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ALUNO (A): Vinícius Moço da Silva Nº ______ 
PROFESSOR: CLAUZIR PAIVA NASCIMENTO 
DATA: 15/09/2014 TURMA: 9° ANO. 
ATIVIDADE DE 
MATEMÁTICA 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DO 3º TRIMESTRE: ESTUDO DA TRIGONOMETRIA 
ASSUNTO RESUMO 
Seno de um ângulo 
c o 
hip 
sen 
. 
 
Cosseno de um ângulo 
ac . . 
hip 
cos  
o c 
 
. . 
tan 
Tangente de um ângulo c 
. a . 
cos 
tan 
sen 
 
Lei dos senos 
c 
ˆ sen cˆ 
b 
sen b 
a 
sen â 
  
Lei dos cossenos a b c 2 b c cosâ 2 2 2       
TABELA DE ÂNGULOS NOTÁVEIS 
30° 45° 60° 
SENO 
1 
2 
2 
2 
3 
2 
COSSENO 
3 
2 
2 
2 
1 
2 
TANGENTE 
3 
3 
1 3 
Se os ângulos forem complementares ( a + b = 90°)=> sen a = cos b 
Se os ângulos forem suplementares (a + b = 180°)=> sen a = sen b e cos a = - cos b
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. 
1) A hipotenusa BC de um triângulo retângulo mede 30 
cm e o ângulo ABˆC mede 60°. Determine a medida 
dos catetos. 
2) Um avião se aproxima de um aeroporto A, em linha 
reta. Ao atingir o ponto B, o piloto é avisado de que 
deve alterar a sua rota para aterrissar em outro 
aeroporto, C, distante 60 km de A. 
Um mapa indica que a reta que liga A a C é 
perpendicular à trajetória que o avião percorria, e o 
piloto deve fazer um giro de 60° com o avião. Qual a 
distância que o avião deverá percorrer para chegar a 
C? 
3) Um prédio foi construído de forma que sua porta de 
entrada está 1,20 m acima do nível da calçada. O 
arquiteto projetou uma rampa que ligará a calçada 
à porta de entrada do prédio e terá uma inclinação 
de 30° com a horizontal. Qual é o comprimento 
dessa rampa? 
4) Um barco navega em um rio, segundo uma linha 
reta PQ, distante 20 m de uma das margens. Ao 
atingir um ponto A, o piloto faz um giro de 120° 
para a direita do movimento do barco e se dirige, 
em linha reta, para um ponto B da margem. Calcule 
a distância que separa A de B. 
5) (UFG) Uma pessoa deseja subir uma rampa de 
comprimento d que forma um angulo α com a 
horizontal. Apos subir a rampa, esta pessoa estará 
h metros acima da posição em que se encontrava 
inicialmente, como mostra a figura abaixo. 
a) Que relação existe entre os valores de α, h e d? 
b) Supondo α = 30° e h = 1 m, qual o valor de d? 
6) (Unifor-CE) Na figura abaixo tem-se um observador 
O, que vê o topo de um prédio sob um ângulo de 45°. 
A partir desse ponto, afastando-se do prédio 8 metros, 
ele atinge o ponto A, de onde passa a ver o topo do 
mesmo prédio sob um ângulo θ tal que 
6 
tg  . 
7 
Qual a altura do prédio? 
7) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma 
diagonal, AH é perpendicular a BD, AH  5 3 cm e 
º 30   , calcule a área do retângulo em cm2. 
8) (Fatec-SP) De dois observatórios, 
localizados nos pontos X e Y da superfície da Terra, 
e possível enxergar um balão meteorológico B, sob 
ângulos de 45° e 60°, conforme e mostrado na figura 
a seguir. 
Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km 
separam X e Y, a altura h, em quilômetros, do balão 
a superfície da Terra, é: (use 3 1,7) .
9) Uma torre de transmissão de energia elétrica está 
localizada em um terreno plano. Uma pessoa em 
um ponto X a avista sob um ângulo de 60°. Ao se 
afastar, segundo uma linha reta que liga a torre ao 
ponto X, essa pessoa percebe que, após percorrer 
20 m, avista a torre segundo um ângulo de 30°. 
