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Exercício Virtual_Mat_Bloco 03
                                                                  Questão 07

                                                                     Sendo o complexo z = 2 [cos (ð/6) + sen (ð/6) i],
                                                                 calculando z6 obtemos:
    Questão 01                                                   a) - 32 i
                                                                 b) - 32
    Se z é um número complexo tal que |z - 3| = |z - 7| =        c) - 64 i
|z - 3i|, então é CORRETO afirmar que:                           d) - 64
a) Re (z) > 5
b) Im (z) < 5
                                                                  Questão 08
c) z = 5-5i
d) |z| = 2 5                                                                                                      ð          ð
                                                                    Considere os números complexos z = cos          + i sen
e) |z| = 5 2                                                                                                     18         18
                                                                                 ð         ð
                                                                 e w = 2 cos       + i sen   .
    Questão 02                                                                   9         9
                                                                 a) Mostre que o produto z.w é igual a (     3)+i.
    Uma das raízes cúbicas de um número complexo é 2                            18
                                                                 b) Mostre que z é igual a -1.
(cis300°). Determine o conjugado da soma das outras
raízes.
                                                                  Questão 09
    Questão 03
                                                                    Os números complexos distintos z e w são tais que z
                                                                 + w = 1 e z . w = 1.
    Seja o número complexo z = cos15°+ i sen15°, onde            a) Calcule |z|.
2
i = -1. Se w é um outro número complexo tal que |w| =                                 4    4
                                                                 b) Calcule o valor z + w sabendo-se que z está no
|z| = |z - w|, então pode-se afirmar que um valor possível       primeiro quadrante do plano complexo.
para w nessas condições é:
a) w = cos 315° + i sen 315°
b) w = cos 60° + i sen 60°                                        Questão 10
c) w = cos165° + i sen165°
d) w = cos 225° + i sen 225°                                        Sendo z1 e z2 números complexos tais que:
                                                                 • z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo
    Questão 04                                                   quadrante,
                                                                                          4   2
                                                                 • z2 satisfaz a equação x + x - 12 = 0 e Im(z2) > 0,
   Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas                            z1
representações geométricas coincidem com os vértices             calcule    3      + z2 .
de um quadrado inscrito em uma circunferência com                               z2

centro na origem. Se x =    3 + i, determine y, z e w.
                                                                                            Gabarito

    Questão 05                                                    Questão 01

   Sejam ù1, ù2, ù3, ù4 e ù5 as raízes complexas da                 Letra D.
equação
                      z5 - 1 = 0.
                                                                  Questão 02
a) Calcule S = ù1+ ù2+ ù3+ ù4+ù5
b) Represente geometricamente os números ù1, ù2, ù3,                -1-    3i
ù4 e ù5 no plano de Argand-Gauss e, a partir daí, calcule
o cosseno de 36°.
                                                                  Questão 03

    Questão 06                                                      Letra A.

    A representação geométrica do conjugado do número
                    2                                             Questão 04
complexo (2i + 2) /(3i - 2), em que i é a unidade
imaginária, encontra-se no:
a) primeiro quadrante.                                              y=-1+          3i
b) segundo quadrante.
                                                                    z=-         3-i
c) terceiro quadrante.
d) quarto quadrante.                                                w=1-         3 i
Aprovação em tudo que você faz.                              1                              www.colegiocursointellectus.com.br
Exercício Virtual_Mat_Bloco 03
 Questão 05                                                                  Questão 10

a) S = 0                                                                       Determinando z1 na forma trigonométrica: z1 = p(cos
b) Observe a figura a seguir:                                               a + i sen a)

                                                                                  3                                π        π⎞
                                                                                                                            ⎛
                                                                                                                     + i.sen ⎟
                                                                                 p ( cos (3.a) + i sen (3.a )) = 8. ⎜ cos
                                                                                                               ⎝   2        2⎠
                                                                                                                   π
                                                                                                                     + k.2π
                                                                                 Por comparação temos: p = 2 e a = 2
                                                                                                                       3
                                                                                                   ⎛    π      π⎞
                                                                                     k = 0 ⇒ z = 2 ⎜ cos + isen ⎟ = 3 + i
                                                                                                   ⎝    6      6⎠

