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Logaritmos - Exemplos Resolvidos


   1o exemplo: Determinar o valor de           32


   Fazendo              32        =       β,            podemos   aplicar       a    definição:

        = 32.

   Passamos a ter uma equação exponencial, com resolução conhecida:
   (2–2)β = 25   2 –2β = 25    –2β=5

        =

   2o exemplo: Determinar o valor de log3           .

   Fazendo log3     = , podemos aplicar a definição de logaritmo:    =      .
   Agora é só resolver essa equação exponencial:




   Determinar o valor de
   Pelo uso das propriedades das potências, temos:


   Usando as decorrências da definição de logaritmos, temos:        = 2 . 5 = 10.
Obs.– A base 10 aparecerá com muita freqüência no estudo dos logaritmos, assim indicaremos
log10x simplesmente por log x.

 Exercícios Resolvidos

   01. Calcular, usando a definição de logaritmo:


   a)                     b)                            c)
   Resolução

   a)




   b)
c)

02. UFRN
O valor da expressão log2 64 – log3 27 é igual a:
a) 3        b) 13                  c) 17            d) 31          e) 37
Resolução: Resposta: A




03. (ITA-SP)
log216 – log432 é igual a:


a)                 b)               c)                      d) 4           e) 1
Resolução




Resposta: B

04. (UCS-RS)


O valor de                   é:

a) 1               b) – 3                  c) 3         d) –1          e)
Resolução




Resposta: D
.
  05. (Uneb-BA). O número real x, tal que logx       , é:


  a)                    b)              c)               d)                e)

  Resolução




  Resposta: A

  06. Calcular:
  a)                     b)
  Resolução
  a)

  b) log22 + log101 +         =

  1+0+              = 1 + 0 + 45 = 46

Exercícios Resolvidos
  01. (PUC-RS) O conjunto solução da equação logx (10 + 3x) = 2, em lR, é :
  a)           b) {– 2}          c) {5}      d) {– 2, 5}           e) {– 5, 2}

  Resolução
  Condições de existência: x > 0 e x 1 10 + 3x > 0       3x > –10   x > –10/3



  Utilizando a definição de logaritmo


  10 + 3x = x2    x2 – 3x – 10 = 0
  S = {5}
  Resposta: C

  02. (FGV-RJ) O domínio da função y = log (– x2 + 2x + 3) é:
  a) [ – 1, 3]  b) ] – , – 1 [ ] 3, + [   c) ] –1,3]        d) ] –1,3]     e) [ –1,3[

  Resolução




  D = {x R | –1 < x < 3}

  Resposta: D
03. (UFSCar-SP) O domínio de definição da função f(x) = logx – 1 (x2 – 5x + 6) é:
  a) x < 2 ou x > 3             b) 2 < x < 3                          c) 1 < x < 2 ou x > 3

  d) x < 1 ou x > 3                                e) 1 < x < 3

  Resolução
  f(x) = logx – 1 (x2 – 5x + 6)




    D = {x IR / 1< x < 2 ou x > 3}
  Resposta: C
  Exercícios Resolvidos
  01. (Vunesp) Sejam x e y números reais, com              x > y. Se log3(x – y) = m e (x + y) = 9,
determine:
  a) o valor de log3(x + y);
  b) log3(x2 – y2), em função de m.
  Resolução
  a) log3(x + y) = log39 = 2.
  b) log3(x2 – y2) = log3 [(x + y) · (x – y)] =
     log3 (x + y) + log3 (x – y) = m + 2.

  02. Se log 2 = x e log 3 = y, então log 72 é igual a:
  a) 2x + 3y            b) 3x + 2y            c) 3x – 2y          d) 2x – 3y        e) x + y
  Resolução
  log72 = log(23 · 32) = log23 + log32 =
  = 3 · log2 + 2 · log3 = 3x + 2y
  Resposta: B
  03. (Fuvest-SP) Se x = log47 e y = log1649, então x – y é igual a:
  a) log4 7       b) log167      c) 1        d) 2        e) 0
  Resolução

                                                  x–y=x–x=0

  Resposta: E
04. (UFF-RJ) Sendo log a = 11, log b = 0,5, log c = 6 e log     = x, o valor de x é:
 a) 5       b) 10       c) 15        d) 20        e) 25
 Resolução




