Este documento resume as Unidades 1 e 2 do curso de Aritmética. A Unidade 1 trata de divisibilidade e propriedades relacionadas. A Unidade 2 apresenta a divisão euclidiana, que permite dividir qualquer número inteiro por outro, obtendo um quociente e um resto.
O documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções matemáticas. Aborda conceitos como conjunto domínio, conjunto imagem e propriedades de funções como composição e adição. Há também problemas envolvendo interpretação e representação gráfica de funções.
1) Se os vetores unitários a e b são paralelos à u e v respectivamente e têm o mesmo comprimento, então a soma a + b é paralela à bissetriz de BAC.
2) Em particular, o vetor soma dos vetores unitários de AB e AC é paralelo à bissetriz de BAC.
3) Isso ocorre porque a soma a + b tem o mesmo comprimento que os vetores originais e a direção média entre eles, que é a da bissetriz.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
1) A questão calcula a probabilidade de um número de 5 algarismos distintos pertencer ao conjunto M, que contém números menores que 58.931. A probabilidade é igual a 65/120.
2) A questão analisa o movimento de duas partículas e encontra o momento em que a distância entre elas é mínima. A distância mínima ocorre quando as partículas estão nas posições (8,0) e (0,4), unidas pela reta x+2y=8.
3) A questão resolve uma equação polinomial de 5o grau
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
1. O documento apresenta a resolução de exercícios sobre produto vetorial e produto misto. No primeiro exercício, calcula-se o ângulo entre os vetores u e v, que é de 5π/6. No segundo, determina-se um vetor a ortogonal a u e v, sendo a = (√3, -√3, -√3). No terceiro, calcula-se o valor de m para que a equação v = u × w tenha solução, sendo m = 12, e resolve-se a equação para este valor de m.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de combinatória como fatorial, princípio multiplicativo, permutações e arranjos simples.
2) Inclui definições de fatorial, coeficientes binomiais, permutações simples e como calculá-los, assim como arranjos simples.
3) Explica como utilizar o método de definição indutiva para definir conjuntos numéricos.
O documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções matemáticas. Aborda conceitos como conjunto domínio, conjunto imagem e propriedades de funções como composição e adição. Há também problemas envolvendo interpretação e representação gráfica de funções.
1) Se os vetores unitários a e b são paralelos à u e v respectivamente e têm o mesmo comprimento, então a soma a + b é paralela à bissetriz de BAC.
2) Em particular, o vetor soma dos vetores unitários de AB e AC é paralelo à bissetriz de BAC.
3) Isso ocorre porque a soma a + b tem o mesmo comprimento que os vetores originais e a direção média entre eles, que é a da bissetriz.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
1) A questão calcula a probabilidade de um número de 5 algarismos distintos pertencer ao conjunto M, que contém números menores que 58.931. A probabilidade é igual a 65/120.
2) A questão analisa o movimento de duas partículas e encontra o momento em que a distância entre elas é mínima. A distância mínima ocorre quando as partículas estão nas posições (8,0) e (0,4), unidas pela reta x+2y=8.
3) A questão resolve uma equação polinomial de 5o grau
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
1. O documento apresenta a resolução de exercícios sobre produto vetorial e produto misto. No primeiro exercício, calcula-se o ângulo entre os vetores u e v, que é de 5π/6. No segundo, determina-se um vetor a ortogonal a u e v, sendo a = (√3, -√3, -√3). No terceiro, calcula-se o valor de m para que a equação v = u × w tenha solução, sendo m = 12, e resolve-se a equação para este valor de m.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de combinatória como fatorial, princípio multiplicativo, permutações e arranjos simples.
2) Inclui definições de fatorial, coeficientes binomiais, permutações simples e como calculá-los, assim como arranjos simples.
3) Explica como utilizar o método de definição indutiva para definir conjuntos numéricos.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo explicações sobre conceitos básicos de aritmética como potenciação, radiciação e sistemas de numeração.
