Este documento apresenta a definição de módulo ou valor absoluto nos reais e algumas de suas propriedades, como: 1) o módulo é sempre não-negativo; 2) o módulo de um número é igual à sua distância até a origem na reta real; 3) o módulo permite representar intervalos como conjuntos de números.
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
O documento discute os conceitos fundamentais de limites e derivadas. Apresenta como Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de tangente e a necessidade de reformular o conceito de traçar uma tangente a uma curva. Também discute como conceitos como variável, constante e parâmetro foram introduzidos por Leibniz, dando origem ao cálculo diferencial.
O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.
1) O documento discute limites de funções, definindo-os formalmente como a aproximação do comportamento de uma função quando sua variável se aproxima de um número real.
2) Apresenta exemplos numéricos e gráficos para ilustrar o cálculo de limites laterais esquerdo e direito.
3) Lista propriedades algébricas dos limites, como a soma, produto e quociente de limites.
O documento descreve uma aula sobre cálculo I. Nela, o professor revisa teoremas como o teorema do confronto e do anulamento e resolve exercícios, incluindo o estudo do limite quando x tende a 0 de funções como x4cos(2x) e √x2sen(π/x). Ele também discute a motivação para a definição formal de limite e visualiza elementos da definição no GeoGebra.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
1) O documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas, incluindo noções intuitivas de limite, cálculo de indeterminações do tipo 0/0, regras de derivação e aplicações da derivada.
2) A citação destaca que pequenos problemas, se resolvidos com curiosidade e criatividade, podem levar a descobertas.
3) O valor de a no problema proposto é 25.
Propriedades dos Limites
- Se L, M, a e c são números reais e n inteiro positivo, as seguintes propriedades são válidas:
1) Regra da soma e subtração: lim(f+g) = limf + limg e lim(f-g) = limf - limg
2) Regra do produto: lim(fg) = (limf)(limg)
3) Regra da divisão: lim(f/g) = (limf)/(limg) se lim g ≠ 0
4) Regra da potência: lim(f^
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
O documento discute os conceitos fundamentais de limites e derivadas. Apresenta como Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de tangente e a necessidade de reformular o conceito de traçar uma tangente a uma curva. Também discute como conceitos como variável, constante e parâmetro foram introduzidos por Leibniz, dando origem ao cálculo diferencial.
O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.
1) O documento discute limites de funções, definindo-os formalmente como a aproximação do comportamento de uma função quando sua variável se aproxima de um número real.
2) Apresenta exemplos numéricos e gráficos para ilustrar o cálculo de limites laterais esquerdo e direito.
3) Lista propriedades algébricas dos limites, como a soma, produto e quociente de limites.
O documento descreve uma aula sobre cálculo I. Nela, o professor revisa teoremas como o teorema do confronto e do anulamento e resolve exercícios, incluindo o estudo do limite quando x tende a 0 de funções como x4cos(2x) e √x2sen(π/x). Ele também discute a motivação para a definição formal de limite e visualiza elementos da definição no GeoGebra.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
1) O documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas, incluindo noções intuitivas de limite, cálculo de indeterminações do tipo 0/0, regras de derivação e aplicações da derivada.
2) A citação destaca que pequenos problemas, se resolvidos com curiosidade e criatividade, podem levar a descobertas.
3) O valor de a no problema proposto é 25.
Propriedades dos Limites
- Se L, M, a e c são números reais e n inteiro positivo, as seguintes propriedades são válidas:
1) Regra da soma e subtração: lim(f+g) = limf + limg e lim(f-g) = limf - limg
2) Regra do produto: lim(fg) = (limf)(limg)
3) Regra da divisão: lim(f/g) = (limf)/(limg) se lim g ≠ 0
4) Regra da potência: lim(f^
1) O documento discute limites de funções reais, incluindo a definição formal de limite, limites infinitos e propriedades dos limites.
2) Limites infinitos ocorrem quando uma função tende a valores infinitamente grandes ou pequenos ao se aproximar de um ponto, representados por limx→a f(x)=±∞.
3) As propriedades dos limites estabelecem como calcular limites de funções somadas, subtraídas, multiplicadas, divididas e elevadas a potências usando os limites das funções individuais.
[1] O documento descreve os passos para encontrar a assíntota vertical e esboçar o gráfico de uma função racional. [2] Primeiro, determina-se o valor da assíntota vertical resolvendo a equação do denominador igual a zero. [3] Em seguida, calculam-se os limites laterais à esquerda e à direita desse ponto para determinar o comportamento da função nesses pontos.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
1) O documento discute noções intuitivas de limites em funções matemáticas e sucessões numéricas. 2) Apresenta exemplos de cálculo de limites à direita e esquerda graficamente. 3) Discutem definições formais de limites e propriedades dos mesmos.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
O documento discute aplicações de derivadas em cálculo diferencial e integral, incluindo máximos e mínimos de funções, pontos críticos e classificação de pontos críticos. Exemplos de problemas de maximização e minimização são apresentados e discutidos os conceitos de velocidade e aceleração como derivadas de posição no tempo e velocidade no tempo, respectivamente.
Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
[1] O documento apresenta conceitos básicos de limites e derivadas de funções reais de uma variável.
[2] São definidos limites à direita e à esquerda de funções e apresentadas regras para o cálculo de limites.
[3] São explicadas a derivada por definição e apresentadas regras e tabelas de derivação para cálculo da derivada de funções elementares.
O documento discute limites infinitos e limites fundamentais em matemática superior. Aborda limites quando x se aproxima de um valor, limites quando x tende ao infinito ou menos infinito, e apresenta os limites fundamentais trigonométrico e exponencial.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
[1] A regra de L'Hôpital fornece um método para calcular limites indeterminados do tipo 0/0 e ∞/∞, derivando numerador e denominador e tomando o limite da razão das derivadas. [2] A demonstração mostra que diversos casos podem ser reduzidos a limites à esquerda quando x tende a 0, e aplica a regra nesses casos. [3] Exemplos ilustram a aplicação da regra e situações em que ela não se aplica.
1) O documento apresenta a ementa da disciplina de Física Geral ministrada no Campus Capanema da Universidade Federal Rural da Amazônia no ano de 2014, com os principais tópicos abordados, cronograma de avaliações e métodos de avaliação.
2) Os tópicos abordados incluem sistemas de medidas, mecânica newtoniana, gravitação, termodinâmica, eletromagnetismo, óptica e aplicações da física nuclear e biofísica.
3) As avaliações consistem
1. A função H(x) não tem limite quando x tende a 0, pois seus limites laterais à esquerda e à direita são diferentes.
2. O limite de (1 - 4x^2) quando x tende a -1 é -3, enquanto o limite de 3/(1+x) quando x tende a 2 é 1.
3. O limite de x sen(1/x) quando x tende a 0 é 0, embora o limite de sen(1/x) isoladamente não exista na origem.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de derivadas matemáticas, incluindo: (1) como calcular a reta tangente a uma curva no ponto P; (2) como a derivada representa a velocidade instantânea de um objeto em movimento; e (3) como a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
Este documento apresenta o Teorema do Confrronto (ou Sanduíche), que estabelece que se uma função g(x) é limitada por outras funções f(x) e h(x) e estas convergem para o mesmo limite L, então g(x) também converge para L. Ele também mostra um exemplo aplicando o teorema para calcular o limite de x^2sen(1/x^2) quando x tende a 0.
