Este documento apresenta a definição de módulo ou valor absoluto nos reais e algumas de suas propriedades, como: 1) o módulo é sempre não-negativo; 2) o módulo de um número é igual à sua distância até a origem na reta real; 3) o módulo permite representar intervalos como conjuntos de números.

1. 1
Módulo ou Valor Absoluto nos Reais
Definição
Seja x є R ; definimos o módulo de x , como sendo
x, x 0
x
x, x 0
Propriedades :
1)
2)
3)
4) Módulo visto como uma distância :
Exemplos :
a) x 9  x = 9 ; S = { -9,+9}
-9 0 +9
Observe que -9 e +9 são eqüidistantes da origem ; ou seja , resolver a equação modular
acima é determinar quais os números que distam da origem 9 unidades .
Conclusão : x representa na reta real a distância de x até a origem .
b) x 4 7  x-4 =7 ou x-4 = -7  x = 11 ou x = -3 ; S = { -3 , 11 }.
-3 4 11
Observe que -3 e 11 são equdistantes de 4 .
1

2. 2
Conclusão : x a representa a distância de x ao valor a na reta real .
4) { x є R/ x < a ( a >0 ) } = [ -a , + a ]
-a 0 +a
5 ) { x є R/ x > a ( a >0 ) } = ] - ∞ , -a ] [a,+∞[
-a 0 a
6) { x є R/ x a < k (k > 0 ) = ] a – k , a + k [
7) x x 2 para todo x real
7) Desigualdade Triangular
x y x y ; x, y R
Quando ocorre a igualdade ?
8) a b a b ; a, b R
Quando ocorre a igualdade ?
9) Um subconjunto A de é dito limitado, se existe um número L>0 de modo que
2

3. 3
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1) Resolva nos reais :
a) 2 x 3 8
b) (7 x 2) 2 6
c) (3 x 2) 2 (5 x 9) 2
d) 8x 5 5
e) 8x 5 5
f) 8x 5 5
g) 8x 5 5
h) 8x 5 5
i) (3x 7) 2 5 ( x 2) 2 3
j) (3x 7) 2 5 ( x 2) 2 3
2
k) 2 x 3x 7 8x 2 2 x 2 11x 5
Vizinhança Furada nos Reais
Definição
*
Sejam a Є R e δ Є R . Definimos a vizinhança furada de centro a e raio δ , o conjunto
V * (a, ) x R/0 x a . a ,a
Observe que d(x,a) < δ com x ≠ a em R é a vizinhança furada .
δ
x
a-δ x a a+δ R
3

4. 4
Ponto de Acumulação nos Reais
Definição
Sejam a Є R e A R .Dizemos que a é ponto de acumulação de A se e somente se toda
vizinhança furada de a contém elementos de A.
Simbolicamente : a = acm(A) sss ( 0)( x A)(0 x a ) .
Exemplos :
1) Seja A = 2,8 .
a) Verifique se 8 é ponto de acumulação de A .
δ δ
2 8
Observando a figura acima , temos que 8 = acm(A) . O mesmo fato ocorre com 2.
b) Verifique se algum valor do intervalo é ponto de acumulação de A .
δ δ
2
7 10
Logo , qualquer real no intervalo é ponto de acumulação .
c) Verifique se algum valor que não pertença ao conjunto A é ponto de acumulação de A .
2 8 11
Logo, nenhum fora do intervalo é ponto de acumulação de A
Obs : o conjunto dos pontos de acumulação de A é 2,8 .
4

5. 5
2 ) Seja A = 2,8 .
a) Verifique se 8 é ponto de acumulação .
b) Determine todos os pontos de acumulação de A .
2) O conjunto dos naturais possui ponto de acumulação ? e os inteiros ?
EXERCÍCIOS
1) O que seria o conjunto ] 0, 4 [ ] 4, 8 [ em termos de vizinhança?
2) O conjunto dos racionais tem algum elemento que seja ponto de acumulação para os naturais
e para os inteiros? E para os racionais? E para os irracionais?
3) Os naturais são pontos de acumulação para os irracionais?
4) Um ponto de acumulação tem que pertencer necessariamente ao conjunto em estudo?
5) Você está em um laboratório tentando verificar se uma determinada grandeza que está no
manual ocorre realmente na prática. O que podemos afirmar com relação aos valores
medidos em comparação com o que está no manual? (matematicamente)
1 *
6) Seja S = {x / x = ; n N }, responda:
n
a) Algum elemento do conjunto S é ponto de acm (s) justifique.
b) Algum irracional é ponto de acm (s)? Justifique.
c) 0 = acm (s)? Justifique.
1 1
7) Seja S = {x / x = ; a, b N * } . Faça um estudo dos pontos de acm (S).
a b
8) Escreva matematicamente a definição de ponto de acumulação.
m 1
9) Seja S = {x / x = } com m N. Faça um estudo dos pontos de acm (s).
m
10) Como você descreveria a definição de ponto de acumulação para o R2? E o R3? Como
seriam essas regiões?
5