2) Inclui tópicos como propriedades de potenciação e radiciação, raiz quadrada aproximada, racionalização de expressões e transformação de radicais duplos.
3) Foi produzido pela IESDE Brasil S.A. e contém autores de diversas disciplinas para preparação de vestibulares.
Este documento apresenta resoluções de exercícios sobre conjuntos e funções. O primeiro exercício verifica que quatro conjuntos são todos diferentes. O segundo mostra que duas igualdades sobre interseção e união de conjuntos são válidas. O terceiro define diferença simétrica de conjuntos e mostra duas propriedades sobre ela.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais da Teoria Elementar dos Números, incluindo divisibilidade, algoritmo da divisão, máximo divisor comum e números primos.
2. A seção sobre divisibilidade discute propriedades como o algoritmo da divisão de Euclides e o teorema fundamental da aritmética.
3. O documento fornece definições, teoremas e exemplos para introduzir esses conceitos-chave da teoria elementar dos números.
Aula 3 Profmat - Divisao nos Inteiros e Representacao dos Numeros InteirosAline Guedes
O documento discute divisão nos inteiros e representação de números inteiros. É dividido em duas seções: 1) Divisão nos inteiros, incluindo divisibilidade e divisão euclidiana; 2) Sistemas de numeração para representar números inteiros.
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
O documento apresenta a resolução de 4 problemas utilizando a teoria das congruências lineares. O primeiro problema envolve a quantidade de ovos quebrados em uma barraca, resolvido em 301 ovos. O segundo trata de perguntas em que o nariz de Pinóquio cresceu, nas respostas 6 e 14. O terceiro envolve moedas divididas entre 3 marinheiros, com 241 moedas no total. O quarto problema é sobre gastos em um hotel com 41 homens e 17 mulheres.
O capítulo apresenta 12 questões de matemática resolvidas, incluindo cálculos com somas, fatoriais e equações. As questões subsequentes (13 a 21) também tratam de tópicos matemáticos como relações entre classes e solução de equações.
Aula 1 - Os Números Inteiros - 04 08-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os números inteiros de forma axiomática, definindo propriedades básicas como fechamento para adição e multiplicação.
2. São definidos os axiomas da adição e multiplicação que tornam os inteiros um anel, no qual estas operações seguem propriedades como comutatividade e distributividade.
3. Além destes axiomas, outros como a tricotomia caracterizam unicamente os inteiros e permitem definir a relação "menor que", particionando os inteiros em subconjuntos de positivos, negat
Este documento apresenta conceitos fundamentais de cálculo diferencial e integral, incluindo:
1) Definição de função matemática e exemplos de relações que representam funções;
2) Noção de domínio, contradomínio e imagem de uma função;
3) Exemplos de funções compostas e determinação da função inversa.
O documento apresenta a demonstração do binômio de Newton por indução finita, mostrando que a fórmula (x + y)n = ∑ni=0(nCi)xiy(n-i) é válida para qualquer número natural n ≥ 1. A demonstração parte do caso base n = 1 e assume a propriedade válida para k, demonstrando ser válida também para k + 1.
Este documento lista exercícios de conjuntos e intervalos retirados do livro de Iezzi, com as páginas e questões correspondentes. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico e não apenas conclusões.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
1. O documento define conjuntos e apresenta suas representações, elementos especiais como conjunto vazio e conjunto universo, subconjuntos e operações com conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
2. São apresentadas propriedades dessas operações como comutatividade, associatividade e elementos neutros e absorventes.
3. O produto cartesiano é definido como o conjunto de pares ordenados cujos elementos pertencem aos conjuntos originais.
1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional.
3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).
Este documento fornece uma lista de exercícios sobre conjuntos e intervalos retirados do livro de Iezzi, com as páginas e questões indicadas. Há também algumas soluções e comentários para algumas questões.
O documento discute aplicações do máximo divisor comum (MDC) em três tópicos: equações diofantinas lineares, expressões binômias e números de Fibonacci. Especificamente, apresenta proposições e métodos para calcular o MDC dessas expressões e determinar se equações diofantinas possuem soluções inteiras ou naturais.
