1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
O documento descreve as operações básicas com conjuntos: união, interseção, diferença e complementar. A união de dois conjuntos A e B inclui todos os elementos que pertencem a A ou B. A interseção inclui apenas os elementos comuns a ambos os conjuntos. A diferença entre A e B inclui os elementos de A que não pertencem a B.
O documento descreve o que é o vértice de uma função do segundo grau, como determinar suas coordenadas xv e yv, e apresenta exemplos. Também explica que o vértice sempre se encontra no ponto médio entre as raízes da função, ou seja, sua coordenada x é a média aritmética das coordenadas x das raízes.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
O documento discute as operações inversas de adição-subtração e multiplicação-divisão. Ele mostra como as operações inversas estão relacionadas através de exemplos numéricos e como podem ser aplicadas para resolver problemas. O documento também discute como o princípio das operações inversas é útil para expressões algébricas e equações.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
O documento descreve as funções quadráticas ou funções do segundo grau, definindo-as como funções da forma f(x)=ax2+bx+c. Explica como calcular os valores de a, b e c a partir de pontos dados e como representar graficamente essas funções, incluindo a localização do vértice e dos zeros.
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º anoafpinto
O documento apresenta uma lista de exercícios de potenciação e radiciação para alunos do 9o ano. A lista contém 14 exercícios que envolvem cálculos com potenciação, radiciação e expressões algébricas. Alguns exercícios pedem para calcular valores numéricos enquanto outros pedem para simplificar ou racionalizar expressões.
O documento descreve as operações básicas com conjuntos: união, interseção, diferença e complementar. A união de dois conjuntos A e B inclui todos os elementos que pertencem a A ou B. A interseção inclui apenas os elementos comuns a ambos os conjuntos. A diferença entre A e B inclui os elementos de A que não pertencem a B.
O documento descreve o que é o vértice de uma função do segundo grau, como determinar suas coordenadas xv e yv, e apresenta exemplos. Também explica que o vértice sempre se encontra no ponto médio entre as raízes da função, ou seja, sua coordenada x é a média aritmética das coordenadas x das raízes.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
O documento discute as operações inversas de adição-subtração e multiplicação-divisão. Ele mostra como as operações inversas estão relacionadas através de exemplos numéricos e como podem ser aplicadas para resolver problemas. O documento também discute como o princípio das operações inversas é útil para expressões algébricas e equações.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
O documento descreve as funções quadráticas ou funções do segundo grau, definindo-as como funções da forma f(x)=ax2+bx+c. Explica como calcular os valores de a, b e c a partir de pontos dados e como representar graficamente essas funções, incluindo a localização do vértice e dos zeros.
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º anoafpinto
O documento apresenta uma lista de exercícios de potenciação e radiciação para alunos do 9o ano. A lista contém 14 exercícios que envolvem cálculos com potenciação, radiciação e expressões algébricas. Alguns exercícios pedem para calcular valores numéricos enquanto outros pedem para simplificar ou racionalizar expressões.
Funcões Injetora, Sobrejetora e BijetoraCleiton Cunha
1) O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo o que é uma função, domínio e imagem de uma função, funções crescentes e decrescentes.
2) Uma função mapeia elementos de um conjunto de partida para elementos de um conjunto de chegada, onde cada elemento do conjunto de partida é mapeado para exatamente um elemento do conjunto de chegada.
3) O domínio de uma função é o conjunto de partida e a imagem de um elemento é o correspondente elemento no conjunto de chegada.
Domínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDosvaldo Alves
Uma função é uma expressão matemática que relaciona valores de conjuntos diferentes, tendo domínio, contradomínio e imagem. Estas características podem ser representadas por um diagrama de flechas. Um exemplo é dado para a função f(x)=x+1, mostrando o domínio A=(1,2,3,4,5), o contradomínio B=(1,2,3,4,5,6,7) e a imagem (2,3,4,5,6).
Este documento discute potências. Explica que uma potência é um produto de fatores iguais, com a base multiplicada pelo expoente. Detalha as propriedades das potências, incluindo a soma e subtração de expoentes, potências de potências, e como lidar com expoentes zero, um ou negativos. Finalmente, discute expressões com potências e a notação científica.
Este documento contém exercícios e respostas sobre frações algébricas. As questões envolvem operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com frações que contém letras como variáveis. As respostas mostram os passos para chegar ao resultado final de cada operação com frações algébricas propostas nos exercícios.
Origem E Fundamentos Da FunçãO QuadráTica Tarefa Finalguest7fc9be
O documento discute a origem e fundamentos da função quadrática. Resume que as funções quadráticas surgiram originalmente das equações de segundo grau, desenvolvidas por Euclides em 300 a.C. Explica que as funções quadráticas têm como gráfico a parábola e definem-se como f(x)=ax2+bx+c. Discutem a representação gráfica, raízes, vértice e valores máximo e mínimo das funções quadráticas e apresentam exemplos de sua aplicação no cotidiano.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo.pptxIdneyCharlis
O documento apresenta conceitos básicos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo: 1) razões trigonométricas nos ângulos de 30°, 45° e 60°; 2) relação fundamental da trigonometria através do Teorema de Pitágoras; 3) exemplos de problemas envolvendo cálculo de alturas usando razões trigonométricas.
