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Relações/Funções – Nivelamento Prof. Neudson Muniz
Módulo XII
FUNÇÕES
Relações Binárias
Par ordenado: entende-se por (x,y), lê-se “par ordenado xy”, um conceito primitivo caracterizado pela igualdade:
(x;y) = (a;b)  x = a e y = b
Produto cartesiano:
A x B = {(x;y)/ x Є A e y Є B}
OBSERVAÇÂO: A x A = A²
Relação: Chama-se relação de A em B a todo subconjunto de A x B. Indica-se: R : A → B.
Estudo da função
Uma relação R : A → B será uma função de A em B, se e somente se:
• D(R) = A
• Cada elemento de x Є A se relaciona (forma par) com um único elemento B.
Notação: F : R → R, definida por y = 3x (ou f(x) = 3x), é a função que associa cada número real x com o seu triplo.
Domínio f : A → B : D(f) = A
Imagem : f : A → B : Im(f) é o conjunto dos elementos y Є B para os quais existe x Є A, tal que (x,y) Є f. Note que
Im(f) B. Acompanhe no exemplo:
f : A → B
D(f) = A = { x1; x2; x3}
Im(f) = { y1; y2; y3}
Contra-domínio: CD(f) = B
PRINCIPAIS FUNÇÕES
Função constante:
f : R → R
D(f) = R
Im(f) = {k}
Gráfico:
f(x)
k
x
Função do 1º grau:
f : R → R, definida por f(x) = a . x + b (a ≠ 0)
D(f) = R
Im(f) = R
Gráficos:
Função do 2º grau:
x1
x2
x3
y1
y2
y4
y3
y5
A
B
f : R → R, definida por f(x) = a. . x² + b . x + c
D(f) = R
Gráficos:
a> 0 a < 0
• Coordenadas do vértice:
V = ( )
• Valor máximo e valor mínimo:
Se a> 0, valor mínimo yv = - ∆
4ª
Se a< 0, valor máximo yv = - ∆
4a
• Imagem:
Se a> 0, Im(f) = {y Є R / y≥yv}
Se a< 0, Im(f) = {y Є R / y≤yv}
Função Modular:
f : R → R, definida por f(x) = x
D(f) = R
Im(f) = R+
Gráfico: f(x)
45° 45°
SINAL DAS FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAUS
Estudo do sinal da função do 1º grau: na função y = a . x + b (com a ≠ 0); fazendo y = 0 obtemos
x = -b que é o zero (ou raiz) da função.
a
Para fazer o estudo do sinal usamos o seguinte esquema:
c/a m/a
x
-b
a
Estudo do sinal da função Quadrática: na função y = a . x² + b .x = c (com a ≠ 0); temos 3 casos a considerar:
1º ∆ > 0; temos duas raízes reais distintas x1 e x2 e o seguinte esquema:
m/a c/a m/a
x
x1 x2
2º ∆ = 0; temos duas raízes reais iguais e o esquema do sinal será:
m/a m/a
x
x1 = x2
3º ∆ < 0; não temos raízes reais e aplicamos o seguinte esquema:
m/a
x
y
-b ; ∆
2a 4a
x
EXERCÍCIOS
01. Sendo A = {0, 1} e B = {2, 3}, o produto cartesiano A x B é:
a) {(0, 2), (0,3)};
b) {(0, 2), (1,3)};
c) igual ao produto B x A;
d) {(0, 2), (0,3), (1, 2), (1,3)};
e) constituído de 8 pares ordenados distintos.
02. (CESGRANRIO) Sejam F = {1, 2, 3, 4} e G = {3, 4, 7}, então:
a) F x G tem 12 elementos;
b) G x F tem 9 elementos;
c) F ∪ G tem 7 elementos;
d) F ∩ G tem 3 elementos;
e) (F ∪ G) ∩ F = ∅.
03. Sendo A = [1, 2] e B = [0, 1], a representação de A x B no plano cartesiano é:
04. O gráfico abaixo representa o conjunto:
a) ]1, 3] x {1, 2, 3};
b) [1, 3] x ]1, 3];
c) {2, 3} x ]1, 3];
d) {1, 2, 3} x {2, 3};
e) {1, 2, 3} x ]1, 3].
05.(UFBA) Sendo R = {x ∈ N  x < 5} e S = {x ∈ Z  –3 < x < 1}, o gráfico cartesiano de R x S é:
06. (U. E. LONDRINA) Em R x R, sejam (2m + n; m – 4) e (m + 1; 2n) dois pares ordenados iguais. Então mn
é igual
a:
a) –2
b) 0
c)
2
1
d) 1
e) 2
07. (U.E.C.) Se P = {1, 2, 5, 7, 8}, então o número de elementos do conjunto W = {(x, y) ∈ P2
; x < y} é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
08. (CESGRANRIO) Seja Z o conjunto dos inteiros, sejam ainda os conjuntos A = {x ∈ Z  –1 < x ≤ 2} e B = {3,
4, 5}. Então, se D = {(x, y) ∈ A x B  y ≥ x + 4}, tem-se que:
a) D = A x B;
b) D tem dois elementos;
c) D tem um elemento;
d) D tem três elementos;
e) as quatro afirmativas anteriores são falsas.
09. (PUC–SP) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função ou aplicação de A em B quando
todo o elemento de
a) B é imagem de algum elemento de A;
b) B é imagem de um único elemento de A;
c) A possui somente uma imagem em B;
d) A possui no mínimo uma imagem em B;
e) A possui somente uma imagem em B e vice-versa.
10. Dados os diagramas:
podemos afirmar que:
a) I, II e IV representam funções de A em B;
b) I, III e IV representam funções de A em B;
c) I e IV representam funções de A em B;
d) IV não representa função de A em B;
e) todos representam funções de A em B.
11. (UFRG) Sendo A = {1, 2} e B = {3, 4}, então, podemos definir, no máximo:
a) uma função de A em B;
b) duas funções de A em B;
c) três funções de A em B;
d) quatro funções de A em B;
e) cinco funções de A em B.
12. (FUVEST) f: R → R associa a x o número 2
x1
1
+
. Quanto vale f ( )4
7 ?
a) 1 – 7 ;
b)
6
17 −
;
c)
8
17 −
;
d) 1–
7
7
;
e) 0,0 714285 .
13. (FUVEST) As funções f e g são dadas por f(x) =
5
3
x – 1 e g(x) =
3
4
x + a.
Sabe-se que f(0) – g(0) =
3
1
. O valor de f(3) – 3g 





5
1
é:
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 3;
e) 4.
14. Sendo f: R → R definida por f(x) = 2x
, é correto afirmar que:
a) f(0) = 0;
b) f(1) = f(–1);
c) f(1) + f(0) = f(2);
d) f(0) . f(2) = 4;
e) f(1) + f(2) + f(3) = 10.
15. (MACK-SP) Uma função real f do 1º grau é tal que f(0) = 1 + f(-1) e f(-1) = 2 – f(0). Então f(3) é:
a) –3;
b) 9/2;
c) –1
d) 0
e) 7/2
16. Se f : R → R é definida por f(x) =
2x
1x
2
+
−
, então:
a) existem dois valores distintos de x para os quais f(x) = 0;
b) existe x ∈ R tal que f(x) = 1;
c) o número 2 não pertence à imagem de f;
d) o número
4
1
pertence à imagem de f;
e) (f – 1) = –2
17. Se f : N → N é tal que:
f(n) =





