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Números Complexos
Ao final dessa aula você
                         saberá:
    O que é um número complexo e sua
    representação algébrica
    O que é um número imaginário puro e
    igualdade dos complexos
    O que é conjugado
    As potências de i
    A representação trigonométrica de um número
    complexo
    As operações matemática na forma algébrica e
    na forma trigonométrica
O que é um número
                    complexo?
      É todo número z escrito na forma a + bi,
    sendo “a” a parte real e “bi” a parte
    imaginária. Também é chamado de número
    imaginário.
                      Formalmente,
                   escrevemos a parte
Exemplos:          real assim: Re(z) =
                            a.
 z = 3 + 5i       E a parte imaginária
                     assim: Im(z) = b
 z = 7i

 z = ½ + 4i
O que é o “i”?

    É a unidade imaginária, sendo i2 = - 1.
Dessa forma podemos calcular o valor da
raiz de números negativos com índice par.

Exemplo:

  − 36 = (−1)(36) = 36i = 6i2
O que é um número
               imaginário puro?
 É um número complexo z = a + bi, cuja
parte real é igual a zero, ou seja, a = 0.

                Repare que um número
Exemplos:          real é um número
                 complexo, com a parte
 z = 3i        imaginária igual a zero.
z=i               Exemplo: 2+0i = 2

 z = -10i
Logo, temos que o conjuntos dos
    Números Reais é um subconjunto
        dos Números Complexos.
                     C


R
             Q      I
         Z
     N
Como sabemos se dois
                números complexos são
                       iguais?
 Sendo dois números complexos:
 z1 = a + bi e z2 = c + di, se a = c e b = d, então
 z1 = z2. Ou seja, dois complexos são iguais
 se as partes reais e imaginárias são iguais.
Exemplo:
Calcular o valor de x e y na equação:
3x + 7yi = 12 – 21i
           3x = 12  x = 4
           7y = -21  y = -3
Tente fazer sozinho!



Determine m e n reais de modo que
          m + (n-1)i = 3i
Solução


m + (n-1)i = 3i

m=0en–1=3 n=4
Como representamos o
                    conjugado de um número
                          complexo?
     Sendo o número complexo z = a + bi, seu
conjugado é representado por: z = a − bi

Exemplos:

                   z = 5 − 3i
   z = 5 + 3i 

   z = - 8i 
                 z = 8i
Como calculamos as
                      potências de i?
Usando as regras de potência já conhecidas.

 i0 =1                      Note que a partir do
                                expoente 4, os
i =i
   1
                             resultados começam
                                   a repetir.
 i2 = - 1

 i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i

 i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1

 i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i
Exemplo:
(PUC-MG) O número complexo (1 + i) 10 é
igual a:
a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i)

[(1 + i)2]5 = [1 + 2i + i2]5 = [1 + 2i - 1]5 =

[2i]5 = 32.i5 = 32i  letra C
Tente fazer sozinho!

(Vunesp) Se a, b, c são números inteiros
positivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, em
que i2 = -1, o valor de c é:

a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7
Solução
c = (a + bi)2 – 14i
c = a2 + 2abi + b2i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14i
c + 0i = (a2 – b2) + (2ab – 14)i
2ab – 14 = 0  ab = 7
Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7
Como c é positivo, temos que:
c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48
Resposta: letra A.
Como somamos ou
                  subtraímos números
                      complexos?
  Basta somar (ou subtrair)as partes reais e as
partes imaginárias.

Exemplos:

   (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i

   (7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i
Como multiplicamos
              números complexos?

Basta aplicar a propriedade distributiva.

Exemplo:

(5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i
Como dividimos
                 números complexos?
Basta multiplicar o numerador e o denominador
pelo conjugado do denominador.

