1. O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo sua representação algébrica como z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária, operações como adição, multiplicação, conjugado e divisão, representação geométrica no plano cartesiano e representação trigonométrica ou polar. 2. São apresentadas propriedades de potenciação e radiciação de números complexos e suas representações geométricas no plano de Gauss. 3. Exemplos numéricos de problemas envolvendo números complexos são

1. – 1 –
Denomina-se número complexo z toda expressão da for-
ma z = a + bi, onde “a” e “b” são números reais e i
2
= – 1.
Obs.: i é denominada unidade imaginária.
Forma Algébrica
∈=
∈=
+=
IR)zIm(b
IR)zRe(a
biaz
Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária
de “z”.
Igualdade
=
=
+=+=
db
ca
dicbiazz 21
Adição
i)db()ca()dic()bia( +++=+++
Multiplicação
i)bcad()bdac()dic()bia( ++−=+⋅+
Conjugado
Sendo biaz += um número complexo, define-se como
complexo conjugado de “z” o complexo biaz −= .
Divisão
22
21
2
1
zz
zz
z
z
⋅
⋅
=
Potências de “i”
Para n ∈ IN, temos:
i
4n
= 1
i
4n+1
= i
i
4n+2
= – 1
i
4n+3
= – i
Representação Geométrica
Todo número complexo z = a + bi pode ser associado
a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano.
O ponto “P” é denominado afixo ou imagem de “z”.
A distância “ρ” de “P” até a origem “O” é denominada
módulo de “z” e indicamos: 22
babiaz +=ρ=+=
Denomina-se argumento do complexo “z” a medida do
ângulo “θ”, formado pelo semi-eixo real positivo Ox com OP,
medido no sentido anti-horário, conforme indicado na figu-
ra: )zarg(=θ
Forma Trigonométrica ou Polar
)seni(cosz θ⋅+θ⋅ρ=
onde “ρ” é o módulo e “θ” é o argumento de “z”.
Multiplicação
[ ])sen(i)cos(zz 21212121 θ+θ⋅+θ+θ⋅ρ⋅ρ=⋅
Divisão
[ ])sen(i)cos(
z
z
2121
2
1
2
1
θ−θ⋅+θ−θ⋅
ρ
ρ
=
Potenciação
[ ])n(seni)n(cosz nn
θ⋅+θ⋅ρ=
Radiciação
π+θ
⋅+
π+θ
⋅ρ=
n
k2
seni
n
k2
cosz nn
As raízes n-ésimas de “z” têm módulo igual a n ρ e
seus argumentos são obtidos da expressão
n
k2 π+θ
, substitu-
indo k por números inteiros de 0 até n – 1 .
θ
ρ
P ( a , b )
Im
b
O a Re

2. – 2 –
1. ( UFSM-RS ) Para que o número z = ( x – 2i ).( 2 + xi ) seja
real, devemos ter ( x ∈ IR ) tal que:
a) x = 0
b) x = ± 1/2
c) x = ± 2 x
d) x = ± 4
e) n.d.a.
2. ( UFPA ) Qual é o menor valor de m, real, para que o pro-
duto ( 2 + mi ).( 3 + i ) seja um imaginário puro?
a) 5
b) 6 x
c) 7
d) 8
e) 10
3. ( PUC-SP ) Se f(z) = z
2
– z + 1, então f(1 – i) é igual a:
a) i
b) – i + 1
c) i – 1
d) i + 1
e) – i x
4. ( UCMG ) O número complexo z, tal que 5z + z = 12 + 16i,
é igual a:
a) – 2 + 2i
b) 2 – 3i
c) 1 + 2i
d) 2 + 4i x
e) 3 + i
5. ( Mack-SP ) Para i = 1− , os valores reais de a e b tais
que 263
ii
iia −
= 3 + bi são, respectivamente:
a) 0 e 3/2
b) – 4 e 1 x
c) 3/2 e 0
d) 3/2 e 2
e) – 6 e 2
6. ( Unimep-SP ) O valor de ( 1 + i )
10
, onde i é a unidade
imaginária, é:
a) 64i
b) 128i
c) 32i x
d) – 32i
e) n.d.a.
7. ( FAFI-BH ) Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = 5 + 8i, então o valor
de z1.z2 é:
a) 10 + 24i
b) 10 + 31i
c) – 14 + 31i x
d) – 14 + 24i
e) 7 + 11i
8. ( FCC-BA ) O número complexo 1 – i é raiz da equação
x
2
+ kx + t = 0 ( k, t ∈ IR ) se e somente se:
a) k = t = – 2
b) k = t = 2
c) k = – 2 e t = 2 x
d) k = 2 e t = – 2
e) k + t = 1
9. ( Santa Casa-SP ) O determinante
iii
11i
111
32
−
− , onde i é
a unidade imaginária, é igual a:
a) – 2 – 2i
b) – 2 + 2i x
c) 2 + 2i
d) – 2i
e) – 2
10. ( PUC-RS )
i1
i1
−
−
é igual a:
a) 2i
b) 4i
c) 3i
d) i x
e) – 2i
11. ( Santa Casa-SP ) Dado o número complexo z = 1 – i, tem-
se que 2
z
1
é igual a:
a) 2i
b) i
c) i/2 x
d) – i
e) – 2i
12. ( UFSM-RS ) A soma dos números complexos
i1
i55
+
+
e
i1
20
−
é:
a)
2
i525 +
c) – 10 – 10i e) 30 + 20i
b) 10 + 10i d) 15 + 10i x