O documento apresenta 12 problemas de matemática para uma olimpíada, incluindo sistemas de equações, geometria, números divisíveis e arranjos de letras em palavras.
Equações de recorrência - II (Otimização)Jedson Guedes
1) O documento descreve um método para otimizar equações de recorrência linear não-homogêneas transformando-as em equações homogêneas equivalentes.
2) Isso é feito multiplicando a equação original por constantes e subtraindo de outra equação derivada dela, eliminando os termos não-homogêneos.
3) Em seguida, a equação homogênea resultante pode ser resolvida usando o mesmo método para equações de recorrência homogêneas.
1) O documento discute divisibilidade em números inteiros e o algoritmo da divisão euclidiana.
2) É definida divisibilidade e apresentadas propriedades como se a divide b e b divide c, então a divide c.
3) É provado o Teorema do Algoritmo da Divisão em Z e mostrado como obter quociente e resto usando uma calculadora.
1. O documento discute conceitos de divisibilidade de números inteiros. Ele apresenta definições e propriedades da divisibilidade, incluindo proposições sobre divisibilidade de expressões polinômicas.
2. O documento também lista problemas relacionados à divisibilidade para serem resolvidos.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo explicações sobre conceitos básicos de aritmética como potenciação, radiciação e sistemas de numeração.
2) Inclui tópicos como propriedades de potenciação e radiciação, raiz quadrada aproximada, racionalização de expressões e transformação de radicais duplos.
3) Foi produzido pela IESDE Brasil S.A. e contém autores de diversas disciplinas para preparação de vestibulares.
Este documento apresenta resoluções de exercícios sobre conjuntos e funções. O primeiro exercício verifica que quatro conjuntos são todos diferentes. O segundo mostra que duas igualdades sobre interseção e união de conjuntos são válidas. O terceiro define diferença simétrica de conjuntos e mostra duas propriedades sobre ela.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais da Teoria Elementar dos Números, incluindo divisibilidade, algoritmo da divisão, máximo divisor comum e números primos.
2. A seção sobre divisibilidade discute propriedades como o algoritmo da divisão de Euclides e o teorema fundamental da aritmética.
3. O documento fornece definições, teoremas e exemplos para introduzir esses conceitos-chave da teoria elementar dos números.
Aula 3 Profmat - Divisao nos Inteiros e Representacao dos Numeros InteirosAline Guedes
O documento discute divisão nos inteiros e representação de números inteiros. É dividido em duas seções: 1) Divisão nos inteiros, incluindo divisibilidade e divisão euclidiana; 2) Sistemas de numeração para representar números inteiros.
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
O documento apresenta a resolução de 4 problemas utilizando a teoria das congruências lineares. O primeiro problema envolve a quantidade de ovos quebrados em uma barraca, resolvido em 301 ovos. O segundo trata de perguntas em que o nariz de Pinóquio cresceu, nas respostas 6 e 14. O terceiro envolve moedas divididas entre 3 marinheiros, com 241 moedas no total. O quarto problema é sobre gastos em um hotel com 41 homens e 17 mulheres.
O capítulo apresenta 12 questões de matemática resolvidas, incluindo cálculos com somas, fatoriais e equações. As questões subsequentes (13 a 21) também tratam de tópicos matemáticos como relações entre classes e solução de equações.
Aula 1 - Os Números Inteiros - 04 08-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os números inteiros de forma axiomática, definindo propriedades básicas como fechamento para adição e multiplicação.
2. São definidos os axiomas da adição e multiplicação que tornam os inteiros um anel, no qual estas operações seguem propriedades como comutatividade e distributividade.
3. Além destes axiomas, outros como a tricotomia caracterizam unicamente os inteiros e permitem definir a relação "menor que", particionando os inteiros em subconjuntos de positivos, negat
Este documento apresenta conceitos fundamentais de cálculo diferencial e integral, incluindo:
1) Definição de função matemática e exemplos de relações que representam funções;
2) Noção de domínio, contradomínio e imagem de uma função;
3) Exemplos de funções compostas e determinação da função inversa.
