1) A sequência xn = 1/n2 é limitada e monotônica decrescente, com limite igual a zero.
2) Existem infinitas subsequências da sequência (-1)n+1, pois podemos fazer combinações infinitas entre 1 e -1.
3) Não é possível encontrar subsequências monotônicas crescentes de tamanho infinito para a sequência dada, pois ela gera um número finito de termos em cada subsequência.
Este documento apresenta exercícios sobre expressões binomiais e números de Fibonacci. Nos exercícios sobre expressões binomiais, prova-se propriedades sobre divisibilidade de termos binomiais. Nos exercícios sobre números de Fibonacci, mostra-se que a divisibilidade de um termo pela sequência está relacionada à divisibilidade do índice.
1) A função f(m,n) = 2m.3n - 1 é provada ser injetiva, pois se f(m1,n1) = f(m2,n2) então m1 = m2 e n1 = n2.
2) O resto da divisão de 1! + 2! + ... + 50! por 15 é 3.
3) Os números 210, 301 e 352 escritos na base b estão em PA, portanto b = 6.
1) Uma função logarítmica transforma uma progressão geométrica em uma progressão aritmética.
2) A relação entre log10x e log10y é uma translação quando x = 10k * y.
3) A parte inteira de log10x é igual a k-1 quando a parte inteira de x tem k algarismos.
O documento descreve o Teorema de Fermat e o Teorema de Euler, que são fundamentais na teoria da aritmética modular. O Teorema de Fermat estabelece que se p for primo e a qualquer inteiro, então ap ≡ a (mod p). O Teorema de Euler relaciona a função φ de Euler com a congruência modular e estabelece que se a e m forem relativamente primos, então aφ(m) ≡ 1 (mod m). Demonstrações e exemplos são fornecidos.
1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional.
3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).
O documento apresenta a demonstração do binômio de Newton por indução finita, mostrando que a fórmula (x + y)n = ∑ni=0(nCi)xiy(n-i) é válida para qualquer número natural n ≥ 1. A demonstração parte do caso base n = 1 e assume a propriedade válida para k, demonstrando ser válida também para k + 1.
1) Este documento apresenta quatro problemas de matemática discreta resolvidos. Os problemas envolvem provas sobre séries harmônicas, desigualdades algébricas, combinatória e teoria dos números.
2) O documento fornece soluções completas para cada um dos quatro problemas propostos utilizando raciocínios algébricos, indutivos e o princípio das casas de pombos.
3) As soluções demonstram conhecimento avançado de matemática discreta ao aplicar diferentes técnicas
Equações de recorrência - II (Otimização)Jedson Guedes
1) O documento descreve um método para otimizar equações de recorrência linear não-homogêneas transformando-as em equações homogêneas equivalentes.
2) Isso é feito multiplicando a equação original por constantes e subtraindo de outra equação derivada dela, eliminando os termos não-homogêneos.
3) Em seguida, a equação homogênea resultante pode ser resolvida usando o mesmo método para equações de recorrência homogêneas.
Este documento apresenta exercícios sobre expressões binomiais e números de Fibonacci. Nos exercícios sobre expressões binomiais, prova-se propriedades sobre divisibilidade de termos binomiais. Nos exercícios sobre números de Fibonacci, mostra-se que a divisibilidade de um termo pela sequência está relacionada à divisibilidade do índice.
1) A função f(m,n) = 2m.3n - 1 é provada ser injetiva, pois se f(m1,n1) = f(m2,n2) então m1 = m2 e n1 = n2.
2) O resto da divisão de 1! + 2! + ... + 50! por 15 é 3.
3) Os números 210, 301 e 352 escritos na base b estão em PA, portanto b = 6.
1) Uma função logarítmica transforma uma progressão geométrica em uma progressão aritmética.
2) A relação entre log10x e log10y é uma translação quando x = 10k * y.
3) A parte inteira de log10x é igual a k-1 quando a parte inteira de x tem k algarismos.
