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MMMMAAAATTTTEEEEMMMMÁÁÁÁTTTTIIIICCCCAAAA
Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coor-
denadas considerados.
1 DDDD
Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os seg-
mentos
–––
EA e
–––
ED interceptam essa circunferência nos
pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda
–––
AF
da circunferência intercepta o segmento
–––
ED no ponto
G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então
GF vale
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolução
1) Pela potência do ponto E tem-se:
EA . EB = EC . ED ⇔
⇔ 12 . 5 = 4 . (4 + 3 + GC) ⇔ GC = 8
2) Pela potência do ponto G tem-se:
GA . GF = GC . GD ⇔ 6 . GF = 8 . 3 ⇔ GF = 4
NOTAÇÕES
‫ރ‬ : conjunto dos números complexos
‫ޑ‬ : conjunto dos números racionais
‫ޒ‬ : conjunto dos números reais
‫ޚ‬ : conjunto dos números inteiros
‫ގ‬ = {0, 1, 2, 3,...}
‫*ގ‬ = {1, 2, 3,...}
Ø: conjunto vazio
AB = {x ∈ A : x ∉ B}
detA : determinante da matriz A
A–1: inversa da matriz A
(
a
b) : combinação de a elementos, b a b, onde a e b
são inteiros maiores ou iguais a zero
–––
AB: segmento de reta unindo os pontos A e B
P(X) : conjunto de todos os subconjuntos de X
n(X) : número de elementos do conjunto X (X finito)
i: unidade imaginária; i2 = –1
z = x + iy, x, y ∈ ‫ޒ‬
––
z : conjugado do número z ∈ ‫ރ‬
Izl : módulo do número z ∈ ‫ރ‬
Rez : parte real de z ∈ ‫ރ‬
Imz: parte imaginária de z ∈ ‫ރ‬
[a,b] = {x ∈ ‫ޒ‬ : a ≤ x ≤ b}
(a,b) = {x ∈ ‫ޒ‬ : a < x < b}
[a,b) = {x ∈ ‫ޒ‬ : a ≤ x < b}
(a,b] = {x ∈ ‫ޒ‬ : a < x ≤ b}
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2 CCCC
Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1.
Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte pro-
priedade:
Se A, B ∈ S, então A ʚ B ou B ʚ A.
Então, o número máximo de elementos que S pode ter
é
a) 2n–1
b) n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for ímpar
c) n + 1
d) 2n – 1
e) 2n–1 + 1
Resolução
1) Se S ʚ P(U), qualquer elemento Xi ∈ S é subconjunto
de U.
2) Se Xi ≠ Ø for o elemento de S com menor número
de elementos, qualquer outro elemento de S deverá
conter Xi.
3) Assim, o conjunto S terá o maior número de elemen-
tos quando for do tipo
S = {Ø, {a1}, {a1; a2}, {a1; a2; a3}, …,{a1; a2; a3; …;an}}
em que {a1; a2; …; an} = U
Desta forma, S possui um máximo de n + 1 elementos.
3 BBBB
Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo
conjunto X, tais que n(BA), n(AB) e n(A ʵ B) formam,
nesta ordem, uma progressão aritmética de razão
r > 0. Sabendo que n(BA) = 4 e n(A U B) + r = 64,
então, n(AB) é igual a
a) 12 b) 17 c) 20 d) 22 e) 24
Resolução
De acordo com os dados, tem-se o seguinte diagrama
de Venn-Euler:
pois n(BA), n(AB) e n(A ʵ B) formam, nesta ordem,
uma progressão aritmética de primeiro termo 4 e razão
r > 0.
Assim, tem-se que:
n(A ʵ B) + r = 64 ⇔ [(4 + r) + (4 + 2r) + 4] + r = 64 ⇔
⇔ 12 + 4r = 64 ⇔ r = 13 e
n(AB) = n(A – B) = 4 + r = 4 + 13 = 17
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4 EEEE
Seja f : ‫ޒ‬ → ‫ޒ‬ definida por f(x) = ͙ළළළළ77sen[5(x + π/6)] e
seja B o conjunto dado por B = {x ∈ ‫ޒ‬ : f(x) = 0}. Se m
é o maior elemento de B പ (–∞,0) e n é o menor
elemento de B പ (0, +∞), então m + n é igual a
a) 2π/15 b) π/15 c) –π/30
d) –π/15 e) –2π/15
Resolução
1) Com k ∈ ‫ޚ‬ temos:
f(x) = ͙ළළළළ77 . sen 5 x + = 0 ⇔
⇔ sen 5 x + = 0
⇔ 5 x + = k π ⇔ x + = ⇔
⇔ x = – + e B = {x ∈ ‫:ޒ‬ x = – + ; k ∈ ‫ޚ‬}
2) B പ (–∞,0) = – ; ; ; ; …
cujo maior elemento é m = –
3) B പ (0, +∞) = ; ; ; ; … ,
cujo menor elemento é n = .
4) Dos itens (2) e (3) conclui-se
m + n = – + = –
5 CCCC
Considere a equação (ax – a–x)/(ax + a–x) = m, na variá-
vel real x, com 0 < a ≠ 1. O conjunto de todos os valores
de m para os quais esta equação admite solução real é
a) (-1,0) ʜ (0,1) b) (–∞,–1) ʜ (1,+∞) c) (–1,1)
d) (0,∞) e) (–∞,+∞)
Resolução
1) = m ⇔ ax – a–x = m ax + m a–x
⇔ (m – 1) . ax + (m+1)a–x = 0 ⇔
⇔ (m – 1) . a2x + (m+1) = 0 ⇔
⇔ a2x = ⇔ a2x =
Para 0 < a ≠ 1, a2x > 0 ⇔ > 0 ⇔
⇔ (1 + m) (1 – m) > 0 ⇔ –1 < m < 1
1 + m
–––––––
1 – m
1 + m
–––––––
1 – m
– m – 1
––––––––
m – 1
ax – a–x
–––––––––
ax + a–x
2π
–––
15
π
–––
30
π
—
6
π
–––
30
·
19π
–––
30
13π
–––
30
7π
–––
30
π
–––
30Ά
π
—
6
·
– 23π
—–––
30
– 17π
—–––
30
– 11π
—–––
30
π
—
6Ά
kπ
––
5
π
—
6
kπ
—
5
π
—
6
kπ
—–
5
π
—
6΃
π
—
6΂
΃΅
π
—
6΂΄
΃΅
π
—
6΂΄
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6 AAAA
Considere uma prova com 10 questões de múltipla
escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que
cada questão admite uma única alternativa correta,
então o número de formas possíveis para que um
candidato acerte somente 7 das 10 questões é
a) 44.30 b) 43.60 c) 53.60 d) .43 e)
Resolução
Interpretando “o número de formas possíveis para que
o candidato acerte somente 7 questões” como sendo
“o número de maneiras de escolher uma alternativa
para cada um dos 10 testes de modo que apenas 7
deles estejam corretos”, então:
1) O número de possibilidades de acertar exatamente
7 testes é C10,7 .
2) Para cada uma das possibilidades anteriores, as 3
questões erradas podem ser escolhidas de
4 . 4 . 4 = 43 maneiras.
3) O número total de possibilidades será, então,
C10,7 . 43 = . 43 = 30 . 4 . 43 = 30 . 4410 . 9 . 8
–––––––––
3 . 2 . 1
΃
10
7΂΃
7
3΂
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7 BBBB
Considere as seguintes afirmações sobre a expressão
S = ∑
101
k=0 log8 (4k ͙ළ2 ):
I. S é a soma dos termos de uma progressão geo-
métrica finita
ll. S é a soma dos termos de uma progressão arit-
mética finita de razão 2/3
II. S = 3451
IV.S ≤ 3434 + log8͙ළ2
Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas
a) I e Ill b) ll e Ill c) ll e lV d) ll e) Ill
Resolução
S = log8(4k . ͙ළළ2 ) ⇔
⇔ S = log8(40 . ͙ළළ2 ) + log8(41 . ͙ළළ2 ) +
+ log8(42 . ͙ළළ2 ) + … + log8(4101 . ͙ළළ2 ) ⇔
⇔ S = + + + + + … +
+ +
Assim sendo
1) S é a soma dos termos de uma progressão arit-
mética finita de razão .
2) O valor de S é:
S = . 102 = .102 = 3451
3) S = 3451 > 3434 + log8 ͙ළළ2
As afirmações verdadeiras são, apenas, II e III.
Obs.: A rigor sempre é possível obter uma progressão
geométrica cuja soma S = 3451 o que tornaria a
afirmação (I) verdadeira.