 Resposta: B

  Exercícios Resolvidos

   01. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equação 2x = 5, utilizando uma calculadora que
possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante deverá usar a calculadora
para obter os seguintes números:
  a) log 2, log 5 e log 5 – log 2
  b) log 2, log 5 e log 5 : log 2
  c) log 2, log 5 e log 25
  d) 5/2 e log 5/2
  e) e log
  Resolução
  Aplicando logaritmo com base 10 nos dois membros temos:
  log 2x = log 5

  x · log 2 = log 5 ⇒ x =
  Resposta: B

   02.                  (FGV-SP)                 A             equação                  logarítmica
log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = 3
   admite:
   a) uma única raiz irracional.
   b) duas raízes opostas.
   c) duas raízes cujo produto é – 4.
   d) uma única raiz e negativa.
   e) uma única raiz e maior do que 2.
   Resolução
  Condição de existência:
  x + 1 > 0 ⇒ x > – 1 ; x – 1 > 0 ⇒ x > 1.
  Assim x > 1
  log2 (x + 1) · (x – 1) = 3
  log2 (x2 – 1) = 3 ⇒ x2 – 1 = 23 ⇒ x2 – 1 = 8


  x=3
  Resposta: E
03. (Cesgranrio-RJ) Se log x representa o logaritmo decimal do número positivo x, a soma das
 raízes de log2 x – log x2 = 0 é:
    a) – 1      b) 1          c) 20         d) 100            e) 101
    Resolução
   Condição de existência: x > 0
   log2 x – log x2 = 0 log2 x – 2 log x = 0
   Fazendo log x = y, obteremos:
   y2 – 2y = 0 y(y – 2) = 0 y = 0 ou y = 2
   log x = 0 x = 1
   log x = 2 x = 100
     a soma das raízes será 101.      S = {101}
   Resposta: E

  Exercícios Resolvidos
  01. (FCMSC-SP) São dados: log15 3 = a e log15 2 = b. O valor de log10 2 é:

  a)                           b)                                        c)

         d)                                          e)
  Resolução                      Resposta: B




  02. (FGV-SP) O produto (log92) · (log25) · (log53) é igual a:


  a) 0           b)           c) 10              d) 30             e)
  Resolução


  x=
  Resposta: B



  03.                     A                       expressão                                     é
equivalente a:

  a) log250                     b) log2 10                                    c) log2 5