O documento descreve o Teorema de Fermat e o Teorema de Euler, que são fundamentais na teoria da aritmética modular. O Teorema de Fermat estabelece que se p for primo e a qualquer inteiro, então ap ≡ a (mod p). O Teorema de Euler relaciona a função φ de Euler com a congruência modular e estabelece que se a e m forem relativamente primos, então aφ(m) ≡ 1 (mod m). Demonstrações e exemplos são fornecidos.
1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional.
3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).
O documento apresenta a demonstração do binômio de Newton por indução finita, mostrando que a fórmula (x + y)n = ∑ni=0(nCi)xiy(n-i) é válida para qualquer número natural n ≥ 1. A demonstração parte do caso base n = 1 e assume a propriedade válida para k, demonstrando ser válida também para k + 1.
1) Este documento apresenta quatro problemas de matemática discreta resolvidos. Os problemas envolvem provas sobre séries harmônicas, desigualdades algébricas, combinatória e teoria dos números.
2) O documento fornece soluções completas para cada um dos quatro problemas propostos utilizando raciocínios algébricos, indutivos e o princípio das casas de pombos.
3) As soluções demonstram conhecimento avançado de matemática discreta ao aplicar diferentes técnicas
Equações de recorrência - II (Otimização)Jedson Guedes
1) O documento descreve um método para otimizar equações de recorrência linear não-homogêneas transformando-as em equações homogêneas equivalentes.
2) Isso é feito multiplicando a equação original por constantes e subtraindo de outra equação derivada dela, eliminando os termos não-homogêneos.
3) Em seguida, a equação homogênea resultante pode ser resolvida usando o mesmo método para equações de recorrência homogêneas.
Este documento resume uma aula sobre indução matemática. Ele contém três exemplos de demonstrações por indução, explicando o princípio da indução matemática e como aplicá-lo para provar propriedades sobre números inteiros positivos.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
1) O documento resume uma aula sobre indução matemática, incluindo exemplos de provas por indução e exercícios.
2) Foi corrigida uma prova e apresentadas as ideias principais da indução matemática.
3) Foram mostradas provas por indução de que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2, n2 ≥ 3n para n ≥ 4 e 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1.
O documento apresenta três exemplos de indução finita para provar as seguintes propriedades: (1) 2n ≥ n + 1 para todo n natural; (2) a soma de todos os ímpares até 2n - 1 é igual a n2; (3) 2n > n para todo n natural.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
O capítulo apresenta 12 questões de matemática resolvidas, incluindo cálculos com somas, fatoriais e equações. As questões subsequentes (13 a 21) também tratam de tópicos matemáticos como relações entre classes e solução de equações.
O documento apresenta a resolução de 4 problemas utilizando a teoria das congruências lineares. O primeiro problema envolve a quantidade de ovos quebrados em uma barraca, resolvido em 301 ovos. O segundo trata de perguntas em que o nariz de Pinóquio cresceu, nas respostas 6 e 14. O terceiro envolve moedas divididas entre 3 marinheiros, com 241 moedas no total. O quarto problema é sobre gastos em um hotel com 41 homens e 17 mulheres.
1) A questão calcula a probabilidade de um número de 5 algarismos distintos pertencer ao conjunto M, que contém números menores que 58.931. A probabilidade é igual a 65/120.
2) A questão analisa o movimento de duas partículas e encontra o momento em que a distância entre elas é mínima. A distância mínima ocorre quando as partículas estão nas posições (8,0) e (0,4), unidas pela reta x+2y=8.
3) A questão resolve uma equação polinomial de 5o grau
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais da Teoria Elementar dos Números, incluindo divisibilidade, algoritmo da divisão, máximo divisor comum e números primos.
2. A seção sobre divisibilidade discute propriedades como o algoritmo da divisão de Euclides e o teorema fundamental da aritmética.
3. O documento fornece definições, teoremas e exemplos para introduzir esses conceitos-chave da teoria elementar dos números.