6. 6
Limite da variável x
Definição:
Sejam A R e a R; dizemos que a é o limite de x sss ( >0)( x A)(0</x–a/< )e
escrevemos lim x = a ou x a .
Exemplos.
1
1) A = { x / x = ; n N }.
n2
1 1 1
Lim x = 0 pois : | x – 0 | < | |< n² > n> ; o que é sempre
n2
possível.
Pergunta: Como você mostraria que lim x não é 1 ?
( 1)n
2) A = { x / x = ; n N }, observe que lim x = 0. Justifique.
n
3) A = { x / x = n²; n N }; lim x = a, para qualquer a R. Justifique.
4n 3
4) A = { x / x = ,n N }. Mostre que lim x = 4.
n
4n 3 3 3
Prova: Seja > 0 | 4| < 4 + - 4 | < 4 4
n n n
3
n 3 .
n
5) A = { x / x = ( -1)n . n² ; n N } . Existe o lim x ?
Nota: Observe que a = acm ( A )
EXERCÍCIOS
2n 1
1) Mostre que para x = { x / x = ;n N }
n2
temos lim x = 0
2) Seja x = { x / x = ( -1)n + ( -1 )n+1 ; n N }.
Determine lim x, caso exista.
6

7. 7
2n 4
3) Seja A = { x / x = ;n lN } . Determine lim x comprovando.
n 3
LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL (Em um ponto real)
Definição:
Sejam f : A lR B lR e a lR, dizemos que o limite de f é L
lR quando x a sss ( > 0) ( 0) ( x A) (0 | x a| | f (x) L | )
e escrevemos: lim f ( x ) L
x a
L+
a = acm (A)
L
L-
x a
OBS : 1)escrever lim f ( x ) L é equivalente escrever
x a
a f ( x) L
2) é importante observar que devemos ter necessariamente
a = acm (A)
x2 4
Ex: f (x) = ;x 2
x 2
8; x 2
7

8. 8
NOTAS:
(1) Observe que a medida que nos aproximamos de 2 a função se aproxima de 4 ou seja:
x 2 x2 4
lim f ( x ) 4 ou lim 4.
f (x) 4 x 2 x 2 x 2
(2) f (2) = 8 e L = 4 ; ou seja o limite da função não é necessariamente o valor da função em x =
2.
(3) A definição de limite não serve para calcularmos o limite e sim para comprovarmos que L =
4, senão vejamos :
f (x) = x + 2 ( x 2):
Dem : | f (x) – 4 | = | x + 2 – 4 | = | x – 2 | < , ou seja se tomarmos 0 < , teremos: Seja =
0<|x–2|< |x–2|< |x+2–4|< | f (x) - 4 | < , daí lim f ( x ) 4
x 2
Como você comprova que o limite de f (x) não pode ser 5 ?
4x 2 1 1
Ex: Seja f (x) = ; Df = lR - . Determine lim f (x) e demonstre-o.
2x 1 2
1
x
2
4x 2 1 ( 2x 1) ( 2x 1)
Solução : lim lim lim ( 2 x 1) 2.
1 2x 1 1 2x 1 1
x
2 2 2
Comprovação:
1
Rascunho: | 2x + 1 – 2 | < | 2x – 1 | < x .
2 2
1
Demonstração: Seja 0 < , façamos x | 2x 1| | 2x 1 2|
2 2 2
| f (x) – 2 | < , ou seja lim f ( x ) 2.
1
x
2
EXERCÍCIOS
1) Na definição de lim f ( x ) L , a é necessariamente um ponto de acumulação para Df ? E com
x a
respeito a L ?
3) Na definição de limite, se trocarmos os quantificadores, o que aconteceria ? ou seja esta troca
alteraria o conceito de limite ?
4) Na definição de limite, se trocarmos o antecedente pelo conseqüente, no condicional; isto
cansaria algum efeito no conceito de limite ?
8