O documento apresenta a demonstração do binômio de Newton por indução finita, mostrando que a fórmula (x + y)n = ∑ni=0(nCi)xiy(n-i) é válida para qualquer número natural n ≥ 1. A demonstração parte do caso base n = 1 e assume a propriedade válida para k, demonstrando ser válida também para k + 1.
Este documento lista exercícios de conjuntos e intervalos retirados do livro de Iezzi, com as páginas e questões correspondentes. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico e não apenas conclusões.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
1. O documento define conjuntos e apresenta suas representações, elementos especiais como conjunto vazio e conjunto universo, subconjuntos e operações com conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
2. São apresentadas propriedades dessas operações como comutatividade, associatividade e elementos neutros e absorventes.
3. O produto cartesiano é definido como o conjunto de pares ordenados cujos elementos pertencem aos conjuntos originais.
1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional.
3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).
Este documento fornece uma lista de exercícios sobre conjuntos e intervalos retirados do livro de Iezzi, com as páginas e questões indicadas. Há também algumas soluções e comentários para algumas questões.
O documento discute aplicações do máximo divisor comum (MDC) em três tópicos: equações diofantinas lineares, expressões binômias e números de Fibonacci. Especificamente, apresenta proposições e métodos para calcular o MDC dessas expressões e determinar se equações diofantinas possuem soluções inteiras ou naturais.
O documento apresenta 12 problemas de matemática para uma olimpíada, incluindo sistemas de equações, geometria, números divisíveis e arranjos de letras em palavras.
Equações de recorrência - II (Otimização)Jedson Guedes
1) O documento descreve um método para otimizar equações de recorrência linear não-homogêneas transformando-as em equações homogêneas equivalentes.
2) Isso é feito multiplicando a equação original por constantes e subtraindo de outra equação derivada dela, eliminando os termos não-homogêneos.
3) Em seguida, a equação homogênea resultante pode ser resolvida usando o mesmo método para equações de recorrência homogêneas.
1) O documento discute divisibilidade em números inteiros e o algoritmo da divisão euclidiana.
2) É definida divisibilidade e apresentadas propriedades como se a divide b e b divide c, então a divide c.
3) É provado o Teorema do Algoritmo da Divisão em Z e mostrado como obter quociente e resto usando uma calculadora.
1. O documento discute conceitos de divisibilidade de números inteiros. Ele apresenta definições e propriedades da divisibilidade, incluindo proposições sobre divisibilidade de expressões polinômicas.
2. O documento também lista problemas relacionados à divisibilidade para serem resolvidos.
1) O documento discute conceitos de divisibilidade e divisão euclidiana em números inteiros.
2) A divisibilidade define quando um número divide outro deixando resto zero. A divisão euclidiana garante que sempre é possível dividir dois números inteiros com resto.
3) O texto apresenta proposições e definições formais sobre divisibilidade e quociente e resto da divisão euclidiana, além de exemplos ilustrativos.
1) O documento apresenta 12 exercícios sobre conjuntos, números racionais e relações entre conjuntos. 2) Os conjuntos vazios são B e D. As igualdades verdadeiras são a), b) e c). 3) As proposições verdadeiras sobre subconjuntos são a), c), d) e e).
O documento apresenta as principais notações e propriedades dos conjuntos numéricos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e sua relação na formação dos números reais. Apresenta também as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão nesses conjuntos, assim como propriedades como comutatividade, associatividade e distribuição. Por fim, inclui exercícios de aplicação desses conceitos.
O documento apresenta as principais notações e propriedades dos conjuntos numéricos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e sua união no conjunto dos números reais. Apresenta as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão nesses conjuntos e suas propriedades. Por fim, fornece exemplos numéricos ilustrativos.
