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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

                            INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

                                  DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

                           GRUPO DE ESTUDO – ALUNOS DO MESTRADO

                             MA 14 – ARITMÉTICA I – UNIDADES 10 E 11



                        UNIDADE 10 – EXPRESSÕES BINÔMIAIS - ATIVIDADES

    1. Sejam a, m, n naturais. Mostre que an – 1 |am – 1 se, e somente se, n|m.

       Resolução:

     Se an – 1 |am – 1 temos que existe k natural tal que am – 1 = k(an – 1). Desta forma o temos
que (an – 1, am – 1) = (an – 1, k(an – 1)) = an – 1(1, k) = an – 1.

Da teoria temos também que (an – 1, am – 1) = a(n,m) – 1. Logo temos que:

(an – 1, am – 1) = a(n,m) – 1 = an – 1. Daí a(n,m) = an. Como a é natural temos que a igualdade é
satisfeita somente quando (m,n) = n e, portanto n|m.

     Se n|m então existe k natural tal que m=kn. Logo (m,n) = (kn,n) = n. Da teoria sabemos
que:

                    (an – 1, am – 1) = a(n,m) – 1 = an – 1 e, portanto an – 1 |am – 1.



    2. Sejam n, m naturais com n|m e                    . Se a é natural mostre que
                                             (am + 1, an + 1) = an + 1

Resolução:
Se n|m, então existe k natural tal que m=kn. Desta forma temos que [m,n] = [kn,n] =
        kn = m. De modo análogo observamos que (m,n) = n. Logo temos que                    que é

        e ímpar. Logo pelo Corolário 9 temos que (am + 1, an + 1) = a(n,m) + 1 = an + 1.

    3. Sejam a, m, n naturais, com m > n. Mostre que:

                                                       ,

Resolução:

Seja w = 2m e r = 2n. Se m > n temos que existe k natural tal que m = n + k. Assim temos:

                       (w,r) = (2m, 2n) = (2n+k, 2n) = (2n.2k, 2n) = 2n(2k, 1) = 2n.

Agora observe que:




Logo pelo Corolário 10 temos que

                             ,                             ,



    4. Calcule:
    a) (5202 + 1, 574 + 1)

    Resolução:

    Veja que (202,74) = 2

    Logo [202,74] = 7474. Desta forma, temos que:




Logo pelo Corolário 9 temos que:

                                 (5202 + 1, 574 + 1) = 5(202,74) + 1 = 52 + 1 = 26

    b) (36497 + 1, 36210 + 1)

Resolução:

    Veja que (497,210) = 7

    Logo [497,210] = 14910. Desta forma, temos que:
Logo pelo Corolário 9 temos que:

                                         (36497 + 1, 36210 + 1) = 1
    c) (3144 – 1, 378 + 1)

Resolução:

    Veja que (144,78) = 6

    Agora observe que:




    Logo pelo Corolário 10 temos que:

                                   (3144 – 1, 378 + 1) = 36 + 1 = 730.
    5. Seja (Mn)n a seqüência definida por Mn = 2n – 1. Mostre que 3|Mn se, e somente se, n
       é par.

Resolução:

    Como 3|Mn, segue que (3, Mn) = 3.

Agora observe que 3 = 22 – 1. Assim temos que:

(3, Mn) = (22 – 1, 2n – 1)


Desta forma necessariamente n é par.

    Se n é par, então n = 2k e Mn= 22k – 1 = 4k – 1.

Afirmação 1: 3|4k – 1.

Mostraremos esta afirmação por indução.

Para k = 1 verdadeiro, pois 4 – 1 = 3.

Suponha válido para k = w, isto é, 3|4w – 1. Devemos provar verdadeiro para w + 1, isto é,
3|4w+1 – 1.

Observe que 4w+1 – 1 = 4w.4 – 1 = 4w.(3+1) – 1 = 3.4w + 4w – 1 = 3(4w + t) para algum t natural,
pois por hipótese 3|4w – 1. Logo 3|4w+1 – 1 e, portanto 3|Mn.
UNIDADE 11 – NÚMEROS DE FIBONACCI – ATIVIDADES

    1. Mostre que, se na sequência de Fibonacci existir um termo divisível por um natural
       m, então existem infinitos tais termos.

Resolução:

Seja k um natural tal que m|k (m natural). Desta forma temos que m|wk (w natural), ou seja,
se m divide k, segue que m divide todos os múltiplos de k. Como m|wk segue pelo Lema 2 que
um|uwk. Como os múltiplos de k são infinitos (pois os números naturais não são limitados
superiormente) segue que existem infinitos termos de Fibonacci que são divisíveis por m.

Para auxilio nos exercícios seguintes, construiremos os primeiros termos da sequencia de
Fibonacci.

                      Fn = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...}

    2. Na sequência de Fibonacci, mostre que u m é par se, e somente se, m é divisível por 3.

     Se um é par então, 2|um. Mas 2 = u3. Logo u3|um. Assim pelo Corolário 4 temos que 3|m.

    Se m é divisível por 3, então 3|m. Pelo Corolário 4 temos que u3|um e, portanto um é par,
pois u3 = 2.

    3. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é divisível por 5 se, e somente se, m é
       divisível por 5.

Resolução:

    Se um é divisível por 5 então, 5|um. Mas 5 = u5. Logo u5|um. Assim pelo Corolário 4 temos
que 5|m.

    Se m é divisível por 5, então 5|m. Pelo Corolário 4 temos que u5|um e, portanto um é
divisível por 5, pois u5 = 5.

    4. Na sequência de Fibonacci, mostre que u m é divisível por 7 se, e somente se, m é
       divisível por 8.

Resolução:

    Se um é divisível por 7
Se m é divisível por 8, então 8|m. Pelo Corolário 4 temos que u8|um. Logo 21|um e,
portanto um é divisível por 7, pois todo múltiplo de 21 é em particular múltiplo de 7.

    5. Na sequência de Fibonacci, mostre que u m é divisível por 4 se, e somente se, m é
       divisível por 6.

Resolução:

    Se um é divisível por 4

    Se m é divisível por 6, então 6|m. Pelo Corolário 4 temos que u6|um. Logo 8|um e,
portanto um é divisível por 4, pois todo múltiplo de 8 é em particular múltiplo de 4.

