Plano de trabalho – Razões trigonométricas

FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA
FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ
COLÉGIO: C. E. GENERAL DUTRA
PROFESSOR: LUCIANE OLIVEIRA DA SILVA
MATRÍCULA: 0951237-7
SÉRIE: 9º ANO ENSINO FUNDAMENTAL
TUTOR (A): FÁBIO ALEXANDRE BENDIA MARTINS

PLANO DE TRABALHO SOBRE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Luciane Oliveira da Silva
Lucyanne_uff@yahoo.com.br

1. Introdução:

Este Plano de Trabalho foi elaborado com o objetivo de mostrar aos alunos do
9 º ano do Ensino fundamental os conceitos básicos necessários ao início do estudo da
trigonometria. É indicada para ser utilizada em sala de aula, como reforço ao estudo do
conteúdo.
A tônica desta aula é ajudar o aluno a construir, desenvolver e aplicar idéias e
conceitos da trigonometria, sempre compreendendo e atribuindo significados ao que
está fazendo, buscando relacionar a aplicação dos conceitos à sua vida cotidiana.
Foi produzido de forma a conter recursos visuais que levassem os alunos a ter
uma oportunidade de visualizar de forma agradável o conteúdo estudado e
consequentemente compreender os valores definidos na tabela trigonométrica.
A trigonometria (do grego: tri = três; gono = ângulos; metrien = medição) é um
ramo da Matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de
um triângulo retângulo. É amplamente empregada na navegação, na aviação, na
topografia e etc. É indispensável à engenharia e à Física.
Todas as tarefas envolvem ligações com os conhecimentos já adquiridos, mas
também com as técnicas e compreensão de conceitos algébricos como a resolução de
equações. Os problemas escolhidos partem de contextos reais, mas também de assuntos
matemáticos que precisam ser lembrados e aprofundados.

2. Estratégias adotadas no Plano de Trabalho:

As tarefas que proponho visam contribuir para “desenvolver nos alunos a
linguagem e o pensamento algébricos, bem como a capacidade de interpretar,
representar e resolver problemas usando procedimentos algébricos e de utilizar estes
conhecimentos e capacidades na exploração e modelação de situações em contextos
diversos”.
Definimos o seno de um ângulo agudo como sendo a razão entre a medida do
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo considerado,
enquanto que o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto
adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo considerado. Baseados
nisso, podemos escrever que a tangente de um ângulo agudo pode ser definida como
sendo a razão entre o seno e o cosseno do ângulo, ou seja, é a razão entre o cateto
oposto e o cateto adjacente a esse ângulo.

Dizendo de outra maneira, a tangente, o seno e o cosseno de um ângulo
independem dos triângulos considerados. Desenvolver essas três novas relações traz um
ganho substancial à matemática, visto que a partir deste momento conseguimos
relacionar as medidas dos lados de um triângulo com os seus ângulos. Este fato
propiciou à antiguidade solucionar vários problemas de cunho astronômico, desen-
volvendo, por exemplo, a navegação. Distâncias improváveis de serem mensuradas,
agora se resumiam a observações de ângulos, consulta a tabelas e alguns cálculos. A
matemática descobria um de seus ramos mais frutíferos, que se aplica diretamente a
várias outras ciências.
Primeiramente, o professor deve apresentar o desafio do copo com o
canudinho plástico. Este problema visa estimular os alunos a pensar em estratégias para
encontrar o tamanho do canudo. Após os alunos discutirem e apresentarem suas
hipóteses, o professor deve apresentar o contexto histórico da trigonometria. Apresentar
também, as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) no círculo trigonométrico
levando os alunos para o laboratório de informática e construindo o círculo
trigonométrico usando o programa Régua e Compasso.
Na etapa seguinte, o professor deve ensinar a construir a tabela dos ângulos
notáveis e distribuir a lista de exercícios para os alunos que vão resolvê-la baseados nos
conhecimentos adquiridos na etapa anterior.
Na terceira etapa, os alunos construirão o teodolito para fazer medições
maiores.
Na quarta etapa, os alunos farão medições na sala de aula, no pátio, na quadra
e na rua usando o teodolito construído por eles, aplicando os conhecimentos a situações
reais.

Atividade 1:

 Habilidade relacionada:

- Efetuar cálculos que envolvam operações com números reais (adição, subtração,
multiplicação, divisão e potenciação).
- Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno,
cosseno, tangente).
- Utilizar relações métricas do triângulo para resolver problemas significativos.

 Pré-requisitos:

Para desenvolver esta atividade é requerido dos alunos o conhecimento prévio de:

 Conhecer os elementos do triângulo retângulo: cateto oposto, cateto adjacente e
hipotenusa;
 Conceito de razão;
 Noções do uso dos instrumentos de medida régua e transferidor;
 Geometria do triângulo retângulo;

 Tempo de Duração:

200 minutos (4 horas/aulas).

