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Funções polinomiais 4 
Antes de ler o capítulo 
Esse capítulo trata de um 
grupo particular de funções, de 
modo que, antes de lê-lo, o lei-tor 
precisa dominar o conteúdo 
do Capítulo 1. 
Depois de tratarmos das funções de uma forma genérica, é hora de possarmos a discu-tir 
aquelas funções que são usadas com maior frequência na modelagem de fenômenos 
reais. 
Nesse capítulo, trataremos das funções que envolvem polinômios. Já as funções 
exponenciais e logarítmicas, igualmente importantes, serão vistas no Capítulo 5. Fi-nalmente, 
deixamos para o segundo volume desse livro o tratamento das funções 
trigonométricas, dada a relação que essas têm com a geometria do triângulo retân-gulo. 
4.1 Funções quadráticas 
Por motivos óbvios, damos o nome de função polinomial a uma função que é dada 
por um polinômio. O quadro abaixo fornece uma descrição precisa desse tipo de 
função, tomando por base a definição de polinômio fornecida na Seção 2.9. 
Função polinomial 
Seja dado um número inteiro não negativo n, bem como os coeficientes reais 
a0, a1,,an, com an x 0. A função definida por 
f(x) = anxn + an−1xn−1 ++ a1x + a0 
é denominada função polinomial de grau n, com relação a x. 
Algumas funções polinomiais já foram vistas no Capítulo 3, tais como 
f(x) = c Função constante (grau 0). 
f(x) = mx + b Função linear ou afim (grau 1). 
f(x) = xn Função potência de grau n 
Nessa seção, trataremos das funções polinomiais de grau 2, também conhecidas 
como funções quadráticas.
294 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Função quadrática 
Sejam dados os coeficientes reais a, b e c, com a x 0. A função definida por 
f(x) = ax2 + bx + c 
é denominada função quadrática. 
As funções quadráticas têm aplicações em áreas variadas, como a física, a econo-mia, 
a engenharia, a biologia e a geografia. O problema abaixo mostra o emprego de 
uma função quadrática à descrição da trajetória de uma bola. 
Problema 1. Trajetória de uma bola de golfe 
Um golfista dá uma tacada que faz sua bola descrever uma trajetória na qual a 
altura é dada pela função 
f(x) = −0,008x2 + x, 
em que x é a distância horizontal da bola, medida a partir de sua posição antes da 
tacada. A Figura 4.1 ilustra a trajetória da bola. 
Figura 4.1: Trajetória de uma 
bola de golfe. Quando a bola está 
a uma distância ¯x do ponto de par-tida, 
sua altura é f(¯x). 
a) Determine a altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 50 m 
de seu ponto de partida. 
b) Com base em uma tabela de pontos, trace a trajetória da bola no plano Cartesiano. 
c) Determine a que distância do ponto de partida a bola cai no chão. 
Solução. 
a) A altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 50 m de sua posição 
original é dada por 
f(50) = −0,008  502 + 50 = 30. 
Logo, a bola está a uma altura de 30 m. 
b) A Tabela 4.1 fornece uma lista de pares ordenados obtidos a partir da definição 
de f. Com base nesses pontos, traçamos o gráfico da Figura 4.2, que mostra a 
trajetória descrita pela bola. 
Tabela 4.1 
x f(x) 
0 0,0 
20 16,8 
40 27,2 
60 31,2 
80 28,8 
100 20,0 
120 4,8 
140 -16,8 Figura 4.2: Gráfico da função que representa a trajetória da bola de golfe. 
c) Observando a Figura 4.2, concluímos que a bola toca o solo a cerca de 125 metros 
de seu ponto de partida. Para determinar com exatidão a coordenada horizontal 
desse ponto, basta lembrar que dizer que a bola está sobre o solo é o mesmo que 
afirmar que sua altura é zero. Assim, temos f(x) = 0, ou seja, 
−0,008x2 + x = 0  x(−0,008x + 1) = 0.
Seção 4.1. Funções quadráticas 295 
As raízes dessa equação devem satisfazer x = 0 ou −0,008x + 1 = 0. Nesse último 
caso, temos 
−0,008x + 1 = 0  −0,008x = −1  x = 
−1 
−0,008 = 125. 
Logo, os pontos em que a bola toca o solo são aqueles nos quais x = 0 m (ponto 
de partida) e x = 125 m, que é a distância horizontal entre o ponto de partida e o 
ponto de queda da bola.
296 Capítulo 4. Funções polinomiais 
É importante notar que uma função quadrática pode ser fornecida em outro for-mato 
que não aquele apresentado no quadro acima, como mostram os exemplos a 
seguir. 
Problema 2. Conversão de funções quadráticas ao formato usual 
Converta as funções abaixo ao formato f(x) = ax2 + bx + c. 
a) f(x) = 2(x − 1)(x + 3) b) f(x) = −3(x − 4)2 + 6 
Solução. 
a) Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever 
2(x − 1)(x + 3) = 2(x2 − x + 3x − 3) = 2x2 + 4x − 6. 
Logo, f(x) = 2x2 + 4x − 6. 
b) Usando a regra do quadrado da soma (ou seja, a propriedade distributiva mais 
uma vez), obtemos 
−3(x − 4)2 + 6 = −3(x2 − 8x + 16) + 6 = −3x2 + 24x − 48 + 6 = −3x2 + 24x − 42. 
Assim, f(x) = −3x2 + 24x − 42. 
Ì Gráfico das funções quadráticas 
O gráfico de uma função quadrática tem um formato característico – similar a uma 
letra “U” mais aberta –, e é chamado parábola. A Figura 4.3 mostra duas parábolas 
típicas. 
(a) a  0 (b) a  0 
Figura 4.3: Gráficos de parábolas e sua relação com o coeficiente a. 
Observando as curvas da Figura 4.3, notamos que a função quadrática tem um 
ponto de mínimo ou um ponto de máximo local. A esse ponto especial da parábola 
damos o nome de vértice. Além disso, toda parábola é simétrica a uma reta vertical 
que passa por seu vértice. Essa reta vertical é denominada eixo de simetria. 
Outra característica importante de parábola é a sua concavidade, que é a lado 
para o qual a curva se abre. A Figura 4.3a mostra uma parábola com concavidade 
para cima, enquanto a Figura 4.3b mostra uma parábola com concavidade para baixo.
Seção 4.1. Funções quadráticas 297 
Note que há uma relação entre a concavidade e o sinal do coeficiente a. Se a  0, a 
parábola tem concavidade para cima. Por outro lado, a concavidade é para baixo se 
a  0. 
O parâmetro a também controla a abertura da parábola. Quanto maior for o valor 
absoluto desse parâmetro, menor será a abertura, e vice-versa, como ilustra a Figura 
4.4. 
Figura 4.4: Influência do parâmetro a sobre a abertura da parábola. 
Por sua vez, o coeficiente c da função quadrática determina o intercepto-y da 
parábola, pois, tomando x = 0, temos 
f(0) = a  02 + b  0 + c = c. 
Já os interceptos-x da parábola correspondem às raízes da equação f(x) = 0, que é 
equivalente à equação quadrática 
ax2 + bx + c = 0. 
Seguindo, então, a análise feita na Seção 2.10 acerca do papel do discriminante  = 
b2 − 4ac do polinômio quadrático, podemos dizer que a parábola 
• intercepta o eixo-x em dois pontos se   0; 
• intercepta o eixo-x em um ponto se  = 0; 
• não intercepta o eixo-x se   0. 
Problema 3. Interceptos da parábola 
Dada a função quadrática 
f(x) = 2x2 − 5x − 3, 
determine os interceptos de seu gráfico com os eixos coordenados. 
Solução. 
• O intercepto-y da parábola é dado pelo coeficiente c, cujo valor é −3. 
• Para obter os interceptos-x, devemos resolver a equação 
2x2 − 5x − 3 = 0. 
Nesse caso, o discriminante vale 
 = b2 − 4ac = (−5)2 − 4  2  (−3) = 25 + 24 = 49.
298 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Como   0, sabemos que o gráfico intercepta o eixo-x em dois pontos. Recor-rendo, 
então, à fórmula de Bháskara, obtemos 
x = 
−(−5) ± 
º 
49 
2  2 = 
5 ± 7 
4 . 
Logo, os interceptos são 
x1 = 
5 + 7 
4 = 3 e x2 = 
5 − 7 
4 = − 
12 
. 
Ì Forma canônica da função quadrática 
Suponha que conheçamos as coordenadas (m,k) do vértice de uma parábola, 
bem como o coeficiente a, que fornece sua concavidade e abertura. Nesse caso, 
é fácil determinar a expressão da função quadrática f(x) correspondente, bem 
como traçar o seu gráfico, bastando para isso que apliquemos sobre a função 
q(x) = x2 algumas das transformações apresentadas na Seção 3.8. 
Em linhas gerais, essa estratégia de obtenção de uma função quadrática pode 
ser dividida nos seguintes passos: 
1. Encolha ou estique a função q(x) = x2 de forma a obter h(x) = ax2. 
Supondo que a  0, o gráfico de h será similar à curva tracejada mostrada 
na Figura 4.5a.Por outro lado, se a  0, o gráfico de h incluirá uma reflexão 
da parábola em relação ao eixo-x. 
2. Desloque o gráfico da função h por m unidades na horizontal para 
obter g(x) = a(x −m)2. 
Supondo que m seja um valor positivo, o gráfico de g equivalerá à curva 
verde da Figura 4.5a, na qual a coordenada-x do vértice é m. Já para 
m  0, haverá um deslocamento para a esquerda. 
3. Desloque o gráfico de g por k unidades na vertical para obter 
f(x) = a(x −m)2 + k. 
No caso em que k  0, o gráfico de f será equivalente à curva azul apresen-tada 
na Figura 4.5b. Já se k  0, a parábola será deslocada para baixo. 
(a) Deslocamento de m unidades na horizontal (b) Deslocamento de k unidades na vertical 
Figura 4.5: Transformações que levam h(x) = ax2 em f(x) = a(x −m)2 + k.
Seção 4.1. Funções quadráticas 299 
Esse procedimento para a obtenção de uma parábola com abertura a e vér-tice 
(m,k) sugere que toda função quadrática pode ser apresentada na forma 
canônica 
f(x) = a(x −m)2 + k. (Forma canônica) 
Para mostrar que é sempre possível converter uma função quadrática f(x) = 
ax2 + bx + c para a forma canônica, e vice-versa, basta estabelecer uma relação 
única entre os coeficientes de uma e outra forma. Essa relação pode ser obtida 
expandindo a forma canônica: 
f(x) = a(x −m)2 + k 
= a(x2 − 2mx +m2) + k 
= ax2 −2am 
²b 
x + am2 + k 
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 
c 
. 
Comparando essa expressão de f(x) com a forma usual f(x) = ax2 + bx + c, 
concluímos que o coeficiente a que aparece nas duas formas é o mesmo. Além 
disso, 
b = −2am e c = am2 + k. 
Assim, percebemos que é fácil determinar os coeficientes b e c a partir de a e 
das coordenadas do vértice da parábola. Vejamos, agora, como obter m e k a 
partir de a, b e c. 
Como b = −2am, temos 
m = − b 
2a 
. 
Da mesma forma, como c = am2 + k, podemos escrever 
k = c − am2 Isolando k na equação. 
= c − a ‹− b 
2a 
2 
 
Substituindo m por −b~(2a) 
= c − a 
b2 
4a2 Calculando o quadrado do quociente 
= c − b2 
4a 
Simplificando o segundo termo 
= 
4ac − b2 
4a 
Reescrevendo a diferença. 
= − 
 
4a 
Usando o fato de que  = b2 − 4ac é o 
discriminante do polinômio quadrático. 
O quadro a seguir resume as fórmulas de conversão entre os dois principais forma-tos 
de uma função quadrática. 
Conversão Coeficientes 
De f(x) = ax2 + bx + c 
m = − b 
2a 
k = − 
 
para f(x) = a(x −m)2 + k 4a 
De f(x) = a(x −m)2 + k 
b = −2am c = am2 + k para f(x) = ax2 + bx + c
300 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Embora não seja muito empregada, a forma canônica é útil quando se quer escrever 
uma função quadrática (ou traçar seu gráfico) a partir das coordenadas do vértice, 
como mostra o problema abaixo. 
Problema 4. Função quadrática na forma canônica 
Encontre a função quadrática cujo gráfico tem vértice em (−2,4) e que passa pelo 
ponto (−5, − 14). Em seguida, trace o gráfico da função. 
Solução. 
Como o vértice tem coordenadas m = −3 e k = 4, a função tem a forma 
f(x) = a(x − (−3))2 + 4  f(x) = a(x + 3)2 + 4. 
Usando, agora, o fato de que a parábola passa pelo ponto (−5, − 4), escrevemos 
f(−5) = −4, de modo que 
−4 = a(−5 + 3)2 + 4 
−4 = a(−2)2 + 4 
−8 = 4a 
−2 = a. 
Logo, a função quadrática é 
f(x) = −2(x + 3)2 + 4 
Para traçar o gráfico de f(x), deslocamos a parábola y = −2x três unidades para 
a esquerda e quatro unidades para cima, como mostra a Figura 4.6, na qual o gráfico 
de f(x) é exibido em verde. 
Figura 4.6: Gráfico de f(x) a par-tir 
da parábola y = −2x2. 
Agora, tente o exercício 5. 
Ì Ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadrática 
Em muitas situações práticos, usamos uma função quadrática para descrever um pro-blema 
que envolve a otimização de recursos (dinheiro, matérias-primas etc.). Nesses 
casos, é imprescindível conhecer o ponto no qual a função atinge seu valor máximo 
ou mínimo. 
Como vimos acima, a função quadrática possui apenas um ponto de máximo ou 
mínimo local, que corresponde ao vértice da parábola. Agora que sabemos como obter 
as coordenadas m e k do vértice a partir dos coeficientes a, b e c, fica fácil determinar 
os pontos extremos da função. 
Ponto de máximo ou mínimo da função quadrática 
Dada a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com discriminante  = b2 − 4ac, 
• Se a  0, f tem um único ponto de mínimo em x‡ = − b 
2a 
. 
O valor mínimo de f é dado por f(x‡) = − 
 
4a 
. 
• Se a  0, f tem um único ponto de máximo em x‡ = − b 
2a 
. 
O valor máximo de f é dado por f(x‡) = − 
 
4a 
.
Seção 4.1. Funções quadráticas 301 
Exemplo 1. Altura máxima da bola de golfe 
Voltando ao Problema 1, vamos determinar a altura máxima atingida por uma 
bola de golfe que, após uma tacada, descreve uma trajetória na qual a altura é dada 
pela função 
f(x) = −0,008x2 + x, 
em que x é a distância horizontal da bola, medida a partir de sua posição antes da 
tacada. 
Nesse caso, a bola atinge a altura máxima em 
x = − b 
2a 
= − 
1 
2  (−0,008) 
= 
1 
0,016 = 62,5 m. 
Nesse ponto, a altura é igual a 
f(62,5) = −0,008  62,52 + 62,5 = 31,25 m. 
Problema 5. Maximização do lucro de um restaurante 
Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, cobrando R$ 15,00 pelo 
quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço 
do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda 
às perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, a ser acrescida ao valor 
atualmente cobrado pelo quilo da refeição. 
a) Exprima o preço do quilo de comida, em função de x. 
b) Exprima a quantidade de comida vendida, em função de x. 
c) Sabendo que a receita do restaurante é o produto do preço pela quantidade de 
comida vendida, escreva a função R(x) que fornece a receita em relação a x. 
d) Determine o preço por quilo que maximiza a receita do restaurante. 
Solução. 
a) Se o quilograma de comida custa, atualmente, R$ 15,00, e o restaurante estuda 
aumentá-lo em x reais, então o novo preço pode ser descrito pela função 
P(x) = 15 + x. 
b) Sabemos que o restaurante vende, diariamente, 100 kg de comida, mas que essa 
quantidade será reduzida em 5 kg a cada R$ 1,00 acrescido ao preço. Assim, se o 
restaurante promover um aumento de x reais, a quantidade vendida será 
Q(x) = 100 − 5x. 
c) A receita do restaurante é o produto do preço pela quantidade vendida, ou seja, 
R(x) = P(x)Q(x) 
= (15 + x)(100 − 5x) 
= −5x2 + 25x + 1500.
302 Capítulo 4. Funções polinomiais 
d) Como a  0, a função R(x) tem um ponto de máximo em 
x = − b 
2a 
= − 
25 
2  (−5) 
= 
25 
10 = 2,5. 
Logo, o aumento de preço que maximiza a receita é igual a R$ 2,50, de modo que 
o restaurante deve passar a cobrar, por quilograma, 
P(2,50) = 15 + 2,50 = R$ 17,50. 
Caso haja esse aumento de preço, a quantidade vendida diariamente será igual a 
Q(2,50) = 100 − 5  2,50 = 87,5 kg, 
e a receita atingirá 
Note que, hoje, o restaurante tem 
uma receita diária de R$ 1500,00. 
R(2,50) = P(2,50)Q(2,50) = R$ 1531,25. 
Agora, tente o exercício 10. 
Ì Inequações quadráticas 
Na Seção 2.11, vimos como resolver uma inequação quadrática fatorando-a e anali-sando 
o sinal dos fatores. Agora que definimos a função quadrática f(x) = ax2+bx+c, 
discutiremos como resolver o mesmo tipo de inequação, escrevendo-a na forma 
f(x) B 0 ou f(x) C 0. 
Em nossa análise, levaremos em conta 
• o número de raízes da equação ax2 + bx + c = 0; 
• o sinal de a, que indica para que lado está voltada a concavidade da parábola. 
Como sabemos que a equação f(x) = 0 pode ter duas, uma ou nenhuma raiz 
real, vamos investigar quando f(x) B 0 e quando f(x) C 0 em cada um desses casos 
separadamente. 
1. Se a equação f(x) = 0 tem duas raízes reais, x1 e x2, com x1  x2, é fácil 
determinar os intervalos em que f é positiva ou negativa observando a Figura 
4.7. Note que o sinal de f depende do sinal de a, como descrito na Tabela 4.2. 
(a) a  0 (b) a  0 
Figura 4.7: Sinal de f quando a função tem dois zeros. 
Tabela 4.2: Relação entre a e o sinal de f quando a função tem dois zeros. 
Sinal Sinal de a 
de f a  0 a  0 
f C 0 x B x1 ou x C x2 x1 B x B x2 
f B 0 x1 B x B x2 x B x1 ou x C x2
Seção 4.1. Funções quadráticas 303 
2. Se a equação f(x) = 0 tem uma única raiz real, x1, os possíveis gráficos de f 
são aqueles mostrados na Figura 4.8. Nesse caso, a solução de cada tipo de 
desigualdade é indicada na Tabela 4.3. 
(a) a  0 (b) a  0 
Figura 4.8: Sinal de f quando a função tem apenas um zero. 
Tabela 4.3: Relação entre a e o sinal de f quando a função tem apenas um zero. 
Sinal Sinal de a 
de f a  0 a  0 
f C 0 x  R x = x1 
f B 0 x = x1 x  R 
3. Se a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, então f não muda de sinal e tam-pouco 
toca o eixo-x, como mostram a Figura 4.9 e a Tabela 4.4. 
(a) a  0 (b) a  0 
Figura 4.9: Sinal de f quando a função não tem zeros. 
Tabela 4.4: Relação entre a e o sinal de f quando a função não tem zeros. 
Sinal Sinal de a 
de f a  0 a  0 
f C 0 x  R Nunca 
f B 0 Nunca x  R 
Problema 6. Inequações quadráticas 
Resolva cada inequação abaixo observando o sinal da função quadrática associada.
304 Capítulo 4. Funções polinomiais 
a) −2x2 + 3x + 9 C 10 b) x2 − 8x + 16 B 0 c) x2 − 2x + 6 C 0 
Solução. 
a) Passando todos os termos não nulos para o lado esquerdo da inequação −2x2 +3x+ 
9 C 10, obtemos 
−2x2 + 3x − 1 C 0. 
A função quadrática associada a essa inequação é f(x) = −2x2 + 3x − 1. Para 
resolver a equação f(x) = 0, calculamos o discriminante 
 = 32 − 4  (−2)  (−1) = 9 − 8 = 1, 
e aplicamos a fórmula de Bháskara, obtendo 
x = 
−3 ± 
º 
1 
2  (−2) 
= 
−3 ± 1 
−4 . 
Logo, as raízes de f(x) = 0 são 
x1 = 
−3 + 1 
−4 = 
1 
2 
e x2 = 
−3 − 1 
−4 = 1. 
Como a  0, o gráfico de f tem concavidade para baixo, cruzando o eixo-x em x1 
e x2. Assim, como mostra o diagrama 4.10, f(x) C 0 para 
Figura 4.10: Gráfico de f(x) = 
−2x2 + 3x − 1. 
{x  R S 
1 
2 B x B 1}. 
b) À inequação x2 − 8x + 16 B 0, associamos a função quadrática 
f(x) = x2 − 8x + 16, 
cujo discriminante vale 
 = (−8)2 − 4  1  16 = 64 − 64 = 0. 
Sendo assim, segundo a fórmula de Bháskara, 
x = 
−(−8) ± 
º 
0 
2  1 = 
82 
= 4. 
Observamos, portanto, que a  0 e que a equação f(x) = 0 tem apenas uma raiz 
real, de modo que o diagrama que fornece o comportamento da função é aquele 
mostrado na Figura 4.11. Segundo a figura, f(x) B 0 apenas para 
Figura 4.11: Gráfico de f(x) = 
x2 − 8x + 16. 
x = 4. 
c) A inequação x2 − 2x + 6 C 0 pode ser escrita como f(x) C 0, em que 
f(x) = x2 − 2x + 6. 
Nesse caso, o discriminante é  = (−2)2 − 4  1  6 = 4 − 24 = −20. Como   0, a 
equação f(x) = 0 não tem raízes reais. Combinando esse resultado com o fato de 
que a  0, concluímos que o gráfico de f está sempre acima do eixo-x. Logo, a 
solução de f(x) C 0 é 
Figura 4.12: Gráfico de f(x) = 
x2 − 2x + 6. 
x  R, 
como indica o diagrama da Figura 4.12. 
Agora, tente o exercício 17.
Seção 4.1. Funções quadráticas 305 
Exercícios 4.1 
1. Defina uma função f(x) que forneça a área da região 
destacada na figura abaixo, lembrando que a área de 
um retângulo de lados b e h é bh. 
2. Dada a função f(x) = x2 − 3x, 
a) determine algebricamente os pontos nos quais 
f(x) = 0; 
b) determine algebricamente os pontos nos quais 
f(x) = −2; 
c) esboçe o gráfico da função no plano coordenado, 
indicando os pontos que você obteve no item (b); 
d) determine graficamente as soluções da inequação 
f(x) C −2. 
3. Dada a função f(x) = 5x − x2, 
a) determine algebricamente os pontos nos quais 
f(x) = 0; 
b) determine algebricamente os pontos nos quais 
f(x) = 4; 
c) esboçe o gráfico da função no plano coordenado, 
indique os pontos que você obteve no item (b); 
d) determine graficamente as soluções da inequação 
f(x) C 4. 
4. Identifique, no plano coordenado, as regiões definidas 
abaixo. 
a) y C x2 b) y = x2 − 4 c) y B 4 − x2 
5. Determine as funções quadráticas que satisfazem as 
condições abaixo. 
a) Tem vértice em (1, − 2) e passa pelo ponto (2,3). 
b) Tem vértice em (3,4) e cruza o eixo-y na ordenada 
−5. 
6. Após a administração de um comprimido de Formosex, 
a concentração do medicamento no plasma sanguíneo 
do paciente (em mg/ml) é dada pela função 
C(t) = − t2 
2 + 12t 
em que t é o tempo (em horas) transcorrido desde a 
ingestão do comprimido. Determine o instante em que 
a concentração é máxima e o valor dessa concentração. 
7. A quantidade de CO2 (em g/km) que um determinado 
carro emite a cada quilômetro percorrido é dada apro-ximadamente 
pela função C(v) = 1000 − 40v + v2~2, em 
que v é a velocidade do carro, em km/h. Determine a 
velocidade em que a emissão é mínima. 
8. Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, 
a altura (em metros) do peso lançado por um atleta se-guiu 
a função y(x) = −0,1x2 + x + 1,1, em que x é a 
distância horizontal percorrida pelo peso. 
a) Determine de que altura o peso foi lançado. 
b) Determine a altura máxima do peso e a que distân-cia 
isso ocorreu. 
c) Calcule a distância horizontal percorrida pelo peso. 