3. – 3 –
13. ( UFAL ) É dado um número complexo z = (x – 2) + (x + 3)i,
onde x é um número real positivo. Se z = 5, então:
a) z é um número imaginário puro; x
b) z é um número real positivo;
c) o ponto de imagem de z é ( – 1 , 2 );
d) o conjugado de z é – 1 + 2i;
e) o argumento principal de z é 180
o
.
14. ( Mack-SP ) O conjugado de
i
i2 −
vale:
a) 1 – 2i
b) 1 + 2i
c) 1 + 3i
d) – 1 + 2i x
e) 2 – i
15. ( Mack-SP ) Sendo i a unidade imaginária, o valor de
2032
50232
i...ii
i...iii
y
+++
++++
= é:
a) i
b) – i
c) 1
d) – 1
e) 1 – i x
16. ( ITA-SP ) O número natural n tal que
(2i)
n
+ (1 + i)
2n
= – 16i, onde i é a unidade imaginária do
conjunto dos números complexos, vale:
a) n = 6
b) n = 3 x
c) n = 7
d) n = 4
e) não existe n nestas condições.
17. ( Mack-SP ) Simplificando 49100
50101
)2i()i2(
)i2.()i2(
−−−
−+
, obtém-se:
a) 1
b) 2 + i
c) 2 – i
d) 5
e) – 5 x
18. ( Mack-SP ) O valor de (1 + i)
12
– (1 – i)
12
, onde i
2
= – 1, é
igual a:
a) – 128i
b) – 128
c) 128
d) 128i
e) 0 x
19. ( FGV-SP ) Sendo i a unidade imaginária, o valor de
4
i1
i1
−
+
é:
a) 1 x
b) i
c) – 1
d) – i
e) 2i
20. ( Mack-SP ) Sendo i a unidade imaginária e dada a matriz
−−
+
=
−
x22i
y)i1(
A
1
com det A = 3i, então o valor de x + y
é igual a:
a) 3
b) 7
c) 12
d) 9 x
e) 5
21. ( UFPR ) O valor de a que torna real o quociente
i34
ai23
−
−
é:
a) – 3/2
b) – 9/8
c) zero
d) 2/3
e) 9/8 x
22. ( Med. Santos-SP ) Sendo
i1
z
+
–
i
1z −
= 2i ( i é a unidade
imaginária ), o módulo complexo x será:
a) 2 6
b) 3 2 x
f) 9
g) 3
h) n.r.a.
23. ( Fac. Objetivo-SP ) O conjunto solução da equação
i33z2zz
2
+=−+ é:
a) { 1 + i ; 2 + i }
b) { –1 + i ; 2 + i } x
c) { 1 + i ; – 2 + i }
d) { 1 – i ; 2 + i }
e) { 1 – i ; 2 – i }

4. – 4 –
24. ( PUC-RJ ) Considere os números complexos z = 2 – i e
w =
i2
5
+
. Então, se w indica o complexo conjugado de w:
a) z = – w
b) z = w
c) z = – w
d) z = 1/w
e) z = w x
25. ( Mack-SP ) Seja o número complexo z =
i1
i1
+
−
. Então z
1980
vale:
a) 1 x
b) – 1
c) i
d) – i
e) – 2i
26. ( PUC-SP ) O número complexo z que verifica a equação
iz + 2 z + 1 – i = 0 é:
a) – 1 + 2i
b) – 1 + i
c) 1 – i
d) 1 + i
e) – 1 – i x
27. ( Mack-SP ) Se u = 3 + 2i e v = 1 + i, então vu + é:
a) 5 x
b) 26
c) 29
d) 7
e) 15
28. ( UFPR ) Dados os complexos z1 = 4+ 3 i e z2 = 1 + 3i,
efetuando
2
1
z
z
, obtemos:
a) – i
7
2
7
38
+
b) 5 + 3 i
c) i
5
37
5
32 −
−
+
d) i
10
312
10
334 +
+
−
x
e) i
8
35
8
3
+
29. ( Santa Casa-SP ) Seja o número complexo z = 1 + 2xi,
onde x ∈ IR+. Se o módulo de z é igual a 7, então x per-
tence ao intervalo:
a) ] – ∞ ; 1 [
b) [ 1 ; 3 ]
c) ] 3 ; 5 [ x
d) [ 5 ; 8 ]
e) ] 8 ; + ∞ [
30. ( Fuvest ) Se z é um número complexo tal que 24z.z = ,
então o módulo de z é:
a) 2 3
b) 2 6 x
c) 5
c) 12
d) 24
31. ( Mack-SP ) O produto de todos os números complexos
com representação geométrica na reta y = x e módulo 8
é igual a:
a) 8
b) 8
c) – 8i x
d) i8
e) 8 + 8i
32. ( Mack-SP ) A solução da equação z + z = 2 + i é um
número complexo de módulo:
a) 5/4 x
b) 5
c) 1
d) 5 /2
e) 5/2
33. ( ITA-SP ) Resolvendo a equação z
2
= z2 + no conjunto
dos números complexo, conclui-se sobre suas soluções
que:
a) nenhuma delas é um número inteiro;
b) a soma delas é 2;
c) estas são em número de 2 e são distintas; x
d) estas são em número de 4 e são duas a duas distintas;
e) uma delas é da forma z = bi com b real não-nulo.
Nota: Por a denotamos o conjugado do número complexo
a.

5. – 5 –
34. ( Mack-SP ) Se os números complexos z1 = 2 – i e
z2 = x + i, x real e positivo, são tais que
2
21zz = 10, en-
tão x é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1 x
35. O conjugado de z =
22
ii
2i + é:
a) 1 + 2i
b) 1/2 + i
c) 1 – 2i
d) 1/2 – i x
e) 1 – i
36. Calculando i815 −− obtemos:
a) 2 – 2i e 2 + 2i
b) 1 – 4i e – 1 + 4i x
c) 1 + 4i e 4 – i
d) – 2 + 2i e – 2 – 2i
37. ( Mack-SP ) Se u = cos x + i sen x e
u
z2
= 32, então
z vale:
a) 4 2 x
b) 3 2
c) 2 2
d) 2
e) 2
38. ( Med. Jundiaí-SP ) No plano de Gauss, o afixo do número
complexo z = ( 1 + i )
4
é um ponto do:
a) eixo real x
b) eixo imaginário
f) 1
o
quadrante
g) 3
o
quadrante
h) 4
o
quadrante
39. ( Med. Jundiaí-SP ) Seja o número complexo z = a + bi,
onde a, b ∈ IR. Se ( 2 + ai ).( 2 + bi
2
) = 8 – 4i
3
, o afixo de
z é um ponto de Gauss pertencente ao:
a) eixo das abscissas
b) eixo das ordenadas
c) 4
o
quadrante x
d) 3o
quadrante
e) 2
o
quadrante
40. ( AMAN-RJ ) Uma forma trigonométrica do complexo
i33z −= é:
a) – 2 3 ( cos 60
o
+ i sen 60
o
)
b) cos 45
o
+ i sen 45
o
c) 2 3 ( cos 300
o
+ i sen 300
o
) x
d) 2 3 ( cos 30
o
+ i sen 30
o
)
41. ( Med. Jundiaí-SP ) Na figura abaixo, o ponto P é o afixo de
um número complexo z no plano de Argand-Gauss. A for-
ma trigonométrica de z é:
a) 4( cos 300
o
+ i sen 300
o
) x
b) 4( cos 60
o
+ i sen 60
o
)
c) 16( cos 330
o
+ i sen 330
o
)
d) 2( cos 300
o
+ i sen 300
o
)
e) cos ( – 60
o
) + i sen ( – 60
o
)
42. ( UFPA ) A forma trigonométrica do número
i
i1+
é:
a)
π
+
π
4
seni
4
cos
2
2
b)
π
+
π
4
5
seni
4
5
cos2
c)
π
+
π
4
7
seni
4
7
cos2 x
d)
π
+
π
4
seni
4
cos2
e)
π
+
π
4
3
seni
4
3
cos2
43. ( Med. Jundiaí-SP ) Seja o número complexo
i
2
1
2
3
z −−= . O argumento principal do conjugado de z é:
a) 30
o
b) 45
o
c) 60
o
d) 120
o
e) 150
o
x
44. ( EEAr ) Seja z um número complexo, cujo módulo é 2 e
cujo argumento é
3
π
. A forma algébrica do conjugado de z
é:
a) i31− x
b) i3 −
c) i3 +
d) i31+
Im(z)
2
Re(z)
–2 3 P

