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Otimiza¸˜o de equa¸˜es de
            ca           co
        recorrˆncia lineares
              e

          Jedson B. Guedes
http://jedsonguedes.wordpress.com
Neste texto ser´ apresentada uma maneira de se otimizar uma
               a
equa¸˜o de recorrˆncia linear a coeficientes constantes,
    ca            e
homogˆnea.
       e

Exemplos:
    cn = cn−1 + 3cn−3 − 2cn−5
    un = un−1 + un−2
    rn+1 = rn + rn−2
Passos para otimiza¸˜o - Polinˆmio Caraceter´
                   ca         o             ıstico


   Seja
            un = a1 un−1 + a2 un−2 + . . . + ak un−k ,    n≥k
   com ai constante, i=1...k e supondo conhecidos os k primeiros
   termos u0 , . . . , uk−1 .
   O polinˆmio caracter´
          o                   ıstico de (un ) ´ definido como
                                              e

              p(x) = x k − a1 x k−1 − a2 x k−2 − . . . − ak x 0

                        k = ordem da recorrˆncia
                                           e
Passos para otimiza¸˜o - Polinˆmio Caraceter´
                   ca         o             ıstico




                     1un − a1 un−1 − . . . − ak un−k = 0

   Destacados em azul os coeficientes dos x k , x k−1 , ..., x k−k ,
   respectivamente.
Passos para otimiza¸˜o - Polinˆmio Caraceter´
                   ca         o             ıstico




                                  ´
   Pelo Teorema Fundamental da Algebra, sabemos que a equa¸˜o
                                                          ca
   caracter´
           ıstica de um polinˆmio p(x) ´:
                             o         e

           p(x) = (x − r1 )m1 (x − r2 )m2 . . . (x − rp )mp ,   p≤k

   sendo r1 , r2 , . . . , rp as p ra´ distintas de p(x).
                                     ızes
   Com mi = multiplicidade de ri .
Passos para otimiza¸˜o - O somat´rio!
                   ca           o



   Utilizaremos o seguinte somat´rio para otimizar equa¸˜es de
                                  o                     co
   recorrˆncia lineares a coeficientes constantes, homogˆneas.
         e                                             e
                                  p
                           un =         Qj (n)rjn
                                  j=1

   onde Qj (n) ´ um polinˆmio em n “geral” de grau ≤ mj − 1 e r
               e         o
   indica uma raiz.
Passos para otimiza¸˜o - O somat´rio!
                   ca           o




   Os coeficientes de Qj (n) s˜o obtidos a partir de um sistema linear
                             a
   constru´ com os valores dos termos iniciais da recorrˆncia.
          ıdo                                             e

   A partir da´ ´ preciso basicamente resolver tal sistema e substituir
              ı, e
   os valores encontrados, realizando as trocas de vari´veis
                                                        a
   necess´rias.
         a
Exemplo




  Otimizar a seguinte equa¸˜o de recorrˆncia:
                          ca           e

                un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 ,     n≥3

                       u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2
Exemplo
  (1) Achar (un );
  O grau ´ 3. Precisaremos, pois, mais a frente, dos trˆs primeiros
           e                                           e
  valores de (un ). Sabemos que u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2. Aplicando
  tais valores na recorrˆncia dada, achamos os seguintes termos de
                        e
  (un ):
                      un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3
                                   ⇓
                    u3 = 5u3−1 − 8u3−2 + 4u3−3
                                   ⇓
                        u3 = 5u2 − 8u1 + 4u0
                                   ⇓
                       u3 = 5 · 2 − 8 · 1 + 4 · 0
                                   ⇓
                                u3 = 2
Exemplo




  Assim, se continuarmos o processo, acharemos:

                      (un ) = {0, 1, 2, 2, −2, . . . }


  Fazer isto ´ aconselh´vel por ajudar a verificar facilmente se h´ um
             e         a                                         a
  erro.
Exemplo



