A Trigonometria é um dos estudos matemáticos mais antigos da humanidade, sendo essencial para medir distâncias inacessíveis em diversas áreas como astronomia, agrimensura e navegação. A Trigonometria estuda as relações entre os lados e ângulos de um triângulo, principalmente nos triângulos retângulos onde se definem as funções seno, cosseno e tangente. A Trigonometria tem aplicações importantes em diversas ciências e no ensino fundamental é introduzida no estudo do
Este documento contém 9 exercícios sobre relações métricas em triângulos retângulos. Os exercícios envolvem aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular medidas desconhecidas, determinar áreas e utilizar relações entre catetos e hipotenusa. As respostas são fornecidas.
O documento contém 7 questões sobre ângulos em geometria para atividade em grupo. As questões incluem cálculos de medidas de ângulos, soma e subtração de ângulos, identificação de ângulos adjacentes, e determinação de valores de ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
1) O documento apresenta 15 exercícios resolvidos sobre volumes de prismas, cubos e paralelepípedos. As soluções envolvem cálculos de áreas, perímetros e aplicação de fórmulas geométricas.
2) Os exercícios abordam temas como volumes de sólidos com bases regulares e irregulares, cálculo de áreas laterais, relação entre dimensões em paralelepípedos e quantidade de tinta necessária para pintura.
3) As soluções apresentam os cálculos detalhados e
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exerciciostrigono_metria
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre semelhança de triângulos para um curso preparatório de matemática ministrado no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 08 de setembro de 2011 pelo professor Paulo Roberto Martins Berndt. Os exercícios vão de 01 a 31 e abordam problemas envolvendo semelhança entre triângulos.
1) O documento apresenta resoluções de exercícios de geometria que envolvem determinar medidas de ângulos em triângulos. As resoluções usam a propriedade de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
2) São apresentadas várias resoluções passo a passo para determinar valores de ângulos desconhecidos x, y ou z em diferentes triângulos.
3) As resoluções envolvem estabelecer equações com a soma dos ângulos e resolver para obter o valor do ângulo descon
1. A média das idades de um time de basquete é 28,2 anos. Quando o pivô de 23 anos é substituído por um jogador de 17 anos, a nova média passa a ser menor que a original.
2. A altura média de 4 ocupantes de um carro era Y. Quando 2 pessoas de altura total 2,25m saíram, a média remanescente foi 1,6m, ou seja, 0,2m menor que Y.
3. A média aritmética de 40 números era 48. Após remover os números 46 e 23,
Lista de Exercícios – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...Everton Moraes
Este documento contém 11 exercícios de matemática sobre relações métricas em triângulos retângulos e na circunferência. Os exercícios envolvem aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular valores desconhecidos, determinar medidas de lados e ângulos em figuras geométricas, e calcular comprimentos de cordas na circunferência. Há também um gabarito no final com as respostas aos exercícios.
Este documento contém 9 exercícios sobre relações métricas em triângulos retângulos. Os exercícios envolvem aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular medidas desconhecidas, determinar áreas e utilizar relações entre catetos e hipotenusa. As respostas são fornecidas.
O documento contém 7 questões sobre ângulos em geometria para atividade em grupo. As questões incluem cálculos de medidas de ângulos, soma e subtração de ângulos, identificação de ângulos adjacentes, e determinação de valores de ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
1) O documento apresenta 15 exercícios resolvidos sobre volumes de prismas, cubos e paralelepípedos. As soluções envolvem cálculos de áreas, perímetros e aplicação de fórmulas geométricas.
2) Os exercícios abordam temas como volumes de sólidos com bases regulares e irregulares, cálculo de áreas laterais, relação entre dimensões em paralelepípedos e quantidade de tinta necessária para pintura.
3) As soluções apresentam os cálculos detalhados e
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exerciciostrigono_metria
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre semelhança de triângulos para um curso preparatório de matemática ministrado no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 08 de setembro de 2011 pelo professor Paulo Roberto Martins Berndt. Os exercícios vão de 01 a 31 e abordam problemas envolvendo semelhança entre triângulos.
1) O documento apresenta resoluções de exercícios de geometria que envolvem determinar medidas de ângulos em triângulos. As resoluções usam a propriedade de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
2) São apresentadas várias resoluções passo a passo para determinar valores de ângulos desconhecidos x, y ou z em diferentes triângulos.
3) As resoluções envolvem estabelecer equações com a soma dos ângulos e resolver para obter o valor do ângulo descon
1. A média das idades de um time de basquete é 28,2 anos. Quando o pivô de 23 anos é substituído por um jogador de 17 anos, a nova média passa a ser menor que a original.
2. A altura média de 4 ocupantes de um carro era Y. Quando 2 pessoas de altura total 2,25m saíram, a média remanescente foi 1,6m, ou seja, 0,2m menor que Y.
3. A média aritmética de 40 números era 48. Após remover os números 46 e 23,
Lista de Exercícios – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...Everton Moraes
Este documento contém 11 exercícios de matemática sobre relações métricas em triângulos retângulos e na circunferência. Os exercícios envolvem aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular valores desconhecidos, determinar medidas de lados e ângulos em figuras geométricas, e calcular comprimentos de cordas na circunferência. Há também um gabarito no final com as respostas aos exercícios.
Este documento apresenta 30 exercícios de aplicação do Teorema de Pitágoras para determinar medidas desconhecidas em triângulos retângulos e não retângulos. Os exercícios envolvem cálculos de lados, alturas, distâncias e comprimentos relacionados a situações geométricas e arquitetônicas.
Este documento contém 10 questões de um simulado de matemática sobre raízes, radicais e propriedades dos números. As questões abordam tópicos como medida do lado de uma área quadrada, valor da raiz quadrada de números, aproximação de raízes, simplificação de radicais e expressões numéricas.
O documento discute equações de 1o grau e a relação com a balança. Explica que uma equação é uma igualdade entre duas expressões com pelo menos uma variável. Uma raiz de uma equação é o valor que a torna verdadeira. A balança é usada como analogia para entender equações, onde os termos com variáveis em um prato equivalem aos termos independentes no outro prato para que a balança esteja em equilíbrio.