Qual é a altura da torre? 
10) Em um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa AC, 
prolonga-se o cateto BC até um ponto D tal que C 
está entre B e D e med BDˆA 30 . Calcule a 
medida de CD, sabendo que o ângulo  do 
triângulo mede 30° e AB  50 3 . 
11) Uma praça tem forma triangular e é delimitada 
pelas ruas Acre, Pará e Amazonas. Deseja-se abrir 
uma passagem para ciclistas ligando a rua 
Amazonas à rua Pará, perpendicularmente à rua 
Amazonas. Qual deverá ser a largura dessa 
passagem para que a abertura d (ver figura) na rua 
Pará tenha no mínimo 2 m? (Se necessário, use 
3 1,71 ) 
12) Em uma circunferência de raio 5 cm, 
considere o diâmetro AB e a corda BC, de modo que 
med (ABC) = 30°. Determine BC. 
13) (Unic-MT) Uma escada de 5 metros de 
comprimento esta encostada num muro vertical 
formando com ele um angulo de 30°. Um homem, ao 
subir nessa escada, observa que, devido a 
problemas de aderência com o piso horizontal, esta 
escorrega sem se afastar do muro e para no ponto 
em que o angulo formado entre ela e o piso 
horizontal e de 30°. Nessas condições, o 
deslocamento efetuado pela escada junto ao muro 
foi de: 
a) 1,85 m b) 2,50 m c) 5,00 m d) 0,85 m e) 4,35 m 
14) (Vunesp-SP) Um pequeno avião deveria partir de 
uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, 
distante 60 quilômetros de A. Por um problema de 
orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao 
oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, 
fazendo um giro de 120° a direita em um ponto C, 
de modo que o seu trajeto, juntamente com o 
trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, 
aproximadamente, um triangulo retângulo ABC, 
como mostra a figura. 
15) A ranhura trapezoidal e utilizada na 
construção de guias para elementos de maquinas. A 
mais comum e a ranhura conhecida como rabo de 
andorinha, indicada na figura. Determine os valores 
(aproximados) de x e y. 
16) (Cefet-PR) Se na figura ao lado AB = 9 cm, o 
segmento DF mede, em centímetros: 
a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6
17) (Faap-SP) A soma dos comprimentos das bases de 
um trapézio retângulo vale 30 m. A base maior 
mede o dobro da menor. Calcule a altura do 
trapézio, sabendo que seu angulo agudo mede 30°. 
18) Num triangulo retângulo, a tangente de um dos 
ângulos agudos e 1,05 e a soma dos comprimentos 
dos catetos e 41 cm. Qual o comprimento da 
hipotenusa desse triangulo? 
19) (UFPB) Em parques infantis, é comum encontrar um 
brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma 
superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as 
crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à 
rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, 
apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada 
tem 2 m de comprimento e forma um ângulo de 45º 
com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o 
piso, conforme ilustrado na figura a seguir. 
20) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro 
pavimento para o segundo através de uma escada 
rolante, conforme a figura a seguir. 
A altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar 
ao segundo pavimento, é: 
a) 15 b) 10 c) 5 d) 3 e) 2 
21) Um homem viaja de ônibus em uma estrada com um 
longo trecho MN em linha reta ao lado de um campo. 
Ao passar por um ponto A, ele avista uma casa C, de 
modo que o ângulo CÂN mede 60°. Após percorrer 
600 m, ele está em um ponto E e vê a casa de forma 
que CÊN mede 135°. Calcule a distância que a casa 
está da estrada. (Se necessário, use 2 1,41e 
3 1,73 ). 
22) Uma escada rolante de 6 metros de comprimento 
liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 
30º. Determine, em metros, a altura entre estes 
dois andares. 
23) As circunferências da figura abaixo são tangentes 
entre si e tangentes a reta t nos pontos A e B. 
