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A Trigonometria está presente em diversas situações cotidianas, sendo
considerada um dos mais antigos estudos da humanidade. A relação das medidas de
comprimento com os valores dos ângulos surgiu da necessidade de calcular distâncias
inacessíveis, sendo os estudos relacionados à Astronomia, Agrimensura e Navegação os
primeiros a usarem as relações trigonométricas. A Trigonometria (trigono: triângulo e
metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os
lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de
90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem
valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos
triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela
relação entre os ângulos e os lados.
Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo
desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações
de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um
astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele
implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de
Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois
é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos
relacionados a situações práticas cotidianas.
Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções
trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século
XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas
aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral,
pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no
cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como
Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia,
Biologia, Cartografia, Navegação entre outras.
As turmas de 9º ano do Ensino Fundamental possuem nas grades curriculares os estudos
introdutórios envolvendo a Trigonometria no Triângulo Retângulo. O professor deve
atender essa necessidade, no intuito de preparar o aluno para os conteúdos segmentares
do Ensino Médio. Deverão ser trabalhadas as posições relativas entre cateto oposto,
cateto adjacente e hipotenusa dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Na sequência,
as relações seno, cosseno e tangente serão definidas da seguinte forma:
Seno do ângulo indicado: razão entre cateto oposto e hipotenusa.
Cosseno do ângulo indicado: razão entre cateto adjacente e hipotenusa.
Tangente do ângulo indicado: razão entre cateto oposto e adjacente.
senC = a/c
cosC = b/c
tgC = a/b
senA = b/c
cosA = a/c
tgA = b/a
É de extrema importância discutir com os alunos a presença dos ângulos notáveis, esse
tipo de ângulo possui valores fixos e são determinantes em casos de aplicações
cotidianas. Os ângulos de 30º, 45º e 60º devem ser citados pelo professor e fixados pelos
alunos. Os valores das relações envolvendo esses ângulos são representados por uma
tabela de razões trigonométricas.
Exemplo 1
Um avião, ao decolar, sobe formando com a pista um ângulo de 30º. Após percorrer 700 metros, qual a
altura em que ele se encontra do solo? Observe o desenho do esquema:
Será usada a relação do seno em razão da altura corresponder ao cateto oposto em relação ao ângulo
de 30º e a hipotenusa corresponder ao espaço percorrido pelo avião.
Exemplo 2
Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo de 30º com a pista (horizontal). Na
direção do percurso existe uma torre de transmissão de energia elétrica situada a 3km do
aeroporto e com altura igual a 150 metros. Verifique se, mantendo o trajeto, o avião pode
colidir com a torre.
Esquema da situação:
Usaremos a relação da tangente
O avião não irá colidir com a torre, pois essa possui 150 metros enquanto o avião estará a
uma altura de 1700 metros.
Exemplo 3
Do ponto A, uma pessoa observa o topo de uma torre sob um ângulo de 60º. Determine a
altura da torre, sabendo que a pessoa está a 20 metros dela.
A torre tem 34 metros de altura.
Exemplo 4
Uma inclinação tem 40 metros de comprimento e forma com o plano horizontal um ângulo
de 30º. A que altura está situado o ponto mais alto da inclinação?
O ponto mais alto da inclinação está situado a 20 metros do solo.
Exemplo 5
Um navegador devia viajar durante duas horas, rumo nordeste, para chegar a certa ilha.
Enganou-se,e navegou duas horas rumo a norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em
quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?
Entre Norte e Nordeste existe um ângulo de 45º
Desenhe um triângulo iósceles com dois lados de comprimento 2 e ângulo de 45º entre eles
O lado desconhecido x pode ser obtido através da Lei dos Cossenos:
x² = 2² + 2² - 2*2*2*cos45º -----> x² = 8 - 8*(V2/2) -----> x² = 8 - 4*V2 ------> x² ~= 2,4 -
----> x ~= V2,4 -----> x ~= 1,5 h ---> x ~= 1 h 30 min
Resp: 1h 30 min
Outra solução:
Alguns valores, como são os casos de Raiz[2] ou Raiz[3], Pi, e (número de Euler), são, em
geral, supostos como conhecidos. Raiz[2]~1,41 e Raiz[3]~1,73.
