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Conjuntos. Coordenadas cartesianas.
Lista 1a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
1. Quais dos conjuntos são vazios?
A = {0 · x = 0}
B = {x  9
4
e x  6
5
}
C = {x divisor de zero}
D = {x divisivel por zero}
Solução. Lembramos que, pela denição, um conjunto vazio é aquele que não possui elemento
algum.
A: a relação 0 · x = 0 é verdadeira para qualquer número real x, isto é, todos os números reais
são elementos de A e, portanto, ele não é vazio.
B: evidentemente não tem nenhum número que satisfaz as duas desiguadades dadas, o que
signica que B é um conjunto vazio. (Observação. Para ver melhor que B não contém nenhum
elemento, reescrevemos as desigualdades dadas na forma x  9
4
 8
4
= 2 e x  6
5
 10
5
= 2;
obviamente não tem nenhum número maior que 2 e menor que 2 ao mesmo tempo.)
C: zero é divisível por qualquer número diferente de zero com resultado igual a zero, isto é,
qualquer número x ̸= 0 é divisor de zero, portanto C não é um conjunto vazio
D: conforme regras aritméticas de números reais, nenhum número pode ser dividido por zero,
portanto, D é um conjunto vazio.
2. Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
a) {a, a, a, b, b} = {a, b}
b) {x2
= 4} = {x ̸= 0 e x3
− 4x = 0}
c) {2x + 7 = 11} = {2}
d) {x  0 e x ≥ 0} = ∅
Solução. A seguir, vamos chamar o conjunto do lado esquerdo de A e do lado direito de B. Pela
denição, dois conjunto são iguais se eles contêm os mesmos elementos.
a) qualquer elemento de A (isto é, a e b) é contido em B e reciprocamente, qualquer elemento de B
(isto é, a e b) é contido em B; logo, A = B.
b) o conjunto A tem dois elementos uma vez que há duas soluções da equação dada: x1 = −2
e x2 = 2; para determinar os elementos do conjunto B, primeiro resolvemos a equação dada:
x3
− 4x = 0 ↔ x(x2
− 4) = 0 ↔ x1 = −2, x2 = 2, x3 = 0 e depois retiramos o número 0, restando
assim os dois elementos x1 = −2, x2 = 2, o que signica que o conjunto B também contém aqueles
dois elementos que se encontram em A; como os dois conjuntos contém os mesmos dois elementos,
então A = B.
c) evidentemente a única solução da equação 2x + 7 = 11 é x = 2, isto é, o conjunto A tem um
único elemento 2, assim como o conjunto B; logo, A = B.
d) evidentemente, não existe nenhum número x tal que x  0 e x ≥ 0, o que quer dizer que A é
um conjunto vazio, assim como B; logo, A = B.
3. Classicar como verdadeiro ou falso:
a) ∅ ⊂ (A ∪ B);
b) (A ∪ B) ⊂ A;
2
c) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ B);
d) B ⊂ (A ∪ B);
e) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ B ∪ C).
Solução.
a) V: conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
b) F: se B tem elementos fora de A, então os mesmos cam em A ∪ B, mas não em A;
c) V: um conjunto é subconjunto dele mesmo;
d) V: todos os elementos de B se encontram em A ∪ B;
e) V: todos os elementos de A ∪ B se encontram em A ∪ B ∪ C; ou chame D = A ∪ B e reduza a
letra e).
4 (opcional). Determine o conjunto X tal que {a, b, c, d} ∪ X = {a, b, c, d, e}, {c, d} ∪ X =
{a, c, d, e} e {b, c, d} ∩ X = {c}.
Solução. Da primeira relação segue que X pode conter, no máximo, os cinco elementos: a, b, c, d, e
e desses, o último e obrigatoriamente ca em X. Da segunda segue que b ̸∈ X enquanto a e e devem
car em X. Então as duas primeiras relações especicam que a ∈ X, e ∈ X e b ̸∈ X. Resta decidir
sobre d e c. Para isso usamos a terceira relação que acrescenta informação de que b ̸∈ X e d ̸∈ X,
mas c ∈ X. Finalmente, X = {a, e, c}.
