O documento apresenta uma metodologia para otimizar equações de recorrência lineares com coeficientes constantes. Os passos incluem a definição do polinômio característico e a utilização de raízes para encontrar uma expressão geral da sequência. Exemplos práticos são dados para ilustrar a aplicação do método em casos específicos de recorrências.

1. Otimiza¸˜o de equa¸˜es de
ca co
recorrˆncia lineares
e
Jedson B. Guedes
http://jedsonguedes.wordpress.com

2. Neste texto ser´ apresentada uma maneira de se otimizar uma
a
equa¸˜o de recorrˆncia linear a coeficientes constantes,
ca e
homogˆnea.
e
Exemplos:
cn = cn−1 + 3cn−3 − 2cn−5
un = un−1 + un−2
rn+1 = rn + rn−2

3. Passos para otimiza¸˜o - Polinˆmio Caraceter´
ca o ıstico
Seja
un = a1 un−1 + a2 un−2 + . . . + ak un−k , n≥k
com ai constante, i=1...k e supondo conhecidos os k primeiros
termos u0 , . . . , uk−1 .
O polinˆmio caracter´
o ıstico de (un ) ´ definido como
e
p(x) = x k − a1 x k−1 − a2 x k−2 − . . . − ak x 0
k = ordem da recorrˆncia
e

4. Passos para otimiza¸˜o - Polinˆmio Caraceter´
ca o ıstico
1un − a1 un−1 − . . . − ak un−k = 0
Destacados em azul os coeficientes dos x k , x k−1 , ..., x k−k ,
respectivamente.

5. Passos para otimiza¸˜o - Polinˆmio Caraceter´
ca o ıstico
´
Pelo Teorema Fundamental da Algebra, sabemos que a equa¸˜o
ca
caracter´
ıstica de um polinˆmio p(x) ´:
o e
p(x) = (x − r1 )m1 (x − r2 )m2 . . . (x − rp )mp , p≤k
sendo r1 , r2 , . . . , rp as p ra´ distintas de p(x).
ızes
Com mi = multiplicidade de ri .

6. Passos para otimiza¸˜o - O somat´rio!
ca o
Utilizaremos o seguinte somat´rio para otimizar equa¸˜es de
o co
recorrˆncia lineares a coeficientes constantes, homogˆneas.
e e
p
un = Qj (n)rjn
j=1
onde Qj (n) ´ um polinˆmio em n “geral” de grau ≤ mj − 1 e r
e o
indica uma raiz.

7. Passos para otimiza¸˜o - O somat´rio!
ca o
Os coeficientes de Qj (n) s˜o obtidos a partir de um sistema linear
a
constru´ com os valores dos termos iniciais da recorrˆncia.
ıdo e
A partir da´ ´ preciso basicamente resolver tal sistema e substituir
ı, e
os valores encontrados, realizando as trocas de vari´veis
a
necess´rias.
a

8. Exemplo
Otimizar a seguinte equa¸˜o de recorrˆncia:
ca e
un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 , n≥3
u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2

9. Exemplo
(1) Achar (un );
O grau ´ 3. Precisaremos, pois, mais a frente, dos trˆs primeiros
e e
valores de (un ). Sabemos que u0 = 0, u1 = 1 e u2 = 2. Aplicando
tais valores na recorrˆncia dada, achamos os seguintes termos de
e
(un ):
un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3
⇓
u3 = 5u3−1 − 8u3−2 + 4u3−3
⇓
u3 = 5u2 − 8u1 + 4u0
⇓
u3 = 5 · 2 − 8 · 1 + 4 · 0
⇓
u3 = 2

10. Exemplo
Assim, se continuarmos o processo, acharemos:
(un ) = {0, 1, 2, 2, −2, . . . }
Fazer isto ´ aconselh´vel por ajudar a verificar facilmente se h´ um
e a a
erro.

11. Exemplo
(2) Construir o polinˆmio caracter´
o ıstico p(x);
De forma suscinta, pode-se dizer que para montar o polinˆmio
o
caracter´
ıstico p(x) come¸amos colocando a inc´gnita, aqui
c o
chamada de x, elevada ` ordem da equa¸˜o de recorrˆncia.
a ca e
Neste caso, n=3.
Assim, o primeiro termo de p(x) ser´ x 3 .
a

12. Exemplo
A partir disto, as inc´gnitas seguintes ter˜o sempre como expoente
o a
o grau anterior decrescido de uma unidade.
E seus coeficientes, ser˜o
a
(−1)×(o coeficiente do respectivo termo da eq. de recorrˆncia).
e

13. Exemplo
Neste exemplo, 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 .
O coeficiente de un−1 ´ 5.
e
Multiplicando-o por (-1), descobrimos que a pr´xima parcela do
o
polinˆmio ser´ −5x
o a 2.
Utiliza-se racioc´ an´logo aos demais. Desta forma, temos,
ınio a
neste caso,
p(x) = x 3 − 5x 2 + 8x − 4

14. Exemplo
Este polinˆmio, por´m, n˜o est´ na forma
o e a a
p(x) = (x − r1 )m1 (x − r2 )m2 . . . (x − rp )mp , p≤k

15. Exemplo
Para o deixarmos assim, basta dividi-lo por (x − ri ), em que ri ´
e
uma de suas ra´
ızes.
p(x) ← p(x)/(x − ri )
A multiplicidade de cada raiz ´ que dir´ o expoente de cada termo
e a
(x − ri ).

