O documento descreve um trabalho sobre ensino de trigonometria realizado por duas alunas sob orientação de uma professora. O trabalho propõe uma forma de ensinar trigonometria enfatizando sua aplicação na resolução de problemas do dia a dia utilizando recursos tecnológicos. O documento também apresenta conceitos históricos e aplicações da trigonometria em diferentes áreas.

1. TRIGONOMETRIA

2. O presente trabalho foi realizado pelas alunas Cristiane Teixeira Maciel Barreiras e Marcia Cristina de Sá Sousa, sob a orientação da professora Rosangela Figueira Dornas, e tem por finalidade propor uma forma de ensino da trigonometria, procurando enfatizar sua aplicação na resolução de problemas do dia a dia e utilizando recursos tecnológicos como ferramenta de apoio. Rio de Janeiro, 15 de junho de 2009. Trigonometria na escola, no trabalho e em todo lugar.

9. Aplicações MENU LARGURA DO RIO ALTURA DO PRÉDIO SOMBRA DE UMA ÁRVORE

10. Aplicações MENU Aplicação 1 - LARGURA DO RIO Na figura, temos a ilustração do trecho de um rio. De acordo com as informações indicadas, qual a largura do rio neste trecho? Aplicação 2 Aplicação 3

11. Aplicações MENU Aplicação 2 – ALTURA DO PRÉDIO Aplicação 3 Aplicação 1 (Esam-RN) Um observador de 1,80 metro de altura a 100 m de distância da base de um prédio vê o topo desse prédio sob um ângulo de 30º com a horizontal, conforme mostra a figura. Sabendo que os olhos do observador estão a 1,70 m do solo, qual é aproximadamente a altura h do prédio?

12. Aplicações MENU Aplicação 3 – SOMBRA DE UMA ÁRVORE Aplicação 1 Aplicação 2 Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o Sol esta 30º acima do horizonte?

13. Mais aplicações TEODOLITO O teodolito é um instrumento de medir ângulos usado, geralmente, por agrimensores e construtores para calcular grandes distâncias ou alturas inacessíveis. À primeira vista, parece com uma máquina fotográfica montada sobre um tripé, e a pessoa que usa esse instrumento carrega sempre uma trena. Pra efetuar essas medidas, o agrimensor utiliza-se do conceito de tangente de um ângulo agudo.

14. Mais aplicações Construção de um teodolito Material: - pedaço de papelão grosso (o melhor é aquele que é ondulado por dentro) de aproximadamente 10 cm x 15 cm; - um pedaço de barbante de aproximadamente 20 cm; - um canudo de plástico; - um peso de linha de pesca ou moeda ou uma argola de metal; - um desenho ou cópia xerográfica de um transferidor de 180º; - fita adesiva; - cola.

15. Mais aplicações Construção de um teodolito (continuação) Como construir: Usando a fita adesiva, prenda o canudo na borda do papelão. Cole o desenho do transferidor logo abaixo do canudo. Amarre o peso numa extremidade do barbante. Com cuidado, faça um pequeno furo, transpassando o papelão, bem no encontro da linha de fé do transferidor com a linha que marca 90º. Passe por esse furo a outra extremidade do barbante, deixando o restante no mesmo lado onde está o transferidor e dê um nó bem firme.

16. Mais aplicações O teodolito construído é semelhante ao da imagem abaixo.

17. Mais aplicações Como efetuar a medição utilizando o teodolito: Agora, vamos experimentar o teodolito para realizar cálculos de grandes alturas. Para isso, necessitamos de uma trena (ou de fita métrica ou metro de carpinteiro). Afaste-se de um poste de iluminação, meça sua distância até ele e anote (cateto adjacente). Olhe pelo orifício do canudo até enxergar o topo do poste. A altura do poste corresponderá ao cateto oposto. Segure o barbante com o peso na posição em que ele parou. Anote a medida do ângulo determinado pelo barbante(na posição horizontal, o ângulo marcado é de 90º).

18. Mais aplicações Como efetuar a medição utilizando o teodolito (continuação): Procure, na tabela de razões trigonométricas, a tangente do seu ângulo de visão. Essa tangente será a razão entre a altura do poste, vista pelo observador, e a distância desse observador até o poste. Para saber a altura do poste devemos acrescentar a altura do observador(do chão até seus olhos) à altura vista por ele. Realize os cálculos e determine a altura do poste. Não se esqueça de somar a distância entre o chão e os seus olhos na altura que você determinou.

