Este documento apresenta os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e notação, (2) tipos de matrizes especiais como quadrada e identidade, (3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.

1. Atenção: Embora matrizes serem representadas por ( ) ou por [
] e Derterminantes serem representados por | |, ambos serão
representados por | | nesse site.
Aula 1 - Matrizes
1 - Introdução
Uma matriz é uma tabela ou quadro com os objetos dispostos em linhas e colunas.
Para nossos estudos, as matrizes serão formadas por numeros pertecentes aos reais.
2 - Notação (exemplos)
a) Explicita:
| 1 2 -1 |
A= | 0 4 2 |
| -1 2 3 | 3x3
b) Implicita
A= (Aij)mxn
-Aij = Elemento
-i = linha
-j = coluna
Exemplo = dada a matriz A = (Aij)3x2 tal que Aij = 2i + j, construa tal matriz.
| A11 A12 |
A= | A21 A22 |
| A31 A32 | 3x2
A11 = 2 . 1 + 1 =3
A12 = 2 . 1 + 2 =4
A21 = 2 . 2 + 1 =5
A22 = 2 . 2 + 2 =6
A31 = 2 . 3 + 1 =7
A32 = 2 . 3 + 2 =8
| 3 4 |
A= | 5 6 |
| 7 8 | 3x2
3 - Matrizes Especiais
a) Matriz Quadrada
A = (Aij)mxn
m=n
EX.
A= | 1 2 |
| 3 4 | 2x2

2. b) Matriz linha ou matriz coluna
A= | 1 2 3 4 |1x4
|1|
B= | 2 |
| 3 | 3x1
c) Matriz nula
A= | 0 0 |
| 0 0 | 2x2
d) Matriz oposta
A= | 1 2 |
| 3 -4 | 2x2
-A= | -1 -2 |
| -3 4 | 2x2
e) Matriz transposta
A transposta da matriz A é aquela que se obtem trocando linha por coluna, assim:
Aij ~ Aji
Ex.
| 3 4 |
A= | 5 6 |
| 7 8 | 3x2
At= | 3 5 7 |
| 4 6 8 | 2x3
Obs. Numa matriz quadrada, os elementos Aij tais que i=j formam a chamada diagonal principal
Ex.
| 1 2 -1 |
A= | 0 4 2 |
| -1 2 3 | 3x3
Diagonal principal
Diagonal secundaria
Obs 2. Duas matrizes são iguais quando:
- tiverem o mesmo tamanho
- seus elementos correspondentes forem iguais
f) Matriz identidade

3. Toda matriz quadrada tal que:
1 se i=j
0 se i j
| 1 0 0 |
A= | 0 1 0 |
| 0 0 1 | 3x3
g) Matriz simetrica
A= At (simetrica)
A = -At (anti-simetrica)
Aula 2
1- Igualdade de matrizes
A=(Aij)mxn e B=(Bij)pxq
se A=B então m=p e n=q e Aij = Bij
2- Adição e Subtração
A=(Aij)mxn e B=(Bij)pxq
A + B = (Aij + Bij)
| 3 4 |
A= | 5 6 |
| 7 8 | 3x2
| 2 7 |
B= | 6 0 |
| 0 1 | 3x2
| 5 11 |
A+B= | 11 6 |
| 7 9 | 3x2
| 1 -3 |
A-B= | -1 6 |
| 7 7 | 3x2
3- Multiplicação de Matriz por numero real
Tome K pertencente oa conjunto dos numeros reais e uma matriz A=(Aij)mxn
K.A = (K.Aij)
|1|
A= | 2 |
| 3 | 3x1
| 5 |
5.A= | 10 |
| 15 | 3x1

4. 4. Propriedades
Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem e r e s numeros reais:
a) Associativa
A+(B + C) = (A + B) + C
b) Cumulativa
A+B=B+A
c) Elemento Neutro
A+ =A
A= | 1 2 |
| 3 -4 | 2x2
B= | 0 0 |
| 0 0 | 2x2
A+B= | 1 2 |
| 3 -4 | 2x2
d) Existencia do oposto
A + (-A) =
e) Neutro Multiplicativo
1.A = A
f) Distributiva
s.(A + B) = s.A + s.B
(s +r).A + s.A + r.A
EXTRA
(A + B)t = At + Bt