16. Exemplo
Facilmente verifica-se que 1 ´ raiz de p(x).
e
Quando dividirmos este polinˆmio por (x − 1) teremos como
o
quociente outro polinˆmio:
o
x 2 − 4x + 4
E como resto: 0.
Assim, 1 ´ mesmo raiz de p(x) = x 3 − 5x 2 + 8x − 4, e sua
e
multiplicidade ´ 1.
e

17. Exemplo
Seguindo o processo, dividiremos este novo polinˆmio por (x − ri ).
o
Vale salientar que este ri ´ uma raiz do novo polinˆmio.
e o

18. Exemplo
O n´mero 2 ´ raiz de x 2 − 4x + 4.
u e
Dividindo, pois, x 2 − 4x + 4 por (x − 2), encontramos como
quociente x − 2 e resto 0.
O n´mero 2, portanto, ´ raiz.
u e
Novamente seguindo em frente com o processo, procuramos por
uma raiz de x − 2 e encontramos o n´mero 2 novamente. O
u
n´mero 2 ´ raiz duas vezes do polinˆmio inicial.
u e o
Assim, ele tem multiplicidade 2.

19. Exemplo
Temos, portanto
p(x) = (x − 1)1 · (x − 2)2
.

20. Exemplo
p n
3) Agora, usando un = j=1 Qj (n)rj , chegamos a ter
un = Q1 (n) · 1n + Q2 (n) · 2n

21. Exemplo
Lembremos que
p
un = Qj (n)rjn
j=1
e que Qj (n) ´ um polinˆmio em n “geral” de grau ≤ mj − 1 e r
e o
indica uma raiz.
(4) Reescrevamos cada polinˆmio Qj (n) usando λi .
o
Q1 (n) = λ0
Q2 (n) = λ1 · n1 + λ2
Assim, un pode ser escrito da seguinte forma:
un = λ0 · 1n + (λ1 · n + λ2 ) · 2n

22. Exemplo
(5) Monte um sistema de equa¸˜es.
co
Usando os valores iniciais dos primeiros termos
 λ0 + (λ1 · 0 + λ2 ) · 20 = 0, para n=0

λ0 + (λ1 · 1 + λ2 ) · 21 = 1, para n=1
λ0 + (λ1 · 2 + λ2 ) · 22 = 2, para n=2


23. Exemplo
(6) Resolvendo este sistema de equa¸˜es, encontramos:
co

 λ0 = −2
1
λ = −2
 1
λ2 = 2

24. Exemplo
(7) Subsitituindo os valores dos λ’s,
n
un = −2 + (− + 2) · 2n
2

25. Exemplo
Trocando em mi´dos, a equa¸˜o acima ´ idˆntica ` inicial. Assim,
u ca e e a
n
un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 ≡ un = −2 + (− + 2) · 2n
2
Desta forma, se quero achar o 16o termo da sequˆncia (n=16),
e
n˜o ´ preciso achar os termos u15 , u14 e u13 .
a e

26. Pronto!
F´cil, n˜o?
a a

27. Exerc´
ıcios
Otimizar a seguinte recorrˆncia:
e
rn+1 = rn − 2rn−2
r1 = 1
r2 = 1
r3 = 0

28. Exerc´
ıcios
´
E poss´ otimizar a seguinte recorrˆncia apenas com as
ıvel e
informa¸˜es dadas abaixo?
co
Se sim, otimize-a. Se n˜o, explique o porquˆ.
a e
cn = cn−1 + 3cn−3 − 2cn−5
c1 = 0
c3 = 2
c5 = 3

29. Exerc´
ıcios
Encontre o termo geral para a sequˆncia de Fibonacci.
e
(Cada termo da sequˆncia de Fibonacci ´ conseguido somando-se
e e
os dois termos imediatamente anteriores. Os termos iniciais s˜o 0
a
e 1.)

30. Bibliografia e referˆncias
e
Arquivo pessoal do Jedson: Anota¸˜es das aulas do prof.
co
Rafael, UFC - DEMA, Matem´tica Finita (2011)
a
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik:
Matem´tica concreta, Reading, Massachusetts:
a
Addison-Wesley (1994)