  (2) Construir o polinˆmio caracter´
                       o            ıstico p(x);

  De forma suscinta, pode-se dizer que para montar o polinˆmio
                                                          o
  caracter´
          ıstico p(x) come¸amos colocando a inc´gnita, aqui
                          c                    o
  chamada de x, elevada ` ordem da equa¸˜o de recorrˆncia.
                         a               ca          e

  Neste caso, n=3.
  Assim, o primeiro termo de p(x) ser´ x 3 .
                                     a
Exemplo




  A partir disto, as inc´gnitas seguintes ter˜o sempre como expoente
                        o                    a
  o grau anterior decrescido de uma unidade.
  E seus coeficientes, ser˜o
                          a

   (−1)×(o coeficiente do respectivo termo da eq. de recorrˆncia).
                                                          e
Exemplo



  Neste exemplo, 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 .
  O coeficiente de un−1 ´ 5.
                       e

  Multiplicando-o por (-1), descobrimos que a pr´xima parcela do
                                                o
  polinˆmio ser´ −5x
       o       a     2.


  Utiliza-se racioc´ an´logo aos demais. Desta forma, temos,
                   ınio a
  neste caso,
                       p(x) = x 3 − 5x 2 + 8x − 4
Exemplo




  Este polinˆmio, por´m, n˜o est´ na forma
            o        e    a     a

          p(x) = (x − r1 )m1 (x − r2 )m2 . . . (x − rp )mp ,   p≤k
Exemplo




  Para o deixarmos assim, basta dividi-lo por (x − ri ), em que ri ´
                                                                   e
  uma de suas ra´
                ızes.

                         p(x) ← p(x)/(x − ri )

  A multiplicidade de cada raiz ´ que dir´ o expoente de cada termo
                                e        a
  (x − ri ).
Exemplo



  Facilmente verifica-se que 1 ´ raiz de p(x).
                              e
  Quando dividirmos este polinˆmio por (x − 1) teremos como
                               o
  quociente outro polinˆmio:
                       o

                             x 2 − 4x + 4

  E como resto: 0.
  Assim, 1 ´ mesmo raiz de p(x) = x 3 − 5x 2 + 8x − 4, e sua
            e
  multiplicidade ´ 1.
                 e
Exemplo




  Seguindo o processo, dividiremos este novo polinˆmio por (x − ri ).
                                                   o
  Vale salientar que este ri ´ uma raiz do novo polinˆmio.
                             e                       o
Exemplo


  O n´mero 2 ´ raiz de x 2 − 4x + 4.
     u       e

  Dividindo, pois, x 2 − 4x + 4 por (x − 2), encontramos como
  quociente x − 2 e resto 0.
  O n´mero 2, portanto, ´ raiz.
      u                    e

  Novamente seguindo em frente com o processo, procuramos por
  uma raiz de x − 2 e encontramos o n´mero 2 novamente. O
                                       u
  n´mero 2 ´ raiz duas vezes do polinˆmio inicial.
   u        e                        o

  Assim, ele tem multiplicidade 2.
Exemplo




  Temos, portanto

                    p(x) = (x − 1)1 · (x − 2)2

  .
Exemplo




                          p           n
  3) Agora, usando un =   j=1 Qj (n)rj ,   chegamos a ter

                   un = Q1 (n) · 1n + Q2 (n) · 2n
Exemplo

  Lembremos que
                                  p
                          un =         Qj (n)rjn
                                 j=1

  e que Qj (n) ´ um polinˆmio em n “geral” de grau ≤ mj − 1 e r
               e         o
  indica uma raiz.
  (4) Reescrevamos cada polinˆmio Qj (n) usando λi .
                              o

                             Q1 (n) = λ0

                        Q2 (n) = λ1 · n1 + λ2
  Assim, un pode ser escrito da seguinte forma:

                   un = λ0 · 1n + (λ1 · n + λ2 ) · 2n
Exemplo




  (5) Monte um sistema de equa¸˜es.
                                  co
  Usando os valores iniciais dos primeiros termos