203
––––
6
1 1 202
–– + ΂–– + –––– ΃6 6 3
–––––––––––––––––––
2
2
–––
3
΃
202
–––––
3
1
–––
6΂
΃
4
–––
3
1
–––
6΂΃
2
–––
3
1
–––
6΂΃
1
–––
6΂
101
∑
k = 0
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8 CCCC
Se para todo z ∈ ‫,ރ‬ |f(z)| = Izl e |f(z) – f(1)| = Iz –1|, então,
para todo z ∈ ‫,ރ‬ f(1)
—–
f(z) + f(1)f(z)
–—
é igual a
a) 1 b) 2z c) 2Rez d) 2Imz e) 2|z|2
Resolução
1) |f(z)| = |z| ⇔ = 1 ⇔ = cos θ + i . sen θ ⇔
⇔ f(z) = z (cos θ + i . sen θ), ∀ z ∈ ‫*ރ‬
2) f(z) = z . (cos θ + i . sen θ) também é verdadeira para
z = 0, pois f(0) = 0 . (cos θ + i . sen θ) = |0|
3) A função f(z) = z (cos θ + i . sen θ) satisfaz a condição
|f(z) – f(1)| = |z – 1|, pois
|f(z) – f(1)| = |z (cos θ + i . sen θ) – 1 . (cos θ + i . sen θ)| =
= |z – 1| . |cos θ + i . sen θ| = |z – 1|
4) f(z)
—–
= z–– (cos θ – i . sen θ)
5) f(1) = 1 . (cos θ + i . sen θ) e f(1)
—–
= 1(cos θ – i . sen θ)
6) f(1)
—–
. f(z) = 1 (cos θ – i . sen θ) . z (cos θ + i . sen θ)
7) f(1) . f(z)
—–
= 1 . (cos θ + i . sen θ) . z–– (cos θ – i . sen θ)
8) f(1)
—–
. f(z) + f(1) . f(z)
—–
= (z + z––) (cos2 θ + sen2 θ) =
= z + z–– = 2 Re(z)
9 DDDD
O conjunto solução de (tg2x – 1)(1 – cotg2x) = 4,
x ≠ kπ/2, k ∈ ‫,ޚ‬ é
a) {π/3 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬ b) {π/4 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬
c) {π/6 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬ d) {π/8 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬
e) {π/12 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬
Resolução
Para x ≠ k , k ∈ ‫,ޚ‬ temos:
(tg2x – 1) (1 – cotg2x) = 4 ⇔
⇔ . = 4 ⇔
⇔ (sen2x – cos2x)2 = 4 sen2 x cos2 x ⇔
⇔ cos2 (2x) = sen2 (2x) ⇔ tg2 (2x) = 1 ⇔
⇔ tg (2x) = ±1 ⇔ 2x = + k . , (k ∈ ‫)ޚ‬ ⇔
⇔ x = + k . , (k ∈ ‫)ޚ‬
O conjunto-solução da equação é:
Ά + k . , k ∈ ‫ޚ‬ ·
π
––
4
π
––
8
π
–––
4
π
–––
8
π
–––
2
π
–––
4
(sen2x – cos2x)
–––––––––––––––
sen2x
(sen2x – cos2x)
–––––––––––––––
cos2x
π
–––
2
f(z)
––––
z
f(z)
––––
z
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10 BBBB
Se α ∈ [0,2π) é o argumento de um número complexo
z ≠ 0 e n é um número natural tal que (z/͉z͉)n = isen(nα),
então, é verdade que
a) 2nα é múltiplo de 2π
b) 2nα – π é múltiplo de 2π
c) nα – π/4 é múltiplo de π/2
d) 2nα – π é múltiplo não nulo de 2
e) nα – 2π é múltiplo de π
Resolução
1) Lembrando que z = |z| . [cos α + i sen α], tem-se
que:
= [cos α + i sen α] ⇔
⇔
n
= [cos α + i sen α] n ⇔
⇔
n
= cos (n α) + i sen (n α) = i sen (n α) ⇔
⇔ cos (n α) = 0 ⇔ n α = + kπ, com k ∈ ‫ޚ‬ (I)
2) Da relação (I), conclui-se:
A é falsa, pois
2n α = π + 2kπ = π (1 + 2k), que não é “múltiplo”
de 2π.
B é verdadeira, pois
2n α – π = 2kπ, que é “múltiplo” de 2π.
C é falsa, pois
n α – = +kπ, que não é “múltiplo” de .
D é falsa, pois
2n α – π = 2kπ, que só seria “múltiplo” de 2 se
kπ ∈ ‫,ޚ‬ o que só ocorre para k = 0.
E é falsa, pois
n α – 2π = – +kπ, que não é “múltiplo” de π.
3π
–––
2
π
–––
2
π
–––
4
π
–––
4
π
–––
2
z
΂–––΃|z|
z
΂–––΃|z|
z
–––
|z|
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11 AAAA
A condição para que as constantes reais a e b tornem
incompatível o sistema linear
é
a) a – b ≠ 2 b) a + b = 10 c) 4a – 6b= O
d) a/b = 3/2 e) a . b = 24
Resolução
Sendo p a característica da matriz incompleta e q a
característica da matriz completa, associadas ao
sistema, temos:
1) MI = ⇒ p = 2 para a = 6 e
p = 3 para a ≠ 6
2) O sistema é incompatível quando p ≠ q e, portanto,
devemos ter: p = 2 e q = 3.
Assim, para a = 6, teremos:
MC = e q = 3 para b ≠ 4
Logo, a – b ≠ 2.
12 DDDD
Se det = –1, então o valor do
det é igual a
a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
Resolução
=
= – 2 . 3 =
= – 6 + =
= – 6 . 2 = – 12 . (– 1) = 12
|
a b c
p q r
x y z|
΃|
a b c
x y z
x y z||
a b c
2p 2q 2r
x y z|΂
|
a b c
2p+x 2q+y 2r+z
x y z|
|
–2a –2b –2c
2p+x 2q+y 2r+z
3x 3y 3z|
΅
–2a – 2b –2c
2p + x 2q + y 2r + z
3x 3y 3z΄
΅
a b c
p q r
x y z
΄
1 1 3 2
΄1 2 5 1
΅2 2 6 b
1 1 3
΄1 2 5
΅2 2 a
x + y + 3z = 2
x + 2y + 5z = 1
2x + 2y + az = bΆ
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13 EEEE
Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7,
que admite 1 – i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se
que a soma e o produto de todas as raízes de p são,
respectivamente, 10 e – 40. Sendo afirmado que três
raízes de p são reais e distintas e formam uma pro-
gressão aritmética, então, tais raízes são
a) 3/2 – ͙ළළළළ193/6, 3, 3/2 + ͙ළළළළ193/6
b) 2 – 4͙ළළළ13, 2, 2 + 4͙ළළළ13
c) – 4, 2, 8
d) – 2, 3, 8
e) – 1, 2, 5
Resolução
Se um polinômio p de grau 7 com coeficientes reais,
admite (1 – i) como raiz de multiplicidade 2, então,
também admite (1 + i) como raiz de multiplicidade 2.
Sendo α – r, α, α + r, com α e r números reais, as outras
três raízes de p, temos
⇒
⇒ ⇔
Dessa forma as três raízes reais de p são – 1, 2 e 5.
α = 2
r = ± 3
α = 2
4 . (α2 – r2) . α = – 40
(1 – i) + (1 – i) + (1 + i) + (1 + i) + (α – r) + α + (α + r)= 10
(1 – i) (1 – i) (1 + i) (1 + i) (α – r) α(α + r) = – 40
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14 EEEE
Sobre o polinômio p(x) = x5 – 5x3 + 4x2 – 3x – 2
podemos afirmar que
a) x = 2 não é raiz de p
b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira,
duas racionais e duas irracionais
c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz
inteira
d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras
e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas
inteira e duas irracionais
Resolução
1) p(x) = x5 – 5x3 + 4x2 – 3x – 2 ⇔
⇔ p(2) = 32 – 40 + 16 – 6 – 2 ⇔
⇔ p(2) = 0 ⇔ 2 é raiz de p ⇔
⇔ p(x) é divisível por x – 2
2) 1 0 –5 4 –3 –2 2__________________________ ⇔
1 2 –1 2 1 0
p(x) x – 2⇔ ______________________ ⇔
0 x4 + 2x3 – x2 + 2x + 1
⇔ p(x) = (x – 2) (x4 + 2x3 – x2 + 2x + 1)
3) p(x) = 0 ⇔ x – 2 = 0 ou x4 + 2x3 – x2 + 2x + 1 = 0
4) x – 2 = 0 ⇔ x = 2
5) x4 + 2x3 – x2 + 2x + 1 = 0 ⇔
⇔ x2 + 2x – 1 + + = 0
⇔ + 2 – 1 = 0
6) Se x + = y, então x2 + + 2 = y2 ⇔
⇔ x2 + = y2 – 2
7) Substituindo x + por y, temos:
(y2 – 2) + 2y – 1 = 0 ⇔ y2 + 2y – 3 = 0 ⇔
⇔ y = –3 ou y = 1
8) Se y = –3, então x + = –3 ⇔
⇔ x2 + 3x + 1 = 0 ⇔ x =
–3 ± ͙ෆ5
–––––––––
2
1
–––
x
1
–––
x
1
–––
x2
1
–––
x2
1
–––
x
1
΂x + –––΃x
1
΂x2 + –––΃x2
1
–––
x2
2
–––
x
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9) Se y = 1, então x + = 1 ⇔ x2 – x + 1 = 0 ⇔
⇔ x =
10) O conjunto-verdade da equação p(x) = 0 é
Ά2; ; ; ; ·1 – ͙ෆ3 i
––––––––
2
1 + ͙ෆ3 i
––––––––
2
–3 – ͙ෆ5
––––––––
2
–3 + ͙ෆ5
––––––––
2
1 ± ͙ෆ3 i
–––––––––
2
1
–––
x
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15 EEEE
Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b
reais, dado por
Considere as seguintes afirmações:
I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0
ll. O sistema é possível e determinado se a e b não
são simultaneamente nulos
III. x2+y2 = (a2+b2)–1, se a2+b2 ≠ 0
Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas
a) I b) II c) III d) I e II e) ll e III
Resolução
Ά(a – b) x – (a + b) y = 1
(a + b) x + (a – b) y = 1
1) A matriz incompleta MI =
não tem característica definida, se a = b = 0 e tem
característica 2, se a ≠ 0 ou b ≠ 0, pois
= (a – b)2 + (a + b)2 =
= 2 (a2 + b2) ≠ 0
2) A matriz completa MC =
tem característica 1 se a = b = 0 e tem característica
2, se a ≠ 0 ou b ≠ 0.
3) Dos itens (1) e (2), pelo Teorema de Rouché-Capelli,
conclui-se que:
se a = b = 0, o sistema é impossível e
se a ≠ 0 ou b ≠ 0, o sistema é possível e
determinado.
Neste caso, tem-se:
⇒ (2a2 + 2b2) x2 + (2a2 + 2b2) y2 = 2 ⇔
⇒ (a2 + b2) (x2 + y2) = 1 ⇔ x2 + y2 = ⇒
⇔ x2 + y2 = (a2 + b2)–1
Desta forma, (I) é falsa, (II) e (III) são verdadeiras.