1) O documento discute indução matemática, incluindo indução fraca e forte;
2) Exemplos são dados para ilustrar como provar que uma cerca com estacas tem seções usando indução fraca e forte;
3) Um segundo exemplo mostra como provar que um número é primo ou produto de primos usando indução forte.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente, gráficos dessas funções, relações trigonométricas básicas, fórmulas de adição, multiplicação e transformação de arcos, equações trigonométricas e funções circulares inversas.
2) São apresentados exercícios de trigonometria para aplicação dos conceitos, com 6 questões.
3) As leis dos cossenos e senos são explicadas para cálculos em triângulos
1. O documento apresenta o Teorema Chinês dos Restos, que estabelece que um sistema de congruências módulos primos tem sempre solução única quando considerado módulo o produto dos módulos.
2. O teorema permite reduzir a resolução de uma equação modular a um sistema de equações mais simples.
3. Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de congruências usando o teorema: substituição iterativa e soma ponderada de soluções parciais.
Resolução dos exercícios da Lista 1 da disciplina de Funções de uma variável, do prof. Cláudio Meneses, da Universidade Federal do ABC.
Dúvidas/Comentários/Comunicação de Erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Este documento discute a indução finita, um método para provar propriedades sobre números naturais. Ele explica que (1) verificações diretas para alguns números não são suficientes para provar propriedades sobre o conjunto infinito dos naturais e (2) o princípio da indução finita estabelece que basta provar que uma propriedade é válida para um número inicial n0 e que, se é válida para um número k, também é válida para k+1.
Este documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais pontos tratados são: provar conjecturas usando métodos como contraposição, absurdo e indução; encontrar fórmulas fechadas de sequências recursivas; e operações com conjuntos.
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
Cálculo Diferencial e Integral - Sucessões - Exercicios resolvidos e propostosMaths Tutoring
No âmbito do Calculo, as sucessões/séries constituem um módulo introdutório que, embora simples a nível de compreensão, é um suporte importante para disciplinas mais avançadas (Análise Funcional, Topologia, etc.)
Este texto apresenta alguns exercícios resolvidos e, em menor quantidade, exercícios propostos.
Livro sugerido para leitura sobre o tema:
Carlos Sarrico, Análise Matemática - Leituras e exercícios, Gradiva
Errata:
O exercício 3 dos propostos tem a sucessão mal definida: em vez de (an+r)/2 é (an+r)/3. O exercício passa por mostrar que an -> r/2 (de facto, seria muito obvio da maneira como estava escrito).
O documento apresenta a demonstração matemática da igualdade 0,999... = 1 através da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A demonstração começa reescrevendo 0,999... como uma soma infinita de termos decrescentes em potências de 0,1. Em seguida, deduz a fórmula geral para a soma de uma progressão geométrica finita e infinita. Aplicando a fórmula para a progressão dada, conclui que a soma é igual a 1, demonstrando a igualdade proposta.
1. O documento apresenta exercícios sobre sucessões e séries numéricas. Inclui questões sobre limites de sucessões, convergência de séries geométricas e séries de Mengoli.
1) O documento discute seqüências numéricas e séries infinitas, apresentando definições, exemplos e teoremas sobre convergência e monotonicidade de seqüências.
2) Uma seqüência é uma função que associa números reais a números naturais. Pode ser dada por uma fórmula ou recorrência. Se a diferença entre os termos e um limite tende a zero, a seqüência converge.
3) O documento fornece condições para a convergência de seqüências, como os teoremas sobre limites de potências e conf
Este documento resume uma aula sobre indução matemática. Ele contém três exemplos de demonstrações por indução, explicando o princípio da indução matemática e como aplicá-lo para provar propriedades sobre números inteiros positivos.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
1) O documento resume uma aula sobre indução matemática, incluindo exemplos de provas por indução e exercícios.
2) Foi corrigida uma prova e apresentadas as ideias principais da indução matemática.
3) Foram mostradas provas por indução de que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2, n2 ≥ 3n para n ≥ 4 e 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1.
