Pequeno teorema de fermat

´
Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular
Pequeno Teorema de Fermat

˜
Seja p um primo e a ∈ Z. Entao
ap ≡ a (mod p).
˜
Em particular, se p a, entao
ap−1 ≡ 1 (mod p).

M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM

Teoria de Numeros Computacional LCC
´

´

Demonstracao (efectuada por Euler em 1730) :
¸˜
´
p = 2 a2 ≡ a (mod 2) ⇔ 2 | a(a − 1) e a(a − 1) e par.
p > 2 Para a = 0 e a = 1 a aﬁrmacao e verdadeira.
¸˜ ´
´
˜ suponhamos que, para
Por hipotese de inducao,
¸
certo a ∈ N0 , ap ≡ a (mod p).
˜
Entao,
p
(a + 1)p ≡ap + (p )ap−1 + · · · + (p−1 )a + 1 (mod p)
1

≡ap + 1 (mod p)
≡a + 1 (mod p)
Logo ap ≡ a (mod p), para todo a ∈ N0 .
´
˜
Como p − 1 e par, entao ap−1 = (−a)p−1 pelo que a aﬁrmacao
¸˜
´ ´
e valida para todo o a ∈ Z.

´

´

Exemplo
´
250 + 350 e divis´vel por 13.
ı
4

250 =24·12+2 = (212 ) · 22

logo

250 ≡22 (mod 13)
4

350 =34·12+2 = (312 ) · 32
50

3

logo

2

≡3 (mod 13)

250 + 350 ≡22 + 32 (mod 13)
≡0 (mod 13)

´

´

Exerc´cios
ı
1
2
3

˜
Calcule o resto da divisao de 3372 por 37.
Mostre que 7 n2 + 1 qualquer que seja n ∈ Z.
Calcule
31100 mod 19,
210000 mod 29.

4
5

´
Mostre que 1184 − 584 e divis´vel por 7.
ı
Mostre que, para qualquer n ∈ N,
1
2

6

˜
se n ≡ 2 (mod 4), entao 5 | 9n + 8n ;
n13 − n ≡ 0 (mod 2730).

´
Mostre que para qualquer primo p > 3, abp − bap e
divis´vel por 6p, para quaisquer inteiros a e b.
ı


´

´

´
´
Sera o rec´proco do Teorema de Fermat valido?
ı
i.e., se an−1 ≡ 1 (mod n) para todo o inteiro a tal que
˜
´
m.d.c.(a, n) = 1, entao n e primo?
˜
´
Nao, por exemplo, 561 e tal que:
561 = 3 · 11 · 17
a560 ≡ 1 (mod 561), para qualquer a ∈ Z tal que
m.d.c.(a, 561) = 1.


´

´

Deﬁnicao
¸˜
Seja a ∈ Z. Um inteiro composto n tal que
an−1 ≡ 1 (mod n)
diz-se um pseudoprimo de base a.
´
Se n e pseudoprimo de base a para todo o inteiro a tal que
˜
m.d.c.(a, n) = 1, entao n diz-se um pseudoprimo, ou um
numero de Carmichael.
´
Exemplos
˜
Sao pseudoprimos os numeros: 561, 1105, 1729, 2465, 2821,
´
6601, . . .
˜
Sao pseudoprimos de base 2 os numeros: 341, 561, 645,
´
1105, 1387, 1729, 1905, . . .

´

´

´
˜
˜
Se n e um primo que nao divide a(a2 − 1), entao
pseudoprimo de base a.

a2n −1
a2 −1

´
e um

Logo existe uma inﬁnidade de pseudoprimos de base a para
qualquer a.
Teorema (Alford, Granville, Pomerance-1994)
´
Ha uma inﬁnidade de numeros pseudoprimos.
´
Demonstracao:
¸˜
´
˜
´ ´
Se n e um pseudoprimo entao 2n − 1 tambem e.


´

´

Proposicao
¸˜
Suponhamos que ar ≡ 1 (mod p) com p primo. Se
˜
m.d.c.(r , p − 1) = d, entao
ad ≡ 1 (mod p).
Exemplo
´
Ha uma inﬁnidade de primos do tipo 8k + 1.
˜
Se os primos do tipo 8k + 1 fossem em numero ﬁnito, entao
´
´
poder-se -ia admitir que existe tal que {p1 , . . . , p } e o
conjunto de todos os primos da forma 8k + 1.
˜
Seja N = (2p1 · · · p )4 + 1. Entao,
1
2
3

N > pi para 1 ≤ i ≤ ;
´
N e do tipo 8k + 1;
´
N e primo.

´

´

Exerc´cios
ı
1

Mostre que:
´
91 e um pseudoprimo de base 3;
´
45 e um pseudoprimo de base 17;
´
45 e um pseudoprimo de base 19.

2

3

4

´
Mostre que se n e um pseudoprimo de base a e de base
˜
´
b, entao n e um pseudoprimo de base ab.
˜
Seja p > 2 um primo. On numeros da forma 2p − 1 sao
´
´
designados numeros de Mersenne. Mostre que se q e um
´
p − 1, entao q = 2kp + 1 para algum
˜
primo que divide 2
k ∈ Z.
n

Os numeros da forma Fn = 22 + 1, com n ≥ 0, designam´
˜
-se numeros de Fermat. Mostre que os inteiros n que sao
´
numeros de Mersenne ou numeros de Fermat veriﬁcam
´
´
2n−1 ≡ 1 (mod n).

´

´
Teorema de Euler

Deﬁnicao
¸˜
´
O numero de elementos invert´veis modulo n num sistema
ı
´
completo de res´duos denota-se por φ(n). A funcao
ı
¸˜
φ: N →
N
n → φ(n)
chama-se funcao φ de Euler.
¸˜
Exemplos
φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2.
´
φ(p) = p − 1 se p e primo.
Exerc´cio
ı
´
˜
Mostre que se p e primo, entao φ(pr ) = pr −1 (p − 1), para r ≥ 1.