9. 9
5) Mostre que lim x 2 9.
x 3
PROPRIEDADES E TEOREMAS
Sejam f e g funções reais, tais que:
lim f (x) = L1 ; lim g (x) = L2 (L1, L2 lR). Então:
x a x a
1) lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = L1 L2
x a a a
2) lim [f (x) . g (x)] = lim f (x) . lim g (x) = L1 . L2
x a a a
f ( x) L1
3) lim (L2 0)
g ( x) L2
x a
4) lim n f ( x) n L1 (dentro do campo de existência da raiz)
a
5) lim [f (x)]n = L1n
a
6) lim logb f(x) = logb L1 (dentro do campo de existência)
x a
7) lim f ( x) k ; f ( x) k (constante)
x a
8) lim( f ( x))
g ( x)
L1L2
x a
OBS
Em geral, todas as propriedades da álgebra são válidas. (Todas demonstráveis pela definição)
9

10. 10
TEOREMA DA UNICIDADE DO LIMITE
“O limite quando existe é único” ou seja:
lim f (x) = L1
x a
Se existe o limite L1 = L2
lim f (x) = L2
x a
TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DO SINAL
Seja lim f (x) = L (L lR) , então a função conserva o sinal de L numa vizinhança
furada de a.
x a
Exemplos Resolvidos:
1) lim(5x 3) 5.2 3 13
x 2
x 4 16
2) lim
2
x 2x 4
x4 16 0
Solução: lim = ?
x2 4 0
2
(x 2 4) ( x 2 4)
lim = lim (x2 + 4) (??) lim (x2+ 4) = 8
2 2
2 (x 4)
x 1 1 0
3) lim ?
x 0 x 0
( x 1) 1 1 1
lim lim
x( x 1 1 0 x 1 1 2
0
x3 1 ( x 1) ( x 2 x 1)
2
4) lim 2x 1 = lim 2 x 1 = lim 2( x x 1) = 23 = 8.
x 1 1 1
10

11. 11
LIMITES LATERAIS
y
f
c
b
x
a
lim f (x) = c ; lim f (x) = b
x a x a
lim f (x) =c ( 0)( 0) ( x D f )(0 x – a | f (x) – L | )
x a
Observe que na figura acima: lim f (x) (?).
x a
TEOREMA:
“ lim f (x) sss lim f (x) = lim f (x) ”
x a x a x a
11

12. 12
x2 4
;x 2
x 2
Exemplo: f (x) = 6 ; x 2
2x 3; x 2
y
7
6
4
3
2 x
i ) lim f (x) = 4 ii ) lim f (x) = 7
x 2 x 2
iii ) lim f (x).
2
EXERCÍCIOS
3 2x 1 3 x 1
1) lim
x
x 0
7 x 1 7 x 1
2) lim
x 0 x
12

13. 13
xn an
3) lim
x a xp ap
x2 x 1 1
4) lim
x 0
x 1 1
x 1 14
; x 0
2x
5) f (x) = 6 ; x = 0
3
x2 x 1 1
; x 0
x
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
0+ 0– 0
6) Determine k para que exista lim f (x):
x 0
4x 1 3x 1 x 0
;
f (x) = x
2x k2 12 ; x 0
7) f (x) = x ; onde x = maior inteiro menor ou igual a x:
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
x 1 x 1
x 1
sen 2 x cos 2 x 1
8) lim
2x
x
2
9) Mostre que: lim f (x) = k para f (x) (constante), quando x a .
3
2 4 2x 1 1
10) lim
x
x 0
3
2x 1 3 x 1
11)lim
x 0
x
13

14. 14
7 x 1 7 x 1
11) lim
x 0 x
xn an
12) lim
x a xp ap
x2 x 1 1
13) lim
x 0
x 1 1
x 1 1 4
; x 0
2x
14) f (x) = 6 ; x =
3
x2 0
x 1 1
; x 0
x
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
0+ 0– 0
15) Determine k para que exista lim f (x):
x 0
4x 1 3x 1
; x 0
f (x) = x
2x k2 12 ; x 0
16) f (x) = x ; onde , x = maior inteiro menor do que x ou igual a x:
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
x 1
x 1 x 1
3
2 4 2x 1 1
17) lim
x
x 0
4x 1
18)lim
x 16 x 1
( x 1) 3 1
19)lim
x
x 0
x3 8
20)lim
x 2 (x 2 4) ( x 2)
x 2
14