5. Sejam conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, e, g, d, f} e C = {e, g, b, d}. Determine os conjuntos:
a) A − B; b) B − A; c) C − B; d) (A ∪ C) − B; e) A − (B ∩ C); f) (A ∪ C) − (A ∩ C); g) A × C.
Solução.
a) os elementos que estão em A e, ao mesmo tempo, não estão em B são a e b
b) os elementos que estão em B e, ao mesmo tempo, não estão em A são e, f e g
c) os elementos que estão em C e, ao mesmo tempo, não estão em B são b (o único)
d) os elementos de A ∪ C = {a, b, c, d, e, g} que não estão em B são a e b
e) os elementos de A que não estão em B ∩ C = {d, e, g} são a, b e c
f) os elementos de A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g} que não estão em A ∩ C = {b, d} são a, c, e, f e g
g) A×C ={(a, b),(a, d),(a, e),(a, g),(b, b),(b, d),(b, e),(b, g),(c, b),(c, d),(c, e),(c, g),(d, b),(d, d),(d, e),(d, g)}.
6. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, obtenha um
conjunto X tal que X ⊂ A e A − X = B ∩ C.
Solução. Pela condição, A−X = B ∩C = {2, 4} e, pela denição da diferença, este é o conjunto
dos elementos de A que não estão em X. Como a condição X ⊂ A diz que X faz parte de A, então
concluímos que X = {1, 3, 5}.
7. Classicar como verdadeiro ou falso:
a) N ⊂ Q; b) Z ⊂ Q; c) 0 ∈ Q − Z; d) 0, 474747 . . . ∈ Q.
Solução.
Lembramos que conjunto de racionais Q é o conjunto de todas as frações na forma p
q
onde p ∈ Z e
q ∈ N.
a) V: tomando q = 1 e p ∈ N na denição de Q, obtemos todos os números naturais;
b) V: tomando q = 1 e p ∈ Z na denição de Q, obtemos todos os números inteiros;
c) F: como 0 ∈ Z, ele não pertence ao conjunto indicado;
d) V: denotamos x = 0, 474747 . . . e multiplicando x por 100 temos 100x = 47, 4747 . . .; subtraindo
desse resultado x, obtemos 100x − x = 99x = 47 ou x = 47
99
; assim, com p = 47 e q = 99 temos
a denição do número racional. Outra justicativa: pode ser mostrado, na forma geral, que os
números racionais são números decimais nitos ou innitos periodicos (x = 0, 474747 . . . é número
decimal innito periodico).
8. Colocar na forma de uma fração irredutivel os seguintes número racionais:
3
a) 0, 4; b) 0, 444 . . .; c) 0, 32; d) 0, 323232 . . .; e) 54, 2; f) 5, 423423423 . . .;
Solução.
a) 0, 4 = 4
10
= 2
5
;
b) denotamos x = 0, 444 . . . e multiplicando x por 10 temos 10x = 4, 444 . . .; subtraindo desse
resultado x, obtemos 10x − x = 9x = 4 ou x = 4
9
;
c) 0, 32 = 32
100
= 8
25
;
d) denotamos x = 0, 3232 . . . e multiplicando x por 100 temos 100x = 32, 3232 . . .; subtraindo desse
resultado x, obtemos 100x − x = 99x = 32 ou x = 32
99
;
e) 54, 2 = 542
10
= 271
5
;
f) denotamos x = 5, 423423 . . . e multiplicando x por 1000 temos 1000x = 5423, 423423 . . .; sub-
traindo desse resultado x, obtemos 1000x − x = 999x = 5418 ou x = 5418
999
= 602
111
.
9. Coloque em ordem crescente os seguintes números 15
16
, 11
12
, 18
19
, 1, 47
48
, 2
3
.
Solução.
