Este documento resume a história, conceitos e aplicações da trigonometria. Aborda os primeiros desenvolvimentos na Babilônia e Egito antigo, conceitos como graus, radianos e funções trigonométricas, e aplicações em fenômenos periódicos e tecnologia.

1. Trabalho realizado por:
 Alisande Tavares nº2
 Diana Neves nº8
 Diogo Faro nº9
 Fábio Sá nº10
 Filipa Gonçalves nº12
Vamos lá!

2. Introdução
História da
Trigonometria
Personagens que
contribuíram para o
desenvolvimento da
Trigonometria
Conceito de grau
como medida de
amplitude de
ângulo
Conceito de radiano
como medida de
amplitude de ângulo
Trigonometria
esférica o que
distingue da
Trigonometria plana
Fórmulas
trigonométricas
Funções
trigonométricas
Contributo da trigonometria
no estudo de fenómenos de
natureza periódica e
aplicação tecnológica

3. O principal objetivo deste trabalho é conhecer a história,
conceitos, propriedades, ferramentas de cálculo e valor prático
da trigonometria.
Os primeiros rudimentos da Trigonometria foram
encontrados no Egipto e na Mesopotâmia. A Trigonometria é o
ramo das matemáticas relacionado com a resolução de triângulos,
usando razões ou funções trigonométricas e podemos dividir a
trigonometria em trigonometria plana, que trata de triângulos
planos e trigonometria esférica, que trata de triângulos
esféricos. Seguinte

4. As funções trigonométricas são ferramentas
importantes na representação de ondas e outros
fenómenos periódicos com aplicação na Mecânica,
Acústica, Eletricidade…
Seguinte

5. Os primeiros trabalhos elementares envolvendo
conceitos trigonométricos foram desenvolvidos pelos babilônios* e
antigos egípcios, ao realizarem estudos relativos a fenómenos
astronómicos e geográficos como, a determinação de eclipses, fases
da lua, estimar equinócios, estabelecer calendários, distâncias
inacessíveis e rotas de navegação. Deve-se aos babilônios a divisão
da circunferência, ainda hoje em uso, em graus, minutos e
segundos.
*babilônios- povo da Babilónia. Babilônia foi o nome da capital da Suméria, na antiga Mesopotâmia,
que atualmente é o Iraque.
Seguinte

6. Hipócrates(460 a.C.-377 a.C.)
Euclides(séc.III a.C.-data de morte não conhecida)
Arquimedes (288 a.C-212 a.C)
Eudoxo(390 a.C-337 a.C)
Seguinte

7. Tales de Mileto(624 a.C-546 a.C)
Cláudio Ptolomeu(90 d.C-168 d.C)
Erastóstenes(276 a.C-194 a.C)
Hiparco de Nicéia(180 a.C-125 a.C)
Seguinte

8. Chama-se ângulo a região entre duas semirretas que
partem de uma mesma origem. Podemos dizer, ainda que
um ângulo é a medida da abertura de duas semirretas
que partem da mesma origem.
Indica-se: ∠AOB, ∠BOA, AÔB, BÔA ou Ô.
Seguinte

9. A amplitude de um ângulo mede-se através de
um transferidor.
O grau é a unidade base do sistema
sexagesimal e corresponde à nonagésima parte de um
ângulo reto. O grau (assim como as horas) divide-se em
subunidades: minuto e segundo. Cada grau tem 60
minutos de grau e cada minuto tem 60 segundos de
grau, ou seja, 1 grau=60’ e 1’=60’’.
Seguinte

10. O tipo de ângulo depende da sua amplitude.
Podemos classificar um ângulo como: reto, obtuso e agudo.
Seguinte

11. Radiano é o ângulo que determina em qualquer circunferência
com centro no seu vértice um arco de comprimento igual ao raio. O
seu símbolo é rad. Um ângulo de 180 graus corresponde a um ângulo
(pi) rad.
O radiano é a unidade padrão de medida angular utilizada em
muitas áreas da matemática. Em algumas situações, o radiano é
considerado um número dimensional e a escrita do seu símbolo é pouco
utilizada.
Seguinte

12. O radiano é útil entre quantidades de
diferentes naturezas, mas com a mesma dimensão. Por
exemplo, velocidade angular pode ser medida em
radianos por segundo(rad/s). Na prática, o símbolo rad
é usado quanto tal for apropriado, mas a unidade
derivada ”1” é geralmente omitida quando combinada
com vetor numérico.
Seguinte

13. -Aplicação do radiano
As funções trigonométricas podem ser vistas, por um
lado, como funções que, a cada ângulo, se faz corresponder um
número real. Por exemplo, para calcular distâncias entre estrelas
e planetas, em geografia para estimar distâncias entre divisas e
em sistemas de navegação por satélite. As funções seno e cosseno
são fundamentais para a teoria das funções periódicas, as quais
descrevem as ondas sonoras e luminosas
Seguinte