+
ímparénse
2
1n
parésen,
2
n
, temos que:
a) f(0) = 0 e f(3) = 1;
b) a imagem de f é o conjunto dos naturais ímpares;
c) os números 2, 3 e 5 não pertencem à imagem de f;
d) existem números naturais distintos p e q tais que f(p) = f(q);
e) existem números naturais distintos p e q tais que f(p) = f(q) = 0.
18. (UFBA) Sendo P = {1, 2, 3}, o conjunto imagem de R = {(x, y) ∈ P x P  y = x + 1} é:
a) {1, 2, 3};
b) {2, 3, 4};
c) {2, 3};
d) {1, 2};
e) {1, 3}.
19. (CESGRANRIO) Seja f: R → R uma função. O conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de f com uma reta
vertical:
a) possui exatamente dois elementos;
b) é vazio;
c) é não enumerável;
d) possui, pelo menos, dois elementos;
e) possui um só elemento.
20. (GV-SP) Duas curvas A e B se interceptam nos pontos (0, 3) e (0, -3). Assinale, dentre as afirmações abaixo, a
correta:
a) A e B podem ser representações gráficas de funções;
b) somente A ou B poderá ser a representação gráfica de uma função;
c) nem A nem B poderá ser a representação gráfica de uma função;
d) A ou B é a representação gráfica da função dada por y2
= 9 – x2
;
e) A ou B é a representação gráfica da função dada por x = 0.
21. O diagrama seguinte representa uma função f do intervalo [1, 3] em R.
Quanto à imagem de f é correto afirmar que:
a) Im(f) = [1, 4];
b) Im(f) = [2, 3];
c) Im(f) = ]1, 4[;
d) Im(f) = ]2, 3[;
e) Im(f) = [1, 3];
22. (PUC-SP) Para a função cujo gráfico é;
podemos dizer que:
a) O domínio é R;
b) O conjunto imagem é R;
c) O domínio é o conjunto R – {a};
d) O conjunto imagem é {x ∈ R  a < x < b};
e) O conjunto imagem é {x ∈ R  0 < x < b}.
23. (CESESP-PE) Considere a função polinomial do primeiro grau f(x) = ax + b (a ≠ 0). Qual dentre as seguintes
alternativas é a verdadeira?
a) se b > 0, então a função é crescente;
b) se b < 0, então a função é decrescente;
c) se a > -1, então a função é crescente;
d) se a < 1, então a função é decrescente;
e) se a > 0, então a função é crescente.
24. O gráfico da função f(x) = ax + b é o seguinte:
Pode-se dizer que as constantes a e b valem, respectivamente:
a) –2 e 2;
b) 2 e –2;
c) 1 e 2;
d) 2 e –1;
e) 1 e –2.
25. (VUNESP) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos
colocados por ele num gráfico, resulta a figura ao lado. Se for mantida sempre esta relação entre tempo e altura, a
planta terá, no 30º dia, uma altura igual a:
a) 5cm
b) 6cm
c) 3cm
d) 15cm
e) 30cm
26. (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é:
27. (UFBA) Esboçar o gráfico de:
f(x) =



>
≤≤−
5,2xpara,5,2
5,2x1para,x
28. (FUVEST) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do equador), em função
da profundidade:
Profundidade Superfície 100 m 500 m 1000 m 3000 m
Temperatura 27ºC 21ºC 7ºC 4ºC 2,8ºC
Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas das medições feitas para a
profundidade de 400 m é de:
a) 16 ºC
b) 14 ºC
c) 12,5 ºC
d) 10,5 ºC
e) 8 ºC
29. (U.C.SALVADOR) Considere a função f, de R em R, dada por f(x) = 4x – x2
. Representando-a graficamente no
plano cartesiano, obteremos:
30. (UFMG) O gráfico da função quadrática y = ax2
+ bx + c é:
Pode-se afirmar que:
a) a > 0, b = 0, c < 0
b) a > 0, b = 0, c > 0
c) a > 0, b > 0, c = 0
d) a < 0, b = 0, c > 0
e) a < 0, b < 0, c = 0
31. (UFPE) O gráfico abaixo representa a função real f(x) = bx2
+ ax + c é:
Assinale a única alternativa correta.
a) b2
– 4ac > 0 e a > 0
b) a2
– 4bc > 0 e b > 0
c) a2
– 4bc > 0 e b < 0
d) b2
– 4ac > 0 e a < 0
e) a < 0 e c = 0
32. (CESGRANRIO) O gráfico do trinômio do 2º grau ax2
– 10x + c é o da figura:
Podemos concluir que:
a) a = 1 e c = 16;
b) a = 1 e c = 10;
c) a = 5 e c = –9;
d) a = –1 e c = 10;
e) a = –1 e c = 16.
33. (UFBA) Em um reservatório de água, o nível y varia com o tempo t, contado em horas a partir da meia-noite,
conforme a função y = –1,3t2
+ 7,8t – 4,2.
O instante em que o reservatório está mais cheio é:
a) 1 h 18 min;
b) 1 h 30 min;
c) 3 h;
d) 6 h;
e) 7 h 48 min.
34. (UFMG) O gráfico da função quadrática y = ax2
+ bx + c, a ≠ 0, tem (5, 3) como ponto mais próximo do eixo das
abscissas e passa pelo ponto (1, 4).
Todas as afirmativas sobre essa função estão corretas, exceto:
a) A função não tem raízes reais.
b) Obrigatoriamente se tem a > 0.
c) O eixo da simetria do gráfico é a reta x = 5.
d) O gráfico passa pelo ponto (9, 4).
e) O gráfico corta o eixo dos y no ponto 





3
11
,0 .
35. (VUNESP) Uma função quadrática tem o eixo dos y como eixo de simetria. A distância entre os zeros da função é
de 4 unidades, e a função tem –5 como valor mínimo. Esta função quadrática é:
a) y = 5x2
– 4x – 5
b) y = 5x2
– 20
c) y =
4
5
x2
– 5x
d) y =
4
5
x2
– 5
e) y =
4
5
x2
– 20
36. (UFSE) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = –2x2
– x é uma parábola cujo vértice é o ponto:
a) 





−−
2
1
;
4
1
b) 





−
2
1
;
4
1
c) 





−−
8
1
;
4
1
d) 





8
1
;
4
1
e) 





−
8
1
;
4
1
37. (UNESP) Seja m ∈ R. Se o maior valor numérico de y = mx2
– 2x + m –1, para x ∈ R, é 3, então:
a) m = 1 – 2 ;
b) m = –1 – 8 ;
c) m = –2 + 2 ;
d) m = –1 ± 2 ;
e) n.d.a.
38. (UFBA) O conjunto imagem da função f(x) = 3x2
+ 6x – 2 é:
a) {y ∈ R  y ≥ 20};
b) {y ∈ R  y ≥ –10};
c) {y ∈ R  y ≥ –5};
d) {y ∈ R  y ≥ –2};
e) {y ∈ R  y ≥ 1}.
39. (PUC-SP) A função f : R → R, dada por y = –2x2
+ 10x – 12, admite como conjunto imagem o conjunto:
a) {y ∈ R  y ≤ 1/2};
b) {y ∈ R  y ≥ 1/2};
c) {y ∈ R  y ≤ 5/2};
d) {y ∈ R  y ≥ 5/2};
e) {y ∈ R  y > 0}.
40. Dar a imagem da função f : [–1; 3] → R, dada por f(x) = x2
+ 1.
41. (CESGRANRIO) Os gráficos de f(x) = x e g(x) = x2
– 1 têm dois pontos em comum. Determinar a soma das
abcissas dos pontos em comum.
42. (UFMG) Se f(x) = 1 – x – 1 para x ∈ [0; 2], esboçar o gráfico de f(x).
43. (ITA-SP) Considere a equação x= x – 6. Com respeito à solução real desta equação podemos afirmar que:
a) A solução pertence ao intervalo [1; 2];
b) A solução pertence ao intervalo [–2; –1];
c) A solução pertence ao intervalo ] –1; 1 [;
d) A solução pertence ao complementar da união dos intervalos anteriores;
e) A equação não tem solução.
44. (PUC-RS) Esboçar o gráfico da função f : R ⇒ R, dada por f(x) = x –1.
45. (FGV) Dado f(x) = 2x2
+ 7x – 15, assinale a afirmativa falsa:
a) f(0) = – 15;
b) f 





