1) O documento descreve um método para otimizar equações de recorrência linear não-homogêneas transformando-as em equações homogêneas equivalentes. 2) Isso é feito multiplicando a equação original por constantes e subtraindo de outra equação derivada dela, eliminando os termos não-homogêneos. 3) Em seguida, a equação homogênea resultante pode ser resolvida usando o mesmo método para equações de recorrência homogêneas.

1. Otimiza¸˜o de equa¸˜es de
ca co
recorrˆncia lineares
e
Jedson B. Guedes
http://jedsonguedes.wordpress.com

2. Neste texto ser´ apresentada uma maneira de se otimizar uma
a
equa¸˜o de recorrˆncia linear a coeficientes constantes
ca e
n˜o-homogˆneas.
a e
Eis alguns exemplos:
cn = 7cn−1 + 2n
un = 3un−2 + 5n−1

3. Defini¸˜o formal
ca
Seja
un = a1 un−1 + · · · + ak un−k + f (n), n ≥ k,
onde
l
f (n) = bin Pi (n),
i=1
com Pi (n) sendo um polinˆmio em n de grau bi .
o

4. Otimiza¸˜o - Exemplo
ca
Uma t´cnica bem util e bastante utilizada ´ a de transformar uma
e ´ e
equa¸˜o de recorrˆncia linear a coeficientes constantes
ca e
n˜o-homogˆnea em uma linear a coeficientes constantes
a e
homogˆnea.
e
Um exemplo do uso de tal t´cnica ´ mostrado abaixo.
e e
Nos s˜o dadas as seguintes informa¸˜es:
a co
un = 2un−1 + 3n , n≥1
u0 = 1

5. Otimiza¸˜o - Exemplo
ca
Assim, vemos que se
un = 2un−1 + 3n ,
ent˜o
a
un+1 = 2un + 3n+1 . (1)

6. Otimiza¸˜o - Exemplo
ca
E se multiplicarmos a equa¸˜o de recorrˆncia dada por trˆs,
ca e e
encontramos
3 · un = 3 · 2un−1 + 3 · 3n
3un = 6un−1 + 3n+1 (2)

7. Otimiza¸˜o - Exemplo
ca
A equa¸˜o dada n˜o foi multiplicada por trˆs por acaso.
ca a e
Repare que agora o termo que torna a equa¸˜o dada
ca
n˜o-homogˆnea, que neste caso ´ o 3
a e e n+1 , est´ presente em ambas
a
as equa¸˜es.
co
Com isso podemos subtrair (2) de (1), para eliminar o termo que
as deixa n˜o-homogˆneas.
a e
un+1 − 3un = 2un − 6un−1
un+1 = 5un − 6un−1 (3)

8. Exemplo
A rela¸˜o de recorrˆncia (3) ´ linear homogˆnea e equivalente
ca e e e
`quela dada que ´ n˜o-homogˆnea.
a e a e
Portanto, basta utilizar o mesmo processo visto na nota de aula
Equa¸˜es de recorrˆncia, I : achar o polinˆmio caracter´
co e o ıstico, usar o
somat´rio dado, montar o sistema de equa¸˜es e substituir os
o co
valores.

9. Exemplo
o ıstico de un+1 = 5un − 6un−1 ´
O polinˆmio caracter´ e
p(x) = x 2 − 5x + 6.
ızes: {2,3}. Cada raiz tem multiplicidade igual a 1.
Suas ra´

10. Exemplo
Rescrevendo o polinˆmio caracter´
o ıstico, encontramos
p(x) = (x − 2)1 (x − 3)1 .

11. Exemplo
p n
Usando un = j=1 Qj (n)rj , achamos
un = Q1 (n) 2n + Q2 (n) 3n
λ0 λ1

12. Exemplo
Dessa forma, podemos montar o seguinte sistema de equa¸˜es:
co
u0 = λ0 20 + λ1 30 = 1
u1 = λ0 21 + λ1 31 = 5
⇓
λ0 + λ1 = 1
2λ0 + 3λ1 = 5
Com isso, achamos que λ0 = −2 e λ1 = 3.

13. Exemplo
Reescrevendo o un em fun¸˜o n˜o mais de Qi (n), mas em fun¸˜o
ca a ca
de λi , temos
un = λ0 2n + λ1 3n
Substituindo os valores de λi ,
un = −2 · 2n + 3 · 3n
⇓
un = −2n+1 + 3n+1

14. Pronto!
Reescrevendo o un em fun¸˜o n˜o mais de Qi (n), mas em fun¸˜o
ca a ca
de λi , temos
un = λ0 2n + λ1 3n
Substituindo os valores de λi ,
un = −2 · 2n + 3 · 3n
⇓
un = −2n+1 + 3n+1
S´ isso.
o

15. Pronto!
Usando racioc´ an´logo, ´ poss´ reslover mais uma gama de
ınio a e ıvel
rela¸˜es de recorrˆncia.
co e
A dificuldade deste m´todo est´ em reparar quais opera¸˜es fazer
e a co
para se conseguir eliminar a parte n˜o-homogˆnea, o que pode n˜o
a e a
ser t˜o ´bvio.
a o
Outro problema ´ que pode ser preciso repetir os passos iniciais
e
v´rias e v´rias vezes, como veremos abaixo.
a a

16. Exemplo 2
Seja
un = 2un−1 + n + 2n , n≥1
u0 = 0

17. Exemplo 2
Seja
un = 2un−1 + n + 2n , n≥1
u0 = 0
Multiplicando por dois a equa¸˜o dada:
ca
2un = 4un−1 + 2n + 2n+1 (4)