14. •Trigonometria esférica: trata-se de triângulos esféricos.
Em matemática, a trigonometria esférica estuda as
propriedades geométricas dos triângulos esféricos, em especial as
relações que envolvem ângulos esféricos e arcos esféricos. É a área da
geometria esférica que estuda os polígonos que se formam sobre a
superfície das esferas, em especial, os triângulos.
Seguinte

15. O estudo da trigonometria esférica tem especial relevância
em náutica e navegação para terminar a posição de uma embarcação em
alto-mar mediante a observação dos corpos celestes, além do emprego
na área «design» de bolas desportivas.
Seguinte

16. -Trigonometria plana
Em matemática, a trigonometria plana é lida com figuras geométricas de
um único plano.
A Trigonometria plana trata das resolução de triângulos do plano.
Seguinte

17. As fórmulas trigonométricas são baseadas na composição do
triângulo retângulo- figura plana formada por um ângulo reto (90 graus)
e dois agudos (menores que 90 graus).
Esse tipo de triângulos apresenta três lados que funcionam de
acordo com a posição do ângulo reto. São eles:
• Hipotenusa:
Maior lado do triângulo e oposto ao ângulo reto.
• Catetos:
Partes que compõem o ângulo (90 graus). Se o lado estiver perto do
ângulo reto é chamado de adjacente; Já se estiver em sentido
contrário, é nomeado de oposto.
Seguinte

18. Seguinte
(h) é a hipotenusa, é o lado do
triângulo retângulo oposto ao
ângulo reto.
(a) é um dos catetos, um dos
lados adjacentes ao ângulos reto.
(b) é um dos catetos, um dos
lados adjacentes ao ângulo
reto.

19. Seguinte
Aplica:
b
2
cm

20. As razões ou relações estudam as ligações dos lados e ângulos do
triângulo retângulo que funcionam das seguintes maneiras:
• Seno: razão entre os lados que formam um dos ângulos agudos.
• Cosseno: razão entre o valor do cateto adjacente e a medida da
hipotenusa.
• Tangente: razão entre o cosseno e o seno de um dado ângulo ou entre
catetos.
Seguinte

21. Seguinte

22. Vamos lá!

23. Exercício 1
A figura abaixo representa um avião que decolou sob um
ângulo constante de 40º e percorreu em linha reta 8000 m.
Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao
percorrer essa distância?
Considere:
sen 40º cos 40º tag 40º
3 160m 5 120 m
4 565m
2 345m

24. Solução:
Notamos que o triângulo indicado é retângulo e a distância percorrida
representa a medida da hipotenusa deste triângulo e a altura do cateto
oposto ao ângulo dado.
Portanto, usaremos o seno do ângulo para encontrar a medida da altura:
R.: Ao percorrer 8 000 m, o avião se encontra a 5 120 m de altura.
Seguinte

25. Seguinte
Solução

26. Tente
novamente
Solução

27. Exercício 2
Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu
construir uma maquete de uma casa, conforme esquema abaixo. O
telhado será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento,
que será dividida ao meio para fazer as duas partes do telhado.
Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 55º,
calcule a medida x da largura casa.
Considere:
sen 55º = 0,82
cos 55º = 0,57
tg 55º = 1,43
55 cm 60 cm
57 cm 51 cm

28. R:. A maquete da casa terá uma largura de 0,57 m ou 57 cm.
Como o telhado da maquete será feito com uma placa de isopor de 1m de
comprimento, ao dividir a placa ao meio, a medida de cada lado do telhado
será igual a 0,5 m.
O ângulo de 55º é o ângulo formado entre a reta que representa o telhado e
uma reta na direção horizontal. Se unirmos essas retas, formamos um
triângulo isósceles (dois lados de mesma medida).
Vamos então traçar a altura deste triângulo. Como o triângulo é isósceles,
essa altura divide a sua base em segmentos de mesma medida que chamamos
de y, conforme figura abaixo:
largura da casa = 2 x 0,285 = 0,57
Solução:
Seguinte

29. Seguinte
Solução

30. Tente
novamente
Solução

31. Exercício 3
Um menino avista o ponto mais alto de um morro, conforme
figura abaixo. Considerando que ele está a uma distância de 500
m da base do morro, calcule a altura (h) deste ponto.
Considere:
sen 20º = 0,34
cos 20º = 0,93
tg 20º = 0,36
181,3m 185,6m
170m 185,3m

32. Observando o desenho, notamos que o ângulo visual é de 20º. Para
calcular a altura do morro, iremos usar as relações do seguinte
triângulo:
Como o triângulo é retângulo, iremos calcular a medida x usando a
razão trigonométrica tangente.
Escolhemos essa razão, visto que conhecemos o valor do ângulo do
cateto adjacente e estamos procurando a medida do cateto oposto (x).
R:. A altura do morro será igual a 181,3 m.
h = 180 + 1,3 =181,3
Solução:
Seguinte