9. Para produzir calhas, um fabricante dobra uma folha 
de metal com 50 cm de largura, como mostra a figura. 
a) Determine a função A(x) que fornece a área da se-ção 
transversal da calha em relação a x. 
b) Determine o valor de x que maximiza a área da 
seção transversal. 
10. Um promotor de eventos consegue vender 5.000 ingres-sos 
para o show da banda Reset se cada ingresso custar 
R$ 20,00. A cada R$ 1,00 de aumento no preço do in-gresso, 
há uma redução de 100 pagantes. Responda às 
perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, 
a ser acrescida ao valor do ingresso. 
a) Exprima o preço do ingresso em função de x. 
b) Exprima a quantidade de ingressos vendidos em 
função de x. 
c) Determine a função R(x) que fornece a receita do 
show, em relação a x. Lembre-se de que a receita 
é o produto do preço pela quantidade de ingressos 
vendidos. 
d) Determine o valor do ingresso que maximiza a re-ceita 
do show. Calcule a receita nesse caso. 
e) Determine para quais valores de x a receita é maior 
ou igual a R$ 100.000,00.
306 Capítulo 4. Funções polinomiais 
11. Uma pista de atletismo tem 400m de comprimento, e 
é formada por duas semicircunferências de raio y~2, 
ligadas por dois trechos retos de comprimento x. Como 
se observa na figura, no interior da pista há um campo 
retangular de dimensões x e y. Responda aos itens 
abaixo, lembrando que o comprimento da semicircun-ferência 
de raio r é dado por r e que a área de um 
retângulo de lados x e y é xy. 
a) Usando o comprimento da pista, escreva x em fun-ção 
de y. 
b) Determine a função A(y) que fornece a área do 
campo retangular, em relação a y. 
c) Determine analiticamente o valor de y que faz com 
que a área do campo seja a maior possível. Deter-mine, 
também, a área para esse valor de y. 
d) Esboce o gráfico de A(y), exibindo os pontos em 
que A(y) cruza o eixo-x e o ponto de máximo. 
12. Um artesão tem um arame com 8 cm de comprimento, 
e pretende cortá-lo em duas partes, para formar dois 
quadrados (não necessariamente iguais). Suponha que 
um dos pedaços tenha comprimento x. Lembre-se que 
o perímetro de um quadrado de lado y é 4y e que sua 
área é y2. 
a) Determine o comprimento do outro pedaço de 
arame, em relação a x. 
b) Escreva uma função A(x) que forneça a soma das 
áreas dos quadrados formados pelos dois pedaços 
de arame, em relação ao comprimento x. 
c) Determine o menor e o maior valor possível para x. 
d) Trace um gráfico da função A(x) para x entre os 
valores que você encontrou no item (c) e determine 
em que intervalos ela é crescente e em quais é de-crescente. 
e) Determine quanto devem medir os dois pedaços de 
arame para que a soma das áreas por eles cercadas 
seja a mínima possível. 
13. Um fazendeiro pretende usar 500 m de cerca para pro-teger 
um bosque retangular às margens de um riacho, 
como mostra a figura abaixo. Repare que apenas três 
dos lados da região do bosque precisam ser cercados. 
a) Usando o comprimento da cerca, escreva o valor de 
y em função de x. 
b) Com base na expressão que você encontrou no item 
(a), escreva a função A(x) que fornece a área cer-cada, 
com relação a x. 
c) Determine o valor de x que maximiza a área cer-cada. 
Determine também o valor de y e a área 
máxima. 
d) Trace o gráfico de A(x). 
14. Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músi-cas 
no formato MP3 pretende lançar um novo modelo 
de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela desco-briu 
que o número de aparelhos a serem vendidos anu-almente 
e o preço do novo modelo estão relacionados 
pela expressão n = 115−0,25p, em que n é o número de 
aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho 
(em reais). 
a) Escreva uma função R(p) que forneça a renda bruta 
obtida com a venda dos aparelhos, em relação ao 
preço p. 
b) Determine qual deve ser o preço do aparelho para 
que sejam vendidas, no mínimo, 80 mil unidades 
desse modelo. 
c) Determine o valor de p que maximiza a receita 
bruta da empresa. 
15. Jogando em seu estádio, um clube de futebol consegue 
vender 10.000 ingressos por partida, se cobra R$ 10,00 
por ingresso. Uma pesquisa de opinião revelou que, 
a cada real de redução do preço do ingresso, o clube 
ganha 2.000 novos espectadores em uma partida. Res-ponda 
às perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, 
em reais, a ser reduzida do valor atualmente cobrado 
pelo ingresso. 
a) Determine a função R(x) que fornece a receita de 
uma partida, em relação a x. Lembre-se de que 
a receita é o produto do preço pela quantidade de 
ingressos vendidos. 
b) Determine o valor de x que maximiza a receita 
do clube em um jogo. Determine também o va-lor 
ótimo para o ingresso. 
16. O Índice de Massa Corporal (IMC) é um indicador (um 
tanto discutível) da magreza ou obesidade de uma pes-soa. 
O IMC é definido pela fórmula IMC = p~a2 em que 
p é o peso (em kg) e a é a altura (em metros) da pessoa. 
A tabela abaixo fornece os intervalos de cada catego-ria 
do IMC. Observe que, seguindo a tradição, usamos 
“pesoem lugar do termo correto, que é “massa.
Seção 4.1. Funções quadráticas 307 
Classe IMC 
Subnutrido (0; 18,5) 
Saudável [18,5; 25) 
Acima do peso [25; 30) 
Obeso [30; 35) 
Severamente obeso [35; 40) 
Morbidamente obeso [40,ª) 
a) Determine as funções p1(a) e p2(a) que definem o 
peso em relação à altura, a, para um IMC de 18,5 
e um IMC de 25, respectivamente. Observe que es-ses 
são os limites para uma pessoa ser considerada 
saudável. 
b) Trace em um gráfico as funções que você obteve no 
item (a), para a  [0; 2,2]. 
c) Determine, analítica e graficamente, o intervalo de 
peso para que uma pessoa de 1,80 m de altura seja 
considerada saudável. 
17. Resolva as inequações quadráticas. 
a) x2 + 3x C 10 
b) −3x2 − 11x + 4  0 
c) −4x2 + 4x − 1  0 
d) x2 + x + 2 B 0 
Respostas dos Exercícios 4.1 
1. 3 + 7x. 
2. a) x = 0 e x = 3 
b) x = 1 e x = 2 
c) 
d) {x  R S x B 1 ou x C 2} 
3. a) x = 0 e x = 5 
b) x = 1 e x = 4 
c) 
d) {x  R S 1 B x B 4} 
4. a) 
b) 
c) 
5. a) f(x) = 5(x − 1)2 − 2 
b) f(x) = −3(x − 3)2 + 4 
6. t = 12 h, C(12) = 72 mg/ml 
7. 40 km/h 
8. a) 1,1 m b) 5 m c) 11 m 
9. a) A(x) = x(50 − 2x) 
b) 12,5 cm 
10. a) 20 + x 
b) 5000 − 100x 
c) R(x) = (20 + x)(5000 − 100x) 
d) R$ 35,00. Receita: R$ 122.500,00 
e) {x  R S 0 B x B 30} 
11. a) x = 200 − y~2 
b) A(y) = 200y − y2~2 
c) 200~ m. Área: 20.000~ m2 
d) 
12. a) 8 − x 
b) A(x) = x2~8 − x + 4 
c) 0 B x B 8 
d) 
e) A área é mínima quando os dois pe-daços 
medem 4 cm. 
13. a) y = (500 − x)~2 
b) A(x) = −1~2x2 + 250x 
c) x = 250 m, y = 125 m 
A(250) = 31250 m2 
d) 
14. a) R(p) = 115p − 0,25p2 
b) p B 140 reais 
c) R$ 230,00 
15. a) R(x) = −2000x2 + 10000x + 100000 
b) x = 2,5. Valor do ingresso R$ 7,50 
16. a) p1(a) = 18,5a; p2(a) = 25a 
b) 
c) 59,94 kg B p B 81 kg 
17. a) x B −5 ou x C 2 
b) −4  x  1 
3 
c) x x 12 
d) Não há solução.
308 Capítulo 4. Funções polinomiais 
4.2 Divisão de polinômios 
As operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, bem como de expres-sões 
algébricas em geral, foram abordadas na Seção 2.9. Agora que estamos estudando 
as funções polinomiais, veremos finalmente como dividir polinômios, um passo essen-cial 
para a fatoração dessas funções. A fatoração, por sua vez, é útil para encontrar 
os zeros da função polinomial, os quais nos permitem resolver equações e inequações, 
bem como traçar os gráficos dessas funções. 
Para tratar da divisão de polinômios, precisamos recordar algumas características 
da divisão de números inteiros. 
Exemplo 1. Divisão de números naturais 
Ao dividirmos 315 por 21, obtemos o valor exato 15. Nesse caso dizemos que 
315 
21 = 15. 
Essa divisão também pode ser apresentada com o auxílio do diagrama ao lado, muito 
explorado no ensino fundamental. 
315 21 
0 15 Em uma divisão de números naturais, o número que está sendo dividido (315, 
no exemplo acima) é denominado dividendo, enquanto o número pelo qual se está 
dividindo (21) é chamado de divisor. O resultado da divisão (15) recebe o nome de 
quociente. 
Multiplicando por 21 os dois lados da equação acima, obtemos a equação equiva-lente 
315 = 21  15. 
Assim, quando a divisão é exata, o dividendo é igual ao produto do divisor pelo 
quociente. 
Considerando, agora, a divisão de 315 por 22, notamos que o resultado não é exato, 
ou seja, embora a divisão forneça 14 como quociente, há um resto de 7 unidades, 
como mostra o diagrama a seguir. 
315 22 
7 14 
Nesse caso, o produto 22  14 fornece 308, faltando 7 unidades para chegarmos a 315, 
de modo que 
315 = 22  14 + 7. 
Dividindo os dois lados dessa equação por 22, chegamos a 
315 
22 = 14 + 
7 
22, 
que é uma forma alternativa de expressar a divisão inteira de 315 por 22. 
De uma forma geral, se p é um número natural (o dividendo) e d (o divisor) é um 
número natural menor ou igual a p, então existe um número inteiro q (o quociente), 
e um número natural r (o resto), tais que 
p = d  q + r. 
p d 
r q 
Nesse caso, 0 B r  q. Dividindo os dois lados da equação acima por d, obtemos 
uma forma alternativa de expressar a divisão, que é 
p 
d 
= q + r 
d 
.
Seção 4.2. Divisão de polinômios 309 
É interessante notar que resultado equivalente pode ser obtido para a divisão de 
polinômios, como mostra o quadro abaixo. 
Divisão de polinômios 
Dados dois polinômios p(x) e d(x), podemos dividir p(x) por d(x) desde que 
d(x) x 0 e que o grau de d(x) seja menor ou igual ao grau de p(x). Nesse caso, 
existe um único polinômio q(x), chamado quociente, e um único polinômio 
r(x), chamado resto, tais que 
p(x) = d(x) q(x) + r(x), 
e r(x) = 0 ou o grau de r(x) é menor que o grau de d(x). 
Como era de se esperar, os polinô-mios 
p(x) e d(x) recebem os nomes 
de dividendo e divisor, respectiva-mente. 
A equação acima pode ser reescrita como 
p(x) 
d(x) 
= q(x) + r(x) 
d(x) . 
Você sabia? 
A razão p(x)~q(x) é dita im-própria 
quando o grau de p(x) 
é maior que o de q(x). A divi-são 
de polinômios converte uma 
razão imprópria na soma de um 
polinômio q(x) e de uma ra-zão 
própria r(x)~d(x), na qual 
r(x) tem grau menor que d(x). 
Vamos dividir polinômios seguindo estratégia semelhante àquela adotada para 
números inteiros. Entretanto, antes de começar o processo de divisão, é conveniente 
• escrever os monômios do dividendo e do divisor em ordem decrescente de grau; 
• incluir os monômios que faltam, usando o zero como coeficiente. 
Exemplo 2. Divisão de polinômios 
Para dividir p(x) = x3 − 2x + 15 − 4x2 por d(x) = x − 3 devemos, em primeiro 
lugar, reescrever p(x) em ordem decrescente do grau dos seus monômios, e montar o 
diagrama tradicional da divisão. 
x3 −4x2 −2x+15 x−3 
Primeira etapa da divisão 
No primeiro passo, dividimos o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de 
maior grau de d(x). Em nosso exemplo, isso corresponde a calcular 
x3 
x 
= x2. 
Esse resultado é, então, anotado no diagrama, logo abaixo do divisor. 
x3 −4x2 −2x+15 x−3 
x2 
Em seguida, multiplicamos o termo encontrado, x2 pelo divisor d(x), obtendo 
x2(x − 3) = x3 − 3x2. 
Esse polinômio é, então, subtraído do dividendo p(x). 
x3 − 4x2 − 2x + 15 − (x3 − 3x2) = x3 − 4x2 − 2x + 15 − x3 + 3x2 
= x3 − x3 − 4x2 + 3x2 − 2x + 15 
= −x2 − 2x + 15
310 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Essa operação pode ser feita diretamente no diagrama, como mostrado a seguir. 
Atenção 
Não se esqueça de inverter o si-nal 
de todos os termos de x3 − 
3x2 ao transcrever esse polinô-mio 
para o diagrama, pois isso 
facilita a subtração. 
x3 −4x2 −2x+15 x−3 
−x3 +3x2 x2 
−x2 −2x+15 
Observe que o polinômio x3 − 3x2 não possui termos de grau 1 e de grau 0. Assim, 
ao subtraí-lo de x3 − 4x2 − 2x + 15, simplesmente “descemos” os termos −2x e +15 da 
primeira linha, somando-os a −x2. 
Segunda etapa da divisão 
Continuando o processo, passamos à divisão do polinômio restante, −x2 − 2x + 15, 
pelo divisor, x − 3. Nesse caso, tomando apenas o termo de maior grau de cada uma 
desses polinômios, calculamos 
−x2 
x 
= −x. 
Multiplicando, agora, esse valor pelo divisor x − 3, obtemos 
−x(x − 3) = −x2 + 3x. 
Subtraindo, então, esse polinômio de −x2 − 2x + 15, chegamos a 
−x2 − 2x + 15 − (−x2 + 3x) = −x2 − 2x + 15 + x2 − 3x 
= −x2 + x2 − 2x − 3x + 15 
= −5x + 15 
O diagrama abaixo resume os passos da segunda etapa da divisão (observe que o 
polinômio −x2 + 3x aparece com o sinal trocado). 
x3 −4x2 −2x+15 x −3 
−x3 +3x2 x2 −x 
−x2 −2x+15 
+x2 −3x 
−5x+15 
Terceira etapa da divisão 
No terceiro passo do processo, dividimos o termo de maior grau de −5x + 15 pelo 
termo de maior grau de x − 3, ou seja, calculamos 
−5x 
x 
= −5. 
Em seguida, multiplicamos o termo encontrado pelo divisor d(x), 
−5(x − 3) = −5x + 15, 
e subtraímos esse polinômio de −5x + 15, 
−5x + 15 − (−5x + 15) = −5x + 15 + 5x − 15 
= −5x + 5x + 15 − 15 
= 0
Seção 4.2. Divisão de polinômios 311 
Todas essas operações são, então, incluídas no diagrama, conforme mostrado abaixo. 
x3 −4x2 −2x+15 x −3 
−x3 +3x2 x2 −x−5 
−x2 −2x+15 
+x2 −3x 
−5x+15 
+5x−15 
0 
Como o resultado da subtração acima é zero, terminamos o processo. Nesse caso, 
dizemos que p(x) é divisível por d(x), ou seja, r(x) = 0 e 
x3 − 4x2 − 2x + 15 = (x2 − x − 5)(x − 3). 
De forma equivalente, escrevemos 
x3 − 4x2 − 2x + 15 
x − 3 = x2 − x − 5. 
No exemplo acima, cada passo da divisão foi detalhado, para facilitar a com-preensão 
dos cálculos envolvidos. Tentaremos, agora, resolver um problema mais 
complicado, abreviando as etapas e recorrendo mais ao diagrama que às contas em 
separado. 
Exemplo 3. Divisão de polinômios 
Vamos dividir p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 por d(x) = x2 − 2x + 1. 
Primeira etapa 
• Dividindo o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau de 
d(x): 
3x4 
x2 = 3x2. 
• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x): 
3x2(x2 − 2x + 1) = 3x4 − 6x3 + 3x2. 
• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de p(x) diretamente no dia-grama: 
3x4 −4x3 −2x2 +0x+5 x2 −2x+1 
−3x4 +6x3 −3x2 3x2 
2x3 −5x2 +0x+5 
Segunda etapa 
• Dividindo o monômio de maior grau de 2x3 − 5x2 + 5 pelo monômio de maior 
grau de d(x): 
2x3 
x2 = 2x.
312 Capítulo 4. Funções polinomiais 
• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x): 
2x(x2 − 2x + 1) = 2x3 − 4x2 + 2x. 
• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de 2x3 − 5x2 + 5 diretamente 
no diagrama: 
3x4 −4x3 −2x2 +0x+5 x2 −2x+1 
−3x4 +6x3 −3x2 3x2 +2x 
2x3 −5x2 +0x+5 
−2x3 +4x2 −2x 
−x2 −2x+5 
Terceira etapa 
• Dividindo o monômio de maior grau de −x2 − 2x + 5 pelo monômio de maior 
grau de d(x): 
−x2 
x2 = −1. 
• Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x): 
−1(x2 − 2x + 1) = −x2 + 2x − 1. 
• Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de −x2 − 2x + 5 diretamente no 
diagrama: 
3x4 −4x3 −2x2 +0x+5 x2 −2x+1 
−3x4 +6x3 −3x2 3x2 +2x−1 
2x3 −5x2 +0x+5 
−2x3 +4x2 −2x 
−x2 −2x+5 
+x2 −2x+1 
−4x+6 
Como o polinômio restante, −4x+6, tem grau menor que o divisor, d(x) = x2−2x+1, 
não há como prosseguir com a divisão. Nesse caso, o quociente é 
q(x) = 3x2 + 2x − 1, 
e o resto é 
r(x) = −4x + 6. 
Assim, temos 
3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 
p(x) 
= (x2 − 2x + 1) 
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 
d(x) 
(3x2 + 2x − 1) 
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 
q(x) 
+ (−4x + 6), 
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 
r(x) 
ou seja, 
3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 
x2 − 2x + 1 = 3x2 + 2x − 1 + 
−4x + 6 
x2 − 2x + 1.
Seção 4.2. Divisão de polinômios 313 
Ì Algoritmo de Ruffini 
Quando queremos dividir um polinômio por divisores na forma (x − a), em que a é 
um número real, podemos usar um algoritmo rápido, conhecido como método de 
Ruffini (ou de Briot-Ruffini). 
Esse método é uma versão sintética do algoritmo apresentado acima, especializada 
para o caso em que o divisor tem grau 1 e coeficiente a1 = 1, como mostra o Exemplo 
4. 
Exemplo 4. Divisão de um polinômio por x − a 
Dividindo p(x) = 4x3 + 3x2 − 25x + 1 por x − 2 obtemos o quociente 
q(x) = 4x2 + 11x − 3 
e o resto r(x) = −5. O diagrama abaixo mostra o processo de divisão. 
4x3 +3x2 −25x+1 x −2 
−4x3 +8x2 4x2 +11x−3 
+11x2 −25x+1 
−11x2 +22x 
−3x+1 
+3x−6 
−5 
Observando o diagrama, notamos que 
1. Há uma coincidência entre os coeficientes do quociente e os coeficientes dos 
monômios de maior grau dos polinômios restantes (números apresentados em 
vermelho). 
2. Os números vermelhos são fruto da soma entre os coeficientes do dividendo p(x) 
e os coeficientes marcados em verde no diagrama. 
3. Os números verdes são o produto dos números marcados em vermelho pelo 
número 2, que vem a ser o coeficiente constante do divisor, com o sinal trocado 
(número em azul). 
Reunindo todos os coeficientes relevantes do problema em um único quadro, ob-temos 
o diagrama abaixo. 
Coeficiente do divisor  2 4 3 −25 1  Coeficientes do dividendo 
8 22 −6 
Coeficientes do quociente  4 11 −3 −5  Resto 
Divisão pelo algoritmo de Ruffini 
Vejamos como usar o quadro acima para dividir p(x) = 4x3 + 3x2 − 25x + 1 por 
d(x) = x − 2 através do algoritmo de Ruffini. 
1. Escreva o dividendo p(x) na ordem decrescente do grau dos monômios. Certifique-se 
de que o divisor tem a forma x − a, em que a é um número real. 
No nosso caso, os monômios do polinômio p(x) já estão em ordem decrescente 
de grau. Além disso, o divisor, que é x − 2, tem a forma exigida, com a = 2.
314 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Lembre-se de que a é igual ao termo 2. Copie o termo a na primeira linha do quadro, à esquerda do traço vertical. Ainda 
constante do divisor d(x), com o o 
sinal trocado. 
na primeira linha, mas do lado direito do traço vertical, copie os coeficientes do 
dividendo p(x). 
2 4 3 −25 1 
3. Copie na terceira linha o coeficiente do termo de maior grau de p(x), que vale 
4. 
2 4 3 −25 1 
4 
4. Multiplique o coeficiente que você acabou de obter pelo termo a, e escreva o 
resultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso caso, esse produto é 
4 × 2 = 8. 
2 4 3 −25 1 
8 
4 
5. Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na terceira linha. Em 
nosso problema, a soma em questão é 3 + 8 = 11. 
2 4 3 −25 1 
8 
4 11 
6. Multiplique o coeficiente que você acabou de obter pelo termo a, e escreva o 
resultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso exemplo, o produto é 
11 × 2 = 22. 
2 4 3 −25 1 
8 22 
4 11 
7. Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na terceira linha. Em 
nosso caso, a soma fornece −25 + 22 = −3. 
2 4 3 −25 1 
8 22 
4 11 −3
Seção 4.2. Divisão de polinômios 315 
8. Multiplique o coeficiente que você acabou de obter pelo termo a, e escreva o 
resultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso exemplo, o produto é 
−3 × 2 = −6. 
2 4 3 −25 1 
8 22 −6 
4 11 −3 
9. Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na terceira linha. Em 
nosso caso, a soma é 15 + (−6) = −5. 
2 4 3 −25 1 
8 22 −6 
4 11 −3 −5 
Como as colunas do quadro acabaram, chegamos ao fim da divisão. Nesse caso, a 
última linha fornece os coeficientes dos monômios do quociente, na ordem decrescente 
de grau. 
Observe que o grau de q(x) é igual 
ao grau de p(x) menos 1. 
q(x) = 4x2 + 11x − 3. 
O resto da divisão um polinômio p(x) Além disso, o último elemento da terceira linha corresponde ao resto da divisão: 
por x − a é sempre um número real. 
Se p(x) é divisível por x − a, então o 
r = −5. 
resto é zero. 
Problema 1. Divisão pelo algoritmo de Ruffini 
Divida 2x4 − x3 − 12x2 − 25 por x + 3 usando o algoritmo de Ruffini. 
Solução. 
Além de envolver a divisão de um polinômio de grau maior que o do Exemplo 
4, esse problema traz duas novidades. Em primeiro lugar, o dividendo p(x) não 
possui um termo de grau 1, de modo que introduzimos o monômio correspondente, 
atribuindo-lhe o coeficiente zero: 
p(x) = 2x4 − x3 − 12x2 + 0x − 25. 
Além disso, o termo constante do divisor é +3, o que implica que o coeficiente a do 
quadro terá sinal negativo, ou seja, a = −3. 
O quadro inicial do algoritmo de Ruffini é dado abaixo. 
−3 2 −1 −12 0 −25 
Aplicando o algoritmo, chegamos ao quadro final 
−3 2 −1 −12 0 −25 
−6 21 −27 81 
2 −7 9 −27 56
316 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Logo, o quociente da divisão é 
q(x) = 2x3 − 7x2 + 9x − 27, 
e o resto vale 56. Assim, temos 
2x4 − x3 − 12x2 − 25 = (x + 3)(2x3 − 7x2 + 9x − 27) + 56, 
ou 
2x4 − x3 − 12x2 − 25 
x + 3 = 2x3 − 7x2 + 9x − 27 + 
56 
x + 3. 
Ì Teorema do resto 
Como vimos acima, ao dividirmos um polinômio p(x) por x − a, obtemos o quociente 
q(x) e o resto r, de modo que 
p(x) = (x − a)q(x) + r. 
