1) O documento descreve as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, definindo-as geometricamente em relação a um círculo unitário e apresentando suas propriedades fundamentais.
2) É apresentada a conversão entre graus e radianos, assim como os valores de seno, cosseno e tangente para alguns ângulos específicos como 30°, 45° e 60°.
3) São mostradas as definições, gráficos e propriedades das funções seno, cosseno e tangente, incluindo a relação fundamental entre elas
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
1) O documento discute transformações de funções e seus gráficos, incluindo translações horizontais e verticais, extensões e compressões horizontais e verticais, e combinações de transformações.
2) Exemplos detalhados são fornecidos para transformar gráficos de funções originais em gráficos de novas funções usando essas técnicas.
3) Figuras ilustram as etapas das transformações de funções para chegar aos gráficos solicitados.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
O documento apresenta definições e propriedades da função seno. Inclui a definição formal da função seno, suas propriedades fundamentais como período, gráfico e domínio/imagem. Também apresenta exemplos de outras funções trigonométricas definidas a partir da função seno e pede para determinar suas características.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de funções exponenciais e logarítmicas. Na primeira seção, define-se a função exponencial de base a e discute-se seu domínio e imagem. A segunda seção trata da função logarítmica inversa da exponencial. A terceira seção apresenta exemplos de resolução de equações e desigualdades envolvendo essas funções.
1) O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções.
2) Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos e encontrar o ponto médio de segmentos.
3) Também inclui encontrar o domínio de funções, valores de funções em pontos específicos e comparar imagens de funções com as respostas de um livro.
1. A função H(x) não tem limite quando x tende a 0, pois seus limites laterais à esquerda e à direita são diferentes.
2. O limite de (1 - 4x^2) quando x tende a -1 é -3, enquanto o limite de 3/(1+x) quando x tende a 2 é 1.
3. O limite de x sen(1/x) quando x tende a 0 é 0, embora o limite de sen(1/x) isoladamente não exista na origem.
O documento discute propriedades de funções e resolução de exercícios relacionados. Em três frases:
1. O documento analisa propriedades de monotonia de funções como f(x) = x2, f(x) = √x + 1 e f(x) = cos x, encontrando os maiores intervalos onde cada função é crescente ou decrescente.
2. Também verifica a presença de extremos globais e locais em funções como f(x) = 1 − 2x e f(x) = |1 − 2x| em diferentes intervalos.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
1) O documento discute transformações de funções e seus gráficos, incluindo translações horizontais e verticais, extensões e compressões horizontais e verticais, e combinações de transformações.
2) Exemplos detalhados são fornecidos para transformar gráficos de funções originais em gráficos de novas funções usando essas técnicas.
3) Figuras ilustram as etapas das transformações de funções para chegar aos gráficos solicitados.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
O documento apresenta definições e propriedades da função seno. Inclui a definição formal da função seno, suas propriedades fundamentais como período, gráfico e domínio/imagem. Também apresenta exemplos de outras funções trigonométricas definidas a partir da função seno e pede para determinar suas características.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de funções exponenciais e logarítmicas. Na primeira seção, define-se a função exponencial de base a e discute-se seu domínio e imagem. A segunda seção trata da função logarítmica inversa da exponencial. A terceira seção apresenta exemplos de resolução de equações e desigualdades envolvendo essas funções.
1) O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções.
2) Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos e encontrar o ponto médio de segmentos.
3) Também inclui encontrar o domínio de funções, valores de funções em pontos específicos e comparar imagens de funções com as respostas de um livro.
1. A função H(x) não tem limite quando x tende a 0, pois seus limites laterais à esquerda e à direita são diferentes.
2. O limite de (1 - 4x^2) quando x tende a -1 é -3, enquanto o limite de 3/(1+x) quando x tende a 2 é 1.
3. O limite de x sen(1/x) quando x tende a 0 é 0, embora o limite de sen(1/x) isoladamente não exista na origem.
O documento discute propriedades de funções e resolução de exercícios relacionados. Em três frases:
1. O documento analisa propriedades de monotonia de funções como f(x) = x2, f(x) = √x + 1 e f(x) = cos x, encontrando os maiores intervalos onde cada função é crescente ou decrescente.
2. Também verifica a presença de extremos globais e locais em funções como f(x) = 1 − 2x e f(x) = |1 − 2x| em diferentes intervalos.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
1) O documento apresenta exercícios de funções para serem resolvidos, incluindo verificar se determinadas funções são pares, ímpares ou nenhuma das duas. 2) Fornece as definições de funções pares e ímpares. 3) Resolve os itens solicitados, concluindo que a função f(x)=x2 é par, f(x)=x2-2x+3 não é par nem ímpar e f(x)=√x não é par nem ímpar.
O documento apresenta as propriedades básicas da álgebra, incluindo propriedades de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Também aborda tópicos como valor absoluto, expoentes racionais e racionalização de frações.
1) O documento apresenta exercícios de funções do 1o grau, modulares e polinomiais. Inclui estudar gráficos de funções e determinar domínios e conjuntos imagens.
2) Os exercícios pedem para: a) estudar a função f(x) = |1 - 3x| e esboçar seu gráfico; b) estudar a função f(x) = 4 - x2 e esboçar seu gráfico.
3) Também são listados exercícios de Demana páginas 81, 92 e 101 para s
1) A função é contínua em alguns pontos e descontínua em outros, com diferentes tipos de descontinuidade como salto e essencial. 2) A função é limitada em alguns intervalos fechados e não limitada em outros intervalos abertos ou sem limite superior. 3) Os extremos são encontrados quando a função é decrescente ou crescente e o intervalo é fechado.