O documento descreve a representação posicional de inteiros em diferentes bases numéricas, como a base decimal, binária e hexadecimal. Explica que qualquer inteiro positivo pode ser representado de forma única como uma soma de potências da base numérica escolhida, com dígitos entre 0 e a base menos 1. Também mostra como realizar conversões entre diferentes bases numéricas.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
1) O documento discute o conceito e propriedades do máximo divisor comum (mdc) de dois inteiros;
2) Apresenta o algoritmo de Euclides para calcular o mdc através de divisões sucessivas;
3) Mostra que o mdc pode ser caracterizado como a menor combinação linear positiva dos inteiros com coeficientes inteiros.
O documento apresenta 5 questões sobre princípios da boa ordenação, divisão nos inteiros, máximo divisor comum e equações diofantinas lineares. A primeira questão usa o princípio da boa ordenação para provar que um conjunto não vazio e limitado superiormente tem um maior elemento e que a soma dos primeiros n números naturais é igual a n(n+1)/2. A segunda questão prova resultados sobre divisão nos inteiros. A terceira questão prova uma propriedade sobre o máximo divisor comum. A quarta questão prova propriedades adicionais sobre o má
1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo.
2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos.
3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios lógicos com respostas.
2) Os alunos devem mostrar justificativas completas para afirmações sobre números naturais e inteiros.
3) As questões incluem mostrar que a soma de números ímpares é par e que um produto é par se um fator for par.
1) O documento apresenta anotações sobre números complexos, definindo-os formalmente como pares ordenados de números reais e estabelecendo suas propriedades algébricas como um corpo.
2) Os números complexos podem ser representados na forma algébrica z = x + yi, onde x e y são números reais e i2 = -1.
3) Propriedades como soma, produto, conjugado e módulo de números complexos são definidas algebraicamente e geometricamente no plano complexo.
Os números complexos podem ser representados na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. As operações básicas com números complexos são:
1) Adição: z + w = (a + c) + (b + d)i
2) Multiplicação: z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i
3) Inverso: o inverso de z = a + bi é z-1 = a - bi / (a2 + b2)
Este documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais pontos tratados são: provar conjecturas usando métodos como contraposição, absurdo e indução; encontrar fórmulas fechadas de sequências recursivas; e operações com conjuntos.
1) O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009 e as alterações feitas para a nova edição de 2010 com base em sugestões de professores e especialistas.
2) Os professores contribuíram para aperfeiçoar os Cadernos do Aluno de 2009, analisando o material e postando sugestões. Alguns dados também foram atualizados.
3) A nova edição dos Cadernos do Aluno de 2010 inclui orientações para as atividades propostas, com informações e
1) O documento apresenta uma questão de múltipla escolha sobre números racionais e irracionais.
2) A questão seguinte trata de conjuntos e relações entre eles.
3) As demais questões envolvem cálculos e propriedades geométricas relacionadas a triângulos, circunferências, esferas, prisma e tetraedro regular.
1. O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009. As alterações nos cadernos foram sugeridas por professores e especialistas e atualizados com publicações recentes.
2. O documento instrui os professores a analisarem as diferenças na nova edição dos cadernos para estarem preparados para suas aulas.
3. A primeira parte do documento contém orientações sobre as atividades propostas nos cadernos, enquanto a segunda parte traz informações e ajustes para s
1) Este documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as respostas corretas para as 20 questões aplicadas e as respectivas soluções.
2) Uma questão foi anulada e todos os alunos devem receber 1 ponto por ela.
3) As soluções explicam passo a passo o raciocínio matemático para chegar às respostas corretas de cada questão.
Semelhante a Resumo MA14 - Aritmética - Unidades 1 e 2 (20)
3. O nosso objeto de estudo neste curso ´ o conjunto dos
e
n´meros inteiros:
u
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Em Z h´ um subconjunto que se destaca, o conjunto dos
a
n´meros naturais:
u
N = {1, 2, 3, . . .}.
4. Dados dois n´meros inteiros quaisquer, ´ poss´ som´-los,
u e ıvel a
subtra´ı-los e multiplic´-los, mas nem sempre ´ poss´
a e ıvel
dividir um pelo outro.