6. – 6 –
45. ( Fuvest ) Seja “z” o produto dos números complexos
3 + 1 e ( )i31
2
3
+ . Então o módulo e o argumento de
“z” são, respectivamente:
a) 4 e 30
o
b) 12 e 80
o
c) 6 e 90
o
d) 6 e 90
o
x
46. ( Santa Casa-SP ) Se os números complexos z1 e z2 são
tais que z1 = 2 ( cos 135
o
+ i sen 135
o
) e z2 = z1 – 2, então
o módulo de z2 é igual a:
a) 2 2
b) 2 3
c) 2 23
d) 4 + 2 2
e) 2 22 + x
47. ( UFAL ) Seja a igualdade
2
3
seni
3
cosi
4
b
2
a π
+
π
=− , onde
i é a unidade imaginária. Se a e b são números reais,
então o produto a.b é igual a:
a) – 3
b)
4
3
−
c)
6
3
d)
2
3
e) 2 3 x
48. ( Fuvest ) Dado o número complexo
16
seni
16
cosz
π
+
π
= ,
o valor de z
12
é:
a)
2
2
i
2
2
+− x
b)
2
2
i
2
2
−−
c) – 2 + i
d) – 1 + i 2
e) – 2 + i 2
49. ( PUCCamp-SP ) O módulo e o argumento do complexo
( 3 + i )
8
são, respectivamente:
a) 4
4
e 4π/3 x
b) 2
8
e 8π/3
c) 4
8
e 8π/9
d) 3
8
e 5π/4
e) n.r.a.
50. ( Mack-SP ) Se z =
π
+
π
4
seni
4
cos2 , então z
8
vale:
a) – 16i
b) – 16
c) 8i
d) 16 x
e) 16i
51. ( Mack-SP ) Seja z = 3 + i, onde i = 1− . Um dos valo-
res de n tal que z
n
seja real é:
a) 2
b) 6 x
c) 10
d) 3
e) 11
52. ( Med. Jundiaí-SP ) O módulo do número complexo
( )
( )4
8
i44
i22
z
−
+
= é igual a:
a) 2
b) 2 2
c) 4 x
d) 4 2
e) 8
53. ( Cesgranrio ) O menor valor n > 0, de modo que
n
i
2
1
2
3
+ seja real positivo, é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 8
e) 12 x

7. – 7 –
54. ( ITA-SP ) Seja z um número complexo satisfazendo
Re(z) > 0 e ( z + i )
2
+ z + i
2
= 6. Se n é o menor natu-
ral para o qual z
n
é um imaginário puro, então n é igual a:
a) 1
b) 2 x
c) 3
d) 4
e) 5
55. ( FGV-SP ) As raízes quadradas do número 3 + 4i, onde i
representa a unidade imaginária, são:
a) { 2 + i ; – 2 – i } x
b) { 1 + i ; – 1 – i }
c) { 3 + i ; – 3 – i }
d) { 4 + i ; – 4 – i }
e) n.r.a.
56. Calculando
=
120
10n
n
i obtemos:
a) 1
b) i
c) – 1
d) – i x
e) 0
57. Calculando
=
⋅
100
1n
n
)in( obtemos:
a) 50.( 1 – i ) x
b) 50.( 1 + i )
c) 25.( 1 – i )
d) 25.( 1 + i )
e) 100.( 1 – i )
58. ( Santo André-SP ) Os números complexos z tais que z
2
= i
são:
a) –
2
2
–
2
2
i e
2
2
+
2
2
i x
b) –
2
2
+
2
2
i e
2
2
–
2
2
i
c)
2
2
+
2
2
i e
2
2
–
2
2
i
d)
2
2
+
2
2
i e –
2
2
+
2
2
i
e) –
2
2
–
2
2
i e
2
2
–
2
2
i
59. ( UFMG ) O conjunto de todas as raízes complexas da e-
quação x
3
= – 1 é:
a) { – 1 }
b) { 1 ; – 1 }
c) +−+−
2
1
2
3
;
2
i
2
3
;1
d)
π
+
ππ
+
π
−
3
5
isen
3
5
cos;
3
isen
3
cos;1 x
e)
π
+
π
−
3
isen
3
cos;1
60. Calculando o valor de n ( n ∈ IN ) na igualdade na igual-
dade ( 2i )
n
+ ( 1 + i )
n
= – 16i obtemos:
a) 2
b) 3 x
c) 4
d) 5
e) 6
61. ( UFF ) Sendo i a unidade imaginária, para que
xi4
ix4
z
−
−
= ,
x ∈ IR seja um número real, é necessário que x seja igual
a:
a) ± 1/4
b) ± 1 x
c) ± 2
d) ± 4
e) ± 3 2
62. ( AFA ) A solução da equação 3z – 8 = z – 2i, onde z é
um número complexo, z é o seu conjugado e i, a unidade
imaginária, é dada por:
a) z = – 4 +
2
1
i
b) z = – 4 –
2
1
i
c) z = 4 +
2
1
i
d) z = 4 –
2
1
i x
63. ( AFA ) Simplificando-se a expressão (1+i95
)–1
(1+i201
) (1+i)2
,
sendo i a unidade imaginária, obtém-se:
a) – 2 x
b) – 1
c) 1
d) 2

8. – 8 –
Define-se função polinomial ou polinômio toda função
definida pela relação:
01
2
2
2n
2n
1n
1n
n
n axaxaxaxaxa)x(P ++++++= −
−
−
−
Onde:
( an ; an – 1 ; an – 2 ; ... ; a2 ; a1 ; a0 ) são números reais
chamados coeficientes.
a0 é o termo independente de x.
x ∈ C é a variável
n ∈ IN indica o grau do polinômio.
Obs.:
Se an 0, o expoente máximo n é dito grau do
polinômio e é indicado por gr(P) = n.
Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.
P(a) é denominado valor numérico de P(x) para x = a.
Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero do
polinômio P(x).
P(0) é igual ao termo independente de x.
P(1) é igual à soma dos coeficientes do polinômio.
Polinômios Idênticos
Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos quando ocorre
A( ) = B( ), para todo número complexo .
A condição necessária e suficiente para que dois
polinômios reduzidos e ordenados sejam idênticos é que seus
coeficientes sejam ordenadamente iguais.
Polinômio Identicamente Nulo
Denomina-se polinômio identicamente nulo o polinômio
que tem todos os seus coeficientes nulos.
De modo geral, é indicado por P(x) 0. ( lemos: P(x) é i-
dêntico a zero ).
Divisão de Polinômios
Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um polinômio
D(x), não nulo, é determinar um par de polinômios Q(x) e R(x),
tais que:
P(x) D(x)
R(x) Q(x)
0 ≤ gr(R) < gr(D) ou R(x) 0
P(x) dividendo
D(x) divisor
Q(x) quociente
R(x) resto
Obs.: Se R(x) é nulo, então P(x) é divisível por D(x).
Teorema do Resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio x – a,
é igual a P(a).
Obs.: Note que “a” é a raiz do binômio x – a.
Teorema de D’Alembert
O polinômio P(x) é divisível por ( x – a ) se, e somente se,
o número a for raiz do polinômio P(x), ou seja, P(a) = 0.
Dispositivo de Briot-Ruffini
É um dispositivo que permite determinar o quociente e o
resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio na forma
x – .
a0 a1 a2 ... an – 1 an
q0 q1 ... qn – 2 qn – 1
a0 a1 + q0 a2+ q1 ... an – 1 + qn – 2 an + qn – 1
q0 q1 q2 ... qn – 1 Resto
P(x) D(x).Q(x) + R(x)