Dados: 
BC = 3 4 cm 
R = 12 
Qual a medida do segmento AB? 
24) Um atleta se desloca com velocidade de 10 km/h 
ao longo da reta OP, que forma um ângulo de 30º 
com a reta Ox, partindo do ponto O. Após 3 horas, 
qual a distância do atleta até a reta Ox? 
25) Um prédio hospitalar está sendo construído em um 
terreno declivoso. Para otimizar a construção, o 
arquiteto responsável idealizou o estacionamento 
no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos 
fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 
metros acima do nível do estacionamento, sendo 
necessária a construção de uma rampa retilínea de 
acesso para os pacientes com dificuldades de 
locomoção. A figura representa esquematicamente 
esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da 
recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, 
a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30º e 
máxima de 45º. 
Nestas condições e considerando 2 1,4 , quais 
deverão ser os valores máximo e mínimo, em 
metros, do comprimento desta rampa de acesso? 
TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO 
QUALQUER. 
26) Os lados de um triângulo medem 6 cm, 8 cm e 12 
cm. Calcule o cosseno do maior ângulo interno 
desse triângulo. 
27) Calcule o cosseno do maior ângulo de um triângulo 
de lados 12 cm, 15 cm e 18 cm.
28) Os lados menores de um paralelogramo medem 3 
cm e sua diagonal menor mede 13 cm. 
Determine a medida dos lados maiores, sabendo 
que o menor ângulo desse paralelogramo mede 
60°. 
29) Em um triângulo ABC, tem-se AC = 4, BC = 3 e o 
ângulo  medindo 30°. Quanto mede o seno do 
ângulo B? 
30) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, 
unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura 
abaixo. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se 
um ponto C, na mesma margem em que B está, 
e medem-se os ângulos CBA = 57º e ACB = 59º. 
Sabendo que BC mede 30m, indique, em metros, a 
distância AB. (Dado: use as aproximações sen59º 
= 0,87 e sen64º= 0,90.) 
31) (UFSM/13) A caminhada é uma das 
atividades físicas que, quando realizada com 
frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças 
crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a 
prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto 
A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, 
conforme trajeto indicado na figura. 
Quantos quilômetros ela terá caminhado se 
percorrer todo o trajeto? Dado ( 
cos150º cos30º ) 
32) Na instalação das lâmpadas de uma praça de 
alimentação, a equipe necessitou calcular 
corretamente a distância entre duas delas, colocadas 
nos vértices e do 
triângulo, segundo 
a figura. 
Calcule a distância 
d. (Dados: sen 135º 
= sen 45º) 
33) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B 
e C, que estão ligadas por estradas em linha reta. 
Sabe-se que seguindo por essas estradas, a distância 
de A e C é 24 km e entre A e B é 36 km. 
Qual a distância, em km entre B e C? (Dados: cos 
120º = - cos 60º) 
34) A figura mostra o trecho de um rio onde se 
deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 
100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto 
A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o 
comprimento da ponte. 
35) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e 
C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 
80km e AC = 120km, onde A é uma cidade 
conhecida, como mostra a figura. Qual a distância 
entre B e C, em km? 
36) A figura mostra os pontos A e B, um em cada 
margem de um rio, que deverão ser ligados por uma 
ponte. Para determinar o comprimento da ponte, um 
engenheiro marcou um ponto C, na mesma margem 
de A, e mediu os ângulos BAˆC e BCˆA, obtendo 64º 
e 50º, respectivamente. Mediu também a distância 
AC, obtendo 14 m. Determine qual é a medida de 
AB, usando as seguintes aproximações: (sen 50º = 
0,77 sen 64º = 0,90; e sen 66° = 0,91)
37) Dois amigos, André e Bruno, estão num 
campo aberto empinando pipa. Eles estão, 
respectivamente, nas posições A e B. Os fios dessas 
pipas se enroscam e se rompem, fazendo com que 
as duas pipas caiam juntas num ponto C, distante 40 
m de André. A distância de Bruno ate as pipas é: 
38) (UFG-GO) Uma empresa de engenharia deseja 
construir uma estrada ligando os pontos A e B, que 
estão situados em lados opostos de uma reserva 
florestal, como mostra a figura a seguir. 