O documento apresenta três exemplos de indução finita para provar as seguintes propriedades: (1) 2n ≥ n + 1 para todo n natural; (2) a soma de todos os ímpares até 2n - 1 é igual a n2; (3) 2n > n para todo n natural.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
O capítulo apresenta 12 questões de matemática resolvidas, incluindo cálculos com somas, fatoriais e equações. As questões subsequentes (13 a 21) também tratam de tópicos matemáticos como relações entre classes e solução de equações.
O documento apresenta a resolução de 4 problemas utilizando a teoria das congruências lineares. O primeiro problema envolve a quantidade de ovos quebrados em uma barraca, resolvido em 301 ovos. O segundo trata de perguntas em que o nariz de Pinóquio cresceu, nas respostas 6 e 14. O terceiro envolve moedas divididas entre 3 marinheiros, com 241 moedas no total. O quarto problema é sobre gastos em um hotel com 41 homens e 17 mulheres.
1) A questão calcula a probabilidade de um número de 5 algarismos distintos pertencer ao conjunto M, que contém números menores que 58.931. A probabilidade é igual a 65/120.
2) A questão analisa o movimento de duas partículas e encontra o momento em que a distância entre elas é mínima. A distância mínima ocorre quando as partículas estão nas posições (8,0) e (0,4), unidas pela reta x+2y=8.
3) A questão resolve uma equação polinomial de 5o grau
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais da Teoria Elementar dos Números, incluindo divisibilidade, algoritmo da divisão, máximo divisor comum e números primos.
2. A seção sobre divisibilidade discute propriedades como o algoritmo da divisão de Euclides e o teorema fundamental da aritmética.
3. O documento fornece definições, teoremas e exemplos para introduzir esses conceitos-chave da teoria elementar dos números.
1) O documento discute indução matemática, incluindo indução fraca e forte;
2) Exemplos são dados para ilustrar como provar que uma cerca com estacas tem seções usando indução fraca e forte;
3) Um segundo exemplo mostra como provar que um número é primo ou produto de primos usando indução forte.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente, gráficos dessas funções, relações trigonométricas básicas, fórmulas de adição, multiplicação e transformação de arcos, equações trigonométricas e funções circulares inversas.
2) São apresentados exercícios de trigonometria para aplicação dos conceitos, com 6 questões.
3) As leis dos cossenos e senos são explicadas para cálculos em triângulos
1. O documento apresenta o Teorema Chinês dos Restos, que estabelece que um sistema de congruências módulos primos tem sempre solução única quando considerado módulo o produto dos módulos.
2. O teorema permite reduzir a resolução de uma equação modular a um sistema de equações mais simples.
3. Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de congruências usando o teorema: substituição iterativa e soma ponderada de soluções parciais.
Resolução dos exercícios da Lista 1 da disciplina de Funções de uma variável, do prof. Cláudio Meneses, da Universidade Federal do ABC.
Dúvidas/Comentários/Comunicação de Erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Este documento discute a indução finita, um método para provar propriedades sobre números naturais. Ele explica que (1) verificações diretas para alguns números não são suficientes para provar propriedades sobre o conjunto infinito dos naturais e (2) o princípio da indução finita estabelece que basta provar que uma propriedade é válida para um número inicial n0 e que, se é válida para um número k, também é válida para k+1.
Este documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais pontos tratados são: provar conjecturas usando métodos como contraposição, absurdo e indução; encontrar fórmulas fechadas de sequências recursivas; e operações com conjuntos.
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
Cálculo Diferencial e Integral - Sucessões - Exercicios resolvidos e propostosMaths Tutoring
No âmbito do Calculo, as sucessões/séries constituem um módulo introdutório que, embora simples a nível de compreensão, é um suporte importante para disciplinas mais avançadas (Análise Funcional, Topologia, etc.)
Este texto apresenta alguns exercícios resolvidos e, em menor quantidade, exercícios propostos.
Livro sugerido para leitura sobre o tema:
Carlos Sarrico, Análise Matemática - Leituras e exercícios, Gradiva
Errata:
O exercício 3 dos propostos tem a sucessão mal definida: em vez de (an+r)/2 é (an+r)/3. O exercício passa por mostrar que an -> r/2 (de facto, seria muito obvio da maneira como estava escrito).