          d) log2 2                                      e) log2
  Resolução

  log2 3 · log3 5 · log5 10 = log2 10        e

  Portanto

                                                                   log2 10 + log2   = log2 10
  Resposta: B

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  • 1. Logaritmos - Exemplos Resolvidos 1o exemplo: Determinar o valor de 32 Fazendo 32 = β, podemos aplicar a definição: = 32. Passamos a ter uma equação exponencial, com resolução conhecida: (2–2)β = 25 2 –2β = 25 –2β=5 = 2o exemplo: Determinar o valor de log3 . Fazendo log3 = , podemos aplicar a definição de logaritmo: = . Agora é só resolver essa equação exponencial: Determinar o valor de Pelo uso das propriedades das potências, temos: Usando as decorrências da definição de logaritmos, temos: = 2 . 5 = 10. Obs.– A base 10 aparecerá com muita freqüência no estudo dos logaritmos, assim indicaremos log10x simplesmente por log x. Exercícios Resolvidos 01. Calcular, usando a definição de logaritmo: a) b) c) Resolução a) b)
  • 2. c) 02. UFRN O valor da expressão log2 64 – log3 27 é igual a: a) 3 b) 13 c) 17 d) 31 e) 37 Resolução: Resposta: A 03. (ITA-SP) log216 – log432 é igual a: a) b) c) d) 4 e) 1 Resolução Resposta: B 04. (UCS-RS) O valor de é: a) 1 b) – 3 c) 3 d) –1 e) Resolução Resposta: D
  • 3. . 05. (Uneb-BA). O número real x, tal que logx , é: a) b) c) d) e) Resolução Resposta: A 06. Calcular: a) b) Resolução a) b) log22 + log101 + = 1+0+ = 1 + 0 + 45 = 46 Exercícios Resolvidos 01. (PUC-RS) O conjunto solução da equação logx (10 + 3x) = 2, em lR, é : a) b) {– 2} c) {5} d) {– 2, 5} e) {– 5, 2} Resolução Condições de existência: x > 0 e x 1 10 + 3x > 0 3x > –10 x > –10/3 Utilizando a definição de logaritmo 10 + 3x = x2 x2 – 3x – 10 = 0 S = {5} Resposta: C 02. (FGV-RJ) O domínio da função y = log (– x2 + 2x + 3) é: a) [ – 1, 3] b) ] – , – 1 [ ] 3, + [ c) ] –1,3] d) ] –1,3] e) [ –1,3[ Resolução D = {x R | –1 < x < 3} Resposta: D
  • 4. 03. (UFSCar-SP) O domínio de definição da função f(x) = logx – 1 (x2 – 5x + 6) é: a) x < 2 ou x > 3 b) 2 < x < 3 c) 1 < x < 2 ou x > 3 d) x < 1 ou x > 3 e) 1 < x < 3 Resolução f(x) = logx – 1 (x2 – 5x + 6) D = {x IR / 1< x < 2 ou x > 3} Resposta: C Exercícios Resolvidos 01. (Vunesp) Sejam x e y números reais, com x > y. Se log3(x – y) = m e (x + y) = 9, determine: a) o valor de log3(x + y); b) log3(x2 – y2), em função de m. Resolução a) log3(x + y) = log39 = 2. b) log3(x2 – y2) = log3 [(x + y) · (x – y)] = log3 (x + y) + log3 (x – y) = m + 2. 02. Se log 2 = x e log 3 = y, então log 72 é igual a: a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) 3x – 2y d) 2x – 3y e) x + y Resolução log72 = log(23 · 32) = log23 + log32 = = 3 · log2 + 2 · log3 = 3x + 2y Resposta: B 03. (Fuvest-SP) Se x = log47 e y = log1649, então x – y é igual a: a) log4 7 b) log167 c) 1 d) 2 e) 0 Resolução x–y=x–x=0 Resposta: E
  • 5. 04. (UFF-RJ) Sendo log a = 11, log b = 0,5, log c = 6 e log = x, o valor de x é: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 Resolução Resposta: B Exercícios Resolvidos 01. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equação 2x = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante deverá usar a calculadora para obter os seguintes números: a) log 2, log 5 e log 5 – log 2 b) log 2, log 5 e log 5 : log 2 c) log 2, log 5 e log 25 d) 5/2 e log 5/2 e) e log Resolução Aplicando logaritmo com base 10 nos dois membros temos: log 2x = log 5 x · log 2 = log 5 ⇒ x = Resposta: B 02. (FGV-SP) A equação logarítmica log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = 3 admite: a) uma única raiz irracional. b) duas raízes opostas. c) duas raízes cujo produto é – 4. d) uma única raiz e negativa. e) uma única raiz e maior do que 2. Resolução Condição de existência: x + 1 > 0 ⇒ x > – 1 ; x – 1 > 0 ⇒ x > 1. Assim x > 1 log2 (x + 1) · (x – 1) = 3 log2 (x2 – 1) = 3 ⇒ x2 – 1 = 23 ⇒ x2 – 1 = 8 x=3 Resposta: E
  • 6. 03. (Cesgranrio-RJ) Se log x representa o logaritmo decimal do número positivo x, a soma das raízes de log2 x – log x2 = 0 é: a) – 1 b) 1 c) 20 d) 100 e) 101 Resolução Condição de existência: x > 0 log2 x – log x2 = 0 log2 x – 2 log x = 0 Fazendo log x = y, obteremos: y2 – 2y = 0 y(y – 2) = 0 y = 0 ou y = 2 log x = 0 x = 1 log x = 2 x = 100 a soma das raízes será 101. S = {101} Resposta: E Exercícios Resolvidos 01. (FCMSC-SP) São dados: log15 3 = a e log15 2 = b. O valor de log10 2 é: a) b) c) d) e) Resolução Resposta: B 02. (FGV-SP) O produto (log92) · (log25) · (log53) é igual a: a) 0 b) c) 10 d) 30 e) Resolução x= Resposta: B 03. A expressão é equivalente a: a) log250 b) log2 10 c) log2 5 d) log2 2 e) log2 Resolução log2 3 · log3 5 · log5 10 = log2 10 e Portanto log2 10 + log2 = log2 10 Resposta: B