                                                                                                   ⎛     5π        5π ⎞
                                                                                     k = 1 ⇒ z = 2 ⎜ cos    + isen      = − 3 +i
cos 36° = (1+ 5 )/8                                                                                ⎝      6         6 ⎟
                                                                                                                      ⎠
Z1 = 1
                                                                                                   ⎛     3π        3π ⎞
Z2 = (cos 72° + i sen 72°)                                                           k = 2 ⇒ z = 2 ⎜ cos    + isen      = −2i
Z3 = (cos 144° + i sen 144°)                                                                       ⎝      2         2 ⎟
                                                                                                                      ⎠
Z4 = (cos 216° + i sen 216°)                                                   Assim, z1 = -           3 + i.
Z5 = (cos 288° + i sen 288°)                                                • Cálculo de z2
                                                                             2                                         2
                                                                            x = y, obtém-se a equação y + y – 12 = 0 que tem
 Questão 06                                                                 raízes y = –4 e y = 3.
                                                                                 Para y =–4 ë x = ± 2i e para y = 3 ë x = ±                     3.
   Letra A.
                                                                                 Logo, z2 = 2i
                                                                                     z1             ⎛ − 3 + i⎞      3     3       ⎛ 3i     ⎞    3
 Questão 07                                                                               + z2 =
                                                                                 3
                                                                                     z2             ⎜ 2i ⎟ − 2i = − 2i + 2 − 2i = ⎜ 2 − 2i ⎟ + 2
                                                                                                   3⎜        ⎟                    ⎝        ⎠
                                                                                                    ⎝        ⎠
   Letra D.
                                                                                                3 i        3 1
                                                                                                 − =        + = 1.
                                                                                 Logo,         2  2        4 4
 Questão 08

a) z . w = 1 . 2 . { cos [(ð/18) + (ð/9)] + i . sen [(ð/18)
+ (ð/9)] }
         z . w = 2 . [cos (ð/6) + i . sen (ð/6)]
          z.w= 3+i
    18      18
b) z     = 1 . {cos [18 . (ð/18)] + i . sen [18 . (ð/18)]
           18
          z     = cos ð + i . sen ð = -1


 Questão 09


                                          ⎧    1             3
                ⎧w = 1                    ⎪z = 2 +          2
                                                               ⋅i
    ⎧z ⋅ w = 1  ⎪
               ⇒⎨    z ⇒ z2 − z + 1 = 0 ⇒ ⎪ ou
    ⎨                                     ⎨
    ⎩z + w = 1 ⎪z + 1 = 1                 ⎪
                ⎩                         ⎪z = 1 −          3
                    z                                         ⋅i
                                          ⎩    2            2
   Qualquer que seja z, |z| = 1
   Como z está no primeiro quadrante, segue que

z = cos ð + i ⋅ sen ð .
        3           3
                                        1 z     z = z.
   Por outro lado, como |z| = 1 vem w = z ⋅ =
                                           z | z |2

   Sabendo que (z) = (z) , obtemos:
                  n     n


z4 + w 4 = z4 + z 4 = cos 4ð + i ⋅ sen 4ð + cos 4ð − i ⋅ sen 4ð = −1.
                           3            3       3             3

Aprovação em tudo que você faz.                                         2                                       www.colegiocursointellectus.com.br

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Matematica 3 exercicios gabarito 15

