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COMPOSIC¸ ˜AO DE FUNC¸ ˜OES
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
DEFINIC¸ ˜AO
Dadas duas fun¸c˜oes f : A → B e g : B → C, a fun¸c˜ao composta de g com
f, denotada por g ◦ f, ´e definida como:
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
DOM´INIO
O dom´ınio de g ◦ f ´e o conjunto de todos os pontos de x no dom´ınio de f
tal que f(x) est´a no dom´ınio de g.
dom(g ◦ f) = {x ∈ dom(f)|f(x) ∈ dom(g)}
Uma compara¸c˜ao metaf´orica pode ser feita com um sistema de pontes e
ilhas. Na met´afora, um conjunto de pontes conecta um conjunto de ilhas. As
ilhas s˜ao os elementos nos trˆes conjuntos A, B e C, que seriam arquip´elagos, e
as pontes s˜ao as setas conectando os valores. Se uma primeira seta, partindo
de um ponto de A, digamos a, chega em um valor de B, o qual n˜ao est´a
1
conectado com nenhum valor de C (n˜ao partem setas de B para nenhum
valor de C), ent˜ao o ponto a do dom´ınio de f, no conjunto A, deve ser
retirado do dom´ınio de g ◦ f, pois n˜ao h´a um caminho conectando o ponto
a com qualquer elemento de C (ou n˜ao h´a pontes a serem atravessadas para
l´a chegar).
EXEMPLOS
A) Sejam
f(x) =
√
x f : [0, +∞) → [0, +∞)
e
g(x) = 2x − 3 g : R → R
Encontre g ◦ f, f ◦ g e dom´ınios.
1. g ◦ f
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(
√
x) = 2
√
x − 3
Determinando dom´ınios e imagens para verificar o dom´ınio de g ◦ f:
• dom(f) = [0, +∞)
• img(f) = [0, +∞)
• dom(g) = R
Como
img(f) ⊆ dom(g)
ent˜ao,
dom(g ◦ f) = dom(f) = [0 + ∞)
Neste caso, img(f) ⊆ dom(g) significa que todo f(x) na imagem de
f est´a no dom(g), ent˜ao todos os x em dom(f) est˜ao no dom(g ◦ f),
n˜ao havendo nada a descontar. Na met´afora das pontes ´e como se toda
ponte que leva de A at´e B, encontra-se em B uma ponte para levar at´e
C.
2
2. f ◦ g
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(2x − 3) =
√
2x − 3
Determinando dom´ınios e imagens para verificar o dom´ınio de f ◦ g:
• dom(g) = R
• img(g) = R
• dom(f) = [0, +∞)
Como
img(g) ⊆ dom(f)
teremos de descontar do dominio da g os valores que n˜ao satisfazem
essa rela¸c˜ao. Estes valores s˜ao os valores em que 2x − 3 < 0. Logo,
os valores do dom´ınio de g que satisfazem a rela¸c˜ao s˜ao os valores da
solu¸c˜ao de 2x − 3 ≥ 0, ou seja, x ≥ 3/2.
Concluimos que dom(f ◦ g) = [3/2, +∞).
B) Sejam f(x) = 1
x
e g(x) = 1
x−1
. Determinar f ◦ g e seu dom´ınio.
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f
1
x − 1
=
1
1
x−1
= x − 1
F´acil verificar que dom(f) = R − {0} e que dom(g) = R − {1}.
Al´em disto, observe que a fun¸c˜ao g possui uma ass´ıntota horizontal em
y = 0, j´a que a fun¸c˜ao n˜ao assume o valor zero (basta ver que o numerador
´e a constante 1). Logo, img(g) = R − {0}.
Determinando o dom´ınio de f ◦ g:
• dom(g) = R − {1}
• img(g) = R − {0}
• dom(f) = R − {0}
Como
img(g) ⊆ dom(f)
ent˜ao,
dom(f ◦ g) = dom(g) = R − {1}
3
C) Sejam f(x) = 1√
x
e g(x) = 1 − x2
. Determine f ◦ g e seu dom´ınio.