O documento apresenta os principais conceitos e operações com frações algébricas, incluindo conceito de fração algébrica, denominador, simplificação, adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Exemplos ilustram cada operação com frações algébricas.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
O documento apresenta os diagramas de Venn-Euler, que são usados para representar conjuntos através de círculos sobrepostos. Apresenta as operações básicas com conjuntos como união, interseção e diferença. Explica que o número de elementos da união de dois conjuntos é dado pela soma dos elementos individuais menos os elementos em comum entre os conjuntos.
Paulo precisou calcular o número de pessoas que visitam um parque aos domingos. Ele primeiro calculou a função que relaciona o número de veículos com o número de horas (v=35t) e depois a função que relaciona o número de pessoas com o número de veículos (p=4v). Ao compor estas funções, ele obteve a função composta p=140t, que diretamente relaciona o número de pessoas com o número de horas.
O documento contém 30 questões de matemática sobre expressões algébricas. As questões abordam tópicos como desenvolvimento de expressões, fatoração, áreas de figuras geométricas representadas algebraicamente.
O documento apresenta exercícios sobre homomorfismos entre grupos. Verifica se funções dadas são homomorfismos e determina núcleos. Mostra que certas funções são isomorfismos e que um grupo é abeliano se e somente se uma função dada for homomorfismo.
O documento apresenta 6 questões sobre representações gráficas de funções polinomiais e afins do 1o grau. As questões 1, 2, 3 e 6 envolvem funções polinomiais do 1o grau, enquanto as questões 4 e 5 tratam de funções afins. As representações gráficas solicitadas são linhas retas na forma y=ax+b.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
(1) O documento apresenta exercícios resolvidos sobre fatoração de polinômios, incluindo fatoração simples, por agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômios quadrados perfeitos.
(2) Demonstra também exemplos da fatoração da soma e da diferença de dois cubos, além de expressões tornadas irredutíveis.
(3) Fornece detalhadamente os passos para fatorar diferentes tipos de expressões algébricas.
O documento apresenta uma série de exercícios de adição, subtração, multiplicação e divisão algébrica. Os exercícios incluem cálculos com expressões algébricas, operações com números inteiros e racionais, e problemas envolvendo situações financeiras representadas algebraicamente.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
1) O documento define funções inversas e explica que uma função inversa desfaz o que a função original fez.
2) Para uma função ter uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
3) Restrições no domínio de uma função podem fazê-la bijetora e, portanto, permitir a existência de uma função inversa.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
Funcões Injetora, Sobrejetora e BijetoraCleiton Cunha
1) O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo o que é uma função, domínio e imagem de uma função, funções crescentes e decrescentes.
2) Uma função mapeia elementos de um conjunto de partida para elementos de um conjunto de chegada, onde cada elemento do conjunto de partida é mapeado para exatamente um elemento do conjunto de chegada.
3) O domínio de uma função é o conjunto de partida e a imagem de um elemento é o correspondente elemento no conjunto de chegada.
Domínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDosvaldo Alves
Uma função é uma expressão matemática que relaciona valores de conjuntos diferentes, tendo domínio, contradomínio e imagem. Estas características podem ser representadas por um diagrama de flechas. Um exemplo é dado para a função f(x)=x+1, mostrando o domínio A=(1,2,3,4,5), o contradomínio B=(1,2,3,4,5,6,7) e a imagem (2,3,4,5,6).
Este documento discute potências. Explica que uma potência é um produto de fatores iguais, com a base multiplicada pelo expoente. Detalha as propriedades das potências, incluindo a soma e subtração de expoentes, potências de potências, e como lidar com expoentes zero, um ou negativos. Finalmente, discute expressões com potências e a notação científica.
Este documento contém exercícios e respostas sobre frações algébricas. As questões envolvem operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com frações que contém letras como variáveis. As respostas mostram os passos para chegar ao resultado final de cada operação com frações algébricas propostas nos exercícios.
Origem E Fundamentos Da FunçãO QuadráTica Tarefa Finalguest7fc9be
O documento discute a origem e fundamentos da função quadrática. Resume que as funções quadráticas surgiram originalmente das equações de segundo grau, desenvolvidas por Euclides em 300 a.C. Explica que as funções quadráticas têm como gráfico a parábola e definem-se como f(x)=ax2+bx+c. Discutem a representação gráfica, raízes, vértice e valores máximo e mínimo das funções quadráticas e apresentam exemplos de sua aplicação no cotidiano.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo.pptxIdneyCharlis
O documento apresenta conceitos básicos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo: 1) razões trigonométricas nos ângulos de 30°, 45° e 60°; 2) relação fundamental da trigonometria através do Teorema de Pitágoras; 3) exemplos de problemas envolvendo cálculo de alturas usando razões trigonométricas.
O documento apresenta os principais conceitos e operações com frações algébricas, incluindo conceito de fração algébrica, denominador, simplificação, adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Exemplos ilustram cada operação com frações algébricas.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
O documento apresenta os diagramas de Venn-Euler, que são usados para representar conjuntos através de círculos sobrepostos. Apresenta as operações básicas com conjuntos como união, interseção e diferença. Explica que o número de elementos da união de dois conjuntos é dado pela soma dos elementos individuais menos os elementos em comum entre os conjuntos.