Ficaríamos com o problema de resolver Raiz[2,4]
Trigonometria – Exercícios Resolvidos
Calcular x e y a partir dos dados da figura. Obs.: "a" e "2a" são os ângulos.
R: x = 40 m e y = 90 m
Triângulo NBA ----> tg(2a) = y/120
Triângulo MAB ----> tga = x/120
tg(2a) = 2*tga/(1 - tg²A) -----> y/120 = 2*(x/120)/[1 - (x/120)²] ----> 240*(x/120) = y*(1 - x²/14
400) ---->
2x = y*(14400 - x²)/14 400 ----> 28 800x = y*(14 400 - x²) ----> Equação I
MC² = x² + 60²
NC² = y² + 60²
MN² = MC² + NC² ----> MN² = x² = 60² + y² + 60² -----> MN² = x² + y² + 7 200
MN² = (NB - MA)² + AB² ----> MN² = (y - x)² + 120² ----> MN² = x² + y² - 2xy + 14 400
Igualando ----> -2xy + 14 400 = 7200 ----> xy = 3600 ----> y = 3600/x ----> Equação II
II em I ----> 28 800*x = (3600/x)*(14 400 - x²) ----> 28 800x² = 3 600*14 400 - 3600x² ----> 32
400x² = 3 600*14 400
x² = 1600 ----> x = 40 ----> y = 90
O Papagaio:
O vento conserva o fio esticado e
fazendo 60º com a horizontal. Quando
se desenrolaram 70 m de fio a que
altura estava o papagaio?
NOTA: As mãos do rapaz estão a 1,80
metros do chão, aproximadamente.
Área da Pirâmide.
A pirâmide é regular e a base tem 20
cm de lado.
Exprime a área total da pirâmide em
função de .
RESOLUÇÃO:
=20 20=400
Seja h a altura das faces laterais:
= tg
Portanto 10= h tg h =
Área de uma face lateral :
A= = 10h
Logo, Área das 4 Faces=4 e
Área total=400+
001. A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90°
e 60°, respectivamente. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual a 3^1/2 + 1 (raiz
quadrada de 3) + 1, determine os raios dos círculos.
Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinte
problema: O teodolito, é um instrumento capaz de medir ângulos, muito usado por agrimensores,
engenheiros e topógrafos no cálculo de distâncias inacessíveis. Este instrumento ótico mede
ângulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus.
Para calcular a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Ele
mediu a distância do prédio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto do
prédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a
horizontal é de 58 graus. Se a luneta do teodolito está a 1,55 m do chão, qual é a altura do prédio?
(Considere os valores aproximados: sen 58o
= 0,85 e cos 58o
= 0,53)
Solução: A trigonometria (trigono=triângulo + metria=medida) é o ramo da matemática que trata
das relações entre os lados e ângulos de triângulos.
Na figura a seguir, AB = CD = 1,55 é a altura do instrumento e CE = x + 1,55 é a altura do prédio.
No triângulo retângulo BDE formado, BE é a hipotenusa , DE = x é o cateto oposto ao ângulo de
58 graus, BD = 27 é o cateto adjacente ao ângulo de 58 graus.
Trabalhando com as razões trigonométricas seno, coseno (ou cosseno) e tangente, temos:
sen 58o
= DE / BE ; cos 58o
= BD / BE ; tg 58o
= DE / BD = x / 27.
Como, tg 58o
= sen 58o
/ cos 58o
= 0,85 / 0,53 = 85 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter a
proporção: x / 27 = 0,85 / 0,53 = 1,6.
Daí, vem que: x = 27 × 1,6 = 43,2. Logo a altura do prédio é : 43,2 + 1,55 = 44,75 m..
Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo de
aço, esticado, liga o topo da torre até o plano, formando com o mesmo, um angulo de 60°. Qual é o
comprimento do cabo?
Solução: Temos um triângulo retângulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ângulo
de 60°.