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(1 − x2
) =
1
√
1 − x2
Sabemos que dom(f) = (0, +∞) e que dom(g) = R.
A determina¸c˜ao de img(g) n˜ao ´e t˜ao direta. Podemos usar o fato de
g(x) = 1 − x2
ser uma fun¸c˜ao par, portanto com simetria em rela¸c˜ao ao eixo
y. Sabemos que se o coeficiente principal da par´abola ´e negativo, o v´ertice ´e
o maior valor do dom´ınio. Como a fun¸c˜ao apresenta simetria em rela¸c˜ao ao
eixo y, o ponto em que a curva da fun¸c˜ao intercepta o eixo y ´e o v´ertice:
g(0) = 1 − 02
= 1
Assim, o v´ertice est´a em (0, 1) e img(g) = (−∞, 1].
Outra possibilidade para determinar a imagem de g ´e esbo¸car o gr´afico
da fun¸c˜ao por transforma¸c˜ao de fun¸c˜oes e verificar as proje¸c˜oes da curva no
eixo y. Basta perceber que a fun¸c˜ao ´e uma par´abola com a concavidade para
baixo (−x2
), com uma transla¸c˜ao no eixo y para cima (+1):
Ent˜ao:
• dom(g) = R
• img(g) = (−∞, 1]
• dom(f) = (0, +∞) ou R+
4
Assim, img(g) ⊆ dom(f). Os valores do conjunto img(g) que n˜ao est˜ao no
conjunto dom(f) s˜ao aqueles determinados por 1 − x2
≤ 0. Logo, 1 − x2
> 0
´e a solu¸c˜ao para o dom´ınio da composta, ou seja, dom(f ◦ g) = (−1, 1)
Interessante ver o gr´afico da fun¸c˜ao f ◦ g para comprovar o dom´ınio cal-
culado.
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Composição de Funções

  • 1. COMPOSIC¸ ˜AO DE FUNC¸ ˜OES Prof. Dr. Carlos A. P. Campani DEFINIC¸ ˜AO Dadas duas fun¸c˜oes f : A → B e g : B → C, a fun¸c˜ao composta de g com f, denotada por g ◦ f, ´e definida como: (g ◦ f)(x) = g(f(x)) DOM´INIO O dom´ınio de g ◦ f ´e o conjunto de todos os pontos de x no dom´ınio de f tal que f(x) est´a no dom´ınio de g. dom(g ◦ f) = {x ∈ dom(f)|f(x) ∈ dom(g)} Uma compara¸c˜ao metaf´orica pode ser feita com um sistema de pontes e ilhas. Na met´afora, um conjunto de pontes conecta um conjunto de ilhas. As ilhas s˜ao os elementos nos trˆes conjuntos A, B e C, que seriam arquip´elagos, e as pontes s˜ao as setas conectando os valores. Se uma primeira seta, partindo de um ponto de A, digamos a, chega em um valor de B, o qual n˜ao est´a 1
  • 2. conectado com nenhum valor de C (n˜ao partem setas de B para nenhum valor de C), ent˜ao o ponto a do dom´ınio de f, no conjunto A, deve ser retirado do dom´ınio de g ◦ f, pois n˜ao h´a um caminho conectando o ponto a com qualquer elemento de C (ou n˜ao h´a pontes a serem atravessadas para l´a chegar). EXEMPLOS A) Sejam f(x) = √ x f : [0, +∞) → [0, +∞) e g(x) = 2x − 3 g : R → R Encontre g ◦ f, f ◦ g e dom´ınios. 1. g ◦ f (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g( √ x) = 2 √ x − 3 Determinando dom´ınios e imagens para verificar o dom´ınio de g ◦ f: • dom(f) = [0, +∞) • img(f) = [0, +∞) • dom(g) = R Como img(f) ⊆ dom(g) ent˜ao, dom(g ◦ f) = dom(f) = [0 + ∞) Neste caso, img(f) ⊆ dom(g) significa que todo f(x) na imagem de f est´a no dom(g), ent˜ao todos os x em dom(f) est˜ao no dom(g ◦ f), n˜ao havendo nada a descontar. Na met´afora das pontes ´e como se toda ponte que leva de A at´e B, encontra-se em B uma ponte para levar at´e C. 2