Este documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas. Discute noções intuitivas de limite, tabelas de aproximações, cálculo de indeterminações do tipo 0/0, propriedades dos limites e continuidade. Também aborda derivadas de funções, regras de derivação, derivadas de funções elementares e aplicações da derivada.
O documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas no cálculo diferencial. Aborda conceitos como limite, continuidade, derivada, máximos e mínimos de funções. Apresenta também exemplos de cálculo de limites, regras de derivação e propriedades das derivadas.
1) O documento discute limites de funções reais, incluindo a definição formal de limite, limites infinitos e propriedades dos limites.
2) Limites infinitos ocorrem quando uma função tende a valores infinitamente grandes ou pequenos ao se aproximar de um ponto, representados por limx→a f(x)=±∞.
3) As propriedades dos limites estabelecem como calcular limites de funções somadas, subtraídas, multiplicadas, divididas e elevadas a potências usando os limites das funções individuais.
[1] O documento descreve os passos para encontrar a assíntota vertical e esboçar o gráfico de uma função racional. [2] Primeiro, determina-se o valor da assíntota vertical resolvendo a equação do denominador igual a zero. [3] Em seguida, calculam-se os limites laterais à esquerda e à direita desse ponto para determinar o comportamento da função nesses pontos.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
1) O documento discute noções intuitivas de limites em funções matemáticas e sucessões numéricas. 2) Apresenta exemplos de cálculo de limites à direita e esquerda graficamente. 3) Discutem definições formais de limites e propriedades dos mesmos.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
O documento discute aplicações de derivadas em cálculo diferencial e integral, incluindo máximos e mínimos de funções, pontos críticos e classificação de pontos críticos. Exemplos de problemas de maximização e minimização são apresentados e discutidos os conceitos de velocidade e aceleração como derivadas de posição no tempo e velocidade no tempo, respectivamente.
Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
[1] O documento apresenta conceitos básicos de limites e derivadas de funções reais de uma variável.
[2] São definidos limites à direita e à esquerda de funções e apresentadas regras para o cálculo de limites.
[3] São explicadas a derivada por definição e apresentadas regras e tabelas de derivação para cálculo da derivada de funções elementares.
O documento discute limites infinitos e limites fundamentais em matemática superior. Aborda limites quando x se aproxima de um valor, limites quando x tende ao infinito ou menos infinito, e apresenta os limites fundamentais trigonométrico e exponencial.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
[1] A regra de L'Hôpital fornece um método para calcular limites indeterminados do tipo 0/0 e ∞/∞, derivando numerador e denominador e tomando o limite da razão das derivadas. [2] A demonstração mostra que diversos casos podem ser reduzidos a limites à esquerda quando x tende a 0, e aplica a regra nesses casos. [3] Exemplos ilustram a aplicação da regra e situações em que ela não se aplica.
1) O documento apresenta a ementa da disciplina de Física Geral ministrada no Campus Capanema da Universidade Federal Rural da Amazônia no ano de 2014, com os principais tópicos abordados, cronograma de avaliações e métodos de avaliação.
2) Os tópicos abordados incluem sistemas de medidas, mecânica newtoniana, gravitação, termodinâmica, eletromagnetismo, óptica e aplicações da física nuclear e biofísica.
3) As avaliações consistem
1. A função H(x) não tem limite quando x tende a 0, pois seus limites laterais à esquerda e à direita são diferentes.
2. O limite de (1 - 4x^2) quando x tende a -1 é -3, enquanto o limite de 3/(1+x) quando x tende a 2 é 1.
3. O limite de x sen(1/x) quando x tende a 0 é 0, embora o limite de sen(1/x) isoladamente não exista na origem.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de derivadas matemáticas, incluindo: (1) como calcular a reta tangente a uma curva no ponto P; (2) como a derivada representa a velocidade instantânea de um objeto em movimento; e (3) como a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
Este documento apresenta o Teorema do Confrronto (ou Sanduíche), que estabelece que se uma função g(x) é limitada por outras funções f(x) e h(x) e estas convergem para o mesmo limite L, então g(x) também converge para L. Ele também mostra um exemplo aplicando o teorema para calcular o limite de x^2sen(1/x^2) quando x tende a 0.
Este documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas. Discute noções intuitivas de limite, tabelas de aproximações, cálculo de indeterminações do tipo 0/0, propriedades dos limites e continuidade. Também aborda derivadas de funções, regras de derivação, derivadas de funções elementares e aplicações da derivada.
O documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas no cálculo diferencial. Aborda conceitos como limite, continuidade, derivada, máximos e mínimos de funções. Apresenta também exemplos de cálculo de limites, regras de derivação e propriedades das derivadas.
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Exercício de TrigonometriaClarice Leclaire
Matemática - VideoAulas Sobre Exercícios Resolvidos de Trigonometria – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor desempenho. O dispositivo também possui recursos adicionais de inteligência artificial e segurança de dados aprimorados. O lançamento do novo smartphone está programado para o final deste ano.
Profº Marcelo Santos Chaves Cálculo I (limites trigonométricos)MarcelloSantosChaves
The document provides solutions to 12 limit problems involving trigonometric functions. Each problem is solved in 3 steps or less. The solutions show that:
1) Many of the limits evaluate to simple numeric values like 1, 0, or constants like a.
2) Trigonometric limits are often solved by factorizing the expressions and applying standard trigonometric limits like lim(sinx/x) = 1 as x approaches 0.
3) More complex problems are broken down into composite limits and simplified through algebraic manipulation and properties of limits.
Visite também nosso blog:www.aulasdematematicaapoio.blogspot.com
Exercícios Resolvidos - Peça também os seus.
Assista a essa vídeo aula em nosso site :www.centroapoio.com
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
1) O documento apresenta exercícios sobre cálculo diferencial e integral, incluindo aproximações lineares, derivadas de ordem superior, máximos e mínimos.
2) É solicitado calcular derivadas, integrar funções, aproximar valores e esboçar gráficos de funções.
3) As respostas fornecem os cálculos das derivadas, aproximações dos valores solicitados e esboços dos gráficos conforme pedido nos exercícios.
1) O documento contém uma prova suplementar de matemática do 9o ano com 10 questões sobre funções do 1o e 2o grau, trigonometria e equações.
2) A primeira questão pede para representar graficamente uma relação entre dois conjuntos e determinar se é uma função, além de calcular domínio, contradomínio e conjunto imagem.
3) A segunda questão fornece uma função do 1o grau e pede para calcular os coeficientes, a lei de formação e valores de entrada e saída.
1. O documento apresenta uma série de exercícios de cálculo diferencial e integral resolvidos. Inclui determinar conjuntos de diferenciabilidade, derivadas, tangentes, aplicação do teorema de Lagrange, desenvolvimento em séries de Taylor e limites.