15. 15
4x 1
21)lim
x 1
x 1
Notas Importantes
1)
xN aN N N P
lim a
xP aP P
quando xa
Exemplos :
1)
x7 1 7
lim
13
x 1 x 1 13
2)
1
12 x 1 1
lim 12
4 x 1 1 3
x 1
4
n
2) 1 k u k
lim ,
p u p n
quando u0
Exemplo:
61 5x 1 5
lim
x 0 x 6
LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO
1) LIMITE INFINITO NUM PONTO ( a real )
lim x a f ( x) sss ( M 0)( 0)(x V*(a, ) f(x) M)
15

16. 16
x=a
M
a- a a+
1 1
Exemplos1) lim ;2) lim
x 2 x 2 x 2 x 2
2
1
3) Não existe lim ( why ?)
x 2 x 2
16

17. 17
2) LIMITE FINITO NO INFINITO
lim x f ( x) L ( 0)( N 0)(x N f(x) V*(L, ))
y=L L+
L
N
Exemplo :
5 5
1) lim 0 . A prova é feita utilizando a definição .
x x
5 5
2)De forma análoga , temos lim 0
x x
Em geral temos :
k
0; k R
Devemos observar que o destaque acima não é uma “ igualdade matemática”
17

18. 18
1 0
2 
2x 1 x
3) lim lim 2
x x 2 x 2
1 0
x
ax b a
lim ;c 0
Em geral x cx d c
4) LIMITE INFINITO NO INFINITO
lim x f ( x) ( M 0)( N 0)(x N f(x) M)
M
N
18

19. 19
5) De forma análoga , definimos :
lim x f ( x) ( M < 0)( N < 0)(x < N f(x) < M)
N
M
Exemplos
1) lim (3x 7)
x
2
2) lim (5x 8)
x
3) lim (3x 7)
x
NOTA
k .( )
; para k > 0
k .( )
E para k < 0 ?
E para k = 0 ?
19

20. 20
LIMITE DE UM POLINÔMIO NO INFINITO
n
Seja P( x) ai x i = an xn an 1xn 1
... a1x a0
i 0
an 1 an 2 a0
lim P( x) lim x n (an ... ) lim an x n ou (exclusivamente)
x x x x2 xn 1 x
0
Fato idêntico ocorre para lim P( x)
x
Obs :
1) lim P( x) a0
x 0
2) Símbolos de Indeterminação :
0 0 0
; ;0.( ); ;1 ;0 ;
0
Notas :
1)Devemos observar que os termos envolvidos nas parcelas dos símbolos de indeterminação são
funções que tendem para os valores em questão .
2) Os detalhes envolvidos serão discutidos nos exercícios em sala de aula .
20

21. 21
Quocientes de Polinômios ( x ± )
P( x)
OBJETIVO :
lim
x Q( x)
P( x) an x n an 1x n 1
... a1x a0
Onde
Q( x) bm x m bm 1x m 1
... b1x b0
P( x) an
1) n = m 
lim
x Q( x) bn
P( x)
2) n < m  x
lim o
Q( x)
3) n > m :
P( x) an
lim lim bm xn m
ou (exclusivamente)
x Q( x) x
Exemplos : 1)
2 x3 5x2 7x 9
lim
x 4 x 3 11x 15
5 7 9
= x 3 (2 )
x x2 x3 2 1
lim
x 11 15 4 2
x3 ( 4 )
x2 x3
21

22. 22
2)
2 x3 5 x 2 7 x 9 2 x3
lim lim
x 4 x 2 11x 15 x 4x2
1
lim ( )x
x 2
3)
2 x3 5 x 2 7 x 9 2 x3
lim lim
x 4 x 5 11x 15 x 4 x5
2 2
lim 2
0
x 4x
I ) Nos exercícios seguintes, calcule:
a) para x∞ lim f(x)
22

23. 23
x 1 x 1
x 2 4) f (x) =
1) f (x) = x x 1
x2 2
2) f (x) = x3 2 x3 2
3) f (x) = 3 x 5
b) lim f(x)
x (x 2) (2 x 7) (3x 5)
1) f (x) =
3
2x x 1
2) f (x) = x2 2x 5 x
x2 x4 1
3)f (x) =
x3 x6 1
II ) Nos exercícios seguintes, calcule:
a) para x∞ lim f(x)
x 2 x 1 x 1
5) f (x) = 8) f (x) =
2 x x 1
x 2
6) f (x) = x3 2 x3 2
7) f (x) = 3 x 5
b) para x - ∞ lim f(x)
(x 2) (2 x 7) (3x 5)
3) f (x) =
2x 3 x 1
4) f (x) = x2 2x x
x2 x4 1
5)f (x) =
x3 x6 1
23