A empresa optou por construir dois trechos retilíneos, 
denotados pelos segmentos AC e CB, ambos com o 
mesmo comprimento. Considerando que a distância de 
A até B, em linha reta, é igual ao dobro da distância de 
B a D, o ângulo á, formado pelos dois trechos retilíneos 
da estrada, mede: 
a) 110º b) 120º c) 130º d) 140º d) 150º 
39) (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados 
AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o 
ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale: 
a) ½ b) 2/3 c) ¾ d) 4/5 e) 5/6 
40) A figura representa um mapa em escala 1 : 1000, 
indicando três pontos em uma selva. Os lados do 
triângulo representam os possíveis caminhos para 
deslocar-se entre esses pontos. Um grupo de amigos 
está na posição representada pelo ponto A. Quanto 
eles irão percorrer para chegar à posição representada 
pelo ponto C, sabendo que utilizarão o caminho mais 
curto? 
41) Um observador, situado no ponto A, distante 30 m 
do ponto B, vê um edifício sob um ângulo de 30°, 
conforme a figura. Baseado nos dados da figura 
determine a altura do edifício em metros e divida o 
resultado por 2 
a) 10 m 
b) 11 m 
c) 12 m 
d) 14 m 
e) 15 m 
42) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma 
montanha ate o topo, representado na figura abaixo 
pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do 
acampamento B e de 60° do acampamento A. 
Dado: sen 20º = 0,342 
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e 
realizado segundo um angulo de 30° em relação a base 
da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e 
de, aproximadamente, 
a) 190. b) 234. c) 260. d) 320. 
EXERCÍCIOS DIVERSOS. 
43) (UFG/13) Um topógrafo deseja calcular a largura 
de um rio em um trecho onde suas margens são 
paralelas e retilíneas. Usando como referência uma 
árvore, A, que está na margem oposta, ele 
identificou dois pontos B e C, na margem na qual se 
encontra, tais que os ângulos ABC e ACB medem 
135° e 30°, respectivamente. O topógrafo, então, 
mediu a distância entre B e C, obtendo 20 metros.
Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio. 
(Use 3 1,7 ). 
44) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém 
um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. 
Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é 
de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à 
horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o 
líquido alcance a borda, antes de começar a 
derramar? 
45) O teodolito é um instrumento de medida de 
ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é 
possível determinar distâncias que não poderiam ser 
medidas diretamente. 
Para calcular a altura de um morro em relação a uma 
região plana no seu entorno, o topógrafo pode 
utilizar esse instrumento adotando o seguinte 
procedimento: situa o teodolito no ponto A e, 
mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo 
de 30º com a horizontal; desloca o teodolito 160 
metros em direção ao morro, colocando-o agora no 
ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, 
mede o ângulo de 60º com a horizontal. 
Se a altura do teodolito é 1,5 metros, qual a altura do 
morro? Use 3 1,7 . 
46) (UFV-MG) Um navio, navegando em linha reta, 
passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O 
comandante, quando o navio está em A, observa um 
farol F e determina que o ângulo FAC mede 30º. 
Após navegar 6 km até o ponto B, ele verifica que o 
ângulo FBC mede 90º. Calcular a distância, em km, 
que separa o farol F do navio que se encontra em C, 
situado a 2 km de B 
47) Um barco de pescadores A emite um sinal de 
socorro que é recebido por dois radioamadores, B e 
C, distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos 
ABC e ACB medem, respectivamente, 64º e 50º, 
determine qual radioamador está mais próximo do 
barco A? (Consulte a tabela trigonométrica). 
48) (Unifor-CE) Em um paralelogramo ABCD, os 
lados AB e AD medem, respectivamente 4 cm e 7 
cm, e  é o ângulo agudo formado por esses lados. 