O documento apresenta operações com frações, incluindo adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de frações. Exemplos e exercícios são fornecidos para cada operação para ajudar na compreensão do conceito. Expressões envolvendo múltiplas operações com frações também são introduzidas.
O documento apresenta um resumo de conteúdos de matemática do 3o bimestre do 9o ano, incluindo razões trigonométricas, resolução de equações e problemas envolvendo triângulos retângulos e figuras geométricas.
O documento fornece exercícios de ângulos inscritos em circunferências, pedindo para determinar a medida de ângulos ou arcos. Explica que em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos opostos são suplementares.
O documento contém 15 exercícios de matemática sobre equações do 1° grau. Os exercícios envolvem identificar equações de 1° grau, verificar se números são raízes de equações, resolver equações, calcular massas usando balanças e equações, e resolver problemas envolvendo idades e quantidades de itens.
O documento apresenta 9 exercícios sobre relações métricas em triângulos retângulos. Os exercícios envolvem aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular lados desconhecidos, determinar áreas de retângulos, calcular projeções de catetos sobre a hipotenusa, e resolver equações para valores desconhecidos. As respostas são fornecidas para cada exercício.
Mat nocoes basicas de triangulos e quadrilaterostrigono_metria
Este documento fornece uma introdução aos triângulos e quadriláteros, incluindo suas definições e classificações. É explicado que os triângulos podem ser classificados de acordo com os comprimentos de seus lados ou medidas de seus ângulos internos, e que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Quadriláteros especiais como paralelogramos, retângulos e losangos também são definidos, juntamente com a regra de que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
Mat exercicios equacao do segundo grau parte itrigono_metria
A equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau 2 da forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Este documento apresenta exercícios propostos sobre resolução de equações do segundo grau para encontrar suas raízes.
O documento apresenta 10 questões de múltipla escolha sobre relações e funções matemáticas. As questões abordam conjuntos, diagramas de funções, equações do segundo grau e operações com conjuntos e funções. O documento também fornece gabaritos para duas provas sobre o assunto.
O documento apresenta 20 exercícios sobre o Teorema de Tales para os alunos de um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul. Os exercícios envolvem a aplicação do teorema para calcular medidas de segmentos e ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de áreas de polígonos planos e regiões sombreadas. A lista está dividida em duas partes, a primeira sobre conceitos iniciais de área e a segunda sobre cálculo de área de regiões sombreadas. Cinco exercícios são apresentados em cada parte para cálculo e determinação de áreas.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1ª lista de exercícios(razão e proporção) 9º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre razão e proporção para alunos do 9o ano. A lista contém 10 exercícios que envolvem cálculos de razões entre distâncias, números de alunos, áreas de retângulos, e valores numéricos. Os exercícios também abordam o conceito de proporção e o cálculo do valor de pi.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento apresenta exercícios sobre circunferências para alunos do 6o ano. Os exercícios incluem definir termos como circunferência, raio, diâmetro e corda; identificar elementos de uma circunferência; traçar circunferências e arcos usando compasso; e completar medidas de raios e diâmetros de circunferências dados.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
Este documento fornece informações sobre polígonos, incluindo suas definições, tipos e propriedades. Polígonos são figuras planas fechadas formadas por segmentos de reta. São classificados como convexos ou côncavos e recebem nomes específicos de acordo com o número de lados, como quadriláteros, pentágonos e hexágonos. O documento também descreve propriedades específicas de quadriláteros e paralelogramos.
Quem foi hiparco e quais suas contribuições à trigonometria isabelrorig
Hiparco foi um astrônomo, cartógrafo e matemático grego do século II a.C. considerado o fundador da astronomia científica. Ele melhorou as medidas do dia e ano, catalogou 850 estrelas e descobriu a precessão dos equinócios. Também é creditado como o pai da trigonometria por elaborar a primeira tabela trigonométrica dividindo o círculo em 360 graus.
1) O documento descreve um CD contendo 302 questões de matemática sobre álgebra, porcentagem, trigonometria e estatística.
2) As questões são divididas em 6 unidades sobre esses conteúdos.
3) O CD é destinado a professores para elaboração de revisões e avaliações.
Este documento apresenta 30 exercícios de aplicação do Teorema de Pitágoras para determinar medidas desconhecidas em triângulos retângulos e não retângulos. Os exercícios envolvem cálculos de lados, alturas, distâncias e comprimentos relacionados a situações geométricas e arquitetônicas.
Este documento contém 10 questões de um simulado de matemática sobre raízes, radicais e propriedades dos números. As questões abordam tópicos como medida do lado de uma área quadrada, valor da raiz quadrada de números, aproximação de raízes, simplificação de radicais e expressões numéricas.
O documento discute equações de 1o grau e a relação com a balança. Explica que uma equação é uma igualdade entre duas expressões com pelo menos uma variável. Uma raiz de uma equação é o valor que a torna verdadeira. A balança é usada como analogia para entender equações, onde os termos com variáveis em um prato equivalem aos termos independentes no outro prato para que a balança esteja em equilíbrio.
O documento apresenta operações com frações, incluindo adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de frações. Exemplos e exercícios são fornecidos para cada operação para ajudar na compreensão do conceito. Expressões envolvendo múltiplas operações com frações também são introduzidas.
O documento apresenta um resumo de conteúdos de matemática do 3o bimestre do 9o ano, incluindo razões trigonométricas, resolução de equações e problemas envolvendo triângulos retângulos e figuras geométricas.
O documento fornece exercícios de ângulos inscritos em circunferências, pedindo para determinar a medida de ângulos ou arcos. Explica que em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos opostos são suplementares.
O documento contém 15 exercícios de matemática sobre equações do 1° grau. Os exercícios envolvem identificar equações de 1° grau, verificar se números são raízes de equações, resolver equações, calcular massas usando balanças e equações, e resolver problemas envolvendo idades e quantidades de itens.
O documento apresenta 9 exercícios sobre relações métricas em triângulos retângulos. Os exercícios envolvem aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular lados desconhecidos, determinar áreas de retângulos, calcular projeções de catetos sobre a hipotenusa, e resolver equações para valores desconhecidos. As respostas são fornecidas para cada exercício.