             λ0 + (λ1 · 0 + λ2 ) · 20 = 0, para n=0
            

                λ0 + (λ1 · 1 + λ2 ) · 21 = 1, para n=1
                λ0 + (λ1 · 2 + λ2 ) · 22 = 2, para n=2
            
Exemplo




  (6) Resolvendo este sistema de equa¸˜es, encontramos:
                                     co
                            
                             λ0 = −2
                                      1
                               λ = −2
                             1
                               λ2 = 2
Exemplo




  (7) Subsitituindo os valores dos λ’s,
                                   n
                       un = −2 + (− + 2) · 2n
                                   2
Exemplo




  Trocando em mi´dos, a equa¸˜o acima ´ idˆntica ` inicial. Assim,
                u           ca        e e        a

                                               n
      un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 ≡ un = −2 + (− + 2) · 2n
                                               2
  Desta forma, se quero achar o 16o termo da sequˆncia (n=16),
                                                  e
  n˜o ´ preciso achar os termos u15 , u14 e u13 .
   a e
Pronto!




   F´cil, n˜o?
    a      a
Exerc´
     ıcios



   Otimizar a seguinte recorrˆncia:
                             e

                           rn+1 = rn − 2rn−2

                                 r1 = 1
                                 r2 = 1
                                 r3 = 0
Exerc´
     ıcios


   ´
   E poss´ otimizar a seguinte recorrˆncia apenas com as
         ıvel                          e
   informa¸˜es dadas abaixo?
          co
   Se sim, otimize-a. Se n˜o, explique o porquˆ.
                          a                   e

                     cn = cn−1 + 3cn−3 − 2cn−5


                               c1 = 0
                               c3 = 2
                               c5 = 3
Exerc´
     ıcios




   Encontre o termo geral para a sequˆncia de Fibonacci.
                                     e

   (Cada termo da sequˆncia de Fibonacci ´ conseguido somando-se
                       e                  e
   os dois termos imediatamente anteriores. Os termos iniciais s˜o 0
                                                                a
   e 1.)
Bibliografia e referˆncias
                   e




      Arquivo pessoal do Jedson: Anota¸˜es das aulas do prof.
                                      co
      Rafael, UFC - DEMA, Matem´tica Finita (2011)
                                  a
      Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik:
      Matem´tica concreta, Reading, Massachusetts:
            a
      Addison-Wesley (1994)

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Equação de Recorrência - I (Otimização)