2
3
= f(–5) = 0;
c) A função atinge um máximo quando x = 7/8;
d) f(–1) = – 20;
e) se f(x) =0, então x = 3/2 ou x = –5
46. (PUC) O gráfico da função quadrática f(x) = x2
+ ax + 3 passa pelo ponto P (1; 2). Logo:
a) a = –1;
b) a = 3;
c) a = 2;
d) a = 1;
e) a = –2.
47. (CESGRANRIO) Os gráficos de f(x) = x e g(x) = x2
–1 têm dois pontos em comum. A soma das abcissas dos
pontos em comum é:
a) 5 ;
b) 1;
c) –1;
d) – 5 ;
f) 0.
48. (FATEC) Se f: R → R é a função definida por
r(x) =



−∈−
∈
.QRxse,x1
Qxse,1
2
então, f 





+−−





10
3
f3)21(f
2
1
é igual a:
a) 6 – 2 2 ;
b) 7 – 2 2 ;
c)
4
11
+ 2 ;
d) 5 – 2 2 ;
e) 2 2 .
49. (MACK) O vértice da parábola y = x2
+ kx + m é o ponto V(–1; –4). O valor de k + m é:
a) –2;
b) –1;
c) 0;
d) 1;
e) 2.
50. (UFBA) Sendo f(x) = 100x + 3, o valor de 38
38
1010
)10(f)10(f
−
−
−
−
é:
a) 104
;
b) 102
;
c) 10;
d) 10-5
;
e) 10-11
.
51. (FAAP) Que tipo de curva representa a função: y = tx2
+ x + 1 se:
a) t = 0
b) t ≠ 0
52. (CESESP-PE) Assinale a alternativa correspondente aos valores de x, para os quais a função f: R → R 
f(x) = –
4
1
3
x2
+ é sempre negativa:
a) ∀x ∈ R;
b) x ≥
8
3
;
c) x >
8
3
;
d) x ≠ 0;
e) ∃x ∈ R .0
4
1
3
x2
<+−
53. A função f(x) = ax + b, com a > 0, é:
a) positiva, se x < –
a
b
;
b) negativa, se x > –
a
b
;
c) decrescente;
d) positiva, se x > –
a
b
;
e) nula para x = – a.
54. (UFPA) O gráfico da função quadrática y = x2
+ px + q tem uma só intersecção com o eixo dos x. Então os valores
de p e q obedecem à relação:
a) q = p2
/4
b) q2
= p/2
c) q = –p2
/4
d) q2
= 4p
e) q2
= –4p
55. (PUC-SP) O trinômio –x2
+ 3x – 4;
a) é positivo para todo número real x;
b) é negativo para todo número real x;
c) muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais;
d) é positivo para 1 < x < 4;
e) é positivo para x < 1 ou x > 4.
56. (CESESP-PE) Seja f a função quadrática definida por f(x) = –3x2
+ 6x – 3. Qual dentre as seguintes alternativas é
a verdadeira?
a) Qualquer que seja o valor atribuído a x, a função toma sempre um valor menor ou igual a zero;
b) A função toma valores positivos para os valores de x tais que –2 < x < 1;
c) A função toma valores positivos para os valores de x tais que x < –2 ou x > 1;
d) Para qualquer valor atribuído a x, a função toma sempre um valor maior ou igual a zero;
e) A função toma valores negativos apenas para os valores de x tais que –1 < x < 1.
57. A condição necessária e suficiente para que a função quadrática f(x) = ax2
+ bx + c, com a > 0, seja positiva para
qualquer valor real de x é:
a) ∆ = b2
– 4ac = 0;
b) ∆ = b2
– 4ac > 0;
c) ∆ = b2
– 4ac < 0;
d) c < 0;
e) b = 0 e c < 0.
58. (VUNESP) A equação cujo gráfico está inteiramente abaixo do eixo dos x é:
a) y = 2x2
– 4x – 5
b) y = –x2
+ 4x
c) y = x2
– 10
d) y = –x2
+ 5
e) y = –2x2
+ 4x – 4
59. (U.E.BA) O trinômio y = –2x2
+ 3x – 1 é:
a) negativo, ∀x ∈ R
b) positivo se x ≠ 1 e x ≠ ½
c) negativo se –1 < x < 1
d) positivo se ½ < x < 1
e) negativo se x > – ½
60. (CESGRANRIO) O conjunto solução da inequação x2
– 3x < 10 é:
a) ]–∞, –2[;
b) ] –∞, –2[U]5, + ∞[;
c) ] –2, 5[;
d) ]0, 3[;
e) ]3, 10[.
61. (PUC-SP) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio P(x) = mx2
+ 2(– m – 2)x + m2
+ 4 é
negativo quando x = 1?
a) 1 < m < 2;
b) –1 < m < 2;
c) –5 < m < –4
d) –3 < m < 2;
e) 0 < m < 1.
62. (PUC-SP) Se A = {x ∈ R  x2
– 3x + 2 ≤ 0} e B = {x ∈ R  x2
– 4x + 3 > 0}, então A ∩ B, onde B é o
complementar de B em relação a R, é igual a:
a) {2};
b) {x ∈ R  2 < x ≤ 3};
c) vazio;
d) {x ∈ R  1 ≤ x ≤ 3};
e) {x ∈ R  1 ≤ x ≤ 2}.
63. (FGV-SP) Se A = {x ∈ R  3x – 2x2
≥ 0}, B = {x ∈ R  1 ≤ x ≤ 3} e C = {x ∈ R  x2
– x – 2 ≤ 0}, então (A ∪
B) ∩ C é:
a) {x ∈ R  –1 ≤ x ≤ 3};
b) {x ∈ R  0 ≤ x ≤ 2};
c) {x ∈ R  1 ≤ x ≤ 3/2};
d) {x ∈ R  –1 ≤ x ≤ 0 ou 3/2 ≤ x ≤ 2};
e) {x ∈ R  –1 ≤ x ≤ 2}.
64. O sistema de inequações