1) O documento define funções inversas e explica que uma função inversa desfaz o que a função original fez.
2) Para uma função ter uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
3) Restrições no domínio de uma função podem fazê-la bijetora e, portanto, permitir a existência de uma função inversa.
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar o sinal dos termos do numerador e denominador e analisar em quais intervalos esses sinais são iguais ou diferentes de acordo com a especificação da inequação original.
3. As soluções finais são expressas como união de intervalos na reta numérica.
1) O documento apresenta 12 exercícios sobre conjuntos, números racionais e relações entre conjuntos. 2) Os conjuntos vazios são B e D. As igualdades verdadeiras são a), b) e c). 3) As proposições verdadeiras sobre subconjuntos são a), c), d) e e).
1. O documento calcula limites no infinito e limites infinitos em pontos finitos para funções racionais. É encontrada uma assíntota vertical em x=3/2 para a função f(x)=x-1/(2x-3) e outra assíntota vertical em x=3 para a função f(x)=4x+4/(3+2x-x2). Ambas as funções têm uma única assíntota horizontal.
O documento apresenta exercícios sobre funções e suas transformações. Inclui questões sobre encontrar gráficos de funções a partir de transformações de funções originais, como translações, extensões e compressões. Também pede para analisar propriedades e esboçar gráficos de funções como f(x) = |1 − 3x| e f(x) = 4 − x2.
1. O documento fornece exemplos resolvidos de funções compostas, sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
2. As funções compostas são analisadas determinando seus domínios e imagens para garantir que uma função esteja contida no domínio da outra antes de compor.
3. Exemplos mostram como determinar o menor valor para que uma função seja sobrejetora ou injetora entre dois conjuntos, analisando quando seus valores se repetem.
O documento define e explica funções polinomiais, incluindo sua forma geral, exemplos, comportamento para valores extremos de x, raízes, divisão longa de polinômios e teoremas sobre restos e fatoração.
1) O documento discute definições e propriedades de funções, incluindo domínio, imagem e modos de definição como analítico, geométrico e numérico.
2) Uma função é definida como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do domínio corresponde a exatamente um elemento da imagem. Funções podem ser definidas analiticamente por fórmulas explícitas ou implícitas.
3) A imagem de uma função é o subconjunto do contradomínio onde cada elemento tem pelo menos um correspondente no domínio
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar as raízes dos polinômios no numerador e denominador e analisar o sinal de cada termo em diferentes intervalos de x.
3. Os resultados são expressos como a união de intervalos na reta numérica ou por meio de tabelas de sinais.
1. O documento discute equações modulares, definindo o módulo e propriedades, e apresentando métodos para resolver diferentes tipos de equações modulares.
2. As equações modulares podem ser reduzidas a equações sem módulo usando propriedades do módulo, e então resolvidas algebraicamente ou geometricamente.
3. O método de intervalos é útil para equações com dois ou mais módulos, dividindo o domínio em intervalos onde os sinais das expressões são preservados.
O documento explica o conceito de composição de funções, definindo-a como g(f(x)) e discutindo seu domínio. Ele fornece exemplos detalhados de como calcular o domínio da composição de diferentes funções, ilustrando com diagramas conceituais.
1) Uma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões.
2) Existem propriedades gerais de equações como reflexividade, simetria e transitividade.
3) Há diferentes tipos de equações como lineares, quadráticas e modulares que possuem métodos específicos para solucioná-las.
1) A função f(x) = x2/(x2-1) é analisada em detalhe. Seu domínio é R\{-1,1} e sua imagem é (-∞,0] ∪ (1,∞).
2) A função é par e não é periódica. Tem um máximo local em (0,0) e assíntotas horizontais em y=1 e verticais em x=-1 e x=1.
3) Com base nas propriedades, o gráfico da função é esboçado, mostrando sua decrescência estrita em
1. O documento discute equações irracionais, definindo raízes de ordem ímpar e par e propriedades básicas delas. 2. Explica que muitas equações irracionais podem ser representadas na forma n√f(x) = g(x) e o método geral de resolução é reduzi-las a equações polinomiais. 3. Apresenta exemplos de resolução de equações irracionais usando este método.
O documento apresenta três exemplos de funções racionais analisando suas assintotas e descontinuidades. O Exemplo 1 mostra uma função com assintota vertical em x=1/2 e horizontal em y=3/2. O Exemplo 2 apresenta duas assintotas verticais em x=-2 e x=2 e uma horizontal em y=-2. Já o Exemplo 3 simplifica a função para mostrar uma assintota vertical em x=2 e uma descontinuidade removível em x=-2.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, o teorema de Pitágoras, definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas de adição e multiplicação para as funções trigonométricas.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, e valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°. Também discute os conceitos de período e gráficos das funções seno, cosseno e tangente.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
1) O documento apresenta exercícios de funções para serem resolvidos, incluindo verificar se determinadas funções são pares, ímpares ou nenhuma das duas. 2) Fornece as definições de funções pares e ímpares. 3) Resolve os itens solicitados, concluindo que a função f(x)=x2 é par, f(x)=x2-2x+3 não é par nem ímpar e f(x)=√x não é par nem ímpar.
O documento apresenta as propriedades básicas da álgebra, incluindo propriedades de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Também aborda tópicos como valor absoluto, expoentes racionais e racionalização de frações.
1) O documento apresenta exercícios de funções do 1o grau, modulares e polinomiais. Inclui estudar gráficos de funções e determinar domínios e conjuntos imagens.