Como o sen 60° = = 25 / x , segue que o comprimento (em metros) do cabo é :
x = 50/√3 = 50(√3)/3 .
Se considerarmos √3 = 1,7 , então x = 28,4m.
(UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.
(Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et
alli. Matemática e Vida. São Paulo, editora
Ática, 1990).
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 o
com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a
reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 o
com a mesma direção AB. Seguindo
sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros,
a:
(A) 500 (B) 500√3 (C) 1.000 (D) 1.000√3
Solução: A menor distância do barco ao farol é o segmento de reta perpendicular a direção AB que
forma os triângulos retângulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distância do barco ao farol e seja x a
distância do barco ao ponto B.
A razão trigonométrica y / x é a tangente do ângulo de 60 o
.
De modo análogo, a razão y / (1000 + x) é a tangente de 30 o
.
Como a tg60 o
= √3 e tg30 o
= (√3) / 3 , vem que, y = x√3 .
Então, (√3) / 3 = y / (1000 + x) = (x√3) / (1000 + x).
"Multiplicando em cruz" e depois divindindo ambos os membros da equação pela √3, ficamos com
1000 + x = 3x.
Segue que , 1000 = 2x , logo x = 500.
Assim, y = 500√3. A alternativa (B) é a correta.
Nota: Considerando √3 = 1,7, teremos para resultado y = 850 m.
(PRF) Os vértices do triângulo PRF da figura abaixo representam, respectivamente, uma
papelaria, uma relojoaria e uma farmácia, estando as distâncias representadas em metro:
A distância entre a papelaria e a farmácia, em km, é:
(A) 0,0007 (B) 0,007 (C) 0.07 (D) 0,7 (E) 7,0
Solução: Seja x a medida do segmento PF. Pela lei dos cossenos: x2
= 82
+ 32
- 2(8)(3)cos 60o
= 64
+ 9 - 48×½ = 73 - 24 = 49. Como a raiz quadrada de 49 é 7 , vem que, x = 7 m = 0,007 km. Logo,
(B) é a alternativa correta.
De outra maneira, poderíamos usar a condição de existência do triângulo (desigualdade triangular):
|8-3| < x < |8+3|. Segue que: 5m < x < 11m. Isto implica em: 0,005km < x < 0,011km. Logo, (B) é a
opção correta.
(UEMA) Uma indústria que está se instalando às margens de uma rodovia precisa trazer energia
elétrica para as suas dependências. O local mais próximo onde há rede elétrica é um ponto
inacessível momentaneamente por meio terrestre; mas visível de onde se instalará a indústria. A
indústria contrata uma firma especializada para elaborar o projeto da linha de transmissão de
energia e essa firma, equipada com instrumentos, que possibilitam a medição de ângulos, e com
uma trena, efetua as medições constantes da figura abaixo, em que A é o ponto onde se localizará a
indústria e C é o ponto de ligação à rede elétrica já existente.
A distância em “linha reta” da indústria ao ponto de interligação à rede elétrica é ?
Solução: Construindo, no ∆ABC, a altura CH, relativa ao lado AB, temos:
1000 = AH + BH = x cos 45o
+ y cos 60o
= x√2/2 + y/2
CH = h = y sen 60o
= x sen 45o
, o que implica em y = x√2/√3
então, 2000 = x√2 + x√2/√3
Logo, o valor procurado, em metros, é x = (2000√3) / (√2)(√3 + 1) = (1000√6) / (√3 + 1).
Se considerarmos √6 = 2,45 e √3 = 1,732 , teremos x = 896 m.
(PUC-SP) Sabe-se que θ é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triângulo
retângulo.
Se sen θ = k+1/2, cos θ = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine a sua área.
Solução: Sendo y o cateto oposto ao ângulo e x o cateto adjacente ao ângulo, temos que:
sen θ = y /20 = k + 1/2 e cos θ = x/20 = k
Então: y = 20k + 10 e x = 20k
Usando o Teorema de Pitágoras , ficamos com: sen2
θ + cos2
θ = 1 , ou seja, (k + 1/2)2
+ k2
= 1
O que implica em: 8k2
+ 4k - 3 = 0
Resolvendo esta equação encontramos:
k = -1/4 - (√7)/4 (não serve)
ou
k = -1/4 + (√7)/4
Logo: x = (-5 + 5√7) cm e y = (5 + 5√7) cm
Assim, a Área = xy/2 = 150/2 = 75 cm2
.