O documento apresenta a demonstração matemática da igualdade 0,999... = 1 através da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A demonstração começa reescrevendo 0,999... como uma soma infinita de termos decrescentes em potências de 0,1. Em seguida, deduz a fórmula geral para a soma de uma progressão geométrica finita e infinita. Aplicando a fórmula para a progressão dada, conclui que a soma é igual a 1, demonstrando a igualdade proposta.
1. O documento apresenta exercícios sobre sucessões e séries numéricas. Inclui questões sobre limites de sucessões, convergência de séries geométricas e séries de Mengoli.
1) O documento discute seqüências numéricas e séries infinitas, apresentando definições, exemplos e teoremas sobre convergência e monotonicidade de seqüências.
2) Uma seqüência é uma função que associa números reais a números naturais. Pode ser dada por uma fórmula ou recorrência. Se a diferença entre os termos e um limite tende a zero, a seqüência converge.
3) O documento fornece condições para a convergência de seqüências, como os teoremas sobre limites de potências e conf
1. O documento apresenta o teorema sobre as derivadas das funções exponenciais f(x) = ex e logarítmicas g(x) = loga x.
2. É mostrado que a derivada de ex é ex e a derivada de ax é ax ln a.
3. Também são apresentadas as derivadas de funções logarítmicas como ln x, loga x e ln |x|.
1) O documento apresenta o Teorema 10.1 que deriva funções exponenciais e logarítmicas.
2) É mostrada a derivada de f(x) = ex como sendo f'(x) = ex e de f(x) = ax como sendo f'(x) = ax ln a.
3) Também são mostradas as derivadas de funções logarítmicas.
1) O documento discute seqüências e séries numéricas, definindo seqüências, apresentando exemplos e propriedades como convergência e monotonicidade.
2) Uma seqüência é uma função que associa números naturais a números reais. Exemplos incluem seqüências com termos definidos por fórmulas ou recorrência.
3) Uma seqüência converge se seu limite quando n tende ao infinito existe e é um número real finito. Caso contrário, diverge. Teoremas caracterizam convergência ou divergência.
[1] O documento apresenta um resumo sobre cadeias de Markov, que são processos estocásticos onde a probabilidade do estado atual depende apenas do estado anterior e não dos estados anteriores. [2] É definido o que são sequências aleatórias e variáveis aleatórias discretas. [3] São apresentados exemplos de como calcular as probabilidades de transição entre estados em cadeias de Markov de primeiro e segundo passo.
1. O documento discute sequências de números reais. Apresenta a prova de que se duas sequências (xn) e (yn) convergem para limites a e b respectivamente, e n nx y ε− ≥ para todo n, então a b ε− ≥ .
2. Define indutivamente as sequências (xn) e (yn) e prova que convergem para o mesmo limite, seja a ou b.
3. Mostra que se duas novas sequências forem dadas, então lim 1n nx y× = e deduz daí que lim 1
n
n e
O documento apresenta vários métodos para aproximar números reais como raiz quadrada de 2, pi e raízes não exatas através de truncamentos decimais e iterativos. Inclui exercícios resolvidos sobre aproximações decimais de raiz quadrada de 2 e estimativas de pi usando polígonos inscritos em circunferências.
1. O documento descreve o princípio da indução finita e suas aplicações em demonstrações matemáticas.
2. A indução finita permite provar teoremas sobre números inteiros, quando eles enunciam propriedades que se aplicam a todos os inteiros a partir de um certo número.
3. Dois exemplos de teoremas demonstrados por indução finita são apresentados: a soma dos n primeiros números ímpares positivos é igual a n2, e o inteiro 9n-1 é divisível por 8 para todo inteiro n maior ou igual a zero
O documento discute o Teorema de Cramér-Lundberg, que fornece uma estimativa para a probabilidade de ruína de uma seguradora. Apresenta um modelo simples em tempo discreto e analisa a probabilidade de ruína. Em seguida, introduz o modelo clássico de Cramér-Lundberg em tempo contínuo, descrevendo as hipóteses e discutindo cálculos relacionados à probabilidade de ruína.