9. – 9 –
Exercícios
64. ( Cescem-SP ) Dado o polinômio P(x) = x
2
– 2x, o valor de
P( 1 + i ) será:
a) P(1) + P(i)
b) – 2 x
c) 0
d) – 1 + 2i
e) n.r.a.
65. ( PUC-SP ) O número de raízes reais do polinômio
P(x) = ( x2
+ 1 )( x – 1 )( x + 1 ) é:
a) 0
b) 1
c) 2 x
d) 3
e) 4
66. ( ESAN-SP ) Sendo P(x) = Q(x) + x
2
+ x + 1 e sabendo que
2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x), então P(1) – Q(2) vale:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 6
e) 10 x
67. ( Unirio ) O grau do polinômio
( x + 2 )
2
( x – 4 )
4
( x + 6 )
6
( x – 8 )
8
... ( x + 18 )
18
é:
a) 2.9!
b) 90 x
c) 2
9
.9!
d) 180
e) 18!
68. ( UFRGS ) Se P(x) é um polinômio de grau 5, então o grau
de [ P(x) ]
3
+ [ P(x) ]
2
+ 2P(x) é:
a) 3
b) 8
c) 15 x
d) 20
e) 30
69. ( Mack-SP ) O polinômio P(x) = (m – 4)x
3
+ (m
2
– 16)x
2
+
(m + 4)x + 4 é de grau 2:
a) se e somente se m = 4 ou m = – 4
b) se e somente se m ≠ 4
c) se e somente se m ≠ – 4
d) se e somente se m ≠ 4 e m ≠ – 4
e) para nenhum valor de m x
70. ( Cescea ) Seja P(x) um polinômio do 2
o
grau tal que:
P(0) = – 20
P(1) + P(2) = – 18
P(1) – 3P(2) = 6
Então, o conjunto de todos os x para os quais P(x) < 0 é:
a) ( x ∈ IR / x < – 2 ou x > 10 )
b) ( x ∈ IR / x < 4 ou x > 5 ) x
c) ( x ∈ IR / 4 < x < 5 )
d) ( x ∈ IR / – 2 < x < 10 )
e) ( x ∈ IR / x < – 20 ou x > 1 )
71. ( FGV-SP ) Num polinômio P(x) do 3
o
grau, o coeficiente de
x
3
é 1. Sabendo que P(1) = 0, P(2) = 0 e P(3) = 30, calcule
o valor de P(– 1).
a) 56
b) 32
c) – 3
d) 66 x
e) n.r.a.
72. ( Fuvest ) Um polinômio P(x) = x
3
+ax
2
+ bx + c satisfaz as
seguintes condições: P(1) = 0, P(– x) + P(x) = 0, qualquer
que seja x real. O valor de P(2) é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6 x
73. ( Med. Jundiaí ) Dado o polinômio P = x
3
– 2x
2
+ mx – 1,
m ∈ IR, seja P(a) o valor de P para x = a. Se P(2) = 3.P(0),
então P(m) é igual a:
a) – 5
b) – 3 x
c) – 1
d) 1
e) 14
74. ( UFMG ) Os polinômios P(x) = px
2
+ qx – 4 e
Q(x) = x
2
+ px + q são tais que P(x + 1) = Q(2x) para todo
x real. Os valores de p e q são:
a) p = 1 e q = – 4
b) p = 2 e q = 4
c) p = 4 e q = – 4
d) p = 4 e q = 0 x
e) p = – 4 e q = 0

10. – 10 –
75. ( UFMG ) Para que os polinômios
P(x) = (a
2
+ b
2
– 109)x
3
+ 7x
2
+ cx e Q(x) = (a – b)x
2
+ 9x
sejam idênticos, o produto abc deve ser igual a:
a) – 540
b) – 270
c) 9 109
d) 270 x
e) 540
76. ( FGV-SP ) Se “p” e “q” são tais que o polinômio
(pq – 2)x
3
+ (p
2
+q
2
– 5x)x
2
+ (p + q – 3)x + 2p – 5q + 1 é
identicamente nulo, então p
3
+ q
3
vale:
a) 8
b) 54
c) 72
d) 9 x
e) n.r.a.
77. Dado que
1x
B
1x
A
1x
4
2
−
+
+
=
−
, para todo x ± 1, então o
valor de B
A
é:
a) 4
b) – 4
c) 1/4 x
d) – 1/4
78. ( UFF-RJ ) O polinômio P(x) = x
4
– 5x
3
+ 9x
2
– 7x + 2 tam-
bém pode ser escrito como P(x) = (x – 1)
n
(x – p). Assim, o
valor de “p” é:
a) 2 x
b) 1
c) 0
d) – 1
e) – 2
79. ( Fameca ) O polinômio x
3
– 4x
2
+ mx + n admite 1 e – 1
como raízes. Tomando-se, então, a função f(x) = mx + n, os
valores reais de x que satisfazem f(x) ≥ – 3 são:
a) x ≤ – 6
b) x ≥ 6
c) x ≤ 7 x
d) x ≥ – 7
e) x ≥ – 1
80. ( UEPG ) Seja Q(x) o quociente da divisão de P(x) = x
5
– 1
por x – 1. Então:
a) Q(0) = 0
b) Q(– 1) = – 1
c) Q(1) = 1
d) Q(– 2) = 10
e) n.r.a. x
81. ( UFPR ) Determine m e n de modo que o resto da divi-
são do polinômio y
5
– my
3
+ n por y
3
+ 3y
2
seja 5.
a) m = + 9 , n = – 5
b) m = + 9 , n = + 5 x
c) m = – 4 , n = – 5
d) m = + 4 , n = + 5
e) m = – 9 , n = – 5
82. ( UFSCar-SP ) A divisão de ( x3
– 6x – 1 ) por
( mx
2
+ nx + p ) apresenta como quociente ( x – 3 ) e como
resto ( x + 5 ). Os valores de m, n e p são, respectivamente:
a) ( 3 ; 2 ; 1 )
b) ( 2 ; 1 ; 3 )
c) ( 1 ; 3 ; 2 ) x
d) ( 2 ; 3 ; 1 )
e) ( 1 ; 2 ; 3 )
83. ( UFSM ) Dividindo-se o polinômio P(x) = x
3
+ x
2
+ x + 1 pe-
lo polinômio Q(x) obtém-se o quociente S(x) = 1 + x e o res-
to B(x) = x + 1. Pode-se afirmar que:
a) Q(2) = 0
b) Q(1) ≠ 0 x
c) Q(0) ≠ 0
d) Q(3) = 0
e) Q(1) ≠ 1
84. ( FAFI-BH ) O resto da divisão de
P(x) = x
5
– 3x
4
+ 2x
3
– x
2
+ x – 1 por Q(x) = x – 3 é:
a) um múltiplo de 7
b) um número primo x
c) um múltiplo de 12
d) um divisor de 100
e) maior que 50
85. ( Unirio ) O resto da divisão de P(x) = x
3
– x + 1 pelo poli-
nômio D(x) = x
2
+ x + 1 é igual a:
a) 0
b) x + 2
c) x – 2
d) – x + 2 x
e) – x – 2
86. ( Mack-SP ) Dividindo-se o polinômio P(x) por 2x – 1, ob-
têm-se quociente x
2
– x e resto “m”. Se P(– 1) = 0, então
o valor de “m” é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 6 x

