Este documento apresenta 7 questões resolvidas sobre o Princípio de Indução Matemática. A introdução define o tópico estudado e as questões demonstram propriedades matemáticas usando o princípio de indução, como somar números consecutivos e provar que 2n é sempre maior que n. O autor encoraja os alunos a estudarem o conteúdo e colocarem dúvidas no fórum.

1. MATEMÁTICA ELEMENTAR
MATEMÁTICA ELEMENTAR
Carlos Alberto G. de Almeida
(cviniro@gmail.com)
17 de setembro de 2012

2. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Introdução
Olá a todos!
Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo:
Princípio de Indução Matemática.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o
assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude
antes a teoria.
BOM ESTUDO!

3. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Observação:
Para demonstrarmos que uma propriedade envolvendo os
números naturais é sempre verdadeira, precisamos usar o
Princípio de Indução Matemática, também conhecido como
Princípio de Indução Finita ou, simplesmente, Princípio de
Indução.
Princípio de Indução
Seja P(n) uma propriedade relacionada com os números
naturais da qual sabemos que:
P(n) é verdadeira para um valor inicial (que pode ser, por
exemplo, n = 1).
Se P(n) for verdadeira para n = k , então também é
verdadeira para n = k + 1.
Então a propriedade P(n) é verdadeira para todo número
natural n a partir do valor inicial.

4. MATEMÁTICA ELEMENTAR
n.(n+1)
Questão 05: Mostrar que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 2
, n≥1
Solução:
Vamos usar o Princípio da Indução Finita.
Para n = 1, observe que a expressão é verdadeira, pois
1 = 1.(1+1) ⇒ 1 = 1
2
Vamos supor agora que a expressão seja válida para
n = k , e vamos mostrar que ela também é válida para
n = k + 1, ou seja: A nossa hipótese é que
1 + 2 + 3 + 4 + ... + k = k .(k2+1) é verdadeira.
Daí, note que para n = k + 1, temos:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + k +(k + 1) = (k +1).(k +1+1)
2
k .(k +1) (k +1).(k +2)
⇒ 2 + (k + 1) = 2

5. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 05: Continuação
Resolvendo a operação no primeiro membro, temos:
k .(k + 1) + 2.(k + 1) (k + 1).(k + 2)
=
2 2
que é exatamente igual a expressão do 2o membro, ou seja,
acabamos de provar que P(k + 1) é verdadeira.
Logo, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão vale para
todo n ≥ 1.

6. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 06: Mostrar que
13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = [ n.(n+1) ]2 , n ≥ 1
2
Solução:
Usando o Princípio da Indução Finita, temos:
Para n = 1, observe que a expressão é verdadeira, pois
1.(1 + 1) 2
13 = [ ] ⇒ 1 = 12
2
Vamos supor agora que a expressão seja válida para
n = k , e vamos mostrar que ela também é válida para
n = k + 1, ou seja: A nossa hipótese é que
13 + 23 + 33 + 43 + ... + k 3 = [ k .(k2+1) ]2 é verdadeira.

7. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 06: Continuação
Daí, note que para n = k + 1, temos:
13 + 23 + 33 + 43 + ... + k 3 +(k + 1)3 = [ (k +1).(k +1+1) ]2
2
⇒ [ k .(k2+1) ]2 + (k + 1)3 = [ (k +1).(k +2) ]2
2
Desenvolvendo apenas as operações no primeiro membro,
temos:
k 2 .(k + 1)2 k 2 .(k + 1)2 + 4.(k + 1)3
+ (k + 1)3 = =
4 4
(k + 1)2 .[k 2 + 4.(k + 1)] (k + 1)2 .(k 2 + 4k + 4)
= = =
4 4
(k + 1)2 .(k + 2)2 (k + 1).(k + 2) 2
= =[ ]
4 2
que é exatamente igual a expressão do 2o membro, ou seja,
acabamos de provar que P(k + 1) é verdadeira.
Logo, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão vale para

8. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 07: Mostre que 2n > n, para todo n natural.
Solução:
Usando o Princípio da Indução Finita, temos:
Para n = 1, observe que a expressão é verdadeira, pois
21 > 1
Vamos supor agora que a expressão seja válida para
n = k , e vamos mostrar que ela também é válida para
n = k + 1, ou seja: A nossa hipótese é que
2k > k ,
para todo k natural.

9. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 07: Continuação
De fato, pois
2k +1 = 2k .21 = 2.2k > 2k ≥ k + 1
Então, podemos concluir que
2k +1 > k + 1
Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão vale
para todo n natural.

10. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 08: Prove que é verdadeira, para todo n ∈ N, a fórmula:
1 1 1 n
P(n) : + + ··· + = .
1·2 2·3 n(n + 1) n+1
Solução:
Observamos inicialmente que
1 1
P(1) : =
1·2 1+1
é verdadeira. Suponhamos que, para algum k , tem-se que
P(k ) é verdadeira, ou seja,
1 1 1 k
P(k ) : + + ··· + =
1·2 2·3 k (k + 1) k +1

11. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 08: Continuação
1
Somando a ambos os lados dessa igualdade ,
(k + 1)(k + 2)
temos que
1 1 1 1 k 1
+ +· · ·+ + = +
1·2 2·3 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) k + 1 (k + 1)(k + 2)
⇐⇒
1 1 1 1 k +1
+ + ··· + + =
1·2 2·3 k (k + 1) (k + 1)(k + 2) (k + 1) + 1
mostrando, assim, que P(k + 1) é verdadeira.
Portanto, pelo princípio da indução finita, temos que a fórmula
vale para todo n ∈ N.

12. MATEMÁTICA ELEMENTAR
OBSERVAÇÕES:
Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
estarem em dia com o conteúdo.
Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados, e
coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que
possamos esclarecê-las.
ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!