Primeiro, todos os números são menores que 1, exceto o próprio 1. Segundo, todas as frações têm
a forma a = n−1
n
para algum n natural maior que 1. Nesse caso, quando maior for n maior será o
número a. Realmente, comparemos os dois números desse tipo  a = n−1
n
e b = m−1
m
, m  n  1.
Podemos escrever a = 1 − 1
n
e b = 1 − 1
m
. Obviamente, 1
n
 1
m
uma vez que m  n, e portanto,
a = 1 − 1
n
 b = 1 − 1
m
. Essa é toda a demonstração. Consequentemente, temos a seguinte ordem
dos núemros dados: 2
3
 11
12
 15
16
 18
19
 47
48
 1.
10. Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1  r2, então existe um racional r tal que r1  r  r2.
Solução.
Como r1 e r2 são racionais, então r1 = p1
q1
e r2 = p2
q2
onde p1, p2 ∈ Z e q1, q2 ∈ N. Vamos mostrar que
o ponto r = r1+r2
2
, que ca no meio dos dois números dados, é o racional procurado. Realemente,
pela sua denição, r1  r  r2. Agora veremos que r é racional: r = r1+r2
2
=
p1
q1
+
p2
q2
2
= p1·q2+p2·q1
2q1·q2
.
Como p = p1 · q2 + p2 · q1 ∈ Z e 2q1q2 ∈ N, então, pela denição, r ∈ Q.
11. Calcular o valor de
a) 0,2·0,7−4·0,01
0,5·0,2
; b) 0, 999 . . . +
1
5
+1
3
3
5
− 1
15
.
Solução.
a) 0,2·0,7−4·0,01
0,5·0,2
= 0,14−0,04
0,1
= 1;
b) 0, 999 . . . +
1
5
+1
3
3
5
− 1
15
= 1 +
3+5
15
9−1
15
= 1 + 1 = 2 (transformação do primeiro número: a = 0, 999 . . . ⇒
10a = 9, 999 . . . ⇒ 10a − a = 9a = 9 ⇒ a = 1)
12. Quais das proposições abaixo são verdadeiras:
a) 1, 3 ∈ R; b) N ⊂ R; c) Z ⊂ R; d) 1
2
∈ R − Q; e)
√
4 ∈ R − Q; f) 3
√
4 ∈ R − Q; Soluções.
Lembramos que conjunto dos reais R pode ser denido como conjunto de todos os números decimais.
a) V: 1, 3 ∈ R: 3 é um número decimal e, portanto, 3 ∈ R ;
b) V: N ⊂ R: qualquer número natural é decimal e, portanto, N ⊂ R ;
c) V: Z ⊂ R: qualquer número inteiro é decimal e, portanto, Z ⊂ R ;
d) F: 1
2
∈ R − Q: 1
2
é um número racional e, portanto, 1
2
̸∈ R − Q ;
e) F:
√
4 ∈ R − Q:
√
4 = 2 é um número racional e, portanto,
√
4 ̸∈ R − Q ;
f) V: 3
√
4 ∈ R − Q: intuitivamente a validade dessa armação é bastante evidente, mas a sua
demonstração não é muito simples. Vamos demonstrar que 3
√
4 é um número irracional; para isso,
usamos o método de contradição  supomos, por absurdo, que 3
√
4 é um número racional, ou seja,
3
√
4 = p
q
, onde p ∈ Z e q ∈ N; notando que 3
√
4 é um número positivo, podemos especicar que
p ∈ N e, além disso, podemos considerar (sem perda de generalidade) que a fração p
q
é simplicada
(p e q não têm divisores comuns, além de 1); agora faremos algumas transformações aritméticas;
4
primeiro, elevamos a relação da suposição 3
√
4 = p
q
ao cubo, o que dá 4 = p3
q3 ou p3
= 4q3
; da última
segue que p3
é divisível por 2 e então p é divisível por 2, isto é, p = 2m, m ∈ N; substituindo essa
expressão de p na relação com q, obtemos (2m)3
= 4q3
ou 2m3
= q3
; da última relação segue que
q3
é divisível por 2 e, portanto, q é divisível por 2, isto é, q = 2n, n ∈ N; assim, p
q
= 2m
2n
, ou seja, a
fração original não é simplicada, o que contradiz a nossa suposição que 3
√
4 é um número racional
na forma de uma fração simplicada; consequentemente, a suposição é falsa e, portanto, 3
√
4 não é
um número racional; logo, 3
√
4 ∈ R − Q.
