O documento descreve os conceitos básicos para definir rigorosamente os números inteiros positivos através de postulados. Os postulados incluem que cada número tem um sucessor e que qualquer subconjunto que contenha 1 e é fechado sob sucessão contém todos os números inteiros.

1. CARACTERIZAÇÃO DOS INTEIROS
O conjunto Z + de inteiros positivos {1, 2, 3, ...} é simples e familiar,
mas descrevendo-o de uma forma totalmente rigorosa não é trivial.
Muitos dos nossos teoremas parece que vai ser tão óbvio que eles
não deveriam exigir provas.
Como sempre em matemática, devemoscomeçarcom alguns
postulados.Tentamos escolherum conjunto mínimo de
características mais simples e óbvias dos inteiros.
Algumas propriedadesdos números inteiros positivos são fáceis de
afirmar. Cada número inteiro positivo é seguida por um número
positivo, que é chamado o seu sucessor.O número 1 é o primeiro
número inteiro positivo,por isso não é o sucessorde qualquer outro
número inteiro positivo.Qualquer outro número inteiro positivo é o
sucessorde um e somente um número inteiro positivo.
O sucessorde n será escrito como n + 1. No entanto, neste
momento não temos definido qualquer outro tipo de adição.
Podemosdefinirrigorosamente como 2 1 + 1, 3 + 1 como 2, etc,
continuando a sequênciaapenas na medida do necessário para
uma discussão particular.
Outra propriedade é necessária,porque há sistemas de números
diferentes dos números inteiros positivos que têm todas essas
propriedades.Um tal sistemaconsiste nos números inteiros
positivos,com a relação sucessorhabitual, e também dois
elementos adicionais de A e B, que são sucessores de um ao outro.
A propriedade adicionalé aquele que determina, com efeito,que
cada número inteiro positivo é 1, ou 2, ou 3, ou 4, e assim por
diante indefinidamente.Infelizmente,"e assim indefinidamente" não
tem lugar em uma definição rigorosa,emborapossamospensar que
sabemos o que isso significa.
Felizmente, existe uma alternativa.
Um subconjunto de Z + é dito para ser encerrado em sucessão se ele
contém os sucessores detodos os seus elementos; ou seja, se n for no
subconjunto,então n + 1 está também no subconjunto.Por exemplo, {1,
2} não é fechado sob sucessão,mas {3, 4, 5, ...} é.

2. Agora podemos afirmar a propriedade necessária final dos inteiros
positivos: Qualquer subconjunto de Z +, que contém 1 e é fechado sob
sucessão contém todos os números inteiros positivos.
Na verdade, nós pode se contentar com condições ligeiramente mais
fracos, que são chamados a Peano postulados:
1.Every inteiro positivo tem um sucessor.
2. O número 1 não é o sucessor de qualquer inteiro positivo.
3.Every inteiro positivo diferente de 1 é o sucessor de no máximo um
número inteiro positivo.
4.Any conjunto de inteiros positivos que contém 1 e é fechado sob
sucessão contém todos os números inteiros positivos.
Duas outras propriedades bastante evidentes dos inteiros positivos pode
ser provado como um teorema.
Teorema1.1. Todo inteiro positivo diferente de 1 é o sucessorde
exatamente um número inteiro positivo, e nenhum número inteiro
positivo é o seu próprio sucessor.
Proof.Suponha, para fins de contradição,que o número inteiro
positivo n é diferente de 1 e não é o sucessorde qualquer número
inteiro positivo, ou é o seu próprio sucessor.Então, em qualquer
caso, o conjunto Z + - {n} viola Peano Postulado (4). █
Teorema1.1 também pode ser indicado de forma mais concisa. A
sucessãofunção f (n) = n + 1 é um mapeamento um-para-um de Z
+ Z + em - {1}.
É agora fácilde mostrar que 1, 2, 3 e 4 são todos distintos. Se 1 =
2, 1 = 3 ou 4 1 =, em seguida,1 seria o sucessorde 1, 2 ou 3,
respectivamente.Se 2 = 3 = 3 ou 4, em seguida, 2 ou 3 seria seu
próprio sucessor.Se 2 = 4, em seguida, 1 = 3, porque cada número
inteiro é o sucessorde apenas um número inteiro, e 1 = 3 já foi
excluída. Argumentos semelhantes pode ser utilizado para qualquer
número de números inteiros que podem serlistados e tratados de
forma exaustiva.
Nós não definiu subtração ainda, mas para um número inteiro
positivo n diferente de 1, usaremos a notação n-1 para indicar o
número inteiro cujo sucessoré n.

3. 2. INDUÇÃO E RECURSÃO
Peano Postulado (4) é muitas vezes chamado o postulado indução
matemática, porque ele pode ser lançado no referido formulário.
A técnica de indução matemáticatem dois passos.Dê uma
declaração sobre o inteiro n.
• Passo 1: Prove a declaração para n = 1.
• Passo 2: Suponha que a afirmação é verdadeira para n e depois
provar isso para n + 1.
A declaração deve,então, ser verdadeiro para todos os inteiros
positivos.Na Etapa 2, o pressupostode que a afirmação é
verdadeira para n é muitas vezes chamado a hipótese indutiva. A
técnica é dada justificação formalpelo seguinte teorema.
Teorema2.1. Seja S uma afirmação sobre um número inteiro
positivo, e suponha que
1.s é verdadeiro para 1,
2. Para todos os n, se S é verdadeira para n então é verdade para n
+ 1.
Então S é verdade para todos os inteiros positivos.
Proof.Seja T o conjunto de todos os inteiros positivos para os quais
S é verdade. Então Peano Postulado (4) afirma que T contém todos
os inteiros positivos.█
Em alguns casos, temos que usar a indução de casal.
Teorema2.2. Deixe-S (m, n) uma declaração sobre dois inteiros
positivos,e suponha que
1.s (1, 1) é verdadeira,
2. Para todos os símbolos m e n, S (m, n) implica S (m + 1, n) e S
(m, n + 1).
Então S (m, n) é verdadeira para todos os pares de inteiros
positivos.
Proof.Seja T (n) ser a declaração "S (m, n) é verdadeira para todos
os inteiros m". Então nós provar T (n) por indução.
Para n = 1, T (1) torna-se "S (m, 1) é verdadeiro para todos m". Isso
pode ser provado por indução sobre m:

4. Para m = 1, S (m, 1) é verdadeira, por hipótese,(1).
Se S (m, 1) é verdadeira, então S (m + 1, 1) é verdadeira, por
hipótese,(2).
Em seguida, vamos supor T (n), que se torna "S (m, n) é verdade
para todos m". Por hipótese (2), "S (m, n + 1) é verdadeiro para
todos m", o qual é T (n + 1).
Assim T (n) é verdadeira para todo n, que era o resultado desejado.
█
Intimamente relacionada com a indução matemática é uma técnica
chamada recursão.Podemosdefiniruma função f, definindo f (1) e
definindo f (n + 1) em termos de n e f (n). O seguinte teorema
mostra que essatécnica faz definir uma função única sobre os
números inteiros positivos.
Teorema2.3. Seja R qualquer conjunto não vazio. Seja F: R ⨯ Z +
⟶ R e seja A qualquer elemento de R. Em seguida, há uma, e
apenas uma função f: Z + ⟶ R tal que
ADIÇÃO
Os números inteiros positivos também têm uma operação de
adição.Até agora, vimos apenas um único exemplo de adição,n +
1. Gostaríamos além de ser compatívelcom este exemplo e
obedecera leis associativo e comutativo:
n + 1 é o sucessorde n
m + (n + p) = (m + n) + p (adição é associativa)
m + n = n + m (adição é comutativa)
Teorema3.1. Há exatamente uma maneira de definir adição on Z +
tal que a adição é associativa e n + 1 é o sucessorde n para cada
inteiro positivo n.
Seja m um número inteiro positivo. Pelo Teorema2.3 há um fm
função de tal forma que:
• FM (1) = m + 1,
• fm (n + 1) = fm (n) uma para cada inteiro positivo n.
Em seguida, defina m + n ser fm (n). É claro que, para todos os

5. números inteiros positivos de m e n,
• m + 1 é o sucessorde m,
• m + (n + 1) = (m + n) para cada um número inteiro positivo n.
Temos agora de demonstrar que esta operação é associativa,
mesmo quando o último operando não é 1, ou seja, que m + (n + p)
= (m + n) + p para todos os números inteiros positivos m, n e p.
Usamos indução sobre p. Para p = 1 já foicomprovada. Em
seguida, se m + (n + p) = (m + n) + p,
m + (n + (p + 1)) = m + ((n + p) 1) = (m + (n + p)) + 1 = ((m + n) + p)
1 = (m + n) + (p + 1),
por isso também é verdadeiro para p + 1.
Se ++ é uma outra operação associativo tal que M ++ 1 = m + 1,
então ele pode facilmente ser demonstrado por indução m em que
m ++ n = m + n para cada inteiro positivo n. Por conseguinte,a
operação é único. █
Nós não requerem além de ser comutativa, mas podemos provar
que é.
Teorema3.2. Para quaisquer inteiros positivos m e n, m + n = n +
m.
Proof.Nós primeiro provar o caso especialde 1 + n = n + 1 por
indução em n. Para n = 1, é óbvio. Se 1 + n = n + 1, então 1 + (n +
1) = (1 + n) = 1 (n + 1) 1.
Agora vamos provar o caso geral m + n = n + m por indução sobre
m. Para m = 1 reduz para o caso especial.Se m + n = n + m, em
seguida, (m + 1) + n = m + (1 + n) = m + (n + 1) = (m + n) 1 = (n +
m) +1 = n + (m 1). █
Nós não temos subtração contudo, mas nós temos uma lei de
cancelamento.
Teorema3.3. Se m = p + n + p para quaisquer inteiros positivos m,
n e p, então m = n.
Proof.Usamos indução sobre p. Para p = 1 a afirmação é idêntico
ao Peano Postulado (3). Se m + (p + 1) = n + (p + 1), em seguida,