Usando essa equação, é fácil reparar que 
p(a) = (a − a)q(x) + r = 0  q(x) + r = r. 
Esse resultado tem usos diversos na matemática, de modo que vamos apresentá-lo em 
um quadro. 
Teorema do resto 
Se dividimos um polinômio p(x) por x − a, então 
P(a) = r, 
em que r é o resto da divisão. 
Problema 2. Cálculo do valor de um polinômio pelo método de Ruffini 
Dado o polinômio p(x) = x3 − 2x2 − 5x − 10, calcule p(4) usando o algoritmo de 
Ruffini. 
Solução. 
O teorema do resto nos garante que p(4) é igual ao resto da divisão de p(x) por 
x − 4. Efetuando a divisão pelo método de Ruffini, obtemos o quadro 
4 1 −2 −5 −10 
4 8 12 
1 2 3 2 
Como o resto da divisão é igual a 2, concluímos que f(4) = 2. 
Voltaremos ao teorema do resto na Seção 4.3, que trata de zeros de funções poli-nomiais.
Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 317 
Exercícios 4.2 
1. Para cada expressão na forma p(x)~d(x) abaixo, calcule 
o quociente q(x) e o resto r(x). 
a) (2x3 − 3x2 + 6)~(x2 − 2) 
b) (6x2 − 4x − 3)~(3x − 5) 
c) (x4 + 2x − 12)~(x + 2) 
d) (4x3 + 2x2 + 11x)~(2x2 + 3) 
e) (6x4 + 5x3 − 2x)~(3x − 2) 
f) (4x3 + 6x − 10)~(2x − 4) 
2. Para os problemas do Exercício 1, expresse p(x)~d(x) 
na forma q(x) + r(x)~d(x). 
3. Para cada expressão na forma p(x)~d(x) abaixo, cal-cule 
o quociente q(x) e o resto r(x) usando o algoritmo 
de Ruffini. 
a) (x4 + 2x − 12)~(x + 2) 
b) (3x2 + 2x − 5)~(x − 2) 
c) (4x4 + 6x3 − 8x2 + 22x − 24)~(x + 3) 
d) (−2x3 + 3x2 + 12x + 25)~(x − 4) 
e) (x5 − 9x3 + 2x)~(x − 3) 
f) (−6x3 + 4x2 − x + 2)~(x − 1~3) 
4. Para os problemas do Exercício 3, expresse p(x)~d(x) 
na forma q(x) + r(x)~d(x). 
5. Verifique quais valores abaixo correspondem a zeros das 
funções associadas. 
a) f(x) = x2 − 3x + 4. x1 = 2; x2 = −2 
b) f(x) = −2x2 + 3x + 2. x1 = −1~2; x2 = −2 
c) f(x) = 4x + x2. x1 = −4; x2 = 0 
d) f(x) = −x2 − 4. x1 = 2; x2 = −2 
Respostas dos Exercícios 4.2 
1. a) q(x) = 2x − 3. r(x) = 4x 
b) q(x) = 2x + 2. r(x) = 7 
c) q(x) = x3 − 2x2 + 4x − 6. r(x) = 0 
d) q(x) = 2x + 1. r(x) = 5x − 3 
e) q(x) = 2x3 + 3x2 + 2x + 2~3. r(x) = 4~3 
f) q(x) = 2x2 + 4x + 11. r(x) = 34 
2. a) p(x)~d(x) = 2x − 3 + 4x~(x2 − 2) 
b) p(x)~d(x) = 2x + 2 + 7~(3x − 5) 
c) p(x)~d(x) = x3 − 2x2 + 4x − 6 
d) p(x)~d(x) = 2x + 1 + (5x − 3)~(2x2 + 3) 
e) p(x)~d(x) = 2x3 + 3x2 + 2x + 2~3 + 
4~[3(3x − 2)] 
f) p(x)~d(x) = 2x2 + 4x + 11 + 34~(2x − 4) 
3. a) q(x) = x3 − 2x2 + 4x − 6. r(x) = 0 
b) q(x) = 3x + 8. r(x) = 11 
c) q(x) = 4x3 − 6x2 + 10x − 8. r(x) = 0 
d) q(x) = −2x2 − 5x − 8. r(x) = −7 
e) q(x) = x4 + 3x3 + 2. r(x) = 6 
f) q(x) = −6x2 + 2x − 1 
3 . (x) = 17 
9 
4. a) p(x)~d(x) = x3 − 2x2 + 4x − 6 
b) p(x)~d(x) = 3x + 8 + 11~(x − 2) 
c) p(x)~d(x) = 4x3 − 6x2 + 10x − 8 
d) p(x)~d(x) = −2x2 − 5x − 8 − 7~(x − 4) 
e) p(x)~d(x) = x4 + 3x3 + 2 + 6~(x − 3) 
f) p(x)~d(x) = −6x2 +2x− 1 
3 +17~(9x−3) 
5. a) Nenhum valor é raiz. 
b) Só x1 é raiz. 
c) x1 e x2 são raízes. 
d) Nenhum valor é raiz. 
4.3 Zeros reais de funções polinomiais 
Agora que vimos as funções constantes, lineares e quadráticas, que são funções po-linomiais 
de grau 0, 1 e 2, respectivamente, é hora de explorarmos as características 
das funções 
p(x) = anxn + an−1xn−1 ++ a1x + a0 
cujo grau, n, é maior ou igual a 3. Começaremos nossa análise estudando os zeros 
dessas funções. 
Encontrar os zeros de uma função polinomial não é tarefa fácil quando o grau da 
função é maior que 2. De fato, para funções de grau 3 e 4, ainda é possível usar 
fórmulas explícitas para os zeros, embora elas sejam pouco práticas. Já para funções 
de grau maior que 4, é preciso adotar estratégias mais complexas, como veremos 
abaixo. 
Entretanto, quando alguns zeros já são conhecidos, a determinação dos zeros res-tantes 
pode ser grandemente facilitada se usamos o teorema do fator, que decorre do 
teorema do resto, apresentado na Seção 4.2. 
O teorema do resto nos diz que o resto da divisão de uma função polinomial p(x) 
por um termo na forma (x − a) é igual a p(a), o valor de p em a. Como consequência 
desse teorema, concluímos que, se p(x) for divisível por x−a, ou seja, se o resto dassa 
divisão for 0, então 
p(a) = 0,
318 Capítulo 4. Funções polinomiais 
de modo que a é um zero do polinômio p(x). Além disso, se r = 0, temos 
p(x) = (x − a)q(x), 
de modo que (x − a) é um fator de p(x). 
Como também não é difícil mostrar que, se x−a é um fator de p(x), então f(a) = 0, 
podemos enunciar o teorema a seguir. 
Teorema do fator 
Um polinômio p(x) tem um fator (x−a) se e somente se a é um zero de f(x), 
ou seja, se f(a) = 0. 
Problema 1. Determinação de um coeficiente de um polinômio 
Dado o polinômio p(x) = 3x3 + 5x2 + cx + 16, determine o valor da constante c de 
modo que x + 2 seja um fator de p(x). 
Solução. 
Segundo o teorema do fator, para que p(x) tenha um fator x + 2, é preciso que 
p(−2) = 0. Assim, 
Observe que podemos converter o fa-tor 
x + 2 à forma x − a escrevendo 
x + 2 = x − (−2). 
3(−2)3 + 5(−2)2 + c(−2) + 16 = 0 Cálculo de p(−2). 
−2c + 12 = 0 Simplificação da expressão. 
c = 
−12 
−2 Isolamento de c. 
c = 6 Simplificação do resultado. 
Logo, x + 2 é um fator de p(x) = 3x3 + 5x2 + 6x + 16. 
Juntando o resultado fornecido pelo teorema do fator aos conhecimentos que já 
adquirimos sobre gráficos de funções, podemos estabelecer as seguintes relações entre 
fatores, zeros, soluções de equação e interceptos-x. 
Zeros de funções polinomiais 
Se p é uma função polinomial e a é um número real, então as seguintes 
afirmações são equivalentes: 
1. x = a é um zero de p. 
2. x = a é solução da equação p(x) = 0. 
3. (x − a) é um fator de p(x). 
4. (a,0) é um ponto de interseção do gráfico de p com o eixo-x. 
Problema 2. Zeros de uma função polinomial 
Seja dada a função p(x) = x3 + 2x2 − 15x. 
a) Determine todos os zeros de p(x).
Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 319 
b) Escreva o polinômio na forma fatorada. 
c) Trace o gráfico de p, identificando os interceptos-x. 
Solução. 
a) Como todos os termos de p(x) incluem a variável x, podemos pô-la em evidência, 
de modo que 
p(x) = x(x2 + 2x − 15). 
Assim, x = 0 é um zero de p(x). Além disso, os demais zeros do polinômio serão 
solução de 
x2 + 2x − 15 = 0. 
Para encontrar as raízes dessa equação, vamos aplicar a fórmula de Bháskara, 
começando pelo cálculo do discriminante: 
 = 22 − 4  1  (−15) = 64, 
de modo que 
x = 
º 
64 
2  1 = 
−2 ± 
−2 ± 8 
2 . 
Logo, temos as raízes 
x1 = 
−2 + 8 
2 = 
62 
= 3 e x2 = 
−2 − 8 
2 = − 
10 
2 = −5. 
Portanto, os zeros de p(x) são x = 0, x = 3 e x = −5. 
b) Como a equação x2 + 2x − 15 = 0, tem duas soluções, podemos escrever o termo 
quadrático (x2 + 2x − 15) como o produto de dois fatores mais simples, como foi 
feito na Seção 2.11. 
Observando, então, que o termo de maior grau de x2 + 2x − 15 tem coeficiente 1, 
concluímos que 
x2 + 2x − 15 = 1(x − 3)(x + 5), 
o que implica que a forma fatorada de p(x) é 
p(x) = x(x − 3)(x + 5). 
Figura 4.13: Gráfico de p(x) = x3+ 
2x2 − 15x. 
c) Sabendo que x = −5, x = 0 e x = 3 são zeros de p(x), escolhemos um intervalo que 
incluísse esses pontos ao traçar o gráfico da função. A Figura 4.13 mostra a curva 
obtida, na qual identificamos em verde os pontos de interseção com o eixo-x. 
Ì Fatorações sucessivas usando a divisão de polinômios 
A relação entre zeros e fatores de uma função polinomial, estabelecida pelo teorema 
do fator, e ilustrada no Problema 2 – é extremamente útil para a determinação dos 
demais zeros da função. 
Imagine, por exemplo, que conheçamos um zero, x = a, de uma função p(x), de 
grau n. Nesse caso, sabendo que (x − a) é um fator de p(x), podemos escrever 
p(x) = (x − a)q(x),
320 Capítulo 4. Funções polinomiais 
de modo que p(x) = 0 se x = a (a raiz já conhecida) ou q(x) = 0. Assim, as demais 
raízes de p(x) serão as raízes de 
q(x) = p(x) 
x − a 
. 
Observe que q(x) é o quociente (exato) entre um polinômio de grau n e um po-linômio 
de grau 1, o Para determinar o polinômio q(x), que implica que q(x) é um polinômio de grau n−1. Logo, depois 
podemos usar o algoritmo de Ruffini. de encontrarmos uma raiz de p(x), podemos reduzir o nosso problema ao cálculo das 
raízes de um polinômio de grau n − 1. 
Além disso, se conseguirmos determinar uma raiz x = b de q(x), então teremos 
q(x) = (x − b)s(x), 
donde 
p(x) = (x − a)(x − b)s(x). 
De posse, então, de duas raízes de p(x), poderemos nos dedicar a s(x), que é 
um polinômio de grau n − 2. Continuando esse processo, que é chamado deflação, é 
possível determinar as demais raízes de p(x). 
Método das fatorações sucessivas (deflação) 
Seja dada uma função polinomial p(x), de grau n. 
1. Encontre a, uma raiz real de p(x). 
2. Calcule 
q(x) = p(x) 
x − a 
. 
3. Escreva p(x) = (x − a)q(x). 
4. Repita o processo com q(x) (que tem grau n − 1). 
O processo termina quando não for possível encontrar uma raiz real. 
Problema 3. Fatoração de uma função polinomial 
Sabendo que x = −1 e x = 32 
são dois zeros de 
p(x) = 2x4 − 9x3 + 9x2 + 8x − 12, 
determine as demais raízes e fatore a função polinomial. 
Solução. 
Como x = −1 é um zero de p(x), o teorema do fator nos garante que (x − (−1)) é 
um fator de p(x), ou seja, 
p(x) = (x + 1)q(x), 
para algum polinômio q(x). Dividindo os dois lados dessa equação por (x+1), obtemos 
q(x) = p(x) 
x + 1, 
de modo que podemos determinar q(x) aplicando o método de Ruffini à divisão de 
p(x) por (x + 1). O diagrama do método é apresentado a seguir.
Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 321 
−1 2 −9 9 8 −12 
−2 11 −20 12 
2 −11 20 −12 0 
Logo, q(x) = 2x3 − 11x2 + 20x − 12, donde 
Note que o resto da divisão é zero, 
como esperávamos. Se isso não ocor-resse, 
teríamos cometido algum erro 
de conta. 
p(x) = (x + 1)(2x3 − 11x2 + 20x − 12). 
Como x = 3 
2 é outro zero de p(x), ele também será um zero de q(x). Assim, 
q(x) = ‹x − 
32 
 s(x)  s(x) = q(x) 
x − 32 
. 
Para determinar s(x), aplicamos o algoritmo de Ruffini à divisão de q(x) por (x− 3 
2 ): 
3 
2 2 −11 20 −12 
3 −12 12 
2 −8 8 0 
Portanto, s(x) = 2x2 − 8x + 8, o que implica que 
p(x) = (x + 1) ‹x − 
3 
2 (2x2 − 8x + 8). 
Finalmente, como s(x) é uma função polinomial de grau 2, podemos determinar 
seus zeros usando a fórmula de Bháskara: 
 = (−8)2 − 4  2  8 = 64 − 64 = 0. 
x = 
−(−8) ± 
º 
0 
2  2 = 
84 
= 2. 
Nesse caso,  = 0, de modo que s(x) tem solução única x = 2. Além disso, como o 
termo que multiplica x2 em s(x) vale 2, temos 
Se você não se lembra porque é pos-sível 
escrever s(x) nessa forma, con-sulte 
a Seção 2.11. 
s(x) = 2(x − 2)2. 
Portanto, 
p(x) = 2 (x + 1) ‹x − 
3 
2 (x − 2)2 
, 
e as raízes dessa função são x = −1, x = 3 
2 e x = 2. 
Agora, tente o exercício 1. 
Ì Número de zeros reais 
No Problema 2, a função polinomial, que era de grau 3, tinha exatamente 3 zeros. 
Já a função do Problema 3 só possuía 3 zeros, embora seu grau fosse 4. Sabemos, 
também, que uma função quadrática pode ter 0, 1 ou 2 zeros. A relação entre o grau 
do polinômio e o número de zeros reais que ele possui é dada pelo teorema a seguir. 
Número de zeros reais de um polinômio 
Uma função polinomial de grau n tem, no máximo, n zeros reais.
322 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Embora esse teorema não nos permita determinar o número exato de zeros reais de 
uma função polinomial, ele fornece um limite superior, indicando que não é razoável 
esperar, por exemplo, que um polinômio de grau quatro tenha mais que quatro zeros. 
De fato, se um polinômio de grau quatro tivesse cinco zeros, então ele teria cinco 
fatores na forma (x−a). Entretanto, sabemos que o produto de cinco fatores na forma 
(x − a) produz um polinômio de grau cinco, de modo que o polinômio jamais poderia 
ser de grau quatro. 
A Figura 4.14 mostra como uma simples translação na vertical pode fazer com 
que um polinômio de grau 4 tenha dois, três ou quatro zeros. Observando essa figura, 
você é capaz de apresentar um polinômio de grau 4 sem raízes reais? 
(a) p(x) = 2x4 − 7x3 + 
3x2 + 7x − 6 
(b) p(x) = 2x4 − 7x3 + 
3x2 + 7x − 5 
(c) p(x) = 2x4 − 7x3 + 
3x2 + 7x − 4 
Figura 4.14: Gráficos de polinômios de grau quatro com dois, três e quatro zeros 
Um teorema mais poderoso sobre polinômios com coeficientes reais é dado no 
quadro abaixo. 
Decomposição em fatores lineares e quadráticos 
Todo polinômio com coeficientes reais pode ser escrito como o produto de 
fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis. 
Esse teorema é derivado do teorema 
fundamental da álgebra, que envolve 
números complexos, o que foge do es-copo 
dessa seção 
Esse teorema nos diz que todo polinômio pode ser escrito como o produto de 
A constante k é o coeficiente do 1. uma constante real k; 
monômio de maior grau do polinô-mio. 
2. fatores lineares na forma (x − a); 
3. fatores quadráticos (ax2 + bx + c) que não possuem zeros reais (não podem ser 
decompostos em fatores lineares). 
Além disso, a soma dos graus dos fatores deve corresponder ao grau do polinômio 
original. 
Problema 4. Fatoração de um polinômio 
Escreva o polinômio p(x) = x4 − 4x3 + 13x2 na forma fatorada. 
Solução. 
Pondo x2 em evidência, temos 
p(x) = x2(x2 − 4x + 13).
Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 323 
Logo, x = 0 é uma raiz de p(x) = 0. Para tentar achar outras raízes, usamos Bháskara, 
começando pelo cálculo do discriminante: 
 = (−4)2 − 4  1  13 = −36. 
Como o discriminante é negativo, a equação x2−4x+13 = 0 não possui raízes reais, 
de modo que o termo x2 −4x+13 é irredutível. Assim, a forma fatorada do polinômio 
é, simplesmente, p(x) = x2(x2 − 4x + 13). 
Problema 5. Fatoração de uma função polinomial 
Escreva a função polinomial p(x) = 4x4 − 34x2 − 18 na forma fatorada. 
Solução. 
Os zeros de p(x) são raízes de 4x4 − 34x2 − 18 = 0, uma equação biquadrática, 
conforme mencionado na Seção 2.10. Fazendo, então, a substituição y = x2, obtemos 
a equação quadrática 
4y2 − 34y − 18 = 0. 
Aplicando a fórmula de Bháskara a essa equação, encontramos 
 = (−34)2 − 4  4  (−18) = 1444. 
y = 
−(−34) ± 
º 
1444 
2  4 = 
34 ± 38 
8 . 
Logo, as raízes de 4y2 − 34y − 18 = 0 são 
y1 = 
34 + 38 
8 = 9 e y2 = 
34 − 38 
8 = − 
1 
2. 
De posse de y1 e y2, escrevemos a forma fatorada da expressão 4y2 − 34y − 18, que é 
4 (y − 9) ‹y + 
1 
2 . 
Lembrando, agora, que y = x2, podemos escrever p(x) na forma 
p(x) = ‰x2 − 9Ž ‹x2 + 
1 
2 . 
O termo (x2 − 9) pode ser novamente fatorado em 
(x2 − 9) = (x − 3)(x + 3). 
Por outro lado, o termo (x2 + 1 
2 ) é irredutível, já que a equação 
x2 + 
1 
2 = 0 
não tem raízes reais. Assim, concluímos que 
p(x) = (x − 3) (x + 3) ‹x2 + 
12 
 . 
Agora, tente o exercício 7. 
Quando fatoramos uma função polinomial p(x), de grau n, um termo (x−a) pode 
aparecer mais de uma vez. Isso ocorre, por exemplo, com a função p(x) = x2−10x+25, 
cuja forma fatorada é 
p(x) = (x − 1)(x − 5) ou p(x) = (x − 5)2. 
O número de vezes em que um termo (x−a) aparece na forma fatorada da função 
polinomial é chamado multiplicidade do zero x = a.
324 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Dizemos que um zero x = a, de um polinômio p(x), tem multiplicidade m se 
a forma fatorada de p(x) tem exatamente m fatores (x − a). 
Problema 6. Polinômio com raízes conhecidas 
Defina um polinômio de grau 4 cujos zeros são x = −1, x = 4 e x = 2 (esse último 
com multiplicidade 2). 
Solução. 
Os zeros fornecidas no enunciado indicam que o polinômio como tem fatores (x+1), 
(x − 4), (x − 2), dos quais o último aparece duas vezes. Assim, 
p(x) = k(x + 1)(x − 4)(x − 2)2, 
em que k é um número real qualquer. Adotando, por simplicidade, k = 1, obtemos 
p(x) = (x + 1)(x − 4)(x − 2)2. 
Se quisermos escrever esse polinômio na forma expandida, basta calcular o produto 
acima. Nesse caso, temreos 
p(x) = x4 − 7x3 + 12x2 + 4x − 16. 
Agora, tente o exercício 2. 
Ì Determinação de zeros de funções polinomiais 
Como dissemos anteriormente, encontrar zeros reais de funções polinomiais não é 
tarefa trivial se o grau do polinômio é grande. Em todos os problemas desse capítulo 
que envolviam funções de grau maior ou igual a 3, fizemos questão de permitir que o 
leitor fosse capaz de obter uma função quadrática pelo processo de deflação, ou pondo 
x em evidência, ou ainda pelo fato de se tratar de função biquadrática. Para concluir 
essa seção, discutiremos de forma sucinta como determinar zeros reais de uma função 
polinomial. 
O método mais largamente empregado para a determinação dos zeros envolvem 
o cálculo de autovalores de matrizes, um conceito avançado de álgebra que não é 
possível apresentar nesse livro.Entretanto, sob certas condições, é possível encontrar 
um zero usando uma estratégia simples, baseada no teorema abaixo. 
Teorema de Bolzano para polinômios 
Seja dada uma função polinomial p(x) e um intervalo [a,b]. Se p(a) e p(b) 
têm sinais contrários, isto é, p(a)  0 e p(b)  0, ou p(a)  0 e p(b)  0, então 
existe um ponto c entre a e b tal que p(c) = 0, ou seja, p(x) tem um zero em 
(a,b). 
O teorema de Bolzano é uma versão especializada do teorema do valor interme-diário, 
visto em cursos universitários de cálculo. A Figura 4.15a ilustra o teorema no 
caso em que p(a) é negativo e p(b) é positivo, e a Figura 4.15b mostra um exemplo 
em que p(a)  0 e p(b)  0. 
Embora o teorema de Bolzano afirme que p(x) possui um zero entre a e b, ele não 
fornece o valor de c. Entretanto, podemos localizar aproximadamente o zero usando 
várias vezes esse teorema, como mostra o Problema a seguir.
Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 325 
(a) p(a)  0 e p(b)  0 (b) p(a)  0 e p(b)  0 
Figura 4.15: Pontos (a,p(a)) e (b,p(b)) que satisfazem o teorema de Bolzano. 
Problema 7. Determinação de um zero pelo método da bissecção 
Determine aproximadamente um zero de p(x) = 6x3 − 19x2 + 25, sabendo que 
p(1) = 12 e p(2) = −3. 
Solução. 
Como p(1)  0 e p(2)  0, o teorema de Bolzano garante que p(x) tem um zero 
no intervalo [1,2]. Vamos chamar esse zero de x‡. 
Primeiro passo 
Uma vez que não conhecemos a localização exata do zero, vamos supor que ele se 
encontra no meio do intervalo, ou seja, no ponto 
Você sabia? 
O ponto médio de um intervalo 
[a,b] é dado por 
x = a + b 
2 . 
x = 
1 + 2 
2 = 1,5. 
Calculando o valor da função nesse ponto, obtemos p(1,5) = 2,5, o que indica que 
erramos na nossa estimativa da localização do zero. Entretanto, nosso esforço não foi 
em vão, pois reparamos que p(1,5)  0 e p(2)  0, de modo que, segundo o teorema 
de Bolzano, existe uma raiz no intervalo [1,5; 2]. 
Como esse intervalo tem metade do comprimento de [1,2], conseguimos reduzir 
nossa incerteza, obtendo uma aproximação melhor para o zero. A Figura 4.16a mostra 
o intervalo [1,2] com o qual iniciamos, bem como o valor positivo de p(1,5), que 
garante a existência do zero em [1,5; 2]. 
Segundo passo 
Supondo, novamente, que o zero está no meio do intervalo, que agora é [1,5; 2], 
obtemos 
x = 
1,5 + 2 
2 = 1,75, e p(1,75)  −1.03125. 
Nesse caso, p(1,5)  0 e p(1,75)  0, como mostra a Figura 4.16b. Desse modo, 
concluímos que há um zero no intervalo [1,5; 1,75]. 
Terceiro passo 
O ponto médio do intervalo [1,5; 1,75] e a função nesse ponto valem, respectiva-mente, 
x = 
1,5 + 1,75 
2 = 1,625, ep(1,625)  0.574219.