2) Os exercícios pedem para: a) estudar a função f(x) = |1 - 3x| e esboçar seu gráfico; b) estudar a função f(x) = 4 - x2 e esboçar seu gráfico.
3) Também são listados exercícios de Demana páginas 81, 92 e 101 para s
1) A função é contínua em alguns pontos e descontínua em outros, com diferentes tipos de descontinuidade como salto e essencial. 2) A função é limitada em alguns intervalos fechados e não limitada em outros intervalos abertos ou sem limite superior. 3) Os extremos são encontrados quando a função é decrescente ou crescente e o intervalo é fechado.
1) O documento define funções inversas e explica que uma função inversa desfaz o que a função original fez.
2) Para uma função ter uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
3) Restrições no domínio de uma função podem fazê-la bijetora e, portanto, permitir a existência de uma função inversa.
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar o sinal dos termos do numerador e denominador e analisar em quais intervalos esses sinais são iguais ou diferentes de acordo com a especificação da inequação original.
3. As soluções finais são expressas como união de intervalos na reta numérica.
1) O documento apresenta 12 exercícios sobre conjuntos, números racionais e relações entre conjuntos. 2) Os conjuntos vazios são B e D. As igualdades verdadeiras são a), b) e c). 3) As proposições verdadeiras sobre subconjuntos são a), c), d) e e).
1. O documento calcula limites no infinito e limites infinitos em pontos finitos para funções racionais. É encontrada uma assíntota vertical em x=3/2 para a função f(x)=x-1/(2x-3) e outra assíntota vertical em x=3 para a função f(x)=4x+4/(3+2x-x2). Ambas as funções têm uma única assíntota horizontal.
O documento apresenta exercícios sobre funções e suas transformações. Inclui questões sobre encontrar gráficos de funções a partir de transformações de funções originais, como translações, extensões e compressões. Também pede para analisar propriedades e esboçar gráficos de funções como f(x) = |1 − 3x| e f(x) = 4 − x2.
1. O documento fornece exemplos resolvidos de funções compostas, sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
2. As funções compostas são analisadas determinando seus domínios e imagens para garantir que uma função esteja contida no domínio da outra antes de compor.
3. Exemplos mostram como determinar o menor valor para que uma função seja sobrejetora ou injetora entre dois conjuntos, analisando quando seus valores se repetem.
O documento define e explica funções polinomiais, incluindo sua forma geral, exemplos, comportamento para valores extremos de x, raízes, divisão longa de polinômios e teoremas sobre restos e fatoração.
1) O documento discute definições e propriedades de funções, incluindo domínio, imagem e modos de definição como analítico, geométrico e numérico.
2) Uma função é definida como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do domínio corresponde a exatamente um elemento da imagem. Funções podem ser definidas analiticamente por fórmulas explícitas ou implícitas.
3) A imagem de uma função é o subconjunto do contradomínio onde cada elemento tem pelo menos um correspondente no domínio
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar as raízes dos polinômios no numerador e denominador e analisar o sinal de cada termo em diferentes intervalos de x.
3. Os resultados são expressos como a união de intervalos na reta numérica ou por meio de tabelas de sinais.
1. O documento discute equações modulares, definindo o módulo e propriedades, e apresentando métodos para resolver diferentes tipos de equações modulares.
2. As equações modulares podem ser reduzidas a equações sem módulo usando propriedades do módulo, e então resolvidas algebraicamente ou geometricamente.
3. O método de intervalos é útil para equações com dois ou mais módulos, dividindo o domínio em intervalos onde os sinais das expressões são preservados.
O documento explica o conceito de composição de funções, definindo-a como g(f(x)) e discutindo seu domínio. Ele fornece exemplos detalhados de como calcular o domínio da composição de diferentes funções, ilustrando com diagramas conceituais.
1) Uma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões.
2) Existem propriedades gerais de equações como reflexividade, simetria e transitividade.
3) Há diferentes tipos de equações como lineares, quadráticas e modulares que possuem métodos específicos para solucioná-las.
1) A função f(x) = x2/(x2-1) é analisada em detalhe. Seu domínio é R\{-1,1} e sua imagem é (-∞,0] ∪ (1,∞).
2) A função é par e não é periódica. Tem um máximo local em (0,0) e assíntotas horizontais em y=1 e verticais em x=-1 e x=1.
3) Com base nas propriedades, o gráfico da função é esboçado, mostrando sua decrescência estrita em
1. O documento discute equações irracionais, definindo raízes de ordem ímpar e par e propriedades básicas delas. 2. Explica que muitas equações irracionais podem ser representadas na forma n√f(x) = g(x) e o método geral de resolução é reduzi-las a equações polinomiais. 3. Apresenta exemplos de resolução de equações irracionais usando este método.
O documento apresenta três exemplos de funções racionais analisando suas assintotas e descontinuidades. O Exemplo 1 mostra uma função com assintota vertical em x=1/2 e horizontal em y=3/2. O Exemplo 2 apresenta duas assintotas verticais em x=-2 e x=2 e uma horizontal em y=-2. Já o Exemplo 3 simplifica a função para mostrar uma assintota vertical em x=2 e uma descontinuidade removível em x=-2.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, o teorema de Pitágoras, definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas de adição e multiplicação para as funções trigonométricas.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, e valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°. Também discute os conceitos de período e gráficos das funções seno, cosseno e tangente.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas para adição e multiplicação de arcos.
O documento apresenta os valores dos arcos notáveis de 0° a 360° em múltiplos de 30°, 45° e 60°. Ele também fornece informações sobre as funções seno, co-seno e tangente nesses ângulos, incluindo suas definições, gráficos e propriedades. Exemplos e exercícios são fornecidos para aplicar esses conceitos.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo definições de triângulo retângulo, relações trigonométricas, funções seno, cosseno e tangente. Explica as relações entre os elementos do triângulo retângulo e introduz noções como ângulos notáveis, ciclo trigonométrico e arcos congruentes. Fornece definições formais das funções trigonométricas e apresenta suas propriedades gráficas.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; e (4) equação segmentária de uma reta e como determinar pontos de interseção com os eixos.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; (4) equação segmentária de uma reta. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas e conceitos para representar retas geometricamente.
O documento descreve os principais conceitos da trigonometria no triângulo retângulo, incluindo: (1) definição de arcos e ângulos, medidas de arcos e unidades de medida; (2) razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) e suas propriedades; (3) leis dos senos e cossenos para resolver problemas em triângulos quaisquer.
Este documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em função dos catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Também apresenta a relação fundamental da trigonometria e o ciclo trigonométrico.
1) O documento descreve as funções trigonométricas seno e cosseno, incluindo suas propriedades, gráficos e aplicações.
2) A função seno é periódica com período 2π e sua imagem é o intervalo [-1,1]. A função cosseno tem propriedades similares.
3) Os parâmetros a, b, c e d alteram propriedades como período, amplitude e deslocamento dos gráficos das funções seno e cosseno.
Este documento apresenta o gabarito da segunda fase do vestibular de 2013 da UFBA, contendo 6 questões de matemática. As questões abordam tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, sistemas de equações, funções e círculos.
Este documento contém 8 questões sobre geometria no espaço, incluindo: 1) identificação de conjuntos de pontos como circunferências e gráficos de funções; 2) equações de planos e retas; 3) propriedades como paralelismo e perpendicularidade; 4) equações de superfícies esféricas e planos tangentes. O aluno deve resolver cada questão demonstrando conceitos geométricos essenciais.
O documento apresenta os principais conceitos de trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente para triângulos retângulos. Também aborda operações com ângulos, unidades de medida de ângulo, círculo trigonométrico e equações e inequações trigonométricas.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
Trigonometria – exercicios resolvidos ângulos de triângulostrigono_metria
1) A trigonometria é usada para resolver problemas envolvendo medidas de ângulos e lados de triângulos.
2) Um topógrafo usou um teodolito para medir o ângulo e a distância até um prédio e calcular sua altura.
3) A altura calculada do prédio foi de 44,75 metros.
1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008Erick Fernandes
O documento discute trigonometria em triângulos retângulos, relacionando lados e ângulos. Apresenta as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo em termos dos catetos e hipotenusa. Fornece exemplos de cálculo destas razões trigonométricas e introduz outras identidades trigonométricas.
1) O documento descreve as características de uma circunferência trigonométrica, incluindo sua definição, convenções e propriedades.
2) As funções seno e cosseno são definidas e suas propriedades de período, sinal e gráficos são explicadas.
3) A influência dos parâmetros a, b, c e d nas funções do tipo y=a+bsen(cx+d) e y=acos(bx+c)+d é descrita.
1) Uma circunferência trigonométrica é uma circunferência unitária centrada na origem de um sistema cartesiano.
2) Ela define convenções para a medição de arcos, como o ponto A como origem dos arcos e os quadrantes.
3) A função seno e cosseno são periódicas e mapeiam ângulos para valores entre -1 e 1 baseado na ordenada e abscissa dos pontos na circunferência.
O documento discute o ciclo trigonométrico e como ele permite relacionar ângulos infinitos com um triângulo e ponto na circunferência. Explica como seno, cosseno e tangente são definidos projetando um ponto na circunferência nos eixos x, y e uma reta paralela a y. Fornece exemplos de cálculos trigonométricos e redução de ângulos para o primeiro quadrante.
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométricotrigono_metria
O documento discute ângulos notáveis, relações trigonométricas e como calcular as funções seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60° usando triângulos retângulos e propriedades geométricas. Ele também explica arcos com mais de uma volta, arcos congruentes, funções trigonométricas recíprocas e equações trigonométricas.
(1) O documento descreve técnicas de integração por partes, incluindo a fórmula geral e exemplos de sua aplicação. (2) A integração por partes permite transformar uma integral desconhecida em outra mais simples. (3) Os exemplos ilustram como a técnica pode ser usada repetidamente para resolver integrais mais complexas.
Este documento fornece uma lista de exercícios de cálculo de Stewart sobre várias técnicas de integração, incluindo integração por partes, integrais trigonométricas, frações parciais e integrais impróprias, com referências às páginas e exercícios específicos no livro de Stewart para cada tópico.
El documento lista ejercicios de cálculo de varias aplicaciones de la integración, incluyendo áreas entre curvas, volúmenes de sólidos, trabajo y longitud de arco. Los ejercicios provienen del libro de texto Stewart Cálculo, Volumen 1 y cubren páginas 386, 397, 407 y 493.
1) O documento descreve como calcular a área entre curvas e o volume de sólidos de revolução usando integrais.
2) A área entre duas curvas f(x) e g(x) é calculada como a integral de |f(x)-g(x)| no intervalo considerado.
3) O volume de um sólido de revolução é calculado como a integral da área da seção transversal A(x) em relação ao eixo de rotação.
Este documento contiene una lista de ejercicios sobre integrales de varios capítulos del libro Cálculo de Stewart. La lista incluye ejercicios sobre sumas de Riemann, integrales definidas, integrales indefinidas y la regla de sustitución, con referencias a las páginas y ejercicios específicos del libro de texto.
1. O documento discute cálculo de áreas sob curvas e integral definida, apresentando fórmulas e exemplos para calcular áreas e somar retângulos de Riemann.
2. É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas, permitindo calcular integrais através de primitivas.
3. Propriedades das integrais definidas são listadas, como adição, multiplicação por constante e integração por partes.
O documento discute as propriedades de relações em conjuntos, incluindo: (1) relações de equivalência, que são reflexivas, simétricas e transitivas; (2) relações de ordem, que são reflexivas, antissimétricas e transitivas; e (3) exemplos de relações que satisfazem essas propriedades, como igualdade e divisibilidade.
O documento discute relações binárias, definindo-as como uma terna ordenada composta por um grafo e dois conjuntos. Ele também define domínio e imagem de uma relação, relação recíproca, operações com relações e imagem de conjuntos por uma relação.
O documento discute grafos e suas propriedades. Em três frases ou menos:
1) Grafos são conjuntos de pares ordenados e exemplos incluem {(a,1), (3,(3,4))} e {(1,2), (2,3), (1,4)}. 2) As projeções de um grafo G são os conjuntos pr1G e pr2G de seus primeiros e segundos elementos. 3) A composição de grafos G e H é o grafo G ◦ H cujos elementos são pares (x,y) tal que existe z com (x,z) em H
O documento discute operações com conjuntos, incluindo:
1) A definição e propriedades da interseção de conjuntos;
2) A definição e propriedades de conjuntos disjuntos;
3) A definição e propriedades da união de conjuntos.
O documento discute conjuntos, incluindo:
1) Igualdade de conjuntos e suas propriedades como reflexividade e transitividade.
2) Relação de inclusão entre conjuntos e suas propriedades.
3) Noções de subconjuntos e conjunto de partes de um conjunto.
O documento discute os conceitos básicos de conjuntos, incluindo: (1) Definições de conjunto segundo Bourbaki e Cantor; (2) Exemplos de conjuntos; (3) Relação de pertinência; (4) Conjunto universo; (5) Conjunto unitário e conjunto vazio.
1. O documento apresenta uma análise completa de três funções, estudando seu domínio, imagem, pontos de interseção com os eixos, intervalos de monotonia, continuidade e comportamento assintótico.
2. A primeira função é f(x) = x3 - 3x + 2, que é crescente nos intervalos (-∞, -2) e (1, +∞) e decrescente nos intervalos (-2, 1) e (1, 0). Sua imagem é R.
3. A segunda função é f(x) = x2/(x2
O documento discute propriedades de funções, incluindo continuidade, limites, funções pares e ímpares, períodicidade, intervalos de monotonia e extremos. Apresenta exemplos para ilustrar cada conceito.
1) A função f(x) = 8x - x^2 é uma parábola voltada para baixo com vértice em (4,16). Seu domínio é R e imagem é (-∞,16]. É crescente em (-∞,4) e decrescente em (4,+∞).
2) A função f(x) = |3-x| é modular com vértice em (3,0). Seu domínio é R e imagem é [0,+∞). É decrescente em (-∞,3) e crescente em (3,+∞).
1) Explica como resolver equações polinomiais de 1o e 2o grau, e que equações de grau superior a 2 são mais complexas de resolver;
2) Diz que o Teorema Fundamental da Álgebra afirma que toda equação polinomial tem exatamente n raízes complexas, mas o número de raízes reais depende da forma da equação;
3) Explica que para graus maiores que 4 não há fórmulas gerais, mas podemos tentar reduzir o grau encontrando um fator que divida o polinômio.
1) O documento descreve três métodos de prova matemática: prova direta, prova de bicondicional e prova por redução ao absurdo.
2) Na prova direta, parte-se de uma hipótese P para deduzir uma conclusão Q. Na prova de bicondicional, provam-se as implicações P→Q e Q→P.
3) A prova por redução ao absurdo parte da negação de uma afirmação P para deduzir uma contradição e provar P.
A Maçonaria é uma fraternidade universal que busca o autoconhecimento e o aprimoramento moral por meio de símbolos e alegorias, sem envolver-se em política ou religião. Ela trabalha pelo desenvolvimento espiritual da humanidade de forma discreta e através de atividades filantrópicas e culturais.
1. FUNC¸ ˜OES TRIGONOM´ETRICAS
Prof. Dr. Carlos Campani
1 O C´ırculo Trigonom´etrico
O c´ırculo trigonom´etrico ´e um c´ırculo de raio 1, dividido por dois eixos
ortogonais, bem ao centro, em quatro quadrantes. Portanto, os pontos onde
o c´ırculo intercepta os eixos s˜ao: (1, 0); (0, 1); (−1, 0); e (0, −1).
O c´ırculo perfaz 360◦
(graus) ou 2π radianos. Assim, estes pontos est˜ao,
respectivamente, nos ˆangulos α = 0◦
, α = 90◦
, α = 180◦
e α = 270◦
,
finalizando novamente no ponto (1, 0) em α = 360◦
. Podemos ter ˆangulos
negativos. Assim, −90◦
= 270◦
, −180◦
= 180◦
e assim por diante.
C´IRCULO EM GRAUS E COM OS QUADRANTES INDICADOS
1
2. C´IRCULO EM RADIANOS
Para converter graus em radianos e vice-versa, basta fazer uma regra de
trˆes. Por exemplo, desejamos determinar quantos radianos s˜ao 18◦
, ent˜ao,
360 ←→ 2π
18 ←→ x
360x = 18.2π ⇒ x =
36π
360
=
π
10
2
3. C´IRCULO COM ALGUNS ˆANGULOS IMPORTANTES
Observe que as proje¸c˜oes dos pontos no eixo horizontal s˜ao positivas no
1o
e 4o
quadrantes e negativas no 2a
e 3a
quadrantes. As proje¸c˜oes no eixo
vertical s˜ao positivas no 1o
e 2o
quadrantes e negativas no 3o
e 4o
quadrantes.
3
4. DETERMINAC¸ ˜AO DAS COORDENADAS DOS PONTOS DE
INTERSEC¸ ˜AO MOSTRADOS NO C´IRCULO
Para 45◦
, a reta que intercepta o c´ırculo ´e a bissetriz do 1o
quadrante. As-
sim, as proje¸c˜oes do ponto nos dois eixos s˜ao iguais, digamos a, determinando
um triˆangulo retˆangulo com hipotenusa valendo 1, como mostra a figura.
Ent˜ao, aplicando Pit´agoras, ou seja, que o quadrado da hipotenusa ´e a soma
dos quadrados dos catetos de um triˆangulo retˆangulo, obtemos:
a2
+ a2
= 12
⇒ 2a2
= 1 ⇒ a2
=
1
2
⇒ a =
1
√
2
=
√
2
2
Resultando nas coordenadas do ponto (
√
2
2
,
√
2
2
) para 45◦
.
Para a determina¸c˜ao das proje¸c˜oes para os ˆangulos de 30◦
e 60◦
devemos
partir de um triˆangulo equil´atero de lado a, dividindo este triˆangulo em dois
por meio de uma reta vertical partindo do v´ertice superior do triˆangulo:
4
5. Sabemos que todos os ˆangulos internos de um triˆangulo equil´atero medem
60◦
. Assim, o corte feito define dois triˆangulos retˆangulos com ˆangulos 30◦
,
60◦
e 90◦
, hipotenusa a, e catetos a/2 e b, como mostra a figura.
O cateto b, que determina a altura do triˆangulo equil´atero, pode ser de-
terminado por Pit´agoras:
b2
+
a
2
2
= a2
⇒ b2
= a2
−
a2
4
⇒ b2
=
3a2
4
⇒ b = a
√
3
2
Como a = 1, pois ´e o raio do c´ırculo trigonom´etrico, as coordenadas para
30◦
s˜ao (
√
3
2
, 1
2
) e para 60◦
s˜ao (1
2
,
√
3
2
).
Para os demais quadrantes, basta verificar, por exemplo, que o ˆangulo
150◦
tem a mesma proje¸c˜ao do ˆangulo de 30◦
no eixo vertical, e a proje¸c˜ao
no eixo horizontal ´e o valor negativo do valor para 30◦
. Isso decorre do fato
que 150◦
= 180◦
− 30◦
e os triˆangulos s˜ao semelhantes. Logo, para 150◦
as
coordenadas do ponto s˜ao (−
√
3
2
, 1
2
).
As rela¸c˜oes que permitem definir os triˆangulos semelhantes e as proje¸c˜oes
de todos os pontos marcados na figura s˜ao:
• 120◦
= 180◦
− 60◦
• 135◦
= 180◦
− 45◦
• 150◦
= 180◦
− 30◦
• 210◦
= 180◦
+ 30◦
• 225◦
= 180◦
+ 45◦
• 240◦
= 180◦
+ 60◦
• 300◦
= 360◦
− 60◦
• 315◦
= 360◦
− 45◦
• 330◦
= 360◦
− 30◦
5
7. Definimos seno de α, sin α, como sendo a ordenada OB do ponto M.
Ent˜ao, a fun¸c˜ao seno,
f(x) = sin x
tem como dom´ınio dom(f) = R e imagem img(f) = [−1, 1].
A fun¸c˜ao seno ´e peri´odica, ou seja, seu valor se repete, com per´ıodo 2π.
2.1.2 Gr´afico da Fun¸c˜ao Seno
Chamamos este gr´afico de sen´oide.
Observe que a fun¸c˜ao ´e crescente no intervalo (−π/2, π/2) e decrescente
no intervalo (π/2, 3π/2).
2.2 Fun¸c˜ao Cosseno
2.2.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Cosseno
Definimos cosseno de α, cos α, como sendo a abscissa OA do ponto M.
Ent˜ao, a fun¸c˜ao cosseno,
f(x) = cos x
tem como dom´ınio dom(f) = R e imagem img(f) = [−1, 1].
A fun¸c˜ao cosseno ´e peri´odica, com per´ıodo 2π.
7
8. 2.2.2 Gr´afico da Fun¸c˜ao Cosseno
A fun¸c˜ao cosseno ´e crescente no intervalo (−π, 0) e decrescente no inter-
valo (0, π).
Observe este gr´afico em que as fun¸c˜oes seno e cosseno s˜ao mostradas
juntas:
Percebemos que o gr´afico da fun¸c˜ao cosseno ´e idˆentico ao da fun¸c˜ao seno,
apenas que sofreu uma transla¸c˜ao no eixo x de π/2.
2.3 Sobre o Seno e o Cosseno
2.3.1 Triˆangulo Retˆangulo do Seno e Cosseno
8
10. 2.3.3 Propriedades do Seno e Cosseno
Propriedades
1. sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
2. cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y
EXEMPLO DE USO
Sejam x = 30◦
e y = 45◦
. Podemos determinar o seno de 75◦
usando a
propriedade 1:
sin(75◦
) = sin(30◦
+ 45◦
) = sin(30◦
) cos(45◦
) + cos(30◦
) sin(45◦
) ≈
0, 5.0, 7071 + 0, 8660.0, 7071 ≈ 0, 965
2.4 Fun¸c˜ao Tangente
2.4.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Tangente
Tra¸cando uma tangente vertical ao c´ırculo trigonom´etrico passando em
(1, 0), definimos uma proje¸c˜ao da reta secante do ˆangulo α com a reta tan-
gente que passa por (1, 0). Isso define um ponto X, que ´e a interse¸c˜ao da
reta secante com a reta tangente. A tangente de α ´e definida como a medida
do segmento que une o ponto (1, 0) e o ponto X.