Paulo precisou calcular o número de pessoas que visitam um parque aos domingos. Ele primeiro calculou a função que relaciona o número de veículos com o número de horas (v=35t) e depois a função que relaciona o número de pessoas com o número de veículos (p=4v). Ao compor estas funções, ele obteve a função composta p=140t, que diretamente relaciona o número de pessoas com o número de horas.
O documento contém 30 questões de matemática sobre expressões algébricas. As questões abordam tópicos como desenvolvimento de expressões, fatoração, áreas de figuras geométricas representadas algebraicamente.
O documento apresenta exercícios sobre homomorfismos entre grupos. Verifica se funções dadas são homomorfismos e determina núcleos. Mostra que certas funções são isomorfismos e que um grupo é abeliano se e somente se uma função dada for homomorfismo.
O documento apresenta 6 questões sobre representações gráficas de funções polinomiais e afins do 1o grau. As questões 1, 2, 3 e 6 envolvem funções polinomiais do 1o grau, enquanto as questões 4 e 5 tratam de funções afins. As representações gráficas solicitadas são linhas retas na forma y=ax+b.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
(1) O documento apresenta exercícios resolvidos sobre fatoração de polinômios, incluindo fatoração simples, por agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômios quadrados perfeitos.
(2) Demonstra também exemplos da fatoração da soma e da diferença de dois cubos, além de expressões tornadas irredutíveis.
(3) Fornece detalhadamente os passos para fatorar diferentes tipos de expressões algébricas.
O documento apresenta uma série de exercícios de adição, subtração, multiplicação e divisão algébrica. Os exercícios incluem cálculos com expressões algébricas, operações com números inteiros e racionais, e problemas envolvendo situações financeiras representadas algebraicamente.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
1) O documento define funções inversas e explica que uma função inversa desfaz o que a função original fez.
2) Para uma função ter uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
3) Restrições no domínio de uma função podem fazê-la bijetora e, portanto, permitir a existência de uma função inversa.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
1) A função f(x) = 8x - x^2 é uma parábola voltada para baixo com vértice em (4,16). Seu domínio é R e imagem é (-∞,16]. É crescente em (-∞,4) e decrescente em (4,+∞).
2) A função f(x) = |3-x| é modular com vértice em (3,0). Seu domínio é R e imagem é [0,+∞). É decrescente em (-∞,3) e crescente em (3,+∞).
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
O documento define e explica funções polinomiais, incluindo sua forma geral, exemplos, comportamento para valores extremos de x, raízes, divisão longa de polinômios e teoremas sobre restos e fatoração.
O documento discute limites de funções. Apresenta a definição formal de limite e exemplos de cálculo de limites à direita, esquerda e bilateral. Também aborda limites infinitos e casos em que o limite não existe devido a limites laterais diferentes.
O documento discute equações do segundo grau e parábolas, incluindo suas aplicações, propriedades e como construí-las. Explica como determinar vértices, raízes, máximos e mínimos, e relaciona essas características com os coeficientes da equação. Por fim, fornece exercícios para praticar os conceitos aprendidos.
Este documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo definição de função, elementos de uma função e exemplos de relações que são ou não são funções. Também apresenta conceitos sobre gráficos de funções do primeiro grau e do segundo grau.
O documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo definição de função, exemplos de relações binárias que são ou não funções, elementos de uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem. Também apresenta exemplos de gráficos de funções do primeiro grau e conceitos sobre vértice de funções quadráticas.
Este documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c, além de discutir zeros, vértice e aplicações destas funções.
Funções de duas variáveis reais e curvas de nívelFran Cristina
O documento discute funções de duas variáveis reais, definindo-as como funções que associam um único número real a cada par de números reais no seu domínio. Explica o gráfico de tais funções como uma superfície no espaço tridimensional e introduz o conceito de curvas de nível como conjuntos de pontos no domínio que mapeiam para um valor constante da função.
1) O documento apresenta conceitos sobre funções polinomiais do 1o e 2o grau, incluindo suas representações gráficas e cálculo de raízes.
2) São fornecidos exemplos de problemas envolvendo funções afins e quadráticas, com soluções passo a passo.
3) O documento aborda conceitos matemáticos importantes sobre funções do 1o e 2o grau de forma didática, com exemplos ilustrativos.
Este capítulo introduz o conceito de derivada de uma função. Primeiro define-se a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e apresenta-se a definição formal de derivada. Em seguida, define-se funções deriváveis e explica-se a interpretação geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente.
O documento discute conjuntos numéricos e funções matemáticas. Apresenta os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, além de exemplos de funções como identidade, constante, linear, afim e quadrática. Explica também o plano cartesiano e como representar graficamente diferentes tipos de funções.
O documento resume os principais conceitos de cálculo utilizando MATLAB, incluindo:
1) A derivada aproximada por meio de secantes e a definição matemática de derivada.
2) A interpolação polinomial para aproximar funções através de polinômios.
3) Métodos de integração numérica como trapézios para calcular integral definida.
Este documento apresenta conceitos iniciais sobre funções matemáticas, incluindo:
1) Definição de função como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a um único elemento do segundo conjunto;
2) Exemplos de relações que são e não são funções;
3) Elementos que compõem uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
O documento apresenta os conceitos fundamentais de funções exponenciais e logarítmicas. Na primeira seção, define-se a função exponencial de base a e discute-se seu domínio e imagem. A segunda seção trata da função logarítmica inversa da exponencial. A terceira seção apresenta exemplos de resolução de equações e desigualdades envolvendo essas funções.
O documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c nessas funções. Também discute a representação algébrica e gráfica de funções quadráticas e conceitos como vértice, raízes e domínio.
funcoes1_slides.pptx matematica,engenharia e afinsJosJunior621067
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções, incluindo: (1) definição de produto cartesiano e exemplos; (2) definição de função, gráfico e domínio; (3) tipos de funções como lineares, quadráticas, módulo e exponenciais.
(1) O documento descreve técnicas de integração por partes, incluindo a fórmula geral e exemplos de sua aplicação. (2) A integração por partes permite transformar uma integral desconhecida em outra mais simples. (3) Os exemplos ilustram como a técnica pode ser usada repetidamente para resolver integrais mais complexas.
Este documento fornece uma lista de exercícios de cálculo de Stewart sobre várias técnicas de integração, incluindo integração por partes, integrais trigonométricas, frações parciais e integrais impróprias, com referências às páginas e exercícios específicos no livro de Stewart para cada tópico.
El documento lista ejercicios de cálculo de varias aplicaciones de la integración, incluyendo áreas entre curvas, volúmenes de sólidos, trabajo y longitud de arco. Los ejercicios provienen del libro de texto Stewart Cálculo, Volumen 1 y cubren páginas 386, 397, 407 y 493.
1) O documento descreve como calcular a área entre curvas e o volume de sólidos de revolução usando integrais.
2) A área entre duas curvas f(x) e g(x) é calculada como a integral de |f(x)-g(x)| no intervalo considerado.
3) O volume de um sólido de revolução é calculado como a integral da área da seção transversal A(x) em relação ao eixo de rotação.
Este documento contiene una lista de ejercicios sobre integrales de varios capítulos del libro Cálculo de Stewart. La lista incluye ejercicios sobre sumas de Riemann, integrales definidas, integrales indefinidas y la regla de sustitución, con referencias a las páginas y ejercicios específicos del libro de texto.
1. O documento discute cálculo de áreas sob curvas e integral definida, apresentando fórmulas e exemplos para calcular áreas e somar retângulos de Riemann.
2. É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas, permitindo calcular integrais através de primitivas.
3. Propriedades das integrais definidas são listadas, como adição, multiplicação por constante e integração por partes.
O documento discute as propriedades de relações em conjuntos, incluindo: (1) relações de equivalência, que são reflexivas, simétricas e transitivas; (2) relações de ordem, que são reflexivas, antissimétricas e transitivas; e (3) exemplos de relações que satisfazem essas propriedades, como igualdade e divisibilidade.
O documento discute relações binárias, definindo-as como uma terna ordenada composta por um grafo e dois conjuntos. Ele também define domínio e imagem de uma relação, relação recíproca, operações com relações e imagem de conjuntos por uma relação.
O documento discute grafos e suas propriedades. Em três frases ou menos:
1) Grafos são conjuntos de pares ordenados e exemplos incluem {(a,1), (3,(3,4))} e {(1,2), (2,3), (1,4)}. 2) As projeções de um grafo G são os conjuntos pr1G e pr2G de seus primeiros e segundos elementos. 3) A composição de grafos G e H é o grafo G ◦ H cujos elementos são pares (x,y) tal que existe z com (x,z) em H
O documento discute operações com conjuntos, incluindo:
1) A definição e propriedades da interseção de conjuntos;
2) A definição e propriedades de conjuntos disjuntos;
3) A definição e propriedades da união de conjuntos.
O documento discute conjuntos, incluindo:
1) Igualdade de conjuntos e suas propriedades como reflexividade e transitividade.
2) Relação de inclusão entre conjuntos e suas propriedades.
3) Noções de subconjuntos e conjunto de partes de um conjunto.
O documento discute os conceitos básicos de conjuntos, incluindo: (1) Definições de conjunto segundo Bourbaki e Cantor; (2) Exemplos de conjuntos; (3) Relação de pertinência; (4) Conjunto universo; (5) Conjunto unitário e conjunto vazio.
1. O documento apresenta uma análise completa de três funções, estudando seu domínio, imagem, pontos de interseção com os eixos, intervalos de monotonia, continuidade e comportamento assintótico.
2. A primeira função é f(x) = x3 - 3x + 2, que é crescente nos intervalos (-∞, -2) e (1, +∞) e decrescente nos intervalos (-2, 1) e (1, 0). Sua imagem é R.
3. A segunda função é f(x) = x2/(x2
O documento discute propriedades de funções, incluindo continuidade, limites, funções pares e ímpares, períodicidade, intervalos de monotonia e extremos. Apresenta exemplos para ilustrar cada conceito.
1) Explica como resolver equações polinomiais de 1o e 2o grau, e que equações de grau superior a 2 são mais complexas de resolver;
2) Diz que o Teorema Fundamental da Álgebra afirma que toda equação polinomial tem exatamente n raízes complexas, mas o número de raízes reais depende da forma da equação;
3) Explica que para graus maiores que 4 não há fórmulas gerais, mas podemos tentar reduzir o grau encontrando um fator que divida o polinômio.