≥+−
−≥−
02x3x
1x3x2
2 é satisfeito por todo o número real x tal que:
a) x ≤ 1;
b) x ≤ –1 ou x ≥ 0;
c) x ≥ 2;
d) x ≤ –1;
e) x ≥ –2.
65. (UNESP) A sentença 2x + 3 < 3x + 2 < 3x + 1;
a) é verdadeira, ∀ x ∈ R;
b) é falsa, ∀ x ∈ R;
c) é verdadeira para x ∈ ] – ∞, 0];
d) é verdadeira para x ∈ [0, + ∞[;
e) é falsa somente para x ∈ [–1, 1].
66. Se (x – 1) (x – 2) (x – 3) > 0, então:
a) x < 1 ou x > 3;
b) x < 1 ou 2 < x < 3;
c) x > 1;
d) 1 < x < 2 ou x > 3;
e) x < 3.
67. (FGV-SP) Sendo A o conjunto solução da inequação (x2
– 5x) ( x2
– 8x + 12) < 0, assinale a alternativa correta:
a) {x ∈ R  0 < x < 3} ⊂ A;
b) o ∈ A;
c) 5,5 ∈ A;
d) –1 ∈ A;
e)
2
9
∈ A
68. (UnB) A inequação –x3
+ 2x2
> – 3x, onde x é uma variável real, é satisfeita:
a) para os x reais tais que –1 < x < 3 e apenas estes;
b) para os x reais tais que x < –1 ou x > 3 e apenas estes;
c) para os x reais tais que 0 < x < 3 e apenas estes;
d) n.d.a.
69. (UNESP) Seja A = {x ∈ R  (x – 1)2
x > x}. Então:
a) A = R – {1};
b) A = ]2, + ∞[;
c) A = R – {0};
d) A = [1, + ∞[;
e) n.d.a.
70. (PUC-SP) Os valores de x que verificam
2x
6x5x 2
−
+−
< 0 são expressos por:
a) x < 3;
b) 2 < x < 3;
c) x < 2 ou x > 3
d) x ≠ 2;
e) x < 3 e x ≠ 2.
71. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS-SP) Os valores de x que satisfazem à inequação
2x
2x3x2 2
−
++−
≤ 0 são
tais que:
a) x ≤ –
2
1
;
b) x > 2;
c)
2
1
≤ x < 2
d) x ≤ –
2
1
ou x > 2;
e) x ≥ –
2
1
e x ≠ 2.
72. (UFSE) Os valores de x que satisfazem a inequação
1x
1x
+
−
< 1 são tais que:
a) x < –1;
b) x < 0;
c) x > –1;
d) x > 0;
e) x > 1.
73. (FUVEST) Resolva 2x – 3 + 5 





+1
x
1
≤ 1
74. (UFMG) O conjunto de todos os valores de x que satisfazem à desigualdade
x
1
1x
1
>
+
é:
a) vazio;
b) {x ∈ R  x < –1};
c) {x ∈ R  x > 1};
d) {x ∈ R  –1 < x < 0};
e) o conjunto R dos números reais.
75. (UNESP) Sejam A =








>
−
−∈ 1
3x
1
x
1
Rx então:
a) A = {x ∈ Rx < 0 ou x > 3};
b) A = {x ∈ R–3 < x < 0};
c) A = {x ∈ Rx < –3 ou x > 0};
d) A = {x ∈ R0 < x < 3};
e) n.d.a.
76. (MACKENZIE-SP) Se f e g são funções reais dadas por f(x) = x – 1 e g(x) = x2
+ 1, então g(f(2)) é:
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 3;
e) 4.
77. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS-SP) Dadas as funções reais f(x) = 1 – 2x e g(x) = 2x + k, o valor de k de
modo que f[g(x)] = g[f(x)] é:
a) –3;
b) –1;
c) –
3
1
;
d)
3
1
;
e) 1.
78. (FUVEST) Se f: R → R é da forma f(x) = ax + b e verifica f (f(x)) = x + 1 para todo x real, então a e b valem
respectivamente:
a) 1 e
2
1
;
b) –1 e
2
1
;
c) 1 e 2;
d) 1 e –2;
e) 1 e 1.
79. (FGV-SP) Sejam f e g funções reais tais que f(x) = x2
+ 1 e g(y) =
y
1
. Então f(g(2)) é igual a:
a) 0;
b)
4
5
;
c)
5
2
;
d)
2
5
e)
5
1
80. (FGV) Se A = {x ∈ R3x – 2x2
≥ 0}, B = {x ∈ R1 ≤ x ≤ 3} e C = {x ∈ Rx2
– x – 2 ≤ 0}, então (A ∪
B) ∩ C é:
a) {x ∈ R–1 ≤ x ≤ 0 ou
2
3
≤ x ≤ 2};
b) {x ∈ R–1 ≤ x ≤ 2};
c) {x ∈ R–1 ≤ x ≤ 3};
d) {x ∈ R0 ≤ x ≤ 2};
e) {x ∈ R0 ≤ x ≤
2
3
};
81. (UFB) Determinar o conjunto de valores de x que formam f(x) = 2x2
– 3x negativa.
82. (MACK) Resolver a inequação: t +
t
1
≤ –2
83. (MACK) O conjunto solução da inequação
2x
4x2
−
−
≥ 0 é:
a) {x ∈ Rx ≥ 2};
b) {x ∈ Rx ≠ 2};
c) R;
d) ∅;
e) {x ∈ Rx ≤ 2}.
84. (MED. JUNDIAÍ) As funções f e g de R em R, são tais que f(x) = ax + 2 e g(x) = 3x + p. Sabendo-se que f(3) = –
1 e g(–2) = –1, então f(x) ≥ g(x) se, e somente se,
a) –
3
5
≤ x ≤ 0;
b) –
3
4
≤ x ≤ 2;
c) –1 ≤ x ≤ 5;
d) x ≤ –
4
3
;
e) x ≥ 2.
85. (FAAP) Representar na reta o conjunto dos x reais tais que: (x – 2) . (5 – x) > x2
– 4.
86. (MAPOFEI) É dada a função: y = (2x2
– 9x – 5) . (x2
– 2x + 2). Determinar:
a) Os pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos das abcissas;
b) O conjunto de valores de x para os quais y ≤ 0.
87. (FUVEST) Considere a parábola de equação y = x2
+ mx + 4m.
a) Achar a intersecção da parábola com o eixo x, quando m = –2.
b) Determine o conjunto dos valores de m para os quais a parábola não corta o eixo x.
88. (FEI) O domínio da função f(x) =
1x
12x7x 2
−
+−
é:
a) 1 < x ≤ 3 ou x ≥ 4;
b) 1 < x < 3 ou x < 4;
c) –1 < x ≤ 3 ou x ≥ 4 ;
d) x < 1 ou x ≥ 4;
e) –1 ≤ x ≤ 3 ou x > 4
RESPOSTAS
1. d;
2. a;
3. b;
4. e;
5. e;
6. c;
7. c;
8. d;
9. c;
10. c;
11. d;
12. b;
13. e;
14. d;
15. b;
16. c;
17. d;
18. c;
19. e;
20. c;
21. a;
22. e;
23. e;
24. c;
25. b;
26. a;
27. xxxxxx;
28. d;
29. c;
30. a;
31. b;
32. a;
33. c;
34. e;
35. d;
36. e;
37. e;
38. c;
39. a;
40. [1, 10];
41. 5 ;
42. xxxxxx;
43. e;
44. xxxxxxxx;
45. c;
46. e;
47. b;
48. a;
49. b;
50. b;
51. a) reta b) parábola;
52. c;
53. d;
54. a;
55. b;
56. a;
57. c;
58. e;
59. d;
60. c;
61. e;
62. e;
63. b;
64. c;
65. b;
66. d;
67. c;
68. d;
69. b;
70. e;
71. e;
72. c;
73. {x ∈ Rx < 0};
74. d;
75. d;
76. c;
77. c;
78. a;
79. b;
80. d;
81.






<<∈
2
3
x0Rx ;
82. {t ∈ Rt < 0};
83. b;
84. d;
85. xxxxxxxx;
86. a) (5;0) (–1/2;0); b) –1/2 ≤ x ≤ 5;
87. a) (–2;0) (4;0); b) 0 < m < 16;
88. a.

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  • 1. Relações/Funções – Nivelamento Prof. Neudson Muniz Módulo XII FUNÇÕES Relações Binárias Par ordenado: entende-se por (x,y), lê-se “par ordenado xy”, um conceito primitivo caracterizado pela igualdade: (x;y) = (a;b)  x = a e y = b Produto cartesiano: A x B = {(x;y)/ x Є A e y Є B} OBSERVAÇÂO: A x A = A² Relação: Chama-se relação de A em B a todo subconjunto de A x B. Indica-se: R : A → B. Estudo da função Uma relação R : A → B será uma função de A em B, se e somente se: • D(R) = A • Cada elemento de x Є A se relaciona (forma par) com um único elemento B. Notação: F : R → R, definida por y = 3x (ou f(x) = 3x), é a função que associa cada número real x com o seu triplo. Domínio f : A → B : D(f) = A Imagem : f : A → B : Im(f) é o conjunto dos elementos y Є B para os quais existe x Є A, tal que (x,y) Є f. Note que Im(f) B. Acompanhe no exemplo: f : A → B D(f) = A = { x1; x2; x3} Im(f) = { y1; y2; y3} Contra-domínio: CD(f) = B PRINCIPAIS FUNÇÕES Função constante: f : R → R D(f) = R Im(f) = {k} Gráfico: f(x) k x Função do 1º grau: f : R → R, definida por f(x) = a . x + b (a ≠ 0) D(f) = R Im(f) = R Gráficos: Função do 2º grau: x1 x2 x3 y1 y2 y4 y3 y5 A B
  • 2. f : R → R, definida por f(x) = a. . x² + b . x + c D(f) = R Gráficos: a> 0 a < 0 • Coordenadas do vértice: V = ( ) • Valor máximo e valor mínimo: Se a> 0, valor mínimo yv = - ∆ 4ª Se a< 0, valor máximo yv = - ∆ 4a • Imagem: Se a> 0, Im(f) = {y Є R / y≥yv} Se a< 0, Im(f) = {y Є R / y≤yv} Função Modular: f : R → R, definida por f(x) = x D(f) = R Im(f) = R+ Gráfico: f(x) 45° 45° SINAL DAS FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAUS Estudo do sinal da função do 1º grau: na função y = a . x + b (com a ≠ 0); fazendo y = 0 obtemos x = -b que é o zero (ou raiz) da função. a Para fazer o estudo do sinal usamos o seguinte esquema: c/a m/a x -b a Estudo do sinal da função Quadrática: na função y = a . x² + b .x = c (com a ≠ 0); temos 3 casos a considerar: 1º ∆ > 0; temos duas raízes reais distintas x1 e x2 e o seguinte esquema: m/a c/a m/a x x1 x2 2º ∆ = 0; temos duas raízes reais iguais e o esquema do sinal será: m/a m/a x x1 = x2 3º ∆ < 0; não temos raízes reais e aplicamos o seguinte esquema: m/a x y -b ; ∆ 2a 4a
  • 3. x EXERCÍCIOS 01. Sendo A = {0, 1} e B = {2, 3}, o produto cartesiano A x B é: a) {(0, 2), (0,3)}; b) {(0, 2), (1,3)}; c) igual ao produto B x A; d) {(0, 2), (0,3), (1, 2), (1,3)}; e) constituído de 8 pares ordenados distintos. 02. (CESGRANRIO) Sejam F = {1, 2, 3, 4} e G = {3, 4, 7}, então: a) F x G tem 12 elementos; b) G x F tem 9 elementos; c) F ∪ G tem 7 elementos; d) F ∩ G tem 3 elementos; e) (F ∪ G) ∩ F = ∅. 03. Sendo A = [1, 2] e B = [0, 1], a representação de A x B no plano cartesiano é: 04. O gráfico abaixo representa o conjunto: a) ]1, 3] x {1, 2, 3}; b) [1, 3] x ]1, 3]; c) {2, 3} x ]1, 3]; d) {1, 2, 3} x {2, 3}; e) {1, 2, 3} x ]1, 3].
  • 4. 05.(UFBA) Sendo R = {x ∈ N  x < 5} e S = {x ∈ Z  –3 < x < 1}, o gráfico cartesiano de R x S é: 06. (U. E. LONDRINA) Em R x R, sejam (2m + n; m – 4) e (m + 1; 2n) dois pares ordenados iguais. Então mn é igual a: a) –2 b) 0 c) 2 1 d) 1 e) 2 07. (U.E.C.) Se P = {1, 2, 5, 7, 8}, então o número de elementos do conjunto W = {(x, y) ∈ P2 ; x < y} é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 08. (CESGRANRIO) Seja Z o conjunto dos inteiros, sejam ainda os conjuntos A = {x ∈ Z  –1 < x ≤ 2} e B = {3, 4, 5}. Então, se D = {(x, y) ∈ A x B  y ≥ x + 4}, tem-se que: a) D = A x B; b) D tem dois elementos; c) D tem um elemento; d) D tem três elementos; e) as quatro afirmativas anteriores são falsas. 09. (PUC–SP) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função ou aplicação de A em B quando todo o elemento de a) B é imagem de algum elemento de A; b) B é imagem de um único elemento de A; c) A possui somente uma imagem em B; d) A possui no mínimo uma imagem em B; e) A possui somente uma imagem em B e vice-versa.
  • 5. 10. Dados os diagramas: podemos afirmar que: a) I, II e IV representam funções de A em B; b) I, III e IV representam funções de A em B; c) I e IV representam funções de A em B; d) IV não representa função de A em B; e) todos representam funções de A em B. 11. (UFRG) Sendo A = {1, 2} e B = {3, 4}, então, podemos definir, no máximo: a) uma função de A em B; b) duas funções de A em B; c) três funções de A em B; d) quatro funções de A em B; e) cinco funções de A em B. 12. (FUVEST) f: R → R associa a x o número 2 x1 1 + . Quanto vale f ( )4 7 ? a) 1 – 7 ; b) 6 17 − ; c) 8 17 − ; d) 1– 7 7 ; e) 0,0 714285 . 13. (FUVEST) As funções f e g são dadas por f(x) = 5 3 x – 1 e g(x) = 3 4 x + a. Sabe-se que f(0) – g(0) = 3 1 . O valor de f(3) – 3g       5 1 é: a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4. 14. Sendo f: R → R definida por f(x) = 2x , é correto afirmar que: a) f(0) = 0; b) f(1) = f(–1); c) f(1) + f(0) = f(2); d) f(0) . f(2) = 4; e) f(1) + f(2) + f(3) = 10. 15. (MACK-SP) Uma função real f do 1º grau é tal que f(0) = 1 + f(-1) e f(-1) = 2 – f(0). Então f(3) é:
