O documento apresenta uma aula sobre trigonometria no triângulo retângulo, definindo os conceitos de seno, cosseno e tangente e apresentando proposições e exercícios de resolução.

1. 2º Ano (Ensino Médio)
Trigonometria
Professor: Rangel Carvalho de Freitas

2. Trigonometria no Triângulo
Retângulo
(Aula 1)

3. .
hipotenusa
cateto
cateto
A B
C
O Triângulo Retângulo

4. Cateto adjacente a B
Cateto oposto a B
A B
C
O Triângulo Retângulo
.

5. Cateto oposto a C
Cateto adjac. a C
A B
C
O Triângulo Retângulo
.

6. Hipotenusa
Cateto oposto a B
O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de
um triângulo retângulo
A B
C
.
seno de B =
a
b
sen B =
a
b
c
⇒
Hipotenusa
Cateto oposto a C
seno de C =
a
c
sen C =⇒

7. Hipotenusa
Cateto adjac. a B
O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de
um triângulo retângulo
cosseno de B =
a
c
cos B =⇒
A B
C
.
a
b
c
Hipotenusa
Cateto adjac. a C
cosseno de C =
a
b
cos C =⇒

8. O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de
um triângulo retângulo
Cateto adjac. a B
Cateto oposto a B
tangente de B =
c
b
tg B =⇒
A B
C
.
a
b
c
Cateto adjac. a C
Cateto oposto a C
tangente de C =
b
c
tg C =⇒

9. O Seno, o cosseno e a tangente de ângulo agudo de
um triângulo retângulo
10
6
sen B =
A B
C
.
10
6
8 8
6
tg B =
Exemplo: Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos
agudos do triângulo abaixo:
10
8
cos B =
: 2
: 2
5
3
=
: 2
: 2
5
4
=
: 2
: 2
4
3
=
 Exercício: Faça o mesmo para o ângulo C.

10. Observações preliminares:
5 cm
3 cm
sen B =
A B
C
.
5 cm
3 cm
4 cm
1. As razões seno, cosseno e tangente são razões entre grandezas
da mesma espécie e, portanto, constituem um número puro;
5
3
=
O mesmo ocorre com as outras razões trigonométricas.
Exemplo:

11. Observações preliminares:
A B
C
.
2. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo somam 90º, isto é,
são complementares.
Conclusão: Os ângulos B e C são complementares.
Exemplo:
A + B + C = 180º
90º + B + C = 180º
B + C = 180º – 90º
B + C = 90º

12. Proposições
5 cm
3 cm
sen B =
A B
C
.
5 cm
3 cm
4 cm
Proposição 1.
5
3
=
Exemplo:
Em todo triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual
ao cosseno do seu complemento.
5 cm
3 cm
cos C =
5
3
=
sen B = cos C

13. Proposições
4 cm
3 cm
tg B =
A B
C
.
5 cm
3 cm
4 cm
Proposição 2.
4
3
=
Exemplo:
Em todo triângulo retângulo a tangente de um ângulo agudo
é igual ao inverso da tangente do seu complemento.
3 cm
4 cm
tg C =
3
4
=
tg B =
tg C
1

14. Proposições
tg B =
Proposição 3.
5
3
=
Exemplo:
A tangente de um ângulo (agudo, neste caso) é igual à razão
entre o seno e o cosseno do mesmo ângulo.
Matematicamente:
tg B =
cos B
sen B
tg C =
cos C
sen C
e
sen B =
5
3
cos B =
5
4
tg B =
cos B
sen B
⇒5 cm
3 cm
4 cm
A B
C
.
⇒
⇒
5
3
5
4
x
4
5
=
4
3

15. Proposições
Proposição 4 (Relação Fundamental).
No triângulo ABC, valem as seguintes relações:
sen B
2
+ cos B
2
= 1 e sen C
2
+ cos C
2
= 1
A B
C
.
a
b
c