1) O documento descreve três métodos de prova matemática: prova direta, prova de bicondicional e prova por redução ao absurdo.
2) Na prova direta, parte-se de uma hipótese P para deduzir uma conclusão Q. Na prova de bicondicional, provam-se as implicações P→Q e Q→P.
3) A prova por redução ao absurdo parte da negação de uma afirmação P para deduzir uma contradição e provar P.
A Maçonaria é uma fraternidade universal que busca o autoconhecimento e o aprimoramento moral por meio de símbolos e alegorias, sem envolver-se em política ou religião. Ela trabalha pelo desenvolvimento espiritual da humanidade de forma discreta e através de atividades filantrópicas e culturais.
O documento apresenta as propriedades básicas da álgebra, incluindo propriedades de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Também aborda tópicos como valor absoluto, expoentes racionais e racionalização de frações.
Taxonomia: é a ciência que classifica os seres vivos, estabelecendo critérios...jenneferbarbosa21
Taxonomia: é a ciência que classifica os seres vivos, estabelecendo critérios para classificar todos os seres vivos em grupos, de acordo com as características fisiológicas, evolutivas, anatômicas e ecológicas.
Cards das Espécies da Coleção-Carpoteca Temática Itinerante sediada no Labora...jenneferbarbosa21
JENNEFER AGUIAR BARBOSA e LÚCIA FILGUEIRAS BRAGA
Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação em Ciências Biológicas “Recursos didáticos para o ensino de Ciências da natureza, utilizando uma Carpoteca temática e itinerante com Espécies fornecedoras de Produtos Florestais Não Madeireiros” - Universidade do Estado de Mato Grosso -Campus de Alta Floresta.
EVOLUÇÃO-EVOLUÇÃO- A evolução pode ser definida como a mudança na forma e no ...jenneferbarbosa21
JENNEFER AGUIAR BARBOSA e LÚCIA FILGUEIRAS BRAGA
Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação em Ciências Biológicas “Recursos didáticos para o ensino de Ciências da natureza, utilizando uma Carpoteca temática e itinerante com Espécies fornecedoras de Produtos Florestais Não Madeireiros” - Universidade do Estado de Mato Grosso.
1. FUNC¸ ˜OES ELEMENTARES
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
FUNC¸ ˜AO CONSTANTE
´E aquela fun¸c˜ao cujo valor ´e igual para todos os elementos do dom´ınio.
f(x) = k ou y = k, para k ∈ R
dom(f) = R
img(f) = {k}
O gr´afico da fun¸c˜ao constante ´e uma reta paralela ao eixo x.
Exemplos:
f(x) = 5 f(x) = −1
img(f) = {5} img(f) = {−1}
1
2. FUNC¸ ˜AO IDENTIDADE
´E aquela fun¸c˜ao cujo valor para x ´e o pr´oprio x.
f(x) = x ou y = x
dom(f) = R
img(f) = R
FUNC¸ ˜AO LINEAR
f(x) = ax, a ∈ R e a = 0
dom(f) = R
img(f) = R
2
3. Exemplo: f(x) = 2x
FUNC¸ ˜AO DO 1o
GRAU OU AFIM
f(x) = ax + b com a, b ∈ R e a = 0
dom(f) = R e img(f) = R
Nesta fun¸c˜ao, a ´e o coeficiente angular e b ´e o coeficiente linear. O coeficiente
angular ´e o respons´avel pela inclina¸c˜ao da reta do gr´afico da fun¸c˜ao do 1o
grau. O coeficiente linear indica o ponto onde a reta intercepta o eixo y.
• a > 0: a fun¸c˜ao ´e crescente
• a < 0: a fun¸c˜ao ´e decrescente
3
4. Exemplos:
y = 2x + 3 y = −3x + 1
a > 0 (crescente) a < 0 (decrescente)
• Intercepta¸c˜ao do eixo x: obter as ra´ızes da equa¸c˜ao f(x) = 0 e os
pontos s˜ao todos os pontos (xi, 0) em que xi ´e raiz da equa¸c˜ao
• Intercepta¸c˜ao do eixo y: obter f(0) e o ponto de intercepta¸c˜ao ´e (0, f(0))
Observa¸c˜ao: este m´etodo pode ser aplicado em qualquer tipo de fun¸c˜ao para
obter as intercepta¸c˜oes.
Para os exemplos,
2x + 3 = 0 ⇒ x = −
3
2
(−3/2, 0)
f(0) = 2.0 + 3 = 3 (0, 3)
−3x + 1 = 0 ⇒ x =
1
3
(1/3, 0)
f(0) = −3.0 + 1 = 1 (0, 1)
4
5. FUNC¸ ˜OES CRESCENTES E DECRESCENTES
Uma fun¸c˜ao f : A → B, definida como y = f(x), ´e crescente se, para todo
x1, x2 ∈ dom(f), x1 < x2 → f(x1) < f(x2).
Ou seja, a inclina¸c˜ao m ´e positiva:
m =
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
> 0
Uma fun¸c˜ao f : A → B, definida como y = f(x), ´e decrescente se, para
todo x1, x2 ∈ dom(f), x1 < x2 → f(x1) > f(x2).