  • 6. a) –3; b) 9/2; c) –1 d) 0 e) 7/2 16. Se f : R → R é definida por f(x) = 2x 1x 2 + − , então: a) existem dois valores distintos de x para os quais f(x) = 0; b) existe x ∈ R tal que f(x) = 1; c) o número 2 não pertence à imagem de f; d) o número 4 1 pertence à imagem de f; e) (f – 1) = –2 17. Se f : N → N é tal que: f(n) =      + ímparénse 2 1n parésen, 2 n , temos que: a) f(0) = 0 e f(3) = 1; b) a imagem de f é o conjunto dos naturais ímpares; c) os números 2, 3 e 5 não pertencem à imagem de f; d) existem números naturais distintos p e q tais que f(p) = f(q); e) existem números naturais distintos p e q tais que f(p) = f(q) = 0. 18. (UFBA) Sendo P = {1, 2, 3}, o conjunto imagem de R = {(x, y) ∈ P x P  y = x + 1} é: a) {1, 2, 3}; b) {2, 3, 4}; c) {2, 3}; d) {1, 2}; e) {1, 3}. 19. (CESGRANRIO) Seja f: R → R uma função. O conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de f com uma reta vertical: a) possui exatamente dois elementos; b) é vazio; c) é não enumerável; d) possui, pelo menos, dois elementos; e) possui um só elemento. 20. (GV-SP) Duas curvas A e B se interceptam nos pontos (0, 3) e (0, -3). Assinale, dentre as afirmações abaixo, a correta: a) A e B podem ser representações gráficas de funções; b) somente A ou B poderá ser a representação gráfica de uma função; c) nem A nem B poderá ser a representação gráfica de uma função; d) A ou B é a representação gráfica da função dada por y2 = 9 – x2 ; e) A ou B é a representação gráfica da função dada por x = 0. 21. O diagrama seguinte representa uma função f do intervalo [1, 3] em R.
  • 7. Quanto à imagem de f é correto afirmar que: a) Im(f) = [1, 4]; b) Im(f) = [2, 3]; c) Im(f) = ]1, 4[; d) Im(f) = ]2, 3[; e) Im(f) = [1, 3]; 22. (PUC-SP) Para a função cujo gráfico é; podemos dizer que: a) O domínio é R; b) O conjunto imagem é R; c) O domínio é o conjunto R – {a}; d) O conjunto imagem é {x ∈ R  a < x < b}; e) O conjunto imagem é {x ∈ R  0 < x < b}. 23. (CESESP-PE) Considere a função polinomial do primeiro grau f(x) = ax + b (a ≠ 0). Qual dentre as seguintes alternativas é a verdadeira? a) se b > 0, então a função é crescente; b) se b < 0, então a função é decrescente; c) se a > -1, então a função é crescente; d) se a < 1, então a função é decrescente; e) se a > 0, então a função é crescente. 24. O gráfico da função f(x) = ax + b é o seguinte: Pode-se dizer que as constantes a e b valem, respectivamente: a) –2 e 2; b) 2 e –2; c) 1 e 2; d) 2 e –1; e) 1 e –2. 25. (VUNESP) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico, resulta a figura ao lado. Se for mantida sempre esta relação entre tempo e altura, a planta terá, no 30º dia, uma altura igual a: a) 5cm b) 6cm c) 3cm d) 15cm e) 30cm
  • 8. 26. (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é: 27. (UFBA) Esboçar o gráfico de: f(x) =    > ≤≤− 5,2xpara,5,2 5,2x1para,x 28. (FUVEST) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do equador), em função da profundidade: Profundidade Superfície 100 m 500 m 1000 m 3000 m Temperatura 27ºC 21ºC 7ºC 4ºC 2,8ºC Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade de 400 m é de: a) 16 ºC b) 14 ºC c) 12,5 ºC d) 10,5 ºC e) 8 ºC 29. (U.C.SALVADOR) Considere a função f, de R em R, dada por f(x) = 4x – x2 . Representando-a graficamente no plano cartesiano, obteremos: 30. (UFMG) O gráfico da função quadrática y = ax2 + bx + c é: Pode-se afirmar que: a) a > 0, b = 0, c < 0 b) a > 0, b = 0, c > 0 c) a > 0, b > 0, c = 0 d) a < 0, b = 0, c > 0 e) a < 0, b < 0, c = 0
  • 9. 31. (UFPE) O gráfico abaixo representa a função real f(x) = bx2 + ax + c é: Assinale a única alternativa correta. a) b2 – 4ac > 0 e a > 0 b) a2 – 4bc > 0 e b > 0 c) a2 – 4bc > 0 e b < 0 d) b2 – 4ac > 0 e a < 0 e) a < 0 e c = 0 32. (CESGRANRIO) O gráfico do trinômio do 2º grau ax2 – 10x + c é o da figura: Podemos concluir que: a) a = 1 e c = 16; b) a = 1 e c = 10; c) a = 5 e c = –9; d) a = –1 e c = 10; e) a = –1 e c = 16. 33. (UFBA) Em um reservatório de água, o nível y varia com o tempo t, contado em horas a partir da meia-noite, conforme a função y = –1,3t2 + 7,8t – 4,2. O instante em que o reservatório está mais cheio é: a) 1 h 18 min; b) 1 h 30 min; c) 3 h; d) 6 h; e) 7 h 48 min. 34. (UFMG) O gráfico da função quadrática y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, tem (5, 3) como ponto mais próximo do eixo das abscissas e passa pelo ponto (1, 4). Todas as afirmativas sobre essa função estão corretas, exceto: a) A função não tem raízes reais. b) Obrigatoriamente se tem a > 0. c) O eixo da simetria do gráfico é a reta x = 5. d) O gráfico passa pelo ponto (9, 4). e) O gráfico corta o eixo dos y no ponto       3 11 ,0 . 35. (VUNESP) Uma função quadrática tem o eixo dos y como eixo de simetria. A distância entre os zeros da função é de 4 unidades, e a função tem –5 como valor mínimo. Esta função quadrática é: a) y = 5x2 – 4x – 5 b) y = 5x2 – 20 c) y = 4 5 x2 – 5x d) y = 4 5 x2 – 5 e) y = 4 5 x2 – 20