11. – 11 –
87. ( FGV-RJ ) Dividindo-se o polinômio P(x) = x
n
– 1 por x – 1,
obtém-se:
a) resto igual a – 1
b) resto igual a – 2
c) quociente Q(x) = x
n – 1
+ x
n – 2
+ ... + x + 1 x
d) quociente Q(x) = x
n – 1
– x
n – 2
+ ... – x + 1
e) quociente Q(x) = x
n – 1
+ 1
88. ( UFBA ) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio
(x + a), usou-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini e en-
controu-se:
– 2 1 p – 3 4 – 5
q – 4 5 r 7
Os valores de a, q, p e r são, respectivamente
a) – 2, 1, – 6 e 6
b) 2, 1, – 2 e – 6
c) 2, – 2, – 2 e – 6
d) 2, 1, – 4 e 4
e) 2, – 2, 1 e – 6
89. ( UFGO ) Na divisão do polinômio
P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d pelo polinômio D(x) = x
2
+ 1 en-
contra-se para quociente o polinômio Q(x) = 2x – 1 e para
resto o polinômio R(x) = – x + 1. Então P(x) é o polinômio:
a) x
3
– x
2
+ x + 1
b) 2x
3
– x
2
+ 1
c) 2x
3
– x
2
– x + 1
d) 2x3
– x2
+ x x
90. ( FGV ) O resto da divisão do polinômio
x
10
+ x
9
+ x
8
+ x
7
+ x
6
- x
5
- x
4
- x
3
- x
2
- x + 1
pelo binômio x + 1 é:
a) 0
b) 1
c) – 1
d) 3
e) 2
91. ( MACK-SP ) O polinômio P(x) = 2x
3
– ax
2
+ bx + 2 é divi-
sível por 2x2
+ 5x – 2. Então a + b é igual a:
a) – 7
b) – 3
c) 0
d) 7
e) – 10 x
92. ( FGV-SP ) Para que o polinômio x
3
+ 4x
2
– px + 6 seja di-
visível por x + 2 é necessário que “p” seja igual a:
a) 7
b) 15
c) – 15
d) – 7 x
e) n.r.a.
93. ( FAFI-BH ) O resto da divisão de
P(x) = x
4
+ x
3
– 3x
2
+ 2x – 1 por Q(x) = x – 2 é:
a) 14
b) 15 x
c) 16
d) 17
e) 18
94. ( FEI-SP ) O polinômio P(x) = 2x
3
– ax
2
– 4x + 3 é divisível
por (x – 1)
2
. O coeficiente a é:
a) 0
b) 1 x
c) 2
d) – 1
e) 3
95. ( PUC-RS ) O resto da divisão de f(x) = x
n
+ a
n
por
g(x) = x + a, onde n é par, é:
a) 0
b) a
n
/2
c) a
n
d) 2a
n
x
e) 4a
n
96. ( UFES ) Se f é um polinômio tal que a soma dos seus
coeficientes é zero, então:
a) f(0) = 0
b) f é divisível por x – 1 x
c) f é divisível por x – 2
d) f é identicamente nulo
e) f não possui raízes reais
97. ( FGV-SP ) Dividindo-se P(x) por 3x – 2 obtêm-se quocien-
te x
2
– 2x + 5 e resto “m”. Se P(2) = 20, então “m” vale:
a) 0 x
b) 20
c) 4
d) 5
e) n.r.a.

12. – 12 –
98. ( Santa Casa-SP ) Dividindo-se um polinômio f por
x
2
– 3x + 1 obtêm-se quociente x + 1 e resto 2x + 1.
O resto da divisão de f por x + 1 é:
a) – 2
b) – 1 x
c) 3
d) 2x – 1
e) 2x + 1
99. ( Santa Casa-SP ) Na divisão do polinômio
m = x5
– 3x3
+ 18 por n = x – 2 obtêm-se
q = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e e resto r = f. É falso que:
a) a = c
b) b = d
c) d = e x
d) f = 5e + 3d
e) e = 2d + b – 2c
100. ( PUC-SP ) Para que valor de “m” o resto da divisão
de P1(x) = 4x
3
– 3x
2
+ mx + 1 por P2(x) = 2x
2
– x + 1 inde-
pende de “x” ?
a) m = 2/5
b) m = 1/5
c) m = 3/5
d) m = 5/2 x
e) n.r.a.
101. ( UFPA ) Sendo a e b tais que
2x
b
2x
a
4x
2x5
2
+
+
−
=
−
−
é
uma identidade, a expressão b – 2a vale:
a) – 3
b) – 2
c) – 1 x
d) 0
e) 1
102. ( ITA-SP ) Os valores de α, β e γ que tornam o polinô-
mio P(x) = 4x
5
+ 2x
4
– 2x
3
+ αx
2
+ βx + γ divisível por
Q(x) = 2x
3
+ x
2
– 2x + 1 satisfazem as desigualdades:
a) α > β > γ
b) α > γ > β x
c) β > α > γ
d) β > γ > α
e) γ > α > β
103. ( PUC-SP ) O valor de k para que o polinômio
P(x) = 6x
5
+ 11x
4
+ 4x
3
+ kx
2
+ 2x + 8 é divisível por
Q(x) = 3x + 4 é:
a) – 3 x
b) – 2
c) – 1
d) 2
e) 3
104. ( FGV-SP ) O resto da divisão de 5x
2n
– 4x
2n+1
– 2 ( n é
natural ) por x + 1 é igual a:
a) 7 x
b) 8
c) – 7
d) 9
e) – 9
105. ( FGV-SP ) Para que o polinômio x
3
– 8x + mx – n se-
ja divisível por (x + 1)(x – 2) o produto m.n deve ser igual:
a) – 8
b) 10 x
c) – 10
d) 8
e) – 6
106. ( ITA-SP ) A divisão de um polinômio P(x) por x
2
– x
resulta no quociente 6x
2
+ 5x + 3 e resto – 7x. O resto da
divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5 x

13. – 13 –
! " #$ % # & ' ( #
Define-se equação algébrica ( ou equação polinomial )
de grau n toda equação do tipo:
0axa...xaxaxaP(x) 01
2-n
2-n
1-n
1-n
n
n =+++++=
Onde:
( an ; an – 1 ; an – 2 ; ... ; a2 ; a1 ; a0 ) são números
complexos chamados coeficientes.
a0 0 é o termo independente de x.
x ∈ C é a variável
n ∈ IN indica o grau do polinômio.
Obs.: O número complexo α é raiz da equação P(x) = 0
se, e somente se, P(α) = 0.
Teorema Fundamental da Álgebra
Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n ≥ 1) possui
pelo menos uma raiz complexa.
Representação Fatorada
Toda equação algébrica
anx
n
+ an–1x
n–1
+ an–2x
n–2
+ ... + a1x + a0 = 0
de grau n pode ser decomposta em n fatores da forma ( x – α ),
em que αααα é uma raiz da equação:
( ) ( ) ( ) 0xxxa n11n =α−⋅⋅α−⋅α−⋅
Conclui-se então que, toda equação algébrica, de grau n
( n ≥ 1 ) tem exatamente n raízes, que podem ser nú-
meros imaginários ou reais.
Multiplicidade de Uma Raiz
Dizemos que α é uma raiz de multiplicidade m ( m ≥ 1 )
da equação polinomial P(x) = 0 se, fatorando o polinômio P(x),
encontramos m fatores (x – α).
Raízes Complexas
Se o número complexo a + bi é raiz da equação P(x) = 0,
de coeficientes reais, então seu conjugado a – bi também é ra-
iz dessa mesma equação.
Conseqüências:
toda equação algébrica de grau ímpar admite pelo
menos uma raiz real;
se z = a + bi é uma raiz com multiplicidade m de uma
equação algébrica P(x) = 0, então seu conjugado z = a – bi
também é raiz com multiplicidade m.
Teorema Fundamental da Álgebra
Se a fração racional irredutível
q
p
é uma raiz racional da
equação algébrica de coeficientes inteiros:
P(x) = anx
n
+ an–1x
n–1
+ an–2x
n–2
+ ... + a1x + a0 = 0
então p é divisor de a0 e q é divisor de an.
Relações de Girard
Dada a equação algébrica:
P(x) = anx
n
+ an–1x
n–1
+ an–2x
n–2
+ ... + a1x + a0 = 0
de raízes α1, α2, ..., αn. As relações entre os coeficientes da
equação e suas raízes são:
α1 + α2 + ... + αn =
n
1n
a
a −
− .
α1 . α2 + α1 . α3 + ... + αn–1 . αn =
n
2n
a
a −
.
α1 . α2 . α3 + α1 . α3 . α4 + ... + αn–2 . αn–1 . αn =
n
3n
a
a −
−
α1 . α2 . α3 . ... . αn–1 . αn = ( )
n
0n
a
a
1− .
Anotações

14. – 14 –
Exercícios
107. ( Unicruz-RS ) Uma equação algébrica possui como
raízes os valores 4, 3 e 2. Esta equação é:
a) 2x
3
– 3x
2
+ 4x – 4 = 0
b) x
3
– x
2
+ 2x – 8 = 0
c) x
3
– 2x
2
– x + 2 = 0
d) x
3
– 9x
2
+ 26x – 24 = 0 x
e) 4x
3
+ 3x
2
+ 2x = 0
108. ( FGV-SP ) Na equação: x
4
+ px
3
+ px
2
+ px + p = 0,
sabendo-se que 1 é raiz, então:
a) p = – 1/4 x
b) p = 0 ou p = 1
c) p = 0 ou p = – 1
d) p = 1 ou p = – 1
e) p = 1/3
109. ( PUC ) Qual é o único real x que satisfaz a equação:
a) 0 x
b) – 2
c) – 1
d) 1
e) 2
110. ( PUC-SP ) O número de raízes reais do polinômio
P(x) = ( x2
+ 1 )( x – 1 )( x + 1 ) é:
a) 0
b) 1
c) 2 x
d) 3
e) 4
111. ( PUC-SP ) A multiplicidade da raiz x0 = 1 da equação
x
4
– x
3
– 3x
2
+ 5x – 2 = 0 é:
a) 1
b) 2
c) 3 x
d) 4
e) 5
112. ( Med.Jundiaí-SP ) O número 2 é uma das raízes do
polinômio x
3
+ 4x – 16. As outras duas raízes:
a) são iguais;
b) são opostas;
c) são recíprocas;
d) são inteiras;
e) não são reais. x
113. ( Cescem-SP ) A equação 2x
3
– 5x
2
– x + 6 = 0 admi-
te uma raiz igual a 2. Então, as duas outras raízes são:
a) – 3/2 e 1
b) – 2 e 1
c) 3 e – 1
d) 3/2 e – 1 x
e) 3/2 e 2
114. ( CEFET-RJ ) O número complexo 1 + i é uma das ra-
ízes da equação z
4
+ k = 0, onde k é uma constante real
e positiva. A soma das outras três raízes da equação vale:
a) 0
b) – 1 – i x
c) 2 + 2i
d) – 3 + i
e) 4
115. ( Cescea-SP ) Sabendo-se que – 2 é uma raiz dupla
do polinômio P(x) = x
3
+ 3x
2
– 4, então o conjunto de todos
os números reais x para os quais a expressão
)x(P
1
está definida é:
a) { x ∈ IR / x ≠ – 2 }
b) { x ∈ IR / x > – 1 }
c) { x ∈ IR / x > 1 } x
d) { x ∈ IR / x ≠ – 2 e x ≠ 1 }
116. ( UFSM-RS ) Uma solução da equação
ax
3
+ 9x
2
+ 9x + 5 = 1 995 é x = 10. Para que a equação
ax
4
+ 5x
3
+ bx
2
+ 3x + 2 = 15 432 tenha também x = 10
como uma das soluções, o valor de b é:
a) – 4
b) – 2
c) 0
d) 2
e) 4 x
117. ( PUCCamp-SP ) Uma das raízes do polinômio
2x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 é o número complexo i. Somando-
se os quadrados de todas as raízes desse polinômio, o re-
sultado é:
a) – 3/4 x
b) –1/16
c) 0
d) 1
e) 3
?0
x311
3x10
02x1
=
−−−
−
−

15. – 15 –
118. ( PUCCamp-SP ) Um dos fatores do polinômio
P(x) = x
4
+ 2x
3
– 2x
2
+ 2x – 3 é o polinômio x
2
+ 1. Em
conseqüência, as raízes da equação P(x) = 0 são:
a) – 3 ; – 1 ; 1 ; 3
b) – i ; i ; – 3 . 1
c) – i ; i ; – 3 ; 3
d) – 1 ; 1 ; 2 ; 3
e) – i ; i ; 2 ; 3
119. ( Unirio ) Sabendo-se que o número 3 é raiz dupla da
equação ax
3
+ bx + 18 = 0, os valores de a e b são, res-
pectivamente:
a) 1/3 e – 9
b) 1/3 e 9
c) – 1/3 e – 9
d) – 1/3 e 9
e) 1 e – 3
120. ( UnB-DF ) P(x) é um polinômio que possui unicamente
as raízes 2/3 ( com multiplicidade 2 ) e 1/2 ( com multi-
plicidade 3 ) .Então P(x) poderá ser:
a) 5x
6
– 8x
4
+ 7x
2
+ 4
b) x
6
+ x
4
– 7x
3
+ 8x
2
+ 9x + 2
c) ( 9x
2
– 12x + 4 )( 8x
3
– 12x
2
+ 6x – 1 ) x
d) ( 3x – 2 )
3
( 2x – 1 )
2
121. ( Mack-SP ) Na equação ( x
3
– x
2
+ x – 1 )
18
= 0, a
multiplicidade da raiz x = 1 é:
a) 1
b) 9
c) 18 x
d) 36
e) 54
122. ( Osec-SP ) O grau de uma equação polinomial
P(x) = 0 cujas raízes são 3, 2 e 4 com multiplicidade 5, 6
e 10, respectivamente, é:
a) 9
b) 300
c) menor que 20
d) 21/9
e) 21 x
123. ( Mack-SP ) A equação 2x
4
– 3x
3
– 13x
2
+ 37x – 15 = 0
tem uma raiz igual a 2+i. As outras raízes da equação são:
a) 2 – i ; – 3 ; 1/2 x
b) – 2 + i ; 3 ; – 1/2
c) 3 – i ; – 3 ; 1/2
d) 3 + i ; – 1 ; – 3/2
e) 2 – i ; 1 ; 3/2
124. ( UFSE ) Sabe-se que a média aritmética de duas das
raízes da equação x
3
– x
2
– 10x + k = 0 é igual a 1. Nestas
condições, o valor de k é:
a) – 10
b) – 8
c) 4
d) 6
e) 8
125. ( Fuvest ) As três raízes de 9x
3
– 31x – 10 = 0 são p,
q e 2. O valor de p
2
+ q
2
é:
a) 5/9
b) 10/9
c) 20/9
d) 26/9
e) 31/9
126. ( Unesp ) A equação x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0, de
coeficientes reais, admite as raízes 2 – i e 3 + 2i. Então d é:
a) 75
b) 65 x
c) 25
d) 15
e) 10
127. ( PUC-SP ) Os números complexos 1 e 2 + i são ra-
ízes do polinômio x
3
+ ax
2
+ bx + c, onde a, b e c são
números reais. O valor de c é:
a) – 5 x
b) – 3
c) 3
d) 5
e) 9
128. ( Unificado-RJ ) Se a, b e c são as raízes da equa-
ção x
3
– 10x
2
– 2x + 20 = 0, então o valor da expressão
a
2
bc + ab
2
c + abc
2
é igual a:
a) 400
b) 200
c) – 100
d) – 200 x
e) – 400
129. ( PUCCamp-SP ) Se v e w são as raízes da equação
x
2
+ ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então
v
2
+ w
2
é igual a:
a) a
2
– 2b
b) a
2
+ 2b
c) a
2
– 2b
2
d) a
2
+ 2b
2
e) a
2
– b
2

16. – 16 –
130. ( FGV-SP ) A soma de duas raízes da equação
x
3
– 10 x + m = 0 é 4. O valor de m é, então, igual a:
a) 6
b) 12
c) 18
d) 24 x
e) 30
131. ( Santa Casa-SP ) A soma dos inversos das raízes da
equação 2x
3
– 5x
2
+ 4x + 6 = 0 é:
a) 3/2
b) 2/3
c) 1/3
d) – 2/3 x
e) – 3/2
132. ( Cescea-SP ) A soma das raízes da equação
a) 3 x
b) 2
c) 1
d) – 2
e) – 5
133. ( PUC-SP ) Se as raízes da equação
x
2
+ bx + 12 = 0 são, cada uma, 7 unidades maiores do
que as raízes de x
2
+ βx + 12 = 0, então:
a) β = – 5;
b) β = 5;
c) β = – 7;
d) β = 7; x
e) faltam dados para determinar β.
134. ( UNIF ) Resolvendo-se a equação
x
3
– x
2
+ 14x + m = 0 encontramos as raízes x1, x2 e x3,
distintas e não nulas. Se
12
7
x
1
x
1
x
1
321
=++ , m é igual a:
a) – 1
b) – 7
c) – 12
d) –14
e) – 24 x
135. ( FGV-SP ) A equação x
3
+ x
2
– 10x + 8 = 0 admite 1
como raiz. Sejam b e c as outras raízes. Então, pode-se
afirmar que:
a) b + c = – 2 x
b) b . c = 8
c) b = 3
d) c = – 2
e) n.r.a.
136. ( UFF-RJ ) Considere três números reais, m, n e p, tais
que:
m + n + p =
5
1
−
mn + np + mp =
3
2
mnp =
5
3
−
Pode afirmar que m, n e p são raízes do polinômio:
a) Q(x) = 10x
3
+ 8x
2
+ 3x + 15
b) Q(x) = 8x
3
+ 10x
2
+ 15x + 3
c) Q(x) = 3x
3
+ 15x
2
+ 10x + 8
d) Q(x) = 8x
3
+ 15x
2
+ 3x + 10
e) Q(x) = 15x
3
+ 3x
2
+ 10x + 9 x
137. ( FGV-SP ) A soma das raízes da equação
x
2
+ bx + c = 0 é 10 e o produto das raízes é – 2. Logo:
a) b + c = 8
b) b = c = – 8
c) b + c = – 12 x
d) bc = 12
e) bc = – 12
138. ( FEI-SP ) Sendo a, b e c as raízes da equação
x
3
– 4x
2
+ 5x + 3 = 0, então o valor da expressão
ab
c
ac
b
bc
a
++ é:
a) – 3
b) 4/5
c) – 16/3
d) – 2 x
e) n.r.a.
139. ( Vunesp ) Um valor de m para o qual uma das raízes
da equação x
2
– 3mx + 5m = 0 é o dobro da outra é:
a) – 5/2
b) 2
c) – 2
d) – 5
e) 5/2 x
140. ( Santa Casa ) Seja a equação x
3
+ x
2
+ kx + t = 0, on-
de k e t são coeficientes reais. Se o complexo 1 – 2i é uma
da raízes dessa equação, o produto das três raízes é:
a) – 15 x
b) – 12
c) – 9
d) 9
e) 15

17. – 17 –
141. ( Med. Jundiaí ) O polinômio P = 2x
3
+ ax
2
– ax + b, de
coeficiente s reais, é divisível por x + 1. Se o resto da divi-
são de P por x – 1 é – 2, então a soma e o produto das
raízes da equação P = 0 são, respectivamente:
a)
2
3
− e 2 x
b)
2
3
e – 2
c) – 3 e 4
d) 3 e – 4
e) – 2 e 3
142. ( Fuvest-SP ) A equação x
3
– 8px
2
+ x – q = 0 admite
a raiz 1 com multiplicidade 2. Então p vale:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4 x
d) 1/5
e) 1/6
143. ( ITA-SP ) A soma dos quadrados das raízes da equa-
ção 2x
3
– 8x
2
– 60x + k = 0 ( k constante ) é:
a) 76 + k
2
b) ( 34 + k )2
c) 66
d) 76 x
e) n.r.a.
144. ( FEI-SP ) Sendo a, b e c as raízes da equação
2x3
– 3x2
+ 5x + 1 = 0, o valor da expressão
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
é:
a) 19
b) 31
c) 19/4
d) 31/4 x
e) n.r.a.
145. ( FGV-SP ) Considere a matriz
+
+
+
+
=
)4x(321
4)3x(21
43)2x(1
432)1x(
A
As raízes da equação det A = 0 têm por soma o número:
a) 0
b) 10
c) – 10 x
d) 20
e) n.r.a.
146. ( Fuvest-SP ) Sabe-se que o produto de duas raízes da
equação algébrica 2x
3
– x
2
+ kx + 4 = 0 é igual a 1. Então,
o valor de k é:
a) – 8 x
b) – 4
c) 0
d) 4
e) 8
147. ( Mack-SP ) O número de soluções reais da equação
x
x4x
x8x2
2
2
=
−
−
é:
a) 0;
b) 1; x
c) 2;
d) 3;
e) não sei.
148. ( PUC-SP ) As raízes da equação
3x
3
– 13x
2
+ 13x – 3 = 0 são:
a) 7 ; 6 ; 1/7
b) 6 ; 5 ; 1/6
c) 5 ; 7 ; 1/5
d) 1 ; 3 ; 1/3 x
e) 2 ; 4 ; 1/2
149. ( EEAr ) Uma das raízes da equação
2x
3
+ x
2
– 7x – 6 = 0 é x1 = 2. Pode-se afirmar que:
a) as outras raízes são números imaginários puros.
b) as outras raízes são – 3 e – 2.
c) só uma das outras raízes é real.
d) as outras raízes estão entre – 2 e 0. x
150. ( ITA-SP ) Se a, b, c são raízes da equação
x
3
– rx + 20 = 0, onde r é um número real, podemos
afirmar que o valor de a
3
+ b
3
+ c
3
é;
a) – 60 x
b) 62 + r
c) 62 + r
2
d) 62 + r
3
e) 62 – r
151. ( FGV-SP ) Dada a equação x
3
– 7x + p = 0, determine
p de modo que uma das raízes seja o dobro da outra.
a) p = ± 6 x
b) p = ± 3
c) p = ± 5
d) p = 10
e) n.r.a.

18. – 18 –
152. ( FGV-SP ) O valor de m para que as raízes da e-
quação x
3
+ 3x
2
– 6x + m = 0 estejam em P.A. é:
a) – 8 x
b) – 6
c) – 3
d) 2
e) n.r.a.
153. ( UnB-DF ) P(x) = x3
+ Ax + 6 750 é um polinômio do
3
o
grau com uma raiz dupla e uma simples. Qual o valor
absoluto da raiz simples?
a) 10
b) 20
c) 30 x
d) 5
e) 0
154. ( FEI-SP ) A equação x
3
– 2x
2
– x + 2 = 0 apresenta
duas raízes simétricas. O produto das duas raízes é:
a) – 1
b) 0
c) 2 x
d) 3
e) 4
155. ( Mack-SP ) As raízes x1, x2 e x3 da equação
x
3
– 3x
2
+ cx + d = 0 formam uma P.A. de razão 3. Então, o
valor de x1.x2.x3 é:
a) – 8 x
b) – 12
c) 3
d) 9
e) 12
156. ( Cescea-SP ) Sendo c a maior das três raízes a, b
e c da equação x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6 = 0, e sabendo-se que
uma delas é média aritmética das outras duas, calcule a +
b + 4c.
a) – 9 x
b) – 12
c) – 10
d) – 11
e) – 7
157. ( EEAr ) Considere a equação
x
3
+ 6x
2
+ 13x + 10 = 0 em que – 2 é uma das raízes. As
demais raízes são:
a) – 2 + i e – 2 – i x
b) – 1 e – 5
c) 2 – i e 2 + i
d) – 2 + 2i e – 2 – 2i
158. ( EEAr ) Uma equação de 3
o
grau cujas raízes são
– 1, – 2 e 3 é :
a) x
3
+ 6x
2
– 9x + 6 = 0
b) x
3
– 6x
2
– 6 = 0
c) x
3
– 7x – 6 = 0 x
d) x
3
+ 6x
2
+ 9x = 0
159. ( EEAr ) Se a equação 4x
2
– 3(p – 1)x + p = 0, na vari-
ável x, tem raízes reais e simétricas, então o valor de p é:
a) – 9
b) – 1
c) 9
d) 1
160. ( EEAr ) A soma dos cubos das raízes da equação
1
9x
2
3x
1x2
2
=
−
−
−
+
é:
a) – 343
b) – 133
c) – 7
d) – 3
161. ( EEAr ) Considere as afirmações:
I. Qualquer raiz racional da equação x
3
+ 3x
2
– 3x + 9 = 0 é
inteira.
II. O menor grau da equação polinomial de coeficientes re-
ais, que admite as raízes 3, 2 + i e – i, é 5.
III. Toda equação polinomial da forma ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx
+ c = 0, de coeficientes reais e a ≠ 0, necessariamente possui
uma raiz real.
São verdadeiras as afirmações:
a) I, II e III
b) I e II
c) II e III
d) I e III