326 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Como p(1,625)  0 e p(1,75)  0, concluímos que há um zero no intervalo [1,625; 1,75], 
o que pode ser comprovado na Figura 4.16c. 
Terceiro passo 
O ponto médio do intervalo [1,625; 1,75] e a função nesse ponto valem 
x = 
1,625 + 1,75 
2 = 1,6875, ep(1,6875)  −0.272949. 
Agora, temos p(1,625)  0 e p(1,6875)  0, como mostra a Figura 4.16c. Assim, há 
um zero no intervalo [1,625; 1,6875]. 
Note que começamos trabalhando com [1,2], e já estamos no intervalo [1,625; 1,6875], 
que tem apenas 1/16 do comprimento do intervalo inicial. Prosseguindo com esse mé-todo 
por mais alguns passos, chegamos a um intervalo muito pequeno em torno de 
x‡ = 1,666 . . ., que é a raiz desejada de p(x). 
(a) 1  x‡  2 (b) 1,5  x‡  2 (c) 1,5  x‡  1,75 (d) 1,625  x‡  1,75 
Figura 4.16: Intervalos e aproximações de x‡ dos quatro primeiros passos do algoritmo 
da bissecção. 
Agora, tente o exercício 4. 
Apesar de termos apresentado o teorema de Bolzano apenas para funções polinomi-ais, 
ele se aplica a toda função contínua, pois essas funções possuem uma característica 
muito especial: 
Se f é uma função contínua, então f só muda de sinal em seus zeros. Ou seja, 
sempre que f passa de positiva para negativa, ou de negativa para positiva, ela 
passa por um ponto em que f(x) = 0. 
Desse modo, o método da bissecção também pode ser usado para encontrar um 
zero de qualquer função contínua f, desde que conheçamos dois pontos nos quais f 
tenha sinais opostos. 
A noção de função contínua será 
apresentada na Seção 4.4. 
Ì Inequações polinomiais 
Como vimos, sempre que uma função polinomial p(x) troca de sinal, ela passa por um 
de seus zeros. Como consequência desse resultado, p(x) é sempre positiva, ou sempre 
negativa, no intervalo (x1, x2) compreendido entre dois zeros consecutivos, x1 e x2. 
Assim, se enumerarmos todos os zeros de p(x) em ordem crescente de valor, po-demos 
indicar com precisão se 
p(x) B 0 ou p(x) C 0 
no intervalo entre duas raízes, bastando, para isso, testar o valor de p(x) em um único 
ponto do intervalo.
Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 327 
Exemplo 1. Solução de uma inequação cúbica 
Sabendo que os zeros da função p(x) = x3 + 2x2 − 11x − 12 são 
x = 3, x = −1 e x = −4, 
vamos resolver a inequação 
x3 + 2x2 − 11x − 12 B 0. 
Nesse caso, pondo os zeros em ordem crescente, dividimos a reta real nos intervalos 
(−ª,−4), (−4,−1), (−1,3) e (3,ª). 
Como p(x) só muda de sinal em seus zeros, testamos o sinal da função em cada 
intervalo calculando seu valor em um único ponto. Os quatro pontos selecionados são 
mostrados na Tabela 4.5, acompanhados dos respectivos valores de p(x). 
Tabela 4.5 
x p(x) 
-5 -32 
-2 10 
0 -12 
4 40 
Figura 4.17: Sinal de p(x) nos intervalos entre raízes consecutivas. 
O diagrama da Figura 4.17 mostra as raízes em vermelho, e os pontos de teste da 
função em azul. Com base no sinal de p(x) em cada um desses pontos, concluímos 
que p(x) B 0 para 
{x  R S x B −4 ou − 1 B x B 3}. 
O quadro a seguir resume os passos para a solução de inequações polinomiais 
adotados no Exemplo 1. 
Roteiro para a solução de inequações polinomiais 
Para resolver uma inequação na forma p(x) B 0 ou p(x) C 0, 
1. Determine as raízes da equação associada. 
Determine quantas e quais são as raízes da equação p(x) = 0. 
2. Crie intervalos. 
Divida o problema em intervalos, de acordo com as raízes obtidas. 
3. Determine o sinal da função em cada intervalo. 
Escolha um ponto em cada intervalo e calcule o valor da função no ponto. 
4. Resolva o problema. 
Determine a solução do problema a partir do sinal de p(x) nos pontos 
escolhidos. Expresse essa solução na forma de um ou mais intervalos.
328 Capítulo 4. Funções polinomiais 
Problema 8. Solução de uma inequação cúbica 
Resolva a inequação 
2x3 + 13x2 + 13x C 10, 
sabendo que x = 1 
2 é uma raiz da equação 2x3 + 13x2 + 13x = 10. 
Solução. 
Movendo todos os termos para o lado esquerdo, obtemos a inequação equivalente 
2x3 + 13x2 + 13x − 10 C 0, 
à qual associamos a função p(x) = 2x3 +13x2 +13x−10. Sabendo que x = 1 
2 é um zero 
dessa função, vamos determinar os zeros restantes. 
1 
2 2 13 13 −10 
1 7 10 
2 14 20 0 
Dividindo, então, p(x) por (x − 12 
), obtemos 
q(x) = 2x2 + 14x + 20. 
Dessa forma, 
p(x) = ‹x − 
1 
2 q(x). 
Aplicando, agora, a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes de q(x): 
 = 142 − 4  2  20 = 36. 
x = 
º 
36 
2  2 = 
−14 ± 
−14 ± 6 
4 . 
Logo, as raízes de q(x) = 0 são 
x1 = 
−14 + 6 
4 = −2 e x2 = 
−14 − 6 
4 = −5, 
de modo que p(x) tem como zeros 
x = −5, x = −2 e x = 
1 
2. 
Tomando como base esses zeros, dividimos a reta real nos intervalos 
(−ª,−5), (−5,−2), ‹−2, 
1 
2 e ‹ 
12 
,ª . 
Escolhendo, então, os pontos mostrados na Tabela 4.6, montamos o diagrama da 
Figura 4.18, que mostra o sinal de p(x) em cada intervalo. Com base nesse diagrama, 
concluímos que p(x) C 0 para 
Tabela 4.6 
x p(x) 
-5 -32 
-2 10 
0 -12 
4 40 
›x  R V −5 B x B 2 ou x C 
1 
2   . 
Figura 4.18: Sinal de p(x) nos intervalos entre raízes consecutivas. 
Agora, tente o exercício 3.
Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 329 
Exercícios 4.3 
1. Determine as raízes das equações abaixo. Escreva na 
forma fatorada os polinômios que aparecem no lado es-querdo 
das equações. 
a) −3x(x2 − 2x − 3) = 0 
b) x4 − x3 − 20x2 = 0 
c) x3 + x2 − 2x − 2 = 0, sabendo que x = −1 é uma raiz. 
d) x3 −5x2 −4x+20 = 0, sabendo que x = 2 é uma raiz. 
e) x4 − 9x3 − x2 + 81x − 72 = 0, sabendo que x = 8 e 
x = 3 são raízes. 
f) x3 − 3x2 − 10x + 24 = 0, sabendo que x = 4 é uma 
raiz. 
2. Em cada caso abaixo, escreva na forma expandida uma 
função polinomialque tenha o grau e as raízes indicadas. 
a) Grau 2, com raízes −4 e 0. 
b) Grau 2, com raízes 1~2 e 2, com concavidade para 
baixo. 
c) Grau 3, com raízes 0, 1 e 3. 
d) Grau 3, com raízes −2 e 1 (com multiplicidade 2). 
e) Grau 4, com raízes −3, −2, 0 e 5. 
3. Resolva as desigualdades abaixo. 
a) (x − 1)(x + 2)(x − 4) B 0 
b) (x + 1)(x − 2)x C 0 
c) x3 − 2x C 0 
d) 2x3 − 18x B 0 
4. Usando o método da bissecção, determine um zero de 
p(x) = x4 − 3x3 + 2x2 − x + 1 que pertence ao intervalo 
[2,4]. 
5. Um tanque de gás tem o formato de um cilindro ao 
qual se acoplou duas semiesferas, como mostrado na fi-gira 
abaixo. Observe que o comprimento do cilindro 
corresponde a 5 vezes o raio de sua base. 
23 
Responda às perguntas abaixo, lembrando que o volume 
de uma semiesfera de raio r é r3, e que o volume de 
um cilindro com altura h e raio da base r é dado por 
r2h. 
a) Exprima o volume do cilindro em função apenas de 
r. 
b) Escreva uma função V (r) que forneça o volume do 
tanque em relação a r. 
c) Determine o valor de r que permite que o tanque 
armazene 25 m3 de gás. 
6. Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. 
Somados, os homens despendem R$ 2400,00. O grupo 
de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma 
tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Su-pondo 
que x denota o número de homens do grupo, 
determine esse valor. 
7. Fazendo a mudança de variável w = x2, determine as 
raízes reais das equações. 
a) x4 − 24x2 − 25 = 0 
b) x4 − 13x2 + 36 = 0 
c) x4 − 2x2 + 1 = 0 
8. Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma 
grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede 
colocados em açudes, com alta densidade popula-cional 
e alimentação à base de ração. Os tanques-rede 
têm a forma de um prisma retangular e são revestidos 
com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas per-mite 
a passagem da água (vide figura). 
Para uma determinada espécie, a densidade máxima de 
um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cú-bico. 
Suponha que um tanque possua largura igual ao 
comprimento e altura igual à metade da largura. Quais 
devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele 
comporte 7200 peixes adultos da espécie considerada? 
Lembre-se que o volume de um prisma retangular de 
lados x, y e z é xyz. 
Respostas dos Exercícios 4.3 
1. a) Polinômio: p(x) = −3x(x − 3)(x + 1) 
Raízes: 0, 3 e −1 
b) Polinômio: p(x) = x2(x − 5)(x + 4) 
Raízes: 5, −4 e 0 (com multiplicidade 
2) 
c) Polinômio: p(x) = (x + 1)(x − 
º 
2)(x + 
º 
2) Raízes: −1, 
º 
2 e − 
º 
2 
d) Polinômio: p(x) = (x−1)(x−2)(x−8) 
Raízes: 1, 2 e 8 
e) Polinômio: p(x) = (x + 3)(x − 1)(x − 
3)(x − 8) Raízes: −3, 1, 3 e 8 
f) Polinômio: p(x) = (x+3)(x−2)(x−4) 
Raízes: −3, 2 e 4 
2. a) p(x) = x2 + 4x 
b) p(x) = −x2 + 5 
2 x − 1 
c) p(x) = x3 − 4x2 + 3x 
d) p(x) = x3 − 3x + 2 
e) p(x) = x4 − 19x2 − 30x 
3. a) x B −2 ou 1 B x B 4
330 Capítulo 4. Funções polinomiais 
b) −1 B x B 0 ou x C 2 
c) − 
º 
2 B x B 0 ou x C 2 
d) x B −3 ou 0 B x B 3 
4. x  2,20557 
5. a) Vc(r) = 5r3 
3 r3 
b) V (r) = 19 
c) r = 3,69 m 
6. O grupo tem 15 homens e 25 mulheres. 
7. a) x = −5 e x = 5 
b) x = −3, x = 3, x = −2 e x = 2 
c) x = −1 e x = 1 
8. Aproximadamente 3,3 × 3,3 × 1,65 m 
4.4 Gráficos de funções polinomiais 
Embora já tenhamos traçado alguns gráficos de funções polinomiais, ainda não discu-timos 
suas características principais, às quais nos dedicaremos nessa seção. Iniciando 
nossa análise, vamos recorrer a um exemplo simples. 
Exemplo 1. Gráfico de uma função a partir de pontos do plano 
Tentemos construir o gráfico de uma função f da qual conhecemos apenas os 
valores de f(x) para x = −2,−1, 0, 1, 2, 3. 
Para traçar o gráfico de f, procedemos da forma habitual, montando uma tabela 
de pares (x,f(x)), e marcando esses pontos no plano Cartesiano. Os seis pontos assim 
obtidos são mostrados na Figura 4.19a. 
Em seguida, é preciso ligar os pontos por uma curva que represente de forma mais 
ou menos fiel a função. Nesse caso, temos duas opções. Podemos traçar uma curva 
com trechos quase retos, como se vê na Figura 4.19b, ou podemos traçar uma curva 
mais suave, como a que é exibida na Figura 4.19c. 
(a) Os pontos do exemplo 1 (b) gráfico de uma função definida 
por partes 
(c) Gráfico de uma função polinomial 
Figura 4.19: Curvas que passam por um dado conjunto de pontos 
A curva mostrada na Figura 4.19b só é adequada quando sabemos de antemão 
que a função a ser representada é definida por partes. Entretanto, como isso ocorre 
com pouca frequência, na maioria das vezes é melhor traçar uma curva como a que 
aparece na Figura 4.19c, que é mais suave. Curvas desse tipo são características de 
funções polinomiais, como veremos a seguir. 
De uma forma geral, o gráfico de uma função polinomial possui as seguintes ca-racterísticas: 
• Ele é contínuo, ou seja, ele não contém buracos, saltos (descontinuidades 
verticais) ou falhas (descontinuidades horizontais), como o que se vê nas Figuras 
4.20a e 4.20b. 
• Ele é suave, ou seja, ele não possui mudanças bruscas de direção ou inclina-ção, 
como as mostradas na Figura 4.20c. Essas mudanças são denominadas 
informalmente de quinas ou bicos. 
A Figura 4.20d mostra o gráfico de uma função que pode perfeitamente ser poli-nomial, 
pois a curva é contínua e tem mudanças suaves de inclinação.
Seção 4.4. Gráficos de funções polinomiais 331 
(a) Não é o gráfico de uma função 
polinomial, pois há um buraco em 
a e um salto em b 
(b) Não é o gráfico de uma função 
polinomial, pois há uma falha en-tre 
a e b 
(c) Não é o gráfico de uma função 
polinomial, pois há uma quina em 
a e um bico em b 
(d) Pode ser o gráfico de uma fun-ção 
polinomial, pois é contínuo e 
suave 
Figura 4.20 
Ì Comportamento extremo 
Outra característica interessante das funções polinomiais é o seu comportamento 
quando os valores de x ficam muito grandes em módulo, isto é, quando eles se afastam 
de x = 0 tanto na direção positiva, como na direção negativa do eixo-x. 
Para analisar esse comportamento extremo das funções, precisamos definir o 
que significa tender ao infinito. 
Dizemos que 
• x tende ao infinito quando x cresce arbitrariamente, ou seja, assume 
valores arbitrariamente grandes no sentido positivo do eixo-x. Nesse 
caso, usamos a notação 
x  ª. 
• x tende a menos infinito quando x decresce arbitrariamente, ou seja, 
se afasta do zero no sentido negativo do eixo-x. Nesse caso, escrevemos 
x  −ª. 
Observe que a mesma notação pode ser usada para y, se tomamos como referência 
o eixo vertical. Assim, também é possível escrever 
y  ª e y  −ª. 
Uma função polinomial é a soma de vários monômios na forma aixi. Por exemplo, 
a função 
p(x) = x3 + x2 + x
332 Capítulo 4. Funções polinomiais 
é composta pelos monômios x3, x2 e x. Como vimos na Seção 3.9, o gráfico de p é a 
composição dos gráficos desses três monômios. Assim, é possível usar esses gráficos 
para investigar como cada monômio influencia o comportamento de p quando x  ª. 
Para começar nossa análise, traçamos os gráficos de y = x, y = x2, y = x3 e 
y = x3 + x2 + x para x entre 0 e 2, como mostrado na Figura 4.21a. Observando esses 
gráficos, constatamos que o comportamento de p(x) depende de todos os monômios 
que compõem a função quando o intervalo é pequeno e está próximo de x = 0. 
Entretanto, o intervalo [0,2] não parece adequado para que descubramos como p se 
comporta para valores grandes de x. Sendo assim, traçamos os mesmos gráficos para 
x entre 0 e 10, como se vê na Figura 4.21b. Nesse caso, percebe-se facilmente que, à 
medida que consideramos valores maiores de x, os monômios de menor grau perdem 
importância, e o gráfico de p(x) = x3 + x2 + x passa a ser fortemente influenciado pelo 
gráfico de y = x3, isto é, pelo gráfico do monômio de maior grau. 
Para corroborar a hipótese de que é o termo de maior grau que determina o 
comportamento de p para valores grandes de x, traçamos novamente os gráficos de p 
e de seus monômios, considerando, agora, valores de x entre 0 e 20. As curvas assim 
obtidas, apresentadas na Figura 4.21c, indicam que, paa valores de x maiores que 10, 
as curvas de y = p(x) e y = x3 quase se superpõem, enquanto o gráfico do monômio 
de grau 1 praticamente desaparece da figura. 
(a) 0 B x B 2 (b) 0 B x B 10 (c) 0 B x B 20 
Figura 4.21: Gráfico de p(x) = x3+x2+x e de seus monômios, para diferentes intervalos 
de x. 
Os resultados apresentados na Figura 4.21 sugerem que, para descobrir o que 
ocorre com a função p(x) = x3 + x2 + x quando x tende a infinito, basta olhar para 
o comportamento do termo de maior grau. De fato, isso ocorre não somente com a 
função p, mas com toda função função polinomial. Além disso, também é possível 
usar o monômio de maior grau para analisar o que acontece quando x  −ª. 
Teste do coeficiente dominante 
O comportamento extremo da função p(x) = anxn +an−1xn−1 ++a1x+a0 
depende de n (o grau da função), bem como de an, o coeficiente dominante 
(ou principal) do polinômio, isto é, o coeficiente do monômio de maior grau. 
1. Se n é ímpar, temos duas situações, dependendo do sinal de an:
Seção 4.4. Gráficos de funções polinomiais 333 
Teste do coeficiente dominante (cont.) 
(a) Se an  0, então p decresce 
ilimitadamente (p  −ª) quando 
x  −ª e p cresce ilimitadamente 
(p  ª) quando x  ª 
(b) Se an  0, então p cresce ilimita-damente 
(p  ª) quando x  −ª e 
p decresce ilimitadamente (p  −ª) 
quando x  ª 
Figura 4.22: Comportamento extremos de funções com grau ímpar 
2. Se n é par, temos outras duas possibilidades, dependendo do sinal de 
an: 
(a) Se an  0, então f cresce ilimita-damente 
(f  −ª) quando x  −ª 
e quando x  ª 
(b) Se an  0, então f decresce 
ilimitadamente (f  −ª) quando 
x  −ª e quando x  ª 
Figura 4.23: Comportamento extremos de funções com grau ímpar 
Problema 1. Teste do coeficiente dominante 
Determine o comportamento extremo de cada uma das funções abaixo. 
a) f(x) = −x3 + 5x2 − 10 b) f(x) = −x4 + 3x3 + 16 c) f(x) = x5 +x4 −10x3 −4 
Solução. 
a) Como f(x) = −x3 +5x2 −10 tem grau ímpar (3) e o coeficiente dominante é −1, que 
é negativo, a função cresce ilimitadamente para x  −ª, e decresce ilimitadamente 
para x  ª. O gráfico de f é exibido na Figura 4.24a. 
b) A função f(x) = −x4 + 3x3 + 16 tem grau par (4) e o coeficiente dominante é 
negativo (a4 = −1). Sendo assim, a função decresce ilimitadamente tanto para 
x  −ª, como para x  ª. A Figura 4.24b mostra o gráfico de f.
334 Capítulo 4. Funções polinomiais 
c) Uma vez que f(x) = x5 + x4 − 10x3 − 4 tem grau ímpar (5) e a5  0 (pois a5 = 1), a 
função decresce ilimitadamente para x  −ª, e cresce ilimitadamente para x  ª, 
como apresentado na Figura 4.24c. 
(a) f(x) = −x3 + 5x2 − 10 (b) f(x) = −x4 + 3x3 + 16 (c) f(x) = x5 + x4 − 10x3 − 4 
Figura 4.24: Gráficos do Problema 1. 
Ì Máximos e mínimos locais 
Para determinar o comportamento de funções polinomiais, também é conveniente 
conhecer seus pontos de máximo e de mínimo local. Entretanto, assim como ocorre 
com os zeros, esses pontos extremos não têm um número fixo, como mostra a Figura 
4.25, na qual vemos que p(x) = x3 não tem pontos de máximo ou mínimos locais, 
enquanto p(x) = −x3 +5x+1 tem um máximo e um mínimo, e p(x) = −x4 +x3 +11x2 − 
9x − 18 tem dois máximos e um mínimo. 
(a) p(x) = x3 (b) p(x) = −x3 + 5x + 1 (c) p(x) = −x4+x3+11x2−9x− 
18 
Figura 4.25: Pontos extremos de algumas funções. Pontos de máximo local são indi-cados 
em verde, e pontos de mínimo local em roxo. 
O teorema abaixo fornece um limite para o número de pontos extremos de uma 
função polinomial. 
Pontos extremos de funções polinomiais 
Uma função polinomial de grau n tem, no máximo, n−1 extremos locais (que 
podem ser máximos ou mínimos).
Seção 4.4. Gráficos de funções polinomiais 335 
Esse teorema não é muito esclarecedor, pois não informa o número exato ou a 
localização dos pontos de máximo e mínimo local de uma função. De fato, ele só 
indica que não devemos esperar encontrar, por exemplo, quatro pontos extremos para 
um polinômio de grua 4. 
Por outro lado, podemos obter uma estimativa melhor da localização de alguns 
pontos extremos se conhecermos os zeros de uma função, como indica o próximo 
teorema. 
Pontos extremos e raízes de funções polinomiais 
Entre dois zeros distintos de uma função polinomial há, ao menos, um ponto 
extremo. 
Exemplo 2. Pontos extremos 
A função p(x) = 2x3 + 3x2 − 18x + 8, tem como zeros 
x = −4, x = 
1 
2 
e x = 2. 
2 ) e outro em ( 1 
2 , 2). Como 
Logo, ela possui ao menos um ponto extremo em (−4, 1 
p(x) tem grau 3, a função pode ter, no máximo, dois pontos extremos, de modo que 
há exatamente um ponto extremo em cada um desses intervalos. 
Para descobrir se o extremo local dentro de um intervalo é um ponto de máximo 
ou de mínimo, basta calcularmos o valor de p(x) em um ponto qualquer do intervalo. 
Assim, para os intervalos desse exemplo, temos 
Intervalo x p(x) Sinal 
(−4, 1 
2 ) 0 8 Positivo 
( 1 
2 , 2) 1 -5 Negativo 
Da tabela acima, concluímos que p(x) possui um máximo local no intervalo (−4, 1 
2 ) 
e um mínimo local em ( 1 
2 , 2). 
Embora uma função polinomial possa ter mais de um mínimo ou máximo local, as 
aplicações práticas costumam envolver intervalos específicos, nos quais só um ponto 
extremo faz sentido. 
Problema 2. Otimização do formato de uma caixa 
Você precisa usar uma folha de papelão com 56 × 32 cm, para fabricar uma caixa 
sem tampa como a que é mostrada na Figura 4.26a. 
Para obter a caixa, a folha deverá ser cortada nas linhas contínuas e dobrada nas 
linhas tracejadas indicadas na Figura 4.26b. Observe que a base da caixa dobrada 
corresponde ao retângulo interno da figura e que sua altura é x. Responda às per-guntas 
abaixo, lembrando que o volume de um prisma retangular de lados x, y e z é 
igual a xyz. 
1. Exprima cada uma das dimensões da base da caixa dobrada em função de x. 
2. Determine uma função V (x) que forneça o volume da caixa em relação a x. 
3. Determine o domínio de V (x). (Dica: considere que os lados da caixa não 
podem ser negativos). 
4. Esboce o gráfico de V (x).
336 Capítulo 4. Funções polinomiais 
(a) Uma caixa sem tampa. (b) Planificação da caixa. 
Figura 4.26 
5. A partir do gráfico de V (x), determine o valor de x que maximiza o volume da 
caixa. Calcule o volume correspondente. 
Solução. 
1. Observando a Figura 4.26b, notamos que a folha de papelão tem 56 cm de 
largura, dos quais 4x serão reservados para formar a lateral da caixa. Assim, a 
largura do fundo da caixa será dada por 
L(x) = 56 − 4x. 
Por sua vez, dos 32 cm de altura que a folha de papelão possui, 2x também 
serão usados na lateral da caixa, de modo que a outra dimensão do fundo da 
caixa será definida por 
A(x) = 32 − 2x. 
2. Dadas as dimensões do fundo da caixa, e considerando que sua altura mede x, 
o volume comportado será equivalente a 
V (x) = (56 − 4x)(32 − 2x)x. 