  • 10. 36. (UFSE) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = –2x2 – x é uma parábola cujo vértice é o ponto: a)       −− 2 1 ; 4 1 b)       − 2 1 ; 4 1 c)       −− 8 1 ; 4 1 d)       8 1 ; 4 1 e)       − 8 1 ; 4 1 37. (UNESP) Seja m ∈ R. Se o maior valor numérico de y = mx2 – 2x + m –1, para x ∈ R, é 3, então: a) m = 1 – 2 ; b) m = –1 – 8 ; c) m = –2 + 2 ; d) m = –1 ± 2 ; e) n.d.a. 38. (UFBA) O conjunto imagem da função f(x) = 3x2 + 6x – 2 é: a) {y ∈ R  y ≥ 20}; b) {y ∈ R  y ≥ –10}; c) {y ∈ R  y ≥ –5}; d) {y ∈ R  y ≥ –2}; e) {y ∈ R  y ≥ 1}. 39. (PUC-SP) A função f : R → R, dada por y = –2x2 + 10x – 12, admite como conjunto imagem o conjunto: a) {y ∈ R  y ≤ 1/2}; b) {y ∈ R  y ≥ 1/2}; c) {y ∈ R  y ≤ 5/2}; d) {y ∈ R  y ≥ 5/2}; e) {y ∈ R  y > 0}. 40. Dar a imagem da função f : [–1; 3] → R, dada por f(x) = x2 + 1. 41. (CESGRANRIO) Os gráficos de f(x) = x e g(x) = x2 – 1 têm dois pontos em comum. Determinar a soma das abcissas dos pontos em comum. 42. (UFMG) Se f(x) = 1 – x – 1 para x ∈ [0; 2], esboçar o gráfico de f(x). 43. (ITA-SP) Considere a equação x= x – 6. Com respeito à solução real desta equação podemos afirmar que: a) A solução pertence ao intervalo [1; 2]; b) A solução pertence ao intervalo [–2; –1]; c) A solução pertence ao intervalo ] –1; 1 [; d) A solução pertence ao complementar da união dos intervalos anteriores; e) A equação não tem solução. 44. (PUC-RS) Esboçar o gráfico da função f : R ⇒ R, dada por f(x) = x –1.
  • 11. 45. (FGV) Dado f(x) = 2x2 + 7x – 15, assinale a afirmativa falsa: a) f(0) = – 15; b) f       2 3 = f(–5) = 0; c) A função atinge um máximo quando x = 7/8; d) f(–1) = – 20; e) se f(x) =0, então x = 3/2 ou x = –5 46. (PUC) O gráfico da função quadrática f(x) = x2 + ax + 3 passa pelo ponto P (1; 2). Logo: a) a = –1; b) a = 3; c) a = 2; d) a = 1; e) a = –2. 47. (CESGRANRIO) Os gráficos de f(x) = x e g(x) = x2 –1 têm dois pontos em comum. A soma das abcissas dos pontos em comum é: a) 5 ; b) 1; c) –1; d) – 5 ; f) 0. 48. (FATEC) Se f: R → R é a função definida por r(x) =    −∈− ∈ .QRxse,x1 Qxse,1 2 então, f       +−−      10 3 f3)21(f 2 1 é igual a: a) 6 – 2 2 ; b) 7 – 2 2 ; c) 4 11 + 2 ; d) 5 – 2 2 ; e) 2 2 . 49. (MACK) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V(–1; –4). O valor de k + m é: a) –2; b) –1; c) 0; d) 1; e) 2. 50. (UFBA) Sendo f(x) = 100x + 3, o valor de 38 38 1010 )10(f)10(f − − − − é: a) 104 ; b) 102 ; c) 10; d) 10-5 ;
  • 12. e) 10-11 . 51. (FAAP) Que tipo de curva representa a função: y = tx2 + x + 1 se: a) t = 0 b) t ≠ 0 52. (CESESP-PE) Assinale a alternativa correspondente aos valores de x, para os quais a função f: R → R  f(x) = – 4 1 3 x2 + é sempre negativa: a) ∀x ∈ R; b) x ≥ 8 3 ; c) x > 8 3 ; d) x ≠ 0; e) ∃x ∈ R .0 4 1 3 x2 <+− 53. A função f(x) = ax + b, com a > 0, é: a) positiva, se x < – a b ; b) negativa, se x > – a b ; c) decrescente; d) positiva, se x > – a b ; e) nula para x = – a. 54. (UFPA) O gráfico da função quadrática y = x2 + px + q tem uma só intersecção com o eixo dos x. Então os valores de p e q obedecem à relação: a) q = p2 /4 b) q2 = p/2 c) q = –p2 /4 d) q2 = 4p e) q2 = –4p 55. (PUC-SP) O trinômio –x2 + 3x – 4; a) é positivo para todo número real x; b) é negativo para todo número real x; c) muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais; d) é positivo para 1 < x < 4; e) é positivo para x < 1 ou x > 4. 56. (CESESP-PE) Seja f a função quadrática definida por f(x) = –3x2 + 6x – 3. Qual dentre as seguintes alternativas é a verdadeira? a) Qualquer que seja o valor atribuído a x, a função toma sempre um valor menor ou igual a zero; b) A função toma valores positivos para os valores de x tais que –2 < x < 1; c) A função toma valores positivos para os valores de x tais que x < –2 ou x > 1; d) Para qualquer valor atribuído a x, a função toma sempre um valor maior ou igual a zero; e) A função toma valores negativos apenas para os valores de x tais que –1 < x < 1. 57. A condição necessária e suficiente para que a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0, seja positiva para qualquer valor real de x é: a) ∆ = b2 – 4ac = 0; b) ∆ = b2 – 4ac > 0; c) ∆ = b2 – 4ac < 0; d) c < 0; e) b = 0 e c < 0.
  • 13. 58. (VUNESP) A equação cujo gráfico está inteiramente abaixo do eixo dos x é: a) y = 2x2 – 4x – 5 b) y = –x2 + 4x c) y = x2 – 10 d) y = –x2 + 5 e) y = –2x2 + 4x – 4 59. (U.E.BA) O trinômio y = –2x2 + 3x – 1 é: a) negativo, ∀x ∈ R b) positivo se x ≠ 1 e x ≠ ½ c) negativo se –1 < x < 1 d) positivo se ½ < x < 1 e) negativo se x > – ½ 60. (CESGRANRIO) O conjunto solução da inequação x2 – 3x < 10 é: a) ]–∞, –2[; b) ] –∞, –2[U]5, + ∞[; c) ] –2, 5[; d) ]0, 3[; e) ]3, 10[. 61. (PUC-SP) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio P(x) = mx2 + 2(– m – 2)x + m2 + 4 é negativo quando x = 1? a) 1 < m < 2; b) –1 < m < 2; c) –5 < m < –4 d) –3 < m < 2; e) 0 < m < 1. 62. (PUC-SP) Se A = {x ∈ R  x2 – 3x + 2 ≤ 0} e B = {x ∈ R  x2 – 4x + 3 > 0}, então A ∩ B, onde B é o complementar de B em relação a R, é igual a: a) {2}; b) {x ∈ R  2 < x ≤ 3}; c) vazio; d) {x ∈ R  1 ≤ x ≤ 3}; e) {x ∈ R  1 ≤ x ≤ 2}. 63. (FGV-SP) Se A = {x ∈ R  3x – 2x2 ≥ 0}, B = {x ∈ R  1 ≤ x ≤ 3} e C = {x ∈ R  x2 – x – 2 ≤ 0}, então (A ∪ B) ∩ C é: a) {x ∈ R  –1 ≤ x ≤ 3}; b) {x ∈ R  0 ≤ x ≤ 2}; c) {x ∈ R  1 ≤ x ≤ 3/2}; d) {x ∈ R  –1 ≤ x ≤ 0 ou 3/2 ≤ x ≤ 2}; e) {x ∈ R  –1 ≤ x ≤ 2}. 64. O sistema de inequações    ≥+− −≥− 02x3x 1x3x2 2 é satisfeito por todo o número real x tal que: a) x ≤ 1; b) x ≤ –1 ou x ≥ 0; c) x ≥ 2;