Mat nocoes basicas de triangulos e quadrilaterostrigono_metria
Este documento fornece uma introdução aos triângulos e quadriláteros, incluindo suas definições e classificações. É explicado que os triângulos podem ser classificados de acordo com os comprimentos de seus lados ou medidas de seus ângulos internos, e que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Quadriláteros especiais como paralelogramos, retângulos e losangos também são definidos, juntamente com a regra de que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
Mat exercicios equacao do segundo grau parte itrigono_metria
A equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau 2 da forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Este documento apresenta exercícios propostos sobre resolução de equações do segundo grau para encontrar suas raízes.
O documento apresenta 10 questões de múltipla escolha sobre relações e funções matemáticas. As questões abordam conjuntos, diagramas de funções, equações do segundo grau e operações com conjuntos e funções. O documento também fornece gabaritos para duas provas sobre o assunto.
O documento apresenta 20 exercícios sobre o Teorema de Tales para os alunos de um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul. Os exercícios envolvem a aplicação do teorema para calcular medidas de segmentos e ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de áreas de polígonos planos e regiões sombreadas. A lista está dividida em duas partes, a primeira sobre conceitos iniciais de área e a segunda sobre cálculo de área de regiões sombreadas. Cinco exercícios são apresentados em cada parte para cálculo e determinação de áreas.
Lista de exercícios de expressões envolvendo fraçõesPriscila Lourenço
Este documento apresenta uma lista de exercícios de expressões envolvendo frações para alunos do 6o ano. A lista contém 5 exercícios com diferentes expressões matemáticas envolvendo operações com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de um desafio final para os alunos resolvam. O documento também fornece as respostas corretas para cada exercício.
1ª lista de exercícios(razão e proporção) 9º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre razão e proporção para alunos do 9o ano. A lista contém 10 exercícios que envolvem cálculos de razões entre distâncias, números de alunos, áreas de retângulos, e valores numéricos. Os exercícios também abordam o conceito de proporção e o cálculo do valor de pi.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento apresenta exercícios sobre circunferências para alunos do 6o ano. Os exercícios incluem definir termos como circunferência, raio, diâmetro e corda; identificar elementos de uma circunferência; traçar circunferências e arcos usando compasso; e completar medidas de raios e diâmetros de circunferências dados.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
Este documento fornece informações sobre polígonos, incluindo suas definições, tipos e propriedades. Polígonos são figuras planas fechadas formadas por segmentos de reta. São classificados como convexos ou côncavos e recebem nomes específicos de acordo com o número de lados, como quadriláteros, pentágonos e hexágonos. O documento também descreve propriedades específicas de quadriláteros e paralelogramos.
Quem foi hiparco e quais suas contribuições à trigonometria isabelrorig
Hiparco foi um astrônomo, cartógrafo e matemático grego do século II a.C. considerado o fundador da astronomia científica. Ele melhorou as medidas do dia e ano, catalogou 850 estrelas e descobriu a precessão dos equinócios. Também é creditado como o pai da trigonometria por elaborar a primeira tabela trigonométrica dividindo o círculo em 360 graus.
1) O documento descreve um CD contendo 302 questões de matemática sobre álgebra, porcentagem, trigonometria e estatística.
2) As questões são divididas em 6 unidades sobre esses conteúdos.
3) O CD é destinado a professores para elaboração de revisões e avaliações.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
El documento presenta varios ejercicios de trigonometría relacionados con la resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones a la geometría. En cada ejercicio se describe brevemente el problema y se indica que se utilizarán teoremas como el de Pitágoras o funciones trigonométricas como seno, coseno o tangente para calcular los elementos desconocidos del triángulo.
Sugestão de aula.
Objetivos: Interpretar, desenvolver e fazer uso de modelos concretos para a resolução de problema trigonométricos. Relacionar as razões trigonométricas do triângulo retângulo.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria de triângulos retângulos, incluindo as relações entre os ângulos e os lados desses triângulos.
2) São definidas as funções seno, cosseno e tangente para ângulos agudos de um triângulo retângulo em termos dos lados do triângulo.
3) Vários exemplos ilustram como aplicar essas relações trigonométricas para resolver problemas geométricos e de engenharia.
Há uma vídeo-aula associada a estes eslaides. Veja em http://www.youtube.com/watch?v=SscYn7T-Q40
Aula apresentada aos alunos do 1.º ano do Ensino Médio do Colégio Nahim Ahmad (http://www.colegioahmad.com.br). Esta aula é trabalhada como pré-requisito antes da introdução à Física.
1) Trigonometria estuda as relações entre os lados e ângulos de triângulos retângulos.
2) Triângulos semelhantes têm lados proporcionais, se seus ângulos correspondentes são iguais.
3) Funções trigonométricas são usadas em geografia, astronomia e sistemas de navegação.
O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo: (1) a definição de círculo trigonométrico e seus quadrantes; (2) expressões para representar arcos congruentes; (3) definições e propriedades das funções seno, cosseno e tangente. O documento também fornece exemplos resolvidos de como aplicar esses conceitos em exercícios.
TRIGONOMETRIA - TEORIA, APLICAÇÕES E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PASSO A PASSODanillo Rodrigues
A Trigonometria surgiu para resolver problemas práticos de navegação e astronomia. O astrônomo grego Hiparco no século II a.C. é considerado o pai da Trigonometria por ter sistematizado relações entre elementos de triângulos. A Trigonometria relaciona medidas de lados e ângulos de triângulos e é útil para medir distâncias inacessíveis, tendo origem como extensão da Geometria.
1) O documento discute a origem do nome "Trigonometria", que vem das palavras gregas "tri" (três), "gono" (ângulo) e "metria" (medida), referindo-se à medição de ângulos e lados de triângulos.
2) Apresenta as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente e como elas relacionam os lados de um triângulo retângulo.