24. 24
Função Infinitésima
Definição:
A função f é dita infinitésima em x = a (a lR ou impróprio)
sss lim f(x) = 0 ( numa vizinhança furada de a lR)
x a
Exemplo:
f (x) = x2 – 4, f é infinitésima em a = 2, pois lim (x2 – 4) = 0
quando x  2 x a
Exemplo:
1 1
f (x) = é infinitésima no infinito, pois lim = 0.
x x
x
Definição:
f:A B é limitada sss M R * tal que f (x) M; x A
Exemplo:
f : lR lR ; f ( x) senx é limitada pois –1 f (x) 1
Exemplo:
2x
f : lR lR que f (x) = é limitada em lR, pois –1 f (x) 1.
1 x2
24

25. 25
TEOREMA
Sejam f e g função reais, tais que:
i) f é infinitésima em x = a (a lR ou impróprio).
ii) g é limitada no seu domínio.
Então:
lim f (x) . g (x) = 0
x a
Exemplo 1:
1
lim [x . sen ]= 0, pois f (x) = x é infinitésima em x = 0 e
x
x 0
1
sen = g (x) é limitada.
x
1
Observe a que lim sen ( why? )
x
x 0
25

26. 26
1
A seguir , o gráfico de g(x) = sen em alguns intervalos :
x
26

27. 27
A seguir o gráfico de h(x) = x.sen(1/x) , x ≠ 0
27

28. 28
28

29. 29
29

30. 30
Exemplo 2:
1
lim (x – 1)2 . cos3 =0 ( why? )
x 1
x 1
1
gráficos de f(x) = (x – 1)2 . cos3 ,x≠1 :
x 1
30

31. 31
FUNÇÃO CONTÍNUA
CONCEITO
Uma função é contínua num ponto x = a ( real) quando lim f ( x) f (a ) ou seja :
x a
( 0)( 0) ( x D f ) ( | x a | | f ( x) f (a) | )
31

32. 32
CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE NUM PONTO
(i) a função deve existir no ponto ( f(a))
(ii) a função deve ter limite no ponto ( limx a f(x))
(iii) esses valores devem ser iguais (limx a f(x) = f(a))
Obs.: (i) Se uma dessas três condições não for satisfeita, dizemos que a função é
descontínua no ponto
(ii) Uma função é contínua num intervalo [a, b], quando ela é contínua em cada
ponto do interior desse intervalo ; lim x a f ( x) a e lim x b f ( x) b
Exemplos :
x2 4
se x 2
1) f(x) = x 2
5 se x 2
limx 2 f(x) = 4 e f(2) = 5 limx 2 f(x) f(2)
x2 4
se x 2
Observe que se tivéssemos f(x) = x 2
4 se x 2
A função seria contínua em x= 2 .
2)Determine k e p para que a função abaixo seja contínua em x=0 :
7 3
1 5x 1 4x
,x 0
x
f ( x) 2k 7, x 0
5 x 8 p, x 0
5 4 43
Observe que devemos ter I) lim f ( x) ; logo
x 0 7 3 21
43 43 43 43
II)f(0)=2k = k e III) lim f ( x) 8 p p
21 42 x 0 21 168
32

33. 33
LIMITES FUNDAMENTAIS
1) Limites Trigonométricos
sen
a) lim 1
0
T
M
θ
P
O A
I) 0 < θ < π/2 ( em radiano)  flecha(PM) < comp(arco AM) < comp(AT) 
sen θ < θ < tg θ  1/tg θ < 1/ θ < 1/sen θ  cos θ < sen θ/ θ < 1 e
quando θ tende a zero , teremos pelo Teorema do Confronto que
sen sen
lim 1 . Utilizando conclusão análoga temos que II) lim 1;
0 0
sen
E consequentemente lim 1
0
Consequências :
33

34. 34
tg tg sen sen 1
b) lim 1 pois lim lim lim . 1
0 0 0 .cos 0 cos
1 cos 1
c) lim 2
pois
0 2
1 cos 1 cos 2 sen 2
lim 2
lim lim
0 0 2 (1 cos ) 0 2
(1 cos )
sen 2 1 1
lim( ) .
0 (1 cos ) 2
Exemplos :
sen(3x) sen(3x)
1) lim lim .3 3
x 0 x x 0 3x
sen7 x
sen7 x 7
2) lim lim x
x 0 sen5 x x 0 sen5 x 5
x
3) lim =1
sen
0
4) lim =1
tg
0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
sen x 0
1) lim = ?
x 0
x
sen ( x) sen
lim lim 1
x
0
sen ax a sen ax a
2) lim lim
bx b x 0 ax b
x 0
34