Se a diagonal maior mede 93 cm, Qual é o ângulo 
 ? 
49) (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, 
passa sucessivamente pelo pontos A, B e C. o 
comandante, quando o navio está em A, observa um 
farol L e calcula o ângulo LÂC = 30°. Após navegar 4 
milhas até B, verifica o ângulo   75 ˆCBL . Quantas 
milhas separam o farol do ponto B? 
50) (PUCCAMP) A figura a seguir é um corte vertical de 
uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte 
aparecem dois círculos, com raios de 3 cm e 4 cm, um 
suporte vertical e um apoio horizontal. A partir das 
medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do 
suporte é: 
a) 7 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm 
51) (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. 
A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 
120° com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, 
a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de: 
a) 40 2 b) 40 3 c) 45 3 d) 
50 3 e) 60 2 
52) (Vunesp) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam 
formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se 
encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo 
posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular à 
rodovia B. A distância do posto de gasolina à rodovia 
B, indo através de C, em quilômetros, é 
a) (√2)/8. b) (√2)/4. c) (√2)/2. d) √2. e) 2√2. 
53) (UERJ) Um foguete é lançado com velocidade igual 
a 180 m/s, e com um ângulo de inclinação de 60° em 
relação ao solo. Suponha que sua trajetória seja 
retilínea e sua velocidade se mantenha constante ao 
longo de todo o percurso. Após cinco segundos, o 
foguete se encontra a uma altura de x metros, 
exatamente acima de um ponto no solo, a y metros do 
ponto de lançamento. 
Os valores de x e y são, respectivamente:
a) 90 e 90 3 
b) 90 3 e 90 
c) 450 e 450 3 
d) 450 3 e 450 
54) Ao se tentar fixar as extremidades de um pedaço 
de arame reto, de 30m de comprimento, entre os 
pontos M e P de um 
plano, o arame, por 
ser maior do que o 
esperado, entortou, 
como mostra a figura 
abaixo. 
A partir desses dados, 
calcule, em metros, 
a) o comprimento dos 
segmentos MS e SP; 
b) quanto o arame 
deveria medir para 
que tivesse o 
mesmo tamanho do 
segmento MP. 
55) (UFPA) A figura representa um barco atravessando 
um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte 
correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, 
segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 
120m, a distância percorrida pelo barco até o ponto C, 
é: 
A) 240 √3 m 
B) 240 m 
C) 80 √3 m 
D) 80 m 
E) 40 √3 m 
56) (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre 
duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. 
Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km, onde A é 
uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, 
a distância entre B e C, em km, é:

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  • 1. ALUNO (A): Vinícius Moço da Silva Nº ______ PROFESSOR: CLAUZIR PAIVA NASCIMENTO DATA: 15/09/2014 TURMA: 9° ANO. ATIVIDADE DE MATEMÁTICA 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DO 3º TRIMESTRE: ESTUDO DA TRIGONOMETRIA ASSUNTO RESUMO Seno de um ângulo c o hip sen .  Cosseno de um ângulo ac . . hip cos  o c  . . tan Tangente de um ângulo c . a . cos tan sen  Lei dos senos c ˆ sen cˆ b sen b a sen â   Lei dos cossenos a b c 2 b c cosâ 2 2 2       TABELA DE ÂNGULOS NOTÁVEIS 30° 45° 60° SENO 1 2 2 2 3 2 COSSENO 3 2 2 2 1 2 TANGENTE 3 3 1 3 Se os ângulos forem complementares ( a + b = 90°)=> sen a = cos b Se os ângulos forem suplementares (a + b = 180°)=> sen a = sen b e cos a = - cos b
  • 2. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. 1) A hipotenusa BC de um triângulo retângulo mede 30 cm e o ângulo ABˆC mede 60°. Determine a medida dos catetos. 2) Um avião se aproxima de um aeroporto A, em linha reta. Ao atingir o ponto B, o piloto é avisado de que deve alterar a sua rota para aterrissar em outro aeroporto, C, distante 60 km de A. Um mapa indica que a reta que liga A a C é perpendicular à trajetória que o avião percorria, e o piloto deve fazer um giro de 60° com o avião. Qual a distância que o avião deverá percorrer para chegar a C? 3) Um prédio foi construído de forma que sua porta de entrada está 1,20 m acima do nível da calçada. O arquiteto projetou uma rampa que ligará a calçada à porta de entrada do prédio e terá uma inclinação de 30° com a horizontal. Qual é o comprimento dessa rampa? 