 Recursos Educacionais Utilizados:

Para a realização destas atividades, serão necessários os seguintes recursos:

 Quadro branco;
 Caneta para quadro branco;
 Calculadora;
 Lápis e folha de aula;
 Computador;
 Software Régua e Compasso;
 Transferidor;
 Fita adesiva;
 Linha grossa;
 Chumbinho de pesca;
 Um pedaço de canudo de plástico rígido (pode ser o corpo de uma caneta usada);

 Organização da turma:

Esta tarefa será realizada em pequenos grupos (3 ou 4 participantes) para que o
trabalho seja colaborativo e que ninguém fique ocioso durante a aula e sim participando
e descobrindo o conteúdo apresentado.

 Objetivos:

Ao término das aulas, o aluno deverá ser capaz de:

 Auxiliar o aluno a encontrar as razões trigonométricas dos ângulos notáveis 30°,
45° e 60° com o auxílio da geometria.
 Investigar e reconhecer razões trigonométricas em um triângulo retângulo;
 Introduzir o estudo da função seno, cosseno e tangente, utilizando a geometria
para resolução de uma situação problema que envolva medição;
 Repensar o ensino de razões trigonométricas com o auxílio de programas
computacionais para o aprimoramento educacional dos conteúdos estudados.
 Buscar resultados favoráveis através das Tecnologias de Informação,
possibilitando diagnosticar problemas e avanços no ensino de Matemática.

 Metodologia adotada:

Para a realização destas atividades são necessários 200 minutos de aula. As
atividades estão divididas em quatro etapas.

1ª etapa:

Nesta etapa, o professor deve apresentar o desafio do copo com o canudinho
plástico.
A figura abaixo representa um copo de 15cm de altura com um canudinho
dentro. Calcule o comprimento aproximado desse canudinho sabendo que 8 cm dele
está fora do copo.

Este problema visa estimular os alunos a pensar em estratégias para encontrar
o tamanho do canudo.
Após os alunos discutirem e apresentarem suas hipóteses, o professor deve
apresentar o contexto histórico da trigonometria. Esse contexto deve ser explanado de
forma resumida e de simples entendimento por parte dos alunos. Apresentar também, as
razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) no círculo trigonométrico levando os
alunos para o laboratório de informática e construindo o círculo trigonométrico usando
o programa Régua e Compasso.
O ideal é que cada pequeno grupo de alunos tenha um computador à sua
disposição. Apesar das tarefas serem auto-instrutivas, na sala de informática, alguns
passos deverão ser observados:

 A utilização dos recursos concretos deve ser enfatizada, e acontecer, no
mínimo, em conjunto com as atividades computacionais.
 Durante a realização das tarefas, deve-se supervisionar o desenvolvimento do
aluno, intervindo no procedimento apenas quando solicitado, pois esse deve
ficar sob a responsabilidade do aprendiz por meio de sua interação com o
computador.

Cada grupo receberá a folha com o passo a passo abaixo os quais servirão de
apoio na sala de informática.

Atividade - Construir uma Circunferência Trigonométrica

Passos da construção:
1) Clicar em OPÇÕES e depois em EXIBIR GRELHA ou clicar no botão F12;

2) Usando a ferramenta RETA, construir uma reta r sobre o eixo x e uma outra
reta s sobre o eixo y;

3) Usando a ferramenta CÍRCULO COM RAIO FIXO, construir um círculo OE
de raio 1 de centro na origem do plano cartesiano;
4) Traçar uma reta t que passa pelo centro do circulo originando um ponto na
intersecção C com a circunferência;
5) Construir uma reta perpendicular u ao eixo x e outra perpendicular v ao eixo y

passando por C usando a ferramenta ;

6) Colocar um ponto na intersecção das retas v e s e chamá-lo de B;

7) Colocar um ponto na intersecção das retas r e u e chamá-lo de D;

8) Construir o ângulo COD;

9) Construir os segmentos OB e OD colocando o valor de suas medidas;

10) Construir os segmentos BC e CD tracejados;

11) Ocultar as perpendiculares u e v e mover o ponto C;

12) Construir uma reta perpendicular z ao eixo x passando por E;

13) Colocar um ponto na intersecção das retas z e t e chamá-lo de F;

14) Construir o segmento EF;
15) Mover o ponto C e verificar quais as relações trigonométricas encontramos:

16) Ocultar os pontos B, O, D, E, F e as retas perpendiculares r, s, z.

Nessa atividade, o aluno deverá perceber as relações trigonométricas no
triângulo retângulo. Conforme movemos o ponto C, o ângulo aumenta no sentido anti-
horário e diminui no sentido horário. Os detalhes do comportamento dos segmentos do
seno, do cosseno e tangente serão discutidas em sala de aula com os alunos.

2ª etapa:

Nesta etapa, o professor deve ensinar a construir a tabela dos ângulos notáveis
explicando o motivo de serem chamados de “notáveis”.