3. Como nenhuma dimensão da caixa poderá ser negativa, devemos ter 
a) x C 0. 
b) 56 − 4x C 0  x B 14. 
c) 32 − 2x C 0  x B 16. 
Tomando a interseção dessas desigualdades, obtemos 
0 B x B 14. 
4. Claramente, a função V (x) tem como raízes 
x = 0, x = 14 e x = 16. 
Entretanto, como vimos no item anterior, somente os valores de x entre 0 e 14 
têm sentido físico. Limitando nosso gráfico a esse intervalo, obtemos a curva 
mostrada na Figura 4.27. 
Figura 4.27: Gráfico de V (x) = 
(56 − 4x)(32 − 2x)x. 
5. Analisando a Figura 4.27, concluímos que a altura que maximiza o volume da 
caixa é 
x  5cm, 
à qual corresponde um volume de 
V (5) = 3960 cm3. 
Agora, tente o exercício 2.
Seção 4.4. Gráficos de funções polinomiais 337 
Exercícios 4.4 
1. Determine o número de mínimos e máximos locais das 
funções abaixo. Indique um intervalo que contém a co-ordenada 
x de cada mínimo ou máximo. 
a) f(x) = (x − 3)(x − 4) 
b) f(x) = ( 
º 
5 − x)(x + 1~4) 
c) f(x) = 3x(x − 2)(x + 3) 
d) f(x) = (x + 5)(2 − x)(x + 3) 
e) f(x) = (x − 1)2(x + 1 
2 ) 
f) f(x) = x(x − 3)(x + 2)(x − 
º 
2) 
2. uma companhia aérea permite que um passageiro leve 
consigo uma bagagem cuja soma das dimensões (altura, 
largura e profundidade) não ultrapasse 150 cm. Joa-quim 
pretende tomar um voo dessa companhia levando 
uma caixa cuja base é quadrada. Suponha que o com-primento 
do lado da base seja x. 
a) Escreva uma função h(x) que forneça a altura da 
caixa em relação às outras duas dimensões. 
b) Forneça uma função v(x) que forneça o volume da 
caixa, lembrando que o volume de um prisma re-tangular 
de lados x, y e z é igual a xyz. 
c) Defina um domínio adequado para v(x), lembrando 
que nenhum lado da caixa pode ter comprimento 
negativo. 
d) Esboce o gráfico de v(x) no domínio que você de-finiu. 
e) Determine o valor de x que maximiza o volume da 
caixa. Calcule o volume correspondente. 
3. Considerando apenas o comportamento extremo das 
funções abaixo, relacione-as aos gráficos apresentados. 
a) f(x) = x3 − 5x + 1 
b) f(x) = −2x3 − x2 + 4x + 6 
c) f(x) = x4 − 3x3 − 2x2 + 4x − 4 
d) f(x) = 1 − 4x2 − 4x3 + 3x4 + 2x5 − x6 
I) 
II) 
III) 
IV) 
4. Os gráficos algumas funções polinomiais foram dese-nhados 
abaixo, com o auxílio de um programa mate-mático. 
Determine aproximadamente os pontos de mí-nimo 
e máximo local e os valores correspondentes de 
cada função. 
a) 
b) 
c) 
d) 
Respostas dos Exercícios 4.4 
1. a) Um mínimo local no intervalo (3,4) 
b) Um máximo local em (− 1 
º 
5) 
4 , 
c) Um mínimo em (0,2) e um máximo 
em (−3,0) 
d) Um mínimo em (−5,−3) e um máximo 
em (−3,2) 
e) Um mínimo em x = 1 e um máximo 
em (− 1 
2 ,1) 
f) Mínimos nos intervalos (−2,0) e 
( 
º 
2,3), e um máximo em (0, 
º 
2) 
2. a) h(x) = 150 − 2x 
b) v(x) = x2(150 − 2x) 
c) x  [0, 75] 
d) 
e) x = 50 cm. v(50) = 125.000 cm3. 
3. a) IV b) II c) I d) III 
4. a) Máximo local: x  2 
Mínimos locais: x  −1,5 e x  6,3 
b) Máximos locais: x  −1,6 e x  0,5 
Mínimos locais: x  −0,5 e x  1,3 
c) Máximo local: x  −0,6 
Mínimo local: x  0,6 
d) Máximo local: x  2,2 
Não há mínimos locais
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  • 1. Funções polinomiais 4 Antes de ler o capítulo Esse capítulo trata de um grupo particular de funções, de modo que, antes de lê-lo, o lei-tor precisa dominar o conteúdo do Capítulo 1. Depois de tratarmos das funções de uma forma genérica, é hora de possarmos a discu-tir aquelas funções que são usadas com maior frequência na modelagem de fenômenos reais. Nesse capítulo, trataremos das funções que envolvem polinômios. Já as funções exponenciais e logarítmicas, igualmente importantes, serão vistas no Capítulo 5. Fi-nalmente, deixamos para o segundo volume desse livro o tratamento das funções trigonométricas, dada a relação que essas têm com a geometria do triângulo retân-gulo. 4.1 Funções quadráticas Por motivos óbvios, damos o nome de função polinomial a uma função que é dada por um polinômio. O quadro abaixo fornece uma descrição precisa desse tipo de função, tomando por base a definição de polinômio fornecida na Seção 2.9. Função polinomial Seja dado um número inteiro não negativo n, bem como os coeficientes reais a0, a1,,an, com an x 0. A função definida por f(x) = anxn + an−1xn−1 ++ a1x + a0 é denominada função polinomial de grau n, com relação a x. Algumas funções polinomiais já foram vistas no Capítulo 3, tais como f(x) = c Função constante (grau 0). f(x) = mx + b Função linear ou afim (grau 1). f(x) = xn Função potência de grau n Nessa seção, trataremos das funções polinomiais de grau 2, também conhecidas como funções quadráticas.
  • 2. 294 Capítulo 4. Funções polinomiais Função quadrática Sejam dados os coeficientes reais a, b e c, com a x 0. A função definida por f(x) = ax2 + bx + c é denominada função quadrática. As funções quadráticas têm aplicações em áreas variadas, como a física, a econo-mia, a engenharia, a biologia e a geografia. O problema abaixo mostra o emprego de uma função quadrática à descrição da trajetória de uma bola. Problema 1. Trajetória de uma bola de golfe Um golfista dá uma tacada que faz sua bola descrever uma trajetória na qual a altura é dada pela função f(x) = −0,008x2 + x, em que x é a distância horizontal da bola, medida a partir de sua posição antes da tacada. A Figura 4.1 ilustra a trajetória da bola. Figura 4.1: Trajetória de uma bola de golfe. Quando a bola está a uma distância ¯x do ponto de par-tida, sua altura é f(¯x). a) Determine a altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 50 m de seu ponto de partida. b) Com base em uma tabela de pontos, trace a trajetória da bola no plano Cartesiano. c) Determine a que distância do ponto de partida a bola cai no chão. Solução. a) A altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 50 m de sua posição original é dada por f(50) = −0,008 502 + 50 = 30. Logo, a bola está a uma altura de 30 m. b) A Tabela 4.1 fornece uma lista de pares ordenados obtidos a partir da definição de f. Com base nesses pontos, traçamos o gráfico da Figura 4.2, que mostra a trajetória descrita pela bola. Tabela 4.1 x f(x) 0 0,0 20 16,8 40 27,2 60 31,2 80 28,8 100 20,0 120 4,8 140 -16,8 Figura 4.2: Gráfico da função que representa a trajetória da bola de golfe. c) Observando a Figura 4.2, concluímos que a bola toca o solo a cerca de 125 metros de seu ponto de partida. Para determinar com exatidão a coordenada horizontal desse ponto, basta lembrar que dizer que a bola está sobre o solo é o mesmo que afirmar que sua altura é zero. Assim, temos f(x) = 0, ou seja, −0,008x2 + x = 0 x(−0,008x + 1) = 0.
  • 3. Seção 4.1. Funções quadráticas 295 As raízes dessa equação devem satisfazer x = 0 ou −0,008x + 1 = 0. Nesse último caso, temos −0,008x + 1 = 0 −0,008x = −1 x = −1 −0,008 = 125. Logo, os pontos em que a bola toca o solo são aqueles nos quais x = 0 m (ponto de partida) e x = 125 m, que é a distância horizontal entre o ponto de partida e o ponto de queda da bola.
  • 4. 296 Capítulo 4. Funções polinomiais É importante notar que uma função quadrática pode ser fornecida em outro for-mato que não aquele apresentado no quadro acima, como mostram os exemplos a seguir. Problema 2. Conversão de funções quadráticas ao formato usual Converta as funções abaixo ao formato f(x) = ax2 + bx + c. a) f(x) = 2(x − 1)(x + 3) b) f(x) = −3(x − 4)2 + 6 Solução. a) Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever 2(x − 1)(x + 3) = 2(x2 − x + 3x − 3) = 2x2 + 4x − 6. Logo, f(x) = 2x2 + 4x − 6. b) Usando a regra do quadrado da soma (ou seja, a propriedade distributiva mais uma vez), obtemos −3(x − 4)2 + 6 = −3(x2 − 8x + 16) + 6 = −3x2 + 24x − 48 + 6 = −3x2 + 24x − 42. Assim, f(x) = −3x2 + 24x − 42. Ì Gráfico das funções quadráticas O gráfico de uma função quadrática tem um formato característico – similar a uma letra “U” mais aberta –, e é chamado parábola. A Figura 4.3 mostra duas parábolas típicas. (a) a 0 (b) a 0 Figura 4.3: Gráficos de parábolas e sua relação com o coeficiente a. Observando as curvas da Figura 4.3, notamos que a função quadrática tem um ponto de mínimo ou um ponto de máximo local. A esse ponto especial da parábola damos o nome de vértice. Além disso, toda parábola é simétrica a uma reta vertical que passa por seu vértice. Essa reta vertical é denominada eixo de simetria. Outra característica importante de parábola é a sua concavidade, que é a lado para o qual a curva se abre. A Figura 4.3a mostra uma parábola com concavidade para cima, enquanto a Figura 4.3b mostra uma parábola com concavidade para baixo.
  • 5. Seção 4.1. Funções quadráticas 297 Note que há uma relação entre a concavidade e o sinal do coeficiente a. Se a 0, a parábola tem concavidade para cima. Por outro lado, a concavidade é para baixo se a 0. O parâmetro a também controla a abertura da parábola. Quanto maior for o valor absoluto desse parâmetro, menor será a abertura, e vice-versa, como ilustra a Figura 4.4. Figura 4.4: Influência do parâmetro a sobre a abertura da parábola. Por sua vez, o coeficiente c da função quadrática determina o intercepto-y da parábola, pois, tomando x = 0, temos f(0) = a 02 + b 0 + c = c. Já os interceptos-x da parábola correspondem às raízes da equação f(x) = 0, que é equivalente à equação quadrática ax2 + bx + c = 0. Seguindo, então, a análise feita na Seção 2.10 acerca do papel do discriminante = b2 − 4ac do polinômio quadrático, podemos dizer que a parábola • intercepta o eixo-x em dois pontos se 0; • intercepta o eixo-x em um ponto se = 0; • não intercepta o eixo-x se 0. Problema 3. Interceptos da parábola Dada a função quadrática f(x) = 2x2 − 5x − 3, determine os interceptos de seu gráfico com os eixos coordenados. Solução. • O intercepto-y da parábola é dado pelo coeficiente c, cujo valor é −3. • Para obter os interceptos-x, devemos resolver a equação 2x2 − 5x − 3 = 0. Nesse caso, o discriminante vale = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 2 (−3) = 25 + 24 = 49.
  • 6. 298 Capítulo 4. Funções polinomiais Como 0, sabemos que o gráfico intercepta o eixo-x em dois pontos. Recor-rendo, então, à fórmula de Bháskara, obtemos x = −(−5) ± º 49 2 2 = 5 ± 7 4 . Logo, os interceptos são x1 = 5 + 7 4 = 3 e x2 = 5 − 7 4 = − 12 . Ì Forma canônica da função quadrática Suponha que conheçamos as coordenadas (m,k) do vértice de uma parábola, bem como o coeficiente a, que fornece sua concavidade e abertura. Nesse caso, é fácil determinar a expressão da função quadrática f(x) correspondente, bem como traçar o seu gráfico, bastando para isso que apliquemos sobre a função q(x) = x2 algumas das transformações apresentadas na Seção 3.8. Em linhas gerais, essa estratégia de obtenção de uma função quadrática pode ser dividida nos seguintes passos: 1. Encolha ou estique a função q(x) = x2 de forma a obter h(x) = ax2. Supondo que a 0, o gráfico de h será similar à curva tracejada mostrada na Figura 4.5a.Por outro lado, se a 0, o gráfico de h incluirá uma reflexão da parábola em relação ao eixo-x. 2. Desloque o gráfico da função h por m unidades na horizontal para obter g(x) = a(x −m)2. Supondo que m seja um valor positivo, o gráfico de g equivalerá à curva verde da Figura 4.5a, na qual a coordenada-x do vértice é m. Já para m 0, haverá um deslocamento para a esquerda. 3. Desloque o gráfico de g por k unidades na vertical para obter f(x) = a(x −m)2 + k. No caso em que k 0, o gráfico de f será equivalente à curva azul apresen-tada na Figura 4.5b. Já se k 0, a parábola será deslocada para baixo. (a) Deslocamento de m unidades na horizontal (b) Deslocamento de k unidades na vertical Figura 4.5: Transformações que levam h(x) = ax2 em f(x) = a(x −m)2 + k.
  • 7. Seção 4.1. Funções quadráticas 299 Esse procedimento para a obtenção de uma parábola com abertura a e vér-tice (m,k) sugere que toda função quadrática pode ser apresentada na forma canônica f(x) = a(x −m)2 + k. (Forma canônica) Para mostrar que é sempre possível converter uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c para a forma canônica, e vice-versa, basta estabelecer uma relação única entre os coeficientes de uma e outra forma. Essa relação pode ser obtida expandindo a forma canônica: f(x) = a(x −m)2 + k = a(x2 − 2mx +m2) + k = ax2 −2am ²b x + am2 + k ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ c . Comparando essa expressão de f(x) com a forma usual f(x) = ax2 + bx + c, concluímos que o coeficiente a que aparece nas duas formas é o mesmo. Além disso, b = −2am e c = am2 + k. Assim, percebemos que é fácil determinar os coeficientes b e c a partir de a e das coordenadas do vértice da parábola. Vejamos, agora, como obter m e k a partir de a, b e c. Como b = −2am, temos m = − b 2a . Da mesma forma, como c = am2 + k, podemos escrever k = c − am2 Isolando k na equação. = c − a ‹− b 2a 2  Substituindo m por −b~(2a) = c − a b2 4a2 Calculando o quadrado do quociente = c − b2 4a Simplificando o segundo termo = 4ac − b2 4a Reescrevendo a diferença. = − 4a Usando o fato de que = b2 − 4ac é o discriminante do polinômio quadrático. O quadro a seguir resume as fórmulas de conversão entre os dois principais forma-tos de uma função quadrática. Conversão Coeficientes De f(x) = ax2 + bx + c m = − b 2a k = − para f(x) = a(x −m)2 + k 4a De f(x) = a(x −m)2 + k b = −2am c = am2 + k para f(x) = ax2 + bx + c
  • 8. 300 Capítulo 4. Funções polinomiais Embora não seja muito empregada, a forma canônica é útil quando se quer escrever uma função quadrática (ou traçar seu gráfico) a partir das coordenadas do vértice, como mostra o problema abaixo. Problema 4. Função quadrática na forma canônica Encontre a função quadrática cujo gráfico tem vértice em (−2,4) e que passa pelo ponto (−5, − 14). Em seguida, trace o gráfico da função. Solução. Como o vértice tem coordenadas m = −3 e k = 4, a função tem a forma f(x) = a(x − (−3))2 + 4 f(x) = a(x + 3)2 + 4. Usando, agora, o fato de que a parábola passa pelo ponto (−5, − 4), escrevemos f(−5) = −4, de modo que −4 = a(−5 + 3)2 + 4 −4 = a(−2)2 + 4 −8 = 4a −2 = a. Logo, a função quadrática é f(x) = −2(x + 3)2 + 4 Para traçar o gráfico de f(x), deslocamos a parábola y = −2x três unidades para a esquerda e quatro unidades para cima, como mostra a Figura 4.6, na qual o gráfico de f(x) é exibido em verde. Figura 4.6: Gráfico de f(x) a par-tir da parábola y = −2x2. Agora, tente o exercício 5. Ì Ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadrática Em muitas situações práticos, usamos uma função quadrática para descrever um pro-blema que envolve a otimização de recursos (dinheiro, matérias-primas etc.). Nesses casos, é imprescindível conhecer o ponto no qual a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Como vimos acima, a função quadrática possui apenas um ponto de máximo ou mínimo local, que corresponde ao vértice da parábola. Agora que sabemos como obter as coordenadas m e k do vértice a partir dos coeficientes a, b e c, fica fácil determinar os pontos extremos da função. Ponto de máximo ou mínimo da função quadrática Dada a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com discriminante = b2 − 4ac, • Se a 0, f tem um único ponto de mínimo em x‡ = − b 2a . O valor mínimo de f é dado por f(x‡) = − 4a . • Se a 0, f tem um único ponto de máximo em x‡ = − b 2a . O valor máximo de f é dado por f(x‡) = − 4a .
  • 9. Seção 4.1. Funções quadráticas 301 Exemplo 1. Altura máxima da bola de golfe Voltando ao Problema 1, vamos determinar a altura máxima atingida por uma bola de golfe que, após uma tacada, descreve uma trajetória na qual a altura é dada pela função f(x) = −0,008x2 + x, em que x é a distância horizontal da bola, medida a partir de sua posição antes da tacada. Nesse caso, a bola atinge a altura máxima em x = − b 2a = − 1 2 (−0,008) = 1 0,016 = 62,5 m. Nesse ponto, a altura é igual a f(62,5) = −0,008 62,52 + 62,5 = 31,25 m. Problema 5. Maximização do lucro de um restaurante Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, cobrando R$ 15,00 pelo quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição. a) Exprima o preço do quilo de comida, em função de x. b) Exprima a quantidade de comida vendida, em função de x. c) Sabendo que a receita do restaurante é o produto do preço pela quantidade de comida vendida, escreva a função R(x) que fornece a receita em relação a x. d) Determine o preço por quilo que maximiza a receita do restaurante. Solução. a) Se o quilograma de comida custa, atualmente, R$ 15,00, e o restaurante estuda aumentá-lo em x reais, então o novo preço pode ser descrito pela função P(x) = 15 + x. b) Sabemos que o restaurante vende, diariamente, 100 kg de comida, mas que essa quantidade será reduzida em 5 kg a cada R$ 1,00 acrescido ao preço. Assim, se o restaurante promover um aumento de x reais, a quantidade vendida será Q(x) = 100 − 5x. c) A receita do restaurante é o produto do preço pela quantidade vendida, ou seja, R(x) = P(x)Q(x) = (15 + x)(100 − 5x) = −5x2 + 25x + 1500.
  • 10. 302 Capítulo 4. Funções polinomiais d) Como a 0, a função R(x) tem um ponto de máximo em x = − b 2a = − 25 2 (−5) = 25 10 = 2,5. Logo, o aumento de preço que maximiza a receita é igual a R$ 2,50, de modo que o restaurante deve passar a cobrar, por quilograma, P(2,50) = 15 + 2,50 = R$ 17,50. Caso haja esse aumento de preço, a quantidade vendida diariamente será igual a Q(2,50) = 100 − 5 2,50 = 87,5 kg, e a receita atingirá Note que, hoje, o restaurante tem uma receita diária de R$ 1500,00. R(2,50) = P(2,50)Q(2,50) = R$ 1531,25. Agora, tente o exercício 10. Ì Inequações quadráticas Na Seção 2.11, vimos como resolver uma inequação quadrática fatorando-a e anali-sando o sinal dos fatores. Agora que definimos a função quadrática f(x) = ax2+bx+c, discutiremos como resolver o mesmo tipo de inequação, escrevendo-a na forma f(x) B 0 ou f(x) C 0. Em nossa análise, levaremos em conta • o número de raízes da equação ax2 + bx + c = 0; • o sinal de a, que indica para que lado está voltada a concavidade da parábola. Como sabemos que a equação f(x) = 0 pode ter duas, uma ou nenhuma raiz real, vamos investigar quando f(x) B 0 e quando f(x) C 0 em cada um desses casos separadamente. 1. Se a equação f(x) = 0 tem duas raízes reais, x1 e x2, com x1 x2, é fácil determinar os intervalos em que f é positiva ou negativa observando a Figura 4.7. Note que o sinal de f depende do sinal de a, como descrito na Tabela 4.2. (a) a 0 (b) a 0 Figura 4.7: Sinal de f quando a função tem dois zeros. Tabela 4.2: Relação entre a e o sinal de f quando a função tem dois zeros. Sinal Sinal de a de f a 0 a 0 f C 0 x B x1 ou x C x2 x1 B x B x2 f B 0 x1 B x B x2 x B x1 ou x C x2
  • 11. Seção 4.1. Funções quadráticas 303 2. Se a equação f(x) = 0 tem uma única raiz real, x1, os possíveis gráficos de f são aqueles mostrados na Figura 4.8. Nesse caso, a solução de cada tipo de desigualdade é indicada na Tabela 4.3. (a) a 0 (b) a 0 Figura 4.8: Sinal de f quando a função tem apenas um zero. Tabela 4.3: Relação entre a e o sinal de f quando a função tem apenas um zero. Sinal Sinal de a de f a 0 a 0 f C 0 x R x = x1 f B 0 x = x1 x R 3. Se a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, então f não muda de sinal e tam-pouco toca o eixo-x, como mostram a Figura 4.9 e a Tabela 4.4. (a) a 0 (b) a 0 Figura 4.9: Sinal de f quando a função não tem zeros. Tabela 4.4: Relação entre a e o sinal de f quando a função não tem zeros. Sinal Sinal de a de f a 0 a 0 f C 0 x R Nunca f B 0 Nunca x R Problema 6. Inequações quadráticas Resolva cada inequação abaixo observando o sinal da função quadrática associada.
  • 12. 304 Capítulo 4. Funções polinomiais a) −2x2 + 3x + 9 C 10 b) x2 − 8x + 16 B 0 c) x2 − 2x + 6 C 0 Solução. a) Passando todos os termos não nulos para o lado esquerdo da inequação −2x2 +3x+ 9 C 10, obtemos −2x2 + 3x − 1 C 0. A função quadrática associada a essa inequação é f(x) = −2x2 + 3x − 1. Para resolver a equação f(x) = 0, calculamos o discriminante = 32 − 4 (−2) (−1) = 9 − 8 = 1, e aplicamos a fórmula de Bháskara, obtendo x = −3 ± º 1 2 (−2) = −3 ± 1 −4 . Logo, as raízes de f(x) = 0 são x1 = −3 + 1 −4 = 1 2 e x2 = −3 − 1 −4 = 1. Como a 0, o gráfico de f tem concavidade para baixo, cruzando o eixo-x em x1 e x2. Assim, como mostra o diagrama 4.10, f(x) C 0 para Figura 4.10: Gráfico de f(x) = −2x2 + 3x − 1. {x R S 1 2 B x B 1}. b) À inequação x2 − 8x + 16 B 0, associamos a função quadrática f(x) = x2 − 8x + 16, cujo discriminante vale = (−8)2 − 4 1 16 = 64 − 64 = 0. Sendo assim, segundo a fórmula de Bháskara, x = −(−8) ± º 0 2 1 = 82 = 4. Observamos, portanto, que a 0 e que a equação f(x) = 0 tem apenas uma raiz real, de modo que o diagrama que fornece o comportamento da função é aquele mostrado na Figura 4.11. Segundo a figura, f(x) B 0 apenas para Figura 4.11: Gráfico de f(x) = x2 − 8x + 16. x = 4. c) A inequação x2 − 2x + 6 C 0 pode ser escrita como f(x) C 0, em que f(x) = x2 − 2x + 6. Nesse caso, o discriminante é = (−2)2 − 4 1 6 = 4 − 24 = −20. Como 0, a equação f(x) = 0 não tem raízes reais. Combinando esse resultado com o fato de que a 0, concluímos que o gráfico de f está sempre acima do eixo-x. Logo, a solução de f(x) C 0 é Figura 4.12: Gráfico de f(x) = x2 − 2x + 6. x R, como indica o diagrama da Figura 4.12. Agora, tente o exercício 17.