2. As questões abordam tópicos como derivadas de funções compostas, derivadas implícitas, aplicação de regras como a de Cauchy para calcular limites, estudos de funções como extremos, assíntotas e pontos de inflexão.
3. As respostas
O documento discute as propriedades da função exponencial, incluindo que seu domínio é R, sua imagem é R+*, e corta o eixo y no ponto (0,1). Também aborda como a função pode ser crescente ou decrescente dependendo do valor da base, e fornece exemplos de equações e inequações exponenciais.
1) O documento apresenta uma questão de múltipla escolha sobre números racionais e irracionais.
2) A questão seguinte trata de conjuntos e relações entre eles.
3) As demais questões envolvem cálculos e propriedades geométricas relacionadas a triângulos, circunferências, esferas, prisma e tetraedro regular.
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre potenciação e radiciação. Em resumo: (1) define-se potência como a multiplicação repetida de um número por si mesmo um número n de vezes, chamado de expoente; (2) radiciação é o inverso da potenciação, sendo definida a raiz n-ésima de um número; (3) apresenta propriedades e regras de sinais para potenciação e radiciação, assim como condições de existência para raízes.
O documento apresenta os conceitos de potenciação e radiciação em matemática. Explica que a potência de um número a elevado a um expoente n é o produto de a por si mesmo n vezes. Também define raiz n-ésima e apresenta propriedades como a raiz de um produto ser igual ao produto das raízes e a raiz de uma potência ser igual à potência da raiz.
Este documento é um trabalho de recuperação de matemática do 9o ano sobre equações do segundo grau, poliedros regulares e outros tópicos. O aluno deve completar 13 questões e entregar o trabalho até 22/05/2012 para avaliação. O professor disponibilizou o trabalho para ajudar o aluno a superar suas dificuldades e melhorar o aproveitamento no trimestre.
Este documento resume quatro métodos numéricos para encontrar raízes reais de funções: 1) O Método da Bisseção usa divisões sucessivas de intervalos para isolar uma raiz; 2) O Método do Ponto Fixo e 3) Método de Newton-Raphson refinam aproximações iterativamente; 4) Todos convergem para a raiz quando a função é contínua no intervalo inicial.
1. O documento é uma prova de cálculo diferencial e integral com 3 questões.
2. A primeira questão pede para determinar uma função f que satisfaça certas condições.
3. As outras duas questões pedem para calcular integral definida de funções dadas e escolher uma entre duas subquestões.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
LISTA 02 E 03 - EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 1º ANO - PROFª NEIDCriativa Niterói
Nas semanas de 21/02 a 25/02 e de 28/02 a 04/03, os alunos aprenderam sobre operações com conjuntos numéricos fundamentais como união, interseção, diferença e complementar. Eles também estudaram representações de números reais na reta numérica e diferentes tipos de intervalos numéricos.
Mat em funcoes trigonometricas sol vol1 cap9 parte 1trigono_metrico
1) Resolve exercícios de um capítulo sobre funções trigonométricas, incluindo identidades e equações trigonométricas.
2) Determina valores máximos e mínimos de funções, e valores de seno, cosseno e tangente em vários ângulos.
3) Usa identidades trigonométricas e fórmulas para resolver problemas envolvendo seno, cosseno e tangente de ângulos somados e dobrados.
1) O documento apresenta uma prova de matemática para seleção de pós-graduação em ciência da computação, contendo 20 questões de múltipla escolha sobre tópicos como funções, cálculo, lógica e geometria.
1. O documento apresenta exercícios sobre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio.
2. Os exercícios 1-6 verificam se o Teorema de Rolle pode ser aplicado em funções dadas em intervalos específicos.
3. O exercício 7 aplica o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio para calcular a velocidade média e instantânea de uma bola lançada.
Este documento contém um exercício de fixação de matemática do 9o ano com 10 questões sobre números reais e equações do segundo grau. Os alunos devem assinalar verdadeiro ou falso em questões sobre propriedades de números, determinar conjuntos solução de equações, escrever equações com raízes determinadas, resolver equações do segundo grau, calcular discriminantes e analisar tipo de raízes, e determinar valores de variáveis para que equações tenham determinadas propriedades de raízes.
A questão 1 calcula o período de oscilação de um disco suspenso por um eixo horizontal, mostrando que é mínimo quando o eixo está a uma distância R/2 do centro do disco. A questão 2 analisa o caso crítico de amortecimento para uma equação diferencial, quando γ = ω0. A questão 3 determina a solução geral para o movimento oscilatório amortecido. A questão 4 analisa a superposição de movimentos harmônicos simples perpendiculares, mostrando que gera elipses, retas ou cí
O documento resume os principais conjuntos numéricos: naturais, inteiros relativos, racionais e irracionais. Também define intervalos reais como subconjuntos dos números reais localizados entre dois números distintos a e b, podendo ser fechados, abertos ou mistos. A representação geométrica dos números reais associa cada ponto da reta real a um número real.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
Aplicação da matemática nos estudo dos terremotos e abalos sismicosEmerson Nascimento
O documento discute a aplicação da escala logarítmica na medição da intensidade de terremotos. Apresenta brevemente o contexto histórico dos logaritmos e como eles facilitam cálculos. Também descreve como as ondas sísmicas são classificadas usando a Escala de Mercalli Modificada com base nos efeitos observados.
1) O documento apresenta uma prova para o cargo de Escriturário do Banco do Brasil.
2) A prova contém 80 questões de conhecimentos básicos e específicos e um questionário de percepção sobre a prova de preenchimento não obrigatório.
3) O candidato deve ler atentamente as instruções para responder corretamente a todas as questões em até 4 horas.
1. A derivada de uma função indica a inclinação da reta tangente à curva no ponto e é dada por f'(x).
2. Exemplos de cálculo de derivadas incluem f'(x)=0 para f(x)=k, f'(x)=n.xn-1 para f(x)=xn e f'(x)=cos(x) para f(x)=sen(x).
3. Propriedades importantes são f'=u'+v' para f=u+v, f'=u'v+uv' para f=uv e f'=k.v' para f(x)=k
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
Este documento fornece o gabarito oficial de uma prova para o cargo de escriturário no Banco do Brasil, com as respostas corretas para 70 questões de conhecimentos gerais e específicos, identificadas por letras de A a E. O gabarito foi divulgado para 20 cidades de São Paulo e é válido para a opção de cargo 01 - escriturário.
Este documento apresenta instruções para a realização de uma prova para o cargo de Escriturário no Banco do Brasil. O texto informa que a prova terá 70 questões de Conhecimentos Gerais e Conhecimentos Específicos, além de instruir o candidato sobre como preencher a folha de respostas e o tempo total de 4 horas para realização da prova.