13. Mostre que
√
4 + 2
√
3 = 1 +
√
3.
Solução. A ideia principal é tentar montar um quadrado completo dentro da raiz. A expressão
dentro da raiz é simples tranformar num quadrado, portanto, fazemos isso direto:
4 + 2
√
3 = 1 + 2
√
3 + (
√
3)2
= (1 +
√
3)2
⇒
√
4 + 2
√
3 =
√
(1 +
√
3)2 = 1 +
√
3
14. Dados dois números reais e positivos x e y, mostre que a sua média aritmética a = x+y
2
é
maior ou igual que a sua média geomátrica g =
√
xy.
Solução. Como todos os números são positivos, então a desigualdade a ≥ g equivale a a2
≥ g2
.
Abrimos a última em termos de x e y: (x+y)2
4
≥ xy ou (x + y)2
− 4xy ≥ 0 ou (x − y)2
≥ 0. A
validade evidente da última desigualdade garante a validade das anteriores e, em particular, da
original a ≥ g.
15. Mostrar que
a) existe um número irracional a tal que a4
e a6
são racionais;
b) se a7
e a12
são racionais, então a é racional.
Solução. a) a =
√
2 é irracional, mas a4
= 4 e a6
= 8 são racionais.
b) No caso trivial a = 0 a resposta é imediata. Vamos supor que a ̸= 0. Então, usando sistema-
ticamente as propriedades aritméticas de números racionais (mais precisamente, o fato de que a
quociente de dois racionais é um racional) chegamos ao resultado desejado. Realmente, a12
a7 = a5
é
racional; então a7
a5 = a2
é racional; então a12
a7·a2 = a3
é racional; nalmente, a3
a2 = a é racional.
16. Encontrar
a) R ∩ Q; b) (N ∩ Z) ∪ Q; c) N ∪ (Z ∩ Q).
Solução.
a) a interseção R ∩ Q = Q porque Q faz parte de R;
b) a interseção N ∩ Z = N porque N faz parte de Z, e a operação (N ∩ Z) ∪ Q = N ∪ Q = Q dá Q,
porque ele contém N;
c) a interseção Z ∩ Q = Z porque Z faz parte de Q, e a operação N ∪ (Z ∩ Q) = N ∪ Z = Z dá Z,
porque ele contém N.
17. Marcar os pontos dados no plano cartesiano:
O = (0, 0), A = (−3, 4), B = (1, 4), C = (−3, −2).
Solução.
Veja gura abaixo.
18. Desenhar as regiões no plano cartesiano denidas pelas fórmulas:
a) P = (x, y): y = 1; b) P = (x, y): x ≥ −2; c) P = (x, y): |x|  1, y  0.
Solução.
Veja guras abaixo.
5
Figura 1: Exercício 17.
Figura 2: Exercício 18a).
19. Marcar os pontos A e B no plano cartesiano e encontrar a distância entre eles:
a) A = (0, 0), B = (0, 1);
b) A = (1, 2), B = (0, 1);
c) A = (−1, 2), B = (−3, −2);
d) A = (3, −1), B = (−2, 3).
Encontrar o ponto médio do segmento AB.
Solução de 19c):
Usando a fórmula-padrão da distância entre dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB): d(A, B) =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2, obtemos d(A, B) =
√
(−1 − (−3))2 + (2 − (−2))2 =
√
20.
Usando a fórmula-padrão do ponto médio C do segmento AB, onde A = (xA, yA) e B = (xB, yB):
C = (xA+xB
2
, yA+yB
2
), obtemos C = (−1+(−3
2
), 2+(−2)
2
) = (−2, 0).