O documento apresenta o método das funções geradoras para resolver equações polinomiais com várias variáveis. Em 3 exemplos, é mostrado como construir tabelas que mapeiam expoentes para coeficientes, permitindo enumerar todas as soluções de equações como 2x1 + x2 = n, 4x1 + 2x2 + y3 = m, onde as variáveis assumem valores inteiros não negativos e y3 valores fixos.
Material de apoio das aulas de tutoria de Algoritmos e Estrutura de dados da Universidade Federal de Ouro Preto, Campus João Monlevade. O conteúdo abordado é sobre relações de recorrência em relação com a análise e complexidade de algoritmos.
Este documento apresenta 17 exercícios sobre processos estocásticos e cadeias de Markov. Os exercícios abordam conceitos como classificação de processos estocásticos, determinação de distribuições de probabilidade, análise de cadeias de Markov homogêneas e não homogêneas, identificação de estados recorrentes e transientes, e cálculo de distribuições estacionárias. Os exercícios propõem a modelagem de diversos processos reais como jogos de azar, máquinas industriais e mudanças de humor como
Este capítulo apresenta conceitos preliminares sobre sequências de números reais, incluindo definições de limites de sequências, convergência, monotonia e limitação. É introduzida a noção formal de limite de uma sequência e apresentados exemplos ilustrativos.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
O documento apresenta os conceitos básicos de polinômios, incluindo: (1) definição de polinômio como uma soma de monômios; (2) operações com monômios e polinômios como adição, subtração, multiplicação e divisão; (3) grau de um polinômio; (4) raízes de equações polinomiais.
O documento discute conceitos fundamentais sobre polinômios, incluindo:
1) Definição de polinômio, monômio e operações entre eles como adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) Grau de um polinômio e identidade polinomial.
3) Resolução de equações polinomiais e propriedades das raízes.
Semelhante a Atividades - Cálculo - Sequências (20)
O documento explica como calcular a área de uma elipse usando cálculo integral e diferencial. A área de uma elipse é dada pela fórmula πab, onde a é a distância do centro da elipse ao ponto onde ela toca o eixo x e b é a distância do centro ao ponto onde toca o eixo y. O documento demonstra esta fórmula calculando a área de um quarto de elipse e multiplicando o resultado por quatro.
Ementa - Português/Matemática - Exame de acesso IFMTluiz10filho
1) O documento apresenta os conteúdos programáticos para uma prova do IFMT, divididos entre Língua Portuguesa e Matemática. 2) Em Língua Portuguesa, os tópicos incluem texto, fonética, morfologia, sintaxe, estilística e semântica. 3) Em Matemática, os assuntos são álgebra, com números naturais, inteiros, racionais e reais, e geometria, com entes geométricos, figuras planas, ângulos e trigonometria.
1) O documento discute funções afins e lineares, incluindo sua definição e teoremas fundamentais sobre proporcionalidade e caracterização de funções afins.
2) Inclui 11 atividades/problemas para exercitar esses conceitos.
3) Fornece detalhes sobre velocidades de barcos, consumo de água, progressões aritméticas e problemas envolvendo locadoras de carros.
Este documento apresenta 16 problemas de geometria relacionados a áreas, volumes, razões, teoremas e propriedades de figuras planas e sólidas como triângulos, circunferências, polígonos e corpos geométricos. Os problemas envolvem cálculos e demonstrações utilizando conceitos como semelhança, bisectrizes, proporcionalidade e propriedades de figuras regulares.
1) O documento contém 23 exercícios de trigonometria e geometria analítica. Os exercícios incluem provar identidades trigonométricas, calcular valores trigonométricos dados ângulos, resolver equações trigonométricas, e problemas geométricos envolvendo circunferências, triângulos e campos de futebol.