Exemplo:
2 + 3i ( 2 + 3i )( 5 + 2i ) 10 + 4i + 15i − 6
       =                    =                 =
5 − 2i ( 5 − 2i )( 5 + 2i )      25 + 4
  4 + 19i 4 19
=        =      + i
     29     29 29
Tente fazer sozinho!
                                           x −1
                                           2
(Cefet-MG) O valor da expressão                   quando
                                           x −1
                                            3


x = i (unidade imaginária) é :

a) (i + 1) b) – (i – 1) c)      ( i + 1)
                                   2
d)   ( i − 1)   e)
                   − ( i − 1)
        2               2
Solução
x −1 i −1 −1 −1
 2         2
                  −2    2
    = 3  =      =     =
x −1 i −1 − i −1 −1− i 1+ i
 3




  2(1 − i )     2 − 2i 2(1 − i )
              =       =          = 1− i
1 + i (1 − i ) 1 + 1      2

Logo, a resposta é B, pois
– (i - 1) = -i +1 = 1-i
Como representamos um
                   número complexo no
                         gráfico?
  Basta representar a parte real no eixo x
e a parte imaginária no eixo y.
Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i
                      y
                  P2      3

            P1            2

                          1

                               x
                 -1
O que é o módulo de
              um número complexo?
  É a distância entre a origem e o ponto que
corresponde a esse número.
  Sendo z = a + bi, temos: z = ρ
          y



         b

                ρ      P (a,b)



                                 x
                        a
Como calculamos o
                 módulo de um número
                     complexo?
Usando a fórmula z = ρ = a + b .
                                 2   2




Exemplo:       z = 1 + 3i


 z = 1 +   2
                ( 3)   2
                           = 1+ 3 = 4 = 2
Tente fazer sozinho!
(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor

     a
de     é:
     b


a) 3     b) 2    c) 5

d) 2 2      e) 1+ 2
Solução

  a a    2 +4    2   2
   = =              =
  b b  1 + ( − 3)
        2         2


   4 + 16   20   20
          =    =    = 2
   1+ 9     10   10
Resposta: letra B.
O que é argumento de um
             número complexo?
  É o ângulo que o módulo do número
faz com o eixo x.
   y                          b
                      senθ =
                              ρ
  b                           a
        ρ     P (a,b) cos θ =
                              ρ
      θ            x
             a
Tente fazer sozinho!

(URRN) Se z =
                (1 + i )   2
                               , então o argumento de z é:
                 1− i

a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º
Solução

z=
   (1 + i )=
               2
             1 + 2i − 1 2i
                       =
      1− i      1− i     1− i

    2i (1 + i )     2i − 2 2i − 2
=                 =       =       = −1 + i
  (1 − i )(1 + i ) 1 + 1     2

       b                            a
senθ =                  e   cos θ =
       ρ                            ρ
ρ=    ( − 1)   2
                   +1 = 1+1 = 2
                    2
( 2) =
                                  sen
       1               2
senθ =
        2    ( 2)     2
                           135º         45º




cos θ =
        −1   ( 2) = − 2                   cos


         2   ( 2) 2

Logo, o argumento é 135º.
Resposta: letra E.
Como escrevemos a forma
                  trigonométrica de um número
                          complexo?
                z = ρ ( cos θ + i senθ )
 Exemplo:   z = 2 3 + 2i
 ρ = a +b =
       2    2
                  (2 3 )   2
                               + 2 = 12 + 4 = 16 = 4
                                 2


        a 2 3    3
 cos θ = =    =   
        ρ  4    2 
                   ⇒ θ = 30º
        b 2 1     
 senθ = = =
        ρ 4 2     
                  
Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)
Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo
           7π        7π 
 z =3cos   +isen    :
                     é
         6       6 
          3 3 3
 a ) z =− −          i
          2     2
        3 3 3
 b) z = −         i
        2     2
          3 3     3
 c ) z =−      − i
            2     2
           3 3     3
 d ) z =−       + i
            2      2
        3 3     3
 e) z =       − i
          2     2
Solução
          7π        7π 
z = 3 cos    + isen    
           6         6 
                                     7π
z = ρ ( cos θ + isenθ ) ⇒ ρ = 3, θ =    = 210º
                                      6
                            3
cos 210º = − cos 30º = −
                           2
                         1
sen210º = − sen30º = −
                         2
a               b
  cos θ =          senθ =
          ρ               ρ
     3 a             1 b
  −   =            − =
    2    3           2 3
      3 3               3
  a=−              b=−
        2               2