1
––––––––
a2 + b2
(a – b)2 x2 – 2 (a – b) (a + b) xy + (a + b)2 y2 = 1
⇒ Ά ⇒
(a + b)2 x2+ 2 (a + b) (a – b) xy + (a – b)2 y2 =1
(a – b) x – (a + b) y = 1
Ά ⇒
(a + b) x + (a – b) y = 1
(a – b) – (a + b) 1
΄ ΅(a + b) (a – b) 1
(a – b) – (a + b)
͉ ͉(a + b) (a – b)
(a – b) – (a + b)
΄ ΅(a + b) (a – b)
(a – b)x – (a + b)y = 1
(a + b)x + (a – b)y = 1Ά
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO
16 DDDD
Considere o polinômio p(x) = x3 – (a + 1)x + a, onde
a ∈ ‫.ޚ‬ O conjunto de todos os valores de a, para os
quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é
a) {2n, n ∈ ‫}ގ‬ b) {4n2, n ∈ ‫}ގ‬
c) {6n2 – 4n, n ∈ ‫}ގ‬ d) {n(n + 1), n ∈ ‫}ގ‬
e) ‫ގ‬
Resolução
1) p(x) = x3 – (a + 1) x + a ⇔
⇔ p(x) = x3 – x2 + x2 – ax – x + a = 0 ⇔
⇔ p(x) = x2(x – 1) + x (x – 1) – a (x – 1) ⇔
⇔ p(x) = (x – 1) (x2 + x – a)
2) p(x) = 0 ⇔ x – 1 = 0 ou x2 + x – a = 0
3) As raízes da equação x2 + x – a = 0 serão reais se, e
somente se, ∆ = 1 + 4 a ≥ 0
4) 1 + 4 a ≥ 0 e a ∈ ‫ޚ‬ ⇔ a ∈ ‫ގ‬
5) Para a ∈ ‫,ގ‬ se as raízes inteiras forem m e n então
⇔ ⇔
6) As raízes inteiras serão, portanto, 1, n e –n–1 desde
que a = n(n + 1), ∀ n ∈ ‫.ގ‬
m = – n – 1
a = n(n + 1){m = – 1 – n
(–1–n) . n = – a{m + n = – 1
m . n = – a{
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO
17 BBBB
Numa circunferência C1 de raio r1= 3 cm está inscrito
um hexágono regular H1; em H1 está inscrita uma
circunferência C2; em C2 está inscrito um hexágono
regular H2 e, assim, sucessivamente. Se An (em cm2) é
a área do hexágono Hn, então ∑∞
n = 1
An (em cm2) é igual
a
a) 54 ͙ෆ2 b) 54 ͙ෆ3 c) 36(1 + ͙ෆ3 )
d) 27 / (2 – ͙ෆ3 ) e) 30 (2 + ͙ෆ3 )
Resolução
De acordo com o enunciado e a figura acima tem-se:
r1 = 3 cm
r2 = = cm
r3 = = 3 .
2
cm
r4 = = 3 .
3
cm
……
conclui-se assim que os raios r1, r2, r3, …, rn, … formam
nessa ordem uma progressão geométrica estritamente
decrescente de 1º termo r1 = 3 cm e razão q = e
que as áreas A1, A2, A3, …, An,… formam
nessa ordem uma progressão geométrica estritamente
decrescente de 1º termo A1 = 6 . cm2 e razão
Q =
2
.΃͙ළළ3
–––––
2΂
32 ͙ළළ3
–––––––
4
͙ළළ3
–––––
2
΃͙ළළ3
–––––
2΂
r3͙ළළ3
–––––
2
΃͙ළළ3
–––––
2΂
r2͙ළළ3
–––––
2
3͙ළළ3
–––––
2
r1͙ළළ3
–––––
2
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
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Logo: An = =
= = = 54͙ළළ3
18 sssseeeemmmm rrrreeeessssppppoooossssttttaaaa
Sejam a reta s: 12x – 5y + 7 = 0 e a circunferência
C: x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é perpendicular
a s e é secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja
ordenada pertence ao seguinte intervalo
a) , b) ,
c) , d) ,
e) ,
Resolução
A circunferência x2 + y2 + 4x + 2y – 11 = 0 tem centro
C(– 2; – 1) e raio r = 4.
A reta p, perpendicular a s, tem equação 5x + 12y + k = 0
e será secante à circunferência quando dp,C < 4, isto é:
< 4 ⇔ < 4 ⇔
⇔ ͉k – 22 ͉ < 52 ⇔ –52 < k – 22 < 52 ⇔
⇔ – 30 < k < 74
A reta p intercepta o eixo Oy num ponto cuja ordenada
é .
Assim, se – 30 < k < 74, então – 74 < – k < 30 e
< <
A ordenada do ponto em que a reta p corta o eixo Oy
pertence ao intervalo ΂ ; ΃.
30
––––
12
74
– ––––
12
30
––––
12
– k
–––––
12
– 74
–––––
12
–k
–––
12
͉ k – 22 ͉
–––––––––
13
͉ 5 . (–2) + 12 . (–1) + k ͉
–––––––––––––––––––––––
͙ළළළළළළළ52 + 122
΃
91
–––
12
75
–––
12΂
΃
74
–––
12
30
–––
12΂΃
30
– –––
12
74
– –––
12΂
΃
74
– –––
12
81
– –––
12΂΃
81
– –––
12
91
– –––
12΂
27 ͙ළළ3
–––––––
2
–––––––––
1
–––
4
32 ͙ළළ3
6 . –––––––
4
–––––––––––––
͙ළළ3
2
1 – ΂––––΃2
A1
–––––
1 – Q
∞
∑
n = 1
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19 DDDD
Os focos de uma elipse são F1(0, – 6) e F2(0,6). Os
pontos A(0,9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do
triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a
a) 22 ͙ෆෆ10 b) 18 ͙ෆෆ10 c) 15 ͙ෆෆ10
d) 12 ͙ෆෆ10 e) 6 ͙ෆෆ10
Resolução
A partir do enunciado, temos uma elipse com centro na
origem e com os pontos indicados na figura a seguir.
Como f = = 6, a = CA = 9 e a2 = b2 + f2,
temos: 92 = b2 + 62 ⇔ b2 = 45
A equação da elipse é: + = 1
Se B(x; 3), com x > 0, pertence à elipse, então:
+ = 1⇔ x2 = 40 ⇔ x = 2 ͙ළළළළ10 (pois x > 0)
Finalmente, a área do triângulo é:
A = = = 12͙ළළළළ10
12 . 2͙ළළළළ10
––—––––––
2
F1F2 . xB
—––––––
2
32
–––
81
x2
–––
45
y2
–––
81
x2
–––
45
F1F2
—–––
2
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20 AAAA
Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja
diagonal menor mede 3͙ෆ3 cm. As faces laterais desta
pirâmide formam diedros de 60° com o plano da base.
A área total da pirâmide, em cm2, é
a) 81 ͙ෆ3 / 2 b) 81 ͙ෆ2 / 2 c) 81/2
d) 27 ͙ෆ3 e) 27 ͙ෆ2
Resolução
Sejam ᐉ a medida do lado da base, g a medida do
apótema da pirâmide, a a medida do apótema da base,
em centímetros.
1º) 2 . = 3 ͙ෆ3 ⇔ ᐉ = 3
2º) a = =
3º) cos 60° = ⇔ = ⇔ g = 3 ͙ෆ3
4º)A área, em centímetros quadrados, da superfície
lateral da pirâmide é dada por:
Aᐉ = 6 . = 3 . 3. 3 ͙ෆ3 = 27 ͙ෆ3
5º)A área, em centímetros quadrados, da base da
pirâmide é dada por:
Ab = 6 . = 6 . =
6º)A área total, em centímetros quadrados, dessa
pirâmide é
At = Aᐉ + Ab = 27 ͙ෆ3 + =
81͙ෆ3
–––––––
2
27 ͙ෆ3
–––––––
2
27 ͙ෆ3
–––––––
2
32
͙ෆ3
–––––––
4
ᐉ 2
͙ෆ3
–––––––
4
ᐉ . g
–––––
2
3 ͙ෆ3
–––––
2
––––––––
g
1
–––
2
a
–––
g
3 ͙ෆ3
–––––––
2
ᐉ ͙ෆ3
–––––––
2
ᐉ ͙ෆ3
–––––––
2
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As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30,
devem ser resolvidas e respondidas no caderno de
soluções.
21Considere A um conjunto não vazio com um número
finito de elementos. Dizemos que F = {A1, ..., Am} ʲ P(A)
é uma partição de A se as seguintes condições são
satisfeitas:
I. Ai ≠ Ø, i = 1, ..., m
II. Ai ʵ Aj = Ø, se i ≠ j, para i,j = 1, ..., m
III.A = A1 ʴ A2 ʴ ... ʴ Am
Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se
n(Ai) = k, i = 1,..., m.
Supondo que n(A) = 8, determine:
a) As ordens possíveis para uma partição de A
b) O número de partições de A que têm ordem 2
Resolução
a) Dizer que F é uma partição de ordem k significa
dizer que todos os conjuntos Ai que compõem a
partição possuem k elementos distintos.
Como, de Ai ∩ Aj = ø, se i ≠ j e
A = A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Am, para i,j = 1, …, n, resulta em
n(A) = n(A1) + n(A2) + … + n(Am), tem-se
8 = k + k + … + k ⇔ 8 = m . k ⇔
m parcelas
⇔ k e m são divisores naturais de 8.
Assim, podemos ter (k = 1 e m = 8) ou (k = 2 e m = 4)
ou (k = 4 e m = 2) ou (k = 8 e m = 1).
Desta forma, as possíveis ordens para uma partição
de A são 1, 2, 4 e 8.
b) Determinar o número de partições de A que têm
ordem 2 equivale a determinar de quantas maneiras
se podem distribuir os 8 elementos de A em 4
grupos de 2 elementos cada um. O número de for-
mas de se efetuar estas partições é
= =
= = 105
Respostas: a) ordens 1, 2, 4 e 8
b) 105 partições
28 . 15 . 6 . 1
–––––––––––––––
24
8.7 6.5 4.3
–––– . –––– . –––– .1
2! 2! 2!
–––––––––––––––––––
4 . 3 . 2 .1
C8; 2 . C6; 2 . C4; 2 . C2;2
–––––––––––––––––––––
P4
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22
Seja f: [0, 1) → ‫ޒ‬ definida por
f(x) = .
Seja g: (– 1/2; 1/2) → ‫ޒ‬ dada
g(x) = , com f definida
acima. Justificando a resposta, determine se g é par,
ímpar ou nem par nem ímpar.