35. 35
tgax a
3) lim
bx b
x 0
1 cos 3x 0
4)L= lim ?
x 0 x2 0
L=9 . lim 1 cos 3x 9
2 =
x 0 (3x) 2
2) Outros Limites Fundamentais
n
1
(1) Seja f (n) = 1 ;n lN*. É possível mostrar que 2 f ( n ) < 3 e que f (n) é crescente.
n
Teorema: “f (n) é uma seqüência crescente e limitada ; logo f (n) tem limite quando n ”.
A prova deste teorema encontra-se em qualquer livro de cálculo do curso superior.
com efeito,
n n n
1 1 1 1 n(n 1) 1 1
1 1 n  1 =
k 0 2
n k 0
k n n n 2! n nn
1 1 1 1 2 n 1
=1 1 1  1 1  1
2! n n! n n n
n
1 1 1 1 1
lim n 1  e
n 0! 1! 2! 3!
n n
1 1
Conseqüência: lim 1 ; seja então L = lim 1 , log o
n n n n
1 1 1 1 1
L=  e
0! 1! 2! 3! 4!
e 2,718281828459 é um número irracional ( a prova de tal fato também consta em
livros de curso superior ).
n n
Conclusão: 1 ou 1 1
lim 1 e lim 1
n n n n i 0 i!
35

36. 36
NOTAS
(1) é possível também mostrar que:
x xn x2 x3 x4
e 1 x ... com x lR.
n 0 n! 2! 3! 4!
(2) Apesar de inicialmente tomarmos f (n) com n lN*, estende-se para x lR , ou seja:
x
1
lim 1 e .
x x
x
1
(3) lim 1 e ; se não vejamos:
x x
x
x 1
lim L ; seja w = - x – 1 Logo w +
x x
w 1 w 1 w
w w w 1 1 1
L lim lim lim lim 1 . 1 e.
w w 1 w w 1 w w w
Conseqüências de (1):
1) lim 1 h 1 h e .
h 0
ah 1
2) lim lna ( a > 0 ) onde lna = loge a
h 0 h
ln (1 h)
3) lim 1
h 0 h
eh 1
4) lim 1
h 0 h
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
x
1
1) lim 1 ? 1 ( símbolo de indeterminação ).
x 3x
1
1
3x 3
1 3e .
lim 1 e3
3x
36

37. 37
2
x
x 2
2 1
2) lim 1 lim 1 e2 .
x x
2
x
3) lim 1 e . onde , lR . (Why?)
x x
ou
x
x
2
x 1
x 2 x e2
4) lim lim e.
x x 1 x e
1
1
x
5) lim ( 1 + . ) =e . (Why?)
u 0
tg x
1
6) lim 1 e (Why?)
tg x
x
2
1
7) lim 1 2tgx senx e2
x 0
1 1
8) lim x x 1 lim [ 1 ( x 1)] x 1 e
x 1 1
9) Uma população cresce 2% ao ano. Determine aproximadamente o crescimento populacional
em 1 século. ( em relação à população inicial ).
1 n
10) Seja Po a população inicial, no final de n anos temos P(n) = Po ( 1 + ) e com n = 100
50
1 100 1 50 2
P(n) = Po ( 1 + ) = Po [ ( 1 + ) ] daí P(n) Po . e² 7,38 . Po.
50 50
EXERCÍCIOS
I ) Calcule os limites indicados nos exercícios seguintes:
sen 3 x x
1) lim sen
x 0
x 2) lim 3
x 0 x
37