A linguagem C# aproveita conceitos de muitas outras linguagens,
mas especialmente de C++ e Java. Sua sintaxe é relativamente fácil, o que
diminui o tempo de aprendizado. Todos os programas desenvolvidos devem
ser compilados, gerando um arquivo com a extensão DLL ou EXE. Isso torna a
execução dos programas mais rápida se comparados com as linguagens de
script (VBScript , JavaScript) que atualmente utilizamos na internet
As classes de modelagem podem ser comparadas a moldes ou
formas que definem as características e os comportamentos dos
objetos criados a partir delas. Vale traçar um paralelo com o projeto de
um automóvel. Os engenheiros definem as medidas, a quantidade de
portas, a potência do motor, a localização do estepe, dentre outras
descrições necessárias para a fabricação de um veículo
1. 1
Módulo ou Valor Absoluto nos Reais
Definição
Seja x є R ; definimos o módulo de x , como sendo
x, x 0
x
x, x 0
Propriedades :
1)
2)
3)
4) Módulo visto como uma distância :
Exemplos :
a) x 9 x = 9 ; S = { -9,+9}
-9 0 +9
Observe que -9 e +9 são eqüidistantes da origem ; ou seja , resolver a equação modular
acima é determinar quais os números que distam da origem 9 unidades .
Conclusão : x representa na reta real a distância de x até a origem .
b) x 4 7 x-4 =7 ou x-4 = -7 x = 11 ou x = -3 ; S = { -3 , 11 }.
-3 4 11
Observe que -3 e 11 são equdistantes de 4 .
1
2. 2
Conclusão : x a representa a distância de x ao valor a na reta real .
4) { x є R/ x < a ( a >0 ) } = [ -a , + a ]
-a 0 +a
5 ) { x є R/ x > a ( a >0 ) } = ] - ∞ , -a ] [a,+∞[
-a 0 a
6) { x є R/ x a < k (k > 0 ) = ] a – k , a + k [
7) x x 2 para todo x real
7) Desigualdade Triangular
x y x y ; x, y R
Quando ocorre a igualdade ?
8) a b a b ; a, b R
Quando ocorre a igualdade ?
9) Um subconjunto A de é dito limitado, se existe um número L>0 de modo que
2
3. 3
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1) Resolva nos reais :
a) 2 x 3 8
b) (7 x 2) 2 6
c) (3 x 2) 2 (5 x 9) 2
d) 8x 5 5
e) 8x 5 5
f) 8x 5 5
g) 8x 5 5
h) 8x 5 5
i) (3x 7) 2 5 ( x 2) 2 3
j) (3x 7) 2 5 ( x 2) 2 3
2
k) 2 x 3x 7 8x 2 2 x 2 11x 5
Vizinhança Furada nos Reais
Definição
*
Sejam a Є R e δ Є R . Definimos a vizinhança furada de centro a e raio δ , o conjunto
V * (a, ) x R/0 x a . a ,a
Observe que d(x,a) < δ com x ≠ a em R é a vizinhança furada .
δ
x
a-δ x a a+δ R
3
4. 4
Ponto de Acumulação nos Reais
Definição
Sejam a Є R e A R .Dizemos que a é ponto de acumulação de A se e somente se toda
vizinhança furada de a contém elementos de A.
Simbolicamente : a = acm(A) sss ( 0)( x A)(0 x a ) .
Exemplos :
1) Seja A = 2,8 .
a) Verifique se 8 é ponto de acumulação de A .
δ δ
2 8
Observando a figura acima , temos que 8 = acm(A) . O mesmo fato ocorre com 2.
b) Verifique se algum valor do intervalo é ponto de acumulação de A .
δ δ
2
7 10
Logo , qualquer real no intervalo é ponto de acumulação .
c) Verifique se algum valor que não pertença ao conjunto A é ponto de acumulação de A .
2 8 11
Logo, nenhum fora do intervalo é ponto de acumulação de A
Obs : o conjunto dos pontos de acumulação de A é 2,8 .
4
5. 5
2 ) Seja A = 2,8 .
a) Verifique se 8 é ponto de acumulação .
b) Determine todos os pontos de acumulação de A .
2) O conjunto dos naturais possui ponto de acumulação ? e os inteiros ?
EXERCÍCIOS
1) O que seria o conjunto ] 0, 4 [ ] 4, 8 [ em termos de vizinhança?
2) O conjunto dos racionais tem algum elemento que seja ponto de acumulação para os naturais
e para os inteiros? E para os racionais? E para os irracionais?
3) Os naturais são pontos de acumulação para os irracionais?
4) Um ponto de acumulação tem que pertencer necessariamente ao conjunto em estudo?
5) Você está em um laboratório tentando verificar se uma determinada grandeza que está no
manual ocorre realmente na prática. O que podemos afirmar com relação aos valores
medidos em comparação com o que está no manual? (matematicamente)
1 *
6) Seja S = {x / x = ; n N }, responda:
n
a) Algum elemento do conjunto S é ponto de acm (s) justifique.
b) Algum irracional é ponto de acm (s)? Justifique.
c) 0 = acm (s)? Justifique.
1 1
7) Seja S = {x / x = ; a, b N * } . Faça um estudo dos pontos de acm (S).
a b
8) Escreva matematicamente a definição de ponto de acumulação.
m 1
9) Seja S = {x / x = } com m N. Faça um estudo dos pontos de acm (s).
m
10) Como você descreveria a definição de ponto de acumulação para o R2? E o R3? Como
seriam essas regiões?
5
6. 6
Limite da variável x
Definição:
Sejam A R e a R; dizemos que a é o limite de x sss ( >0)( x A)(0</x–a/< )e
escrevemos lim x = a ou x a .
Exemplos.
1
1) A = { x / x = ; n N }.
n2
1 1 1
Lim x = 0 pois : | x – 0 | < | |< n² > n> ; o que é sempre
n2
possível.
Pergunta: Como você mostraria que lim x não é 1 ?
( 1)n
2) A = { x / x = ; n N }, observe que lim x = 0. Justifique.
n
3) A = { x / x = n²; n N }; lim x = a, para qualquer a R. Justifique.
4n 3
4) A = { x / x = ,n N }. Mostre que lim x = 4.
n
4n 3 3 3
Prova: Seja > 0 | 4| < 4 + - 4 | < 4 4
n n n
3
n 3 .
n
5) A = { x / x = ( -1)n . n² ; n N } . Existe o lim x ?
Nota: Observe que a = acm ( A )
EXERCÍCIOS
2n 1
1) Mostre que para x = { x / x = ;n N }
n2
temos lim x = 0
2) Seja x = { x / x = ( -1)n + ( -1 )n+1 ; n N }.
Determine lim x, caso exista.
6
7. 7
2n 4
3) Seja A = { x / x = ;n lN } . Determine lim x comprovando.
n 3
LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL (Em um ponto real)
Definição:
Sejam f : A lR B lR e a lR, dizemos que o limite de f é L
lR quando x a sss ( > 0) ( 0) ( x A) (0 | x a| | f (x) L | )
e escrevemos: lim f ( x ) L
x a
L+
a = acm (A)
L
L-
x a
OBS : 1)escrever lim f ( x ) L é equivalente escrever
x a
a f ( x) L
2) é importante observar que devemos ter necessariamente
a = acm (A)
x2 4
Ex: f (x) = ;x 2
x 2
8; x 2
7
8. 8
NOTAS:
(1) Observe que a medida que nos aproximamos de 2 a função se aproxima de 4 ou seja:
x 2 x2 4
lim f ( x ) 4 ou lim 4.
f (x) 4 x 2 x 2 x 2
(2) f (2) = 8 e L = 4 ; ou seja o limite da função não é necessariamente o valor da função em x =
2.
