de um número complexo é obtido multiplicando-o por -1;
3) O conjugado troca o sinal da parte imaginária.
O documento discute números complexos, incluindo sua concepção para resolver equações como x2 = -1, sua forma algébrica a + bi, operações como adição e multiplicação, e representação geométrica no plano complexo.
O documento apresenta um teste de Números Complexos com 12 questões. A questão 10 pede para calcular o valor numérico de uma expressão, sabendo que z7 = 1. A solução mostra que, nesse caso, z = 1 e todos os termos da expressão são iguais a 1, resultando em um valor numérico igual a zero. A questão 11 pede para calcular (3 + i)12 e a soma de 1 + z + z2 + ... + z15, onde z = √2 + i√2. A solução encontra que (3 + i)12 = 4096 e que a soma
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações como x2 + 1 = 0.
3) As operações com números complexos (adição, subtração, multiplicação e divisão) seguem regras específicas considerando as partes real e imaginária.
1) O documento introduz os números complexos, definidos como pares ordenados (a, b) onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
2) Os números complexos formam um conjunto maior que os números reais, permitindo resolver equações que antes não tinham solução.
3) São apresentadas operações básicas com números complexos, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
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vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
2. Ao final dessa aula você
saberá:
O que é um número complexo e sua
representação algébrica
O que é um número imaginário puro e
igualdade dos complexos
O que é conjugado
As potências de i
A representação trigonométrica de um número
complexo
As operações matemática na forma algébrica e
na forma trigonométrica
3. O que é um número
complexo?
É todo número z escrito na forma a + bi,
sendo “a” a parte real e “bi” a parte
imaginária. Também é chamado de número
imaginário.
Formalmente,
escrevemos a parte
Exemplos: real assim: Re(z) =
a.
z = 3 + 5i E a parte imaginária
assim: Im(z) = b
z = 7i
z = ½ + 4i
4. O que é o “i”?
É a unidade imaginária, sendo i2 = - 1.
Dessa forma podemos calcular o valor da
raiz de números negativos com índice par.
Exemplo:
− 36 = (−1)(36) = 36i = 6i2
5. O que é um número
imaginário puro?
É um número complexo z = a + bi, cuja
parte real é igual a zero, ou seja, a = 0.
Repare que um número
Exemplos: real é um número
complexo, com a parte
z = 3i imaginária igual a zero.
z=i Exemplo: 2+0i = 2
z = -10i
6. Logo, temos que o conjuntos dos
Números Reais é um subconjunto
dos Números Complexos.
C
R
Q I
Z
N
7. Como sabemos se dois
números complexos são
iguais?
Sendo dois números complexos:
z1 = a + bi e z2 = c + di, se a = c e b = d, então
z1 = z2. Ou seja, dois complexos são iguais
se as partes reais e imaginárias são iguais.
Exemplo:
Calcular o valor de x e y na equação:
3x + 7yi = 12 – 21i
3x = 12 x = 4
7y = -21 y = -3
10. Como representamos o
conjugado de um número
complexo?
Sendo o número complexo z = a + bi, seu
conjugado é representado por: z = a − bi
Exemplos:
z = 5 − 3i
z = 5 + 3i
z = - 8i
z = 8i
11. Como calculamos as
potências de i?
Usando as regras de potência já conhecidas.
i0 =1 Note que a partir do
expoente 4, os
i =i
1
resultados começam
a repetir.
i2 = - 1
i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i
i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1
i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i
12. Exemplo:
(PUC-MG) O número complexo (1 + i) 10 é
igual a:
a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i)
[(1 + i)2]5 = [1 + 2i + i2]5 = [1 + 2i - 1]5 =
[2i]5 = 32.i5 = 32i letra C
13. Tente fazer sozinho!
(Vunesp) Se a, b, c são números inteiros
positivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, em
que i2 = -1, o valor de c é:
a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7
14. Solução
c = (a + bi)2 – 14i
c = a2 + 2abi + b2i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14i
c + 0i = (a2 – b2) + (2ab – 14)i
2ab – 14 = 0 ab = 7
Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7
Como c é positivo, temos que:
c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48
Resposta: letra A.
15. Como somamos ou
subtraímos números
complexos?
Basta somar (ou subtrair)as partes reais e as
partes imaginárias.
Exemplos:
(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i
(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i
17. Como dividimos
números complexos?
Basta multiplicar o numerador e o denominador
pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
2 + 3i ( 2 + 3i )( 5 + 2i ) 10 + 4i + 15i − 6
= = =
5 − 2i ( 5 − 2i )( 5 + 2i ) 25 + 4
4 + 19i 4 19
= = + i
29 29 29
18. Tente fazer sozinho!
x −1
2
(Cefet-MG) O valor da expressão quando
x −1
3
x = i (unidade imaginária) é :
a) (i + 1) b) – (i – 1) c) ( i + 1)
2
d) ( i − 1) e)
− ( i − 1)
2 2
19. Solução
x −1 i −1 −1 −1
2 2
−2 2
= 3 = = =
x −1 i −1 − i −1 −1− i 1+ i
3
2(1 − i ) 2 − 2i 2(1 − i )
= = = 1− i
1 + i (1 − i ) 1 + 1 2
Logo, a resposta é B, pois
– (i - 1) = -i +1 = 1-i
20. Como representamos um
número complexo no
gráfico?