19. Mais aplicações Agora resolva: 1) Paulo, treinando o uso de um teodolito semelhante ao que você construiu, observa uma torre. Calcule a altura da torre, sabendo que o ângulo de visão de Paulo ao topo dessa torre é de 45º, que ele está a 3,5 m dela e que seus olhos estão a 1,25 m do chão. 2) Paulo, ainda treinando o uso de seu teodolito, observou o topo de um poste de 7 m, sob um ângulo de visão de 15º. Qual é a distância aproximada de Paulo até o poste? Faça outras experiências semelhantes a esta e procure calcular distâncias a partir de algum objeto do qual você conhece a altura. MENU

25. Construções no R. e C. MENU

26. BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática : ensino médio. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2004.v.1. CARDOSO, Adriano Sumar. Trigonometria : Tabela Trigonométrica . Disponível em: < http://profdrico.sites.uol.com.br/trigono2.html#c >. Acesso em: 13 jun. 2009. DOLCE, O., POMPEO, J. N. (1993) Fundamentos de Matemática Elementar 9 – Geometria Plana - 7ª Ed. São Paulo: Atual. EDUMATEC – Educação Matemática e Tecnologia Informática. Winplot – Software de Funções. Disponível em: http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_funcoes.php . Acesso em: 11 jun. 2009. Referências bibliográficas:

27. LOPES, Alice K. T. e outros (2006). Matemática – 2ª Ed. Paraná: SEED- PR. PAIVA, MANOEL (1999) Coleção base: matemática (ensino médio): volume único - 1ª Ed. São Paulo: Moderna. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. Régua e Compasso: Software de Geometria Dinâmica Gratuito. Disponível em: < http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/ > . Acesso em: 11 jun. 2009. Referências bibliográficas:

28. Anexos Anexo 1 - Profissionais que utilizam a trigonometria em seu trabalho. Anexo 2 - Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. Anexo 3 - Tabela trigonométrica. Anexo 4 - Resoluções das atividades. Anexo 5 - Atividades utilizando o software Winplot

29. Profissionais que utilizam a trigonometria em seu trabalho. A Trigonometria não se limita a estudar somente triângulos, suas aplicações abrangem outros campos de atividades como, por exemplo: - na Engenharia: construção de pontes sobre rios, envolvida com o conceito de proporcionalidade; - na Astronomia: cálculo da distância da Terra à Lua, da Terra ao Sol e do diâmetro da Terra, usando-se observações e cálculos trigonométricos; - na Agrimensura: arte de medir os campos, as terras; - na Física : estudo de deslocamento. Anexo 1

30. Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. Situação problema: Na entrada de uma loja será construída uma rampa de acesso de pessoas portadoras de deficiência física, como mostra a ilustração abaixo. A rampa deverá ser construída no final da terceira porta com 8,5 m de extensão. Altura a ser atingida é de 0,8 m. Qual deverá ser a medida do ângulo de inclinação da rampa em relação ao solo? Anexo 2

31. Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. (continuação) Resolução: Ao observarmos a rampa, percebemos que temos um triângulo retângulo com hipotenusa igual a 8,5 m e cateto oposto ao ângulo  igual a 0,8 m. Logo, devemos aplicar a razão trigonométrica seno. Assim, temos: sen  = medida do cateto oposto a  /medida da hipotenusa sen  = 0,8/ 8,5 = aproximadamente 0,0941 Ao observamos a tabela trigonométrica no seno, temos: 0,0941 entre: 0,0872 < sen  < 0,1045 Logo: 5º<  < 6º Anexo 2

32. Tabela trigonométrica Podemos tabular os valores trigonométricos dos ângulos entre 1 o e 89 o . Anexo 3

33. Tabela trigonométrica (continuação) Anexo 3

38. Anexo 5 Gráfico da função y = cos x Atividade 1: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = cos x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = cos x. c) Qual o período dessa função? Atividade 2: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 3 cos x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = 3 cos x. c) Qual o período dessa função? d) O que acontece com a função y = cos x quando acrescentamos o parâmetro 3 na função?

39. Anexo 5 Gráfico da função y = tg x Atividade 1: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = tg x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = tg x. c) Qual o período dessa função? Atividade 2: a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 2 tg x. b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = 2 tg x. c) Qual o período dessa função? d) O que acontece com a função y = tg x quando acrescentamos o parâmetro 3 na função?