3) Explica a fórmula fundamental da Trigonometria, que relaciona os
O documento explica os conceitos básicos de trigonometria, incluindo a definição de trigonometria, triângulo retângulo, elementos do triângulo retângulo, teorema de Pitágoras, razões trigonométricas, valores dos ângulos e propriedades dos ângulos complementares.
Razões trigonométricas no triângulo retânguloSandra Barreto
1) O documento discute razões trigonométricas em triângulos retângulos, definindo seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
2) Também define secante, cossecante e cotangente como razões inversas de cosseno, seno e tangente, respectivamente.
3) Afirma que a razão de um ângulo agudo é igual à co-razão do outro ângulo agudo no mesmo triângulo, de acordo com a propriedade dos ângulos complementares.
O documento fornece um resumo sobre trigonometria no 9o ano. Apresenta a origem da trigonometria nos egípcios e babilônios há mais de 2000 anos atrás. Também menciona fórmulas para seno, cosseno e tangente e lista valores destes para ângulos notáveis como 30, 45 e 60 graus.
Problemas e Aplicações das Razões TrigonométricasVivian de Paula
O documento explica as razões trigonométricas no triângulo retângulo e apresenta exemplos de problemas resolvidos usando essas razões. Os problemas envolvem calcular alturas, distâncias e ângulos usando dados como tangentes e senoides de ângulos dados e as propriedades do triângulo retângulo. Aplicações práticas desses conceitos em situações do mundo real também são apresentadas.
O documento apresenta um plano de aula sobre trigonometria no triângulo retângulo, incluindo definições, breve história, atividades práticas e um projeto final para construir um teodolito caseiro e calcular distâncias inacessíveis.
Relações Trigonométricas No Triângulo RetânguloLedianeZeus
O documento discute as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Explica que a trigonometria surgiu devido a problemas de astronomia, agrimensura e navegação. Um triângulo retângulo tem um ângulo reto e dois ângulos agudos. As principais relações trigonométricas são seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, que relacionam os lados e ângulos do triângulo.
1) El documento presenta 20 ejercicios de trigonometría que involucran identidades trigonométricas, cálculos de funciones trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y ángulos en radianes y grados. 2) Los ejercicios piden mostrar identidades trigonométricas, calcular valores de funciones trigonométricas, simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas. 3) Los ejercicios involucran senos, cosenos, tangentes y ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes o 0 y
A Trigonometria estuda as relações entre os lados e ângulos de triângulos. Ela surgiu da necessidade de calcular distâncias inacessíveis e é utilizada em diversas áreas como astronomia, agrimensura e navegação. A Trigonometria se desenvolveu a partir dos estudos de povos antigos e ganhou forma definitiva com o cálculo diferencial e integral.
1) O documento descreve um capítulo sobre a história da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até seu desenvolvimento nos séculos posteriores por matemáticos indianos, árabes e europeus.
2) Hiparco da Niceia é considerado o fundador da trigonometria no século II a.C. ao introduzir medidas sexagesimais em astronomia e elaborar a primeira tabela trigonométrica.
3) A trigonometria esférica foi introduzida pelos matemáticos indianos e árab
Trigonometria – exercicios resolvidos ângulos de triângulostrigono_metria
1) A trigonometria é usada para resolver problemas envolvendo medidas de ângulos e lados de triângulos.
2) Um topógrafo usou um teodolito para medir o ângulo e a distância até um prédio e calcular sua altura.
3) A altura calculada do prédio foi de 44,75 metros.
Este documento discute os conceitos fundamentais da trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos e quaisquer, assim como a lei dos senos e cossenos. Aplica esses conceitos para resolver problemas envolvendo distâncias e ângulos.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo a definição de seno, cosseno e tangente e suas relações com os lados do triângulo. Resume a história da trigonometria desde os babilônios até os desenvolvimentos modernos e fornece exemplos para exercitar os conceitos apresentados.
O documento discute trigonometria em triângulos retângulos. Explica que a trigonometria mede as relações entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo, definindo seno, cosseno e tangente em termos de catetos e hipotenusa. Fornece exemplos numéricos de razões trigonométricas para ângulos de 30°, 45° e 60°. Contém exercícios sobre cálculos trigonométricos em triângulos retângulos.
1) A trigonometria é usada para resolver problemas envolvendo medidas de ângulos e lados de triângulos.
2) Um topógrafo usou um teodolito para medir o ângulo e distância até um prédio e calcular sua altura de 44,75m.
3) Problemas envolvendo triângulos retângulos, seno, cosseno e tangente são resolvidos usando propriedades trigonométricas.
1. O documento descreve a origem e o desenvolvimento histórico da trigonometria, desde os gregos até os séculos XVIII e XIX.
2. A trigonometria surgiu para resolver problemas de medição e cálculos astronômicos, tendo sido desenvolvida por astrônomos gregos como Hiparco de Niceia.
3. Ao longo dos séculos, matemáticos indianos, árabes e europeus contribuíram para estabelecer as principais relações e fórmulas trigonométricas,
A trigonometria estuda as relações entre os lados e ângulos de triângulos. Ela é usada em várias áreas como engenharia, física e astronomia. Na astronomia, a trigonometria permite calcular distâncias de astros e eclipses através de triângulos formados entre a Terra, Lua e Sol.
1) O documento descreve a história da trigonometria desde sua origem na Grécia Antiga até os desenvolvimentos modernos. Hiparco da Grécia é considerado o fundador da trigonometria por ter introduzido medidas sexagesimais em astronomia e elaborado a primeira tabela trigonométrica. 2) Os matemáticos hindus dos séculos V-XII estabeleceram relações fundamentais entre lados e ângulos de triângulos. 3) A trigonometria atingiu seu desenvolvimento máximo no século XIX, quando foi
Trigonometria exercícios resolvidos e teoriatrigono_metria
Pitágoras descobriu a importante propriedade de que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, conhecida como Teorema de Pitágoras. O documento explica a vida e contribuições de Pitágoras para a matemática, incluindo a descoberta e demonstração deste importante teorema.