Este documento fornece instruções passo a passo para criar gráficos animados de funções no Geogebra, incluindo funções seno, cosseno, linear e quadrática, usando parâmetros e rastros.
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Resultado das Olimpíadas Brasileira de Matemática - Obmep 2012 - AMSluiz10filho
Os resultados da escola na 1a fase da 8a edição da OBMEP (Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) são apresentados. 230 alunos participaram do nível 1 e 184 do nível 2. A tabela mostra o número de acertos de cada nível. 15 alunos se classificaram para a 2a fase, que ocorrerá em 15 de setembro.
1) O aluno precisou de 14 moedas de 25 centavos e 3 moedas de 50 centavos para pagar R$6,50.
2) Cada um dos oito colegas pagará R$70 para "rachar" a conta de R$560 do videogame.
3) Após 5 anos recebendo R$40 por mês, o aluno terá recebido R$2.400 no total.
Este documento apresenta um estudo sobre a contaminação do rio Cuiabá por esgoto em Cuiabá e Várzea Grande, MT. O modelo matemático desenvolvido leva em conta a difusão, transporte advectivo, degradação e fontes de poluição do esgoto. O modelo é discretizado espacialmente e temporalmente e as simulações são apresentadas para estações úmida e seca. O objetivo é avaliar a degradação ambiental do rio e auxiliar no planejamento de saneamento na região.
1. Universidade Federal de Mato Grosso
Fundamentos de C´lculo
a
Atividades resolvidas - Grupo de estudos - PROFMAT
13/04/2013
Sequˆncias Reais e seus Limites
e
1
Quest˜o 1.3.1.c) Mostre que a sequˆncia xn =
a e n2 ´ limitada e mon´tona. Descreva o tipo de monoticidade de
e o
xn .
Demonstra¸˜o:
ca
Afirma¸˜o 1: (xn ) ´ mon´tona decrescente.
ca e o
De fato! Observe que para todo natural n, vale que:
1 1
n + 1 > n ⇔ (n + 1)2 > n2 ⇔ (n+1)2 < n2 .
Ou seja, xn+1 < xn . Conclu´
ımos assim que (xn ) ´ mon´tona decrescente.
e o
Vamos agora calcular o limite de (xn ).
1
Sabendo que limn→∞ n = 0 e usando as propriedades de limites, temos:
1 1 1
limn→∞ n2 = limn→∞ ( n )2 = (limn→∞ n )2 = 02 = 0.
Assim conclu´
ımos que (xn ) ´ convergente e seu limite ´ zero.
e e
Afirma¸˜o 2: (xn ) ´ limitada.
ca e
De fato! Mostramos acima que (xn ) ´ convergente. Desta forma, por teorema, temos que (xn ) ´ limitada.
e e
Com as ferramentas apresentadas anteriormente, podemos encontrar os limitantes de (xn ). Como (xn ) ´ mon´tona
e o
decrescente e lim xn = 0, temos que:
1 = x1 > x2 > x3 > ... > xn > ... > 0.
Quest˜o 1.3.3) Existe um n´mero finito ou infinito de subsequˆncias da sequˆncia ((−1)n+1 )? Justifique sua
a u e e
resposta.
Solu¸˜o: Existem infinitas subsequˆncias de ((−1)n+1 ), pois podemos fazer infinitas combina¸˜es entre 1 e -1.
ca e co
Observe alguns exemplos:
(1, 1, 1, 1, ...)
1
2. (−1, −1, −1, −1, ...)
(−1, −1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, −1, −1, ...)
etc.
Quest˜o 1.3.4.c) Dada a sequˆncia (1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...), exiba trˆs subsequˆncias mon´tonas cres-
a e e e o
centes e trˆs mon´tonas n˜o crescente.
e o a
Solu¸˜o: N˜o ´ poss´ encontrar subsequˆncias do tipo acima, pois sempre geramos um n´mero finito de elementos
ca a e ıvel e u
em cada subsequˆncia criada. Por exemplo:
e
(1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...1, 2, 3, ..., 1000, 1, 2, 3, ..., 999, 1000, 1001, 1, 2, 3, ..., 998, 999, 1000, 1001, 1002, ...)