38. 38
3) lim
x In (1 e x
sen 3 x 18) lim
x 0
x
x 0
sen 4 x ex e x
4) lim 19) lim
x 0 7x 2x
x 0
sen 5 x
5) lim ex e x 1
x 0 sen x 20) lim
2
2x x2
x 0
sen 8 x
6) lim
x 0 sen 3 x ex e x
21) lim
x ex e x
tg x
7) lim
x 0 x ex e x
22) lim
x ex e x
tg 2 x
8) lim
x 0 x e x e x
23) lim
tg 3 x x 0 sen x sen x
9) lim
x 0 tg 5 x
31 4tgx 1
24) lim
1 cos x sen x
10) lim x 0
2
x
x 0 1 cos x
25) lim
1 sec x x 0 x
11) lim 2
0 x
x
1 cos 2 x
26) lim
sen 2 x x 0 x
12) lim
x 0x2 sen 2 x
27) lim
tg 3 x
x x 0
sen 2
2
13) lim sen x sen a
x 0 x2 28) lim
x a x a
1 cos 2 x
14) lim cos x cos a
x sen x 29) lim
x 0 x a x a
sen 3x tgx tga
15) lim 30) lim
x 2 2 x a
x 0 x a
In (1 x) 1
16) lim 31) lim x . sen
x 0 sen x x
x
In (1 e x )
17) lim
ex sen x
x 0 32) lim
x
x
38

39. 39
1 cos x
33) lim (x2 – 4) cos 38) lim
x 2 x 2 x 0
x
4x 1
1 24) lim
cos x
34) lim 2 x 16 x 1
3x
x ( x 1) 3 1
3 25) lim
x
sen x x 0
35) lim , quando x tende a zero em
x 0 x x3 8
graus; e em grados? 26) lim
x 2 (x 2 4) ( x 2)
41 tgx 31 sen x
36) lim x 2 4x 1
x 0 2 sen x 27) lim
x 1 x 1
1
37) lim cos
x 0 x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2
1) lim ( 1 3 sen 4 x ) tg 3x
x 0
e 3x e 5x
2) lim
x 0 x
32x 2 5x
3) lim
x 0 4x 3x
ln cos 3x
4) lim
x 0 ln cos 2 x
5x
2x 1
5) lim
x 2x 3
3
6) lim (1 2x x 2 ) sen 4x
x 0
7) lim x 1 x
x 0
ln (1 4 x ) ln (1 3x )
8) lim
x 0 tg 2 x
ln ( 2 9 x ) ln ( 2 7 x )
9) lim
x 0 ln (1 8x )
39

40. 40
x2
1
10) lim 1
4x
4x
1
11) lim 1
x2
1
x 2
12) lim (cos x )
x 0
ln cos ax
13) lim
x 0 ln cos bx
x 5
x 2
14) lim
x x 1
1
15) lim 1 sen 2x sen2 x sen x
x 0
16) Uma população cresce 1% ao ano. Determine o crescimento populacional em 2 séculos ( em
função da população inicial )
[( x 1) x x x 1] x
17) lim
(1 x) x2
1 1
18) lim (sen x ) x ; 19) lim (sen x ) x ; 20) lim (tg x ) tg x
x 0 x 0
x
2
40

41. 41
FUNÇÕES EQÜIVALENTES
CONCEITO
Sejam f e g funções. f e g são eqüivalentes num ponto x0 quando
f ( x)
lim x x0 1 , sendo f(x) e g(x) 0 numa V * (x0). Indica-se por f(x) g(x)
g ( x)
sen x
Ex.: lim x 0 1 sen x x
x
PROPRIEDADES
Se f1 f2 e g1 g2 em x0 , temos:
f f
(i) f1.g1 f2.g2 e 1 ~ 2
g1 g 2
(ii) f f (reflexiva)
(iii) f g g f (simétrica)
(iv) f g g h f h (transitiva)
PRINCIPAIS EQÜIVALÊNCIAS PARA “u 0”
(i) sen u u (vi) ln (1 + u) u
2
u
(ii) cos u 1 (vii) (1 + u) n 1 + nu
2
(iii) tan u xu (viii) a0 u n + a1 u n-1 + ... + ak u n-k ak u n-k
(iv) a u 1 + u.ln a (ix) arcsen u u
(v) e u 1+u (x) arctan u u
u
(xi) (a u)n ~ a n (1 n )
a
41

42. 42
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2
x 4
a) lim x 2
x 2
2 x3 5 x 2
b) lim x
7 x3 4 x 2 3x 1
x 1
c) lim x 1
x 1
x2 x
d) lim x
3x
e) lim x x2 x 1 x2 3x 1
1 2x 3
f) lim x 1
x 1
2 3
x 1 x2 1
g) lim x
4 5
x4 1 x4 1
1 1 1 1 1 1
h) lim x 0
x x x x x x
1 1 1
i) lim n 
1.2 2.3 (n 1).n
n
j) limn an bn , a e b +
2) Calcule os seguintes limites:
ln(1 ax )
a) lim x 0
ln(1 bx )
arcsen2 x
b) lim x 0
arctan3x
ln(cos 3x)
c) lim x 0
ln(cos 5 x)
(1 cos x).(1 2 x)
d) lim x 0
x4 x2
sen2 x
e) lim x 1
sen5 x
n
1 3 5  2n 1
f) lim n
n 2 2n 1
1/ x
1x 2x 3x  n x
g) lim x 0
n
(1 x )(1 3
x )(1 4 x )(1 n
x)
h) lim x 1
(1 x) n 1
sen x
sen x x sen x
i) lim x 0
x
42