S´ existe a Aritm´tica nos inteiros porque a divis˜o nem
o e a
sempre ´ poss´
e ıvel.
Diremos que um n´mero inteiro a divide um n´mero inteiro
u u
b, escrevendo
a|b,
quando existir c ∈ Z tal que b = c · a.
Neste caso, diremos tamb´m que a ´ um divisor ou um fator
e e
de b ou, ainda, que b ´ um m´ltiplo de a
e u
5. Exemplos
• 1|0, pois 0 ´ m´ltiplo de 1:
e u 0 = 0 · 1;
• −2|0, pois 0 ´ m´ltiplo de −2:
e u 0 = 0 · (−2);
• 1|6, pois 6 ´ m´ltiplo de 1:
e u 6 = 6 · 1;
• −1| − 6, pois −6 ´ m´ltiplo de −1:
e u −6 = 6 · (−1);
• 2|6, pois 6 ´ m´ltiplo de 2:
e u 6 = 3 · 2;
• −3|6, pois 6 ´ m´ltiplo de −3:
e u 6 = (−2) · (−3).
Note que se a|b, com um jogo de sinais, ´ f´cil mostrar que
e a
±a| ± b.
A nega¸˜o da senten¸a a | b ´ representada pelo s´
ca c e ımbolo:
a | b,
significando que n˜o existe nenhum n´mero inteiro c tal que
a u
b = c · a.
Por exemplo, 3 | 4 e 2 | 5.
6. Suponha que a|b e seja c ∈ Z tal que b = c · a.
O n´mero inteiro c ´ chamado de quociente de b por a e
u e
b
denotado por c = .
a
Por exemplo,
0 0 6 −6
= 0, = 0, = 6, = 6,
1 −2 1 −1
6 6
= 3, = −2.
2 −3
7. Estabeleceremos a seguir algumas propriedades da
divisibilidade.
Proposi¸ao
c˜
Sejam a, b, c ∈ Z. Tem-se que
i) 1|a, a|a e a|0.
ii) se a|b e b|c, ent˜o a|c (Propriedade transitiva).
a
Demonstra¸˜o: (i) Isto decorre das igualdades a = a · 1,
ca
a = 1 · a e 0 = 0 · a.
(ii) a|b e b|c implica que existem f, g ∈ Z, tais que
b = f · a e c = g · b.
Substituindo o valor de b da primeira equa¸˜o na outra,
ca
obtemos
c = g · b = g · (f · a) = (g · f ) · a,
o que nos mostra que a|c.
O item (i) da proposi¸˜o acima nos diz que todo n´mero
ca u
inteiro ´ divis´ por 1 e por si mesmo.
e ıvel
8. Listaremos a seguir algumas propriedades da divisibilidade,
cujas provas s˜o semelhantes `s feitas acima.
a a
Sejam a, b, c, d ∈ Z. Tem-se que
i) a|b e c|d =⇒ a · c|b · d;
ii) a|b =⇒ a · c|b · c;
iii) a|(b ± c) e a|b =⇒ a|c;
iv) a|b e a|c =⇒ a|(xb + yc), para todos x, y ∈ Z.
v) Se a, b ∈ N, tem-se que a|b =⇒ a b.
´
E importante interiorizar as propriedades acima, pois elas
ser˜o utilizadas a todo momento.
a
9. As proposi¸˜es a seguir ser˜o de grande utilidade.
co a
Proposi¸ao
c˜
Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a − b divide an − bn .
Demonstra¸˜o: Vamos provar isto por indu¸˜o sobre n.
ca ca
A afirma¸˜o ´ obviamente verdadeira para n = 1, pois a − b
ca e
divide a1 − b1 = a − b.
Suponhamos, agora, que a − b|an − bn . Escrevamos
an+1 − bn+1 = aan − ban + ban − bbn = (a − b)an + b(an − bn ).
Como a − b|a − b e, por hip´tese, a − b|an − bn , decorre da
o
igualdade acima e da Propriedade (iv) que
a − b|an+1 − bn+1 .