Atividades de matemática trigonometria no triângulo retânguloWaldir Montenegro
Este documento contém 20 questões de trigonometria em triângulos retângulos. As questões envolvem cálculos de seno, cosseno e tangente para determinar medidas desconhecidas em triângulos retângulos dados em cada questão. Algumas questões também envolvem aplicações de trigonometria em situações como determinar alturas de prédios, torres e árvores.
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...eliveltonhg
Aula sobre as Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Links disponibilizados nos Slides:
- Tabela Trigonométrica:
http://www.somatematica.com.br/emedio/tabtrig.php
- Exercícios de Razões Trigonométricas: http://www.somatematica.com.br/soexercicios/razoesTrig.php
Projeto Trigonometria Cristiane Maciel E Marcia Cristinacristtm
O documento descreve um trabalho sobre ensino de trigonometria realizado por duas alunas sob orientação de uma professora. O trabalho propõe uma forma de ensinar trigonometria enfatizando sua aplicação na resolução de problemas do dia a dia utilizando recursos tecnológicos. O documento também apresenta conceitos históricos e aplicações da trigonometria em diferentes áreas.
O documento apresenta um resumo sobre trigonometria, geometria e mecânica técnica, incluindo definições de triângulos retângulos, funções trigonométricas, leis de cossenos e senos, notação científica e o sistema internacional de unidades.
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) Definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.
2) Exemplos de como estimar distâncias usando razões trigonométricas, como a distância da Terra à Lua.
3) Propriedades importantes como o Teorema Fundamental e relações entre ângulos complementares.
Este documento resume a história, conceitos e aplicações da trigonometria. Aborda os primeiros desenvolvimentos na Babilônia e Egito antigo, conceitos como graus, radianos e funções trigonométricas, e aplicações em fenômenos periódicos e tecnologia.
O documento introduz os conceitos básicos de trigonometria, incluindo o estudo de triângulos retângulos, suas partes e relações entre ângulos e lados. Apresenta o Teorema de Pitágoras que relaciona a hipotenusa ao quadrado da soma dos catetos, e fornece dois exercícios sobre aplicações de trigonometria.
O documento discute conceitos matemáticos aplicados à geomensura, incluindo:
1) Sistema angular internacional e conversões entre graus, radianos e sexagesimal
2) Trigonometria plana e relações trigonométricas em triângulos retângulos
3) Geometria analítica com distâncias entre pontos no plano cartesiano
Semelhante a Trigonometria exercicios resolvidos (20)
1) O documento apresenta as regras e propriedades da potenciação, incluindo o comportamento da base quando o expoente é par/ímpar, positivo/negativo ou zero.
2) São mostrados exemplos de cálculos de potenciação para diferentes bases e expoentes.
3) As propriedades operatórias de potenciação, como soma e multiplicação de expoentes para mesma base, são explicadas.
O documento discute conceitos básicos de número inteiro como divisores, números primos, números compostos e métodos para identificar cada um. Explica como decompor um número em seus fatores primos e calcular seus divisores.
Este documento fornece uma introdução às funções polinomiais de 2o grau. Discute como Galileu Galilei usou funções quadráticas para descrever o movimento de objetos sob a gravidade. Também define funções quadráticas como qualquer função na forma y = ax2 + bx + c, e discute como calcular e interpretar os vértices, zeros, máximos e mínimos dessas funções.
Este documento discute o cálculo de áreas de várias figuras geométricas planas, incluindo retângulos, quadrados, triângulos, paralelogramos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área de cada figura e exemplos passo-a-passo de como aplicar as fórmulas para resolver problemas.
O documento discute expressões algébricas, incluindo: 1) O uso de letras em lugar de números para representar variáveis; 2) A definição de termos algébricos; 3) Como classificar termos algébricas em racionais inteiros, racionais fracionários e irracionais. Também discute graus de monômios e polinômios, e como escrever expressões algébricas para representar situações matemáticas.
1) O documento apresenta operações com números decimais, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) É explicado que para adição e subtração os números decimais devem ser alinhados pelas casas decimais.
3) Para multiplicação, o número de casas decimais do resultado é a soma das casas decimais dos fatores.
O documento define equações do segundo grau e explica que elas podem ser escritas na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes. Ele também diferencia entre equações completas e incompletas do segundo grau e explica que as raízes de uma equação são os valores de x que tornam a equação verdadeira. Finalmente, discute a resolução de diferentes tipos de equações do segundo grau.
1. O documento define razão como o quociente entre dois números, com o primeiro número sendo o antecedente e o segundo o conseqüente.
2. Apresenta exemplos de cálculo de razões entre quantidades de alunos, valores monetários e velocidades.
3. Explica que duas razões são inversas quando o produto entre elas é igual a 1 e lista algumas razões notáveis como densidade, escala e π.
1. O documento discute as conicas como seções de um cone cortado por um plano.
2. Apresenta as equações canônicas das principais conicas - elipse, hipérbole e parábola - definindo seus elementos característicos como focos, centro e vértices.
3. Explica como escolher um sistema de coordenadas apropriado para obter as equações canônicas de cada conica.
O documento descreve a construção dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais e evoluindo para os inteiros, racionais e reais. Explica que os números irracionais surgiram da descoberta de que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como fração. Define o conjunto dos números reais como a união dos conjuntos racionais e irracionais, representando todos os pontos da reta numérica.
O documento explica o que são números decimais, frações decimais e números decimais. Detalha como transformar frações decimais em números decimais e vice-versa. Descreve as propriedades e como comparar números decimais.
O documento fornece uma introdução sobre números racionais, incluindo: 1) A definição de números racionais como frações a/b onde a e b são inteiros e b ≠ 0; 2) Os principais subconjuntos dos números racionais Q; 3) Como representar números racionais na reta numérica.
O documento explica os conceitos básicos de divisibilidade, como determinar se um número é divisível por outro através de critérios como a soma dos algarismos ou os algarismos das unidades. Além disso, apresenta os principais critérios de divisibilidade para números de 2 a 11, permitindo verificar a divisibilidade mentalmente.
Este documento discute equações de primeiro grau com duas incógnitas, como encontrar soluções para tais equações, e representá-las graficamente em um plano cartesiano. Explica como cada solução é um par ordenado (x, y) e como atribuir valores a uma das variáveis calcula o valor da outra.