O ciclo trigonométrico é um círculo cujo centro está localizado na origem do plano cartesiano e seu
raio mede 1. É usado para ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente para arcos (ângulos)
com medidas quaisquer (maiores que 90°, por exemplo). Observe ciclo trigonométrico abaixo.
Calcule:
sen 150° = .....................
cos 225° = .....................
sen 1950° = ..........
Solução: A medida do raio do círculo trigonométrico é 1. Assim , as hipotenusas dos triângulos
retângulos formados pelos ângulos na figura mede 1. Como resultado, temos que o seno do ângulo
fica no eixo vertical e o cosseno fica no eixo horizontal.
Como π radianos (3,14 radianos aproximadamente) = 180 graus, fazendo uma regra de três, segue
que:
sen 150° = sen (5π/6) = 1/2
cos 225° = cos (5π/4) = (-√2) / 2
Como 1950° = 5×360° + 150°, descontando as voltas, temos:
sen 1950° = sen 150° = sen (5π/6) = 1/2.
(UERJ) Você sabia? Se o valor de x estiver expresso em radianos, os valores de sen x e cos x
podem ser representados, respectivamente, por : sen x ≅ x e cos x ≅ 1 - x2
/ 2.
A partir da informação acima, assinale a opção que contém o valor máximo da expressão: sen x +
cos x.
(A) 1 (B) -1 (C)3/2 (D)-3/2
Solução: Seja a função trigonométrica f(x) = sen x + cos x.
Se o valor de x está expresso em radianos, então podemos considerar, aproximadamente,
f(x) = x + 1 - x2
/ 2 = (-x2
/ 2 )+ x + 1 , que é uma função quadrática (polinômio do segundo grau).
Temos que o valor máximo de uma função f(x) = ax2
+ bx + c , é -∆ / 4a, onde ∆ = b2
- 4ac.
Calculando delta encontramos ∆ = (1)2
- 4(-1 / 2)(1) = 3.
Assim, o valor máximo da expressão é: (-3) / 4(-1 / 2) = (-3) / (-2) = 3 / 2. Logo, (C) é a alternativa
correta.
1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen
30º)
2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela
con 60º)
3. Observando a figura seguinte, determine:
4. Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um ângulo de
inclinação de 60º (ver figura). Determinar a altura do foguete após
4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante.
Trigonometria no triângulo retângulo 1
1) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x
a) b)
02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do
mundo.
Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em
cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o
ponto mais alto da torre em relação ao solo?
(dados: sen 74º = 0,96¸ cos 74º = 0,28 e tg74º = 3,4)
a) 55 m b) 15 m c) 45 m d) 42 m e) 51 m
03) (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma
parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4√3 m e o vão entre elas é de 12
m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.
05) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x
AD = x DC = x - 38 BD = y
06) Com base na figura abaixo é correto afirmar:
01. h = √2 m
02. h = √3 m
04. a = (1 + √3) m
08. O triângulo ACD é isósceles
16. O lado AC mede 6 m
07) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um
coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória.
Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é
a distância do barco à costa?
(sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)
08) Determine o valor de x e y na figura abaixo:
09) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema
abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
a) b cos α b) a cos α c) a sen α d) b tg α e) b sen α
10) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5
km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto
D. A partir destes dados, assinale o que for correto.
01. AC = 10 km
02. AD = 2,5 km
04. BC = 5√3 km
08. O ângulo BÂD mede 60°
16. A velocidade média do barco é de 15 km/h
11) 9 cm, o segmento (CEFET-PR) Se na figura abaixo AB = DF mede, em cm:
a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6
12) (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos
2
α)x
2
– (4cosαsen β)x + (3/2)sen β= 0, sendo α e β
os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.