                            3 3 3
Logo, a forma algébrica é −    − i
                             2  2
Resposta: letra C.
Como multiplicamos
                      complexos na forma
                         trigonométrica?
   z1.z 2 = ρ1.ρ 2 .[ cos(θ1 + θ 2 ) + isen(θ1 + θ 2 ) ]
Exemplo:
            π     π             π      π
 z1 = 2 cos + isen  e z2 = 3 cos + isen 
            3     3             2      2
              π π          π π 
 z1.z 2 = 2.3cos +  + isen + 
              3 2          3 2 
                5π       5π 
 z1.z 2 = 6 cos    + isen 
                 6        6 
Como dividimos
                     complexos na forma
                       trigonométrica?
        z1 ρ1
           =   [ cos(θ1 − θ 2 ) + isen(θ1 − θ 2 ) ]
        z2 ρ 2
Exemplo:
           π        π                 π          π
 z1 = 6 cos + isen  e z 2 = 3 cos + isen 
            2       2                  3         3
    z1 6   π π                  π π 
      = cos −  + isen − 
   z2 3   2 3                   2 3 
    z1        π      π
       = 2 cos + isen 
    z2        6      6
Como calculamos uma
                      potência complexos na
                       forma trigonométrica?
          z n = ρ n .[ cos( nθ ) + isen( nθ ) ]
Exemplo:
          π      π
 z = 2 cos + isen 
          3      3
          π            π 
 z = 2 cos 2.  + isen 2. 
  2   2

          3            3 
           2π        2π 
 z = 4 cos
  2
               + isen    
            3         3 
Tente fazer sozinho!
                                       6 + 6i
(UPF-RS) Quanto ao número complexo z =        ,
                                       1− i
a alternativa incorreta é:
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
                      π
c) O argumento de z é   rad.
                      2
d) Escrito na forma trigonométrica tem-se:
         z = 6( cos π + i senπ )

e) z2 é um número real.
Solução
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
   6 + 6i ( 6 + 6i )(1 + i ) 6 + 6i + 6i − 6 12i
z=       =                   =              =    = 6i
   1− i     (1 − i )(1 + i )      1+1         2

b) O módulo de z é 6.


 z = 0 +6 = 6 =6
         2     2        2
6 + 6i
            z=
               1− i
                      π
c) O argumento de z é   rad.
                      2
       a 0   
cos θ = = = 0
       ρ 6                π
              ⇒ θ = 90º =
       b 6                 2
senθ = = = 1 
       ρ 6   
             
d) Escrito na forma trigonométrica
                            tem-se:
                  z = 6( cos π + i senπ )

z = ρ ( cos θ + isenθ ) = 6( cos 90º +isen90º )
e) z2 é um número real.
z n = ρ n [ cos( nθ ) + isen( nθ ) ] =
z 2 = 6 2 [ cos( 2.90º ) + isen( 2.90º ) ] =
z 2 = 36[ cos(180º ) + isen(180º ) ] =
z = 36[ − 1 + i.0] = −36
 2