  • 13. Seção 4.1. Funções quadráticas 305 Exercícios 4.1 1. Defina uma função f(x) que forneça a área da região destacada na figura abaixo, lembrando que a área de um retângulo de lados b e h é bh. 2. Dada a função f(x) = x2 − 3x, a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0; b) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = −2; c) esboçe o gráfico da função no plano coordenado, indicando os pontos que você obteve no item (b); d) determine graficamente as soluções da inequação f(x) C −2. 3. Dada a função f(x) = 5x − x2, a) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 0; b) determine algebricamente os pontos nos quais f(x) = 4; c) esboçe o gráfico da função no plano coordenado, indique os pontos que você obteve no item (b); d) determine graficamente as soluções da inequação f(x) C 4. 4. Identifique, no plano coordenado, as regiões definidas abaixo. a) y C x2 b) y = x2 − 4 c) y B 4 − x2 5. Determine as funções quadráticas que satisfazem as condições abaixo. a) Tem vértice em (1, − 2) e passa pelo ponto (2,3). b) Tem vértice em (3,4) e cruza o eixo-y na ordenada −5. 6. Após a administração de um comprimido de Formosex, a concentração do medicamento no plasma sanguíneo do paciente (em mg/ml) é dada pela função C(t) = − t2 2 + 12t em que t é o tempo (em horas) transcorrido desde a ingestão do comprimido. Determine o instante em que a concentração é máxima e o valor dessa concentração. 7. A quantidade de CO2 (em g/km) que um determinado carro emite a cada quilômetro percorrido é dada apro-ximadamente pela função C(v) = 1000 − 40v + v2~2, em que v é a velocidade do carro, em km/h. Determine a velocidade em que a emissão é mínima. 8. Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, a altura (em metros) do peso lançado por um atleta se-guiu a função y(x) = −0,1x2 + x + 1,1, em que x é a distância horizontal percorrida pelo peso. a) Determine de que altura o peso foi lançado. b) Determine a altura máxima do peso e a que distân-cia isso ocorreu. c) Calcule a distância horizontal percorrida pelo peso. 9. Para produzir calhas, um fabricante dobra uma folha de metal com 50 cm de largura, como mostra a figura. a) Determine a função A(x) que fornece a área da se-ção transversal da calha em relação a x. b) Determine o valor de x que maximiza a área da seção transversal. 10. Um promotor de eventos consegue vender 5.000 ingres-sos para o show da banda Reset se cada ingresso custar R$ 20,00. A cada R$ 1,00 de aumento no preço do in-gresso, há uma redução de 100 pagantes. Responda às perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, a ser acrescida ao valor do ingresso. a) Exprima o preço do ingresso em função de x. b) Exprima a quantidade de ingressos vendidos em função de x. c) Determine a função R(x) que fornece a receita do show, em relação a x. Lembre-se de que a receita é o produto do preço pela quantidade de ingressos vendidos. d) Determine o valor do ingresso que maximiza a re-ceita do show. Calcule a receita nesse caso. e) Determine para quais valores de x a receita é maior ou igual a R$ 100.000,00.
  • 14. 306 Capítulo 4. Funções polinomiais 11. Uma pista de atletismo tem 400m de comprimento, e é formada por duas semicircunferências de raio y~2, ligadas por dois trechos retos de comprimento x. Como se observa na figura, no interior da pista há um campo retangular de dimensões x e y. Responda aos itens abaixo, lembrando que o comprimento da semicircun-ferência de raio r é dado por r e que a área de um retângulo de lados x e y é xy. a) Usando o comprimento da pista, escreva x em fun-ção de y. b) Determine a função A(y) que fornece a área do campo retangular, em relação a y. c) Determine analiticamente o valor de y que faz com que a área do campo seja a maior possível. Deter-mine, também, a área para esse valor de y. d) Esboce o gráfico de A(y), exibindo os pontos em que A(y) cruza o eixo-x e o ponto de máximo. 12. Um artesão tem um arame com 8 cm de comprimento, e pretende cortá-lo em duas partes, para formar dois quadrados (não necessariamente iguais). Suponha que um dos pedaços tenha comprimento x. Lembre-se que o perímetro de um quadrado de lado y é 4y e que sua área é y2. a) Determine o comprimento do outro pedaço de arame, em relação a x. b) Escreva uma função A(x) que forneça a soma das áreas dos quadrados formados pelos dois pedaços de arame, em relação ao comprimento x. c) Determine o menor e o maior valor possível para x. d) Trace um gráfico da função A(x) para x entre os valores que você encontrou no item (c) e determine em que intervalos ela é crescente e em quais é de-crescente. e) Determine quanto devem medir os dois pedaços de arame para que a soma das áreas por eles cercadas seja a mínima possível. 13. Um fazendeiro pretende usar 500 m de cerca para pro-teger um bosque retangular às margens de um riacho, como mostra a figura abaixo. Repare que apenas três dos lados da região do bosque precisam ser cercados. a) Usando o comprimento da cerca, escreva o valor de y em função de x. b) Com base na expressão que você encontrou no item (a), escreva a função A(x) que fornece a área cer-cada, com relação a x. c) Determine o valor de x que maximiza a área cer-cada. Determine também o valor de y e a área máxima. d) Trace o gráfico de A(x). 14. Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músi-cas no formato MP3 pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela desco-briu que o número de aparelhos a serem vendidos anu-almente e o preço do novo modelo estão relacionados pela expressão n = 115−0,25p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais). a) Escreva uma função R(p) que forneça a renda bruta obtida com a venda dos aparelhos, em relação ao preço p. b) Determine qual deve ser o preço do aparelho para que sejam vendidas, no mínimo, 80 mil unidades desse modelo. c) Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa. 15. Jogando em seu estádio, um clube de futebol consegue vender 10.000 ingressos por partida, se cobra R$ 10,00 por ingresso. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de redução do preço do ingresso, o clube ganha 2.000 novos espectadores em uma partida. Res-ponda às perguntas abaixo, supondo que x é a quantia, em reais, a ser reduzida do valor atualmente cobrado pelo ingresso. a) Determine a função R(x) que fornece a receita de uma partida, em relação a x. Lembre-se de que a receita é o produto do preço pela quantidade de ingressos vendidos. b) Determine o valor de x que maximiza a receita do clube em um jogo. Determine também o va-lor ótimo para o ingresso. 16. O Índice de Massa Corporal (IMC) é um indicador (um tanto discutível) da magreza ou obesidade de uma pes-soa. O IMC é definido pela fórmula IMC = p~a2 em que p é o peso (em kg) e a é a altura (em metros) da pessoa. A tabela abaixo fornece os intervalos de cada catego-ria do IMC. Observe que, seguindo a tradição, usamos “pesoem lugar do termo correto, que é “massa.
  • 15. Seção 4.1. Funções quadráticas 307 Classe IMC Subnutrido (0; 18,5) Saudável [18,5; 25) Acima do peso [25; 30) Obeso [30; 35) Severamente obeso [35; 40) Morbidamente obeso [40,ª) a) Determine as funções p1(a) e p2(a) que definem o peso em relação à altura, a, para um IMC de 18,5 e um IMC de 25, respectivamente. Observe que es-ses são os limites para uma pessoa ser considerada saudável. b) Trace em um gráfico as funções que você obteve no item (a), para a [0; 2,2]. c) Determine, analítica e graficamente, o intervalo de peso para que uma pessoa de 1,80 m de altura seja considerada saudável. 17. Resolva as inequações quadráticas. a) x2 + 3x C 10 b) −3x2 − 11x + 4 0 c) −4x2 + 4x − 1 0 d) x2 + x + 2 B 0 Respostas dos Exercícios 4.1 1. 3 + 7x. 2. a) x = 0 e x = 3 b) x = 1 e x = 2 c) d) {x R S x B 1 ou x C 2} 3. a) x = 0 e x = 5 b) x = 1 e x = 4 c) d) {x R S 1 B x B 4} 4. a) b) c) 5. a) f(x) = 5(x − 1)2 − 2 b) f(x) = −3(x − 3)2 + 4 6. t = 12 h, C(12) = 72 mg/ml 7. 40 km/h 8. a) 1,1 m b) 5 m c) 11 m 9. a) A(x) = x(50 − 2x) b) 12,5 cm 10. a) 20 + x b) 5000 − 100x c) R(x) = (20 + x)(5000 − 100x) d) R$ 35,00. Receita: R$ 122.500,00 e) {x R S 0 B x B 30} 11. a) x = 200 − y~2 b) A(y) = 200y − y2~2 c) 200~ m. Área: 20.000~ m2 d) 12. a) 8 − x b) A(x) = x2~8 − x + 4 c) 0 B x B 8 d) e) A área é mínima quando os dois pe-daços medem 4 cm. 13. a) y = (500 − x)~2 b) A(x) = −1~2x2 + 250x c) x = 250 m, y = 125 m A(250) = 31250 m2 d) 14. a) R(p) = 115p − 0,25p2 b) p B 140 reais c) R$ 230,00 15. a) R(x) = −2000x2 + 10000x + 100000 b) x = 2,5. Valor do ingresso R$ 7,50 16. a) p1(a) = 18,5a; p2(a) = 25a b) c) 59,94 kg B p B 81 kg 17. a) x B −5 ou x C 2 b) −4 x 1 3 c) x x 12 d) Não há solução.
  • 16. 308 Capítulo 4. Funções polinomiais 4.2 Divisão de polinômios As operações de soma, subtração e multiplicação de polinômios, bem como de expres-sões algébricas em geral, foram abordadas na Seção 2.9. Agora que estamos estudando as funções polinomiais, veremos finalmente como dividir polinômios, um passo essen-cial para a fatoração dessas funções. A fatoração, por sua vez, é útil para encontrar os zeros da função polinomial, os quais nos permitem resolver equações e inequações, bem como traçar os gráficos dessas funções. Para tratar da divisão de polinômios, precisamos recordar algumas características da divisão de números inteiros. Exemplo 1. Divisão de números naturais Ao dividirmos 315 por 21, obtemos o valor exato 15. Nesse caso dizemos que 315 21 = 15. Essa divisão também pode ser apresentada com o auxílio do diagrama ao lado, muito explorado no ensino fundamental. 315 21 0 15 Em uma divisão de números naturais, o número que está sendo dividido (315, no exemplo acima) é denominado dividendo, enquanto o número pelo qual se está dividindo (21) é chamado de divisor. O resultado da divisão (15) recebe o nome de quociente. Multiplicando por 21 os dois lados da equação acima, obtemos a equação equiva-lente 315 = 21 15. Assim, quando a divisão é exata, o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente. Considerando, agora, a divisão de 315 por 22, notamos que o resultado não é exato, ou seja, embora a divisão forneça 14 como quociente, há um resto de 7 unidades, como mostra o diagrama a seguir. 315 22 7 14 Nesse caso, o produto 22 14 fornece 308, faltando 7 unidades para chegarmos a 315, de modo que 315 = 22 14 + 7. Dividindo os dois lados dessa equação por 22, chegamos a 315 22 = 14 + 7 22, que é uma forma alternativa de expressar a divisão inteira de 315 por 22. De uma forma geral, se p é um número natural (o dividendo) e d (o divisor) é um número natural menor ou igual a p, então existe um número inteiro q (o quociente), e um número natural r (o resto), tais que p = d q + r. p d r q Nesse caso, 0 B r q. Dividindo os dois lados da equação acima por d, obtemos uma forma alternativa de expressar a divisão, que é p d = q + r d .
  • 17. Seção 4.2. Divisão de polinômios 309 É interessante notar que resultado equivalente pode ser obtido para a divisão de polinômios, como mostra o quadro abaixo. Divisão de polinômios Dados dois polinômios p(x) e d(x), podemos dividir p(x) por d(x) desde que d(x) x 0 e que o grau de d(x) seja menor ou igual ao grau de p(x). Nesse caso, existe um único polinômio q(x), chamado quociente, e um único polinômio r(x), chamado resto, tais que p(x) = d(x) q(x) + r(x), e r(x) = 0 ou o grau de r(x) é menor que o grau de d(x). Como era de se esperar, os polinô-mios p(x) e d(x) recebem os nomes de dividendo e divisor, respectiva-mente. A equação acima pode ser reescrita como p(x) d(x) = q(x) + r(x) d(x) . Você sabia? A razão p(x)~q(x) é dita im-própria quando o grau de p(x) é maior que o de q(x). A divi-são de polinômios converte uma razão imprópria na soma de um polinômio q(x) e de uma ra-zão própria r(x)~d(x), na qual r(x) tem grau menor que d(x). Vamos dividir polinômios seguindo estratégia semelhante àquela adotada para números inteiros. Entretanto, antes de começar o processo de divisão, é conveniente • escrever os monômios do dividendo e do divisor em ordem decrescente de grau; • incluir os monômios que faltam, usando o zero como coeficiente. Exemplo 2. Divisão de polinômios Para dividir p(x) = x3 − 2x + 15 − 4x2 por d(x) = x − 3 devemos, em primeiro lugar, reescrever p(x) em ordem decrescente do grau dos seus monômios, e montar o diagrama tradicional da divisão. x3 −4x2 −2x+15 x−3 Primeira etapa da divisão No primeiro passo, dividimos o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau de d(x). Em nosso exemplo, isso corresponde a calcular x3 x = x2. Esse resultado é, então, anotado no diagrama, logo abaixo do divisor. x3 −4x2 −2x+15 x−3 x2 Em seguida, multiplicamos o termo encontrado, x2 pelo divisor d(x), obtendo x2(x − 3) = x3 − 3x2. Esse polinômio é, então, subtraído do dividendo p(x). x3 − 4x2 − 2x + 15 − (x3 − 3x2) = x3 − 4x2 − 2x + 15 − x3 + 3x2 = x3 − x3 − 4x2 + 3x2 − 2x + 15 = −x2 − 2x + 15
  • 18. 310 Capítulo 4. Funções polinomiais Essa operação pode ser feita diretamente no diagrama, como mostrado a seguir. Atenção Não se esqueça de inverter o si-nal de todos os termos de x3 − 3x2 ao transcrever esse polinô-mio para o diagrama, pois isso facilita a subtração. x3 −4x2 −2x+15 x−3 −x3 +3x2 x2 −x2 −2x+15 Observe que o polinômio x3 − 3x2 não possui termos de grau 1 e de grau 0. Assim, ao subtraí-lo de x3 − 4x2 − 2x + 15, simplesmente “descemos” os termos −2x e +15 da primeira linha, somando-os a −x2. Segunda etapa da divisão Continuando o processo, passamos à divisão do polinômio restante, −x2 − 2x + 15, pelo divisor, x − 3. Nesse caso, tomando apenas o termo de maior grau de cada uma desses polinômios, calculamos −x2 x = −x. Multiplicando, agora, esse valor pelo divisor x − 3, obtemos −x(x − 3) = −x2 + 3x. Subtraindo, então, esse polinômio de −x2 − 2x + 15, chegamos a −x2 − 2x + 15 − (−x2 + 3x) = −x2 − 2x + 15 + x2 − 3x = −x2 + x2 − 2x − 3x + 15 = −5x + 15 O diagrama abaixo resume os passos da segunda etapa da divisão (observe que o polinômio −x2 + 3x aparece com o sinal trocado). x3 −4x2 −2x+15 x −3 −x3 +3x2 x2 −x −x2 −2x+15 +x2 −3x −5x+15 Terceira etapa da divisão No terceiro passo do processo, dividimos o termo de maior grau de −5x + 15 pelo termo de maior grau de x − 3, ou seja, calculamos −5x x = −5. Em seguida, multiplicamos o termo encontrado pelo divisor d(x), −5(x − 3) = −5x + 15, e subtraímos esse polinômio de −5x + 15, −5x + 15 − (−5x + 15) = −5x + 15 + 5x − 15 = −5x + 5x + 15 − 15 = 0
  • 19. Seção 4.2. Divisão de polinômios 311 Todas essas operações são, então, incluídas no diagrama, conforme mostrado abaixo. x3 −4x2 −2x+15 x −3 −x3 +3x2 x2 −x−5 −x2 −2x+15 +x2 −3x −5x+15 +5x−15 0 Como o resultado da subtração acima é zero, terminamos o processo. Nesse caso, dizemos que p(x) é divisível por d(x), ou seja, r(x) = 0 e x3 − 4x2 − 2x + 15 = (x2 − x − 5)(x − 3). De forma equivalente, escrevemos x3 − 4x2 − 2x + 15 x − 3 = x2 − x − 5. No exemplo acima, cada passo da divisão foi detalhado, para facilitar a com-preensão dos cálculos envolvidos. Tentaremos, agora, resolver um problema mais complicado, abreviando as etapas e recorrendo mais ao diagrama que às contas em separado. Exemplo 3. Divisão de polinômios Vamos dividir p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 por d(x) = x2 − 2x + 1. Primeira etapa • Dividindo o monômio de maior grau de p(x) pelo monômio de maior grau de d(x): 3x4 x2 = 3x2. • Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x): 3x2(x2 − 2x + 1) = 3x4 − 6x3 + 3x2. • Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de p(x) diretamente no dia-grama: 3x4 −4x3 −2x2 +0x+5 x2 −2x+1 −3x4 +6x3 −3x2 3x2 2x3 −5x2 +0x+5 Segunda etapa • Dividindo o monômio de maior grau de 2x3 − 5x2 + 5 pelo monômio de maior grau de d(x): 2x3 x2 = 2x.
  • 20. 312 Capítulo 4. Funções polinomiais • Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x): 2x(x2 − 2x + 1) = 2x3 − 4x2 + 2x. • Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de 2x3 − 5x2 + 5 diretamente no diagrama: 3x4 −4x3 −2x2 +0x+5 x2 −2x+1 −3x4 +6x3 −3x2 3x2 +2x 2x3 −5x2 +0x+5 −2x3 +4x2 −2x −x2 −2x+5 Terceira etapa • Dividindo o monômio de maior grau de −x2 − 2x + 5 pelo monômio de maior grau de d(x): −x2 x2 = −1. • Multiplicando o fator obtido pelo divisor d(x): −1(x2 − 2x + 1) = −x2 + 2x − 1. • Trocando o sinal desse polinômio e subtraindo-o de −x2 − 2x + 5 diretamente no diagrama: 3x4 −4x3 −2x2 +0x+5 x2 −2x+1 −3x4 +6x3 −3x2 3x2 +2x−1 2x3 −5x2 +0x+5 −2x3 +4x2 −2x −x2 −2x+5 +x2 −2x+1 −4x+6 Como o polinômio restante, −4x+6, tem grau menor que o divisor, d(x) = x2−2x+1, não há como prosseguir com a divisão. Nesse caso, o quociente é q(x) = 3x2 + 2x − 1, e o resto é r(x) = −4x + 6. Assim, temos 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ p(x) = (x2 − 2x + 1) ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ d(x) (3x2 + 2x − 1) ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ q(x) + (−4x + 6), ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ r(x) ou seja, 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 x2 − 2x + 1 = 3x2 + 2x − 1 + −4x + 6 x2 − 2x + 1.
  • 21. Seção 4.2. Divisão de polinômios 313 Ì Algoritmo de Ruffini Quando queremos dividir um polinômio por divisores na forma (x − a), em que a é um número real, podemos usar um algoritmo rápido, conhecido como método de Ruffini (ou de Briot-Ruffini). Esse método é uma versão sintética do algoritmo apresentado acima, especializada para o caso em que o divisor tem grau 1 e coeficiente a1 = 1, como mostra o Exemplo 4. Exemplo 4. Divisão de um polinômio por x − a Dividindo p(x) = 4x3 + 3x2 − 25x + 1 por x − 2 obtemos o quociente q(x) = 4x2 + 11x − 3 e o resto r(x) = −5. O diagrama abaixo mostra o processo de divisão. 4x3 +3x2 −25x+1 x −2 −4x3 +8x2 4x2 +11x−3 +11x2 −25x+1 −11x2 +22x −3x+1 +3x−6 −5 Observando o diagrama, notamos que 1. Há uma coincidência entre os coeficientes do quociente e os coeficientes dos monômios de maior grau dos polinômios restantes (números apresentados em vermelho). 2. Os números vermelhos são fruto da soma entre os coeficientes do dividendo p(x) e os coeficientes marcados em verde no diagrama. 3. Os números verdes são o produto dos números marcados em vermelho pelo número 2, que vem a ser o coeficiente constante do divisor, com o sinal trocado (número em azul). Reunindo todos os coeficientes relevantes do problema em um único quadro, ob-temos o diagrama abaixo. Coeficiente do divisor 2 4 3 −25 1 Coeficientes do dividendo 8 22 −6 Coeficientes do quociente 4 11 −3 −5 Resto Divisão pelo algoritmo de Ruffini Vejamos como usar o quadro acima para dividir p(x) = 4x3 + 3x2 − 25x + 1 por d(x) = x − 2 através do algoritmo de Ruffini. 1. Escreva o dividendo p(x) na ordem decrescente do grau dos monômios. Certifique-se de que o divisor tem a forma x − a, em que a é um número real. No nosso caso, os monômios do polinômio p(x) já estão em ordem decrescente de grau. Além disso, o divisor, que é x − 2, tem a forma exigida, com a = 2.
  • 22. 314 Capítulo 4. Funções polinomiais Lembre-se de que a é igual ao termo 2. Copie o termo a na primeira linha do quadro, à esquerda do traço vertical. Ainda constante do divisor d(x), com o o sinal trocado. na primeira linha, mas do lado direito do traço vertical, copie os coeficientes do dividendo p(x). 2 4 3 −25 1 3. Copie na terceira linha o coeficiente do termo de maior grau de p(x), que vale 4. 2 4 3 −25 1 4 4. Multiplique o coeficiente que você acabou de obter pelo termo a, e escreva o resultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso caso, esse produto é 4 × 2 = 8. 2 4 3 −25 1 8 4 5. Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na terceira linha. Em nosso problema, a soma em questão é 3 + 8 = 11. 2 4 3 −25 1 8 4 11 6. Multiplique o coeficiente que você acabou de obter pelo termo a, e escreva o resultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso exemplo, o produto é 11 × 2 = 22. 2 4 3 −25 1 8 22 4 11 7. Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na terceira linha. Em nosso caso, a soma fornece −25 + 22 = −3. 2 4 3 −25 1 8 22 4 11 −3
  • 23. Seção 4.2. Divisão de polinômios 315 8. Multiplique o coeficiente que você acabou de obter pelo termo a, e escreva o resultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso exemplo, o produto é −3 × 2 = −6. 2 4 3 −25 1 8 22 −6 4 11 −3 9. Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na terceira linha. Em nosso caso, a soma é 15 + (−6) = −5. 2 4 3 −25 1 8 22 −6 4 11 −3 −5 Como as colunas do quadro acabaram, chegamos ao fim da divisão. Nesse caso, a última linha fornece os coeficientes dos monômios do quociente, na ordem decrescente de grau. Observe que o grau de q(x) é igual ao grau de p(x) menos 1. q(x) = 4x2 + 11x − 3. O resto da divisão um polinômio p(x) Além disso, o último elemento da terceira linha corresponde ao resto da divisão: por x − a é sempre um número real. Se p(x) é divisível por x − a, então o r = −5. resto é zero. Problema 1. Divisão pelo algoritmo de Ruffini Divida 2x4 − x3 − 12x2 − 25 por x + 3 usando o algoritmo de Ruffini. Solução. Além de envolver a divisão de um polinômio de grau maior que o do Exemplo 4, esse problema traz duas novidades. Em primeiro lugar, o dividendo p(x) não possui um termo de grau 1, de modo que introduzimos o monômio correspondente, atribuindo-lhe o coeficiente zero: p(x) = 2x4 − x3 − 12x2 + 0x − 25. Além disso, o termo constante do divisor é +3, o que implica que o coeficiente a do quadro terá sinal negativo, ou seja, a = −3. O quadro inicial do algoritmo de Ruffini é dado abaixo. −3 2 −1 −12 0 −25 Aplicando o algoritmo, chegamos ao quadro final −3 2 −1 −12 0 −25 −6 21 −27 81 2 −7 9 −27 56
  • 24. 316 Capítulo 4. Funções polinomiais Logo, o quociente da divisão é q(x) = 2x3 − 7x2 + 9x − 27, e o resto vale 56. Assim, temos 2x4 − x3 − 12x2 − 25 = (x + 3)(2x3 − 7x2 + 9x − 27) + 56, ou 2x4 − x3 − 12x2 − 25 x + 3 = 2x3 − 7x2 + 9x − 27 + 56 x + 3. Ì Teorema do resto Como vimos acima, ao dividirmos um polinômio p(x) por x − a, obtemos o quociente q(x) e o resto r, de modo que p(x) = (x − a)q(x) + r. Usando essa equação, é fácil reparar que p(a) = (a − a)q(x) + r = 0 q(x) + r = r. Esse resultado tem usos diversos na matemática, de modo que vamos apresentá-lo em um quadro. Teorema do resto Se dividimos um polinômio p(x) por x − a, então P(a) = r, em que r é o resto da divisão. Problema 2. Cálculo do valor de um polinômio pelo método de Ruffini Dado o polinômio p(x) = x3 − 2x2 − 5x − 10, calcule p(4) usando o algoritmo de Ruffini. Solução. O teorema do resto nos garante que p(4) é igual ao resto da divisão de p(x) por x − 4. Efetuando a divisão pelo método de Ruffini, obtemos o quadro 4 1 −2 −5 −10 4 8 12 1 2 3 2 Como o resto da divisão é igual a 2, concluímos que f(4) = 2. Voltaremos ao teorema do resto na Seção 4.3, que trata de zeros de funções poli-nomiais.