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
(1) O documento apresenta exemplos resolvidos de fatoração algébrica, incluindo fatoração de trinômios quadrados perfeitos, diferenças de quadrados, trinômios de Stevin e diferenças de cubos.
(2) É dada uma observação importante sobre o uso do sinal de identidade ao invés de igualdade em casos de fatoração e produtos notáveis.
(3) Exercícios propostos de fatoração algébrica são divididos em sete categorias e uma resposta é solicitada.
1) O documento apresenta propriedades e operações com radicais, incluindo simplificação e racionalização do denominador.
2) São mostrados exemplos de como calcular radicais, aplicar propriedades como a−b=a/b e racionalizar denominadores.
3) As últimas seções tratam de simplificar expressões radicais e racionalizar denominadores dividindo o numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
1. O documento apresenta uma tabela geral de derivadas com as principais regras de diferenciação de funções.
2. São listadas as derivadas de funções como polinômios, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas.
3. A tabela serve como um resumo informal dos principais teoremas e regras gerais de cálculo diferencial.
Este documento fornece uma introdução às equações do 1o grau, discutindo igualdades, propriedades da igualdade, princípios de equivalência e como formular e identificar equações. O documento usa exemplos para ilustrar esses conceitos-chave e fornece referências bibliográficas no final.
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002trigono_metria
Problemas do primeiro grau envolvem a resolução de equações ou sistemas de equações de primeiro grau. Estes problemas transformam dados em linguagem matemática e podem ser resolvidos de forma mais simples usando o menor número possível de variáveis, preferencialmente uma única incógnita.
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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1. A Trigonometria está presente em diversas situações cotidianas, sendo
considerada um dos mais antigos estudos da humanidade. A relação das medidas de
comprimento com os valores dos ângulos surgiu da necessidade de calcular distâncias
inacessíveis, sendo os estudos relacionados à Astronomia, Agrimensura e Navegação os
primeiros a usarem as relações trigonométricas. A Trigonometria (trigono: triângulo e
metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os
lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de
90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem
valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos
triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela
relação entre os ângulos e os lados.
Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo
desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações
de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um
astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele
implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de
Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois
é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos
relacionados a situações práticas cotidianas.
Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções
trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século
XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas
aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral,
pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no
cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como
Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia,
Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.
As turmas de 9º ano do Ensino Fundamental possuem nas grades curriculares os estudos
introdutórios envolvendo a Trigonometria no Triângulo Retângulo. O professor deve
atender essa necessidade, no intuito de preparar o aluno para os conteúdos segmentares
do Ensino Médio. Deverão ser trabalhadas as posições relativas entre cateto oposto,
cateto adjacente e hipotenusa dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Na sequência,
as relações seno, cosseno e tangente serão definidas da seguinte forma:
Seno do ângulo indicado: razão entre cateto oposto e hipotenusa.
Cosseno do ângulo indicado: razão entre cateto adjacente e hipotenusa.
Tangente do ângulo indicado: razão entre cateto oposto e adjacente.
senC = a/c
cosC = b/c
tgC = a/b
senA = b/c
cosA = a/c
tgA = b/a
2. É de extrema importância discutir com os alunos a presença dos ângulos notáveis, esse
tipo de ângulo possui valores fixos e são determinantes em casos de aplicações
cotidianas. Os ângulos de 30º, 45º e 60º devem ser citados pelo professor e fixados pelos
alunos. Os valores das relações envolvendo esses ângulos são representados por uma
tabela de razões trigonométricas.
Exemplo 1
Um avião, ao decolar, sobe formando com a pista um ângulo de 30º. Após percorrer 700 metros, qual a
altura em que ele se encontra do solo? Observe o desenho do esquema:
Será usada a relação do seno em razão da altura corresponder ao cateto oposto em relação ao ângulo
de 30º e a hipotenusa corresponder ao espaço percorrido pelo avião.
3. Exemplo 2
Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo de 30º com a pista (horizontal). Na
direção do percurso existe uma torre de transmissão de energia elétrica situada a 3km do
aeroporto e com altura igual a 150 metros. Verifique se, mantendo o trajeto, o avião pode
colidir com a torre.
Esquema da situação:
Usaremos a relação da tangente
O avião não irá colidir com a torre, pois essa possui 150 metros enquanto o avião estará a
uma altura de 1700 metros.
Exemplo 3
Do ponto A, uma pessoa observa o topo de uma torre sob um ângulo de 60º. Determine a
altura da torre, sabendo que a pessoa está a 20 metros dela.
A torre tem 34 metros de altura.
4. Exemplo 4
Uma inclinação tem 40 metros de comprimento e forma com o plano horizontal um ângulo
de 30º. A que altura está situado o ponto mais alto da inclinação?
O ponto mais alto da inclinação está situado a 20 metros do solo.
Exemplo 5
Um navegador devia viajar durante duas horas, rumo nordeste, para chegar a certa ilha.
Enganou-se,e navegou duas horas rumo a norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em
quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?
Entre Norte e Nordeste existe um ângulo de 45º
Desenhe um triângulo iósceles com dois lados de comprimento 2 e ângulo de 45º entre eles
O lado desconhecido x pode ser obtido através da Lei dos Cossenos:
x² = 2² + 2² - 2*2*2*cos45º -----> x² = 8 - 8*(V2/2) -----> x² = 8 - 4*V2 ------> x² ~= 2,4 -
----> x ~= V2,4 -----> x ~= 1,5 h ---> x ~= 1 h 30 min
Resp: 1h 30 min
5. Outra solução:
Alguns valores, como são os casos de Raiz[2] ou Raiz[3], Pi, e (número de Euler), são, em
geral, supostos como conhecidos. Raiz[2]~1,41 e Raiz[3]~1,73.