(3) A definição de limite não serve para calcularmos o limite e sim para comprovarmos que L =
4, senão vejamos :
f (x) = x + 2 ( x 2):
Dem : | f (x) – 4 | = | x + 2 – 4 | = | x – 2 | < , ou seja se tomarmos 0 < , teremos: Seja =
0<|x–2|< |x–2|< |x+2–4|< | f (x) - 4 | < , daí lim f ( x ) 4
x 2
Como você comprova que o limite de f (x) não pode ser 5 ?
4x 2 1 1
Ex: Seja f (x) = ; Df = lR - . Determine lim f (x) e demonstre-o.
2x 1 2
1
x
2
4x 2 1 ( 2x 1) ( 2x 1)
Solução : lim lim lim ( 2 x 1) 2.
1 2x 1 1 2x 1 1
x
2 2 2
Comprovação:
1
Rascunho: | 2x + 1 – 2 | < | 2x – 1 | < x .
2 2
1
Demonstração: Seja 0 < , façamos x | 2x 1| | 2x 1 2|
2 2 2
| f (x) – 2 | < , ou seja lim f ( x ) 2.
1
x
2
EXERCÍCIOS
1) Na definição de lim f ( x ) L , a é necessariamente um ponto de acumulação para Df ? E com
x a
respeito a L ?
3) Na definição de limite, se trocarmos os quantificadores, o que aconteceria ? ou seja esta troca
alteraria o conceito de limite ?
4) Na definição de limite, se trocarmos o antecedente pelo conseqüente, no condicional; isto
cansaria algum efeito no conceito de limite ?
8
9. 9
5) Mostre que lim x 2 9.
x 3
PROPRIEDADES E TEOREMAS
Sejam f e g funções reais, tais que:
lim f (x) = L1 ; lim g (x) = L2 (L1, L2 lR). Então:
x a x a
1) lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = L1 L2
x a a a
2) lim [f (x) . g (x)] = lim f (x) . lim g (x) = L1 . L2
x a a a
f ( x) L1
3) lim (L2 0)
g ( x) L2
x a
4) lim n f ( x) n L1 (dentro do campo de existência da raiz)
a
5) lim [f (x)]n = L1n
a
6) lim logb f(x) = logb L1 (dentro do campo de existência)
x a
7) lim f ( x) k ; f ( x) k (constante)
x a
8) lim( f ( x))
g ( x)
L1L2
x a
OBS
Em geral, todas as propriedades da álgebra são válidas. (Todas demonstráveis pela definição)
9
10. 10
TEOREMA DA UNICIDADE DO LIMITE
“O limite quando existe é único” ou seja:
lim f (x) = L1
x a
Se existe o limite L1 = L2
lim f (x) = L2
x a
TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DO SINAL
Seja lim f (x) = L (L lR) , então a função conserva o sinal de L numa vizinhança
furada de a.
x a
Exemplos Resolvidos:
1) lim(5x 3) 5.2 3 13
x 2
x 4 16
2) lim
2
x 2x 4
x4 16 0
Solução: lim = ?
x2 4 0
2
(x 2 4) ( x 2 4)
lim = lim (x2 + 4) (??) lim (x2+ 4) = 8
2 2
2 (x 4)
x 1 1 0
3) lim ?
x 0 x 0
( x 1) 1 1 1
lim lim
x( x 1 1 0 x 1 1 2
0
x3 1 ( x 1) ( x 2 x 1)
2
4) lim 2x 1 = lim 2 x 1 = lim 2( x x 1) = 23 = 8.
x 1 1 1
10
11. 11
LIMITES LATERAIS
y
f
c
b
x
a
lim f (x) = c ; lim f (x) = b
x a x a
lim f (x) =c ( 0)( 0) ( x D f )(0 x – a | f (x) – L | )
x a
Observe que na figura acima: lim f (x) (?).
x a
TEOREMA:
“ lim f (x) sss lim f (x) = lim f (x) ”
x a x a x a
11
12. 12
x2 4
;x 2
x 2
Exemplo: f (x) = 6 ; x 2
2x 3; x 2
y
7
6
4
3
2 x
i ) lim f (x) = 4 ii ) lim f (x) = 7
x 2 x 2
iii ) lim f (x).
2
EXERCÍCIOS
3 2x 1 3 x 1
1) lim
x
x 0
7 x 1 7 x 1
2) lim
x 0 x
12
13. 13
xn an
3) lim
x a xp ap
x2 x 1 1
4) lim
x 0
x 1 1
x 1 14
; x 0
2x
5) f (x) = 6 ; x = 0
3
x2 x 1 1
; x 0
x
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
0+ 0– 0
6) Determine k para que exista lim f (x):
x 0
4x 1 3x 1 x 0
;
f (x) = x
2x k2 12 ; x 0
7) f (x) = x ; onde x = maior inteiro menor ou igual a x:
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
x 1 x 1
x 1
sen 2 x cos 2 x 1
8) lim
2x
x
2
9) Mostre que: lim f (x) = k para f (x) (constante), quando x a .
3
2 4 2x 1 1
10) lim
x
x 0
3
2x 1 3 x 1
11)lim
x 0
x
13
14. 14
7 x 1 7 x 1
11) lim
x 0 x
xn an
12) lim
x a xp ap
x2 x 1 1
13) lim
x 0
x 1 1
x 1 1 4
; x 0
2x
14) f (x) = 6 ; x =
3
x2 0
x 1 1
; x 0
x
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
0+ 0– 0
15) Determine k para que exista lim f (x):
x 0
4x 1 3x 1
; x 0
f (x) = x
2x k2 12 ; x 0
16) f (x) = x ; onde , x = maior inteiro menor do que x ou igual a x:
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
x 1
x 1 x 1
3
2 4 2x 1 1
17) lim
x
x 0
4x 1
18)lim
x 16 x 1
( x 1) 3 1
19)lim
x
x 0
x3 8
20)lim
x 2 (x 2 4) ( x 2)
x 2
14
15. 15
4x 1
21)lim
x 1
x 1
Notas Importantes
1)
xN aN N N P
lim a
xP aP P
quando xa
Exemplos :
1)
x7 1 7
lim
13
x 1 x 1 13
2)
1
12 x 1 1
lim 12
4 x 1 1 3
x 1
4
n
2) 1 k u k
lim ,
p u p n
quando u0
Exemplo:
61 5x 1 5
lim
x 0 x 6
LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO
1) LIMITE INFINITO NUM PONTO ( a real )
lim x a f ( x) sss ( M 0)( 0)(x V*(a, ) f(x) M)
15
16. 16
x=a
M
a- a a+
1 1
Exemplos1) lim ;2) lim
x 2 x 2 x 2 x 2
2
1
3) Não existe lim ( why ?)
x 2 x 2
16
17. 17
2) LIMITE FINITO NO INFINITO
lim x f ( x) L ( 0)( N 0)(x N f(x) V*(L, ))
y=L L+
L
N
Exemplo :
5 5
1) lim 0 . A prova é feita utilizando a definição .
x x
5 5
2)De forma análoga , temos lim 0
x x
Em geral temos :
k
0; k R
Devemos observar que o destaque acima não é uma “ igualdade matemática”
17
18. 18
1 0
2
2x 1 x
3) lim lim 2
x x 2 x 2
1 0
x
ax b a
lim ;c 0
Em geral x cx d c
4) LIMITE INFINITO NO INFINITO
lim x f ( x) ( M 0)( N 0)(x N f(x) M)
M
N
18
19. 19
5) De forma análoga , definimos :
lim x f ( x) ( M < 0)( N < 0)(x < N f(x) < M)
N
M
Exemplos
1) lim (3x 7)
x
2
2) lim (5x 8)
x
3) lim (3x 7)
x
NOTA
k .( )
; para k > 0
k .( )
E para k < 0 ?