6
Figura 3: Exercício 18b).
Figura 4: Exercício 18c).

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Lista de exercícios 1 - Cálculo

  • 1. 1 Conjuntos. Coordenadas cartesianas. Lista 1a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento. Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido. Somente conclusões nais não serão aceitas. 1. Quais dos conjuntos são vazios? A = {0 · x = 0} B = {x 9 4 e x 6 5 } C = {x divisor de zero} D = {x divisivel por zero} Solução. Lembramos que, pela denição, um conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum. A: a relação 0 · x = 0 é verdadeira para qualquer número real x, isto é, todos os números reais são elementos de A e, portanto, ele não é vazio. B: evidentemente não tem nenhum número que satisfaz as duas desiguadades dadas, o que signica que B é um conjunto vazio. (Observação. Para ver melhor que B não contém nenhum elemento, reescrevemos as desigualdades dadas na forma x 9 4 8 4 = 2 e x 6 5 10 5 = 2; obviamente não tem nenhum número maior que 2 e menor que 2 ao mesmo tempo.) C: zero é divisível por qualquer número diferente de zero com resultado igual a zero, isto é, qualquer número x ̸= 0 é divisor de zero, portanto C não é um conjunto vazio D: conforme regras aritméticas de números reais, nenhum número pode ser dividido por zero, portanto, D é um conjunto vazio. 2. Quais das igualdades abaixo são verdadeiras? a) {a, a, a, b, b} = {a, b} b) {x2 = 4} = {x ̸= 0 e x3 − 4x = 0} c) {2x + 7 = 11} = {2} d) {x 0 e x ≥ 0} = ∅ Solução. A seguir, vamos chamar o conjunto do lado esquerdo de A e do lado direito de B. Pela denição, dois conjunto são iguais se eles contêm os mesmos elementos. a) qualquer elemento de A (isto é, a e b) é contido em B e reciprocamente, qualquer elemento de B (isto é, a e b) é contido em B; logo, A = B. b) o conjunto A tem dois elementos uma vez que há duas soluções da equação dada: x1 = −2 e x2 = 2; para determinar os elementos do conjunto B, primeiro resolvemos a equação dada: x3 − 4x = 0 ↔ x(x2 − 4) = 0 ↔ x1 = −2, x2 = 2, x3 = 0 e depois retiramos o número 0, restando assim os dois elementos x1 = −2, x2 = 2, o que signica que o conjunto B também contém aqueles dois elementos que se encontram em A; como os dois conjuntos contém os mesmos dois elementos, então A = B. c) evidentemente a única solução da equação 2x + 7 = 11 é x = 2, isto é, o conjunto A tem um único elemento 2, assim como o conjunto B; logo, A = B. d) evidentemente, não existe nenhum número x tal que x 0 e x ≥ 0, o que quer dizer que A é um conjunto vazio, assim como B; logo, A = B. 3. Classicar como verdadeiro ou falso: a) ∅ ⊂ (A ∪ B); b) (A ∪ B) ⊂ A;