Poder´
ıamos construir atrav´s da sequˆncia acima, a seguinte sequˆncia decrescente:
e e e
(1000, 999, 998, 997, 996, ...3, 2, 1),
entretanto, ela teria um n´mero finito de termos, n˜o satisfazendo assim a defini¸˜o de subsequˆncia.
u a ca e
Quest˜o 1.4.1.2.a) Encontre n1 ≥ 1 inteiro, tal que:
a
n 1
2n < 10 , para todo n > n1 .
Solu¸˜o: Tome n natural. Se n < 6 temos que 2n < 10n. Entretanto para todo n ≥ 6, ent˜o 2n > 10n. Assim,
ca a
n 1
ımos que sendo n ≥ 6, ent˜o 2n > 10n ⇔
conclu´ a 2n < 10 , ou seja, n1 = 6.
1
Quest˜o 1.4.1.3.b) Ache o limite da sequˆncia xn = 1 +
a e 3n .
Solu¸˜o:
ca
propriedades
1
limn→∞ 1 + 3n = limn→∞ 1 + limn→∞ 31 = 1 + 0 = 1.
n
Portanto lim xn = 1.
n
Quest˜o 1.4.1.4.a) Mostre que limn→∞ n+1 = 1.
a
1−ǫ
Solu¸˜o: Com efeito, dado ǫ > 0 arbitr´rio, podemos obter n0 natural tal que n0 >
ca a ǫ . Ent˜o n > n0 Implica
a
que:
1−ǫ 1 1 1 −1 n−n−1 n
n> ǫ = ǫ −1⇔n+1> ǫ ⇔ n+1 <ǫ⇔ n+1 <ǫ⇔ n+1 <ǫ⇔ n+1 − 1 < ǫ.
Conclu´
ımos assim que:
n
limn→∞ n+1 = 1.
2
3. n+3
Quest˜o 1.4.1.4.b) Mostre que limn→∞ n3 +4 = 0.
a
ǫ ǫ
Solu¸˜o: Com efeito, dado ǫ > 0 arbitr´rio, podemos obter m e k naturais, tais que: m2 2 > 1 e k 3 2 > 3. Desta
ca a
forma temos:
ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ
m2 2 > 1 ⇔ m3 2 > m e k 3 2 > 3. Como m3 2 + 4 2 > m3 2 > m e k 3 2 + 4 2 > k 3 2 > 3, obtemos:
ǫ 3 m ǫ ǫ 3 ǫ
2 (m + 4) > m ⇔ m3 +4 < 2 (I) e 2 (k 3 + 4) > 3 ⇔ k3 +4 < 2 (II).
Tome agora n0 = max [m,k]. Logo, para todo n > n0 , obtemos:
n+3 n+3 n+3 n 3 ǫ ǫ
n3 +4 −0 = n3 +4 = n3 +4 = n3 +4 + n3 +4 < 2 + 2 = ǫ.
por(I)/(II)
n+3
ımos assim que limn→∞ n3 +4 = 0.
Conclu´
Quest˜o 1.4.1.8) Mostre que:
a
1 1 1
limn→∞ ( (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 ) = 0.
Solu¸˜o: Com efeito! Inicialmente observe que para todo n e k natural, vale:
ca
1 1
n < n + k ⇔ (n + k)2 > n2 ⇔ (n+k)2 < n2 .
1
Sendo assim, dado ǫ > 0 arbitr´rio, podemos obter n0 natural tal que n0 >
a ǫ. Ent˜o, para todo n > n0 , temos
a
1 1
que: n > ǫ ⇔ n < ǫ. Mas:
1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n = n2 = + 2 + ... + 2 > (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 = (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 =
n2 n n
n−parcelas
1 1 1
(n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 −0 .
1 1 1 1
Logo (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 −0 < n < ǫ. Conclu´
ımos assim que:
1 1 1
limn→∞ ( (n+1)2 + (n+2)2 + ... + (2n)2 ) =0
3