4) Um barco navega em um rio, segundo uma linha reta PQ, distante 20 m de uma das margens. Ao atingir um ponto A, o piloto faz um giro de 120° para a direita do movimento do barco e se dirige, em linha reta, para um ponto B da margem. Calcule a distância que separa A de B. 5) (UFG) Uma pessoa deseja subir uma rampa de comprimento d que forma um angulo α com a horizontal. Apos subir a rampa, esta pessoa estará h metros acima da posição em que se encontrava inicialmente, como mostra a figura abaixo. a) Que relação existe entre os valores de α, h e d? b) Supondo α = 30° e h = 1 m, qual o valor de d? 6) (Unifor-CE) Na figura abaixo tem-se um observador O, que vê o topo de um prédio sob um ângulo de 45°. A partir desse ponto, afastando-se do prédio 8 metros, ele atinge o ponto A, de onde passa a ver o topo do mesmo prédio sob um ângulo θ tal que 6 tg  . 7 Qual a altura do prédio? 7) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal, AH é perpendicular a BD, AH  5 3 cm e º 30   , calcule a área do retângulo em cm2. 8) (Fatec-SP) De dois observatórios, localizados nos pontos X e Y da superfície da Terra, e possível enxergar um balão meteorológico B, sob ângulos de 45° e 60°, conforme e mostrado na figura a seguir. Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X e Y, a altura h, em quilômetros, do balão a superfície da Terra, é: (use 3 1,7) .
  • 3. 9) Uma torre de transmissão de energia elétrica está localizada em um terreno plano. Uma pessoa em um ponto X a avista sob um ângulo de 60°. Ao se afastar, segundo uma linha reta que liga a torre ao ponto X, essa pessoa percebe que, após percorrer 20 m, avista a torre segundo um ângulo de 30°. Qual é a altura da torre? 10) Em um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa AC, prolonga-se o cateto BC até um ponto D tal que C está entre B e D e med BDˆA 30 . Calcule a medida de CD, sabendo que o ângulo  do triângulo mede 30° e AB  50 3 . 11) Uma praça tem forma triangular e é delimitada pelas ruas Acre, Pará e Amazonas. Deseja-se abrir uma passagem para ciclistas ligando a rua Amazonas à rua Pará, perpendicularmente à rua Amazonas. Qual deverá ser a largura dessa passagem para que a abertura d (ver figura) na rua Pará tenha no mínimo 2 m? (Se necessário, use 3 1,71 ) 12) Em uma circunferência de raio 5 cm, considere o diâmetro AB e a corda BC, de modo que med (ABC) = 30°. Determine BC. 13) (Unic-MT) Uma escada de 5 metros de comprimento esta encostada num muro vertical formando com ele um angulo de 30°. Um homem, ao subir nessa escada, observa que, devido a problemas de aderência com o piso horizontal, esta escorrega sem se afastar do muro e para no ponto em que o angulo formado entre ela e o piso horizontal e de 30°. Nessas condições, o deslocamento efetuado pela escada junto ao muro foi de: a) 1,85 m b) 2,50 m c) 5,00 m d) 0,85 m e) 4,35 m 14) (Vunesp-SP) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° a direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triangulo retângulo ABC, como mostra a figura. 15) A ranhura trapezoidal e utilizada na construção de guias para elementos de maquinas. A mais comum e a ranhura conhecida como rabo de andorinha, indicada na figura. Determine os valores (aproximados) de x e y. 16) (Cefet-PR) Se na figura ao lado AB = 9 cm, o segmento DF mede, em centímetros: a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6
  • 4. 17) (Faap-SP) A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30 m. A base maior mede o dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu angulo agudo mede 30°. 18) Num triangulo retângulo, a tangente de um dos ângulos agudos e 1,05 e a soma dos comprimentos dos catetos e 41 cm. Qual o comprimento da hipotenusa desse triangulo? 19) (UFPB) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2 m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir. 20) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de uma escada rolante, conforme a figura a seguir. A altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar ao segundo pavimento, é: a) 15 b) 10 c) 5 d) 3 e) 2 21) Um homem viaja de ônibus em uma estrada com um longo trecho MN em linha reta ao lado de um campo. Ao passar por um ponto A, ele avista uma casa C, de modo que o ângulo CÂN mede 60°. Após percorrer 600 m, ele está em um ponto E e vê a casa de forma que CÊN mede 135°. Calcule a distância que a casa está da estrada. (Se necessário, use 2 1,41e 3 1,73 ). 22) Uma escada rolante de 6 metros de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30º. Determine, em metros, a altura entre estes dois andares. 