  • 3. 2. f ◦ g (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(2x − 3) = √ 2x − 3 Determinando dom´ınios e imagens para verificar o dom´ınio de f ◦ g: • dom(g) = R • img(g) = R • dom(f) = [0, +∞) Como img(g) ⊆ dom(f) teremos de descontar do dominio da g os valores que n˜ao satisfazem essa rela¸c˜ao. Estes valores s˜ao os valores em que 2x − 3 < 0. Logo, os valores do dom´ınio de g que satisfazem a rela¸c˜ao s˜ao os valores da solu¸c˜ao de 2x − 3 ≥ 0, ou seja, x ≥ 3/2. Concluimos que dom(f ◦ g) = [3/2, +∞). B) Sejam f(x) = 1 x e g(x) = 1 x−1 . Determinar f ◦ g e seu dom´ınio. (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f 1 x − 1 = 1 1 x−1 = x − 1 F´acil verificar que dom(f) = R − {0} e que dom(g) = R − {1}. Al´em disto, observe que a fun¸c˜ao g possui uma ass´ıntota horizontal em y = 0, j´a que a fun¸c˜ao n˜ao assume o valor zero (basta ver que o numerador ´e a constante 1). Logo, img(g) = R − {0}. Determinando o dom´ınio de f ◦ g: • dom(g) = R − {1} • img(g) = R − {0} • dom(f) = R − {0} Como img(g) ⊆ dom(f) ent˜ao, dom(f ◦ g) = dom(g) = R − {1} 3
  • 4. C) Sejam f(x) = 1√ x e g(x) = 1 − x2 . Determine f ◦ g e seu dom´ınio. (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(1 − x2 ) = 1 √ 1 − x2 Sabemos que dom(f) = (0, +∞) e que dom(g) = R. A determina¸c˜ao de img(g) n˜ao ´e t˜ao direta. Podemos usar o fato de g(x) = 1 − x2 ser uma fun¸c˜ao par, portanto com simetria em rela¸c˜ao ao eixo y. Sabemos que se o coeficiente principal da par´abola ´e negativo, o v´ertice ´e o maior valor do dom´ınio. Como a fun¸c˜ao apresenta simetria em rela¸c˜ao ao eixo y, o ponto em que a curva da fun¸c˜ao intercepta o eixo y ´e o v´ertice: g(0) = 1 − 02 = 1 Assim, o v´ertice est´a em (0, 1) e img(g) = (−∞, 1]. Outra possibilidade para determinar a imagem de g ´e esbo¸car o gr´afico da fun¸c˜ao por transforma¸c˜ao de fun¸c˜oes e verificar as proje¸c˜oes da curva no eixo y. Basta perceber que a fun¸c˜ao ´e uma par´abola com a concavidade para baixo (−x2 ), com uma transla¸c˜ao no eixo y para cima (+1): Ent˜ao: • dom(g) = R • img(g) = (−∞, 1] • dom(f) = (0, +∞) ou R+ 4
  • 5. Assim, img(g) ⊆ dom(f). Os valores do conjunto img(g) que n˜ao est˜ao no conjunto dom(f) s˜ao aqueles determinados por 1 − x2 ≤ 0. Logo, 1 − x2 > 0 ´e a solu¸c˜ao para o dom´ınio da composta, ou seja, dom(f ◦ g) = (−1, 1) Interessante ver o gr´afico da fun¸c˜ao f ◦ g para comprovar o dom´ınio cal- culado. 5