  • 14. d) x ≤ –1; e) x ≥ –2. 65. (UNESP) A sentença 2x + 3 < 3x + 2 < 3x + 1; a) é verdadeira, ∀ x ∈ R; b) é falsa, ∀ x ∈ R; c) é verdadeira para x ∈ ] – ∞, 0]; d) é verdadeira para x ∈ [0, + ∞[; e) é falsa somente para x ∈ [–1, 1]. 66. Se (x – 1) (x – 2) (x – 3) > 0, então: a) x < 1 ou x > 3; b) x < 1 ou 2 < x < 3; c) x > 1; d) 1 < x < 2 ou x > 3; e) x < 3. 67. (FGV-SP) Sendo A o conjunto solução da inequação (x2 – 5x) ( x2 – 8x + 12) < 0, assinale a alternativa correta: a) {x ∈ R  0 < x < 3} ⊂ A; b) o ∈ A; c) 5,5 ∈ A; d) –1 ∈ A; e) 2 9 ∈ A 68. (UnB) A inequação –x3 + 2x2 > – 3x, onde x é uma variável real, é satisfeita: a) para os x reais tais que –1 < x < 3 e apenas estes; b) para os x reais tais que x < –1 ou x > 3 e apenas estes; c) para os x reais tais que 0 < x < 3 e apenas estes; d) n.d.a. 69. (UNESP) Seja A = {x ∈ R  (x – 1)2 x > x}. Então: a) A = R – {1}; b) A = ]2, + ∞[; c) A = R – {0}; d) A = [1, + ∞[; e) n.d.a. 70. (PUC-SP) Os valores de x que verificam 2x 6x5x 2 − +− < 0 são expressos por: a) x < 3; b) 2 < x < 3; c) x < 2 ou x > 3 d) x ≠ 2; e) x < 3 e x ≠ 2. 71. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS-SP) Os valores de x que satisfazem à inequação 2x 2x3x2 2 − ++− ≤ 0 são tais que: a) x ≤ – 2 1 ; b) x > 2; c) 2 1 ≤ x < 2
  • 15. d) x ≤ – 2 1 ou x > 2; e) x ≥ – 2 1 e x ≠ 2. 72. (UFSE) Os valores de x que satisfazem a inequação 1x 1x + − < 1 são tais que: a) x < –1; b) x < 0; c) x > –1; d) x > 0; e) x > 1. 73. (FUVEST) Resolva 2x – 3 + 5       +1 x 1 ≤ 1 74. (UFMG) O conjunto de todos os valores de x que satisfazem à desigualdade x 1 1x 1 > + é: a) vazio; b) {x ∈ R  x < –1}; c) {x ∈ R  x > 1}; d) {x ∈ R  –1 < x < 0}; e) o conjunto R dos números reais. 75. (UNESP) Sejam A =         > − −∈ 1 3x 1 x 1 Rx então: a) A = {x ∈ Rx < 0 ou x > 3}; b) A = {x ∈ R–3 < x < 0}; c) A = {x ∈ Rx < –3 ou x > 0}; d) A = {x ∈ R0 < x < 3}; e) n.d.a. 76. (MACKENZIE-SP) Se f e g são funções reais dadas por f(x) = x – 1 e g(x) = x2 + 1, então g(f(2)) é: a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4. 77. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS-SP) Dadas as funções reais f(x) = 1 – 2x e g(x) = 2x + k, o valor de k de modo que f[g(x)] = g[f(x)] é: a) –3; b) –1; c) – 3 1 ; d) 3 1 ; e) 1. 78. (FUVEST) Se f: R → R é da forma f(x) = ax + b e verifica f (f(x)) = x + 1 para todo x real, então a e b valem respectivamente: a) 1 e 2 1 ; b) –1 e 2 1 ; c) 1 e 2; d) 1 e –2;
  • 16. e) 1 e 1. 79. (FGV-SP) Sejam f e g funções reais tais que f(x) = x2 + 1 e g(y) = y 1 . Então f(g(2)) é igual a: a) 0; b) 4 5 ; c) 5 2 ; d) 2 5 e) 5 1 80. (FGV) Se A = {x ∈ R3x – 2x2 ≥ 0}, B = {x ∈ R1 ≤ x ≤ 3} e C = {x ∈ Rx2 – x – 2 ≤ 0}, então (A ∪ B) ∩ C é: a) {x ∈ R–1 ≤ x ≤ 0 ou 2 3 ≤ x ≤ 2}; b) {x ∈ R–1 ≤ x ≤ 2}; c) {x ∈ R–1 ≤ x ≤ 3}; d) {x ∈ R0 ≤ x ≤ 2}; e) {x ∈ R0 ≤ x ≤ 2 3 }; 81. (UFB) Determinar o conjunto de valores de x que formam f(x) = 2x2 – 3x negativa. 82. (MACK) Resolver a inequação: t + t 1 ≤ –2 83. (MACK) O conjunto solução da inequação 2x 4x2 − − ≥ 0 é: a) {x ∈ Rx ≥ 2}; b) {x ∈ Rx ≠ 2}; c) R; d) ∅; e) {x ∈ Rx ≤ 2}. 84. (MED. JUNDIAÍ) As funções f e g de R em R, são tais que f(x) = ax + 2 e g(x) = 3x + p. Sabendo-se que f(3) = – 1 e g(–2) = –1, então f(x) ≥ g(x) se, e somente se, a) – 3 5 ≤ x ≤ 0; b) – 3 4 ≤ x ≤ 2; c) –1 ≤ x ≤ 5; d) x ≤ – 4 3 ; e) x ≥ 2. 85. (FAAP) Representar na reta o conjunto dos x reais tais que: (x – 2) . (5 – x) > x2 – 4. 86. (MAPOFEI) É dada a função: y = (2x2 – 9x – 5) . (x2 – 2x + 2). Determinar: a) Os pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos das abcissas;
  • 17. b) O conjunto de valores de x para os quais y ≤ 0. 87. (FUVEST) Considere a parábola de equação y = x2 + mx + 4m. a) Achar a intersecção da parábola com o eixo x, quando m = –2. b) Determine o conjunto dos valores de m para os quais a parábola não corta o eixo x. 88. (FEI) O domínio da função f(x) = 1x 12x7x 2 − +− é: a) 1 < x ≤ 3 ou x ≥ 4; b) 1 < x < 3 ou x < 4; c) –1 < x ≤ 3 ou x ≥ 4 ; d) x < 1 ou x ≥ 4; e) –1 ≤ x ≤ 3 ou x > 4 RESPOSTAS 1. d; 2. a; 3. b; 4. e; 5. e; 6. c; 7. c; 8. d; 9. c; 10. c; 11. d; 12. b; 13. e; 14. d; 15. b; 16. c; 17. d; 18. c; 19. e; 20. c; 21. a; 22. e; 23. e; 24. c; 25. b; 26. a; 27. xxxxxx; 28. d; 29. c; 30. a; 31. b; 32. a; 33. c; 34. e; 35. d; 36. e; 37. e; 38. c; 39. a; 40. [1, 10]; 41. 5 ; 42. xxxxxx; 43. e; 44. xxxxxxxx; 45. c;
  • 18. 46. e; 47. b; 48. a; 49. b; 50. b; 51. a) reta b) parábola; 52. c; 53. d; 54. a; 55. b; 56. a; 57. c; 58. e; 59. d; 60. c; 61. e; 62. e; 63. b; 64. c; 65. b; 66. d; 67. c; 68. d; 69. b; 70. e; 71. e; 72. c; 73. {x ∈ Rx < 0}; 74. d; 75. d; 76. c; 77. c; 78. a; 79. b; 80. d; 81.       <<∈ 2 3 x0Rx ; 82. {t ∈ Rt < 0}; 83. b; 84. d; 85. xxxxxxxx; 86. a) (5;0) (–1/2;0); b) –1/2 ≤ x ≤ 5; 87. a) (–2;0) (4;0); b) 0 < m < 16; 88. a.