Pode-se afirmar que as medidas de α e β são respectivamente:
a) π/8 e 3π/8 b) π/6 e π/3 c) π/4 e π/4 d) π/3 e π/6 e) 3π/8 e π/8
13) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC indicado pela figura abaixo:
14) (FUVEST) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um
ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75
o
e o ângulo ACB
mede 75
o
. Determine a largura do rio.
15) (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD
da figura. Conhecendo-se o ângulo α, o comprimento L do lado AB, em centímetros, é:
h = 12√3 cm y = 21 cm α = 30°
Exercicios de trigonometria

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Exercicios de trigonometria

  • 1. A Trigonometria está presente em diversas situações cotidianas, sendo considerada um dos mais antigos estudos da humanidade. A relação das medidas de comprimento com os valores dos ângulos surgiu da necessidade de calcular distâncias inacessíveis, sendo os estudos relacionados à Astronomia, Agrimensura e Navegação os primeiros a usarem as relações trigonométricas. A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados. Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas. Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empregada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegação entre outras. As turmas de 9º ano do Ensino Fundamental possuem nas grades curriculares os estudos introdutórios envolvendo a Trigonometria no Triângulo Retângulo. O professor deve atender essa necessidade, no intuito de preparar o aluno para os conteúdos segmentares do Ensino Médio. Deverão ser trabalhadas as posições relativas entre cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Na sequência, as relações seno, cosseno e tangente serão definidas da seguinte forma: Seno do ângulo indicado: razão entre cateto oposto e hipotenusa. Cosseno do ângulo indicado: razão entre cateto adjacente e hipotenusa. Tangente do ângulo indicado: razão entre cateto oposto e adjacente. senC = a/c cosC = b/c tgC = a/b senA = b/c cosA = a/c tgA = b/a
  • 2. É de extrema importância discutir com os alunos a presença dos ângulos notáveis, esse tipo de ângulo possui valores fixos e são determinantes em casos de aplicações cotidianas. Os ângulos de 30º, 45º e 60º devem ser citados pelo professor e fixados pelos alunos. Os valores das relações envolvendo esses ângulos são representados por uma tabela de razões trigonométricas. Exemplo 1 Um avião, ao decolar, sobe formando com a pista um ângulo de 30º. Após percorrer 700 metros, qual a altura em que ele se encontra do solo? Observe o desenho do esquema: Será usada a relação do seno em razão da altura corresponder ao cateto oposto em relação ao ângulo de 30º e a hipotenusa corresponder ao espaço percorrido pelo avião.
  • 3. Exemplo 2 Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo de 30º com a pista (horizontal). Na direção do percurso existe uma torre de transmissão de energia elétrica situada a 3km do aeroporto e com altura igual a 150 metros. Verifique se, mantendo o trajeto, o avião pode colidir com a torre. Esquema da situação: Usaremos a relação da tangente O avião não irá colidir com a torre, pois essa possui 150 metros enquanto o avião estará a uma altura de 1700 metros. Exemplo 3 Do ponto A, uma pessoa observa o topo de uma torre sob um ângulo de 60º. Determine a altura da torre, sabendo que a pessoa está a 20 metros dela. A torre tem 34 metros de altura.
  • 4. Exemplo 4 Uma inclinação tem 40 metros de comprimento e forma com o plano horizontal um ângulo de 30º. A que altura está situado o ponto mais alto da inclinação? O ponto mais alto da inclinação está situado a 20 metros do solo. Exemplo 5 Um navegador devia viajar durante duas horas, rumo nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se,e navegou duas horas rumo a norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha? Entre Norte e Nordeste existe um ângulo de 45º Desenhe um triângulo iósceles com dois lados de comprimento 2 e ângulo de 45º entre eles O lado desconhecido x pode ser obtido através da Lei dos Cossenos: x² = 2² + 2² - 2*2*2*cos45º -----> x² = 8 - 8*(V2/2) -----> x² = 8 - 4*V2 ------> x² ~= 2,4 - ----> x ~= V2,4 -----> x ~= 1,5 h ---> x ~= 1 h 30 min Resp: 1h 30 min
  • 5. Outra solução: Alguns valores, como são os casos de Raiz[2] ou Raiz[3], Pi, e (número de Euler), são, em geral, supostos como conhecidos. Raiz[2]~1,41 e Raiz[3]~1,73. Ficaríamos com o problema de resolver Raiz[2,4] Trigonometria – Exercícios Resolvidos
  • 6. Calcular x e y a partir dos dados da figura. Obs.: "a" e "2a" são os ângulos. R: x = 40 m e y = 90 m Triângulo NBA ----> tg(2a) = y/120 Triângulo MAB ----> tga = x/120 tg(2a) = 2*tga/(1 - tg²A) -----> y/120 = 2*(x/120)/[1 - (x/120)²] ----> 240*(x/120) = y*(1 - x²/14 400) ----> 2x = y*(14400 - x²)/14 400 ----> 28 800x = y*(14 400 - x²) ----> Equação I MC² = x² + 60² NC² = y² + 60² MN² = MC² + NC² ----> MN² = x² = 60² + y² + 60² -----> MN² = x² + y² + 7 200 MN² = (NB - MA)² + AB² ----> MN² = (y - x)² + 120² ----> MN² = x² + y² - 2xy + 14 400 Igualando ----> -2xy + 14 400 = 7200 ----> xy = 3600 ----> y = 3600/x ----> Equação II II em I ----> 28 800*x = (3600/x)*(14 400 - x²) ----> 28 800x² = 3 600*14 400 - 3600x² ----> 32 400x² = 3 600*14 400 x² = 1600 ----> x = 40 ----> y = 90
  • 7. O Papagaio: O vento conserva o fio esticado e fazendo 60º com a horizontal. Quando se desenrolaram 70 m de fio a que altura estava o papagaio? NOTA: As mãos do rapaz estão a 1,80 metros do chão, aproximadamente. Área da Pirâmide. A pirâmide é regular e a base tem 20 cm de lado. Exprime a área total da pirâmide em função de . RESOLUÇÃO: =20 20=400 Seja h a altura das faces laterais: = tg Portanto 10= h tg h = Área de uma face lateral :
  • 8. A= = 10h Logo, Área das 4 Faces=4 e Área total=400+ 001. A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90° e 60°, respectivamente. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual a 3^1/2 + 1 (raiz quadrada de 3) + 1, determine os raios dos círculos.
  • 9. Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinte problema: O teodolito, é um instrumento capaz de medir ângulos, muito usado por agrimensores, engenheiros e topógrafos no cálculo de distâncias inacessíveis. Este instrumento ótico mede ângulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus. Para calcular a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Ele mediu a distância do prédio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto do prédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a horizontal é de 58 graus. Se a luneta do teodolito está a 1,55 m do chão, qual é a altura do prédio? (Considere os valores aproximados: sen 58o = 0,85 e cos 58o = 0,53) Solução: A trigonometria (trigono=triângulo + metria=medida) é o ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos. Na figura a seguir, AB = CD = 1,55 é a altura do instrumento e CE = x + 1,55 é a altura do prédio.
  • 10. No triângulo retângulo BDE formado, BE é a hipotenusa , DE = x é o cateto oposto ao ângulo de 58 graus, BD = 27 é o cateto adjacente ao ângulo de 58 graus. Trabalhando com as razões trigonométricas seno, coseno (ou cosseno) e tangente, temos: sen 58o = DE / BE ; cos 58o = BD / BE ; tg 58o = DE / BD = x / 27. Como, tg 58o = sen 58o / cos 58o = 0,85 / 0,53 = 85 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter a proporção: x / 27 = 0,85 / 0,53 = 1,6. Daí, vem que: x = 27 × 1,6 = 43,2. Logo a altura do prédio é : 43,2 + 1,55 = 44,75 m.. Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo de aço, esticado, liga o topo da torre até o plano, formando com o mesmo, um angulo de 60°. Qual é o comprimento do cabo? Solução: Temos um triângulo retângulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ângulo de 60°. Como o sen 60° = = 25 / x , segue que o comprimento (em metros) do cabo é : x = 50/√3 = 50(√3)/3 . Se considerarmos √3 = 1,7 , então x = 28,4m. (UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo. (Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alli. Matemática e Vida. São Paulo, editora Ática, 1990). No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 o com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 o com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: (A) 500 (B) 500√3 (C) 1.000 (D) 1.000√3 Solução: A menor distância do barco ao farol é o segmento de reta perpendicular a direção AB que forma os triângulos retângulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distância do barco ao farol e seja x a distância do barco ao ponto B. A razão trigonométrica y / x é a tangente do ângulo de 60 o . De modo análogo, a razão y / (1000 + x) é a tangente de 30 o .