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  • 2. Ao final dessa aula você saberá:  O que é um número complexo e sua representação algébrica  O que é um número imaginário puro e igualdade dos complexos  O que é conjugado  As potências de i  A representação trigonométrica de um número complexo  As operações matemática na forma algébrica e na forma trigonométrica
  • 3. O que é um número complexo? É todo número z escrito na forma a + bi, sendo “a” a parte real e “bi” a parte imaginária. Também é chamado de número imaginário. Formalmente, escrevemos a parte Exemplos: real assim: Re(z) = a.  z = 3 + 5i E a parte imaginária assim: Im(z) = b  z = 7i  z = ½ + 4i
  • 4. O que é o “i”? É a unidade imaginária, sendo i2 = - 1. Dessa forma podemos calcular o valor da raiz de números negativos com índice par. Exemplo: − 36 = (−1)(36) = 36i = 6i2
  • 5. O que é um número imaginário puro? É um número complexo z = a + bi, cuja parte real é igual a zero, ou seja, a = 0. Repare que um número Exemplos: real é um número complexo, com a parte  z = 3i imaginária igual a zero. z=i Exemplo: 2+0i = 2  z = -10i
  • 6. Logo, temos que o conjuntos dos Números Reais é um subconjunto dos Números Complexos. C R Q I Z N
  • 7. Como sabemos se dois números complexos são iguais? Sendo dois números complexos: z1 = a + bi e z2 = c + di, se a = c e b = d, então z1 = z2. Ou seja, dois complexos são iguais se as partes reais e imaginárias são iguais. Exemplo: Calcular o valor de x e y na equação: 3x + 7yi = 12 – 21i 3x = 12  x = 4 7y = -21  y = -3
  • 8. Tente fazer sozinho! Determine m e n reais de modo que m + (n-1)i = 3i
  • 9. Solução m + (n-1)i = 3i m=0en–1=3 n=4
  • 10. Como representamos o conjugado de um número complexo? Sendo o número complexo z = a + bi, seu conjugado é representado por: z = a − bi Exemplos: z = 5 − 3i  z = 5 + 3i   z = - 8i  z = 8i
  • 11. Como calculamos as potências de i? Usando as regras de potência já conhecidas.  i0 =1 Note que a partir do expoente 4, os i =i 1 resultados começam a repetir.  i2 = - 1  i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i  i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1  i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i
  • 12. Exemplo: (PUC-MG) O número complexo (1 + i) 10 é igual a: a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i) [(1 + i)2]5 = [1 + 2i + i2]5 = [1 + 2i - 1]5 = [2i]5 = 32.i5 = 32i  letra C
  • 13. Tente fazer sozinho! (Vunesp) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, em que i2 = -1, o valor de c é: a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7
  • 14. Solução c = (a + bi)2 – 14i c = a2 + 2abi + b2i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14i c + 0i = (a2 – b2) + (2ab – 14)i 2ab – 14 = 0  ab = 7 Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7 Como c é positivo, temos que: c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48 Resposta: letra A.
  • 15. Como somamos ou subtraímos números complexos? Basta somar (ou subtrair)as partes reais e as partes imaginárias. Exemplos:  (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i  (7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i
  • 16. Como multiplicamos números complexos? Basta aplicar a propriedade distributiva. Exemplo: (5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i
  • 17. Como dividimos números complexos? Basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: 2 + 3i ( 2 + 3i )( 5 + 2i ) 10 + 4i + 15i − 6 = = = 5 − 2i ( 5 − 2i )( 5 + 2i ) 25 + 4 4 + 19i 4 19 = = + i 29 29 29
  • 18. Tente fazer sozinho! x −1 2 (Cefet-MG) O valor da expressão quando x −1 3 x = i (unidade imaginária) é : a) (i + 1) b) – (i – 1) c) ( i + 1) 2 d) ( i − 1) e) − ( i − 1) 2 2
  • 19. Solução x −1 i −1 −1 −1 2 2 −2 2 = 3 = = = x −1 i −1 − i −1 −1− i 1+ i 3 2(1 − i ) 2 − 2i 2(1 − i ) = = = 1− i 1 + i (1 − i ) 1 + 1 2 Logo, a resposta é B, pois – (i - 1) = -i +1 = 1-i