33. Seguinte
Solução

34. Tente
novamente
Solução

35. As funções trigonométricas, também chamadas de
funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no
ciclo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas são:
•Função Seno
•Função Cosseno
•Função Tangente
Seguinte

36. Função Seno
A função seno é uma função periódica que possui
imagem dentro do intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ sen(x) ≤ 1, onde x é
um número real.
Domínio
O domínio da função é o conjunto dos números reais, ou
seja, sen(x) é definido para qualquer x real, então o domínio de
f(x) = sen(x) é o conjunto R. Logo D = R
Seguinte

37. Imagem
A função sen(x) assume o valor máximo igual a 1, isso
ocorre quando o valor de x representa um arco com primeira
determinação π/2. E o valor mínimo igual a -1, quando x
representa um arco com primeira determinação 3π/2.
Então, o conjunto imagem para a
função f(x) = sen(x) é o intervalo [-1,
1], assim: Imagem = [-1, 1] Seguinte

38. Função do Cosseno
A função cosseno também é uma função periódica que possui
imagem no intervalo [-1, 1], isto é, para um x real -1 ≤ cos(x) ≤ 1.
Domínio
O domínio da função cosseno é o conjunto dos números
reais, isto é, cos(x) é definido para qualquer x real, então o domínio
de f(x) = cos(x) é o conjunto R. Assim: D = R
Seguinte

39. Imagem
A função Cos(x)assume valor máximo igual a 1,
ocorre quando o valor de x representa um arco com
primeira determinação 0. E o valor mínimo igual a -1,
quando x representa um arco com primeira
determinação π.
Assim, o conjunto imagem para
f(x) = cos(x) é o intervalo [-1,
1]. Logo: Imagem = [-1, 1].
Seguinte

40. Função tangente
A função tangente para um número real x é a razão entre o
seno e o cosseno desse número. É uma função ilimitada, ou seja, não é
limitada por um intervalo como as funções seno e cosseno, mas é
periódica.
Domínio
A função tangente existe, se, e somente se, o cos(x) ≠ 0,
então definimos o domínio da função f(x) = tan(x) como:
D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}.
Seguinte

41. Imagem
A tangente de um número real x pode assumir
qualquer valor, já que a função tangente é ilimitada.
Dessa forma, a imagem da função é:
Imagem = ]-∞, ∞[
Ou seja, pode assumir infinitos valores negativos ou
positivos.
Seguinte

42. • Fenômenos Periódicos
Chamamos de fenômenos periódicos tudo que
se repete da mesma forma, em um mesmo intervalo de
tempo. O dia e a noite, por exemplo, são fenômenos
periódicos, pois todos os dias o sol raia no mesmo
horário, dando início ao dia, e se põe, também no mesmo
horário, dando início à noite.
Seguinte

43. •Por que são importantes?
Os fenômenos periódicos podem ser muito úteis
para medir a passagem do tempo. Os corpos celestes
foram muito importantes porque, entre eles, há
diversos que executam um movimento periódico que
podem ser percebidos por nós e por isto, foram
utilizados para construir o nosso calendário.
Seguinte

44. Estando na Terra, como nós estamos, e
olhando para o céu nós podemos perceber muitos
movimentos periódicos. Os mais fáceis de observar
são os movimentos do Sol e da Lua. Muitos
fenômenos ou situações que estão presentes em
nosso dia a dia são periódicos, isto é, de tempos em
tempos se repetem, e um outro exemplo que
colabora com essa afirmação é o nascer do sol e por
do sol.
Seguinte

45. Um outro bom exemplo é a função sen x pois a cada período de
2π tudo volta a se repetir:
sen 0 = 0, sen 90º= 1 , sen 180º= 0, sen 270º= -1, sen 360º(ou 0º) = 0.
A partir daí mais uma volta completa (2π), onde todos os valores
se repetem sucessivamente.
As fases da lua: A cada 28 dias se repetem: fenômeno físico
periódico. (período - 28 dias) - (4 fases - nova, crescentes, cheia e
minguante- que duram sete dias cada uma 4 x 7 = 28 dias).
Seguinte

46. Estes fenômenos periódicos também são muito
usados em construção de gráficos.
Curiosidades: As funções trigonométricas podem ser
modelos matemáticos de vários fenômenos que se
repetem como as variações diárias na temperatura da
atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração e
o nível de água em uma bacia marítima devido à sua
periodicidade.
Seguinte

47. Seguinte
Neste trabalho abordamos o assunto da trigonometria e
podemos concluir que ela está definida como a parte da
matemática que estuda as relações existentes entre os lados
e os ângulos de todos os tipos de triângulos.
Este trabalho foi muito importante para o nosso
conhecimento, compreensão, aprofundamento deste tema para
além de que nos permitiu desenvolver e aperfeiçoar
conhecimentos de investigação, organização e comunicação da
informação.

48. Obrigado/a!