23) As circunferências da figura abaixo são tangentes entre si e tangentes a reta t nos pontos A e B. Dados: BC = 3 4 cm R = 12 Qual a medida do segmento AB? 24) Um atleta se desloca com velocidade de 10 km/h ao longo da reta OP, que forma um ângulo de 30º com a reta Ox, partindo do ponto O. Após 3 horas, qual a distância do atleta até a reta Ox? 25) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30º e máxima de 45º. Nestas condições e considerando 2 1,4 , quais deverão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do comprimento desta rampa de acesso? TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER. 26) Os lados de um triângulo medem 6 cm, 8 cm e 12 cm. Calcule o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo. 27) Calcule o cosseno do maior ângulo de um triângulo de lados 12 cm, 15 cm e 18 cm.
  • 5. 28) Os lados menores de um paralelogramo medem 3 cm e sua diagonal menor mede 13 cm. Determine a medida dos lados maiores, sabendo que o menor ângulo desse paralelogramo mede 60°. 29) Em um triângulo ABC, tem-se AC = 4, BC = 3 e o ângulo  medindo 30°. Quanto mede o seno do ângulo B? 30) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57º e ACB = 59º. Sabendo que BC mede 30m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen59º = 0,87 e sen64º= 0,90.) 31) (UFSM/13) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. Quantos quilômetros ela terá caminhado se percorrer todo o trajeto? Dado ( cos150º cos30º ) 32) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices e do triângulo, segundo a figura. Calcule a distância d. (Dados: sen 135º = sen 45º) 33) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que estão ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que seguindo por essas estradas, a distância de A e C é 24 km e entre A e B é 36 km. Qual a distância, em km entre B e C? (Dados: cos 120º = - cos 60º) 34) A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento da ponte. 35) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Qual a distância entre B e C, em km? 36) A figura mostra os pontos A e B, um em cada margem de um rio, que deverão ser ligados por uma ponte. Para determinar o comprimento da ponte, um engenheiro marcou um ponto C, na mesma margem de A, e mediu os ângulos BAˆC e BCˆA, obtendo 64º e 50º, respectivamente. Mediu também a distância AC, obtendo 14 m. Determine qual é a medida de AB, usando as seguintes aproximações: (sen 50º = 0,77 sen 64º = 0,90; e sen 66° = 0,91)
  • 6. 37) Dois amigos, André e Bruno, estão num campo aberto empinando pipa. Eles estão, respectivamente, nas posições A e B. Os fios dessas pipas se enroscam e se rompem, fazendo com que as duas pipas caiam juntas num ponto C, distante 40 m de André. A distância de Bruno ate as pipas é: 38) (UFG-GO) Uma empresa de engenharia deseja construir uma estrada ligando os pontos A e B, que estão situados em lados opostos de uma reserva florestal, como mostra a figura a seguir. A empresa optou por construir dois trechos retilíneos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos com o mesmo comprimento. Considerando que a distância de A até B, em linha reta, é igual ao dobro da distância de B a D, o ângulo á, formado pelos dois trechos retilíneos da estrada, mede: a) 110º b) 120º c) 130º d) 140º d) 150º 39) (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale: a) ½ b) 2/3 c) ¾ d) 4/5 e) 5/6 40) A figura representa um mapa em escala 1 : 1000, indicando três pontos em uma selva. Os lados do triângulo representam os possíveis caminhos para deslocar-se entre esses pontos. Um grupo de amigos está na posição representada pelo ponto A. Quanto eles irão percorrer para chegar à posição representada pelo ponto C, sabendo que utilizarão o caminho mais curto? 41) Um observador, situado no ponto A, distante 30 m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo de 30°, conforme a figura. Baseado nos dados da figura determine a altura do edifício em metros e divida o resultado por 2 a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 14 m e) 15 m 42) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A. Dado: sen 20º = 0,342 Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 234. c) 260. d) 320. EXERCÍCIOS DIVERSOS. 43) (UFG/13) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os ângulos ABC e ACB medem 135° e 30°, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a distância entre B e C, obtendo 20 metros.
