1) O documento apresenta uma questão de múltipla escolha sobre números racionais e irracionais.
2) A questão seguinte trata de conjuntos e relações entre eles.
3) As demais questões envolvem cálculos e propriedades geométricas relacionadas a triângulos, circunferências, esferas, prisma e tetraedro regular.
O documento resume os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também aborda representações decimais de números racionais, coordenadas cartesianas, distância entre pontos e equações de circunferências. Exemplos e exercícios são fornecidos para revisar os conceitos.
1) O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos, definição de probabilidade e exemplos de cálculos.
2) É introduzido o conceito de experimento aleatório e probabilidade como uma medida da possibilidade de ocorrência de um evento.
3) São apresentados diversos exemplos para calcular a probabilidade de eventos em espaços amostrais como lançamento de moedas e dados.
1) O documento apresenta 10 exercícios de matemática envolvendo números complexos.
2) No exercício 8, pede-se para determinar a hora de um jantar secreto a partir da representação dos ponteiros do relógio como números complexos.
3) No exercício 9, é solicitado calcular o módulo, argumento e representar graficamente o número complexo 2 + 2(√3)i.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
Exercícios: noções de conjuntos e conjuntos numéricosthieresaulas
1. O documento é um blog sobre cálculo básico e matemática para concursos que fornece 27 exercícios sobre álgebra e conjuntos numéricos.
2. Os exercícios envolvem operações com conjuntos como união, interseção e diferença entre conjuntos.
3. Muitos exercícios também envolvem números reais e racionais.
Este simulado contém 20 questões de matemática sobre diversos tópicos como probabilidade, geometria, álgebra e funções. As questões envolvem cálculos, interpretação de gráficos e figuras geométricas.
1) O documento descreve sequências e progressões aritméticas, definindo-as como listas ordenadas de números que seguem uma regra. 2) Ele fornece exemplos de sequências comuns e explica como encontrar a expressão geral de uma sequência e calcular termos específicos. 3) O documento também explica o que é uma progressão aritmética e fornece a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética.
Este documento contém 10 questões sobre círculos e circunferências no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como pontos de tangência, cordas, centros e raios de circunferências, regiões determinadas por condições geométricas e sistemas de equações.
O documento resume os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também aborda representações decimais de números racionais, coordenadas cartesianas, distância entre pontos e equações de circunferências. Exemplos e exercícios são fornecidos para revisar os conceitos.
1) O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos, definição de probabilidade e exemplos de cálculos.
2) É introduzido o conceito de experimento aleatório e probabilidade como uma medida da possibilidade de ocorrência de um evento.
3) São apresentados diversos exemplos para calcular a probabilidade de eventos em espaços amostrais como lançamento de moedas e dados.
1) O documento apresenta 10 exercícios de matemática envolvendo números complexos.
2) No exercício 8, pede-se para determinar a hora de um jantar secreto a partir da representação dos ponteiros do relógio como números complexos.
3) No exercício 9, é solicitado calcular o módulo, argumento e representar graficamente o número complexo 2 + 2(√3)i.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
Exercícios: noções de conjuntos e conjuntos numéricosthieresaulas
1. O documento é um blog sobre cálculo básico e matemática para concursos que fornece 27 exercícios sobre álgebra e conjuntos numéricos.
2. Os exercícios envolvem operações com conjuntos como união, interseção e diferença entre conjuntos.
3. Muitos exercícios também envolvem números reais e racionais.
Este simulado contém 20 questões de matemática sobre diversos tópicos como probabilidade, geometria, álgebra e funções. As questões envolvem cálculos, interpretação de gráficos e figuras geométricas.
1) O documento descreve sequências e progressões aritméticas, definindo-as como listas ordenadas de números que seguem uma regra. 2) Ele fornece exemplos de sequências comuns e explica como encontrar a expressão geral de uma sequência e calcular termos específicos. 3) O documento também explica o que é uma progressão aritmética e fornece a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética.
Este documento contém 10 questões sobre círculos e circunferências no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como pontos de tangência, cordas, centros e raios de circunferências, regiões determinadas por condições geométricas e sistemas de equações.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
Este documento apresenta os principais tópicos sobre operações algébricas de primeiro grau: (1) Discute expressões algébricas, incluindo monômios, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios; (2) Apresenta produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas; (3) Define equações do primeiro grau e sua resolução; (4) Discutem sistemas de equações do primeiro grau.
1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo.
2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos.
3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.
(I) O documento apresenta definições e propriedades relacionadas a equações do 1o e 2o grau, incluindo métodos de resolução. (II) Discute o conceito de raiz, conjunto-solução e métodos para determinar as raízes de equações do 1o e 2o grau. (III) Apresenta exemplos resolvidos de equações do 1o e 2o grau.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre polinômios e suas raízes. A primeira questão pede para completar lacunas sobre as raízes de uma equação quarto grau. A segunda pergunta trata de polinômios de terceiro grau com raízes em progressão aritmética. A terceira questão aborda valores que fazem com que as raízes de um polinômio quarto grau estejam em progressão aritmética.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre conjuntos e operações entre conjuntos, como união, intersecção, diferença e complemento. Também inclui exercícios sobre sistemas de equações lineares e racionalização de frações. Os exercícios abordam conceitos fundamentais de álgebra.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo explicações sobre conceitos básicos de aritmética como potenciação, radiciação e sistemas de numeração.
2) Inclui tópicos como propriedades de potenciação e radiciação, raiz quadrada aproximada, racionalização de expressões e transformação de radicais duplos.
3) Foi produzido pela IESDE Brasil S.A. e contém autores de diversas disciplinas para preparação de vestibulares.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
I. A afirmação I da questão 1 é falsa, enquanto as afirmações II e III são verdadeiras.
II. A função definida no domínio C da questão 2 toma valores no intervalo [2,5].
III. Na questão 3, jzj pertence ao intervalo [5,6].
Teoria de conjuntos fichas de exercícios wilkerfilipel
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre teoria de conjuntos. Os exercícios abordam tópicos como definição de conjuntos, determinação de subconjuntos, operações entre conjuntos e afirmações lógicas envolvendo conjuntos.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosAntonio Carneiro
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações de 2o grau, incluindo: (1) definição de equação de 2o grau e seus coeficientes; (2) tipos de equações de 2o grau (completas e incompletas); (3) raízes de equações de 2o grau e sua resolução; (4) fórmula de Bhaskara para resolução de equações completas. Também aborda equações literais e relações entre coeficientes e raízes.
O documento define termos e conceitos relacionados a sistemas lineares, incluindo: 1) equações lineares e não lineares; 2) solução de equações e sistemas lineares; 3) sistemas normais, possíveis, determinados e indeterminados. Ele também descreve métodos para resolver e classificar sistemas lineares, como a regra de Cramer e o escalonamento da matriz.
O documento fornece instruções para a realização de um exame de ingresso em pós-graduação em computação, incluindo: (1) verificar os dados do candidato e não utilizar dispositivos eletrônicos; (2) a prova terá 70 questões objetivas de múltipla escolha e duração de 4 horas; (3) ao finalizar, aguardar autorização para entregar o caderno de prova e gabarito.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.
1) O documento apresenta uma ficha de trabalho sobre números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações e raízes.
2) Inclui 35 questões, sendo 15 de escolha múltipla e 20 de resposta aberta sobre estes tópicos.
3) Aborda conceitos como adição, multiplicação, divisão e raízes de números complexos, bem como suas representações geométricas no plano complexo.
1) Determinantes são funções que associam escalares a matrizes quadradas e são usados na solução de sistemas de equações lineares.
2) Existem símbolos para representar determinantes de segunda ordem e eles podem ser calculados por decomposição de matrizes de ordem superior.
3) Determinantes possuem propriedades como não se alterarem com trocas de linhas e colunas e serem nulos se linhas forem iguais.
O capítulo descreve métodos de investigação geotécnica e de campo importantes para projetos de fundações e obras de contenção, incluindo: (1) sondagens de simples reconhecimento como poços e escavações a trado ou por circulação d'água; (2) ensaios de campo como o SPT para prever propriedades do solo; (3) a importância destas investigações para reduzir fatores de segurança e tornar projetos mais seguros e econômicos.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
Este documento apresenta os principais tópicos sobre operações algébricas de primeiro grau: (1) Discute expressões algébricas, incluindo monômios, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios; (2) Apresenta produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas; (3) Define equações do primeiro grau e sua resolução; (4) Discutem sistemas de equações do primeiro grau.
1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo.
2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos.
3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.
(I) O documento apresenta definições e propriedades relacionadas a equações do 1o e 2o grau, incluindo métodos de resolução. (II) Discute o conceito de raiz, conjunto-solução e métodos para determinar as raízes de equações do 1o e 2o grau. (III) Apresenta exemplos resolvidos de equações do 1o e 2o grau.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre polinômios e suas raízes. A primeira questão pede para completar lacunas sobre as raízes de uma equação quarto grau. A segunda pergunta trata de polinômios de terceiro grau com raízes em progressão aritmética. A terceira questão aborda valores que fazem com que as raízes de um polinômio quarto grau estejam em progressão aritmética.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre conjuntos e operações entre conjuntos, como união, intersecção, diferença e complemento. Também inclui exercícios sobre sistemas de equações lineares e racionalização de frações. Os exercícios abordam conceitos fundamentais de álgebra.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo explicações sobre conceitos básicos de aritmética como potenciação, radiciação e sistemas de numeração.
2) Inclui tópicos como propriedades de potenciação e radiciação, raiz quadrada aproximada, racionalização de expressões e transformação de radicais duplos.
3) Foi produzido pela IESDE Brasil S.A. e contém autores de diversas disciplinas para preparação de vestibulares.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
I. A afirmação I da questão 1 é falsa, enquanto as afirmações II e III são verdadeiras.
II. A função definida no domínio C da questão 2 toma valores no intervalo [2,5].
III. Na questão 3, jzj pertence ao intervalo [5,6].
Teoria de conjuntos fichas de exercícios wilkerfilipel
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre teoria de conjuntos. Os exercícios abordam tópicos como definição de conjuntos, determinação de subconjuntos, operações entre conjuntos e afirmações lógicas envolvendo conjuntos.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosAntonio Carneiro
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações de 2o grau, incluindo: (1) definição de equação de 2o grau e seus coeficientes; (2) tipos de equações de 2o grau (completas e incompletas); (3) raízes de equações de 2o grau e sua resolução; (4) fórmula de Bhaskara para resolução de equações completas. Também aborda equações literais e relações entre coeficientes e raízes.
O documento define termos e conceitos relacionados a sistemas lineares, incluindo: 1) equações lineares e não lineares; 2) solução de equações e sistemas lineares; 3) sistemas normais, possíveis, determinados e indeterminados. Ele também descreve métodos para resolver e classificar sistemas lineares, como a regra de Cramer e o escalonamento da matriz.
O documento fornece instruções para a realização de um exame de ingresso em pós-graduação em computação, incluindo: (1) verificar os dados do candidato e não utilizar dispositivos eletrônicos; (2) a prova terá 70 questões objetivas de múltipla escolha e duração de 4 horas; (3) ao finalizar, aguardar autorização para entregar o caderno de prova e gabarito.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.
1) O documento apresenta uma ficha de trabalho sobre números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações e raízes.
2) Inclui 35 questões, sendo 15 de escolha múltipla e 20 de resposta aberta sobre estes tópicos.
3) Aborda conceitos como adição, multiplicação, divisão e raízes de números complexos, bem como suas representações geométricas no plano complexo.
1) Determinantes são funções que associam escalares a matrizes quadradas e são usados na solução de sistemas de equações lineares.
2) Existem símbolos para representar determinantes de segunda ordem e eles podem ser calculados por decomposição de matrizes de ordem superior.
3) Determinantes possuem propriedades como não se alterarem com trocas de linhas e colunas e serem nulos se linhas forem iguais.
O capítulo descreve métodos de investigação geotécnica e de campo importantes para projetos de fundações e obras de contenção, incluindo: (1) sondagens de simples reconhecimento como poços e escavações a trado ou por circulação d'água; (2) ensaios de campo como o SPT para prever propriedades do solo; (3) a importância destas investigações para reduzir fatores de segurança e tornar projetos mais seguros e econômicos.
1. O documento apresenta notas de aula sobre o estado de tensões em solos. 2. Aborda conceitos como tensões horizontais e verticais em solo, coeficiente de empuxo no repouso e suas correlações empíricas. 3. Apresenta métodos para determinação experimental do coeficiente de empuxo, como ensaios de laboratório e no campo.
Slides utilizadas na segunda aula da disciplina "Docência com as tecnologias: concepções, técnicas e artefatos", PPGE/UNESA, Linha TICPE. Ver http://ticpe.wordpress.com
1. O documento é um encarte do jornal de Fato sobre vestibular, contendo artigos sobre literatura, redação e português, além de notícias sobre Enem e universidades.
2. A professora Luana Maia resume o romance "Vidas Secas", de Graciliano Ramos, obra indicada para o vestibular da UFRN.
3. O Enem é adiado e o MEC estuda novas datas para a prova. Universidades como UERN e UFERSA adiam seus processos seletivos à espera do Enem.
Este documento apresenta resumos de conteúdos de Matemática, Física e Literatura. Inclui tópicos como progressões aritméticas, trigonometria, movimentos de projéteis, trabalho e energia, e realismo e naturalismo. Também descreve o acervo e serviços de bibliotecas da Universidade do Estado do Amazonas.
Este documento discute equações do primeiro grau, definindo equações, regras para resolvê-las e tipos de equações como literais e com denominadores. Exemplos demonstram como resolver equações para encontrar valores desconhecidos.
O documento discute os tópicos de mecânica dos solos ao longo de um semestre. Ele inclui a programação de aulas sobre origem e formação dos solos, sondagens, estudo de tensões, permeabilidade e adensamento, entre outros.
1) O documento contém uma prova de matemática com 10 questões.
2) A prova aborda tópicos como divisão de quantias, funções, geometria, conversão de unidades e composição de funções.
3) O aluno demonstrou habilidade em resolver problemas envolvendo esses diferentes tópicos matemáticos.
1) O documento apresenta 6 questões de matemática sobre sequências numéricas, expressões algébricas, logaritmos e raízes complexas.
2) A segunda parte contém 6 questões de física sobre colisões, movimento harmônico simples, termodinâmica de gases ideais e óptica.
3) Os documentos fornecem problemas e exercícios típicos de vestibulares de engenharia com foco em matemática e física.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais da física, como definição de física, fenômeno, grandeza física escalar e vetorial.
2) São descritas as unidades de medidas do Sistema Internacional (SI) para comprimento, massa, tempo e outras grandezas.
3) O texto explica conceitos como calor, temperatura, pressão atmosférica e densidade com exemplos.
O documento discute o problema do lixo eletrônico e como ele é gerenciado. Em três frases:
O lixo eletrônico está se acumulando em grandes quantidades e pode ser reutilizado, exportado ilegalmente para países em desenvolvimento ou incinerado, liberando substâncias tóxicas. A melhor solução é promover o design verde e a produção de eletrônicos livres de substâncias tóxicas.
[1] O documento apresenta notas de aula sobre prospecção e amostragem de solos, incluindo objetivos de investigações geotécnicas, etapas de investigação, métodos de prospecção diretos, semi-diretos e indiretos. [2] Descreve ensaios de campo como o CPT, SPT e ensaios pressiométricos e suas aplicabilidades. [3] Inclui também índice e exercícios relacionados ao tema.
O documento apresenta métodos para calcular a capacidade de carga de fundações em estacas utilizando os resultados de SPT. Apresenta o Método de Décourt-Quaresma e o Método de Aoki-Velloso, e faz um exemplo prático utilizando uma planilha para dimensionar estacas para um pilar.
Este documento apresenta o terceiro fascículo do Procefet-2008, que contém questões comentadas e resolvidas do Exame de Seleção Técnico de Nível Médio de 2006, além de um simulado com questões de Português, Matemática, Cidadania e uma proposta de produção textual. O fascículo destaca a importância de organizar o tempo de estudo e buscar ajuda quando tiver dúvidas.
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Física - VideoAulas Sobre Exercícios Resolvidos de Gravitação Universal – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeFisicaApoio.com
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
O documento apresenta os principais conceitos e operações de conjuntos matemáticos, incluindo subconjuntos, igualdade, união, interseção, diferença e complementação. Também define conjuntos numéricos importantes como naturais, inteiros, racionais e reais, além de apresentar exercícios para fixação dos conceitos.
S = documento contém exercícios resolvidos de física sobre mecânica e termodinâmica. Aborda conceitos como cinemática, equação horária, escalas termométricas. Inclui resolução de problemas envolvendo movimento retilíneo uniforme, queda livre e conversão entre escalas de temperatura.
1) O documento fornece resumos de problemas de matemática com soluções.
2) O problema 7 calcula o volume de uma caixa feita a partir de uma lâmina retangular com recortes, sendo a resposta 140x - 48x2 + 4x3.
3) O problema 8 determina o valor de um parâmetro a a partir de uma relação entre variáveis proporcionais, sendo a igual a 2.
4) O problema 11 calcula o ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 2h15min, porém a resposta não é fornec
Este documento apresenta um teste de avaliação de matemática do 11o ano composto por duas partes. A primeira parte contém 5 questões de escolha múltipla sobre trigonometria. A segunda parte contém 3 problemas que requerem raciocínio e cálculos para determinar áreas e soluções de equações trigonométricas.
Este documento apresenta resoluções comentadas de 10 questões de uma prova de matemática aplicada do Colégio Naval. As resoluções utilizam conceitos como teorema de Pitágoras, geometria plana, equações do segundo grau e razão e proporção.
1) Este documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as respostas corretas para as 20 questões aplicadas e as respectivas soluções.
2) Uma questão foi anulada e todos os alunos devem receber 1 ponto por ela.
3) As soluções explicam passo a passo o raciocínio matemático para chegar às respostas corretas de cada questão.
Este documento contém o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as soluções de 20 questões e observações sobre a correção.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Trata de questões sobre multiplicação de matrizes, determinantes, igualdade de sistemas lineares e inversão de matrizes.
1) O documento apresenta 16 questões de geometria plana resolvidas, abordando tópicos como ângulos na circunferência, relações métricas em figuras planas e polígonos.
2) As questões envolvem cálculos e aplicação de propriedades geométricas para encontrar medidas de ângulos, lados, áreas e perímetros de figuras planas.
3) As resoluções demonstram os passos para chegar à resposta correta aplicando fórmulas e raciocínios geométricos.
Este documento contém resoluções de questões de matemática do 3o ano do ensino médio. As questões abordam tópicos como geometria plana e espacial, funções, porcentagem, estatística e probabilidade. As resoluções variam de uma a três frases e fornecem as etapas essenciais para chegar à resposta correta de cada questão.
(1) O documento apresenta 23 questões de geometria analítica sobre conceitos como coordenadas cartesianas, equações de retas e curvas, áreas de regiões planas definidas por desigualdades e interseções entre figuras geométricas.
(2) As questões envolvem cálculo de comprimentos, ângulos, equações de retas, áreas de figuras planas e identificação de propriedades geométricas a partir de figuras apresentadas.
(3) As respostas variam entre letras que identificam a alternativa correta para
1) O documento apresenta questões sobre matemática, incluindo geometria, álgebra e estatística.
2) As questões envolvem triângulos, relógios, porcentagens, equações e gráficos de funções.
3) A maioria das questões tem como solução uma das alternativas fornecidas, indicando tratar-se de um teste ou prova.
1) Ralf, David e Rubinho ocuparam as três primeiras posições da corrida desde o início, sem alteração.
2) A liderança mudou de mãos entre os três competidores nove vezes.
3) A segunda e terceira posições trocaram de lugar oito vezes.
Este documento contém 15 questões de matemática sobre sistemas lineares, matrizes e determinantes. As questões incluem cálculos e resoluções de exercícios envolvendo estas operações matriciais.
1. O documento contém 15 problemas de matemática envolvendo conjuntos numéricos, divisibilidade, porcentagem, restos de divisão e geratrizes de dízimas.
2. As respostas incluem determinar valores para que dois conjuntos sejam iguais, obter conjuntos de valores inteiros satisfazendo certas condições, e calcular quantidades relacionadas a porcentagens e restos de divisão.
3. Muitos problemas envolvem aplicar propriedades dos números inteiros como divisibilidade, decompor em fatores primos, e usar propriedades
Este documento apresenta um teste sumativo constituído por duas partes. A primeira parte contém seis questões de escolha múltipla. A segunda parte contém quatro questões de resposta aberta divididas em alíneas para um total de oito questões. As instruções detalham como preencher as respostas para cada parte do teste.
O documento fornece informações sobre o cálculo da capacidade de um açude em forma de losango. A capacidade é estimada multiplicando-se a área da superfície pelo a profundidade. Dados a área de 160.000 m2 e a profundidade de 2m, a capacidade é de 320.000 m3 ou 32.000.000 litros, o que poderia atender aproximadamente 16.000 famílias com consumo mensal de 2.000 litros cada.
1) O documento é uma lista de exercícios de Números Complexos com 12 questões.
2) As questões abordam cálculos e demonstrações envolvendo operações com números complexos como adição, multiplicação, raiz e argumento.
3) A lista tem como objetivo avaliar a compreensão dos alunos sobre os conceitos fundamentais de números complexos.
Reavaliação gab 1etapa_ 9a_conjuntos_numericos_geometria_2011Joelson Lima
1) O documento é um gabarito de uma prova de matemática do 9o ano com 10 questões sobre números reais, potenciação, frações periódicas, conjuntos numéricos e teoremas geométricos.
2) A prova avaliou conceitos como intervalos, simplificação de frações, racionalização de denominadores e uso de fórmulas trigonométricas e geométricas.
3) O aluno obteve nota máxima ao responder corretamente todas as questões da prova.
Este documento é um mini-teste de matemática para alunos do 11o ano com 10 questões de escolha múltipla sobre trigonometria. As questões cobrem tópicos como equações trigonométricas, relações trigonométricas, identidades trigonométricas e figuras geométricas. Os alunos têm 30 minutos para completar o teste e só é permitido usar calculadora e material de escrita.
O documento apresenta 10 questões de um exercício de matemática. As questões envolvem cálculos de velocidade, volume de água, números naturais, capacidade de tanque de gasolina, área de terreno e lado de cerâmica. A última questão propõe encontrar um valor para p dias com base no vazamento de uma torneira.
O documento apresenta 10 questões de matemática financeira e porcentagem. Na questão 1, calcula-se juros compostos e tempo para duplicação de capital. Na questão 2, calcula-se um valor inicial emprestado. Nas questões 3-4 resolvem-se exercícios de índice de variação de preços. Nas questões 5-8 analisam-se situações envolvendo descontos e porcentagens. Nas questões 9-10 calculam-se preços com descontos e composição de custos.
O documento apresenta 10 questões sobre sistemas lineares, equações matriciais e problemas de matemática financeira. As questões abordam tópicos como determinação de sistemas lineares, solução de equações matriciais, cálculo de custos de transporte e consumo de combustível.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre diversos temas como porcentagem, sistemas de equações, velocidade e outras. A questão 5 pede para calcular o número estimado de brasileiros analfabetos absolutos em matemática usando dados de uma pesquisa. A questão 9 fornece informações sobre códigos de barras e pede para determinar um dígito ausente. A questão 10 apresenta um sistema de equações para calcular o consumo de combustível de um carro em diferentes situações.
I. O documento apresenta uma questão sobre três irmãs: Ana, Beatriz e Clara, onde uma diz a verdade e as outras duas mentem.
II. Ana responde que se perguntarem para cada irmã se a outra mente ou fala a verdade, Beatriz dirá que Clara fala a verdade e Clara dirá que Beatriz mente.
III. O documento também contém outras questões sobre jogos matemáticos e lógica.
Este documento apresenta 10 questões de matemática. A questão 7 pede para calcular a quantidade mínima de metros de barbante necessária para embalar um pacote em forma de prisma retangular. As dimensões do pacote são dadas e 20 cm devem ser reservados para o laço.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo polinômios, raízes e funções quadráticas.
2) A questão 5 pede para identificar qual afirmação é correta sobre o número 2 ser uma raiz dupla de um determinado polinômio.
3) A questão 10 pede para esboçar o gráfico do produto de duas funções quadráticas dadas e calcular o quociente de dois polinômios.
O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo álgebra, incluindo polinômios, raízes e divisibilidade. A questão 5 pede para determinar o valor de k para que 2 seja raiz de um polinômio, as outras raízes e os intervalos onde o polinômio é positivo. A questão 8 pede para calcular os valores de p e q sabendo que um polinômio é divisível por x-2 e seu valor em 1.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vetores e geometria. As questões envolvem cálculos com vetores, ângulos entre vetores, determinação de áreas e perímetros. O gabarito fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo vetores e suas operações. As questões 1-5 tratam de cálculos com vetores dados. As questões 6-8 envolvem representações gráficas de rotações de vetores. As questões 9-10 tratam de planos e suas interseções.
Este documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões abordam tópicos como operações com números complexos, raízes de polinômios, conjuntos solução de equações e representação geométrica de números complexos no plano.
Este documento contém 10 questões sobre funções trigonométricas, análise de funções e cálculo de Produto Interno Bruto (PIB). A questão 1 calcula o valor de uma expressão trigonométrica. A questão 7 explicita uma função composta e determina seu valor máximo. E a questão 9 calcula o valor do PIB de um país em 2004.
Este documento contém 10 questões sobre cálculo e funções matemáticas. As questões incluem determinar soluções de equações trigonométricas, sistemas de equações, áreas de regiões delimitadas por funções e valores de variáveis que satisfaçam equações envolvendo funções compostas. Há também uma questão sobre interpretar medidas em uma planta de residência.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo trigonometria e geometria.
2) As questões incluem cálculos de seno, cosseno, tangente e áreas para diferentes figuras geométricas como circunferências e trapézios.
3) São solicitados também cálculos como distância entre cidades e determinação de ângulos e alturas de torres.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vários tópicos como geometria, trigonometria e física. As questões envolvem cálculos para determinar alturas, distâncias, áreas e tempos.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
Este documento contém 10 questões sobre geometria analítica no plano cartesiano. As questões envolvem cálculo de coordenadas de pontos, equações de retas e parábolas, áreas de polígonos e condições para que retas sejam concorrentes.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria analítica envolvendo pontos, retas e triângulos no plano cartesiano.
2) As questões abordam tópicos como cálculo de distâncias, determinação de coordenadas de pontos e vértices, representação geométrica de retas, e propriedades de figuras planas.
3) São solicitadas determinações de pontos, cálculos de áreas e afirmações corretas sobre sistemas de coordenadas e propriedades geométricas.
1) O documento discute probabilidades em diferentes situações, incluindo o lançamento de dados e a seleção aleatória de pessoas e números.
2) É mostrado que se p é um número primo maior que 3, então p2 - 1 é múltiplo de 12.
3) A probabilidade de dois números aleatórios menores que 37 serem primos maiores que 3 é 35/37.
1) O documento apresenta 9 questões sobre probabilidade envolvendo situações como pesquisas, sorteios e classificações.
2) A questão 8 calcula a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso em um grupo ser uma criança do sexo feminino.
3) A questão 9 calcula a probabilidade de três vértices escolhidos ao acaso em um poliedro pertencerem à mesma face.
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Mat conjunto vazio resolvidos
1.
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MÚLTIPLA ESCOLHA
4. Sobre o número x = 7 − 4 3 + 3 é correto afirmar que:
NOTAÇÕES
a) x ∈ ]0, 2[. b) x é racional. c) 2x é irracional.
C : conjunto dos números complexos.
d) x2 é irracional. e) x ∈ ]2, 3[.
Q : conjunto dos números racionais.
R : conjunto dos números reais.
SOLUÇÃO:
Z : conjunto dos números inteiros.
N = {0, 1, 2, 3, ...}.
N* = {1, 2, 3, ...}.
(
Como 7 − 4 3 = 2 − 3 tem-se: )
2
∅ : conjunto vazio.
A B = {x ∈ A ; x ∉ B}.
x = 2− 3 ( ) 2
+ 3 ⇔ x = 2− 3 + 3 = 2
Logo, x é racional.
[a, b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b}.
ALTERNATIVA B
]a, b[ = {x ∈ R, a < x < b}.
i : unidade imaginária ; i2 = –1. 5. Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo D um ponto do
z = x + iy , x, y ∈ R.
z : conjugado do número complexo z ∈ C. lado AB e E um ponto do lado AC . Se m( AB) = 8 cm,
|z| : módulo do número complexo z ∈ C. m( AC) = 10 cm, m( AD) = 4 cm e m( AE) = 6 cm , a razão das
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. áreas dos triângulos ADE e ABC é:
m( AB) : medida (comprimento) de AB . 1 3 3 3 3
a) . b) . c) . d) . e) .
2 5 8 10 4
1. Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e
as afirmações: SOLUÇÃO:
I. {0} ∈ S e S ∩ U ≠ ∅. A partir dos dados da questão temos a seguinte figura geométrica:
II. {2} ⊂ S U e S ∩ T ∩ U = {0, 1}.
III. Existe uma função f: S → T injetiva.
IV. Nenhuma função g: T → S é sobrejetiva.
Então, é(são) verdadeira(s):
a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV.
d) apenas II e III. e) apenas III e IV.
SOLUÇÃO:
I. Falsa, pois {0} ⊂ S e não {0} ∈ S.
II. Falsa, pois {2} ⊂ S U, porém S ∩ T ∩ U = ∅
III. Falsa, pois como n(S) > n(T) não é possível fazer x1 ≠ x2
⇒ f(x1) ≠ f(x2),∀x ∈ S Logo, temos a razão entre as áreas:
IV. Verdadeira, pois como n(T) < n(S) sempre haverá um elemento 1 ˆ
⋅ AD ⋅ AE ⋅ senA
de S sem correspondente em T, ou seja, o contra-domínio é S ADE 2 4⋅6 3
diferente da imagem. = = =
S ABC 1 ˆ 8 ⋅ 10 10
ALTERNATIVA B ⋅ AB ⋅ AC ⋅ senA
2
2. Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, ALTERNATIVA D
7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra
mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço 6. Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à
de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então,
xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a
a) R$ 17,50. b) R$ 16,50. c) R$ 12,50. d) R$ 10,50. e) R$ 9,50. 4 2+ 3 1 1 1
a) . b) . c) 2 + 3 . d) 4 + 3 . e) 2+ 3.
5 5 2 4 3
SOLUÇÃO:
Sejam s o preço do sanduíche, x o da xícara de café, t o do pedaço
de torta. Então:
SOLUÇÃO:
Para a mesa 1, temos: 3s + 7x + t = 31,50 (I) Como o triângulo é retângulo, a medida da mediana relativa à
Para a mesa 2, temos: 4s + 10x + t = 42,00 (II) hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa, isso
Fazendo 3⋅I – 2⋅II temos: s + x + t = 10,50 pode ser observado pela figura:
ALTERNATIVA D
x
3. Uma circunferência passa pelos pontos A = (0, 2), B = (0, 8) e α
C = (8, 8). Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio,
respectivamente, são
a) (0, 5) e 6. b) (5, 4) e 5. c) (4, 8) e 5,5. a x
d) (4, 5) e 5. e) (4, 6) e 5. x
SOLUÇÃO:
Como A = (0, 2) e B = (0, 8) têm a mesma abscissa, e sabemos que
a mediatriz de AB (a reta y = 5) passa pelo centro da circunferência b
D, temos que yD=5.
Como B = (0, 8) e C = (8, 8) têm a mesma ordenada, e sabemos Pelas condições do problema: x = ab
que a mediatriz de BC (a reta x = 4) passa pelo centro da Por Pitágoras:
circunferência D, temos que xD=4. a2 + b2 = 4x2 ⇔ a2 + b2 = 4ab
Assim, o centro da circunferência é D = (4, 5).
Para o raio temos: ⇔ a2 – 4ab + b2 = 0 ⇔ a =
4b ± 16b 2 − 4b 2
2
(
=b2± 3 )
r= (x A − x D ) + (y A − y D ) ⇒ r =
2 2
(0 − 4)
2
+ (2 − 5 ) ⇒ r = 5
2
Considerando a > b, vem:
ALTERNATIVA D a = b(2+ 3 )
1
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Portanto: SOLUÇÃO:
cos α =
a
=
a
⋅
ab
⇔ cos α =
ab
=
b 2+ 3 2
( ) Sendo n o número de lados da base do prisma, fazemos a soma
dos ângulos das faces laterias mais a soma dos ângulos das bases,
2x 2 ab ab 2b 2b logo:
360o⋅n + 2⋅[180o⋅(n – 2)] = 7200o ⇒ –720o + 720o⋅n = 7200o ⇒ n = 11
1 Como o prisma é composto por duas bases de 11 lados, então seu
⇔ cos α = 2+ 3
2 número total de vértices é 22.
ALTERNATIVA C ALTERNATIVA E
7. A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 10. Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no
6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a 4 plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por
cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da esfera A = (0, 0), B = (2, 2) e C = (1 − 3 , 1 + 3 ) . O volume do tetraedro é
aos vértices do triângulo é (em cm)
a) 3 3 . b) 6. c) 5. d) 4. e) 2 5 . 8 3 3 5 3
a) . b) 3. c) . d) . e) 8.
3 2 2
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO:
Desenhando a figura dada, temos:
y
C 1+ 3
2 B
Considere o triângulo eqüilátero ABC, O o centro da circunferência
e O' o centro da esfera. Sendo l o lado do triângulo:
1l 3 2l 3
OH = = 3 e AO = =2 3
3 2 3 2
x
Sendo O'H o raio da esfera, então: 1− 3 A 2
( ) 2
O’H2 = OH2 + OO’2 ⇔ 4 2 = 3 + OO' 2 ⇔ OO' = 13 Cálculo do lado do tetraedro:
Utilizando o teorema de Pitágoras em ∆O’AO: AB = l = 2 2
O’A2 = O’O2 + AO2 ⇔ O’A2 = 13 + 12 Cálculo do volume do tetraedro com base ABC:
Logo, O’A = 5. V
ALTERNATIVA C
2 2
2 2
8. Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os
volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semi- h H
esfera formam uma progressão aritmética de razão A C
.
3 3
πr πr M
..
G
. Se o volume da menor cunha for igual a , então n é 2 2
45 18 2 2
igual a
a) 4. b) 3. c) 6. d) 5. e) 7. B
Aplicando Pitágoras no triângulo VMB:
SOLUÇÃO:
Na P.A. dada tem-se VB2 = MB2 + VM2 ⇔ 2 2 = ( ) ( 2) 2 2
+ h 2 ⇔ h2 = 6
Aplicando Pitágoras no triângulo VMG:
π ⋅r3 π ⋅r3 2
a1 = , R= e Sn = ⋅ π ⋅ r 3 1
2
4 3
18 45 3 VM2 = MG2 + VG2 ⇔ h 2 = h + H2 ⇔ H =
Aplicando a fórmula da soma da P.A., tem-se: 3 3
πr 3 πr 3
πr 3
1 1 l2 3 4 3 8
+ + (n − 1) ⋅ ⋅n ⇒ V= AB ⋅ H ⇔ V = ⋅ ⋅ ⇔ V=
Sn =
(a1 + a n ) ⋅ n = 18 18
45 3 3 4 3 3
2 2 Logo o volume da pirâmide é 8/3.
ALTERNATIVA A
πr
3
πr 3
πr 3
+ + (n − 1) ⋅ ⋅n
45 11. No desenvolvimento de (ax2 – 2bx + c + 1)5 obtém-se um
18 18 2
⇒ = ⋅ π ⋅r3 polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e –1 são raízes
2 3 de p(x), então a soma a + b + c é igual a
Assim, simplificando a equação acima, temos:
1 n 1 4 1 1 1 3
+ − .n = a) − . b) − . c) . d) 1. e) .
9 45 45 3 2 4 2 2
Multiplicando ambos os membros da equação por 45, vem:
SOLUÇÃO:
(5 + n – 1)n = 60 ⇒ (n + 4)⋅n = 60
Seja p(x) = (ax2 – 2bx + c + 1)5 e considerando a, b e c reais, temos
Como a equação acima admite 6 e –10 como raízes, chegamos
que a soma dos coeficientes é dada por
a conclusão que a esfera é intersectada por 6 planos p(1) = (a – 2b + c + 1)5 = 32
meridionais. Então:
ALTERNATIVA C a – 2b + c + 1 = 2 ⇒ a – 2b + c = 1 (I)
Como 0 e –1 são raízes, então:
9. Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos p(0) = c + 1 = 0 ⇒ c = – 1 (II)
internos de todas as faces é 7200º. O número de vértices deste
p(–1) = a + 2b + c + 1 = 0 ⇒ a + 2b + c = –1 (III)
prisma é igual a
a) 11. b) 32. c) 10. d) 20. e) 22.
2
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De (I), (II) e (III), temos: SOLUÇÃO:
a = 1 Sejam x1, x2, x3 e x4 as raízes do polinômio, então:
a − 2b + c = 1 x1 = 2 + i e x2 = x 1 = 2 – i
1 1
c = −1 ⇒ b = − ∴ a + b + c = − Pelas relações de Girard:
a + 2b + c = −1 2 2
b
c = −1
x1 + x2 + x3 + x4 = − = – 1 ⇒ 2 + i + 2 – i + x3 + x4 = – 1
a
OBSERVAÇÃO: Caso os coeficientes a, b e c fossem complexos ⇒ x3 + x4 = – 5
não reais, então na extração da raiz quinta da equação ALTERNATIVA E
(a – 2b + c + 1)5 = 32, obteríamos 5 diferentes valores para a soma
a + b + c. 15. Considere a equação em x
ALTERNATIVA A
a x +1 = b 1/ x ,
onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2 ln a > 0. A
12. O menor inteiro positivo n para o qual a diferença n − n −1 soma das soluções da equação é
fica menor que 0,01 é a) 0. b) –1. c) 1. d) ln 2. e) 2.
a) 2499. b) 2501. c) 2500. d) 3600. e) 4900.
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO: Dada a equação:
Dada a inequação: n − n − 1 ≤ 0,01 1
Podemos reescreve-la como: a x +1 = b x
n − (n − 1) 1 1 1 Aplicando ln dos dois lados, temos:
≤ ⇒ ≤ ⇒ n + n − 1 ≥ 100 1
n + n −1 100 n + n −1 100 (x + 1)ln a =
ln b
x
Como sabemos que 2500 = 50 , para a desigualdade ser Como, dado do enunciado, ln b = 2 ln a > 0 , podemos fazer:
verdadeira devemos ter n ≥ 2501 .
ALTERNATIVA B (x + 1)ln a = 1 ln b ⇒ (x + 1)ln a = 1 2 ln a ⇒ (x + 1) = 2
x x x
13. Seja D = R {1} e f : D → D uma função dada por ⇒ x2 + x − 2 = 0
x +1 Logo, a soma das raízes da equação é:
f (x) = . −1
x −1 S= ⇒ S = −1
Considere as afirmações: 1
I. f é injetiva e sobrejetiva. ALTERNATIVA B
II. f é injetiva, mas não sobrejetiva.
16. O intervalo I ⊂ R que contém todas as soluções da inequação
1
III. f ( x ) + f = 0, para todo x ∈ D, x ≠ 0. 1+ x 1− x π
x arctan + arctan ≥
2 2 6
IV. f(x) ⋅ f(–x) = 1, para todo x ∈ D. é
Então, são verdadeiras a) [–1, 4]. b) [–3, 1]. c) [–2, 3]. d) [0, 5]. e) [4, 6].
a) apenas I e III. b) apenas I e IV. c) apenas II e III.
d) apenas I, III e IV. e) apenas II, III e IV. SOLUÇÃO:
Sabe-se que:
SOLUÇÃO:
tan( a) + tan(b)
Analisando as afirmações: tan( a + b) =
I. Verdadeira. Para saber se f é injetiva e sobrejetiva, basta 1 − tan( a) tan(b)
verificar se é bijetiva, então f deve possuir inversa: Aplicando a função tangente a ambos os membros da inequação
x +1 f −1 ( y ) + 1 dada, temos:
f (x) = ⇒ y = −1 1+ x 1− x
x −1 f (y) − 1 +
2 2 π
Para f- -1(y) ≠ 1: ≥ tan
1+ x 1− x 6
y +1 1− ⋅
f −1 ( y ) = 2 2
y −1
Logo:
Encontramos então a inversa, que é igual a função original, e uma 1 1 4 1
≥ ≥ ⇒ x2 ≤ 4 3 − 3
vez que existe inversa, a função é bijetiva.
II. Falsa. Ficou provado em (I) que f é bijetiva logo também é
1−
(1 − x ) 2
3
⇒
3+x 2
3
sobrejetiva. 4
III. Verdadeiro. Calculando o resultado da soma tem-se: A figura abaixo apresenta o conjunto solução dessa inequação:
x + 1 1 / x + 1 x + 1 (1 + x ) / x
f(x) + f(1/x) = + = +
x − 1 1 / x − 1 x − 1 (1 − x ) / x
x + 1 1+ x
⇒ f(x) + f(1/x) = − =0
x −1 x −1
IV. Falsa. Calculando o valor de f(-x) em x = -1 tem-se:
f(-x) = f(-(-1)) = f(1)
Porém, f(1) não existe, uma vez que x = 1 não está no domínio de
f. Logo, não existe o produto P = f(x)⋅f(-x) para x = – 1, invalidando
a afirmação pois o produto não existe para todo x∈D.
ALTERNATIVA A
14. O número complexo 2 + i é raiz do polinômio
f(x) = x4 + x3 + px2 + x + q,
com p, q ∈ R. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma Dos intervalos apresentados, o único que contém o intervalo
das raízes reais de f é solução é [-2;3].
a) 4. b) –4. c) 6. d) 5. e) –5. ALTERNATIVA C
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1 − zw Das alternativas dadas, o valor que mais de aproxima é 0,40.
17. Seja z ∈ C com |z| = 1. Então, a expressão assume ALTERNATIVA E
z−w
valor: 20. A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na
a) maior que 1, para todo w com |w| > 1. origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, –2) são,
b) menor que 1, para todo w com |w| < 1. respectivamente,
c) maior que 1, para todo w com w ≠ z.
1 1 3 1
d) igual a 1, independente de w com w ≠ z.. a) 3 e . b) e 3. c) e .
e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|. 2 2 2 2
3 3
SOLUÇÃO: d) 3 e . e) 2 3 e .
2
2 2
Sabe-se que z ⋅ z = z .
SOLUÇÃO:
Como z = 1 , então z ⋅ z = 1 . Supondo que os eixos da elipse são paralelos aos eixos
Substituindo o resultado acima na expressão dada temos: cartesianos:
1− z ⋅ w z⋅z − z⋅w z( z − w )
= = = z = z =1
z−w z−w (z − w ) 2
1− z ⋅ w
Logo, = 1 , ∀w ∈ C / w ≠ z.
z−w
1 c 1
ALTERNATIVA D
b
18. O sistema linear
bx + y = 1
by + z = 1 -2
x + bz = 1 Equação da elipse:
não admite solução se e somente se o número real b for igual a y2 x2
a) –1. b) 0. c) 1. d) 2. e) –2. 2
+ =1
a b2
SOLUÇÃO: Onde a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.
A condição necessária para que o sistema linear não admita Como (1, 0) e (0, – 2) pertencem a elipse; temos:
solução é det = 0: 0 2 12
2 + 2 =1
b 1 0 a b a = 2
⇒
0 b 1 = 0 ⇒ b3 + 1 = 0 ⇒ b = – 1 (− 2) b = 1
2
02
1 0 b a2 + b2 = 1
Para b = – 1: Pelas relações geométricas, temos:
− x + y = 1 a2 = b 2 + c 2 ⇒ a 2 − b 2 = 4 − 1 ⇒ c = 3
− y + z = 1 Onde c é a metade da distância focal.
x−z =1 Sendo e a excentricidade da elipse e df a distância focal, podemos
escrever:
Somando-se as três equações, obtemos 0 = 3, que é um absurdo,
portanto verificando que o sistema não admite solução. c 3
e = e =
ALTERNATIVA A a ⇒ 2
d = 2c
19. Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 f df = 2 3
bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a probabilidade de não sair OBSERVAÇÃO: Caso os eixos da elipse não forem paralelos aos
bola azul e P2 é a probabilidade de todas as bolas saírem com a eixos cartesianos, então esta questão teria infinitas soluções, pois
mesma cor, então a alternativa que mais se aproxima de P1+P2 é infinitas elipses satisfariam o enunciado.
a) 0,21. b) 0,25. c) 0,28. d) 0,35. e) 0,40. ALTERNATIVA E
SOLUÇÃO:
DISSERTATIVAS
Calculo de P1:
Temos inicialmente 16 bolas na urna, sendo 11 não-azuis, tirando
As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser
as bolas sem reposição, a probabilidade P1 é dada por:
resolvidas e respondidas no caderno de soluções.
11 10 9
P1 = ⋅ ⋅
16 15 14 21. Seja a1, a 2 , ... uma progressão aritmética infinita tal que
Calculo de P2:
n
P2 = V + A + B
Onde: ∑ a3k = n 2 + πn2 , para n ∈ N*
V = Probabilidade de serem todas verdes k =1
A = Probabilidade de serem todas azuis Determine o primeiro termo e a razão da progressão.
B = Probabilidade de serem todas brancas
Temos: SOLUÇÃO:
4 3 2 5 4 3 7 6 5 Para K = 1:
V= ⋅ ⋅ ; A= ⋅ ⋅ ; B= ⋅ ⋅ a = 2 + π
16 15 14 16 15 14 16 15 14 3
⇒ a 6 = 2 + 3 π ⇒ a 6 = a 3 + 2π
Logo:
a 3 + a 6 = 2 2 + 4π
11 ⋅ 10 ⋅ 9 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 ⋅ 3 + 7 ⋅ 6 ⋅ 5
P1 + P 2 = P 1 + V + A + B = Temos também que:
16 ⋅ 15 ⋅ 14 a6 = a3 + 3r
1284 Logo:
P1 + P 2 = ≅ 0,382
3360 a3 + 3r = a3 + 2π ⇒ r = 2π/3
4
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Temos: Tomando o determinante:
a1 = a3 – 2r det B = det [A⋅(A + 2B)] = det A⋅det (A + 2B) ≠ 0
Logo: Pois B é inversivel.
a1 = 2 + π – 2⋅(2π/3) ⇒ a1 = 2 – π/3 Se det A⋅det (A + 2B) ≠ 0, então det A ≠ 0 e portanto A é inversivel.
22. Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo 24. Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma
ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C por P, determine a de n − 1 ângulos (internos) do polígono é 2004º, determine o
circunferência C’ de menor raio, com centro sobre o eixo x e número n de lados do polígono.
tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C.
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO: A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é:
Considere a figura: Si = (n – 2)⋅180º
Pelo enunciado, temos:
Si = S + a = 2004º + a
Onde S é a soma de (n – 1) ângulos internos do polígono e a é
medida de um desses ângulos.
Então:
180º (n – 2) = 2004º + a ⇒ a = 180º⋅(n –2) – 2004º
Mas, como se trata de um polígono convexo:
0 < a < 180º ⇒ 0 < 180º⋅(n – 2) – 2004º < 180º
⇒ 0 < (n – 2) – 11,133 < 1 ⇒ 13,133 < n < 14,133
Portanto, n = 14, pois n ∈ N.
Equalção da reta OP : y = kx 25. (a) Mostre que o número real α = 3 2 + 5 + 3 2 − 5 é raiz da
Substituindo no ponto P: 4 = k⋅3 equação x3 + 3x – 4 = 0.
4 (b) Conclua de (a) que α é um número racional.
Logo: (OP ) ⇒ y = x
3 SOLUÇÃO:
−3 a) Fazemos:
Equação da reta t (perperndicular a OP ): y = x+b
4 α= 3
x +3 y
−3 Logo:
Substituindo no ponto P: 4 = 3+b
4 3
α 3 = x + 3 x 2 3 y + 33 x 3 y 2 + y
25
Logo: b =
4 α 3 = 2 + 5 + 33 (2 + 5 ) 2 (2 − 5 ) + 33 (2 + 5 )(2 − 5 ) 2 + 2
25
Assim: A 0, α 3 = 4 − 33 2 + 5 − 33 2 − 5
4
Substituindo na equação:
3 25 25
Para y=0 (ponto B): x= ⇒ x= x3 + 3x – 4 = 0 ⇒ α3 + 3⋅α – 4 = 0
4 4 3 Resulta:
25
Logo: B , 0 . 4 − 33 2 + 5 − 33 2 − 5 + 3 3 2 + 5 − 3 2 − 5 − 4 = 0
3
Para determinarmos o raio da circunferência maior:
R2 = 32 + 42 ⇒ R2 = 25 ⇒ R = 5 ⇔ 4 − 33 2 + 5 − 33 2 − 5 + 33 2 + 5 − 33 2 − 5 − 4 = 0
Observando a semelhança dos triângulos ∆OBP e ∆O'P'B: ⇔0=0
25 Logo, como a igualdade é verdadeira, podemos verificar que α é
OP
=
BO
⇒ 5= 3 ⇒ 10 − r = 5r ⇒ 8r = 10 ⇒ r = 5 raiz da equação dada.
O' P' BO' r 25 3 3 3 3 4
− 5 −r 26. Considere a equação em x ∈ R
3
Logo: 1 + mx = x + 1 − mx ,
25 sendo m um parâmetro real.
xo’ = R + r ⇒ x o' = e yo’ = 0 (a) Resolva a equação em função do parâmetro m.
4
2
(b) Determine todos os valores de m para os quais a equação
25 25 admite solução não nula.
Assim, resulta a circunferência C': x − + y2 =
4 16
SOLUÇÃO:
23. Sejam A e B matrizes 2×2 tais que AB = BA e que satisfazem à a) 1 + mx = x + 1 − mx ⇔ x = 1 + mx − 1 − mx
equação matricial A2 + 2AB – B = 0. Se B é inversível, mostre que Elevando os dois membros ao quadrado, temos:
(a) AB–1 = B–1A e que (b) A é inversível. x 2 = 1 + mx − 2 (1 + mx )(1 − mx ) + 1 − mx
SOLUÇÃO: ⇔ x 2 = 2 − 2 1− m2 x 2 ⇔ 2 1− m2 x 2 = 2 − x 2
a) Se B é inversivel então existe B-1, tal que Elevando novamente ao quadrado, temos:
B⋅B-1 = 1 4(1 – m2x2) = (2 – x2)2
Sendo AB = BA temos: ⇔ 4 – 4m2x2 = 4 – 4x2 + x4 ⇔ x4 – 4x2 + 4m2x2 = 0
A = A ⇔ A⋅1 = A ⇔ A⋅B⋅B-1 = A ⇔ x2 (x2 – 4 + 4m2) = 0
⇔ B⋅A⋅B-1 = A ⇔ B-1⋅B⋅A⋅B-1 = B-1⋅A
⇔ 1⋅A⋅B-1 = B-1⋅A ⇔ A⋅B-1 = B-1⋅A x = 0
⇔ ou ∴ S = 0, 2 1 − m 2 , − 2 1 − m 2
b) Resolvendo a equação:
A2 + 2AB – B = 0 ⇔ B = A2 + 2AB ⇔ x = ±2 1 − m
2
⇔ B = A⋅(A + 2B)
5
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b) Para que a equação admita solução não nula é necessário SOLUÇÃO:
primeiramente que: Seja P, a função probabilidade definida no espaço de eventos do
1 – m2 > 0 ⇔ –1 < m < 1 (I) problema. Sejam, também, definidos os seguintes eventos:
Testando as soluções, temos: V1: face visível do cartão selecionado é vermelha;
V: face oculta do cartão selecionado é vermelha;
x = 1 + mx − 1 − mx
A: cartão de duas faces vermelhas é selecionado;
⇔ 2 1 − m = 1 + 2m 1 − m 2 − 1 − 2m 1 − m 2
2
A probabilidade de o cartão escolhido ter vermelho como cor da
Elevando ao quadrado: outra face P(V) pode ser calculada da seguinte maneira:
4 − 4m 2 = 1 + 2m 1 − m 2 − 2 1 − 4m 2 (1 − m 2 ) + 1 − 2m 1 − m 2 P(V) = P(V | V1), onde:
P(V | V1) é a probabilidade de a outra face ser vermelha, dado que
4m 2 − 4m + 1 = 2m 2 − 1 a primeira face selecionada foi vermelha.
A condição de existência da equação acima é: Podemos calcular então:
1
P( V ∩ V1 ) P( A ) 2
2
2m − 1 ≥ 0 ⇔ m ≥
2
ou m ≤ −
2
(II) P( V ) = P( V | V1 ) = = = 2 =
2 2 P( V1 ) P( V1 ) 3 3
4
Além disso, devemos fazer a seguinte consideração:
x = 1 + mx − 1 − mx 29. Obtenha todos os pares (x, y), com x, y ∈ [0, 2π], tais que
sen( x + y ) + sen( x − y ) = 1 / 2
Se x > 0 é solução, temos 1 + mx > 1 − mx , logo m > 0.
senx + cos y = 1
Se x < 0 é solução, temos 1 + mx < 1 − mx , logo m > 0 . SOLUÇÃO:
Logo: m > 0 (III) Desenvolvendo a primeira equação temos:
2 senx⋅cosy + seny⋅cosx – senx⋅cosy – seny⋅cosx = 1/2
De (I), (II) e (III) temos: ≤ m < 1. ⇒ 2senx⋅cosy = 1/2 ⇒ senx⋅cosy = 1/4
2
Temos então o novo sistema de equações:
senx + coxy = 1
27. Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 3 2 cm . O
volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da senx ⋅ cos y = 1 / 4
hipotenusa é π cm3. Determine os ângulos deste triângulo. Assim, senx e cosy são as raízes de uma equação de segundo
grau cuja soma é 1 e o produto é 1/4. Logo:
SOLUÇÃO: w2 – w + ¼ = 0 ⇒ w = 1/2
Logo:
senx = ½ ⇒ x = 30° ou x = 150°
cosy = ½ ⇒ y = 60° ou x = 300°
Assim os possíveis pares (x, y) pertencem ao conjunto:
{(30°, 60°), (30°, 300°), (150°, 60°), (150°, 300°)}
30. Determine todos os valores reais de a para os quais a equação
(x – 1)2 = |x – a|
admita exatamente três soluções distintas.
SOLUÇÃO:
Graficamente, temos:
O volume V do sólido gerado pela rotação completa do triangulo
ABC. retângulo em B, e, conforme a figura, tal que:
V = 1/3 πh2m + 1/3 πh2n = 1/3 πh2(m + n)
⇔ V = 1/3 πh2a = π ⇔ h2a = 3 (I)
No triangulo ABC, tem-se:
3 3
2 2
cos α = ⇔a= (II) Para que a equação (x – 1)2 = Ix – aI admita exatamente três
a cos α
soluções distintas, é necessário que o gráfico de Ix – aI intercepte a
No triangulo AHB tem-se:
parábola y = (x – 1)2 em três pontos diferentes. As situações em
h 3 que isso ocorre são:
sen α = ⇔h= 2 ⋅ sen α (III)
3
2 1
2 3
Substituindo (II) e (III) em (I):
3
2
h2a = 3 ⇔ ( 3 2 ⋅ sen α)2 ⋅ =3⇔
cos α
2sen 2 α
⇔ = 3 ⇔ 2(1 – cos2 α) = 3 cos α ⇔
cos α a a a=1
2
⇔ 2 cos α + 3 cos α - 2 = 0 ⇔ cos α = 1/2 ⇔ Nos casos 1 e 2, |x – a| tangencia a parábola em um ponto e cruza
⇔ α = 60º, pois 0º < α < 90º. em outros dois pontos.
Os ângulos do triangulo ABC são, portanto, 1) No ponto de tangência para x < a, temos:
ˆ ˆ ˆ
BAC = α = 60o ; BCA = 90o – α = 30º ; ABC = 90º (x – 1)2 = Ix – aI = a – x ⇔ x2 – 2x + 1 = a – x ⇔ x2 – x + 1 – a = 0
Para que ocorra tangência, ∆ = 4a – 3 = 0 ⇔ a = 3/4
28. São dados dois cartões, sendo que um deles tem ambos os 2) No ponto de tangência para x > a, temos:
lados na cor vermelha, enquanto o outro tem um lado na cor (x – 1)2 = Ix – aI = x – a ⇔ x2 – 2x + 1 = x – a ⇔ x2 – 3x + 1 + a = 0
vermelha e o outro lado na cor azul. Um dos cartões é escolhido ao Novamente, ∆ = 5 – 4a = 0 ⇔ a = 5/4
acaso e colocado sobre uma mesa. Se a cor exposta é vermelha, Podemos observar no gráfico do caso 3, quando a = 1, temos a
calcule a probabilidade de o cartão escolhido ter a outra cor intersecção das curvas em três pontos.
também vermelha. Logo, os valores procurados de a são 3/4, 1 e 5/4.
6