  • 2. 2 c) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ B); d) B ⊂ (A ∪ B); e) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ B ∪ C). Solução. a) V: conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; b) F: se B tem elementos fora de A, então os mesmos cam em A ∪ B, mas não em A; c) V: um conjunto é subconjunto dele mesmo; d) V: todos os elementos de B se encontram em A ∪ B; e) V: todos os elementos de A ∪ B se encontram em A ∪ B ∪ C; ou chame D = A ∪ B e reduza a letra e). 4 (opcional). Determine o conjunto X tal que {a, b, c, d} ∪ X = {a, b, c, d, e}, {c, d} ∪ X = {a, c, d, e} e {b, c, d} ∩ X = {c}. Solução. Da primeira relação segue que X pode conter, no máximo, os cinco elementos: a, b, c, d, e e desses, o último e obrigatoriamente ca em X. Da segunda segue que b ̸∈ X enquanto a e e devem car em X. Então as duas primeiras relações especicam que a ∈ X, e ∈ X e b ̸∈ X. Resta decidir sobre d e c. Para isso usamos a terceira relação que acrescenta informação de que b ̸∈ X e d ̸∈ X, mas c ∈ X. Finalmente, X = {a, e, c}. 5. Sejam conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, e, g, d, f} e C = {e, g, b, d}. Determine os conjuntos: a) A − B; b) B − A; c) C − B; d) (A ∪ C) − B; e) A − (B ∩ C); f) (A ∪ C) − (A ∩ C); g) A × C. Solução. a) os elementos que estão em A e, ao mesmo tempo, não estão em B são a e b b) os elementos que estão em B e, ao mesmo tempo, não estão em A são e, f e g c) os elementos que estão em C e, ao mesmo tempo, não estão em B são b (o único) d) os elementos de A ∪ C = {a, b, c, d, e, g} que não estão em B são a e b e) os elementos de A que não estão em B ∩ C = {d, e, g} são a, b e c f) os elementos de A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g} que não estão em A ∩ C = {b, d} são a, c, e, f e g g) A×C ={(a, b),(a, d),(a, e),(a, g),(b, b),(b, d),(b, e),(b, g),(c, b),(c, d),(c, e),(c, g),(d, b),(d, d),(d, e),(d, g)}. 6. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, obtenha um conjunto X tal que X ⊂ A e A − X = B ∩ C. Solução. Pela condição, A−X = B ∩C = {2, 4} e, pela denição da diferença, este é o conjunto dos elementos de A que não estão em X. Como a condição X ⊂ A diz que X faz parte de A, então concluímos que X = {1, 3, 5}. 7. Classicar como verdadeiro ou falso: a) N ⊂ Q; b) Z ⊂ Q; c) 0 ∈ Q − Z; d) 0, 474747 . . . ∈ Q. Solução. Lembramos que conjunto de racionais Q é o conjunto de todas as frações na forma p q onde p ∈ Z e q ∈ N. a) V: tomando q = 1 e p ∈ N na denição de Q, obtemos todos os números naturais; b) V: tomando q = 1 e p ∈ Z na denição de Q, obtemos todos os números inteiros; c) F: como 0 ∈ Z, ele não pertence ao conjunto indicado; d) V: denotamos x = 0, 474747 . . . e multiplicando x por 100 temos 100x = 47, 4747 . . .; subtraindo desse resultado x, obtemos 100x − x = 99x = 47 ou x = 47 99 ; assim, com p = 47 e q = 99 temos a denição do número racional. Outra justicativa: pode ser mostrado, na forma geral, que os números racionais são números decimais nitos ou innitos periodicos (x = 0, 474747 . . . é número decimal innito periodico). 8. Colocar na forma de uma fração irredutivel os seguintes número racionais:
