1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo. 2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos. 3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.

1. Exercício Virtual_Mat_Bloco 03
Questão 07
Sendo o complexo z = 2 [cos (ð/6) + sen (ð/6) i],
calculando z6 obtemos:
Questão 01 a) - 32 i
b) - 32
Se z é um número complexo tal que |z - 3| = |z - 7| = c) - 64 i
|z - 3i|, então é CORRETO afirmar que: d) - 64
a) Re (z) > 5
b) Im (z) < 5
Questão 08
c) z = 5-5i
d) |z| = 2 5 ð ð
Considere os números complexos z = cos + i sen
e) |z| = 5 2 18 18
ð ð
e w = 2 cos + i sen .
Questão 02 9 9
a) Mostre que o produto z.w é igual a ( 3)+i.
Uma das raízes cúbicas de um número complexo é 2 18
b) Mostre que z é igual a -1.
(cis300°). Determine o conjugado da soma das outras
raízes.
Questão 09
Questão 03
Os números complexos distintos z e w são tais que z
+ w = 1 e z . w = 1.
Seja o número complexo z = cos15°+ i sen15°, onde a) Calcule |z|.
2
i = -1. Se w é um outro número complexo tal que |w| = 4 4
b) Calcule o valor z + w sabendo-se que z está no
|z| = |z - w|, então pode-se afirmar que um valor possível primeiro quadrante do plano complexo.
para w nessas condições é:
a) w = cos 315° + i sen 315°
b) w = cos 60° + i sen 60° Questão 10
c) w = cos165° + i sen165°
d) w = cos 225° + i sen 225° Sendo z1 e z2 números complexos tais que:
• z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo
Questão 04 quadrante,
4 2
• z2 satisfaz a equação x + x - 12 = 0 e Im(z2) > 0,
Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas z1
representações geométricas coincidem com os vértices calcule 3 + z2 .
de um quadrado inscrito em uma circunferência com z2
centro na origem. Se x = 3 + i, determine y, z e w.
Gabarito
Questão 05 Questão 01
Sejam ù1, ù2, ù3, ù4 e ù5 as raízes complexas da Letra D.
equação
z5 - 1 = 0.
Questão 02
a) Calcule S = ù1+ ù2+ ù3+ ù4+ù5
b) Represente geometricamente os números ù1, ù2, ù3, -1- 3i
ù4 e ù5 no plano de Argand-Gauss e, a partir daí, calcule
o cosseno de 36°.
Questão 03
Questão 06 Letra A.
A representação geométrica do conjugado do número
2 Questão 04
complexo (2i + 2) /(3i - 2), em que i é a unidade
imaginária, encontra-se no:
a) primeiro quadrante. y=-1+ 3i
b) segundo quadrante.
z=- 3-i
c) terceiro quadrante.
d) quarto quadrante. w=1- 3 i
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2. Exercício Virtual_Mat_Bloco 03
Questão 05 Questão 10
a) S = 0 Determinando z1 na forma trigonométrica: z1 = p(cos
b) Observe a figura a seguir: a + i sen a)
3 π π⎞
⎛
+ i.sen ⎟
p ( cos (3.a) + i sen (3.a )) = 8. ⎜ cos
⎝ 2 2⎠
π
+ k.2π
Por comparação temos: p = 2 e a = 2
3
⎛ π π⎞
k = 0 ⇒ z = 2 ⎜ cos + isen ⎟ = 3 + i
⎝ 6 6⎠
⎛ 5π 5π ⎞
k = 1 ⇒ z = 2 ⎜ cos + isen = − 3 +i
cos 36° = (1+ 5 )/8 ⎝ 6 6 ⎟
⎠
Z1 = 1
⎛ 3π 3π ⎞
Z2 = (cos 72° + i sen 72°) k = 2 ⇒ z = 2 ⎜ cos + isen = −2i
Z3 = (cos 144° + i sen 144°) ⎝ 2 2 ⎟
⎠
Z4 = (cos 216° + i sen 216°) Assim, z1 = - 3 + i.
Z5 = (cos 288° + i sen 288°) • Cálculo de z2
2 2
x = y, obtém-se a equação y + y – 12 = 0 que tem
Questão 06 raízes y = –4 e y = 3.
Para y =–4 ë x = ± 2i e para y = 3 ë x = ± 3.
Letra A.
Logo, z2 = 2i
z1 ⎛ − 3 + i⎞ 3 3 ⎛ 3i ⎞ 3
Questão 07 + z2 =
3
z2 ⎜ 2i ⎟ − 2i = − 2i + 2 − 2i = ⎜ 2 − 2i ⎟ + 2
3⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
Letra D.
3 i 3 1
− = + = 1.
Logo, 2 2 4 4
Questão 08
a) z . w = 1 . 2 . { cos [(ð/18) + (ð/9)] + i . sen [(ð/18)
+ (ð/9)] }
z . w = 2 . [cos (ð/6) + i . sen (ð/6)]
z.w= 3+i
18 18
b) z = 1 . {cos [18 . (ð/18)] + i . sen [18 . (ð/18)]
18
z = cos ð + i . sen ð = -1
Questão 09
⎧ 1 3
⎧w = 1 ⎪z = 2 + 2
⋅i
⎧z ⋅ w = 1 ⎪
⇒⎨ z ⇒ z2 − z + 1 = 0 ⇒ ⎪ ou
⎨ ⎨
⎩z + w = 1 ⎪z + 1 = 1 ⎪
⎩ ⎪z = 1 − 3
z ⋅i
⎩ 2 2
Qualquer que seja z, |z| = 1
Como z está no primeiro quadrante, segue que
z = cos ð + i ⋅ sen ð .
3 3
1 z z = z.
Por outro lado, como |z| = 1 vem w = z ⋅ =
z | z |2
Sabendo que (z) = (z) , obtemos:
n n
z4 + w 4 = z4 + z 4 = cos 4ð + i ⋅ sen 4ð + cos 4ð − i ⋅ sen 4ð = −1.
3 3 3 3
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