Resolução
1) f(x) = 2x, se 0 ≤ x <
e
f(x) = 2x – 1, se ≤ x < 1
2) – < x < 0 ⇔ 0 < x + < e 0 ≤ x < ⇔
⇔ ≤ x + < 1
3) g(x) = f(x + ), se – < x < 0
⇔
e
g(x) = 1 – f(x + ), se 0 ≤ x <
⇔
g(x) = 2 (x + ), se – < x < 0
⇔e
g(x) = 1 – [2 (x + ) – 1], se 0 ≤ x <
⇔
g(x) = 2x + 1, se – < x < 0
⇔e
g(x) = –2x + 1, se 0 ≤ x <
⇔ g(–x) = g(x), ∀x ∈ (– ; ) ⇔ g é par
Resposta: g(x) é par
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
{
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
{
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
{
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
1
––
2
{
f(x + 1/2), – 1/2 < x < 0
1 – f(x + 1/2), 0 ≤ x < 1/2Ά
2x, 0 ≤ x < 1/2
2x – 1, 1/2 ≤ x < 1Ά
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23
Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de
(1 + x + x2)9.
Resolução
(1 + x + x2)9 = [(1 + x) + x2]9 = . (1 + x)9 . (x2)0 +
+ . (1 + x)8 . (x2)1 + . (1 + x)7 . (x2)2 +
+ . (1 + x)6 . (x2)3 + … + . (1 + x)0 . (x2)9
Podemos notar que termos em x4 só ocorrerão nos
primeiros três termos do desenvolvimento acima.
Em . (1 + x)9, temos 1
9 – k1
. x
k1
, com
k1 = 4
Em . (1 + x)8 . x2, temos
9. 1
8 – k2
.x
k2
. x2, com k2 + 2 = 4 ⇔ k2 = 2
Em . (1 + x)7 . x4, temos
. 1
7 – k3
. x
k3 x4, com k3 = 0
Assim, resulta a soma:
+ . + . =
= + . + . =
= 126 + 9 . 28 + 36 = 414
Resposta: O coeficiente de x4 é 414.
΃7
0΂΃9
2΂΃8
2΂΃9
1΂΃9
4΂
΃7
k3
΂΃9
2΂΃8
k2
΂΃9
1΂΃9
k1
΂
΅΃7
k3
΄΂΃9
2΂
΃9
2΂
΅΃8
k2
΄΂
΃9
1΂
΃9
k1
΂΃9
0΂
΃9
9΂΃9
3΂
΃9
2΂΃9
1΂
΃9
0΂
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24Determine para quais valores de x ∈ ( – π/2, π/2) vale a
desigualdade
logcosx(4sen2x – 1) – logcosx(4 – sec2x) > 2.
Resolução
As condições de existência
dos logaritmos, para x ∈ ; , resultam:
I) 0 < cos x < 1 ⇔ < x < e x ≠ 0
II) 4 . sen2x – 1 > 0 ⇔ sen x < – 1/2 ou sen x > 1/2 ⇔
⇔ < x < ou < x <
III)4 – sec2x > 0 ⇔ sec2x < 4 ⇔ – 2 < sec x < 2 ⇔
⇔ – 2 < < 2 ⇔ cos x > 1/2 (pois cos x > 0)
⇔ < x <
Nas condições acima, temos:
logcosx (4 . sen2x – 1) – logcosx (4 – sec2x) > 2 ⇔
⇔ logcosx > 2 ⇔
⇔ < cos2x ⇔
⇔ . cos2x < cos2x ⇔
⇔ < 1 ⇔ 4 . sen2x – 1< 4 .cos2x – 1 ⇔
⇔ sen2x < cos2x ⇔ tg2x < 1 ⇔ – 1 < tg x < 1 ⇔
⇔ < x <
Impondo-se as condições de existência na solução
obtida, resulta:
< x < ou < x <
Resposta: < x < ou < x <
π
–––
4
π
–––
6
π
– –––
6
π
– –––
4
π
–––
4
π
–––
6
π
– –––
6
π
– –––
4
π
–––
4
π
– –––
4
4 . sen2x – 1
––––––––––––
4 . cos2x – 1
4 . sen2x – 1
–––––––––––––––
4 . cos2x – 1
4 . sen2x – 1
––––––––––––
1
4 – ––––––
cos2x
΃
4 . sen2x – 1
––––––––––––
4 – sec2x΂
π
–––
3
π
– –––
3
1
–––––
cos x
π
–––
2
π
–––
6
π
– –––
6
π
– –––
2
π
–––
2
π
– –––
2
΃
π
–––
2
π
– –––
2΂
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
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25
Considere o polinômio p(x) = x3 + ax2 + x + 1, com
raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença
entre duas de suas raízes também é racional. Nestas
condições, analise se a seguinte afirmação é ver-
dadeira:
“Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as
suas raízes são racionais.”
Resolução
Sejam α, β e γ as raízes da equação e, sem perda de
generalidade, admitamos que α é racional.
1) Se β – α = r1 ∈ ‫,ޑ‬ então β = r1 + α é racional e γ
também é racional, pois α + β + γ = – a ∈ ‫.ޑ‬
Se γ – α = r2 ∈ ‫,ޑ‬ então γ = r2 + α é racional e β
também é racional, pois α + β + γ = – a ∈ ‫.ޑ‬
2) Se β – γ = r3 ∈ ‫,ޑ‬ como α + β + γ = – a ∈ ‫,ޑ‬
tem-se
⇒
e ambas são racionais.
Desta forma, se uma raiz de p(x) é racional, então todas
as suas raízes são racionais e a frase apresentada é
verdadeira.
Resposta: verdadeira
26As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da
geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem,
uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a
área total deste cone em m2.
Resolução
Sendo x a medida, em metros, da altura do cone,
temos: h = x, R = x – 2, g = x + 2 e
(x + 2)2 = x2 + (x – 2)2 ⇔ x2 – 8x = 0 ⇔ x = 8, pois x > 0
Assim, h = 8m, R = 6m e g = 10m
A área total AT do cone, em metros quadrados, é:
AT = π R2 + π Rg = π . 62 + π . 6 . 10 = 96π
Resposta: AT = 96π m2
r3 – α – a
β = ––––––––––
2
r3 + α + a
γ = – ΂––––––––––΃2
Άβ – γ = r3
β + γ = – α – aΆ
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
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27Sejam as matrizes
A = e B =
Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B)–1.
Resolução
1) A + B = +
A + B =
2) det (A + B) = = =
= 3. (–1)2 . = 3 . 33 = 99
3) Sendo A43 o cofator do elemento da 4ª linha e da
3ª coluna da matriz (A + B), temos:
A43 = (–1)4 +3 . = –18
4) O elemento c34 da matriz C = (A + B)–1 é tal que:
c34 = = =
Resposta: O elemento c34 é igual a
2
– –––
11
2
– –––
11
18
– –––
99
A43
––––––––––
det (A + B)
0
0
2
3
3
0
2
–1
0
0
2
5
0
3
2
3
0
0
0
0
2
5
0
0
3
2
0
3
0
0
3
–1
0
0
0
0
2
5
0
0
3
2
3
3
0
0
2
–1
0
0
΅
0
0
2
5
0
0
3
2
3
3
0
0
2
–1
0
0
΄
΅
1
3
1
5
–1/2
–2
1
1/2
3
–2
1
–1
1
1
–1
5
΄΅
–1
–3
1
0
1/2
2
2
3/2
0
5
–1
1
1
– 2
1
– 5
΄
΅
1 3 –1/2 1
1 –2 –2 3
–1 1 1 1
5 –1 1/2 5
΄΅
1 0 1/2 –1
–2 5 2 –3
1 –1 2 1
–5 1 3/2 0
΄
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO
28Seja (a1,a2,a3, ... ,an,...) uma progressão geométrica
infinita de razão positiva r, em que a1= a é um número
real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos
de índices pares desta progressão geométrica é igual a
4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos
de 3 é 16/13, determine o valor de a + r.
Resolução
Sendo (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma progressão geométrica
infinita de razão positiva r e a1 = a um número real não-
nulo, de acordo com o enunciado, temos:
1) a2 + a4 + a6 + ... = 4 ⇔
⇔ a . r + a . r3 + a . r5 + ... = 4 ⇔
⇔ = 4 ⇔ a . r = 4 . (1 – r2) (I)
2) a3 + a6 + a9 + ... = ⇔
⇔ a . r2 + a . r5 + a . r8 + ... = ⇔
⇔ = ⇔ a . r2 = . (1 – r3) (II)
3) Dividindo membro a membro (II) por (I), vem:
= ⇔ r = . ⇔
⇔ 9r2 + 9r – 4 = 0 ⇔ r = , pois r > 0
4) Substituindo r = em (I), temos:
a . = 4 . ⇔ a =
Logo, a + r = + = 11
Resposta: a + r = 11
1
––
3
32
–––
3
32
–––
3΃
1
1 – ––
9΂
1
––
3
1
––
3
1
––
3
(1 + r + r2)
––––––––––
(1 + r)
4
–––
13
16
––– . (1 – r3)
13
––––––––––––
4 . (1 – r2)
a . r2
–––––
a . r
16
–––
13
16
–––
13
a . r2
––––––
1 – r3
16
–––
13
16
–––
13
a . r
––––––
1 – r2
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO
29
Sabendo que 9y2 – 16x2 – 144y + 224x – 352 = 0 é a
equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal.
Resolução
9y2 – 16x2 – 144y + 224x – 352 = 0 ⇔
⇔ 9y2 – 144y + 576 – 16x2 + 224x – 784 – 144 = 0 ⇔
⇔ 9(y – 8)2 – 16(x – 7)2 = 144 ⇔
⇔ – = 1⇔ – = 1,
que é uma equação da
hipérbole de centro (7; 8), eixos paralelos aos eixos
coordenados e semi-eixos transverso e conjugado,
respectivamente, iguais a a = 4 e
b = 3
Assim, a semidistância focal f é tal que:
f 2 = 32 + 42 ⇔ f = 5
Logo, a distância focal desta hipérbole é 2f = 10
Resposta: 10
(x – 7)2
–––––––
32
(y – 8)2
–––––––
42
(x – 7)2
–––––––
9
(y – 8)2
–––––––
16
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO
30Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 100
cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área,
em cm2, do círculo inscrito neste losango.