Ou seja, a inclina¸c˜ao m ´e negativa:
m =
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
< 0
INCLINAC¸ ˜AO E SINAL DA FUNC¸ ˜AO DO 1o
GRAU OU AFIM
Na fun¸c˜ao do 1o
grau, f(x) = ax + b, a inclina¸c˜ao da reta ´e o coeficiente
angular a:
m =
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
=
ax2 + b − (ax1 + b)
x2 − x1
=
ax2 + b − ax1 − b
x2 − x1
=
=
ax2 − ax1
x2 − x1
=
a(x2 − x1)
x2 − x1
= a
Consideremos a fun¸c˜ao f(x) = ax + b, cuja raiz ´e ax + b = 0, x = −b/a.
Este ´e o valor em que a fun¸c˜ao troca de sinal. Se a > 0, a fun¸c˜ao ´e crescente
e os valores da fun¸c˜ao para x < −b/a s˜ao negativos e os para x > −b/a
s˜ao positivos. Se a < 0, a fun¸c˜ao ´e decrescente e os valores da fun¸c˜ao para
x < −b/a s˜ao positivos e os para x > −b/a s˜ao negativos.
FUNC¸ ˜AO M´ODULO OU VALOR ABSOLUTO
A fun¸c˜ao m´odulo ou valor absoluto,
f(x) = |x|
5
6. ´e uma fun¸c˜ao modular (por ter resultados alternativos) definida por:
|x| =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Com dom(f) = R e img(f) = [0, +∞).
FUNC¸ ˜AO QUADR´ATICA OU FUNC¸ ˜AO DO 2o
GRAU
f(x) = ax2
+ bx + c com a = 0
dom(f) = R
Os n´umeros a, b, c ∈ R s˜ao chamados de coeficientes da fun¸c˜ao. O coeficiente
a ´e chamado de coeficiente principal, e tem papel definitivo na determina¸c˜ao
da concavidade da fun¸c˜ao quadr´atica.
Exemplo: f(x) = x2
+ 2x − 3, onde a = 1, b = 2 e c = −3
6
7. GR´AFICO DA FUNC¸ ˜AO QUADR´ATICA
Os elementos que devem ser considerados para a determina¸c˜ao do gr´afico
da fun¸c˜ao f(x) = ax2
+ bc + c s˜ao os seguintes:
• A curva da fun¸c˜ao ´e uma par´abola com eixo de simetria paralelo ao
eixo y
• A interse¸c˜ao do eixo de simetria com a curva da par´abola ´e um ponto
chamado de v´ertice
• A intercepta¸c˜ao da curva do gr´afico ao eixo y ocorre em (0, f(0)), ou
seja, em (0, c)
• Se a > 0 a par´abola tem concavidade voltada para cima
• Se a < 0 a par´abola tem concavidade voltada para baixo
7
8. Exemplos:
y = x2
+ 2x − 3 y = −2x2
+ 5x + 1
a = 1 > 0 a = −2 < 0
• A intercepta¸c˜ao da curva do gr´afico ao eixo x ocorre nos zeros da
fun¸c˜ao, que s˜ao as ra´ızes da equa¸c˜ao a2
+ bx + c = 0, e os valores
s˜ao dados pela f´ormula de Baskara:
x =
−b ±
√
∆
2a
∆ = b2
− 4ac
Neste caso ocorrem trˆes possibilidades:
1. ∆ > 0: duas ra´ızes reais distintas (intercepta o eixo x em dois
pontos distintos)
2. ∆ = 0: ra´ızes idˆenticas (intercepta o eixo x em um ´unico ponto)
3. ∆ < 0: n˜ao h´a ra´ızes reais pois
√
∆ ∈ R se ∆ < 0 (n˜ao intercepta
o eixo x)
8
9. Toda fun¸c˜ao quadr´atica expressa na forma canˆonica y = ax2
+ bx + c,
a = 0, pode ser reescrita na seguinte forma canˆonica:
y = a(x − xv)2
+ yv
sendo
(xv, yv) = −
b
2a
, −
∆
4a
as coordenadas do v´ertice da par´abola, e o eixo de simetria ´e dado por x = xv.
Exemplo: Seja a fun¸c˜ao y = x2
− 6x + 5.
• y = (x2
− 6x) + 5 [prop. associativa]
• y = (x2
− 6x + 9) − 9 + 5 [completa¸c˜ao de quadrados]
• y = (x − 3)2
− 4 [produto not´avel e simplifica¸c˜ao]
Neste caso, xv = 3, yv = −4, e o eixo de simetria ´e x = 3.
CONSTRUINDO O GR´AFICO DA FUNC¸ ˜AO QUADR´ATICA
Para determinar o gr´afico da fun¸c˜ao quadr´atica devemos considerar:
• concavidade
• v´ertice
• eixo de simetria
• ra´ızes
Exemplo: Seja y = 2x2
+ 4x − 1.
Como a = 2 > 0, a concavidade ´e voltada para cima.
As coordenadas do v´ertice s˜ao:
(xv, yv) = −
4
2.2
, −
24
4.2
= (−1, −3)
Eixo de simetria ´e x = xv = −1.