Estabelecendo assim o resultado para todo n ∈ N.
10. Proposi¸ao
c˜
Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a + b divide
a2n+1 + b2n+1 .
Demonstra¸˜o: Tamb´m por indu¸˜o sobre n.
ca e ca
A afirma¸˜o ´, obviamente, verdadeira para n = 0, pois a + b
ca e
divide a 1 + b1 = a + b.
Suponhamos, agora, que a + b|a2n+1 + b2n+1 . Escrevamos
a2(n+1)+1 +b2(n+1)+1 = a2 a2n+1 −b2 a2n+1 +b2 a2n+1 +b2 b2n+1 =
(a2 − b2 )a2n+1 + b2 (a2n+1 + b2n+1 ).
Como a + b divide a2 − b2 = (a + b)(a − b) e, por hip´tese,
o
a + b|a2n+1 + b2n+1 , decorre das igualdades acima e da
Propriedade (iv) que a + b|a2(n+1)+1 + b2(n+1)+1 .
Estabelecendo, assim, o resultado para todo n ∈ N.
11. Proposi¸ao
c˜
Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Temos que a + b divide a2n − b2n .
Demonstra¸˜o: Novamente, a prova se faz por indu¸˜o
ca ca
sobre n, nos mesmos moldes das provas das duas proposi¸˜es
co
anteriores. Deixamos os detalhes por sua conta.
12. Exerc´
ıcio
Vamos mostrar que o produto de i inteiros consecutivos ´
e
divis´ por i!.
ıvel
De fato, podemos escrever os i inteiros consecutivos como
n, n − 1, n − 2, . . . , n − (i − 1),
cujo produto P = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − i + 1) ´ divis´
e ıvel
por i!, j´ que
a
P n(n − 1)(n − 2) · · · (n − i + 1) n
= = ∈ N.
i! i! i
13. Como aplica¸˜o vamos mostrar que 6 divide todo n´mero da
ca u
forma n(n + 1)(2n + 1), onde n ∈ N.
De fato,
n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n + 2 + n − 1)
= n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n − 1).
Como cada uma das parcelas n(n + 1)(n + 2) e
n(n + 1)(n − 1) ´ o produto de trˆs inteiros consecutivos,
e e
elas s˜o m´ltiplos de 3! = 6.
a u
Portanto, sendo o n´mero n(n + 1)(2n + 1) soma de dois
u
m´ltiplos de 6, ele ´ tamb´m m´ltiplo de 6.
u e e u
Este fato n˜o ´ surpreendente, pois sabemos que
a e
n(n + 1)(2n + 1)
= 12 + 22 + 32 + · · · + n2 .
6
14. Exerc´
ıcio
Vamos mostrar que 13 | 270 + 370 .
Note que 270 + 370 = 435 + 935 .
e ımpar, temos que 4 + 9 divide 435 + 935 ,
Como 35 ´ ´
o que mostra que 13 divide 270 + 370 .
16. Mesmo quando um n´mero inteiro a n˜o divide um n´mero
u a u
inteiro b, Euclides (S´culo 3 a.C), nos seus Elementos,
e
utiliza, sem enunci´-lo explicitamente, o fato de que ´
a e
sempre poss´ efetuar a divis˜o de b por a, com resto
ıvel a
pequeno.
Este resultado, de cuja justificativa geom´trica damos uma
e
ideia quando a ´ natural, n˜o s´ ´ um importante
e a oe
instrumento na obra de Euclides, como tamb´m ´ um
e e
resultado central da teoria elementar dos n´meros.
u
17. Suponhamos que a ∈ N e consideremos a decomposi¸˜o de N
ca
em uni˜o de intervalos disjuntos:
a
N = . . . ∪ [−2a, −a) ∪ [−a, 0) ∪ [0, a) ∪ [a, 2a) ∪ . . .
Fica claro que qualquer n´mero inteiro b pertence a um e
u
somente um desses intervalos.
Portanto, existe um unico q ∈ Z tal que b ∈ [qa, qa + a),
´
ou seja, existem n´meros inteiros unicos q e r tais que
u ´
b = qa + r, com 0 r < a.