  • 25. Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 317 Exercícios 4.2 1. Para cada expressão na forma p(x)~d(x) abaixo, calcule o quociente q(x) e o resto r(x). a) (2x3 − 3x2 + 6)~(x2 − 2) b) (6x2 − 4x − 3)~(3x − 5) c) (x4 + 2x − 12)~(x + 2) d) (4x3 + 2x2 + 11x)~(2x2 + 3) e) (6x4 + 5x3 − 2x)~(3x − 2) f) (4x3 + 6x − 10)~(2x − 4) 2. Para os problemas do Exercício 1, expresse p(x)~d(x) na forma q(x) + r(x)~d(x). 3. Para cada expressão na forma p(x)~d(x) abaixo, cal-cule o quociente q(x) e o resto r(x) usando o algoritmo de Ruffini. a) (x4 + 2x − 12)~(x + 2) b) (3x2 + 2x − 5)~(x − 2) c) (4x4 + 6x3 − 8x2 + 22x − 24)~(x + 3) d) (−2x3 + 3x2 + 12x + 25)~(x − 4) e) (x5 − 9x3 + 2x)~(x − 3) f) (−6x3 + 4x2 − x + 2)~(x − 1~3) 4. Para os problemas do Exercício 3, expresse p(x)~d(x) na forma q(x) + r(x)~d(x). 5. Verifique quais valores abaixo correspondem a zeros das funções associadas. a) f(x) = x2 − 3x + 4. x1 = 2; x2 = −2 b) f(x) = −2x2 + 3x + 2. x1 = −1~2; x2 = −2 c) f(x) = 4x + x2. x1 = −4; x2 = 0 d) f(x) = −x2 − 4. x1 = 2; x2 = −2 Respostas dos Exercícios 4.2 1. a) q(x) = 2x − 3. r(x) = 4x b) q(x) = 2x + 2. r(x) = 7 c) q(x) = x3 − 2x2 + 4x − 6. r(x) = 0 d) q(x) = 2x + 1. r(x) = 5x − 3 e) q(x) = 2x3 + 3x2 + 2x + 2~3. r(x) = 4~3 f) q(x) = 2x2 + 4x + 11. r(x) = 34 2. a) p(x)~d(x) = 2x − 3 + 4x~(x2 − 2) b) p(x)~d(x) = 2x + 2 + 7~(3x − 5) c) p(x)~d(x) = x3 − 2x2 + 4x − 6 d) p(x)~d(x) = 2x + 1 + (5x − 3)~(2x2 + 3) e) p(x)~d(x) = 2x3 + 3x2 + 2x + 2~3 + 4~[3(3x − 2)] f) p(x)~d(x) = 2x2 + 4x + 11 + 34~(2x − 4) 3. a) q(x) = x3 − 2x2 + 4x − 6. r(x) = 0 b) q(x) = 3x + 8. r(x) = 11 c) q(x) = 4x3 − 6x2 + 10x − 8. r(x) = 0 d) q(x) = −2x2 − 5x − 8. r(x) = −7 e) q(x) = x4 + 3x3 + 2. r(x) = 6 f) q(x) = −6x2 + 2x − 1 3 . (x) = 17 9 4. a) p(x)~d(x) = x3 − 2x2 + 4x − 6 b) p(x)~d(x) = 3x + 8 + 11~(x − 2) c) p(x)~d(x) = 4x3 − 6x2 + 10x − 8 d) p(x)~d(x) = −2x2 − 5x − 8 − 7~(x − 4) e) p(x)~d(x) = x4 + 3x3 + 2 + 6~(x − 3) f) p(x)~d(x) = −6x2 +2x− 1 3 +17~(9x−3) 5. a) Nenhum valor é raiz. b) Só x1 é raiz. c) x1 e x2 são raízes. d) Nenhum valor é raiz. 4.3 Zeros reais de funções polinomiais Agora que vimos as funções constantes, lineares e quadráticas, que são funções po-linomiais de grau 0, 1 e 2, respectivamente, é hora de explorarmos as características das funções p(x) = anxn + an−1xn−1 ++ a1x + a0 cujo grau, n, é maior ou igual a 3. Começaremos nossa análise estudando os zeros dessas funções. Encontrar os zeros de uma função polinomial não é tarefa fácil quando o grau da função é maior que 2. De fato, para funções de grau 3 e 4, ainda é possível usar fórmulas explícitas para os zeros, embora elas sejam pouco práticas. Já para funções de grau maior que 4, é preciso adotar estratégias mais complexas, como veremos abaixo. Entretanto, quando alguns zeros já são conhecidos, a determinação dos zeros res-tantes pode ser grandemente facilitada se usamos o teorema do fator, que decorre do teorema do resto, apresentado na Seção 4.2. O teorema do resto nos diz que o resto da divisão de uma função polinomial p(x) por um termo na forma (x − a) é igual a p(a), o valor de p em a. Como consequência desse teorema, concluímos que, se p(x) for divisível por x−a, ou seja, se o resto dassa divisão for 0, então p(a) = 0,
  • 26. 318 Capítulo 4. Funções polinomiais de modo que a é um zero do polinômio p(x). Além disso, se r = 0, temos p(x) = (x − a)q(x), de modo que (x − a) é um fator de p(x). Como também não é difícil mostrar que, se x−a é um fator de p(x), então f(a) = 0, podemos enunciar o teorema a seguir. Teorema do fator Um polinômio p(x) tem um fator (x−a) se e somente se a é um zero de f(x), ou seja, se f(a) = 0. Problema 1. Determinação de um coeficiente de um polinômio Dado o polinômio p(x) = 3x3 + 5x2 + cx + 16, determine o valor da constante c de modo que x + 2 seja um fator de p(x). Solução. Segundo o teorema do fator, para que p(x) tenha um fator x + 2, é preciso que p(−2) = 0. Assim, Observe que podemos converter o fa-tor x + 2 à forma x − a escrevendo x + 2 = x − (−2). 3(−2)3 + 5(−2)2 + c(−2) + 16 = 0 Cálculo de p(−2). −2c + 12 = 0 Simplificação da expressão. c = −12 −2 Isolamento de c. c = 6 Simplificação do resultado. Logo, x + 2 é um fator de p(x) = 3x3 + 5x2 + 6x + 16. Juntando o resultado fornecido pelo teorema do fator aos conhecimentos que já adquirimos sobre gráficos de funções, podemos estabelecer as seguintes relações entre fatores, zeros, soluções de equação e interceptos-x. Zeros de funções polinomiais Se p é uma função polinomial e a é um número real, então as seguintes afirmações são equivalentes: 1. x = a é um zero de p. 2. x = a é solução da equação p(x) = 0. 3. (x − a) é um fator de p(x). 4. (a,0) é um ponto de interseção do gráfico de p com o eixo-x. Problema 2. Zeros de uma função polinomial Seja dada a função p(x) = x3 + 2x2 − 15x. a) Determine todos os zeros de p(x).
  • 27. Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 319 b) Escreva o polinômio na forma fatorada. c) Trace o gráfico de p, identificando os interceptos-x. Solução. a) Como todos os termos de p(x) incluem a variável x, podemos pô-la em evidência, de modo que p(x) = x(x2 + 2x − 15). Assim, x = 0 é um zero de p(x). Além disso, os demais zeros do polinômio serão solução de x2 + 2x − 15 = 0. Para encontrar as raízes dessa equação, vamos aplicar a fórmula de Bháskara, começando pelo cálculo do discriminante: = 22 − 4 1 (−15) = 64, de modo que x = º 64 2 1 = −2 ± −2 ± 8 2 . Logo, temos as raízes x1 = −2 + 8 2 = 62 = 3 e x2 = −2 − 8 2 = − 10 2 = −5. Portanto, os zeros de p(x) são x = 0, x = 3 e x = −5. b) Como a equação x2 + 2x − 15 = 0, tem duas soluções, podemos escrever o termo quadrático (x2 + 2x − 15) como o produto de dois fatores mais simples, como foi feito na Seção 2.11. Observando, então, que o termo de maior grau de x2 + 2x − 15 tem coeficiente 1, concluímos que x2 + 2x − 15 = 1(x − 3)(x + 5), o que implica que a forma fatorada de p(x) é p(x) = x(x − 3)(x + 5). Figura 4.13: Gráfico de p(x) = x3+ 2x2 − 15x. c) Sabendo que x = −5, x = 0 e x = 3 são zeros de p(x), escolhemos um intervalo que incluísse esses pontos ao traçar o gráfico da função. A Figura 4.13 mostra a curva obtida, na qual identificamos em verde os pontos de interseção com o eixo-x. Ì Fatorações sucessivas usando a divisão de polinômios A relação entre zeros e fatores de uma função polinomial, estabelecida pelo teorema do fator, e ilustrada no Problema 2 – é extremamente útil para a determinação dos demais zeros da função. Imagine, por exemplo, que conheçamos um zero, x = a, de uma função p(x), de grau n. Nesse caso, sabendo que (x − a) é um fator de p(x), podemos escrever p(x) = (x − a)q(x),
  • 28. 320 Capítulo 4. Funções polinomiais de modo que p(x) = 0 se x = a (a raiz já conhecida) ou q(x) = 0. Assim, as demais raízes de p(x) serão as raízes de q(x) = p(x) x − a . Observe que q(x) é o quociente (exato) entre um polinômio de grau n e um po-linômio de grau 1, o Para determinar o polinômio q(x), que implica que q(x) é um polinômio de grau n−1. Logo, depois podemos usar o algoritmo de Ruffini. de encontrarmos uma raiz de p(x), podemos reduzir o nosso problema ao cálculo das raízes de um polinômio de grau n − 1. Além disso, se conseguirmos determinar uma raiz x = b de q(x), então teremos q(x) = (x − b)s(x), donde p(x) = (x − a)(x − b)s(x). De posse, então, de duas raízes de p(x), poderemos nos dedicar a s(x), que é um polinômio de grau n − 2. Continuando esse processo, que é chamado deflação, é possível determinar as demais raízes de p(x). Método das fatorações sucessivas (deflação) Seja dada uma função polinomial p(x), de grau n. 1. Encontre a, uma raiz real de p(x). 2. Calcule q(x) = p(x) x − a . 3. Escreva p(x) = (x − a)q(x). 4. Repita o processo com q(x) (que tem grau n − 1). O processo termina quando não for possível encontrar uma raiz real. Problema 3. Fatoração de uma função polinomial Sabendo que x = −1 e x = 32 são dois zeros de p(x) = 2x4 − 9x3 + 9x2 + 8x − 12, determine as demais raízes e fatore a função polinomial. Solução. Como x = −1 é um zero de p(x), o teorema do fator nos garante que (x − (−1)) é um fator de p(x), ou seja, p(x) = (x + 1)q(x), para algum polinômio q(x). Dividindo os dois lados dessa equação por (x+1), obtemos q(x) = p(x) x + 1, de modo que podemos determinar q(x) aplicando o método de Ruffini à divisão de p(x) por (x + 1). O diagrama do método é apresentado a seguir.
  • 29. Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 321 −1 2 −9 9 8 −12 −2 11 −20 12 2 −11 20 −12 0 Logo, q(x) = 2x3 − 11x2 + 20x − 12, donde Note que o resto da divisão é zero, como esperávamos. Se isso não ocor-resse, teríamos cometido algum erro de conta. p(x) = (x + 1)(2x3 − 11x2 + 20x − 12). Como x = 3 2 é outro zero de p(x), ele também será um zero de q(x). Assim, q(x) = ‹x − 32  s(x) s(x) = q(x) x − 32 . Para determinar s(x), aplicamos o algoritmo de Ruffini à divisão de q(x) por (x− 3 2 ): 3 2 2 −11 20 −12 3 −12 12 2 −8 8 0 Portanto, s(x) = 2x2 − 8x + 8, o que implica que p(x) = (x + 1) ‹x − 3 2 (2x2 − 8x + 8). Finalmente, como s(x) é uma função polinomial de grau 2, podemos determinar seus zeros usando a fórmula de Bháskara: = (−8)2 − 4 2 8 = 64 − 64 = 0. x = −(−8) ± º 0 2 2 = 84 = 2. Nesse caso, = 0, de modo que s(x) tem solução única x = 2. Além disso, como o termo que multiplica x2 em s(x) vale 2, temos Se você não se lembra porque é pos-sível escrever s(x) nessa forma, con-sulte a Seção 2.11. s(x) = 2(x − 2)2. Portanto, p(x) = 2 (x + 1) ‹x − 3 2 (x − 2)2 , e as raízes dessa função são x = −1, x = 3 2 e x = 2. Agora, tente o exercício 1. Ì Número de zeros reais No Problema 2, a função polinomial, que era de grau 3, tinha exatamente 3 zeros. Já a função do Problema 3 só possuía 3 zeros, embora seu grau fosse 4. Sabemos, também, que uma função quadrática pode ter 0, 1 ou 2 zeros. A relação entre o grau do polinômio e o número de zeros reais que ele possui é dada pelo teorema a seguir. Número de zeros reais de um polinômio Uma função polinomial de grau n tem, no máximo, n zeros reais.
  • 30. 322 Capítulo 4. Funções polinomiais Embora esse teorema não nos permita determinar o número exato de zeros reais de uma função polinomial, ele fornece um limite superior, indicando que não é razoável esperar, por exemplo, que um polinômio de grau quatro tenha mais que quatro zeros. De fato, se um polinômio de grau quatro tivesse cinco zeros, então ele teria cinco fatores na forma (x−a). Entretanto, sabemos que o produto de cinco fatores na forma (x − a) produz um polinômio de grau cinco, de modo que o polinômio jamais poderia ser de grau quatro. A Figura 4.14 mostra como uma simples translação na vertical pode fazer com que um polinômio de grau 4 tenha dois, três ou quatro zeros. Observando essa figura, você é capaz de apresentar um polinômio de grau 4 sem raízes reais? (a) p(x) = 2x4 − 7x3 + 3x2 + 7x − 6 (b) p(x) = 2x4 − 7x3 + 3x2 + 7x − 5 (c) p(x) = 2x4 − 7x3 + 3x2 + 7x − 4 Figura 4.14: Gráficos de polinômios de grau quatro com dois, três e quatro zeros Um teorema mais poderoso sobre polinômios com coeficientes reais é dado no quadro abaixo. Decomposição em fatores lineares e quadráticos Todo polinômio com coeficientes reais pode ser escrito como o produto de fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis. Esse teorema é derivado do teorema fundamental da álgebra, que envolve números complexos, o que foge do es-copo dessa seção Esse teorema nos diz que todo polinômio pode ser escrito como o produto de A constante k é o coeficiente do 1. uma constante real k; monômio de maior grau do polinô-mio. 2. fatores lineares na forma (x − a); 3. fatores quadráticos (ax2 + bx + c) que não possuem zeros reais (não podem ser decompostos em fatores lineares). Além disso, a soma dos graus dos fatores deve corresponder ao grau do polinômio original. Problema 4. Fatoração de um polinômio Escreva o polinômio p(x) = x4 − 4x3 + 13x2 na forma fatorada. Solução. Pondo x2 em evidência, temos p(x) = x2(x2 − 4x + 13).
  • 31. Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 323 Logo, x = 0 é uma raiz de p(x) = 0. Para tentar achar outras raízes, usamos Bháskara, começando pelo cálculo do discriminante: = (−4)2 − 4 1 13 = −36. Como o discriminante é negativo, a equação x2−4x+13 = 0 não possui raízes reais, de modo que o termo x2 −4x+13 é irredutível. Assim, a forma fatorada do polinômio é, simplesmente, p(x) = x2(x2 − 4x + 13). Problema 5. Fatoração de uma função polinomial Escreva a função polinomial p(x) = 4x4 − 34x2 − 18 na forma fatorada. Solução. Os zeros de p(x) são raízes de 4x4 − 34x2 − 18 = 0, uma equação biquadrática, conforme mencionado na Seção 2.10. Fazendo, então, a substituição y = x2, obtemos a equação quadrática 4y2 − 34y − 18 = 0. Aplicando a fórmula de Bháskara a essa equação, encontramos = (−34)2 − 4 4 (−18) = 1444. y = −(−34) ± º 1444 2 4 = 34 ± 38 8 . Logo, as raízes de 4y2 − 34y − 18 = 0 são y1 = 34 + 38 8 = 9 e y2 = 34 − 38 8 = − 1 2. De posse de y1 e y2, escrevemos a forma fatorada da expressão 4y2 − 34y − 18, que é 4 (y − 9) ‹y + 1 2 . Lembrando, agora, que y = x2, podemos escrever p(x) na forma p(x) = ‰x2 − 9Ž ‹x2 + 1 2 . O termo (x2 − 9) pode ser novamente fatorado em (x2 − 9) = (x − 3)(x + 3). Por outro lado, o termo (x2 + 1 2 ) é irredutível, já que a equação x2 + 1 2 = 0 não tem raízes reais. Assim, concluímos que p(x) = (x − 3) (x + 3) ‹x2 + 12  . Agora, tente o exercício 7. Quando fatoramos uma função polinomial p(x), de grau n, um termo (x−a) pode aparecer mais de uma vez. Isso ocorre, por exemplo, com a função p(x) = x2−10x+25, cuja forma fatorada é p(x) = (x − 1)(x − 5) ou p(x) = (x − 5)2. O número de vezes em que um termo (x−a) aparece na forma fatorada da função polinomial é chamado multiplicidade do zero x = a.
  • 32. 324 Capítulo 4. Funções polinomiais Dizemos que um zero x = a, de um polinômio p(x), tem multiplicidade m se a forma fatorada de p(x) tem exatamente m fatores (x − a). Problema 6. Polinômio com raízes conhecidas Defina um polinômio de grau 4 cujos zeros são x = −1, x = 4 e x = 2 (esse último com multiplicidade 2). Solução. Os zeros fornecidas no enunciado indicam que o polinômio como tem fatores (x+1), (x − 4), (x − 2), dos quais o último aparece duas vezes. Assim, p(x) = k(x + 1)(x − 4)(x − 2)2, em que k é um número real qualquer. Adotando, por simplicidade, k = 1, obtemos p(x) = (x + 1)(x − 4)(x − 2)2. Se quisermos escrever esse polinômio na forma expandida, basta calcular o produto acima. Nesse caso, temreos p(x) = x4 − 7x3 + 12x2 + 4x − 16. Agora, tente o exercício 2. Ì Determinação de zeros de funções polinomiais Como dissemos anteriormente, encontrar zeros reais de funções polinomiais não é tarefa trivial se o grau do polinômio é grande. Em todos os problemas desse capítulo que envolviam funções de grau maior ou igual a 3, fizemos questão de permitir que o leitor fosse capaz de obter uma função quadrática pelo processo de deflação, ou pondo x em evidência, ou ainda pelo fato de se tratar de função biquadrática. Para concluir essa seção, discutiremos de forma sucinta como determinar zeros reais de uma função polinomial. O método mais largamente empregado para a determinação dos zeros envolvem o cálculo de autovalores de matrizes, um conceito avançado de álgebra que não é possível apresentar nesse livro.Entretanto, sob certas condições, é possível encontrar um zero usando uma estratégia simples, baseada no teorema abaixo. Teorema de Bolzano para polinômios Seja dada uma função polinomial p(x) e um intervalo [a,b]. Se p(a) e p(b) têm sinais contrários, isto é, p(a) 0 e p(b) 0, ou p(a) 0 e p(b) 0, então existe um ponto c entre a e b tal que p(c) = 0, ou seja, p(x) tem um zero em (a,b). O teorema de Bolzano é uma versão especializada do teorema do valor interme-diário, visto em cursos universitários de cálculo. A Figura 4.15a ilustra o teorema no caso em que p(a) é negativo e p(b) é positivo, e a Figura 4.15b mostra um exemplo em que p(a) 0 e p(b) 0. Embora o teorema de Bolzano afirme que p(x) possui um zero entre a e b, ele não fornece o valor de c. Entretanto, podemos localizar aproximadamente o zero usando várias vezes esse teorema, como mostra o Problema a seguir.
  • 33. Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 325 (a) p(a) 0 e p(b) 0 (b) p(a) 0 e p(b) 0 Figura 4.15: Pontos (a,p(a)) e (b,p(b)) que satisfazem o teorema de Bolzano. Problema 7. Determinação de um zero pelo método da bissecção Determine aproximadamente um zero de p(x) = 6x3 − 19x2 + 25, sabendo que p(1) = 12 e p(2) = −3. Solução. Como p(1) 0 e p(2) 0, o teorema de Bolzano garante que p(x) tem um zero no intervalo [1,2]. Vamos chamar esse zero de x‡. Primeiro passo Uma vez que não conhecemos a localização exata do zero, vamos supor que ele se encontra no meio do intervalo, ou seja, no ponto Você sabia? O ponto médio de um intervalo [a,b] é dado por x = a + b 2 . x = 1 + 2 2 = 1,5. Calculando o valor da função nesse ponto, obtemos p(1,5) = 2,5, o que indica que erramos na nossa estimativa da localização do zero. Entretanto, nosso esforço não foi em vão, pois reparamos que p(1,5) 0 e p(2) 0, de modo que, segundo o teorema de Bolzano, existe uma raiz no intervalo [1,5; 2]. Como esse intervalo tem metade do comprimento de [1,2], conseguimos reduzir nossa incerteza, obtendo uma aproximação melhor para o zero. A Figura 4.16a mostra o intervalo [1,2] com o qual iniciamos, bem como o valor positivo de p(1,5), que garante a existência do zero em [1,5; 2]. Segundo passo Supondo, novamente, que o zero está no meio do intervalo, que agora é [1,5; 2], obtemos x = 1,5 + 2 2 = 1,75, e p(1,75) −1.03125. Nesse caso, p(1,5) 0 e p(1,75) 0, como mostra a Figura 4.16b. Desse modo, concluímos que há um zero no intervalo [1,5; 1,75]. Terceiro passo O ponto médio do intervalo [1,5; 1,75] e a função nesse ponto valem, respectiva-mente, x = 1,5 + 1,75 2 = 1,625, ep(1,625) 0.574219.
  • 34. 326 Capítulo 4. Funções polinomiais Como p(1,625) 0 e p(1,75) 0, concluímos que há um zero no intervalo [1,625; 1,75], o que pode ser comprovado na Figura 4.16c. Terceiro passo O ponto médio do intervalo [1,625; 1,75] e a função nesse ponto valem x = 1,625 + 1,75 2 = 1,6875, ep(1,6875) −0.272949. Agora, temos p(1,625) 0 e p(1,6875) 0, como mostra a Figura 4.16c. Assim, há um zero no intervalo [1,625; 1,6875]. Note que começamos trabalhando com [1,2], e já estamos no intervalo [1,625; 1,6875], que tem apenas 1/16 do comprimento do intervalo inicial. Prosseguindo com esse mé-todo por mais alguns passos, chegamos a um intervalo muito pequeno em torno de x‡ = 1,666 . . ., que é a raiz desejada de p(x). (a) 1 x‡ 2 (b) 1,5 x‡ 2 (c) 1,5 x‡ 1,75 (d) 1,625 x‡ 1,75 Figura 4.16: Intervalos e aproximações de x‡ dos quatro primeiros passos do algoritmo da bissecção. Agora, tente o exercício 4. Apesar de termos apresentado o teorema de Bolzano apenas para funções polinomi-ais, ele se aplica a toda função contínua, pois essas funções possuem uma característica muito especial: Se f é uma função contínua, então f só muda de sinal em seus zeros. Ou seja, sempre que f passa de positiva para negativa, ou de negativa para positiva, ela passa por um ponto em que f(x) = 0. Desse modo, o método da bissecção também pode ser usado para encontrar um zero de qualquer função contínua f, desde que conheçamos dois pontos nos quais f tenha sinais opostos. A noção de função contínua será apresentada na Seção 4.4. Ì Inequações polinomiais Como vimos, sempre que uma função polinomial p(x) troca de sinal, ela passa por um de seus zeros. Como consequência desse resultado, p(x) é sempre positiva, ou sempre negativa, no intervalo (x1, x2) compreendido entre dois zeros consecutivos, x1 e x2. Assim, se enumerarmos todos os zeros de p(x) em ordem crescente de valor, po-demos indicar com precisão se p(x) B 0 ou p(x) C 0 no intervalo entre duas raízes, bastando, para isso, testar o valor de p(x) em um único ponto do intervalo.