É importante que os alunos saibam montar a tabela sem que necessitem de
livros ou outros meios para encontrar os valores do seno, cosseno e tangente dos
ângulos 30º. 45º e 60º. Isto também evita a decoreba e facilita a resolução dos mais
diversos problemas que envolvam razões trigonométricas.
O professor também distribuirá a lista de exercícios abaixo para os alunos que
deverão resolvê-la baseados nos conhecimentos adquiridos na etapa anterior.

C. E. GENERAL DUTRA

Nome:________________________________________________ Nº: ______
Turma: _______ Data: ____/____/____ Profª.: Luciane Silva

Exercícios de Fixação

1. Um ônibus sobe uma rampa que forma com a horizontal um ângulo de 30º. Tendo
percorrido 500 m, o ônibus se encontra a que altura em relação à horizontal?

2. Um pára-quedista salta de um avião quando este se encontra a 1500 m de altura.
Devido à velocidade do avião e da ação do vento, o pára-quedista cai conforme indica o
segmento PA, inclinado 30º em relação a PB (conforme figura abaixo). A que distância
do ponto B o pára-quedista vai cair?

3. Sob um ângulo de depressão de 10º avista-se do alto de um farol, cuja altura é de
36m, um navio. A que distância do farol se encontra tal navio? (sen 10 º = 0,17; cos 10
º = 0,99; tg 10º = 0,18)

4. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30 º. A que
altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km?

5. A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa-
d’água a 50 m de distância. Sabemos que o ângulo formado pelas direções (caixa
d’água-casa) e (casa-bomba) é de 45º e que o ângulo formado pelas direções (bomba-
caixa d’água) e (caixa d’água-casa) é de 60º. Se pretendermos bombear água do mesmo
ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?

6. Deu cupim no pé da árvore e agora, infelizmente, será preciso derrubá-la. Antes, os
bombeiros deverão estimar sua altura para saber se, na queda, ela não atingirá as casas
vizinhas. Qual é a altura aproximada da árvore?

7. Para obter a altura do morro, os técnicos mediram os ângulos OÂT e a distância AB,
como mostra a figura.

a) Represente por y a medida desconhecida de OA. Escreva uma fórmula relacionando x
com y. Informação: tg 35º = 0,70.

b) No triângulo retângulo BOT, temos:

Agora são duas equações relacionando as incógnitas x e y. Resolva esse sistema e
encontre a altura do morro.

3ª etapa:

Na terceira etapa, os alunos construirão o teodolito rústico para fazer medições
maiores. O professor deve mostrar o vídeo do youtube encontrado no endereço
eletrônico http://www.youtube.com/watch?v=jivQJZlbCBY. O professor deve
acompanhar a construção do teodolito na sala de aula.

4ª etapa:

Nesta etapa, os alunos farão medições na sala de aula, no pátio, na quadra e na
rua usando o teodolito construído por eles, aplicando os conhecimentos a situações
reais.

Pode-se propor que os alunos elaborem situações-problemas que possam ser
resolvidas com a aplicação de teodolitos, bem como poderá incentivar os alunos a
pesquisar outras normas indicadas pela ABNT as quais tratam de situações técnicas

envolvendo a inclinação, como, por exemplo, as relacionadas à construção de vias
urbanas. Essa tarefa deverá ser complementada pela elaboração dos procedimentos para
solução dos problemas.
Essa tarefa de criação de situações-problema, também possibilita um vínculo
interdisciplinar, pois em conjunto com professores de Português, Física ou Ciências,
estes poderão contribuir na elaboração das atividades.

3. Avaliação:

A avaliação do processo consiste na auto-avaliação e/ou avaliação mútua. A
avaliação dispensa qualquer processo formal, tais como: nota, exames, etc.. Além do
mais, neste processo, tanto o professor quanto o aluno saberão suas dificuldades e,
também seus progressos. O professor pode observar a evolução do aluno, isto é, se ele
construiu seu conhecimento com relação ao que se propõe.
A avaliação levará em conta a participação de cada aluno na execução de cada
tarefa proposta, tentativa de resolução dos exercícios de fixação e entendimento do
aluno perante os conteúdos apresentados.

4. Referências:

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília – DF: MEC/SEF, 1998.

STOLF, Denise Ortigosa, Relações trigonométricas nos triângulos. Disponível
em:<http://www.colegioinovacao.com.br/cms/documentos/denise_matematica_8a_serie
_relacoes_trigonometricas_nos_triangulos.pdf > Acesso em: 30 out. 2011.

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. Disponível em:
<www.rpacisbh.com.br/temporaria/RazoesTrigonometricas-8.ppt > Acesso em: 30
out. 2011.

Noé, Marcos. Trigonometria no triângulo retângulo. Disponível em:
<http://www.brasilescola.com/matematica/trigonometria-no-triangulo-retangulo.htm>
Acesso em: 30 out. 2011.

Teodolito Rústico. Disponível em: < http://www.youtube.com/watch?v=jivQJZlbCBY>
Acesso em: 30 out. 2011.

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