E para k = 0 ?
19
20. 20
LIMITE DE UM POLINÔMIO NO INFINITO
n
Seja P( x) ai x i = an xn an 1xn 1
... a1x a0
i 0
an 1 an 2 a0
lim P( x) lim x n (an ... ) lim an x n ou (exclusivamente)
x x x x2 xn 1 x
0
Fato idêntico ocorre para lim P( x)
x
Obs :
1) lim P( x) a0
x 0
2) Símbolos de Indeterminação :
0 0 0
; ;0.( ); ;1 ;0 ;
0
Notas :
1)Devemos observar que os termos envolvidos nas parcelas dos símbolos de indeterminação são
funções que tendem para os valores em questão .
2) Os detalhes envolvidos serão discutidos nos exercícios em sala de aula .
20
21. 21
Quocientes de Polinômios ( x ± )
P( x)
OBJETIVO :
lim
x Q( x)
P( x) an x n an 1x n 1
... a1x a0
Onde
Q( x) bm x m bm 1x m 1
... b1x b0
P( x) an
1) n = m
lim
x Q( x) bn
P( x)
2) n < m x
lim o
Q( x)
3) n > m :
P( x) an
lim lim bm xn m
ou (exclusivamente)
x Q( x) x
Exemplos : 1)
2 x3 5x2 7x 9
lim
x 4 x 3 11x 15
5 7 9
= x 3 (2 )
x x2 x3 2 1
lim
x 11 15 4 2
x3 ( 4 )
x2 x3
21
22. 22
2)
2 x3 5 x 2 7 x 9 2 x3
lim lim
x 4 x 2 11x 15 x 4x2
1
lim ( )x
x 2
3)
2 x3 5 x 2 7 x 9 2 x3
lim lim
x 4 x 5 11x 15 x 4 x5
2 2
lim 2
0
x 4x
I ) Nos exercícios seguintes, calcule:
a) para x∞ lim f(x)
22
23. 23
x 1 x 1
x 2 4) f (x) =
1) f (x) = x x 1
x2 2
2) f (x) = x3 2 x3 2
3) f (x) = 3 x 5
b) lim f(x)
x (x 2) (2 x 7) (3x 5)
1) f (x) =
3
2x x 1
2) f (x) = x2 2x 5 x
x2 x4 1
3)f (x) =
x3 x6 1
II ) Nos exercícios seguintes, calcule:
a) para x∞ lim f(x)
x 2 x 1 x 1
5) f (x) = 8) f (x) =
2 x x 1
x 2
6) f (x) = x3 2 x3 2
7) f (x) = 3 x 5
b) para x - ∞ lim f(x)
(x 2) (2 x 7) (3x 5)
3) f (x) =
2x 3 x 1
4) f (x) = x2 2x x
x2 x4 1
5)f (x) =
x3 x6 1
23
24. 24
Função Infinitésima
Definição:
A função f é dita infinitésima em x = a (a lR ou impróprio)
sss lim f(x) = 0 ( numa vizinhança furada de a lR)
x a
Exemplo:
f (x) = x2 – 4, f é infinitésima em a = 2, pois lim (x2 – 4) = 0
quando x 2 x a
Exemplo:
1 1
f (x) = é infinitésima no infinito, pois lim = 0.
x x
x
Definição:
f:A B é limitada sss M R * tal que f (x) M; x A
Exemplo:
f : lR lR ; f ( x) senx é limitada pois –1 f (x) 1
Exemplo:
2x
f : lR lR que f (x) = é limitada em lR, pois –1 f (x) 1.
1 x2
24
25. 25
TEOREMA
Sejam f e g função reais, tais que:
i) f é infinitésima em x = a (a lR ou impróprio).
ii) g é limitada no seu domínio.
Então:
lim f (x) . g (x) = 0
x a
Exemplo 1:
1
lim [x . sen ]= 0, pois f (x) = x é infinitésima em x = 0 e
x
x 0
1
sen = g (x) é limitada.
x
1
Observe a que lim sen ( why? )
x
x 0
25
26. 26
1
A seguir , o gráfico de g(x) = sen em alguns intervalos :
x
26
27. 27
A seguir o gráfico de h(x) = x.sen(1/x) , x ≠ 0
27
30. 30
Exemplo 2:
1
lim (x – 1)2 . cos3 =0 ( why? )
x 1
x 1
1
gráficos de f(x) = (x – 1)2 . cos3 ,x≠1 :
x 1
30
31. 31
FUNÇÃO CONTÍNUA
CONCEITO
Uma função é contínua num ponto x = a ( real) quando lim f ( x) f (a ) ou seja :
x a
( 0)( 0) ( x D f ) ( | x a | | f ( x) f (a) | )
31
32. 32
CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE NUM PONTO
(i) a função deve existir no ponto ( f(a))
(ii) a função deve ter limite no ponto ( limx a f(x))
(iii) esses valores devem ser iguais (limx a f(x) = f(a))
Obs.: (i) Se uma dessas três condições não for satisfeita, dizemos que a função é
descontínua no ponto
(ii) Uma função é contínua num intervalo [a, b], quando ela é contínua em cada
ponto do interior desse intervalo ; lim x a f ( x) a e lim x b f ( x) b
Exemplos :
x2 4
se x 2
1) f(x) = x 2
5 se x 2
limx 2 f(x) = 4 e f(2) = 5 limx 2 f(x) f(2)
x2 4
se x 2
Observe que se tivéssemos f(x) = x 2
4 se x 2
A função seria contínua em x= 2 .
2)Determine k e p para que a função abaixo seja contínua em x=0 :
7 3
1 5x 1 4x
,x 0
x
f ( x) 2k 7, x 0
5 x 8 p, x 0
5 4 43
Observe que devemos ter I) lim f ( x) ; logo
x 0 7 3 21
43 43 43 43
II)f(0)=2k = k e III) lim f ( x) 8 p p
21 42 x 0 21 168
32
33. 33
LIMITES FUNDAMENTAIS
1) Limites Trigonométricos
sen
a) lim 1
0
T
M
θ
P
O A
I) 0 < θ < π/2 ( em radiano) flecha(PM) < comp(arco AM) < comp(AT)
sen θ < θ < tg θ 1/tg θ < 1/ θ < 1/sen θ cos θ < sen θ/ θ < 1 e
quando θ tende a zero , teremos pelo Teorema do Confronto que
sen sen
lim 1 . Utilizando conclusão análoga temos que II) lim 1;
0 0
sen
E consequentemente lim 1
0
Consequências :
33
34. 34
tg tg sen sen 1
b) lim 1 pois lim lim lim . 1
0 0 0 .cos 0 cos
1 cos 1
c) lim 2
pois
0 2
1 cos 1 cos 2 sen 2
lim 2
lim lim
0 0 2 (1 cos ) 0 2
(1 cos )
sen 2 1 1
lim( ) .
0 (1 cos ) 2
Exemplos :
sen(3x) sen(3x)
1) lim lim .3 3
x 0 x x 0 3x
sen7 x
sen7 x 7
2) lim lim x
x 0 sen5 x x 0 sen5 x 5
x
3) lim =1
sen
0
4) lim =1
tg
0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
sen x 0
1) lim = ?
x 0
x
sen ( x) sen
lim lim 1
x
0
sen ax a sen ax a
2) lim lim
bx b x 0 ax b
x 0
34
35. 35
tgax a
3) lim
bx b
x 0
1 cos 3x 0
4)L= lim ?
x 0 x2 0
L=9 . lim 1 cos 3x 9
2 =
x 0 (3x) 2
2) Outros Limites Fundamentais
n
1
(1) Seja f (n) = 1 ;n lN*. É possível mostrar que 2 f ( n ) < 3 e que f (n) é crescente.
n
Teorema: “f (n) é uma seqüência crescente e limitada ; logo f (n) tem limite quando n ”.
A prova deste teorema encontra-se em qualquer livro de cálculo do curso superior.
com efeito,
n n n
1 1 1 1 n(n 1) 1 1
1 1 n 1 =
k 0 2
n k 0
k n n n 2! n nn
1 1 1 1 2 n 1
=1 1 1 1 1 1
2! n n! n n n
n
1 1 1 1 1
lim n 1 e
n 0! 1! 2! 3!
n n
1 1
Conseqüência: lim 1 ; seja então L = lim 1 , log o
n n n n
1 1 1 1 1
L= e
0! 1! 2! 3! 4!
e 2,718281828459 é um número irracional ( a prova de tal fato também consta em
livros de curso superior ).
n n
Conclusão: 1 ou 1 1
lim 1 e lim 1
n n n n i 0 i!
35
36. 36
NOTAS
(1) é possível também mostrar que:
x xn x2 x3 x4
e 1 x ... com x lR.
n 0 n! 2! 3! 4!
(2) Apesar de inicialmente tomarmos f (n) com n lN*, estende-se para x lR , ou seja:
x
1
lim 1 e .
x x
x
1
(3) lim 1 e ; se não vejamos:
x x
x
x 1
lim L ; seja w = - x – 1 Logo w +
x x
w 1 w 1 w
w w w 1 1 1
L lim lim lim lim 1 . 1 e.
w w 1 w w 1 w w w
Conseqüências de (1):
1) lim 1 h 1 h e .
h 0
ah 1
2) lim lna ( a > 0 ) onde lna = loge a
h 0 h
ln (1 h)
3) lim 1
h 0 h
eh 1
4) lim 1
h 0 h
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
x
1
1) lim 1 ? 1 ( símbolo de indeterminação ).
x 3x
1
1
3x 3
1 3e .
lim 1 e3
3x
36
37. 37
2
x
x 2
2 1
2) lim 1 lim 1 e2 .
x x
2
x
3) lim 1 e . onde , lR . (Why?)
x x
ou
x
x
2
x 1
x 2 x e2
4) lim lim e.
x x 1 x e
1
1
x
5) lim ( 1 + . ) =e . (Why?)
u 0
tg x
1
6) lim 1 e (Why?)
tg x
x
2
1
7) lim 1 2tgx senx e2
x 0
1 1
8) lim x x 1 lim [ 1 ( x 1)] x 1 e
x 1 1
9) Uma população cresce 2% ao ano. Determine aproximadamente o crescimento populacional
em 1 século. ( em relação à população inicial ).
1 n
10) Seja Po a população inicial, no final de n anos temos P(n) = Po ( 1 + ) e com n = 100
50
1 100 1 50 2
P(n) = Po ( 1 + ) = Po [ ( 1 + ) ] daí P(n) Po . e² 7,38 . Po.
50 50
EXERCÍCIOS
I ) Calcule os limites indicados nos exercícios seguintes:
sen 3 x x
1) lim sen
x 0
x 2) lim 3
x 0 x
37
38. 38
3) lim
x In (1 e x
sen 3 x 18) lim
x 0
x
x 0
sen 4 x ex e x
4) lim 19) lim
x 0 7x 2x
x 0
sen 5 x
5) lim ex e x 1
x 0 sen x 20) lim
2
2x x2
x 0
sen 8 x
6) lim
x 0 sen 3 x ex e x
21) lim
x ex e x
tg x
7) lim
x 0 x ex e x
22) lim
x ex e x
tg 2 x
8) lim
x 0 x e x e x
23) lim
tg 3 x x 0 sen x sen x
9) lim
x 0 tg 5 x
31 4tgx 1
24) lim
1 cos x sen x
10) lim x 0
2
x
x 0 1 cos x
25) lim
1 sec x x 0 x
11) lim 2
0 x
x
1 cos 2 x
26) lim
sen 2 x x 0 x
12) lim
x 0x2 sen 2 x
27) lim
tg 3 x
x x 0
sen 2
2
13) lim sen x sen a
x 0 x2 28) lim
x a x a
1 cos 2 x
14) lim cos x cos a
x sen x 29) lim
x 0 x a x a
sen 3x tgx tga
15) lim 30) lim
x 2 2 x a
x 0 x a
In (1 x) 1
16) lim 31) lim x . sen
x 0 sen x x
x
In (1 e x )
17) lim
ex sen x
x 0 32) lim
x
x
38
39. 39
1 cos x
33) lim (x2 – 4) cos 38) lim
x 2 x 2 x 0
x
4x 1
1 24) lim
cos x
34) lim 2 x 16 x 1
3x
x ( x 1) 3 1
3 25) lim
x
sen x x 0
35) lim , quando x tende a zero em
x 0 x x3 8
graus; e em grados? 26) lim
x 2 (x 2 4) ( x 2)
41 tgx 31 sen x
36) lim x 2 4x 1
x 0 2 sen x 27) lim
x 1 x 1
1
37) lim cos
x 0 x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2
1) lim ( 1 3 sen 4 x ) tg 3x
x 0
e 3x e 5x
2) lim
x 0 x
32x 2 5x
3) lim
x 0 4x 3x
ln cos 3x
4) lim
x 0 ln cos 2 x
5x
2x 1
5) lim
x 2x 3
3
6) lim (1 2x x 2 ) sen 4x
x 0
7) lim x 1 x
x 0
ln (1 4 x ) ln (1 3x )
8) lim
x 0 tg 2 x
ln ( 2 9 x ) ln ( 2 7 x )
9) lim
x 0 ln (1 8x )