Resolução
1º) No losango ABCD, tem-se:
AB = BC = CD = DA = 25cm,
–––
BD Ќ
–––
AC,
OA = OC = 20cm e OB = OD
2º) No triângulo retângulo OBC, tem-se:
(OB)2 + (OC)2 = (BC)2 ⇔ (OB)2 = 252 – 202 ⇔
⇔ OB = 15 cm
3º) No triângulo retângulo OBC, tem-se ainda
OB . OC = BC . OT
Assim, sendo R a medida, em centímetros, do raio
do círculo inscrito no losango ABCD, tem-se:
15 . 20 = 25 . R ⇔ R = 12
4º) A área S, em centímetros quadrados, desse círculo
é tal que:
S = π R2 = π . 122 = 144π
Resposta: S =144π cm2
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO
Comentário de Matemática
Com 19 questões de álgebra, 5 de geometria, 3 de
trigonometria e 3 de geometria analítica, a banca
examinadora do ITA conseguiu elaborar uma excelente
prova de Matemática, na qual podemos destacar o alto
grau de dificuldade da maioria das questões e a
ausência de alternativa correta para o teste número 18,
de geometria analítica, causada certamente por um
infeliz erro de digitação.
IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555

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  • 1. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO MMMMAAAATTTTEEEEMMMMÁÁÁÁTTTTIIIICCCCAAAA Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coor- denadas considerados. 1 DDDD Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os seg- mentos ––– EA e ––– ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda ––– AF da circunferência intercepta o segmento ––– ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolução 1) Pela potência do ponto E tem-se: EA . EB = EC . ED ⇔ ⇔ 12 . 5 = 4 . (4 + 3 + GC) ⇔ GC = 8 2) Pela potência do ponto G tem-se: GA . GF = GC . GD ⇔ 6 . GF = 8 . 3 ⇔ GF = 4 NOTAÇÕES ‫ރ‬ : conjunto dos números complexos ‫ޑ‬ : conjunto dos números racionais ‫ޒ‬ : conjunto dos números reais ‫ޚ‬ : conjunto dos números inteiros ‫ގ‬ = {0, 1, 2, 3,...} ‫*ގ‬ = {1, 2, 3,...} Ø: conjunto vazio AB = {x ∈ A : x ∉ B} detA : determinante da matriz A A–1: inversa da matriz A ( a b) : combinação de a elementos, b a b, onde a e b são inteiros maiores ou iguais a zero ––– AB: segmento de reta unindo os pontos A e B P(X) : conjunto de todos os subconjuntos de X n(X) : número de elementos do conjunto X (X finito) i: unidade imaginária; i2 = –1 z = x + iy, x, y ∈ ‫ޒ‬ –– z : conjugado do número z ∈ ‫ރ‬ Izl : módulo do número z ∈ ‫ރ‬ Rez : parte real de z ∈ ‫ރ‬ Imz: parte imaginária de z ∈ ‫ރ‬ [a,b] = {x ∈ ‫ޒ‬ : a ≤ x ≤ b} (a,b) = {x ∈ ‫ޒ‬ : a < x < b} [a,b) = {x ∈ ‫ޒ‬ : a ≤ x < b} (a,b] = {x ∈ ‫ޒ‬ : a < x ≤ b} IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 2. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 2 CCCC Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte pro- priedade: Se A, B ∈ S, então A ʚ B ou B ʚ A. Então, o número máximo de elementos que S pode ter é a) 2n–1 b) n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for ímpar c) n + 1 d) 2n – 1 e) 2n–1 + 1 Resolução 1) Se S ʚ P(U), qualquer elemento Xi ∈ S é subconjunto de U. 2) Se Xi ≠ Ø for o elemento de S com menor número de elementos, qualquer outro elemento de S deverá conter Xi. 3) Assim, o conjunto S terá o maior número de elemen- tos quando for do tipo S = {Ø, {a1}, {a1; a2}, {a1; a2; a3}, …,{a1; a2; a3; …;an}} em que {a1; a2; …; an} = U Desta forma, S possui um máximo de n + 1 elementos. 3 BBBB Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(BA), n(AB) e n(A ʵ B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(BA) = 4 e n(A U B) + r = 64, então, n(AB) é igual a a) 12 b) 17 c) 20 d) 22 e) 24 Resolução De acordo com os dados, tem-se o seguinte diagrama de Venn-Euler: pois n(BA), n(AB) e n(A ʵ B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de primeiro termo 4 e razão r > 0. Assim, tem-se que: n(A ʵ B) + r = 64 ⇔ [(4 + r) + (4 + 2r) + 4] + r = 64 ⇔ ⇔ 12 + 4r = 64 ⇔ r = 13 e n(AB) = n(A – B) = 4 + r = 4 + 13 = 17 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 3. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 4 EEEE Seja f : ‫ޒ‬ → ‫ޒ‬ definida por f(x) = ͙ළළළළ77sen[5(x + π/6)] e seja B o conjunto dado por B = {x ∈ ‫ޒ‬ : f(x) = 0}. Se m é o maior elemento de B പ (–∞,0) e n é o menor elemento de B പ (0, +∞), então m + n é igual a a) 2π/15 b) π/15 c) –π/30 d) –π/15 e) –2π/15 Resolução 1) Com k ∈ ‫ޚ‬ temos: f(x) = ͙ළළළළ77 . sen 5 x + = 0 ⇔ ⇔ sen 5 x + = 0 ⇔ 5 x + = k π ⇔ x + = ⇔ ⇔ x = – + e B = {x ∈ ‫:ޒ‬ x = – + ; k ∈ ‫ޚ‬} 2) B പ (–∞,0) = – ; ; ; ; … cujo maior elemento é m = – 3) B പ (0, +∞) = ; ; ; ; … , cujo menor elemento é n = . 4) Dos itens (2) e (3) conclui-se m + n = – + = – 5 CCCC Considere a equação (ax – a–x)/(ax + a–x) = m, na variá- vel real x, com 0 < a ≠ 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é a) (-1,0) ʜ (0,1) b) (–∞,–1) ʜ (1,+∞) c) (–1,1) d) (0,∞) e) (–∞,+∞) Resolução 1) = m ⇔ ax – a–x = m ax + m a–x ⇔ (m – 1) . ax + (m+1)a–x = 0 ⇔ ⇔ (m – 1) . a2x + (m+1) = 0 ⇔ ⇔ a2x = ⇔ a2x = Para 0 < a ≠ 1, a2x > 0 ⇔ > 0 ⇔ ⇔ (1 + m) (1 – m) > 0 ⇔ –1 < m < 1 1 + m ––––––– 1 – m 1 + m ––––––– 1 – m – m – 1 –––––––– m – 1 ax – a–x ––––––––– ax + a–x 2π ––– 15 π ––– 30 π — 6 π ––– 30 · 19π ––– 30 13π ––– 30 7π ––– 30 π ––– 30Ά π — 6 · – 23π —––– 30 – 17π —––– 30 – 11π —––– 30 π — 6Ά kπ –– 5 π — 6 kπ — 5 π — 6 kπ —– 5 π — 6΃ π — 6΂ ΃΅ π — 6΂΄ ΃΅ π — 6΂΄ IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 4. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 6 AAAA Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é a) 44.30 b) 43.60 c) 53.60 d) .43 e) Resolução Interpretando “o número de formas possíveis para que o candidato acerte somente 7 questões” como sendo “o número de maneiras de escolher uma alternativa para cada um dos 10 testes de modo que apenas 7 deles estejam corretos”, então: 1) O número de possibilidades de acertar exatamente 7 testes é C10,7 . 2) Para cada uma das possibilidades anteriores, as 3 questões erradas podem ser escolhidas de 4 . 4 . 4 = 43 maneiras. 3) O número total de possibilidades será, então, C10,7 . 43 = . 43 = 30 . 4 . 43 = 30 . 4410 . 9 . 8 ––––––––– 3 . 2 . 1 ΃ 10 7΂΃ 7 3΂ IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 5. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 7 BBBB Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S = ∑ 101 k=0 log8 (4k ͙ළ2 ): I. S é a soma dos termos de uma progressão geo- métrica finita ll. S é a soma dos termos de uma progressão arit- mética finita de razão 2/3 II. S = 3451 IV.S ≤ 3434 + log8͙ළ2 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas a) I e Ill b) ll e Ill c) ll e lV d) ll e) Ill Resolução S = log8(4k . ͙ළළ2 ) ⇔ ⇔ S = log8(40 . ͙ළළ2 ) + log8(41 . ͙ළළ2 ) + + log8(42 . ͙ළළ2 ) + … + log8(4101 . ͙ළළ2 ) ⇔ ⇔ S = + + + + + … + + + Assim sendo 1) S é a soma dos termos de uma progressão arit- mética finita de razão . 2) O valor de S é: S = . 102 = .102 = 3451 3) S = 3451 > 3434 + log8 ͙ළළ2 As afirmações verdadeiras são, apenas, II e III. Obs.: A rigor sempre é possível obter uma progressão geométrica cuja soma S = 3451 o que tornaria a afirmação (I) verdadeira. 203 –––– 6 1 1 202 –– + ΂–– + –––– ΃6 6 3 ––––––––––––––––––– 2 2 ––– 3 ΃ 202 ––––– 3 1 ––– 6΂ ΃ 4 ––– 3 1 ––– 6΂΃ 2 ––– 3 1 ––– 6΂΃ 1 ––– 6΂ 101 ∑ k = 0 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 6. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 8 CCCC Se para todo z ∈ ‫,ރ‬ |f(z)| = Izl e |f(z) – f(1)| = Iz –1|, então, para todo z ∈ ‫,ރ‬ f(1) —– f(z) + f(1)f(z) –— é igual a a) 1 b) 2z c) 2Rez d) 2Imz e) 2|z|2 Resolução 1) |f(z)| = |z| ⇔ = 1 ⇔ = cos θ + i . sen θ ⇔ ⇔ f(z) = z (cos θ + i . sen θ), ∀ z ∈ ‫*ރ‬ 2) f(z) = z . (cos θ + i . sen θ) também é verdadeira para z = 0, pois f(0) = 0 . (cos θ + i . sen θ) = |0| 3) A função f(z) = z (cos θ + i . sen θ) satisfaz a condição |f(z) – f(1)| = |z – 1|, pois |f(z) – f(1)| = |z (cos θ + i . sen θ) – 1 . (cos θ + i . sen θ)| = = |z – 1| . |cos θ + i . sen θ| = |z – 1| 4) f(z) —– = z–– (cos θ – i . sen θ) 5) f(1) = 1 . (cos θ + i . sen θ) e f(1) —– = 1(cos θ – i . sen θ) 6) f(1) —– . f(z) = 1 (cos θ – i . sen θ) . z (cos θ + i . sen θ) 7) f(1) . f(z) —– = 1 . (cos θ + i . sen θ) . z–– (cos θ – i . sen θ) 8) f(1) —– . f(z) + f(1) . f(z) —– = (z + z––) (cos2 θ + sen2 θ) = = z + z–– = 2 Re(z) 9 DDDD O conjunto solução de (tg2x – 1)(1 – cotg2x) = 4, x ≠ kπ/2, k ∈ ‫,ޚ‬ é a) {π/3 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬ b) {π/4 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬ c) {π/6 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬ d) {π/8 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬ e) {π/12 + kπ/4, k ∈ ‫}ޚ‬ Resolução Para x ≠ k , k ∈ ‫,ޚ‬ temos: (tg2x – 1) (1 – cotg2x) = 4 ⇔ ⇔ . = 4 ⇔ ⇔ (sen2x – cos2x)2 = 4 sen2 x cos2 x ⇔ ⇔ cos2 (2x) = sen2 (2x) ⇔ tg2 (2x) = 1 ⇔ ⇔ tg (2x) = ±1 ⇔ 2x = + k . , (k ∈ ‫)ޚ‬ ⇔ ⇔ x = + k . , (k ∈ ‫)ޚ‬ O conjunto-solução da equação é: Ά + k . , k ∈ ‫ޚ‬ · π –– 4 π –– 8 π ––– 4 π ––– 8 π ––– 2 π ––– 4 (sen2x – cos2x) ––––––––––––––– sen2x (sen2x – cos2x) ––––––––––––––– cos2x π ––– 2 f(z) –––– z f(z) –––– z IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 7. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 10 BBBB Se α ∈ [0,2π) é o argumento de um número complexo z ≠ 0 e n é um número natural tal que (z/͉z͉)n = isen(nα), então, é verdade que a) 2nα é múltiplo de 2π b) 2nα – π é múltiplo de 2π c) nα – π/4 é múltiplo de π/2 d) 2nα – π é múltiplo não nulo de 2 e) nα – 2π é múltiplo de π Resolução 1) Lembrando que z = |z| . [cos α + i sen α], tem-se que: = [cos α + i sen α] ⇔ ⇔ n = [cos α + i sen α] n ⇔ ⇔ n = cos (n α) + i sen (n α) = i sen (n α) ⇔ ⇔ cos (n α) = 0 ⇔ n α = + kπ, com k ∈ ‫ޚ‬ (I) 2) Da relação (I), conclui-se: A é falsa, pois 2n α = π + 2kπ = π (1 + 2k), que não é “múltiplo” de 2π. B é verdadeira, pois 2n α – π = 2kπ, que é “múltiplo” de 2π. C é falsa, pois n α – = +kπ, que não é “múltiplo” de . D é falsa, pois 2n α – π = 2kπ, que só seria “múltiplo” de 2 se kπ ∈ ‫,ޚ‬ o que só ocorre para k = 0. E é falsa, pois n α – 2π = – +kπ, que não é “múltiplo” de π. 3π ––– 2 π ––– 2 π ––– 4 π ––– 4 π ––– 2 z ΂–––΃|z| z ΂–––΃|z| z ––– |z| IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 8. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 11 AAAA A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear é a) a – b ≠ 2 b) a + b = 10 c) 4a – 6b= O d) a/b = 3/2 e) a . b = 24 Resolução Sendo p a característica da matriz incompleta e q a característica da matriz completa, associadas ao sistema, temos: 1) MI = ⇒ p = 2 para a = 6 e p = 3 para a ≠ 6 2) O sistema é incompatível quando p ≠ q e, portanto, devemos ter: p = 2 e q = 3. Assim, para a = 6, teremos: MC = e q = 3 para b ≠ 4 Logo, a – b ≠ 2. 12 DDDD Se det = –1, então o valor do det é igual a a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 Resolução = = – 2 . 3 = = – 6 + = = – 6 . 2 = – 12 . (– 1) = 12 | a b c p q r x y z| ΃| a b c x y z x y z|| a b c 2p 2q 2r x y z|΂ | a b c 2p+x 2q+y 2r+z x y z| | –2a –2b –2c 2p+x 2q+y 2r+z 3x 3y 3z| ΅ –2a – 2b –2c 2p + x 2q + y 2r + z 3x 3y 3z΄ ΅ a b c p q r x y z ΄ 1 1 3 2 ΄1 2 5 1 ΅2 2 6 b 1 1 3 ΄1 2 5 ΅2 2 a x + y + 3z = 2 x + 2y + 5z = 1 2x + 2y + az = bΆ IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 9. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 13 EEEE Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 – i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e – 40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma pro- gressão aritmética, então, tais raízes são a) 3/2 – ͙ළළළළ193/6, 3, 3/2 + ͙ළළළළ193/6 b) 2 – 4͙ළළළ13, 2, 2 + 4͙ළළළ13 c) – 4, 2, 8 d) – 2, 3, 8 e) – 1, 2, 5 Resolução Se um polinômio p de grau 7 com coeficientes reais, admite (1 – i) como raiz de multiplicidade 2, então, também admite (1 + i) como raiz de multiplicidade 2. Sendo α – r, α, α + r, com α e r números reais, as outras três raízes de p, temos ⇒ ⇒ ⇔ Dessa forma as três raízes reais de p são – 1, 2 e 5. α = 2 r = ± 3 α = 2 4 . (α2 – r2) . α = – 40 (1 – i) + (1 – i) + (1 + i) + (1 + i) + (α – r) + α + (α + r)= 10 (1 – i) (1 – i) (1 + i) (1 + i) (α – r) α(α + r) = – 40 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 10. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 14 EEEE Sobre o polinômio p(x) = x5 – 5x3 + 4x2 – 3x – 2 podemos afirmar que a) x = 2 não é raiz de p b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais Resolução 1) p(x) = x5 – 5x3 + 4x2 – 3x – 2 ⇔ ⇔ p(2) = 32 – 40 + 16 – 6 – 2 ⇔ ⇔ p(2) = 0 ⇔ 2 é raiz de p ⇔ ⇔ p(x) é divisível por x – 2 2) 1 0 –5 4 –3 –2 2__________________________ ⇔ 1 2 –1 2 1 0 p(x) x – 2⇔ ______________________ ⇔ 0 x4 + 2x3 – x2 + 2x + 1 ⇔ p(x) = (x – 2) (x4 + 2x3 – x2 + 2x + 1) 3) p(x) = 0 ⇔ x – 2 = 0 ou x4 + 2x3 – x2 + 2x + 1 = 0 4) x – 2 = 0 ⇔ x = 2 5) x4 + 2x3 – x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ ⇔ x2 + 2x – 1 + + = 0 ⇔ + 2 – 1 = 0 6) Se x + = y, então x2 + + 2 = y2 ⇔ ⇔ x2 + = y2 – 2 7) Substituindo x + por y, temos: (y2 – 2) + 2y – 1 = 0 ⇔ y2 + 2y – 3 = 0 ⇔ ⇔ y = –3 ou y = 1 8) Se y = –3, então x + = –3 ⇔ ⇔ x2 + 3x + 1 = 0 ⇔ x = –3 ± ͙ෆ5 ––––––––– 2 1 ––– x 1 ––– x 1 ––– x2 1 ––– x2 1 ––– x 1 ΂x + –––΃x 1 ΂x2 + –––΃x2 1 ––– x2 2 ––– x IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 11. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 9) Se y = 1, então x + = 1 ⇔ x2 – x + 1 = 0 ⇔ ⇔ x = 10) O conjunto-verdade da equação p(x) = 0 é Ά2; ; ; ; ·1 – ͙ෆ3 i –––––––– 2 1 + ͙ෆ3 i –––––––– 2 –3 – ͙ෆ5 –––––––– 2 –3 + ͙ෆ5 –––––––– 2 1 ± ͙ෆ3 i ––––––––– 2 1 ––– x IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 12. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 15 EEEE Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por Considere as seguintes afirmações: I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0 ll. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos III. x2+y2 = (a2+b2)–1, se a2+b2 ≠ 0 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) I e II e) ll e III Resolução Ά(a – b) x – (a + b) y = 1 (a + b) x + (a – b) y = 1 1) A matriz incompleta MI = não tem característica definida, se a = b = 0 e tem característica 2, se a ≠ 0 ou b ≠ 0, pois = (a – b)2 + (a + b)2 = = 2 (a2 + b2) ≠ 0 2) A matriz completa MC = tem característica 1 se a = b = 0 e tem característica 2, se a ≠ 0 ou b ≠ 0. 3) Dos itens (1) e (2), pelo Teorema de Rouché-Capelli, conclui-se que: se a = b = 0, o sistema é impossível e se a ≠ 0 ou b ≠ 0, o sistema é possível e determinado. Neste caso, tem-se: ⇒ (2a2 + 2b2) x2 + (2a2 + 2b2) y2 = 2 ⇔ ⇒ (a2 + b2) (x2 + y2) = 1 ⇔ x2 + y2 = ⇒ ⇔ x2 + y2 = (a2 + b2)–1 Desta forma, (I) é falsa, (II) e (III) são verdadeiras. 1 –––––––– a2 + b2 (a – b)2 x2 – 2 (a – b) (a + b) xy + (a + b)2 y2 = 1 ⇒ Ά ⇒ (a + b)2 x2+ 2 (a + b) (a – b) xy + (a – b)2 y2 =1 (a – b) x – (a + b) y = 1 Ά ⇒ (a + b) x + (a – b) y = 1 (a – b) – (a + b) 1 ΄ ΅(a + b) (a – b) 1 (a – b) – (a + b) ͉ ͉(a + b) (a – b) (a – b) – (a + b) ΄ ΅(a + b) (a – b) (a – b)x – (a + b)y = 1 (a + b)x + (a – b)y = 1Ά IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 13. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 16 DDDD Considere o polinômio p(x) = x3 – (a + 1)x + a, onde a ∈ ‫.ޚ‬ O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é a) {2n, n ∈ ‫}ގ‬ b) {4n2, n ∈ ‫}ގ‬ c) {6n2 – 4n, n ∈ ‫}ގ‬ d) {n(n + 1), n ∈ ‫}ގ‬ e) ‫ގ‬ Resolução 1) p(x) = x3 – (a + 1) x + a ⇔ ⇔ p(x) = x3 – x2 + x2 – ax – x + a = 0 ⇔ ⇔ p(x) = x2(x – 1) + x (x – 1) – a (x – 1) ⇔ ⇔ p(x) = (x – 1) (x2 + x – a) 2) p(x) = 0 ⇔ x – 1 = 0 ou x2 + x – a = 0 3) As raízes da equação x2 + x – a = 0 serão reais se, e somente se, ∆ = 1 + 4 a ≥ 0 4) 1 + 4 a ≥ 0 e a ∈ ‫ޚ‬ ⇔ a ∈ ‫ގ‬ 5) Para a ∈ ‫,ގ‬ se as raízes inteiras forem m e n então ⇔ ⇔ 6) As raízes inteiras serão, portanto, 1, n e –n–1 desde que a = n(n + 1), ∀ n ∈ ‫.ގ‬ m = – n – 1 a = n(n + 1){m = – 1 – n (–1–n) . n = – a{m + n = – 1 m . n = – a{ IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 14. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 17 BBBB Numa circunferência C1 de raio r1= 3 cm está inscrito um hexágono regular H1; em H1 está inscrita uma circunferência C2; em C2 está inscrito um hexágono regular H2 e, assim, sucessivamente. Se An (em cm2) é a área do hexágono Hn, então ∑∞ n = 1 An (em cm2) é igual a a) 54 ͙ෆ2 b) 54 ͙ෆ3 c) 36(1 + ͙ෆ3 ) d) 27 / (2 – ͙ෆ3 ) e) 30 (2 + ͙ෆ3 ) Resolução De acordo com o enunciado e a figura acima tem-se: r1 = 3 cm r2 = = cm r3 = = 3 . 2 cm r4 = = 3 . 3 cm …… conclui-se assim que os raios r1, r2, r3, …, rn, … formam nessa ordem uma progressão geométrica estritamente decrescente de 1º termo r1 = 3 cm e razão q = e que as áreas A1, A2, A3, …, An,… formam nessa ordem uma progressão geométrica estritamente decrescente de 1º termo A1 = 6 . cm2 e razão Q = 2 .΃͙ළළ3 ––––– 2΂ 32 ͙ළළ3 ––––––– 4 ͙ළළ3 ––––– 2 ΃͙ළළ3 ––––– 2΂ r3͙ළළ3 ––––– 2 ΃͙ළළ3 ––––– 2΂ r2͙ළළ3 ––––– 2 3͙ළළ3 ––––– 2 r1͙ළළ3 ––––– 2 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 15. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO Logo: An = = = = = 54͙ළළ3 18 sssseeeemmmm rrrreeeessssppppoooossssttttaaaa Sejam a reta s: 12x – 5y + 7 = 0 e a circunferência C: x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo a) , b) , c) , d) , e) , Resolução A circunferência x2 + y2 + 4x + 2y – 11 = 0 tem centro C(– 2; – 1) e raio r = 4. A reta p, perpendicular a s, tem equação 5x + 12y + k = 0 e será secante à circunferência quando dp,C < 4, isto é: < 4 ⇔ < 4 ⇔ ⇔ ͉k – 22 ͉ < 52 ⇔ –52 < k – 22 < 52 ⇔ ⇔ – 30 < k < 74 A reta p intercepta o eixo Oy num ponto cuja ordenada é . Assim, se – 30 < k < 74, então – 74 < – k < 30 e < < A ordenada do ponto em que a reta p corta o eixo Oy pertence ao intervalo ΂ ; ΃. 30 –––– 12 74 – –––– 12 30 –––– 12 – k ––––– 12 – 74 ––––– 12 –k ––– 12 ͉ k – 22 ͉ ––––––––– 13 ͉ 5 . (–2) + 12 . (–1) + k ͉ ––––––––––––––––––––––– ͙ළළළළළළළ52 + 122 ΃ 91 ––– 12 75 ––– 12΂ ΃ 74 ––– 12 30 ––– 12΂΃ 30 – ––– 12 74 – ––– 12΂ ΃ 74 – ––– 12 81 – ––– 12΂΃ 81 – ––– 12 91 – ––– 12΂ 27 ͙ළළ3 ––––––– 2 ––––––––– 1 ––– 4 32 ͙ළළ3 6 . ––––––– 4 ––––––––––––– ͙ළළ3 2 1 – ΂––––΃2 A1 ––––– 1 – Q ∞ ∑ n = 1 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 16. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 19 DDDD Os focos de uma elipse são F1(0, – 6) e F2(0,6). Os pontos A(0,9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a a) 22 ͙ෆෆ10 b) 18 ͙ෆෆ10 c) 15 ͙ෆෆ10 d) 12 ͙ෆෆ10 e) 6 ͙ෆෆ10 Resolução A partir do enunciado, temos uma elipse com centro na origem e com os pontos indicados na figura a seguir. Como f = = 6, a = CA = 9 e a2 = b2 + f2, temos: 92 = b2 + 62 ⇔ b2 = 45 A equação da elipse é: + = 1 Se B(x; 3), com x > 0, pertence à elipse, então: + = 1⇔ x2 = 40 ⇔ x = 2 ͙ළළළළ10 (pois x > 0) Finalmente, a área do triângulo é: A = = = 12͙ළළළළ10 12 . 2͙ළළළළ10 ––—–––––– 2 F1F2 . xB —–––––– 2 32 ––– 81 x2 ––– 45 y2 ––– 81 x2 ––– 45 F1F2 —––– 2 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 17. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 20 AAAA Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3͙ෆ3 cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60° com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2, é a) 81 ͙ෆ3 / 2 b) 81 ͙ෆ2 / 2 c) 81/2 d) 27 ͙ෆ3 e) 27 ͙ෆ2 Resolução Sejam ᐉ a medida do lado da base, g a medida do apótema da pirâmide, a a medida do apótema da base, em centímetros. 1º) 2 . = 3 ͙ෆ3 ⇔ ᐉ = 3 2º) a = = 3º) cos 60° = ⇔ = ⇔ g = 3 ͙ෆ3 4º)A área, em centímetros quadrados, da superfície lateral da pirâmide é dada por: Aᐉ = 6 . = 3 . 3. 3 ͙ෆ3 = 27 ͙ෆ3 5º)A área, em centímetros quadrados, da base da pirâmide é dada por: Ab = 6 . = 6 . = 6º)A área total, em centímetros quadrados, dessa pirâmide é At = Aᐉ + Ab = 27 ͙ෆ3 + = 81͙ෆ3 ––––––– 2 27 ͙ෆ3 ––––––– 2 27 ͙ෆ3 ––––––– 2 32 ͙ෆ3 ––––––– 4 ᐉ 2 ͙ෆ3 ––––––– 4 ᐉ . g ––––– 2 3 ͙ෆ3 ––––– 2 –––––––– g 1 ––– 2 a ––– g 3 ͙ෆ3 ––––––– 2 ᐉ ͙ෆ3 ––––––– 2 ᐉ ͙ෆ3 ––––––– 2 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 18. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. 21Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A1, ..., Am} ʲ P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. Ai ≠ Ø, i = 1, ..., m II. Ai ʵ Aj = Ø, se i ≠ j, para i,j = 1, ..., m III.A = A1 ʴ A2 ʴ ... ʴ Am Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(Ai) = k, i = 1,..., m. Supondo que n(A) = 8, determine: a) As ordens possíveis para uma partição de A b) O número de partições de A que têm ordem 2 Resolução a) Dizer que F é uma partição de ordem k significa dizer que todos os conjuntos Ai que compõem a partição possuem k elementos distintos. Como, de Ai ∩ Aj = ø, se i ≠ j e A = A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Am, para i,j = 1, …, n, resulta em n(A) = n(A1) + n(A2) + … + n(Am), tem-se 8 = k + k + … + k ⇔ 8 = m . k ⇔ m parcelas ⇔ k e m são divisores naturais de 8. Assim, podemos ter (k = 1 e m = 8) ou (k = 2 e m = 4) ou (k = 4 e m = 2) ou (k = 8 e m = 1). Desta forma, as possíveis ordens para uma partição de A são 1, 2, 4 e 8. b) Determinar o número de partições de A que têm ordem 2 equivale a determinar de quantas maneiras se podem distribuir os 8 elementos de A em 4 grupos de 2 elementos cada um. O número de for- mas de se efetuar estas partições é = = = = 105 Respostas: a) ordens 1, 2, 4 e 8 b) 105 partições 28 . 15 . 6 . 1 ––––––––––––––– 24 8.7 6.5 4.3 –––– . –––– . –––– .1 2! 2! 2! ––––––––––––––––––– 4 . 3 . 2 .1 C8; 2 . C6; 2 . C4; 2 . C2;2 ––––––––––––––––––––– P4 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 19. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 22 Seja f: [0, 1) → ‫ޒ‬ definida por f(x) = . Seja g: (– 1/2; 1/2) → ‫ޒ‬ dada g(x) = , com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. Resolução 1) f(x) = 2x, se 0 ≤ x < e f(x) = 2x – 1, se ≤ x < 1 2) – < x < 0 ⇔ 0 < x + < e 0 ≤ x < ⇔ ⇔ ≤ x + < 1 3) g(x) = f(x + ), se – < x < 0 ⇔ e g(x) = 1 – f(x + ), se 0 ≤ x < ⇔ g(x) = 2 (x + ), se – < x < 0 ⇔e g(x) = 1 – [2 (x + ) – 1], se 0 ≤ x < ⇔ g(x) = 2x + 1, se – < x < 0 ⇔e g(x) = –2x + 1, se 0 ≤ x < ⇔ g(–x) = g(x), ∀x ∈ (– ; ) ⇔ g é par Resposta: g(x) é par 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 { 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 { 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 { 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 1 –– 2 { f(x + 1/2), – 1/2 < x < 0 1 – f(x + 1/2), 0 ≤ x < 1/2Ά 2x, 0 ≤ x < 1/2 2x – 1, 1/2 ≤ x < 1Ά IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 20. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 23 Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x2)9. Resolução (1 + x + x2)9 = [(1 + x) + x2]9 = . (1 + x)9 . (x2)0 + + . (1 + x)8 . (x2)1 + . (1 + x)7 . (x2)2 + + . (1 + x)6 . (x2)3 + … + . (1 + x)0 . (x2)9 Podemos notar que termos em x4 só ocorrerão nos primeiros três termos do desenvolvimento acima. Em . (1 + x)9, temos 1 9 – k1 . x k1 , com k1 = 4 Em . (1 + x)8 . x2, temos 9. 1 8 – k2 .x k2 . x2, com k2 + 2 = 4 ⇔ k2 = 2 Em . (1 + x)7 . x4, temos . 1 7 – k3 . x k3 x4, com k3 = 0 Assim, resulta a soma: + . + . = = + . + . = = 126 + 9 . 28 + 36 = 414 Resposta: O coeficiente de x4 é 414. ΃7 0΂΃9 2΂΃8 2΂΃9 1΂΃9 4΂ ΃7 k3 ΂΃9 2΂΃8 k2 ΂΃9 1΂΃9 k1 ΂ ΅΃7 k3 ΄΂΃9 2΂ ΃9 2΂ ΅΃8 k2 ΄΂ ΃9 1΂ ΃9 k1 ΂΃9 0΂ ΃9 9΂΃9 3΂ ΃9 2΂΃9 1΂ ΃9 0΂ IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 21. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 24Determine para quais valores de x ∈ ( – π/2, π/2) vale a desigualdade logcosx(4sen2x – 1) – logcosx(4 – sec2x) > 2. Resolução As condições de existência dos logaritmos, para x ∈ ; , resultam: I) 0 < cos x < 1 ⇔ < x < e x ≠ 0 II) 4 . sen2x – 1 > 0 ⇔ sen x < – 1/2 ou sen x > 1/2 ⇔ ⇔ < x < ou < x < III)4 – sec2x > 0 ⇔ sec2x < 4 ⇔ – 2 < sec x < 2 ⇔ ⇔ – 2 < < 2 ⇔ cos x > 1/2 (pois cos x > 0) ⇔ < x < Nas condições acima, temos: logcosx (4 . sen2x – 1) – logcosx (4 – sec2x) > 2 ⇔ ⇔ logcosx > 2 ⇔ ⇔ < cos2x ⇔ ⇔ . cos2x < cos2x ⇔ ⇔ < 1 ⇔ 4 . sen2x – 1< 4 .cos2x – 1 ⇔ ⇔ sen2x < cos2x ⇔ tg2x < 1 ⇔ – 1 < tg x < 1 ⇔ ⇔ < x < Impondo-se as condições de existência na solução obtida, resulta: < x < ou < x < Resposta: < x < ou < x < π ––– 4 π ––– 6 π – ––– 6 π – ––– 4 π ––– 4 π ––– 6 π – ––– 6 π – ––– 4 π ––– 4 π – ––– 4 4 . sen2x – 1 –––––––––––– 4 . cos2x – 1 4 . sen2x – 1 ––––––––––––––– 4 . cos2x – 1 4 . sen2x – 1 –––––––––––– 1 4 – –––––– cos2x ΃ 4 . sen2x – 1 –––––––––––– 4 – sec2x΂ π ––– 3 π – ––– 3 1 ––––– cos x π ––– 2 π ––– 6 π – ––– 6 π – ––– 2 π ––– 2 π – ––– 2 ΃ π ––– 2 π – ––– 2΂ IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 22. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 25 Considere o polinômio p(x) = x3 + ax2 + x + 1, com raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é ver- dadeira: “Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais.” Resolução Sejam α, β e γ as raízes da equação e, sem perda de generalidade, admitamos que α é racional. 1) Se β – α = r1 ∈ ‫,ޑ‬ então β = r1 + α é racional e γ também é racional, pois α + β + γ = – a ∈ ‫.ޑ‬ Se γ – α = r2 ∈ ‫,ޑ‬ então γ = r2 + α é racional e β também é racional, pois α + β + γ = – a ∈ ‫.ޑ‬ 2) Se β – γ = r3 ∈ ‫,ޑ‬ como α + β + γ = – a ∈ ‫,ޑ‬ tem-se ⇒ e ambas são racionais. Desta forma, se uma raiz de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais e a frase apresentada é verdadeira. Resposta: verdadeira 26As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m2. Resolução Sendo x a medida, em metros, da altura do cone, temos: h = x, R = x – 2, g = x + 2 e (x + 2)2 = x2 + (x – 2)2 ⇔ x2 – 8x = 0 ⇔ x = 8, pois x > 0 Assim, h = 8m, R = 6m e g = 10m A área total AT do cone, em metros quadrados, é: AT = π R2 + π Rg = π . 62 + π . 6 . 10 = 96π Resposta: AT = 96π m2 r3 – α – a β = –––––––––– 2 r3 + α + a γ = – ΂––––––––––΃2 Άβ – γ = r3 β + γ = – α – aΆ IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 23. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 27Sejam as matrizes A = e B = Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B)–1. Resolução 1) A + B = + A + B = 2) det (A + B) = = = = 3. (–1)2 . = 3 . 33 = 99 3) Sendo A43 o cofator do elemento da 4ª linha e da 3ª coluna da matriz (A + B), temos: A43 = (–1)4 +3 . = –18 4) O elemento c34 da matriz C = (A + B)–1 é tal que: c34 = = = Resposta: O elemento c34 é igual a 2 – ––– 11 2 – ––– 11 18 – ––– 99 A43 –––––––––– det (A + B) 0 0 2 3 3 0 2 –1 0 0 2 5 0 3 2 3 0 0 0 0 2 5 0 0 3 2 0 3 0 0 3 –1 0 0 0 0 2 5 0 0 3 2 3 3 0 0 2 –1 0 0 ΅ 0 0 2 5 0 0 3 2 3 3 0 0 2 –1 0 0 ΄ ΅ 1 3 1 5 –1/2 –2 1 1/2 3 –2 1 –1 1 1 –1 5 ΄΅ –1 –3 1 0 1/2 2 2 3/2 0 5 –1 1 1 – 2 1 – 5 ΄ ΅ 1 3 –1/2 1 1 –2 –2 3 –1 1 1 1 5 –1 1/2 5 ΄΅ 1 0 1/2 –1 –2 5 2 –3 1 –1 2 1 –5 1 3/2 0 ΄ IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 24. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 28Seja (a1,a2,a3, ... ,an,...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a1= a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor de a + r. Resolução Sendo (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r e a1 = a um número real não- nulo, de acordo com o enunciado, temos: 1) a2 + a4 + a6 + ... = 4 ⇔ ⇔ a . r + a . r3 + a . r5 + ... = 4 ⇔ ⇔ = 4 ⇔ a . r = 4 . (1 – r2) (I) 2) a3 + a6 + a9 + ... = ⇔ ⇔ a . r2 + a . r5 + a . r8 + ... = ⇔ ⇔ = ⇔ a . r2 = . (1 – r3) (II) 3) Dividindo membro a membro (II) por (I), vem: = ⇔ r = . ⇔ ⇔ 9r2 + 9r – 4 = 0 ⇔ r = , pois r > 0 4) Substituindo r = em (I), temos: a . = 4 . ⇔ a = Logo, a + r = + = 11 Resposta: a + r = 11 1 –– 3 32 ––– 3 32 ––– 3΃ 1 1 – –– 9΂ 1 –– 3 1 –– 3 1 –– 3 (1 + r + r2) –––––––––– (1 + r) 4 ––– 13 16 ––– . (1 – r3) 13 –––––––––––– 4 . (1 – r2) a . r2 ––––– a . r 16 ––– 13 16 ––– 13 a . r2 –––––– 1 – r3 16 ––– 13 16 ––– 13 a . r –––––– 1 – r2 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 25. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 29 Sabendo que 9y2 – 16x2 – 144y + 224x – 352 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. Resolução 9y2 – 16x2 – 144y + 224x – 352 = 0 ⇔ ⇔ 9y2 – 144y + 576 – 16x2 + 224x – 784 – 144 = 0 ⇔ ⇔ 9(y – 8)2 – 16(x – 7)2 = 144 ⇔ ⇔ – = 1⇔ – = 1, que é uma equação da hipérbole de centro (7; 8), eixos paralelos aos eixos coordenados e semi-eixos transverso e conjugado, respectivamente, iguais a a = 4 e b = 3 Assim, a semidistância focal f é tal que: f 2 = 32 + 42 ⇔ f = 5 Logo, a distância focal desta hipérbole é 2f = 10 Resposta: 10 (x – 7)2 ––––––– 32 (y – 8)2 ––––––– 42 (x – 7)2 ––––––– 9 (y – 8)2 ––––––– 16 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 26. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO 30Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 100 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área, em cm2, do círculo inscrito neste losango. Resolução 1º) No losango ABCD, tem-se: AB = BC = CD = DA = 25cm, ––– BD Ќ ––– AC, OA = OC = 20cm e OB = OD 2º) No triângulo retângulo OBC, tem-se: (OB)2 + (OC)2 = (BC)2 ⇔ (OB)2 = 252 – 202 ⇔ ⇔ OB = 15 cm 3º) No triângulo retângulo OBC, tem-se ainda OB . OC = BC . OT Assim, sendo R a medida, em centímetros, do raio do círculo inscrito no losango ABCD, tem-se: 15 . 20 = 25 . R ⇔ R = 12 4º) A área S, em centímetros quadrados, desse círculo é tal que: S = π R2 = π . 122 = 144π Resposta: S =144π cm2 IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555
  • 27. OOOOBBBBJJJJEEEETTTTIIIIVVVVOOOO Comentário de Matemática Com 19 questões de álgebra, 5 de geometria, 3 de trigonometria e 3 de geometria analítica, a banca examinadora do ITA conseguiu elaborar uma excelente prova de Matemática, na qual podemos destacar o alto grau de dificuldade da maioria das questões e a ausência de alternativa correta para o teste número 18, de geometria analítica, causada certamente por um infeliz erro de digitação. IIIITTTTAAAA ---- ((((3333ºººº DDDDiiiiaaaa)))) DDDDeeeezzzzeeeemmmmbbbbrrrroooo////2222000000005555