18. Agora enunciamos o resultado geral:
Teorema (Divis˜o Euclidiana)
a
Sejam a e b dois n´meros inteiros com a = 0. Existem dois
u
unicos n´meros inteiros q e r tais que
´ u
b = a · q + r, com 0 r < |a|.
Nas condi¸˜es do teorema, os n´meros a e b s˜o o divisor e o
co u a
dividendo, enquanto q e r s˜o chamados, respectivamente,
a
de quociente e de resto da divis˜o de b por a.
a
Note que o resto da divis˜o de b por a ´ zero se, e somente
a e
se, a divide b.
19. Exemplos
• Como 19 = 5 · 3 + 4, o quociente e o resto da divis˜o de 19
a
por 5 s˜o q = 3 e r = 4.
a
• Como −19 = 5 · (−4) + 1 o quociente e o resto da divis˜o
a
de −19 por 5 s˜o q = −4 e r = 1.
a
• O resto da divis˜o de 10n por 9 ´ sempre 1, qualquer que
a e
seja o n´mero natural n.
u
De fato, 9 = 10 − 1 divide 10n − 1n = 10n − 1. Assim,
10n − 1 = 9q, logo 10n = 9q + 1. Como 0 ≤ 1 < 9, pela
unicidade na divis˜o euclidiana, tem-se que o resto da
a
divis˜o de 10
a n por 9 ´ sempre 1.
e
20. Par ou ´
ımpar?
•
Dado um n´mero inteiro n ∈ Z qualquer, temos duas
u
possibilidades:
i) o resto da divis˜o de n por 2 ´ 0, isto ´, existe q ∈ N tal
a e e
que n = 2q; ou
ii) o resto da divis˜o de n por 2 ´ 1, ou seja, existe q ∈ N tal
a e
que n = 2q + 1.
No caso (i), dizemos que n ´ par e no caso (ii), dizemos que
e
n ´´
e ımpar.
21. Mais geralmente, fixado um n´mero natural m 2, pode-se
u
sempre escrever um n´mero qualquer n, de modo unico, na
u ´
forma n = mk + r, onde k, r ∈ Z e 0 r < m.
Por exemplo, todo n´mero inteiro n pode ser escrito em
u
uma, e somente uma, das seguintes formas: 3k, 3k + 1, ou
3k + 2.
Ou ainda, todo n´mero inteiro n pode ser escrito em uma, e
u
somente uma, das seguintes formas: 4k, 4k + 1, 4k + 2, ou
4k + 3.
Este ultimo fato, permite mostrar que nenhum quadrado de
´
um n´mero inteiro ´ da forma 4k + 3.
u e
22. De fato, seja a ∈ Z.
• Se a = 4k, ent˜o a2 = 16k 2 = 4k , onde k = 4k 2 .
a
• Se a = 4k + 1, ent˜o a2 = 16k 2 + 8k + 1 = 4k + 1, onde
a
k = 4k 2 + 2k.
• Se a = 4k + 2, ent˜o a2 = 16k 2 + 16k + 4 = 4k , onde
a
k = 4k 2 + 4k + 1.
• Se a = 4k + 3, ent˜o a2 = 16k 2 + 48k + 9 = 4k + 1, onde
a
k = 4k 2 + 12k + 2.
23. Vamos aplicar este resultado para mostrar algo interessante:
Nenhum n´mero da forma a = 11 . . . 1 (n algarismos iguais a
u
1, com n > 1) ´ um quadrado.
e
De fato, podemos escrever a = b · 100 + 11 = 4(25 · b + 2) + 3,
onde b = 11 . . . 1 (n − 2 algarismos iguais a 1). Logo, a ´ da
e
forma 4k + 3 e, portanto, n˜o pode ser um quadrado.
a
Com esta t´cnica pode-se mostrar que nenhum n´mero da
e u
forma 11 . . . 1 ´ soma de dois quadrados. Deixamos isto
e
como exerc´ ıcio