39
40. 40
x2
1
10) lim 1
4x
4x
1
11) lim 1
x2
1
x 2
12) lim (cos x )
x 0
ln cos ax
13) lim
x 0 ln cos bx
x 5
x 2
14) lim
x x 1
1
15) lim 1 sen 2x sen2 x sen x
x 0
16) Uma população cresce 1% ao ano. Determine o crescimento populacional em 2 séculos ( em
função da população inicial )
[( x 1) x x x 1] x
17) lim
(1 x) x2
1 1
18) lim (sen x ) x ; 19) lim (sen x ) x ; 20) lim (tg x ) tg x
x 0 x 0
x
2
40
41. 41
FUNÇÕES EQÜIVALENTES
CONCEITO
Sejam f e g funções. f e g são eqüivalentes num ponto x0 quando
f ( x)
lim x x0 1 , sendo f(x) e g(x) 0 numa V * (x0). Indica-se por f(x) g(x)
g ( x)
sen x
Ex.: lim x 0 1 sen x x
x
PROPRIEDADES
Se f1 f2 e g1 g2 em x0 , temos:
f f
(i) f1.g1 f2.g2 e 1 ~ 2
g1 g 2
(ii) f f (reflexiva)
(iii) f g g f (simétrica)
(iv) f g g h f h (transitiva)
PRINCIPAIS EQÜIVALÊNCIAS PARA “u 0”
(i) sen u u (vi) ln (1 + u) u
2
u
(ii) cos u 1 (vii) (1 + u) n 1 + nu
2
(iii) tan u xu (viii) a0 u n + a1 u n-1 + ... + ak u n-k ak u n-k
(iv) a u 1 + u.ln a (ix) arcsen u u
(v) e u 1+u (x) arctan u u
u
(xi) (a u)n ~ a n (1 n )
a
41
42. 42
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2
x 4
a) lim x 2
x 2
2 x3 5 x 2
b) lim x
7 x3 4 x 2 3x 1
x 1
c) lim x 1
x 1
x2 x
d) lim x
3x
e) lim x x2 x 1 x2 3x 1
1 2x 3
f) lim x 1
x 1
2 3
x 1 x2 1
g) lim x
4 5
x4 1 x4 1
1 1 1 1 1 1
h) lim x 0
x x x x x x
1 1 1
i) lim n
1.2 2.3 (n 1).n
n
j) limn an bn , a e b +
2) Calcule os seguintes limites:
ln(1 ax )
a) lim x 0
ln(1 bx )
arcsen2 x
b) lim x 0
arctan3x
ln(cos 3x)
c) lim x 0
ln(cos 5 x)
(1 cos x).(1 2 x)
d) lim x 0
x4 x2
sen2 x
e) lim x 1
sen5 x
n
1 3 5 2n 1
f) lim n
n 2 2n 1
1/ x
1x 2x 3x n x
g) lim x 0
n
(1 x )(1 3
x )(1 4 x )(1 n
x)
h) lim x 1
(1 x) n 1
sen x
sen x x sen x
i) lim x 0
x
42
43. 43
n
x na
j) lim x a
x a
n
n 1 2 p 2 3 ( p 1) n (n 1) ( n p 1)
k) lim n ( p 1)
np 1
cot x cota
l) lim x a
x a
1
m) limn tan n
4 n
3) Analise as descontinuidades das funções abaixo:
a) f(x) = e1 / x
sen x
se x 0
b) f(x) = | x |
3 se x 0
c) f(x) = cos x – [cos x], x [0, ]
arctan x se x 0
d) f(x) =
[ x] x [ x] se x 0
2n
lim n (cos x) se x 0
e) f(x) = 2
( 1) [ x ]
se x 0
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) Calcule os
limites abaixo
1 x 1
a) lim x 0 3 :
1 x 1
3
b) lim x x 1 x3
3
x 2 23 x 1
c) lim x 1
( x 1) 2
x
d) lim x
x x x
1 2 3 n 1
e) lim n
n2 n 2
n2 n2
2n 1
3n 1
f) lim n
2n 3n
12 22 32 n2
g) lim n
n3
h) lim n n 1 n
1 2 3 4 5 2n
i) lim n
n2 1 4n 2 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n 1).(n 2)
j) lim n
n4
43
44. 44
a2 a 4
2) Seja f(x) = x 3 . 3 x2 1 3
x 2 . Para que valores de a lim x f ( x) é finito
?
3) Calcule os seguintes limites:
sen3x
a) lim x 0
x
sen 2 5 x
b) lim x 0
4x
tan3x
c) lim x 0
sen4 x
1 cos 2 x
d) lim x 0
sen 2 x
cos x cos2 x
e) lim x 0
cos5x cos7 x
sen x tan x
f) lim x 0
x3
1
g) lim x x sen
x
1
h) lim x 0 x sen
x
1
i) lim x 0 x sen
x
xn an
j) lim x a
(ln x) n (ln a) n
x
a1 x
1/
a1/ x a1/ x
2 n
k) lim x
x
2x 1
l) lim x0
3x
e x e3 x
m) lim x 0 2 x 5 x
e e
4) Analise as descontinuidades das funções abaixo:
a) f(x) = (-1)[x]
1
se x 0
ln | x |
b) f(x) =
1 | sen x | sen x
se x 0
2 cos x | cos x |
x [ x] se x 0
c) f(x) = x[ x]
se x 0
[ x]!
1
d) f(x) = x , x R*
x
44
45. 45
21 / x 1
e) f(x) =
21 / x 1
RESPOSTAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) a) 4
b) 2/7
c) 1/2
d) -1/3
e) 2
f) 2 3 / 3
g) 1
h) 1
i) 1 – 1/n
j) max(a, b)
2) a) a/b
b) 2/3
c) 9/25
d) -1/2
e) -2/5
f) 1/e 2
g) n n !
h) 1 / n!
i) 1/ e
n
j) a / na
p 1
2
k) e
l) csc2 a
m) e
3) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto infinito
b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2
c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = /2 com salto de amplitude 1
d) contínua em R
e) descontinuidade evitável p/ x = k (k -)
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = n , n com salto de
amplitude 2
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) a) 3/2
b) 0
c) 1/9
d) 1
e) 1/2
f) 3
g) 1/3
h) 0
i) -1/3
45
46. 46
j) 1/4
2) 0 a 1
3) a) 3
b) 0
c) 3/4
d) 2
e) 1/8
f) -1/2
g) 1
h) 0
i) não existe
j) a n /(ln a ) n 1
k) n a1 a2 an
l) ln 2/3
m) 2/3
*
4) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k ) com salto de amplitude
2 |k|
b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = -1 com salto infinito
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k + /2 (k +) com saltos
infinitos
c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k Z-) com saltos de
amplitude |k|
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1
contínua p/ x 0
d) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 1/k (k Z*) com saltos de
amplitude |1/k|
descontinuidade evitável p/ x = 0
e) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2
46