  • 20. Como representamos um número complexo no gráfico? Basta representar a parte real no eixo x e a parte imaginária no eixo y. Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i y P2 3 P1 2 1 x -1
  • 21. O que é o módulo de um número complexo? É a distância entre a origem e o ponto que corresponde a esse número. Sendo z = a + bi, temos: z = ρ y b ρ P (a,b) x a
  • 22. Como calculamos o módulo de um número complexo? Usando a fórmula z = ρ = a + b . 2 2 Exemplo: z = 1 + 3i z = 1 + 2 ( 3) 2 = 1+ 3 = 4 = 2
  • 23. Tente fazer sozinho! (UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor a de é: b a) 3 b) 2 c) 5 d) 2 2 e) 1+ 2
  • 24. Solução a a 2 +4 2 2 = = = b b 1 + ( − 3) 2 2 4 + 16 20 20 = = = 2 1+ 9 10 10 Resposta: letra B.
  • 25. O que é argumento de um número complexo? É o ângulo que o módulo do número faz com o eixo x. y b senθ = ρ b a ρ P (a,b) cos θ = ρ θ x a
  • 26. Tente fazer sozinho! (URRN) Se z = (1 + i ) 2 , então o argumento de z é: 1− i a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º
  • 27. Solução z= (1 + i )= 2 1 + 2i − 1 2i = 1− i 1− i 1− i 2i (1 + i ) 2i − 2 2i − 2 = = = = −1 + i (1 − i )(1 + i ) 1 + 1 2 b a senθ = e cos θ = ρ ρ ρ= ( − 1) 2 +1 = 1+1 = 2 2
  • 28. ( 2) = sen 1 2 senθ = 2 ( 2) 2 135º 45º cos θ = −1 ( 2) = − 2 cos 2 ( 2) 2 Logo, o argumento é 135º. Resposta: letra E.
  • 29. Como escrevemos a forma trigonométrica de um número complexo? z = ρ ( cos θ + i senθ ) Exemplo: z = 2 3 + 2i ρ = a +b = 2 2 (2 3 ) 2 + 2 = 12 + 4 = 16 = 4 2 a 2 3 3 cos θ = = =  ρ 4 2   ⇒ θ = 30º b 2 1  senθ = = = ρ 4 2   Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)
  • 30. Tente fazer sozinho! (Cefet-PR) A forma algébrica do complexo  7π 7π  z =3cos +isen  : é  6 6  3 3 3 a ) z =− − i 2 2 3 3 3 b) z = − i 2 2 3 3 3 c ) z =− − i 2 2 3 3 3 d ) z =− + i 2 2 3 3 3 e) z = − i 2 2
  • 31. Solução  7π 7π  z = 3 cos + isen   6 6  7π z = ρ ( cos θ + isenθ ) ⇒ ρ = 3, θ = = 210º 6 3 cos 210º = − cos 30º = − 2 1 sen210º = − sen30º = − 2
  • 32. a b cos θ = senθ = ρ ρ 3 a 1 b − = − = 2 3 2 3 3 3 3 a=− b=− 2 2 3 3 3 Logo, a forma algébrica é − − i 2 2 Resposta: letra C.
  • 33. Como multiplicamos complexos na forma trigonométrica? z1.z 2 = ρ1.ρ 2 .[ cos(θ1 + θ 2 ) + isen(θ1 + θ 2 ) ] Exemplo:  π π  π π z1 = 2 cos + isen  e z2 = 3 cos + isen   3 3  2 2  π π   π π  z1.z 2 = 2.3cos +  + isen +   3 2  3 2   5π 5π  z1.z 2 = 6 cos + isen   6 6 
  • 34. Como dividimos complexos na forma trigonométrica? z1 ρ1 = [ cos(θ1 − θ 2 ) + isen(θ1 − θ 2 ) ] z2 ρ 2 Exemplo:  π π  π π z1 = 6 cos + isen  e z 2 = 3 cos + isen   2 2  3 3 z1 6   π π   π π  = cos −  + isen −  z2 3   2 3   2 3  z1  π π = 2 cos + isen  z2  6 6
  • 35. Como calculamos uma potência complexos na forma trigonométrica? z n = ρ n .[ cos( nθ ) + isen( nθ ) ] Exemplo:  π π z = 2 cos + isen   3 3   π  π  z = 2 cos 2.  + isen 2.  2 2   3  3   2π 2π  z = 4 cos 2 + isen   3 3 
  • 36. Tente fazer sozinho! 6 + 6i (UPF-RS) Quanto ao número complexo z = , 1− i a alternativa incorreta é: a) Escrito na forma algébrica é z = 6i b) O módulo de z é 6. π c) O argumento de z é rad. 2 d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: z = 6( cos π + i senπ ) e) z2 é um número real.
  • 37. Solução a) Escrito na forma algébrica é z = 6i 6 + 6i ( 6 + 6i )(1 + i ) 6 + 6i + 6i − 6 12i z= = = = = 6i 1− i (1 − i )(1 + i ) 1+1 2 b) O módulo de z é 6. z = 0 +6 = 6 =6 2 2 2
  • 38. 6 + 6i z= 1− i π c) O argumento de z é rad. 2 a 0  cos θ = = = 0 ρ 6  π  ⇒ θ = 90º = b 6 2 senθ = = = 1  ρ 6  
  • 39. d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: z = 6( cos π + i senπ ) z = ρ ( cos θ + isenθ ) = 6( cos 90º +isen90º ) e) z2 é um número real. z n = ρ n [ cos( nθ ) + isen( nθ ) ] = z 2 = 6 2 [ cos( 2.90º ) + isen( 2.90º ) ] = z 2 = 36[ cos(180º ) + isen(180º ) ] = z = 36[ − 1 + i.0] = −36 2 Resposta: letra D.