18. Exemplo 2
Ainda da equa¸˜o dada, temos que
ca
un = 2un−1 + n + 2n
⇓
un+1 = 2un + (n + 1) + 2n+1 (5)
Subtraindo (4) de (5):
(5 − 4) : un+1 − 2un = 2un − 4un−1 + (n + 1) − 2n (6)
un+1 = 4un − 4un−1 − n + 1 (7)
un+2 = 4un+1 − 4un − (n + 1) + 1 (8)

19. Exemplo 2
Como ainda h´ termo deixando a equa¸˜o de recorrˆncia n˜o
a ca e a
homogˆnea, continuamos.
e
(8 − 7) : un+2 − un+1 = 4un+1 − 8un + 4un−1 − 1 (9)
un+2 = 5un+1 − 8un + 4un−1 − 1 (10)
un+3 = 5un+2 − 8un+1 + 4un − 1 (11)

20. Exemplo 2
(11 - 10):
un+3 − un+2 = 5un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1 (12)
un+3 = 6un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1 (13)

21. Exemplo 2
Agora, sim, encontramos uma equa¸˜o de recorrˆncia linear a
ca e
coeficientes constantes homogˆnea, a equa¸˜o (13):
e ca
un+3 = 6un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1 .
Com isso, a otimizamos da forma j´ conhecida.
a

22. Exemplo 2
Primeiramente, achamos seu polinˆmio caracter´
o ıstico. O qual ´
e
definido por
P(x) = x 4 − 6x 3 + 13x 2 − 12x + 4

23. Exemplo 2
Podemos - e devemos - reescrever tal polinˆmio na forma
o
P(x) = (x − r1 ) m1 (x − r )m2 . . . (x − r )mp , p ≤ k. Assim, o
2 p
supracitado polinˆmio caracter´
o ıstico fica:
P(x) = (x − 2)2 (x − 1)2

24. Exemplo 2
Seguindo com o processo, encontraremos uma rela¸˜o de
ca
recorrˆncia que ´ equivalente ` primeira, mas dada em fun¸˜o de n
e e a ca
apenas, que ´e
un = −2 − n + 2n+1 + n2n .

25. Um outro caminho
Esta rela¸˜o deu bastante trabalho, basicamente devido `s
ca a
manobras que foram necess´rias para se conseguir uma rela¸˜o de
a ca
recorrˆncia homogˆnea equivalente ` primeira, pois ap´s achar o
e e a o
polinˆmio caracter´
o ıstico, o processo foi o j´ conhecido.
a
Voltemos, pois, ao passo em que estamos a achar o polinˆmio
o
caracter´
ıstico. Repare que
P(x) = (x − 2)2 (x − 1)2 = (x − 2)1 (x − 1)1+1 (x − 2)0+1 .

26. O polinˆmio caracter´
o ıstico pelo produto de produt´rios!
o
Os expoentes n˜o foram postos assim por acaso, mas para facilitar
a
a visualiza¸˜o e identifica¸˜o.
ca ca
P(x) = (x − 2)1 (x − 1)1+1 (x − 2)0+1
(H) (N−H)
(H) significa a parte homogˆnea, ao passo que (N-H) representa a
e
parte n˜o-homogˆnea.
a e

27. O polinˆmio caracter´
o ıstico pelo produto de produt´rios!
o
H´ um teorema que diz que o polinˆmio caracter´
a o ıstico pode ser
escrito como um produto de produt´rios, que ´ definido por:
o e
P(x) = (x − ri )mi · (x − bi )grau Pi (n)+1
ri ´ a raiz homogˆnea e bi ´ a parte n˜o-homogˆnea.
e e e a e

28. O polinˆmio caracter´
o ıstico pelo produto de produt´rios!
o
´
E gra¸as a este teorema que podemos reescrever P(x) como
c
P(x) = (x − 2)1 (x − 1)1+1 (x − 2)0+1
E, de fato, podemos verificar que as ra´ de
ızes
P(x) = x 4 − 6x 3 + 13x 2 − 12x + 4 s˜o {2, 1}.
a
Para que se apreenda bem o uso deste produto de produt´rio,
o
outro exemplo ´ dado a seguir.
e
Considere
un = 5un−1 − 6un−2 + n2 2n .

29. O polinˆmio caracter´
o ıstico pelo produto de produt´rios!
o
Exemplo
A parte homogˆnea ´ 5un−1 − 6un−2 e suas ra´ s˜o {2, 3}, uma
e e ızes a
vez que o polinˆmio caracter´
o ıstico deste ´ x 2 − 5x + 6, e cada raiz
e
possui multiplicidade igual a 1.
Assim, o produt´rio da parte homogˆnea ser´
o e a
(x − ri )mi = (x − 2)1 (x − 3)1 .

30. O polinˆmio caracter´
o ıstico pelo produto de produt´rios!
o
Exemplo
A parte n˜o-homogˆna ´ n2 2n .
a e e
Em 2n , temos que 2 ´ raiz de multiplicidade 1.
e
Teremos, ent˜o, expoente igual a 3, que surge da multiplicidade de
a
n2 , que ´ 2, adicionado de 1.
e
Desta forma, o produt´rio da parte n˜o-homogˆnea ser´
o a e a
(x − bi )grau Pi (n)+1 = (x − 2)3 .

31. O polinˆmio caracter´
o ıstico pelo produto de produt´rios!
o
Exemplo
o ıstico de un = 5un−1 − 6un−2 + n2 2n ´,
O polinˆmio caracter´ e
portanto,
P(x) = (x − 2)(x − 3) · (x − 2)3
P(x) = (x − 2)4 (x − 3).

32. Bibliografia e referˆncias
e
Arquivo pessoal do Jedson: Anota¸˜es das aulas do prof.
co
Rafael, UFC - DEMA, Matem´tica Finita (2011)
a
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik:
Matem´tica concreta, Reading, Massachusetts:
a
Addison-Wesley (1994)