  • 3. 3 a) 0, 4; b) 0, 444 . . .; c) 0, 32; d) 0, 323232 . . .; e) 54, 2; f) 5, 423423423 . . .; Solução. a) 0, 4 = 4 10 = 2 5 ; b) denotamos x = 0, 444 . . . e multiplicando x por 10 temos 10x = 4, 444 . . .; subtraindo desse resultado x, obtemos 10x − x = 9x = 4 ou x = 4 9 ; c) 0, 32 = 32 100 = 8 25 ; d) denotamos x = 0, 3232 . . . e multiplicando x por 100 temos 100x = 32, 3232 . . .; subtraindo desse resultado x, obtemos 100x − x = 99x = 32 ou x = 32 99 ; e) 54, 2 = 542 10 = 271 5 ; f) denotamos x = 5, 423423 . . . e multiplicando x por 1000 temos 1000x = 5423, 423423 . . .; sub- traindo desse resultado x, obtemos 1000x − x = 999x = 5418 ou x = 5418 999 = 602 111 . 9. Coloque em ordem crescente os seguintes números 15 16 , 11 12 , 18 19 , 1, 47 48 , 2 3 . Solução. Primeiro, todos os números são menores que 1, exceto o próprio 1. Segundo, todas as frações têm a forma a = n−1 n para algum n natural maior que 1. Nesse caso, quando maior for n maior será o número a. Realmente, comparemos os dois números desse tipo a = n−1 n e b = m−1 m , m n 1. Podemos escrever a = 1 − 1 n e b = 1 − 1 m . Obviamente, 1 n 1 m uma vez que m n, e portanto, a = 1 − 1 n b = 1 − 1 m . Essa é toda a demonstração. Consequentemente, temos a seguinte ordem dos núemros dados: 2 3 11 12 15 16 18 19 47 48 1. 10. Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1 r2, então existe um racional r tal que r1 r r2. Solução. Como r1 e r2 são racionais, então r1 = p1 q1 e r2 = p2 q2 onde p1, p2 ∈ Z e q1, q2 ∈ N. Vamos mostrar que o ponto r = r1+r2 2 , que ca no meio dos dois números dados, é o racional procurado. Realemente, pela sua denição, r1 r r2. Agora veremos que r é racional: r = r1+r2 2 = p1 q1 + p2 q2 2 = p1·q2+p2·q1 2q1·q2 . Como p = p1 · q2 + p2 · q1 ∈ Z e 2q1q2 ∈ N, então, pela denição, r ∈ Q. 11. Calcular o valor de a) 0,2·0,7−4·0,01 0,5·0,2 ; b) 0, 999 . . . + 1 5 +1 3 3 5 − 1 15 . Solução. a) 0,2·0,7−4·0,01 0,5·0,2 = 0,14−0,04 0,1 = 1; b) 0, 999 . . . + 1 5 +1 3 3 5 − 1 15 = 1 + 3+5 15 9−1 15 = 1 + 1 = 2 (transformação do primeiro número: a = 0, 999 . . . ⇒ 10a = 9, 999 . . . ⇒ 10a − a = 9a = 9 ⇒ a = 1) 12. Quais das proposições abaixo são verdadeiras: a) 1, 3 ∈ R; b) N ⊂ R; c) Z ⊂ R; d) 1 2 ∈ R − Q; e) √ 4 ∈ R − Q; f) 3 √ 4 ∈ R − Q; Soluções. Lembramos que conjunto dos reais R pode ser denido como conjunto de todos os números decimais. a) V: 1, 3 ∈ R: 3 é um número decimal e, portanto, 3 ∈ R ; b) V: N ⊂ R: qualquer número natural é decimal e, portanto, N ⊂ R ; c) V: Z ⊂ R: qualquer número inteiro é decimal e, portanto, Z ⊂ R ; d) F: 1 2 ∈ R − Q: 1 2 é um número racional e, portanto, 1 2 ̸∈ R − Q ; e) F: √ 4 ∈ R − Q: √ 4 = 2 é um número racional e, portanto, √ 4 ̸∈ R − Q ; f) V: 3 √ 4 ∈ R − Q: intuitivamente a validade dessa armação é bastante evidente, mas a sua demonstração não é muito simples. Vamos demonstrar que 3 √ 4 é um número irracional; para isso, usamos o método de contradição supomos, por absurdo, que 3 √ 4 é um número racional, ou seja, 3 √ 4 = p q , onde p ∈ Z e q ∈ N; notando que 3 √ 4 é um número positivo, podemos especicar que p ∈ N e, além disso, podemos considerar (sem perda de generalidade) que a fração p q é simplicada (p e q não têm divisores comuns, além de 1); agora faremos algumas transformações aritméticas;