Ficaríamos com o problema de resolver Raiz[2,4]
Trigonometria – Exercícios Resolvidos
6. Calcular x e y a partir dos dados da figura. Obs.: "a" e "2a" são os ângulos.
R: x = 40 m e y = 90 m
Triângulo NBA ----> tg(2a) = y/120
Triângulo MAB ----> tga = x/120
tg(2a) = 2*tga/(1 - tg²A) -----> y/120 = 2*(x/120)/[1 - (x/120)²] ----> 240*(x/120) = y*(1 - x²/14
400) ---->
2x = y*(14400 - x²)/14 400 ----> 28 800x = y*(14 400 - x²) ----> Equação I
MC² = x² + 60²
NC² = y² + 60²
MN² = MC² + NC² ----> MN² = x² = 60² + y² + 60² -----> MN² = x² + y² + 7 200
MN² = (NB - MA)² + AB² ----> MN² = (y - x)² + 120² ----> MN² = x² + y² - 2xy + 14 400
Igualando ----> -2xy + 14 400 = 7200 ----> xy = 3600 ----> y = 3600/x ----> Equação II
II em I ----> 28 800*x = (3600/x)*(14 400 - x²) ----> 28 800x² = 3 600*14 400 - 3600x² ----> 32
400x² = 3 600*14 400
x² = 1600 ----> x = 40 ----> y = 90
7. O Papagaio:
O vento conserva o fio esticado e
fazendo 60º com a horizontal. Quando
se desenrolaram 70 m de fio a que
altura estava o papagaio?
NOTA: As mãos do rapaz estão a 1,80
metros do chão, aproximadamente.
Área da Pirâmide.
A pirâmide é regular e a base tem 20
cm de lado.
Exprime a área total da pirâmide em
função de .
RESOLUÇÃO:
=20 20=400
Seja h a altura das faces laterais:
= tg
Portanto 10= h tg h=
Área de uma face lateral :
8. A= = 10h
Logo, Área das 4 Faces=4 e
Área total=400+
001. A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90°
e 60°, respectivamente. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual a 3^1/2 + 1 (raiz
quadrada de 3) + 1, determine os raios dos círculos.
9. Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinte
problema: O teodolito, é um instrumento capaz de medir ângulos, muito usado por agrimensores,
engenheiros e topógrafos no cálculo de distâncias inacessíveis. Este instrumento ótico mede
ângulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus.
Para calcular a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Ele
mediu a distância do prédio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto do
prédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a
horizontal é de 58 graus. Se a luneta do teodolito está a 1,55 m do chão, qual é a altura do prédio?
(Considere os valores aproximados: sen 58o = 0,85 e cos 58o = 0,53)
Solução: A trigonometria (trigono=triângulo + metria=medida) é o ramo da matemática que trata
das relações entre os lados e ângulos de triângulos.
Na figura a seguir, AB = CD = 1,55 é a altura do instrumento e CE = x + 1,55 é a altura do prédio.
10. No triângulo retângulo BDE formado, BE é a hipotenusa , DE = x é o cateto oposto ao ângulo de
58 graus, BD = 27 é o cateto adjacente ao ângulo de 58 graus.
Trabalhando com as razões trigonométricas seno, coseno (ou cosseno) e tangente, temos:
sen 58o = DE / BE ; cos 58o = BD / BE ; tg 58o = DE / BD = x / 27.
Como, tg 58o = sen 58o / cos 58o = 0,85 / 0,53 = 85 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter a
proporção: x / 27 = 0,85 / 0,53 = 1,6.
Daí, vem que: x = 27 × 1,6 = 43,2. Logo a altura do prédio é : 43,2 + 1,55 = 44,75 m..
Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo de
aço, esticado, liga o topo da torre até o plano, formando com o mesmo, um angulo de 60°. Qual é o
comprimento do cabo?
Solução: Temos um triângulo retângulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ângulo
de 60°.
Como o sen 60° = = 25 / x , segue que o comprimento (em metros) do cabo é :
x = 50/√3 = 50(√3)/3 .
Se considerarmos √3 = 1,7 , então x = 28,4m.
(UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.
(Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et
alli. Matemática e Vida. São Paulo, editora
Ática, 1990).
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 o
com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a
reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 o com a mesma direção AB. Seguindo
sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros,
a:
(A) 500 (B) 500√3 (C) 1.000 (D) 1.000√3
Solução: A menor distância do barco ao farol é o segmento de reta perpendicular a direção AB que
forma os triângulos retângulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distância do barco ao farol e seja x a
distância do barco ao ponto B.
A razão trigonométrica y / x é a tangente do ângulo de 60 o.
De modo análogo, a razão y / (1000 + x) é a tangente de 30 o.
11. Como a tg60 o = √3 e tg30 o = (√3) / 3 , vem que, y = x√3 .
Então, (√3) / 3 = y / (1000 + x) = (x√3) / (1000 + x).
"Multiplicando em cruz" e depois divindindo ambos os membros da equação pela √3, ficamos com
1000 + x = 3x.
Segue que , 1000 = 2x , logo x = 500.
Assim, y = 500√3. A alternativa (B) é a correta.
Nota: Considerando √3 = 1,7, teremos para resultado y = 850 m.
(PRF) Os vértices do triângulo PRF da figura abaixo representam, respectivamente, uma
papelaria, uma relojoaria e uma farmácia, estando as distâncias representadas em metro:
A distância entre a papelaria e a farmácia, em km, é:
(A) 0,0007 (B) 0,007 (C) 0.07 (D) 0,7 (E) 7,0
Solução: Seja x a medida do segmento PF. Pela lei dos cossenos: x2 = 82 + 32 - 2(8)(3)cos 60o = 64
+ 9 - 48×½ = 73 - 24 = 49. Como a raiz quadrada de 49 é 7 , vem que, x = 7 m = 0,007 km. Logo,
(B) é a alternativa correta.
De outra maneira, poderíamos usar a condição de existência do triângulo (desigualdade triangular):
|8-3| < x < |8+3|. Segue que: 5m < x < 11m. Isto implica em: 0,005km < x < 0,011km. Logo, (B) é a
opção correta.