  • 7. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio. (Use 3 1,7 ). 44) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar? 45) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30º com a horizontal; desloca o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 60º com a horizontal. Se a altura do teodolito é 1,5 metros, qual a altura do morro? Use 3 1,7 . 46) (UFV-MG) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa um farol F e determina que o ângulo FAC mede 30º. Após navegar 6 km até o ponto B, ele verifica que o ângulo FBC mede 90º. Calcular a distância, em km, que separa o farol F do navio que se encontra em C, situado a 2 km de B 47) Um barco de pescadores A emite um sinal de socorro que é recebido por dois radioamadores, B e C, distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos ABC e ACB medem, respectivamente, 64º e 50º, determine qual radioamador está mais próximo do barco A? (Consulte a tabela trigonométrica). 48) (Unifor-CE) Em um paralelogramo ABCD, os lados AB e AD medem, respectivamente 4 cm e 7 cm, e  é o ângulo agudo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede 93 cm, Qual é o ângulo  ? 49) (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelo pontos A, B e C. o comandante, quando o navio está em A, observa um farol L e calcula o ângulo LÂC = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo   75 ˆCBL . Quantas milhas separam o farol do ponto B? 50) (PUCCAMP) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de 3 cm e 4 cm, um suporte vertical e um apoio horizontal. A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é: a) 7 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm 51) (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120° com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de: a) 40 2 b) 40 3 c) 45 3 d) 50 3 e) 60 2 52) (Vunesp) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina à rodovia B, indo através de C, em quilômetros, é a) (√2)/8. b) (√2)/4. c) (√2)/2. d) √2. e) 2√2. 53) (UERJ) Um foguete é lançado com velocidade igual a 180 m/s, e com um ângulo de inclinação de 60° em relação ao solo. Suponha que sua trajetória seja retilínea e sua velocidade se mantenha constante ao longo de todo o percurso. Após cinco segundos, o foguete se encontra a uma altura de x metros, exatamente acima de um ponto no solo, a y metros do ponto de lançamento. Os valores de x e y são, respectivamente:
  • 8. a) 90 e 90 3 b) 90 3 e 90 c) 450 e 450 3 d) 450 3 e 450 54) Ao se tentar fixar as extremidades de um pedaço de arame reto, de 30m de comprimento, entre os pontos M e P de um plano, o arame, por ser maior do que o esperado, entortou, como mostra a figura abaixo. A partir desses dados, calcule, em metros, a) o comprimento dos segmentos MS e SP; b) quanto o arame deveria medir para que tivesse o mesmo tamanho do segmento MP. 55) (UFPA) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a distância percorrida pelo barco até o ponto C, é: A) 240 √3 m B) 240 m C) 80 √3 m D) 80 m E) 40 √3 m 56) (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a distância entre B e C, em km, é: