O documento apresenta uma demonstração matemática mostrando que uma proposição é válida para todo n inteiro positivo. A prova utiliza a indução matemática, testando a base e a hipótese indutiva, e conclui que a propriedade p(n) é verdadeira para n maior que 1. O procedimento incorpora a divisão de polinômios e o algoritmo de Briot-Ruffini para validar a conclusão.

1. Demonstrar que a seguinte proposição é válida para todo n inteiro positivo.
( )
∑ [ ]
Resolução
PIF1)
Testando a propriedade para , temos:
( )
( ) [ ]
P(1) é verdadeira.
PIF2)
( )
Hipótese indutiva - ( ) * +
( )(( ) ) ( )( )
Tese – ( ) ( ) * + * +
Precisamos provar que ( ) ( ).
Assumindo a hipótese indutiva ( ) como verdadeira, temos que
( )
( ) [ ] ( )
Desenvolvendo o lado direito da igualdade:
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
( )
( )
O polinômio pode ser reescrito como ( ) ( ) .1
Temos, então:
( ) ( ) ( )( )
[ ]
Assim, provamos que ( ) ( ) e concluímos que a propriedade P(n) é
verdadeira e válida para n inteiro positivo maior que 1.
1
Chega-se a esta conclusão fazendo a divisão do polinômio por ( ) e por ( ) e verificando que o resto é o
polinômio nulo. Foi utilizado o algoritmo de Briot-Ruffini.

2. Demonstrar que a seguinte proposição é válida para todo n inteiro positivo.
∑ ( )
Resolução:
PIF1)
Testando a propriedade para , temos:
( ) ( )
P(1) é verdadeira.
PIF2)
Hipótese indutiva - ( ) ( )
( )
Tese – ( ) ( ) ( )( )
Precisamos provar que ( ) ( ).
Assumindo a hipótese indutiva ( ) como verdadeira, temos que
( ) ( )( ) ( )( )
Desenvolvendo o lado direito da igualdade:
( )
( )( )
( ) * ( )+ ( )
Assim, provamos que ( ) ( ) e concluímos que a propriedade P(n) é
verdadeira e válida para n inteiro positivo maior que 1.