  • 1. Otimiza¸˜o de equa¸˜es de ca co recorrˆncia lineares e Jedson B. Guedes http://jedsonguedes.wordpress.com
  • 2. Neste texto ser´ apresentada uma maneira de se otimizar uma a equa¸˜o de recorrˆncia linear a coeficientes constantes, ca e homogˆnea. e Exemplos: cn = cn−1 + 3cn−3 − 2cn−5 un = un−1 + un−2 rn+1 = rn + rn−2
  • 3. Passos para otimiza¸˜o - Polinˆmio Caraceter´ ca o ıstico Seja un = a1 un−1 + a2 un−2 + . . . + ak un−k , n≥k com ai constante, i=1...k e supondo conhecidos os k primeiros termos u0 , . . . , uk−1 . O polinˆmio caracter´ o ıstico de (un ) ´ definido como e p(x) = x k − a1 x k−1 − a2 x k−2 − . . . − ak x 0 k = ordem da recorrˆncia e
  • 4. Passos para otimiza¸˜o - Polinˆmio Caraceter´ ca o ıstico 1un − a1 un−1 − . . . − ak un−k = 0 Destacados em azul os coeficientes dos x k , x k−1 , ..., x k−k , respectivamente.
  • 5. Passos para otimiza¸˜o - Polinˆmio Caraceter´ ca o ıstico ´ Pelo Teorema Fundamental da Algebra, sabemos que a equa¸˜o ca caracter´ ıstica de um polinˆmio p(x) ´: o e p(x) = (x − r1 )m1 (x − r2 )m2 . . . (x − rp )mp , p≤k sendo r1 , r2 , . . . , rp as p ra´ distintas de p(x). ızes Com mi = multiplicidade de ri .
  • 6. Passos para otimiza¸˜o - O somat´rio! ca o Utilizaremos o seguinte somat´rio para otimizar equa¸˜es de o co recorrˆncia lineares a coeficientes constantes, homogˆneas. e e p un = Qj (n)rjn j=1 onde Qj (n) ´ um polinˆmio em n “geral” de grau ≤ mj − 1 e r e o indica uma raiz.
  • 7. Passos para otimiza¸˜o - O somat´rio! ca o Os coeficientes de Qj (n) s˜o obtidos a partir de um sistema linear a constru´ com os valores dos termos iniciais da recorrˆncia. ıdo e A partir da´ ´ preciso basicamente resolver tal sistema e substituir ı, e os valores encontrados, realizando as trocas de vari´veis a necess´rias. a
  • 8. Exemplo Otimizar a seguinte equa¸˜o de recorrˆncia: ca e un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 , n≥3 u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2
  • 9. Exemplo (1) Achar (un ); O grau ´ 3. Precisaremos, pois, mais a frente, dos trˆs primeiros e e valores de (un ). Sabemos que u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2. Aplicando tais valores na recorrˆncia dada, achamos os seguintes termos de e (un ): un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 ⇓ u3 = 5u3−1 − 8u3−2 + 4u3−3 ⇓ u3 = 5u2 − 8u1 + 4u0 ⇓ u3 = 5 · 2 − 8 · 1 + 4 · 0 ⇓ u3 = 2
  • 10. Exemplo Assim, se continuarmos o processo, acharemos: (un ) = {0, 1, 2, 2, −2, . . . } Fazer isto ´ aconselh´vel por ajudar a verificar facilmente se h´ um e a a erro.
  • 11. Exemplo (2) Construir o polinˆmio caracter´ o ıstico p(x); De forma suscinta, pode-se dizer que para montar o polinˆmio o caracter´ ıstico p(x) come¸amos colocando a inc´gnita, aqui c o chamada de x, elevada ` ordem da equa¸˜o de recorrˆncia. a ca e Neste caso, n=3. Assim, o primeiro termo de p(x) ser´ x 3 . a
  • 12. Exemplo A partir disto, as inc´gnitas seguintes ter˜o sempre como expoente o a o grau anterior decrescido de uma unidade. E seus coeficientes, ser˜o a (−1)×(o coeficiente do respectivo termo da eq. de recorrˆncia). e