  • 11. Como a tg60 o = √3 e tg30 o = (√3) / 3 , vem que, y = x√3 . Então, (√3) / 3 = y / (1000 + x) = (x√3) / (1000 + x). "Multiplicando em cruz" e depois divindindo ambos os membros da equação pela √3, ficamos com 1000 + x = 3x. Segue que , 1000 = 2x , logo x = 500. Assim, y = 500√3. A alternativa (B) é a correta. Nota: Considerando √3 = 1,7, teremos para resultado y = 850 m. (PRF) Os vértices do triângulo PRF da figura abaixo representam, respectivamente, uma papelaria, uma relojoaria e uma farmácia, estando as distâncias representadas em metro: A distância entre a papelaria e a farmácia, em km, é: (A) 0,0007 (B) 0,007 (C) 0.07 (D) 0,7 (E) 7,0 Solução: Seja x a medida do segmento PF. Pela lei dos cossenos: x2 = 82 + 32 - 2(8)(3)cos 60o = 64 + 9 - 48×½ = 73 - 24 = 49. Como a raiz quadrada de 49 é 7 , vem que, x = 7 m = 0,007 km. Logo, (B) é a alternativa correta. De outra maneira, poderíamos usar a condição de existência do triângulo (desigualdade triangular): |8-3| < x < |8+3|. Segue que: 5m < x < 11m. Isto implica em: 0,005km < x < 0,011km. Logo, (B) é a opção correta. (UEMA) Uma indústria que está se instalando às margens de uma rodovia precisa trazer energia elétrica para as suas dependências. O local mais próximo onde há rede elétrica é um ponto inacessível momentaneamente por meio terrestre; mas visível de onde se instalará a indústria. A indústria contrata uma firma especializada para elaborar o projeto da linha de transmissão de energia e essa firma, equipada com instrumentos, que possibilitam a medição de ângulos, e com uma trena, efetua as medições constantes da figura abaixo, em que A é o ponto onde se localizará a indústria e C é o ponto de ligação à rede elétrica já existente. A distância em “linha reta” da indústria ao ponto de interligação à rede elétrica é ? Solução: Construindo, no ∆ABC, a altura CH, relativa ao lado AB, temos:
  • 12. 1000 = AH + BH = x cos 45o + y cos 60o = x√2/2 + y/2 CH = h = y sen 60o = x sen 45o , o que implica em y = x√2/√3 então, 2000 = x√2 + x√2/√3 Logo, o valor procurado, em metros, é x = (2000√3) / (√2)(√3 + 1) = (1000√6) / (√3 + 1). Se considerarmos √6 = 2,45 e √3 = 1,732 , teremos x = 896 m. (PUC-SP) Sabe-se que θ é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triângulo retângulo. Se sen θ = k+1/2, cos θ = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine a sua área. Solução: Sendo y o cateto oposto ao ângulo e x o cateto adjacente ao ângulo, temos que: sen θ = y /20 = k + 1/2 e cos θ = x/20 = k Então: y = 20k + 10 e x = 20k Usando o Teorema de Pitágoras , ficamos com: sen2 θ + cos2 θ = 1 , ou seja, (k + 1/2)2 + k2 = 1 O que implica em: 8k2 + 4k - 3 = 0 Resolvendo esta equação encontramos: k = -1/4 - (√7)/4 (não serve) ou k = -1/4 + (√7)/4 Logo: x = (-5 + 5√7) cm e y = (5 + 5√7) cm Assim, a Área = xy/2 = 150/2 = 75 cm2 . O ciclo trigonométrico é um círculo cujo centro está localizado na origem do plano cartesiano e seu raio mede 1. É usado para ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente para arcos (ângulos) com medidas quaisquer (maiores que 90°, por exemplo). Observe ciclo trigonométrico abaixo.