(UEMA) Uma indústria que está se instalando às margens de uma rodovia precisa trazer energia
elétrica para as suas dependências. O local mais próximo onde há rede elétrica é um ponto
inacessível momentaneamente por meio terrestre; mas visível de onde se instalará a indústria. A
indústria contrata uma firma especializada para elaborar o projeto da linha de transmissão de
energia e essa firma, equipada com instrumentos, que possibilitam a medição de ângulos, e com
uma trena, efetua as medições constantes da figura abaixo, em que A é o ponto onde se localizará a
indústria e C é o ponto de ligação à rede elétrica já existente.
A distância em “linha reta” da indústria ao ponto de interligação à rede elétrica é ?
Solução: Construindo, no ∆ABC, a altura CH, relativa ao lado AB, temos:
12. 1000 = AH + BH = x cos 45o + y cos 60o = x√2/2 + y/2
CH = h = y sen 60o = x sen 45o, o que implica em y = x√2/√3
então, 2000 = x√2 + x√2/√3
Logo, o valor procurado, em metros, é x = (2000√3) / (√2)(√3 + 1) = (1000√6) / (√3 + 1).
Se considerarmos √6 = 2,45 e √3 = 1,732 , teremos x = 896 m.
(PUC-SP) Sabe-se que θ é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triângulo
retângulo.
Se sen θ = k+1/2, cos θ = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine a sua área.
Solução: Sendo y o cateto oposto ao ângulo e x o cateto adjacente ao ângulo, temos que:
sen θ = y /20 = k + 1/2 e cos θ = x/20 = k
Então: y = 20k + 10 e x = 20k
Usando o Teorema de Pitágoras , ficamos com: sen2 θ + cos2 θ = 1 , ou seja, (k + 1/2)2 + k2 = 1
O que implica em: 8k2 + 4k - 3 = 0
Resolvendo esta equação encontramos:
k = -1/4 - (√7)/4 (não serve)
ou
k = -1/4 + (√7)/4
Logo: x = (-5 + 5√7) cm e y = (5 + 5√7) cm
Assim, a Área = xy/2 = 150/2 = 75 cm2.
O ciclo trigonométrico é um círculo cujo centro está localizado na origem do plano cartesiano e seu
raio mede 1. É usado para ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente para arcos (ângulos)
com medidas quaisquer (maiores que 90°, por exemplo). Observe ciclo trigonométrico abaixo.
13. Calcule:
sen 150° = .....................
cos 225° = .....................
sen 1950° = ..........
Solução: A medida do raio do círculo trigonométrico é 1. Assim , as hipotenusas dos triângulos
retângulos formados pelos ângulos na figura mede 1. Como resultado, temos que o seno do ângulo
fica no eixo vertical e o cosseno fica no eixo horizontal.
Como π radianos (3,14 radianos aproximadamente) = 180 graus, fazendo uma regra de três, segue
que:
sen 150° = sen (5π/6) = 1/2
cos 225° = cos (5π/4) = (-√2) / 2
Como 1950° = 5×360° + 150°, descontando as voltas, temos:
sen 1950° = sen 150° = sen (5π/6) = 1/2.
(UERJ) Você sabia? Se o valor de x estiver expresso em radianos, os valores de sen x e cos x
podem ser representados, respectivamente, por : sen x ≅ x e cos x ≅ 1 - x2 / 2.
A partir da informação acima, assinale a opção que contém o valor máximo da expressão: sen x +
cos x.
(A) 1 (B) -1 (C)3/2 (D)-3/2
Solução: Seja a função trigonométrica f(x) = sen x + cos x.
14. Se o valor de x está expresso em radianos, então podemos considerar, aproximadamente,
f(x) = x + 1 - x2 / 2 = (-x2 / 2 )+ x + 1 , que é uma função quadrática (polinômio do segundo grau).
Temos que o valor máximo de uma função f(x) = ax2 + bx + c , é -∆ / 4a, onde ∆ = b2 - 4ac.
Calculando delta encontramos ∆ = (1)2 - 4(-1 / 2)(1) = 3.
Assim, o valor máximo da expressão é: (-3) / 4(-1 / 2) = (-3) / (-2) = 3 / 2. Logo, (C) é a alternativa
correta.
1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen
30º)
15. 2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela
con 60º)
3. Observando a figura seguinte, determine:
16. 4. Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um ângulo de
inclinação de 60º (ver figura). Determinar a altura do foguete após
4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante.
Trigonometria no triângulo retângulo 1
1) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x
a) b)
02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do
mundo.
Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em
cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o
ponto mais alto da torre em relação ao solo?
(dados: sen 74º = 0,96¸ cos 74º = 0,28 e tg74º = 3,4)
a) 55 m b) 15 m c) 45 m d) 42 m e) 51 m
17. 03) (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma
parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4√3 m e o vão entre elas é de 12
m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.
05) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x
AD = x DC = x - 38 BD = y
06) Com base na figura abaixo é correto afirmar:
01. h = √2 m
02. h = √3 m
04. a = (1 + √3) m
08. O triângulo ACD é isósceles
16. O lado AC mede 6 m
07) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um
coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória.
Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é
a distância do barco à costa?
(sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)
08) Determine o valor de x e y na figura abaixo:
09) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema
abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
18. a) b cos α b) a cos α c) a sen α d) b tg α e) b sen α
10) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5
km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto
D. A partir destes dados, assinale o que for correto.
01. AC = 10 km
02. AD = 2,5 km
04. BC = 5√3 km
08. O ângulo BÂD mede 60°
16. A velocidade média do barco é de 15 km/h
11) 9 cm, o segmento (CEFET-PR) Se na figura abaixo AB = DF mede, em cm:
a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6
2 2
12) (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos α)x – (4cosαsen β)x + (3/2)sen β= 0, sendo α e β
os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.
19. Pode-se afirmar que as medidas de α e β são respectivamente:
a) π/8 e 3π/8 b) π/6 e π/3 c) π/4 e π/4 d) π/3 e π/6 e) 3π/8 e π/8
13) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC indicado pela figura abaixo:
14) (FUVEST) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um
o
ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75 e o ângulo ACB
o
mede 75 . Determine a largura do rio.
15) (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD
da figura. Conhecendo-se o ângulo α, o comprimento L do lado AB, em centímetros, é:
h = 12√3 cm y = 21 cm α = 30°