  • 1. Exercício Virtual_Mat_Bloco 03 Questão 07 Sendo o complexo z = 2 [cos (ð/6) + sen (ð/6) i], calculando z6 obtemos: Questão 01 a) - 32 i b) - 32 Se z é um número complexo tal que |z - 3| = |z - 7| = c) - 64 i |z - 3i|, então é CORRETO afirmar que: d) - 64 a) Re (z) > 5 b) Im (z) < 5 Questão 08 c) z = 5-5i d) |z| = 2 5 ð ð Considere os números complexos z = cos + i sen e) |z| = 5 2 18 18 ð ð e w = 2 cos + i sen . Questão 02 9 9 a) Mostre que o produto z.w é igual a ( 3)+i. Uma das raízes cúbicas de um número complexo é 2 18 b) Mostre que z é igual a -1. (cis300°). Determine o conjugado da soma das outras raízes. Questão 09 Questão 03 Os números complexos distintos z e w são tais que z + w = 1 e z . w = 1. Seja o número complexo z = cos15°+ i sen15°, onde a) Calcule |z|. 2 i = -1. Se w é um outro número complexo tal que |w| = 4 4 b) Calcule o valor z + w sabendo-se que z está no |z| = |z - w|, então pode-se afirmar que um valor possível primeiro quadrante do plano complexo. para w nessas condições é: a) w = cos 315° + i sen 315° b) w = cos 60° + i sen 60° Questão 10 c) w = cos165° + i sen165° d) w = cos 225° + i sen 225° Sendo z1 e z2 números complexos tais que: • z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo Questão 04 quadrante, 4 2 • z2 satisfaz a equação x + x - 12 = 0 e Im(z2) > 0, Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas z1 representações geométricas coincidem com os vértices calcule 3 + z2 . de um quadrado inscrito em uma circunferência com z2 centro na origem. Se x = 3 + i, determine y, z e w. Gabarito Questão 05 Questão 01 Sejam ù1, ù2, ù3, ù4 e ù5 as raízes complexas da Letra D. equação z5 - 1 = 0. Questão 02 a) Calcule S = ù1+ ù2+ ù3+ ù4+ù5 b) Represente geometricamente os números ù1, ù2, ù3, -1- 3i ù4 e ù5 no plano de Argand-Gauss e, a partir daí, calcule o cosseno de 36°. Questão 03 Questão 06 Letra A. A representação geométrica do conjugado do número 2 Questão 04 complexo (2i + 2) /(3i - 2), em que i é a unidade imaginária, encontra-se no: a) primeiro quadrante. y=-1+ 3i b) segundo quadrante. z=- 3-i c) terceiro quadrante. d) quarto quadrante. w=1- 3 i Aprovação em tudo que você faz. 1 www.colegiocursointellectus.com.br
  • 2. Exercício Virtual_Mat_Bloco 03 Questão 05 Questão 10 a) S = 0 Determinando z1 na forma trigonométrica: z1 = p(cos b) Observe a figura a seguir: a + i sen a) 3 π π⎞ ⎛ + i.sen ⎟ p ( cos (3.a) + i sen (3.a )) = 8. ⎜ cos ⎝ 2 2⎠ π + k.2π Por comparação temos: p = 2 e a = 2 3 ⎛ π π⎞ k = 0 ⇒ z = 2 ⎜ cos + isen ⎟ = 3 + i ⎝ 6 6⎠ ⎛ 5π 5π ⎞ k = 1 ⇒ z = 2 ⎜ cos + isen = − 3 +i cos 36° = (1+ 5 )/8 ⎝ 6 6 ⎟ ⎠ Z1 = 1 ⎛ 3π 3π ⎞ Z2 = (cos 72° + i sen 72°) k = 2 ⇒ z = 2 ⎜ cos + isen = −2i Z3 = (cos 144° + i sen 144°) ⎝ 2 2 ⎟ ⎠ Z4 = (cos 216° + i sen 216°) Assim, z1 = - 3 + i. Z5 = (cos 288° + i sen 288°) • Cálculo de z2 2 2 x = y, obtém-se a equação y + y – 12 = 0 que tem Questão 06 raízes y = –4 e y = 3. Para y =–4 ë x = ± 2i e para y = 3 ë x = ± 3. Letra A. Logo, z2 = 2i z1 ⎛ − 3 + i⎞ 3 3 ⎛ 3i ⎞ 3 Questão 07 + z2 = 3 z2 ⎜ 2i ⎟ − 2i = − 2i + 2 − 2i = ⎜ 2 − 2i ⎟ + 2 3⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Letra D. 3 i 3 1 − = + = 1. Logo, 2 2 4 4 Questão 08 a) z . w = 1 . 2 . { cos [(ð/18) + (ð/9)] + i . sen [(ð/18) + (ð/9)] } z . w = 2 . [cos (ð/6) + i . sen (ð/6)] z.w= 3+i 18 18 b) z = 1 . {cos [18 . (ð/18)] + i . sen [18 . (ð/18)] 18 z = cos ð + i . sen ð = -1 Questão 09 ⎧ 1 3 ⎧w = 1 ⎪z = 2 + 2 ⋅i ⎧z ⋅ w = 1 ⎪ ⇒⎨ z ⇒ z2 − z + 1 = 0 ⇒ ⎪ ou ⎨ ⎨ ⎩z + w = 1 ⎪z + 1 = 1 ⎪ ⎩ ⎪z = 1 − 3 z ⋅i ⎩ 2 2 Qualquer que seja z, |z| = 1 Como z está no primeiro quadrante, segue que z = cos ð + i ⋅ sen ð . 3 3 1 z z = z. Por outro lado, como |z| = 1 vem w = z ⋅ = z | z |2 Sabendo que (z) = (z) , obtemos: n n z4 + w 4 = z4 + z 4 = cos 4ð + i ⋅ sen 4ð + cos 4ð − i ⋅ sen 4ð = −1. 3 3 3 3 Aprovação em tudo que você faz. 2 www.colegiocursointellectus.com.br