Denotamos a fun¸c˜ao tangente de x como:
f(x) = tan x
10
11. 2.4.2 Rela¸c˜ao entre Seno, Cosseno e Tangente
Observamos que o triˆangulo formado pelo seno e o cosseno ´e semelhante ao
triˆangulo que tem como cateto oposto a tangente de α. Assim, as propor¸c˜oes
entre os lados se mant´em e podemos fazer a seguinte regra de trˆes:
tan α ←→ sin α
1 ←→ cos α
Observe que o cateto adjacente do triˆangulo da tangente ´e o raio do c´ırculo
que vale 1. Assim,
tan α. cos α = 1. sin α
Propriedade
tan α =
sin α
cos α
e cos α = 0
2.4.3 Dom´ınio da Tangente
Sendo tan α = sin α
cos α
, exige-se que cos α = 0. Sabemos que o cosseno
anula-se em π/2, 3π/2, −π/2 e seus m´ultiplos. Para deduzir uma condi¸c˜ao
que defina o dom´ınio do cosseno de α precisamos encontrar uma rela¸c˜ao entre
o conjunto Z e os valores em que o cosseno se anula. Assim,
. . . −π
2
π
2
3π
2
. . .
. . . −1 0 1 . . .
Para generalizar isso para todos os valores em que o cosseno anula-se, preci-
samos encontrar os valores de a e b, tal que ak + b, para k ∈ Z, que resulte
na rela¸c˜ao mostrada acima. Assim, tomamos primeiro k = 0,
a.0 + b =
π
2
⇒ b =
π
2
Agora podemos usar um outro valor para obter a
a.1 +
π
2
=
3π
2
⇒ a = π
Ent˜ao, para f(x) = tan x,
dom(f) = {x ∈ R|x = kπ + π/2, k ∈ Z}
11
12. 2.4.4 Alguns Valores Importantes da Fun¸c˜ao Tangente
Usando a rela¸c˜ao tan α = sin α
cos α
podemos obter, a partir da tabela mostrada
na se¸c˜ao 2.3.2, alguns valores importantes da tangente:
α (em graus) tangente de α
0 0
30
√
3
3
≈ 0, 57735
45 1
60
√
3 ≈ 1, 732
90 n˜ao existe
120 −
√
3 ≈ −1, 732
135 −1
150 −
√
3
3
≈ −0, 57735
180 0
210
√
3
3
≈ 0, 57735
225 1
240
√
3 ≈ 1, 732
270 n˜ao existe
300 −
√
3 ≈ −1, 732
315 −1
330 −
√
3
3
≈ −0, 57735
360 0
12
13. 2.4.5 Gr´afico da Fun¸c˜ao Tangente
Para a determina¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao tangente devemos observar que:
• Ocorrem ass´ıntotas verticais nos valores x = kπ + π/2, para k ∈ Z,
onde o cosseno anula-se
• A fun¸c˜ao tangente ´e crescente em todo seu dom´ınio
13
14. 2.5 Fun¸c˜ao Secante
2.5.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Secante
Definimos secante de α, sec α, como sendo o valor do segmento de reta
OX. Denotamos a fun¸c˜ao secante como:
f(x) = sec x
2.5.2 Triˆangulo Retˆangulo da Tangente e Secante
Deste triangulo podemos deduzir uma rela¸c˜ao fundamental entre a tan-
gente e a secante aplicando Pit´agoras:
Propriedade
(sec α)2
= (tan α)2
+ 1
14
15. 2.5.3 Rela¸c˜ao entre a Secante e o Cosseno
A partir dos triˆangulo semelhantes da figura obtemos,
sec α ←→ 1
1 ←→ cos α
e deduzimos:
Propriedade
sec α =
1
cos α
e cos α = 0
2.5.4 Dom´ınio da Secante
Pelo exposto acima, o dom´ınio da secante ´e idˆentico ao da tangente.
Ent˜ao, para f(x) = sec x,
dom(f) = {x ∈ R|x = kπ + π/2, k ∈ Z}
15
16. 2.5.5 Gr´afico da Secante
Observe que a imagem da secante ´e img(f) = (−∞, −1) ∪ (1, +∞).