  • 13. Exemplo Neste exemplo, 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 . O coeficiente de un−1 ´ 5. e Multiplicando-o por (-1), descobrimos que a pr´xima parcela do o polinˆmio ser´ −5x o a 2. Utiliza-se racioc´ an´logo aos demais. Desta forma, temos, ınio a neste caso, p(x) = x 3 − 5x 2 + 8x − 4
  • 14. Exemplo Este polinˆmio, por´m, n˜o est´ na forma o e a a p(x) = (x − r1 )m1 (x − r2 )m2 . . . (x − rp )mp , p≤k
  • 15. Exemplo Para o deixarmos assim, basta dividi-lo por (x − ri ), em que ri ´ e uma de suas ra´ ızes. p(x) ← p(x)/(x − ri ) A multiplicidade de cada raiz ´ que dir´ o expoente de cada termo e a (x − ri ).
  • 16. Exemplo Facilmente verifica-se que 1 ´ raiz de p(x). e Quando dividirmos este polinˆmio por (x − 1) teremos como o quociente outro polinˆmio: o x 2 − 4x + 4 E como resto: 0. Assim, 1 ´ mesmo raiz de p(x) = x 3 − 5x 2 + 8x − 4, e sua e multiplicidade ´ 1. e
  • 17. Exemplo Seguindo o processo, dividiremos este novo polinˆmio por (x − ri ). o Vale salientar que este ri ´ uma raiz do novo polinˆmio. e o
  • 18. Exemplo O n´mero 2 ´ raiz de x 2 − 4x + 4. u e Dividindo, pois, x 2 − 4x + 4 por (x − 2), encontramos como quociente x − 2 e resto 0. O n´mero 2, portanto, ´ raiz. u e Novamente seguindo em frente com o processo, procuramos por uma raiz de x − 2 e encontramos o n´mero 2 novamente. O u n´mero 2 ´ raiz duas vezes do polinˆmio inicial. u e o Assim, ele tem multiplicidade 2.
  • 19. Exemplo Temos, portanto p(x) = (x − 1)1 · (x − 2)2 .
  • 20. Exemplo p n 3) Agora, usando un = j=1 Qj (n)rj , chegamos a ter un = Q1 (n) · 1n + Q2 (n) · 2n
  • 21. Exemplo Lembremos que p un = Qj (n)rjn j=1 e que Qj (n) ´ um polinˆmio em n “geral” de grau ≤ mj − 1 e r e o indica uma raiz. (4) Reescrevamos cada polinˆmio Qj (n) usando λi . o Q1 (n) = λ0 Q2 (n) = λ1 · n1 + λ2 Assim, un pode ser escrito da seguinte forma: un = λ0 · 1n + (λ1 · n + λ2 ) · 2n
  • 22. Exemplo (5) Monte um sistema de equa¸˜es. co Usando os valores iniciais dos primeiros termos  λ0 + (λ1 · 0 + λ2 ) · 20 = 0, para n=0  λ0 + (λ1 · 1 + λ2 ) · 21 = 1, para n=1 λ0 + (λ1 · 2 + λ2 ) · 22 = 2, para n=2 
  • 23. Exemplo (6) Resolvendo este sistema de equa¸˜es, encontramos: co   λ0 = −2 1 λ = −2  1 λ2 = 2
  • 24. Exemplo (7) Subsitituindo os valores dos λ’s, n un = −2 + (− + 2) · 2n 2
  • 25. Exemplo Trocando em mi´dos, a equa¸˜o acima ´ idˆntica ` inicial. Assim, u ca e e a n un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 ≡ un = −2 + (− + 2) · 2n 2 Desta forma, se quero achar o 16o termo da sequˆncia (n=16), e n˜o ´ preciso achar os termos u15 , u14 e u13 . a e
  • 26. Pronto! F´cil, n˜o? a a
  • 27. Exerc´ ıcios Otimizar a seguinte recorrˆncia: e rn+1 = rn − 2rn−2 r1 = 1 r2 = 1 r3 = 0
  • 28. Exerc´ ıcios ´ E poss´ otimizar a seguinte recorrˆncia apenas com as ıvel e informa¸˜es dadas abaixo? co Se sim, otimize-a. Se n˜o, explique o porquˆ. a e cn = cn−1 + 3cn−3 − 2cn−5 c1 = 0 c3 = 2 c5 = 3
  • 29. Exerc´ ıcios Encontre o termo geral para a sequˆncia de Fibonacci. e (Cada termo da sequˆncia de Fibonacci ´ conseguido somando-se e e os dois termos imediatamente anteriores. Os termos iniciais s˜o 0 a e 1.)
  • 30. Bibliografia e referˆncias e Arquivo pessoal do Jedson: Anota¸˜es das aulas do prof. co Rafael, UFC - DEMA, Matem´tica Finita (2011) a Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik: Matem´tica concreta, Reading, Massachusetts: a Addison-Wesley (1994)