Basta representar a parte real no eixo x
e a parte imaginária no eixo y.
Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i
y
P2 3
P1 2
1
x
-1
21. O que é o módulo de
um número complexo?
É a distância entre a origem e o ponto que
corresponde a esse número.
Sendo z = a + bi, temos: z = ρ
y
b
ρ P (a,b)
x
a
22. Como calculamos o
módulo de um número
complexo?
Usando a fórmula z = ρ = a + b .
2 2
Exemplo: z = 1 + 3i
z = 1 + 2
( 3) 2
= 1+ 3 = 4 = 2
24. Solução
a a 2 +4 2 2
= = =
b b 1 + ( − 3)
2 2
4 + 16 20 20
= = = 2
1+ 9 10 10
Resposta: letra B.
25. O que é argumento de um
número complexo?
É o ângulo que o módulo do número
faz com o eixo x.
y b
senθ =
ρ
b a
ρ P (a,b) cos θ =
ρ
θ x
a
26. Tente fazer sozinho!
(URRN) Se z =
(1 + i ) 2
, então o argumento de z é:
1− i
a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º
27. Solução
z=
(1 + i )=
2
1 + 2i − 1 2i
=
1− i 1− i 1− i
2i (1 + i ) 2i − 2 2i − 2
= = = = −1 + i
(1 − i )(1 + i ) 1 + 1 2
b a
senθ = e cos θ =
ρ ρ
ρ= ( − 1) 2
+1 = 1+1 = 2
2
28. ( 2) =
sen
1 2
senθ =
2 ( 2) 2
135º 45º
cos θ =
−1 ( 2) = − 2 cos
2 ( 2) 2
Logo, o argumento é 135º.
Resposta: letra E.
29. Como escrevemos a forma
trigonométrica de um número
complexo?
z = ρ ( cos θ + i senθ )
Exemplo: z = 2 3 + 2i
ρ = a +b =
2 2
(2 3 ) 2
+ 2 = 12 + 4 = 16 = 4
2
a 2 3 3
cos θ = = =
ρ 4 2
⇒ θ = 30º
b 2 1
senθ = = =
ρ 4 2
Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)
30. Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo
7π 7π
z =3cos +isen :
é
6 6
3 3 3
a ) z =− − i
2 2
3 3 3
b) z = − i
2 2
3 3 3
c ) z =− − i
2 2
3 3 3
d ) z =− + i
2 2
3 3 3
e) z = − i
2 2
31. Solução
7π 7π
z = 3 cos + isen
6 6
7π
z = ρ ( cos θ + isenθ ) ⇒ ρ = 3, θ = = 210º
6
3
cos 210º = − cos 30º = −
2
1
sen210º = − sen30º = −
2
32. a b
cos θ = senθ =
ρ ρ
3 a 1 b
− = − =
2 3 2 3
3 3 3
a=− b=−
2 2
3 3 3
Logo, a forma algébrica é − − i
2 2
Resposta: letra C.
35. Como calculamos uma
potência complexos na
forma trigonométrica?
z n = ρ n .[ cos( nθ ) + isen( nθ ) ]
Exemplo:
π π
z = 2 cos + isen
3 3
π π
z = 2 cos 2. + isen 2.
2 2
3 3
2π 2π
z = 4 cos
2
+ isen
3 3
36. Tente fazer sozinho!
6 + 6i
(UPF-RS) Quanto ao número complexo z = ,
1− i
a alternativa incorreta é:
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
π
c) O argumento de z é rad.
2
d) Escrito na forma trigonométrica tem-se:
z = 6( cos π + i senπ )
e) z2 é um número real.
37. Solução
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
6 + 6i ( 6 + 6i )(1 + i ) 6 + 6i + 6i − 6 12i
z= = = = = 6i
1− i (1 − i )(1 + i ) 1+1 2
b) O módulo de z é 6.
z = 0 +6 = 6 =6
2 2 2
38. 6 + 6i
z=
1− i
π
c) O argumento de z é rad.
2
a 0
cos θ = = = 0
ρ 6 π
⇒ θ = 90º =
b 6 2
senθ = = = 1
ρ 6
39. d) Escrito na forma trigonométrica
tem-se:
z = 6( cos π + i senπ )
z = ρ ( cos θ + isenθ ) = 6( cos 90º +isen90º )
e) z2 é um número real.
z n = ρ n [ cos( nθ ) + isen( nθ ) ] =
z 2 = 6 2 [ cos( 2.90º ) + isen( 2.90º ) ] =
z 2 = 36[ cos(180º ) + isen(180º ) ] =
z = 36[ − 1 + i.0] = −36
2
Resposta: letra D.