  • 13. Calcule: sen 150° = ..................... cos 225° = ..................... sen 1950° = .......... Solução: A medida do raio do círculo trigonométrico é 1. Assim , as hipotenusas dos triângulos retângulos formados pelos ângulos na figura mede 1. Como resultado, temos que o seno do ângulo fica no eixo vertical e o cosseno fica no eixo horizontal. Como π radianos (3,14 radianos aproximadamente) = 180 graus, fazendo uma regra de três, segue que: sen 150° = sen (5π/6) = 1/2 cos 225° = cos (5π/4) = (-√2) / 2 Como 1950° = 5×360° + 150°, descontando as voltas, temos: sen 1950° = sen 150° = sen (5π/6) = 1/2. (UERJ) Você sabia? Se o valor de x estiver expresso em radianos, os valores de sen x e cos x podem ser representados, respectivamente, por : sen x ≅ x e cos x ≅ 1 - x2 / 2. A partir da informação acima, assinale a opção que contém o valor máximo da expressão: sen x + cos x. (A) 1 (B) -1 (C)3/2 (D)-3/2 Solução: Seja a função trigonométrica f(x) = sen x + cos x.
  • 14. Se o valor de x está expresso em radianos, então podemos considerar, aproximadamente, f(x) = x + 1 - x2 / 2 = (-x2 / 2 )+ x + 1 , que é uma função quadrática (polinômio do segundo grau). Temos que o valor máximo de uma função f(x) = ax2 + bx + c , é -∆ / 4a, onde ∆ = b2 - 4ac. Calculando delta encontramos ∆ = (1)2 - 4(-1 / 2)(1) = 3. Assim, o valor máximo da expressão é: (-3) / 4(-1 / 2) = (-3) / (-2) = 3 / 2. Logo, (C) é a alternativa correta. 1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30º)
  • 15. 2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela con 60º) 3. Observando a figura seguinte, determine:
  • 16. 4. Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um ângulo de inclinação de 60º (ver figura). Determinar a altura do foguete após 4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante. Trigonometria no triângulo retângulo 1 1) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x a) b) 02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo? (dados: sen 74º = 0,96¸ cos 74º = 0,28 e tg74º = 3,4) a) 55 m b) 15 m c) 45 m d) 42 m e) 51 m
  • 17. 03) (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4√3 m e o vão entre elas é de 12 m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. 04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y. 05) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x AD = x DC = x - 38 BD = y 06) Com base na figura abaixo é correto afirmar: 01. h = √2 m 02. h = √3 m 04. a = (1 + √3) m 08. O triângulo ACD é isósceles 16. O lado AC mede 6 m 07) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36) 08) Determine o valor de x e y na figura abaixo: 09) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
  • 18. a) b cos α b) a cos α c) a sen α d) b tg α e) b sen α 10) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto. 01. AC = 10 km 02. AD = 2,5 km 04. BC = 5√3 km 08. O ângulo BÂD mede 60° 16. A velocidade média do barco é de 15 km/h 11) 9 cm, o segmento (CEFET-PR) Se na figura abaixo AB = DF mede, em cm: a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6 12) (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos 2 α)x 2 – (4cosαsen β)x + (3/2)sen β= 0, sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.
  • 19. Pode-se afirmar que as medidas de α e β são respectivamente: a) π/8 e 3π/8 b) π/6 e π/3 c) π/4 e π/4 d) π/3 e π/6 e) 3π/8 e π/8 13) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC indicado pela figura abaixo: 14) (FUVEST) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75 o e o ângulo ACB mede 75 o . Determine a largura do rio. 15) (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD da figura. Conhecendo-se o ângulo α, o comprimento L do lado AB, em centímetros, é: h = 12√3 cm y = 21 cm α = 30°