2.6 Fun¸c˜ao Cotangente
2.6.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Cotangente
Tra¸camos uma reta horizontal tangente ao c´ırculo trigonom´etrico, pas-
sando pelo ponto (0, 1). A intercepta¸c˜ao da reta tangente pela reta secante
16
17. determina o ponto X. Definimos, conforme a figura acima, cotangente de α
como sendo a medida do segmento que une (0, 1) e X. Assim, denotamos a
fun¸c˜ao cotangente por:
f(x) = cot(x)
2.6.2 Gr´afico da Cotangente
17
18. 2.7 Fun¸c˜ao Cossecante
2.7.1 Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao Cossecante
Definimos a cossecante de α como sendo o segmento de reta OX. Deno-
tamos a fun¸c˜ao cossecante como:
f(x) = csc(x)
18
19. 2.7.2 Gr´afico da Cossecante
2.8 Sobre Seno, Cosseno, Cotangente e Cossecante
2.8.1 Triˆangulo Retˆangulo da Cotangente e Cossecante
19
20. Deste triˆangulo podemos retirar uma rela¸c˜ao fundamental entre a cotan-
gente e a cossecante:
Propriedade
(csc α)2
= (cot α)2
+ 1
2.8.2 Rela¸c˜oes Trigonom´etricas Envolvendo Cotangente e Cosse-
cante
Devemos perceber que os dois triˆangulos retˆangulos definidos pelos se-
guintes v´ertices s˜ao triˆangulos semelhantes:
• O, (0, 1) e X
• O, A e M
Assim,
sin α ←→ 1
cos α ←→ cot α
Disso deduzimos as seguintes rela¸c˜oes:
Propriedades
cot α =
cos α
sin α
=
1
tan α
e sin α = 0
20
21. De forma semelhante, podemos deduzir a seguinte propriedade da cosse-
cante:
Propriedade
csc α =
1
sin α
e sin α = 0
2.8.3 Dom´ınio das Fun¸c˜oes Cotangente e Cossecante
Ambas as fun¸c˜oes, cotangente e cossecante, exigem sin x = 0. Assim, o
dom´ınio de ambas ´e igual:
dom(f) = {x ∈ R|x = kπ, k ∈ Z}
2.9 Simplifica¸c˜ao de Express˜oes Envolvendo Fun¸c˜oes
Trigonom´etricas
A) Simplifique 1
(csc x)2 + 1
(sec x)2
1
(csc x)2
+
1
(sec x)2
= (sin x)2
+ (cos x)2
= 1
Pois csc x = 1
sin x
e sec x = 1
cos x
.
B) Simplifique sec x sec x − 1
sec x
− (sin x)2
(sec x)2
1. sec x sec x − 1
sec x
− (sin x)2
(sec x)2
2. [(sec x)2
− 1] − (sin x)2
(sec x)2
[prop. distributiva]
3. (tan x)2
− (sin x)2
(sec x)2
[pois (sec x)2
= (tan x)2
+ 1]
4. (tan x)2
− sin x
cos x
2
[pois sec x = 1
cos x
]
5. (tan x)2
− (tan x)2
= 0 [pois tan x = sin x
cos x
]
21
22. 3 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas Inversas
3.1 Fun¸c˜ao Arco Seno
Observemos primeiro que fun¸c˜ao seno n˜ao ´e injetora e, portanto, n˜ao
admite inversa. Na verdade, todas as fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao peri´odicas,
e nenhuma fun¸c˜ao peri´odica passa pelo teste da reta horizontal. Ent˜ao, faz-se
necess´ario efetuar uma restri¸c˜ao de dom´ınio.
Consideremos o gr´afico do seno:
Para efetuar a restri¸c˜ao de dom´ınio, consideraremos as seguintes priori-
dades para selecionar o novo dom´ınio:
• preferencialmente incluir a origem
• preferencialmente incluir tanto valores positivos quanto valores negati-
vos
• preferencialmente preservar toda a imagem
No gr´afico da fun¸c˜ao seno, mostrado acima, marcamos o intervalo −π
2
, π
2
,
que satisfaz todas estas recomenda¸c˜oes. Assim, a fun¸c˜ao seno, com a restri¸c˜ao
de dom´ınio, fica definida como:
f(x) = sin x com dom(f) = −
π
2
,
π
2
e img(f)[−1, 1]
Definimos o arco seno como
f−1
(x) = arcsin x com dom(f) = [−1, 1] e img(f) = −
π
2
,
π
2
22
23. GR´AFICO DO ARCO SENO
3.2 Fun¸c˜ao Arco Cosseno
Consideremos o gr´afico do cosseno:
O intervalo que melhor satisfaz as prioridades acima definidas ´e o intervalo
[0, π]. Assim,
f(x) = cos x com dom(f) = [0, π] e img(f) = [−1, 1]
e definimos o arco cosseno como
f−1
(x) = arccos x com dom(f) = [−1, 1] e img(f) = [0, π]
23
24. GR´AFICO DO ARCO COSSENO
3.3 Fun¸c˜ao Arco Tangente
Seja f(x) = tan x, com dom(f) = (−π/2, π/2) e img(f) = R. Definimos
o arco tangente como f−1
(x) = arctan x, com dom(f) = R e img(f) =
(−π/2, π/2).
GR´AFICO DO ARCO TANGENTE
24
25. 3.4 Simplifica¸c˜ao de Express˜oes Envolvendo Fun¸c˜oes
Trigonom´etricas Inversas
A) Seja y = tan(arcsin(x)).
Tomamos α = arcsin(x), x = sin(α) e y = tan(α). Do triˆangulo retˆangulo
do seno e cosseno, sabemos que x2
+ (cos(α))2
= 12
e cos(α) =
√
1 − x2.
Ent˜ao,
y = tan(α) =
sin(α)
cos(α)
=
x
√
1 − x2
B) Seja y = sin(arctan(x)).
Tomamos α = arctan(x), x = tan(α) e y = sin(α). Do triˆangulo retˆangulo
da tangente e secante, sabemos que (sec(α))2
= (tan(α))2
+ 12
. Portanto
sec(α) =
√
x2 + 1. Como sec(α) = 1
cos(α)
, conclu´ımos que cos(α) = 1√
x2+1
.
Usando o triˆangulo retˆangulo do seno e cosseno, (sin(α))2
+ (cos(α))2
= 12
,
deduzimos que
y = sin(α) = 1 − (cos(α))2 = 1 −
1
√
x2 + 1
2
=
1 −
1
x2 + 1
=
x
√
x2 + 1
25