As ra´ızes s˜ao x =
−4+
√
42−4.2.(−1)
2.2
≈ 0, 2247 e x =
−4−
√
42−4.2.(−1)
2.2
≈
−2, 2247.
9
10. IMAGEM DA FUNC¸ ˜AO QUADR´ATICA
Temos dois casos:
1. a < 0: como a concavidade ´e voltada para baixo, o v´ertice ´e o maior
valor da fun¸c˜ao, o que determina que img(f) = (−∞, − ∆
4a
]
2. a > 0: como a concavidade ´e voltada para cima, o v´ertice ´e o menor
valor da fun¸c˜ao, o que implica que img(f) = [− ∆
4a
, +∞)
FUNC¸ ˜AO POLINOMIAL
A fun¸c˜ao polinomial ´e definida como:
f(x) = a0xn
+ a1xn−1
+ a2xn−2
+ · · · + an−1x + an
onde n ´e chamado de grau da fun¸c˜ao, a0, a1, . . . , an ∈ R s˜ao chamados de
coeficientes e a0 = 0. O dom´ınio da fun¸c˜ao polinomial ´e R, dom(f) = R.
10
11. Exemplos:
1. f(x) = k, com k ∈ R (fun¸c˜ao constante) - fun¸c˜ao polinomial de grau
zero (n = 0)
2. f(x) = ax + b, com a, b ∈ R (fun¸c˜ao afim) - fun¸c˜ao polinomial do 1o
grau (n = 1)
3. f(x) = ax2
+ bx + c, com a, b, c ∈ R (fun¸c˜ao quadr´atica) - fun¸c˜ao
polinomial do 2o
grau (n = 2)
4. f(x) = 2x5
− 3x2
+ 5 - fun¸c˜ao polinomial do 5o
grau (n = 5)
FUNC¸ ˜AO RACIONAL
A fun¸c˜ao racional ´e definida como a raz˜ao
f(x) =
p(x)
q(x)
onde p(x) e q(x) s˜ao polinˆomios em x e q(x) = 0.
dom(f) = {x ∈ R|q(x) = 0}
Exemplos:
a) f(x) = x−1
x+1
, com dom(f) = R − {−1}
b) f(x) = 2x
x2−9
, com dom(f) = R − {−3, 3} pois −3 e 3 s˜ao ra´ızes do
polinˆomio do denominador
CONSTRUC¸ ˜AO E AN´ALISE DO GR´AFICO DA FUNC¸ ˜AO DO
EXEMPLO
Seja f(x) = x−1
x+1
. J´a sabemos que dom(f) = R − {−1}, pois x + 1 = 0 tem
como raiz x = −1.
A fun¸c˜ao f intercepta o eixo y em (0, −1) pois f(0) = 0−1
0+1
= −1, e
intercepta o eixo x nas ra´ızes da equa¸c˜ao f(x) = 0, cuja solu¸c˜ao ´e a raiz do
numerador, x − 1 = 0, que ´e x = 1. Conclui-se que a fun¸c˜ao intercepta o
eixo x em apenas um ponto, o ponto (1, 0).
11
12. ASS´INTOTAS
Como a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida em x = −1, devemos estudar o compor-
tamento da fun¸c˜ao nas vizinhan¸cas de x = −1.
“Vizinhan¸ca” aqui denota os n´umeros que est˜ao muito pr´oximos do n´u-
mero −1, tanto `a esquerda, ou seja, para os n´umeros menores que −1, quanto
`a direita, ou seja, para os n´umeros maiores que −1. Devemos observar que
os n´umeros da vizinhan¸ca, por mais pr´oximos que estejam de −1, jamais po-
dem assumir este valor. Podemos entender a vizinhan¸ca como um caminhar
ilimitado, sobre a reta R, em dire¸c˜ao ao n´umero −1, pela esquerda ou pela
direita, sem jamais l´a chegar.
• Caminhando pela esquerda em dire¸c˜ao ao n´umero −1 (por valores me-
nores que −1): −2, −1, 5, −1, 1, −1, 01, −1, 001, . . . Chamamos isso de
aproxima¸c˜ao pela esquerda.
• Caminhando pela direita em dire¸c˜ao ao n´umero −1 (por valores maio-
res que −1): −0, 5, −0, 9, −0, 99, −0, 999, . . . Chamamos isso de apro-
xima¸c˜ao pela direita.
A seguinte tabela mostra os valores da fun¸c˜ao para a aproxima¸c˜ao pela
esquerda, para a fun¸c˜ao dada:
x f(x)
−1, 1 −1,1−1
−1,1+1
= 21
−1, 01 −1,01−1
−1,01+1
= 201
−1, 001 −1,001−1
−1,001+1
= 2001
−1, 0001 −1,0001−1
−1,0001+1
= 20001
...
...
Ou seja, quanto mais pr´oximo de −1 pela esquerda, maior o valor da
fun¸c˜ao em valor absoluto, com sinal positivo.
12
13. Isso pode ser expresso usando a nota¸c˜ao de limites:
x → −1−
⇒ f(x) → +∞
Isso pode ser lido como:“quando x se aproxima de −1 pela esquerda, isso
implica que f(x) tende para +∞”.
Ou ent˜ao, podemos usar a seguinte nota¸c˜ao:
lim
x→−1−
f(x) = +∞
Isso pode ser lido como: “o limite de f(x) quando x se aproxima de (ou
tende para) −1 pela esquerda ´e +∞”.
A seguinte tabela mostra os valores da fun¸c˜ao para a aproxima¸c˜ao pela
direita, para a fun¸c˜ao dada:
x f(x)
−0, 9 −0,9−1
−0,9+1
= −19
−0, 99 −0,99−1
−0,99+1
= −199
−0, 999 −0,999−1
−0,999+1
= −1999
−0, 9999 −0,9999−1
−0,9999+1
= −19999
...
...
Ou seja, quanto mais pr´oximo de −1 pela direita, maior o valor da fun¸c˜ao
em valor absoluto, com sinal negativo.
Isso pode ser expresso usando a nota¸c˜ao de limites:
x → −1+
⇒ f(x) → −∞
Isso pode ser lido como:“quando x se aproxima de −1 pela direita, isso
implica que f(x) tende para −∞”.
Ou ent˜ao, podemos usar a seguinte nota¸c˜ao:
lim
x→−1+
f(x) = −∞
Isso pode ser lido como: “o limite de f(x) quando x se aproxima de (ou
tende para) −1 pela direita ´e −∞”.
13
14. No gr´afico da fun¸c˜ao, estes dois limites ser˜ao percebidos como a curva da
fun¸c˜ao tangenciando a reta vertical x = −1, indo para +∞ no lado esquerdo
e para −∞ do lado direito da reta, como mostra a figura:
O n´umero −1 ´e uma descontinuidade infinita, pelo valor da fun¸c˜ao no
ponto estar indefinido e nas proximidades do ponto a fun¸c˜ao assumir valor
infinito. A reta vertical x = −1 ´e chamada de ass´ıntota vertical da fun¸c˜ao.
Isso conclui o que chamamos de an´alise de ass´ıntotas verticais.
Agora, precisamos analisar o que ocorre com a fun¸c˜ao para valores muito
grandes, tanto positivos quanto negativos. Ou seja, precisamos fazer a an´alise
do comportamento da fun¸c˜ao nos extremos do eixo x.
14
15. Vamos come¸car analisando os valores da fun¸c˜ao quando x cresce ilimita-
damente para valores positivos. A seguinte tabela mostra os valores que a
fun¸c˜ao dada assume quando x cresce para +∞:
x f(x)
10 10−1
10+1
≈ 0, 8181
100 100−1
100+1
≈ 0, 9801
1000 1000−1
1000+1
≈ 0, 998
10000 10000−1
10000+1
≈ 0, 9998
...
...
Isso sugere que o valor da fun¸c˜ao se aproxima de 1, por valores menores
que 1. Podemos usar a seguinte nota¸c˜ao para expressar isso:
x → +∞ ⇒ f(x) → 1−
Isso pode ser lido como: “quando x tende para +∞, o valor de f(x) se
aproxima de 1 por baixo”.
Ou ent˜ao, podemos usar a seguinte nota¸c˜ao:
lim
x→+∞
f(x) = 1−
Isso pode ser lido como: “o limite de f(x) quando x tende para +∞ ´e
igual a 1, com f(x) aproximando-se de 1 por baixo”.
Agora fazemos a mesma coisa para x tendendo para −∞:
x f(x)
−10 −10−1
−10+1
≈ 1, 2222
−100 −100−1
−100+1
≈ 1, 0202
−1000 −1000−1
−1000+1
≈ 1, 0020
−10000 −10000−1
−10000+1
≈ 1, 0002
...
...
15
16. Isso significa que o valor da fun¸c˜ao se aproxima de 1, por valores maiores
que 1. Podemos usar a seguinte nota¸c˜ao para expressar isso:
x → −∞ ⇒ f(x) → 1+
Isso pode ser lido como: “quando x tende para −∞, o valor de f(x) se
aproxima de 1 por cima”.
Ou ent˜ao, podemos usar a seguinte nota¸c˜ao:
lim
x→−∞
f(x) = 1+
Isso pode ser lido como: “o limite de f(x) quando x tende para −∞ ´e
igual a 1, com f(x) aproximando-se de 1 por cima”.
No gr´afico da fun¸c˜ao, estes dois limites, x → +∞ e x → −∞, ser˜ao
percebidos como a curva da fun¸c˜ao tangenciando a reta horizontal y = 1,
aproximando-se o valor da fun¸c˜ao de 1, por cima e por baixo, como mostra
a figura:
A reta horizontal y = 1 ´e chamada de ass´ıntota horizontal da fun¸c˜ao.
E isso completa a an´alise do comportamento da fun¸c˜ao nos extremos do
eixo x.
16
17. ARTICULANDO TODOS OS RESULTADOS NO GR´AFICO
Sobre a fun¸c˜ao f(x) = x−1
x+1
sabemos que ela possui uma indetermina¸c˜ao
infinita em x = −1, onde ocorre uma ass´ıntota vertical, que cruza o eixo x
em x = 1 e o eixo y em y = −1. Al´em disto, sabemos que ela possui uma
ass´ıntota horizontal em y = 1. Combinando todas as informa¸c˜oes podemos
obter facilmente o gr´afico completo da fun¸c˜ao, apresentado na imagem acima.
17