6. (m + p) 1 = (n + p) 1, de modo que m + p = n + p igual a pelo
postulado,e m = n pela hipótese indutiva. █
Os seguintes teoremas pode pareceróbvio, mas vamos precisar
deles na próxima seção.
Teorema3.4. Para quaisquer inteiros positivos m e n, m + n não é
igual a m ou n.
Proof.Usamos indução sobre n. Para n = 1, m + 1 não é igual a 1,
porque não é uma sucessorade qualquer número inteiro positivo.
Se m + n não é igual a n, n + m + 1 não é igual a n + 1 porque
diferentes números inteiros não podem ter o mesmo sucessor.
Uma vez disso é conmutativo, m + n, também não é igual a m. █
Teorema3.5. Para quaisquer inteiros positivos m e n, um e apenas
um dos mantém o seguinte:
• (1) m = n.
• (2) Existe um número inteiro positivo p tal que m + p = n.
• (3) Há um número inteiro q positivo tal que m = n + q.
Proof.Teorema3.4 mostra que (1) é incompatível com (2) ou (3).
Além disso,se (2) e (3) foram ambos verdadeira, então m = m + p +
q, o que é impossívelpelo Teorema3.4. Isto mostra que apenas
uma das condiçõespode conter.
A outra parte é por indução duplo no m e n. Se m = n = 1, então (1)
se mantém. Ora assumir que uma das condiçõesdetém.
Se m = n então m e n + 1 obedeça(2) e m + 1 e n obedecer(3).
Se m = n + p, consideram-se dois casos.
Se p = 1, então m + n = 1, então m + 1 e n obedecer(1), e m e n +
1 obedeça(2) porque m + 1 + 1 = n + 1, então m + n = 2 .
Se p é um não, então p = r + 1 para algum r, então m + r + 1 = n.
Então m + 1 e n obedecer(2) e por isso, m e n + 1.
A prova, no caso em que m = n + q é semelhante.
MULTIPLICAÇÃO

7. A multiplicação de números inteiros positivos é outra operação
familiar. Informalmente,multiplicação pode serdefinida como a
adição repetida:
mn = m + m + m + ... + m (n vezes)
Isto sugere as seguintes propriedades formais:
1.m1 = m
2.m (n + 1) = Mn + m
Existe apenas uma operação com essas propriedades.
Teorema6.1. Há exatamente uma maneira de definir a
multiplicação de números inteiros positivos tais que m1 = m e m (n
+ 1) = mn + m.
Proof.Seja m um número inteiro positivo. Pelo Teorema2.3 há um
fm função exclusiva de tal forma que:
• fm (1) = m
• fm (n + 1) = fm (n) + m para cada inteiro positivo n
Nós definimos mn = fm (n). Em seguida, as propriedades desejadas
segue directamente da definição de f. █
Multiplicação tem três propriedades que exigem prova.
Teorema6.2. A multiplicação de inteiros positivos tem as seguintes
propriedades:
1.m (n + p) = mn + mp (multiplicação é distributiva sobre a adição)
2.m (np) = (mn) p (multiplicação é associativa)
3.mn = nm (multiplicação é comutativa)
Proof.Provamos distributividade por indução na p. Para p = 1
distributividade resulta do modo de multiplicação foi definido.Agora
vamos supor que m (n + p) = mn + mp. Em seguida
m (n + (p + 1)) = m ((n + p) 1) = m (n + p) + m = (mn + mp) + m =
Mn + (mp + m) = Mn + m (p 1).
Provamos associatividade por indução na p. Para p = 1
associatividade é trivial. Agora vamos supor m (np) = (mn) p. Em
seguida
m (n (p + 1)) = m = (np + n) m (np) + = Mn (Mn) p + = Mn (Mn) (p +
1).
Provamos comutatividade em duas etapas. Primeiro, provamos por

8. indução em m que 1m = m1 = m. Para m = 1 é trivial. Agora vamos
supor 1m = m. Em seguida
1 (m + 1) = 1 m + 1 = m + 1.
Agora vamos provar que mn = nm por indução em n. Para n = 1,
este é apenas o resultado comprovado.Agoravamos supor mn =
nm. Em seguida
m (n + 1) = mn + m = nm + m = m + m nm = (1 + n) = m (n + 1).
█
Como a multiplicação é comutativa, distributividade funciona nos
dois sentidos:
• m (n + p) = mn + mp,
• (n + p) m = nm + pm.
Uma propriedadede multiplicação e ordenação é fácil provar:
Teorema6.3. Se m, n, p e q são números inteiros positivos e m> n
e p> q, em seguida, pf> nq.
Proof.Por definição,não são inteiros positivos U e V tal que m = n +
u e p = q + v. Pelas leis distributivas e associativas:
mp = (n + u) (q + v) = (n + u) q + (n + u) v = nq + uq + nv + uv = nq
+ (uq + nv + uv).
Daí MP> nq por definição.█