43. 43
n
x na
j) lim x a
x a
n
n 1 2  p 2 3  ( p 1)  n (n 1)  ( n p 1)
k) lim n ( p 1)
np 1
cot x cota
l) lim x a
x a
1
m) limn tan n
4 n
3) Analise as descontinuidades das funções abaixo:
a) f(x) = e1 / x
sen x
se x 0
b) f(x) = | x |
3 se x 0
c) f(x) = cos x – [cos x], x [0, ]
arctan x se x 0
d) f(x) =
[ x] x [ x] se x 0
2n
lim n (cos x) se x 0
e) f(x) = 2
( 1) [ x ]
se x 0
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) Calcule os
limites abaixo
1 x 1
a) lim x 0 3 :
1 x 1
3
b) lim x x 1 x3
3
x 2 23 x 1
c) lim x 1
( x 1) 2
x
d) lim x
x x x
1 2 3 n 1
e) lim n 
n2 n 2
n2 n2
2n 1
3n 1
f) lim n
2n 3n
12 22 32  n2
g) lim n
n3
h) lim n n 1 n
1 2 3 4 5  2n
i) lim n
n2 1 4n 2 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5  n.(n 1).(n 2)
j) lim n
n4
43

44. 44
a2 a 4
2) Seja f(x) = x 3 . 3 x2 1 3
x 2 . Para que valores de a lim x f ( x) é finito
?
3) Calcule os seguintes limites:
sen3x
a) lim x 0
x
sen 2 5 x
b) lim x 0
4x
tan3x
c) lim x 0
sen4 x
1 cos 2 x
d) lim x 0
sen 2 x
cos x cos2 x
e) lim x 0
cos5x cos7 x
sen x tan x
f) lim x 0
x3
1
g) lim x x sen
x
1
h) lim x 0 x sen
x
1
i) lim x 0 x sen
x
xn an
j) lim x a
(ln x) n (ln a) n
x
a1 x
1/
a1/ x  a1/ x
2 n
k) lim x
x
2x 1
l) lim x0
3x
e x e3 x
m) lim x 0 2 x 5 x
e e
4) Analise as descontinuidades das funções abaixo:
a) f(x) = (-1)[x]
1
se x 0
ln | x |
b) f(x) =
1 | sen x | sen x
se x 0
2 cos x | cos x |
x [ x] se x 0
c) f(x) = x[ x]
se x 0
[ x]!
1
d) f(x) = x , x R*
x
44

45. 45
21 / x 1
e) f(x) =
21 / x 1
RESPOSTAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) a) 4
b) 2/7
c) 1/2
d) -1/3
e) 2
f) 2 3 / 3
g) 1
h) 1
i) 1 – 1/n
j) max(a, b)
2) a) a/b
b) 2/3
c) 9/25
d) -1/2
e) -2/5
f) 1/e 2
g) n n !
h) 1 / n!
i) 1/ e
n
j) a / na
p 1
2
k) e
l) csc2 a
m) e
3) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto infinito
b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2
c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = /2 com salto de amplitude 1
d) contínua em R
e) descontinuidade evitável p/ x = k (k -)
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = n , n com salto de
amplitude 2
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) a) 3/2
b) 0
c) 1/9
d) 1
e) 1/2
f) 3
g) 1/3
h) 0
i) -1/3
45

46. 46
j) 1/4
2) 0 a 1
3) a) 3
b) 0
c) 3/4
d) 2
e) 1/8
f) -1/2
g) 1
h) 0
i) não existe
j) a n /(ln a ) n 1
k) n a1 a2  an
l) ln 2/3
m) 2/3
*
4) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k ) com salto de amplitude
2 |k|
b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = -1 com salto infinito
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k + /2 (k +) com saltos
infinitos
c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k Z-) com saltos de
amplitude |k|
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1
contínua p/ x 0
d) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 1/k (k Z*) com saltos de
amplitude |1/k|
descontinuidade evitável p/ x = 0
e) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2
46