´

´
Teorema de Euler

Teorema
˜
˜
Se m e n sao inteiros tais que m.d.c.(m, n) = 1, entao
φ(mn) = φ(m)φ(n),
´
i.e., φ e multiplicativa.
Exemplo
φ(6600) = φ(11 · 52 · 3 · 23 ) = 10 · (5 · 4) · 2 · (22 · 1) = 1600


´

´
Teorema de Euler

Exercćios
ı
1

2

3

Prove que existe uma infinidade de numeros primos
´
usando a funcao φ.
¸˜
Escreva uma funcao no Mathematica que calcule φ(n),
¸˜
para n ∈ N.
Teste a funcao definida no exercćio anterior calculando
¸˜
ı
φ(120) e φ(225).

4

Determine os valores de n para os quais φ(n) = 6.

5

Determine os valores de n para os quais φ(n) = n − 2.


´

´
Teorema de Euler

Teorema de Euler
˜
˜
Se a e m sao inteiros tais que m.d.c.(a, m) = 1, entao
aφ(m) ≡ 1 (mod m).
Demonstracao:
¸˜
˜
´
Se r1 , . . . , rφ(m) sao os elementos invert´veis modulo m num
ı
˜
sistema completo de res´duos, entao
ı
ar1 , . . . , arφ(m)
˜
´
sao invert´veis e incongruentes dois a dois modulo m.
ı
ar1 · · · arφ(m) = aφ(m) (r1 · · · rφ(m) ) ≡ r1 · · · rφ(m) (mod m).
˜
Como m.d.c.(ri , m) = 1, entao
aφ(m) ≡ 1 (mod m).

´

´
Teorema de Euler

Exemplo
Calcular os ultimos dois d´gitos de 19931993 .
ı
´
φ(100) = 40
m.d.c.(1993, 100) = 1

→ 199340 ≡ 1 (mod 100)

Dado que 1993 mod 40 = 33,
19931993 ≡ 199333 (mod 100)
≡ 9333 (mod 100)
≡ −733 (mod 100)
≡ −(74 )8 7 (mod 100)
≡ −7 (mod 100)

( porque 74 ≡ 1 (mod 100))

≡ 93 (mod 100)

´

´
Teorema de Euler

Exemplo
´
Calcular inverso de a modulo m.
˜
˜ ´
´
Se m.d.c.(a, m) = 1, entao a nao e invert´vel modulo m.
ı
˜
Senao,
aφ(m) ≡ 1 (mod m),
ou seja,
a · aφ(m)−1 ≡ 1 (mod m).


´

´
Teorema de Euler

Exercćios
ı
1
2
3

´
Calcule o inverso de 2 e de 3 modulo 35.
720 por 225.
˜
Calcule o resto da divisao de 2
Calcule:
3340 mod 341;
9
78 mod 100;
210000 mod 121.

4

5

Mostre que n12 ≡ 1 (mod 72) para qualquer inteiro n tal
que m.d.c.(n, 72) = 1.
´
˜
Verifique que se p e primo, entao
1p−1 + 2p−1 + · · · + (p − 1)p−1 ≡ −1 mod p).

6

Escreva um a funcao que permita verificar para que
¸˜
ˆ
˜
´ ´
inteiros a congruencia da questao anterior e valida.

´

´
Teorema de Lagrange

Teorema de Lagrange
´
´
Se K e um corpo e f (x) e uma funcao polinomial de grau n em
¸˜
˜
´
K[x], entao a equacao f (x) = 0 tem no maximo n solucoes.
¸˜
¸˜
´
Corolario
´
´
Se p e um primo e f (x) e uma funcao polinomial de grau n de
¸˜
˜
coeﬁcientes inteiros em que nem todos sao divis´veis por p,
ı
˜
ˆ
´
entao a congruencia f (x) ≡ 0 (mod p) tem no maximo n solu´
coes modulo p.
¸˜
´
Corolario
´
˜
ˆ
Se p e um primo e d | p − 1, entao a congruencia
x d − 1 ≡ 0 (mod p)
´
tem exactamente d solucoes modulo p.
¸˜

´

´
Teorema de Wilson

Teorema de Wilson
´
˜
Se p e primo, entao
(p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Demonstracao:
¸˜
S = {0, 1, 2, . . . , p − 1}
´
e um sistema completo de res´duos.
ı
˜
´
´
1 e p − 1 sao inversos modulo p de si proprios;
˜
os restantes elementos nao nulos podem agrupar-se em
´
pares de elementos distintos do tipo (a, a ) em que a e
´
inverso modulo p de a .
Logo,
1 · 2 · · · · · (p − 1) ≡ 1 · (p − 1) (mod p)
≡ (p − 1) (mod p)

´

´
Teorema de Wilson

´ ´ ´
O rec´proco do Teorema de Wilson tambem e valido:
ı
˜
´
Se (p − 1)! ≡ −1 (mod p), entao p e primo.
Proposicao
¸˜
´
˜
Se n e um composto e n > 1, entao
(n − 1)! ≡

2 mod n
0 mod n


se n = 4
.
se n = 4

´

´
Teorema de Wilson

Exerc´cios
ı
1

˜
Calcule o resto da divisao de
87! por 89;
18! por 437;
13!
7! por 7.

2

´
˜
Mostre que se p e um primo ´mpar, entao
ı
2(p − 3)! ≡ −1 (mod p).


´

Pequeno teorema de fermat

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Destaque

Semelhante a Pequeno teorema de fermat

Último

Pequeno teorema de fermat