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  • 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA GRUPO DE ESTUDO – ALUNOS DO MESTRADO MA 14 – ARITMÉTICA I – UNIDADES 10 E 11 UNIDADE 10 – EXPRESSÕES BINÔMIAIS - ATIVIDADES 1. Sejam a, m, n naturais. Mostre que an – 1 |am – 1 se, e somente se, n|m. Resolução: Se an – 1 |am – 1 temos que existe k natural tal que am – 1 = k(an – 1). Desta forma o temos que (an – 1, am – 1) = (an – 1, k(an – 1)) = an – 1(1, k) = an – 1. Da teoria temos também que (an – 1, am – 1) = a(n,m) – 1. Logo temos que: (an – 1, am – 1) = a(n,m) – 1 = an – 1. Daí a(n,m) = an. Como a é natural temos que a igualdade é satisfeita somente quando (m,n) = n e, portanto n|m. Se n|m então existe k natural tal que m=kn. Logo (m,n) = (kn,n) = n. Da teoria sabemos que: (an – 1, am – 1) = a(n,m) – 1 = an – 1 e, portanto an – 1 |am – 1. 2. Sejam n, m naturais com n|m e . Se a é natural mostre que (am + 1, an + 1) = an + 1 Resolução:
  • 2. Se n|m, então existe k natural tal que m=kn. Desta forma temos que [m,n] = [kn,n] = kn = m. De modo análogo observamos que (m,n) = n. Logo temos que que é e ímpar. Logo pelo Corolário 9 temos que (am + 1, an + 1) = a(n,m) + 1 = an + 1. 3. Sejam a, m, n naturais, com m > n. Mostre que: , Resolução: Seja w = 2m e r = 2n. Se m > n temos que existe k natural tal que m = n + k. Assim temos: (w,r) = (2m, 2n) = (2n+k, 2n) = (2n.2k, 2n) = 2n(2k, 1) = 2n. Agora observe que: Logo pelo Corolário 10 temos que , , 4. Calcule: a) (5202 + 1, 574 + 1) Resolução: Veja que (202,74) = 2 Logo [202,74] = 7474. Desta forma, temos que: Logo pelo Corolário 9 temos que: (5202 + 1, 574 + 1) = 5(202,74) + 1 = 52 + 1 = 26 b) (36497 + 1, 36210 + 1) Resolução: Veja que (497,210) = 7 Logo [497,210] = 14910. Desta forma, temos que:
  • 3. Logo pelo Corolário 9 temos que: (36497 + 1, 36210 + 1) = 1 c) (3144 – 1, 378 + 1) Resolução: Veja que (144,78) = 6 Agora observe que: Logo pelo Corolário 10 temos que: (3144 – 1, 378 + 1) = 36 + 1 = 730. 5. Seja (Mn)n a seqüência definida por Mn = 2n – 1. Mostre que 3|Mn se, e somente se, n é par. Resolução: Como 3|Mn, segue que (3, Mn) = 3. Agora observe que 3 = 22 – 1. Assim temos que: (3, Mn) = (22 – 1, 2n – 1) Desta forma necessariamente n é par. Se n é par, então n = 2k e Mn= 22k – 1 = 4k – 1. Afirmação 1: 3|4k – 1. Mostraremos esta afirmação por indução. Para k = 1 verdadeiro, pois 4 – 1 = 3. Suponha válido para k = w, isto é, 3|4w – 1. Devemos provar verdadeiro para w + 1, isto é, 3|4w+1 – 1. Observe que 4w+1 – 1 = 4w.4 – 1 = 4w.(3+1) – 1 = 3.4w + 4w – 1 = 3(4w + t) para algum t natural, pois por hipótese 3|4w – 1. Logo 3|4w+1 – 1 e, portanto 3|Mn.
  • 4. UNIDADE 11 – NÚMEROS DE FIBONACCI – ATIVIDADES 1. Mostre que, se na sequência de Fibonacci existir um termo divisível por um natural m, então existem infinitos tais termos. Resolução: Seja k um natural tal que m|k (m natural). Desta forma temos que m|wk (w natural), ou seja, se m divide k, segue que m divide todos os múltiplos de k. Como m|wk segue pelo Lema 2 que um|uwk. Como os múltiplos de k são infinitos (pois os números naturais não são limitados superiormente) segue que existem infinitos termos de Fibonacci que são divisíveis por m. Para auxilio nos exercícios seguintes, construiremos os primeiros termos da sequencia de Fibonacci. Fn = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...} 2. Na sequência de Fibonacci, mostre que u m é par se, e somente se, m é divisível por 3. Se um é par então, 2|um. Mas 2 = u3. Logo u3|um. Assim pelo Corolário 4 temos que 3|m. Se m é divisível por 3, então 3|m. Pelo Corolário 4 temos que u3|um e, portanto um é par, pois u3 = 2. 3. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é divisível por 5 se, e somente se, m é divisível por 5. Resolução: Se um é divisível por 5 então, 5|um. Mas 5 = u5. Logo u5|um. Assim pelo Corolário 4 temos que 5|m. Se m é divisível por 5, então 5|m. Pelo Corolário 4 temos que u5|um e, portanto um é divisível por 5, pois u5 = 5. 4. Na sequência de Fibonacci, mostre que u m é divisível por 7 se, e somente se, m é divisível por 8. Resolução: Se um é divisível por 7
  • 5. Se m é divisível por 8, então 8|m. Pelo Corolário 4 temos que u8|um. Logo 21|um e, portanto um é divisível por 7, pois todo múltiplo de 21 é em particular múltiplo de 7. 5. Na sequência de Fibonacci, mostre que u m é divisível por 4 se, e somente se, m é divisível por 6. Resolução: Se um é divisível por 4 Se m é divisível por 6, então 6|m. Pelo Corolário 4 temos que u6|um. Logo 8|um e, portanto um é divisível por 4, pois todo múltiplo de 8 é em particular múltiplo de 4.