  • 35. Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 327 Exemplo 1. Solução de uma inequação cúbica Sabendo que os zeros da função p(x) = x3 + 2x2 − 11x − 12 são x = 3, x = −1 e x = −4, vamos resolver a inequação x3 + 2x2 − 11x − 12 B 0. Nesse caso, pondo os zeros em ordem crescente, dividimos a reta real nos intervalos (−ª,−4), (−4,−1), (−1,3) e (3,ª). Como p(x) só muda de sinal em seus zeros, testamos o sinal da função em cada intervalo calculando seu valor em um único ponto. Os quatro pontos selecionados são mostrados na Tabela 4.5, acompanhados dos respectivos valores de p(x). Tabela 4.5 x p(x) -5 -32 -2 10 0 -12 4 40 Figura 4.17: Sinal de p(x) nos intervalos entre raízes consecutivas. O diagrama da Figura 4.17 mostra as raízes em vermelho, e os pontos de teste da função em azul. Com base no sinal de p(x) em cada um desses pontos, concluímos que p(x) B 0 para {x R S x B −4 ou − 1 B x B 3}. O quadro a seguir resume os passos para a solução de inequações polinomiais adotados no Exemplo 1. Roteiro para a solução de inequações polinomiais Para resolver uma inequação na forma p(x) B 0 ou p(x) C 0, 1. Determine as raízes da equação associada. Determine quantas e quais são as raízes da equação p(x) = 0. 2. Crie intervalos. Divida o problema em intervalos, de acordo com as raízes obtidas. 3. Determine o sinal da função em cada intervalo. Escolha um ponto em cada intervalo e calcule o valor da função no ponto. 4. Resolva o problema. Determine a solução do problema a partir do sinal de p(x) nos pontos escolhidos. Expresse essa solução na forma de um ou mais intervalos.
  • 36. 328 Capítulo 4. Funções polinomiais Problema 8. Solução de uma inequação cúbica Resolva a inequação 2x3 + 13x2 + 13x C 10, sabendo que x = 1 2 é uma raiz da equação 2x3 + 13x2 + 13x = 10. Solução. Movendo todos os termos para o lado esquerdo, obtemos a inequação equivalente 2x3 + 13x2 + 13x − 10 C 0, à qual associamos a função p(x) = 2x3 +13x2 +13x−10. Sabendo que x = 1 2 é um zero dessa função, vamos determinar os zeros restantes. 1 2 2 13 13 −10 1 7 10 2 14 20 0 Dividindo, então, p(x) por (x − 12 ), obtemos q(x) = 2x2 + 14x + 20. Dessa forma, p(x) = ‹x − 1 2 q(x). Aplicando, agora, a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes de q(x): = 142 − 4 2 20 = 36. x = º 36 2 2 = −14 ± −14 ± 6 4 . Logo, as raízes de q(x) = 0 são x1 = −14 + 6 4 = −2 e x2 = −14 − 6 4 = −5, de modo que p(x) tem como zeros x = −5, x = −2 e x = 1 2. Tomando como base esses zeros, dividimos a reta real nos intervalos (−ª,−5), (−5,−2), ‹−2, 1 2 e ‹ 12 ,ª . Escolhendo, então, os pontos mostrados na Tabela 4.6, montamos o diagrama da Figura 4.18, que mostra o sinal de p(x) em cada intervalo. Com base nesse diagrama, concluímos que p(x) C 0 para Tabela 4.6 x p(x) -5 -32 -2 10 0 -12 4 40 ›x R V −5 B x B 2 ou x C 1 2   . Figura 4.18: Sinal de p(x) nos intervalos entre raízes consecutivas. Agora, tente o exercício 3.
  • 37. Seção 4.3. Zeros reais de funções polinomiais 329 Exercícios 4.3 1. Determine as raízes das equações abaixo. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado es-querdo das equações. a) −3x(x2 − 2x − 3) = 0 b) x4 − x3 − 20x2 = 0 c) x3 + x2 − 2x − 2 = 0, sabendo que x = −1 é uma raiz. d) x3 −5x2 −4x+20 = 0, sabendo que x = 2 é uma raiz. e) x4 − 9x3 − x2 + 81x − 72 = 0, sabendo que x = 8 e x = 3 são raízes. f) x3 − 3x2 − 10x + 24 = 0, sabendo que x = 4 é uma raiz. 2. Em cada caso abaixo, escreva na forma expandida uma função polinomialque tenha o grau e as raízes indicadas. a) Grau 2, com raízes −4 e 0. b) Grau 2, com raízes 1~2 e 2, com concavidade para baixo. c) Grau 3, com raízes 0, 1 e 3. d) Grau 3, com raízes −2 e 1 (com multiplicidade 2). e) Grau 4, com raízes −3, −2, 0 e 5. 3. Resolva as desigualdades abaixo. a) (x − 1)(x + 2)(x − 4) B 0 b) (x + 1)(x − 2)x C 0 c) x3 − 2x C 0 d) 2x3 − 18x B 0 4. Usando o método da bissecção, determine um zero de p(x) = x4 − 3x3 + 2x2 − x + 1 que pertence ao intervalo [2,4]. 5. Um tanque de gás tem o formato de um cilindro ao qual se acoplou duas semiesferas, como mostrado na fi-gira abaixo. Observe que o comprimento do cilindro corresponde a 5 vezes o raio de sua base. 23 Responda às perguntas abaixo, lembrando que o volume de uma semiesfera de raio r é r3, e que o volume de um cilindro com altura h e raio da base r é dado por r2h. a) Exprima o volume do cilindro em função apenas de r. b) Escreva uma função V (r) que forneça o volume do tanque em relação a r. c) Determine o valor de r que permite que o tanque armazene 25 m3 de gás. 6. Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$ 2400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Su-pondo que x denota o número de homens do grupo, determine esse valor. 7. Fazendo a mudança de variável w = x2, determine as raízes reais das equações. a) x4 − 24x2 − 25 = 0 b) x4 − 13x2 + 36 = 0 c) x4 − 2x2 + 1 = 0 8. Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade popula-cional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um prisma retangular e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas per-mite a passagem da água (vide figura). Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cú-bico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual à metade da largura. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7200 peixes adultos da espécie considerada? Lembre-se que o volume de um prisma retangular de lados x, y e z é xyz. Respostas dos Exercícios 4.3 1. a) Polinômio: p(x) = −3x(x − 3)(x + 1) Raízes: 0, 3 e −1 b) Polinômio: p(x) = x2(x − 5)(x + 4) Raízes: 5, −4 e 0 (com multiplicidade 2) c) Polinômio: p(x) = (x + 1)(x − º 2)(x + º 2) Raízes: −1, º 2 e − º 2 d) Polinômio: p(x) = (x−1)(x−2)(x−8) Raízes: 1, 2 e 8 e) Polinômio: p(x) = (x + 3)(x − 1)(x − 3)(x − 8) Raízes: −3, 1, 3 e 8 f) Polinômio: p(x) = (x+3)(x−2)(x−4) Raízes: −3, 2 e 4 2. a) p(x) = x2 + 4x b) p(x) = −x2 + 5 2 x − 1 c) p(x) = x3 − 4x2 + 3x d) p(x) = x3 − 3x + 2 e) p(x) = x4 − 19x2 − 30x 3. a) x B −2 ou 1 B x B 4
  • 38. 330 Capítulo 4. Funções polinomiais b) −1 B x B 0 ou x C 2 c) − º 2 B x B 0 ou x C 2 d) x B −3 ou 0 B x B 3 4. x 2,20557 5. a) Vc(r) = 5r3 3 r3 b) V (r) = 19 c) r = 3,69 m 6. O grupo tem 15 homens e 25 mulheres. 7. a) x = −5 e x = 5 b) x = −3, x = 3, x = −2 e x = 2 c) x = −1 e x = 1 8. Aproximadamente 3,3 × 3,3 × 1,65 m 4.4 Gráficos de funções polinomiais Embora já tenhamos traçado alguns gráficos de funções polinomiais, ainda não discu-timos suas características principais, às quais nos dedicaremos nessa seção. Iniciando nossa análise, vamos recorrer a um exemplo simples. Exemplo 1. Gráfico de uma função a partir de pontos do plano Tentemos construir o gráfico de uma função f da qual conhecemos apenas os valores de f(x) para x = −2,−1, 0, 1, 2, 3. Para traçar o gráfico de f, procedemos da forma habitual, montando uma tabela de pares (x,f(x)), e marcando esses pontos no plano Cartesiano. Os seis pontos assim obtidos são mostrados na Figura 4.19a. Em seguida, é preciso ligar os pontos por uma curva que represente de forma mais ou menos fiel a função. Nesse caso, temos duas opções. Podemos traçar uma curva com trechos quase retos, como se vê na Figura 4.19b, ou podemos traçar uma curva mais suave, como a que é exibida na Figura 4.19c. (a) Os pontos do exemplo 1 (b) gráfico de uma função definida por partes (c) Gráfico de uma função polinomial Figura 4.19: Curvas que passam por um dado conjunto de pontos A curva mostrada na Figura 4.19b só é adequada quando sabemos de antemão que a função a ser representada é definida por partes. Entretanto, como isso ocorre com pouca frequência, na maioria das vezes é melhor traçar uma curva como a que aparece na Figura 4.19c, que é mais suave. Curvas desse tipo são características de funções polinomiais, como veremos a seguir. De uma forma geral, o gráfico de uma função polinomial possui as seguintes ca-racterísticas: • Ele é contínuo, ou seja, ele não contém buracos, saltos (descontinuidades verticais) ou falhas (descontinuidades horizontais), como o que se vê nas Figuras 4.20a e 4.20b. • Ele é suave, ou seja, ele não possui mudanças bruscas de direção ou inclina-ção, como as mostradas na Figura 4.20c. Essas mudanças são denominadas informalmente de quinas ou bicos. A Figura 4.20d mostra o gráfico de uma função que pode perfeitamente ser poli-nomial, pois a curva é contínua e tem mudanças suaves de inclinação.
  • 39. Seção 4.4. Gráficos de funções polinomiais 331 (a) Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há um buraco em a e um salto em b (b) Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há uma falha en-tre a e b (c) Não é o gráfico de uma função polinomial, pois há uma quina em a e um bico em b (d) Pode ser o gráfico de uma fun-ção polinomial, pois é contínuo e suave Figura 4.20 Ì Comportamento extremo Outra característica interessante das funções polinomiais é o seu comportamento quando os valores de x ficam muito grandes em módulo, isto é, quando eles se afastam de x = 0 tanto na direção positiva, como na direção negativa do eixo-x. Para analisar esse comportamento extremo das funções, precisamos definir o que significa tender ao infinito. Dizemos que • x tende ao infinito quando x cresce arbitrariamente, ou seja, assume valores arbitrariamente grandes no sentido positivo do eixo-x. Nesse caso, usamos a notação x ª. • x tende a menos infinito quando x decresce arbitrariamente, ou seja, se afasta do zero no sentido negativo do eixo-x. Nesse caso, escrevemos x −ª. Observe que a mesma notação pode ser usada para y, se tomamos como referência o eixo vertical. Assim, também é possível escrever y ª e y −ª. Uma função polinomial é a soma de vários monômios na forma aixi. Por exemplo, a função p(x) = x3 + x2 + x
  • 40. 332 Capítulo 4. Funções polinomiais é composta pelos monômios x3, x2 e x. Como vimos na Seção 3.9, o gráfico de p é a composição dos gráficos desses três monômios. Assim, é possível usar esses gráficos para investigar como cada monômio influencia o comportamento de p quando x ª. Para começar nossa análise, traçamos os gráficos de y = x, y = x2, y = x3 e y = x3 + x2 + x para x entre 0 e 2, como mostrado na Figura 4.21a. Observando esses gráficos, constatamos que o comportamento de p(x) depende de todos os monômios que compõem a função quando o intervalo é pequeno e está próximo de x = 0. Entretanto, o intervalo [0,2] não parece adequado para que descubramos como p se comporta para valores grandes de x. Sendo assim, traçamos os mesmos gráficos para x entre 0 e 10, como se vê na Figura 4.21b. Nesse caso, percebe-se facilmente que, à medida que consideramos valores maiores de x, os monômios de menor grau perdem importância, e o gráfico de p(x) = x3 + x2 + x passa a ser fortemente influenciado pelo gráfico de y = x3, isto é, pelo gráfico do monômio de maior grau. Para corroborar a hipótese de que é o termo de maior grau que determina o comportamento de p para valores grandes de x, traçamos novamente os gráficos de p e de seus monômios, considerando, agora, valores de x entre 0 e 20. As curvas assim obtidas, apresentadas na Figura 4.21c, indicam que, paa valores de x maiores que 10, as curvas de y = p(x) e y = x3 quase se superpõem, enquanto o gráfico do monômio de grau 1 praticamente desaparece da figura. (a) 0 B x B 2 (b) 0 B x B 10 (c) 0 B x B 20 Figura 4.21: Gráfico de p(x) = x3+x2+x e de seus monômios, para diferentes intervalos de x. Os resultados apresentados na Figura 4.21 sugerem que, para descobrir o que ocorre com a função p(x) = x3 + x2 + x quando x tende a infinito, basta olhar para o comportamento do termo de maior grau. De fato, isso ocorre não somente com a função p, mas com toda função função polinomial. Além disso, também é possível usar o monômio de maior grau para analisar o que acontece quando x −ª. Teste do coeficiente dominante O comportamento extremo da função p(x) = anxn +an−1xn−1 ++a1x+a0 depende de n (o grau da função), bem como de an, o coeficiente dominante (ou principal) do polinômio, isto é, o coeficiente do monômio de maior grau. 1. Se n é ímpar, temos duas situações, dependendo do sinal de an:
  • 41. Seção 4.4. Gráficos de funções polinomiais 333 Teste do coeficiente dominante (cont.) (a) Se an 0, então p decresce ilimitadamente (p −ª) quando x −ª e p cresce ilimitadamente (p ª) quando x ª (b) Se an 0, então p cresce ilimita-damente (p ª) quando x −ª e p decresce ilimitadamente (p −ª) quando x ª Figura 4.22: Comportamento extremos de funções com grau ímpar 2. Se n é par, temos outras duas possibilidades, dependendo do sinal de an: (a) Se an 0, então f cresce ilimita-damente (f −ª) quando x −ª e quando x ª (b) Se an 0, então f decresce ilimitadamente (f −ª) quando x −ª e quando x ª Figura 4.23: Comportamento extremos de funções com grau ímpar Problema 1. Teste do coeficiente dominante Determine o comportamento extremo de cada uma das funções abaixo. a) f(x) = −x3 + 5x2 − 10 b) f(x) = −x4 + 3x3 + 16 c) f(x) = x5 +x4 −10x3 −4 Solução. a) Como f(x) = −x3 +5x2 −10 tem grau ímpar (3) e o coeficiente dominante é −1, que é negativo, a função cresce ilimitadamente para x −ª, e decresce ilimitadamente para x ª. O gráfico de f é exibido na Figura 4.24a. b) A função f(x) = −x4 + 3x3 + 16 tem grau par (4) e o coeficiente dominante é negativo (a4 = −1). Sendo assim, a função decresce ilimitadamente tanto para x −ª, como para x ª. A Figura 4.24b mostra o gráfico de f.
  • 42. 334 Capítulo 4. Funções polinomiais c) Uma vez que f(x) = x5 + x4 − 10x3 − 4 tem grau ímpar (5) e a5 0 (pois a5 = 1), a função decresce ilimitadamente para x −ª, e cresce ilimitadamente para x ª, como apresentado na Figura 4.24c. (a) f(x) = −x3 + 5x2 − 10 (b) f(x) = −x4 + 3x3 + 16 (c) f(x) = x5 + x4 − 10x3 − 4 Figura 4.24: Gráficos do Problema 1. Ì Máximos e mínimos locais Para determinar o comportamento de funções polinomiais, também é conveniente conhecer seus pontos de máximo e de mínimo local. Entretanto, assim como ocorre com os zeros, esses pontos extremos não têm um número fixo, como mostra a Figura 4.25, na qual vemos que p(x) = x3 não tem pontos de máximo ou mínimos locais, enquanto p(x) = −x3 +5x+1 tem um máximo e um mínimo, e p(x) = −x4 +x3 +11x2 − 9x − 18 tem dois máximos e um mínimo. (a) p(x) = x3 (b) p(x) = −x3 + 5x + 1 (c) p(x) = −x4+x3+11x2−9x− 18 Figura 4.25: Pontos extremos de algumas funções. Pontos de máximo local são indi-cados em verde, e pontos de mínimo local em roxo. O teorema abaixo fornece um limite para o número de pontos extremos de uma função polinomial. Pontos extremos de funções polinomiais Uma função polinomial de grau n tem, no máximo, n−1 extremos locais (que podem ser máximos ou mínimos).
  • 43. Seção 4.4. Gráficos de funções polinomiais 335 Esse teorema não é muito esclarecedor, pois não informa o número exato ou a localização dos pontos de máximo e mínimo local de uma função. De fato, ele só indica que não devemos esperar encontrar, por exemplo, quatro pontos extremos para um polinômio de grua 4. Por outro lado, podemos obter uma estimativa melhor da localização de alguns pontos extremos se conhecermos os zeros de uma função, como indica o próximo teorema. Pontos extremos e raízes de funções polinomiais Entre dois zeros distintos de uma função polinomial há, ao menos, um ponto extremo. Exemplo 2. Pontos extremos A função p(x) = 2x3 + 3x2 − 18x + 8, tem como zeros x = −4, x = 1 2 e x = 2. 2 ) e outro em ( 1 2 , 2). Como Logo, ela possui ao menos um ponto extremo em (−4, 1 p(x) tem grau 3, a função pode ter, no máximo, dois pontos extremos, de modo que há exatamente um ponto extremo em cada um desses intervalos. Para descobrir se o extremo local dentro de um intervalo é um ponto de máximo ou de mínimo, basta calcularmos o valor de p(x) em um ponto qualquer do intervalo. Assim, para os intervalos desse exemplo, temos Intervalo x p(x) Sinal (−4, 1 2 ) 0 8 Positivo ( 1 2 , 2) 1 -5 Negativo Da tabela acima, concluímos que p(x) possui um máximo local no intervalo (−4, 1 2 ) e um mínimo local em ( 1 2 , 2). Embora uma função polinomial possa ter mais de um mínimo ou máximo local, as aplicações práticas costumam envolver intervalos específicos, nos quais só um ponto extremo faz sentido. Problema 2. Otimização do formato de uma caixa Você precisa usar uma folha de papelão com 56 × 32 cm, para fabricar uma caixa sem tampa como a que é mostrada na Figura 4.26a. Para obter a caixa, a folha deverá ser cortada nas linhas contínuas e dobrada nas linhas tracejadas indicadas na Figura 4.26b. Observe que a base da caixa dobrada corresponde ao retângulo interno da figura e que sua altura é x. Responda às per-guntas abaixo, lembrando que o volume de um prisma retangular de lados x, y e z é igual a xyz. 1. Exprima cada uma das dimensões da base da caixa dobrada em função de x. 2. Determine uma função V (x) que forneça o volume da caixa em relação a x. 3. Determine o domínio de V (x). (Dica: considere que os lados da caixa não podem ser negativos). 4. Esboce o gráfico de V (x).
  • 44. 336 Capítulo 4. Funções polinomiais (a) Uma caixa sem tampa. (b) Planificação da caixa. Figura 4.26 5. A partir do gráfico de V (x), determine o valor de x que maximiza o volume da caixa. Calcule o volume correspondente. Solução. 1. Observando a Figura 4.26b, notamos que a folha de papelão tem 56 cm de largura, dos quais 4x serão reservados para formar a lateral da caixa. Assim, a largura do fundo da caixa será dada por L(x) = 56 − 4x. Por sua vez, dos 32 cm de altura que a folha de papelão possui, 2x também serão usados na lateral da caixa, de modo que a outra dimensão do fundo da caixa será definida por A(x) = 32 − 2x. 2. Dadas as dimensões do fundo da caixa, e considerando que sua altura mede x, o volume comportado será equivalente a V (x) = (56 − 4x)(32 − 2x)x. 3. Como nenhuma dimensão da caixa poderá ser negativa, devemos ter a) x C 0. b) 56 − 4x C 0 x B 14. c) 32 − 2x C 0 x B 16. Tomando a interseção dessas desigualdades, obtemos 0 B x B 14. 4. Claramente, a função V (x) tem como raízes x = 0, x = 14 e x = 16. Entretanto, como vimos no item anterior, somente os valores de x entre 0 e 14 têm sentido físico. Limitando nosso gráfico a esse intervalo, obtemos a curva mostrada na Figura 4.27. Figura 4.27: Gráfico de V (x) = (56 − 4x)(32 − 2x)x. 5. Analisando a Figura 4.27, concluímos que a altura que maximiza o volume da caixa é x 5cm, à qual corresponde um volume de V (5) = 3960 cm3. Agora, tente o exercício 2.
  • 45. Seção 4.4. Gráficos de funções polinomiais 337 Exercícios 4.4 1. Determine o número de mínimos e máximos locais das funções abaixo. Indique um intervalo que contém a co-ordenada x de cada mínimo ou máximo. a) f(x) = (x − 3)(x − 4) b) f(x) = ( º 5 − x)(x + 1~4) c) f(x) = 3x(x − 2)(x + 3) d) f(x) = (x + 5)(2 − x)(x + 3) e) f(x) = (x − 1)2(x + 1 2 ) f) f(x) = x(x − 3)(x + 2)(x − º 2) 2. uma companhia aérea permite que um passageiro leve consigo uma bagagem cuja soma das dimensões (altura, largura e profundidade) não ultrapasse 150 cm. Joa-quim pretende tomar um voo dessa companhia levando uma caixa cuja base é quadrada. Suponha que o com-primento do lado da base seja x. a) Escreva uma função h(x) que forneça a altura da caixa em relação às outras duas dimensões. b) Forneça uma função v(x) que forneça o volume da caixa, lembrando que o volume de um prisma re-tangular de lados x, y e z é igual a xyz. c) Defina um domínio adequado para v(x), lembrando que nenhum lado da caixa pode ter comprimento negativo. d) Esboce o gráfico de v(x) no domínio que você de-finiu. e) Determine o valor de x que maximiza o volume da caixa. Calcule o volume correspondente. 3. Considerando apenas o comportamento extremo das funções abaixo, relacione-as aos gráficos apresentados. a) f(x) = x3 − 5x + 1 b) f(x) = −2x3 − x2 + 4x + 6 c) f(x) = x4 − 3x3 − 2x2 + 4x − 4 d) f(x) = 1 − 4x2 − 4x3 + 3x4 + 2x5 − x6 I) II) III) IV) 4. Os gráficos algumas funções polinomiais foram dese-nhados abaixo, com o auxílio de um programa mate-mático. Determine aproximadamente os pontos de mí-nimo e máximo local e os valores correspondentes de cada função. a) b) c) d) Respostas dos Exercícios 4.4 1. a) Um mínimo local no intervalo (3,4) b) Um máximo local em (− 1 º 5) 4 , c) Um mínimo em (0,2) e um máximo em (−3,0) d) Um mínimo em (−5,−3) e um máximo em (−3,2) e) Um mínimo em x = 1 e um máximo em (− 1 2 ,1) f) Mínimos nos intervalos (−2,0) e ( º 2,3), e um máximo em (0, º 2) 2. a) h(x) = 150 − 2x b) v(x) = x2(150 − 2x) c) x [0, 75] d) e) x = 50 cm. v(50) = 125.000 cm3. 3. a) IV b) II c) I d) III 4. a) Máximo local: x 2 Mínimos locais: x −1,5 e x 6,3 b) Máximos locais: x −1,6 e x 0,5 Mínimos locais: x −0,5 e x 1,3 c) Máximo local: x −0,6 Mínimo local: x 0,6 d) Máximo local: x 2,2 Não há mínimos locais