  • 4. 4 primeiro, elevamos a relação da suposição 3 √ 4 = p q ao cubo, o que dá 4 = p3 q3 ou p3 = 4q3 ; da última segue que p3 é divisível por 2 e então p é divisível por 2, isto é, p = 2m, m ∈ N; substituindo essa expressão de p na relação com q, obtemos (2m)3 = 4q3 ou 2m3 = q3 ; da última relação segue que q3 é divisível por 2 e, portanto, q é divisível por 2, isto é, q = 2n, n ∈ N; assim, p q = 2m 2n , ou seja, a fração original não é simplicada, o que contradiz a nossa suposição que 3 √ 4 é um número racional na forma de uma fração simplicada; consequentemente, a suposição é falsa e, portanto, 3 √ 4 não é um número racional; logo, 3 √ 4 ∈ R − Q. 13. Mostre que √ 4 + 2 √ 3 = 1 + √ 3. Solução. A ideia principal é tentar montar um quadrado completo dentro da raiz. A expressão dentro da raiz é simples tranformar num quadrado, portanto, fazemos isso direto: 4 + 2 √ 3 = 1 + 2 √ 3 + ( √ 3)2 = (1 + √ 3)2 ⇒ √ 4 + 2 √ 3 = √ (1 + √ 3)2 = 1 + √ 3 14. Dados dois números reais e positivos x e y, mostre que a sua média aritmética a = x+y 2 é maior ou igual que a sua média geomátrica g = √ xy. Solução. Como todos os números são positivos, então a desigualdade a ≥ g equivale a a2 ≥ g2 . Abrimos a última em termos de x e y: (x+y)2 4 ≥ xy ou (x + y)2 − 4xy ≥ 0 ou (x − y)2 ≥ 0. A validade evidente da última desigualdade garante a validade das anteriores e, em particular, da original a ≥ g. 15. Mostrar que a) existe um número irracional a tal que a4 e a6 são racionais; b) se a7 e a12 são racionais, então a é racional. Solução. a) a = √ 2 é irracional, mas a4 = 4 e a6 = 8 são racionais. b) No caso trivial a = 0 a resposta é imediata. Vamos supor que a ̸= 0. Então, usando sistema- ticamente as propriedades aritméticas de números racionais (mais precisamente, o fato de que a quociente de dois racionais é um racional) chegamos ao resultado desejado. Realmente, a12 a7 = a5 é racional; então a7 a5 = a2 é racional; então a12 a7·a2 = a3 é racional; nalmente, a3 a2 = a é racional. 16. Encontrar a) R ∩ Q; b) (N ∩ Z) ∪ Q; c) N ∪ (Z ∩ Q). Solução. a) a interseção R ∩ Q = Q porque Q faz parte de R; b) a interseção N ∩ Z = N porque N faz parte de Z, e a operação (N ∩ Z) ∪ Q = N ∪ Q = Q dá Q, porque ele contém N; c) a interseção Z ∩ Q = Z porque Z faz parte de Q, e a operação N ∪ (Z ∩ Q) = N ∪ Z = Z dá Z, porque ele contém N. 17. Marcar os pontos dados no plano cartesiano: O = (0, 0), A = (−3, 4), B = (1, 4), C = (−3, −2). Solução. Veja gura abaixo. 18. Desenhar as regiões no plano cartesiano denidas pelas fórmulas: a) P = (x, y): y = 1; b) P = (x, y): x ≥ −2; c) P = (x, y): |x| 1, y 0. Solução. Veja guras abaixo.
  • 5. 5 Figura 1: Exercício 17. Figura 2: Exercício 18a). 19. Marcar os pontos A e B no plano cartesiano e encontrar a distância entre eles: a) A = (0, 0), B = (0, 1); b) A = (1, 2), B = (0, 1); c) A = (−1, 2), B = (−3, −2); d) A = (3, −1), B = (−2, 3). Encontrar o ponto médio do segmento AB. Solução de 19c): Usando a fórmula-padrão da distância entre dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB): d(A, B) = √ (xA − xB)2 + (yA − yB)2, obtemos d(A, B) = √ (−1 − (−3))2 + (2 − (−2))2 = √ 20. Usando a fórmula-padrão do ponto médio C do segmento AB, onde A = (xA, yA) e B = (xB, yB): C = (xA+xB 2 , yA+yB 2 ), obtemos C = (−1+(−3 2 ), 2+(−2) 2 ) = (−2, 0).
  • 6. 6 Figura 3: Exercício 18b). Figura 4: Exercício 18c).