16. Proposições
Proposição 4 (Relação Fundamental).
Prova (para o ângulo B):
A B
C
.
a
b
c
sen B
a
b
=
cos B
a
c
=
Então:
sen B
2
+ cos B
2
=
a
b
2
+
a
c
2
=
a
b
2
+
a
c
2
2 2
=
=
b
2
+
a
c
2
2 =
a
a
2
2 = 1
a
2
= b
2
+ c
2
(Teorema de Pitágoras)

17. Valores das razões seno, cosseno e tangente de
45º, 30º e 60º
30o
45o
60o
seno
cosseno
tangente
2
1
2
3
3
3
2
2
2
2
2
3
2
1
31

18. .
85º
28,6 m
Resolução de Exercícios
1. A torre Eiffel, a maior antes da era da televisão, foi concluída em 31
de março de 1889. Veja a figura e determine a altura dessa torre.
h
tg 85º =
28,6
h
11,4 =
28,6
h
11,4= 28,6h .
326,04 m≈h
cateto oposto
cateto adjacente

19. Resolução de Exercícios
2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α, como
nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se:
tg 20º =
40
h
0,36 =
40
h
40= 0,36h .
14,4 m≈h
cateto oposto
cateto adjacente
h
.
40 m
α
a) α = 20º
b) α = 40º
20º =

20. Resolução de Exercícios
2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α, como
nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se:
tg 40º =
40
h
0,83 =
40
h
40= 0,83h .
33,2 m≈h
cateto oposto
cateto adjacente
h
.
40 m
α
b) α = 40º
40º =

21. Resolução de Exercícios
3. Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma
inclinação de 30º. Sabendo-se que a escada rolante tem 12 metros
de comprimento, calcule a altura de um andar para o outro.
sen 30º =
12
h
=
12
h
12=2h
6 m=h
cateto oposto
hipotenusa
h
12 m
30º .
2
1
=h
2
12
⇒

22. .
Resolução de Exercícios
4. Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o
“caimento” do telhado é de 20º em relação ao plano horizontal.
Sabendo que, até a laje do teto a casa tem 3 m de altura, determine
a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa.
(Dados: sen 20º = 0,34 , cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,36 e ).
sen 20º =
4
x
=
4
x
4=x
1,36 m
cateto oposto
hipotenusa
0,34
0,34.
=x
20º
4
3
h
x?
h = 3 + x
h = 3 + 1,36
h = 4,36 m

23. Resolução de Exercícios
5. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º
com o solo. O comprimento do fio é de 80 m. Determine a altura da
pipa em relação do chão.
sen 45º =
80
x
=
80
x
80=2x
hipotenusa
cateto oposto
.
=x
.
x
80 m
45º
2
2
2
80 2
2
40
⇒ 40=x 2 m

24. Resolução de Exercícios
6. A 100 m da base, um observador avista a extremidade de uma torre
sob um ângulo de 60º com a horizontal. Qual a altura dessa torre?
tg 60º =
100
h
=
100
h
100=h .
3
3
100=h 3 m
.
100 m
60º
h
cateto adjacente
cateto oposto

25. Resolução de Exercícios
7. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 12 cm e um dos
catetos mede 6 cm. A medida do outro cateto é:
a) 2 cm6
b) 3 cm6
c) 2 cm8
d) 3 cm8
6 cm
12 cm
.
x
(12)
2
= 6
2
+ x
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
144 = 36 + x
2
144 – 36 = x
2
108 = x
2
⇒ x = 108 ⇒ x = 3 cm6

26. Resolução de Exercícios
8. Os dois maiores lados de um triângulo retângulo medem 12 m e
13 m. O perímetro desse triângulo é:
a) 30 cm
b) 32 cm
c) 35 cm
d) 36 cm
12 cm
13 cm
.
x
(13)
2
= (12)
2
+ x
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
169 = 144 + x
2
169 – 144 = x
2
25 = x
2
⇒ x = 25 ⇒ x = 5 cm
p = x + 13 + 12
p = 5 + 13 + 12
p = 30 cm