5. Aulas 3 e 4 - Multiplicação de Matrizes
Para a multiplicação de matrizes usa-se a tecnica abaixo:
Exemplos:
Dadas as matrizes A=(Aij)mxn e B(Bij)pxq
A Multiplicação da matriz A pela B que escrevemos A.B ocorre se e somente se n=p

6. Modelo: (A.B)mxq
A)
| 1 4 | | 0 3 | = | 8 23 |
| 5 3 | 2x2 . | 2 5 | 2x2 | 6 40 | 2x2
B)
| 1 2 3 | | 1 0 0 | = | 1 2 3 |
| 4 5 6 | 2x3 .| 0 1 0 | | 4 5 6 | 2x3
| 0 0 1 | 3x3
C)
| 1 1 | | 1 -1 | = | 0 0 |
| 1 1 | 2x2 . | -1 1 | 2x2 | 0 0 | 2x2
D)
| 0 3 | | 1 4 | = | 15 9 |
| 2 5 | 2x2 . | 5 3 | 2x2 | 27 23 | 2x2
Nota.
1- Veja que nos ex A e D, a ordem das matrizes foram trocadas e produziram resultados diferentes.
Isso ocorre porque o produto de uma matriz por outra não é cumulativo para todos os casos.
(Nem sempre A.B = B.A)
Quando A.B = B.A dizemos que A+B comutam (são comutativas)
Potência de Matrizes
Seja uma matriz quadrada que A 0
Definimos:
A0 = I
A1 = A
A2 = A . A
A3 = A2 . A
A4 = A3. A
Ex.
Propriedades da Multiplicação
A, B, C sao matrizes
- A . (B C) = A . BÂ Â A . C
- (AÂ Â B) . C = A . B . C
-A.I=I.A=A
- (A . B)t = Bt . At
- A . (B . C) = (A . B) . C

7. Aulas 5 e 6 - Determinantes
Introdução
De uma maneira simples, podemos dizer que uma determinante é um número real associado a uma matriz
quadrada
atraves de calculos executados com os elementos dessa matriz.
Esses calculos são chamados de inversões de permutação
Calculos dos determinantes
a) Caso | x |
A = [ aij ]1x1
| aij | = aij
det (a) = aij
b) Caso 2x2
| a11 a12 |
| a21 a22 | 2x2
Det (a) = a11 . a22 - a12 . a21
c) Caso 3x3
Aula 7
d) Caso nxm (Regra de Laplace)

8. A regra de Laplace é um método que permite calcular determinantes de qualquer ordem, especialmente para o
caso n >= 4.
O metodo faz o abaixamento da ordem do determinante
Veja:
Regras Praticas:
1 - Escolha uma linha ou coluna do determinante (com mais zeros)
2 - Multiplique cada elemento aij da linha ou coluna escolhida por -1ij (par ou impar)* e em seguida pelo
determinante que se obter eliminando a linha e a coluna que o elemento está.
3 - Somar cada parcela do item 2.
* i+j = par (mantem o sinal)
i +j = impar (trocar sinal)
Aulas 8 a 12 - Propriedades dos determinantes

11. Aulas 13 e 14 - Matriz Inversa
Dada uma matriz
A = (aij)quadrada
Chama-se inversa da matriz A, a matriz A-1 tal que:
A . A-1 = I
A-1 . A = I
det(A . A-1) = det(I)
det(A) . det(A-1) = 1
det(A-1) = 1/det(A)
(I = matriz identidade)
Se o determinante da matriz A for igual a zero a matriz não tem inversa
Caso 2x2
Caso nxm

12. A-1 = ([cofatora]t) / (det(A))
Aula 15 - Calculo da area de um triangulo
Aula 16 - Rotação de vetores no plano
cos = x/R => x = R . cos
sen = y/R => y = R . sen
P = (x ; y)
P' = (x' ; y')
x' = R . cos ( + )
y' = R . sen( + )
x' = R . (cos . cos - sen . sen )

13. x' = cos . R.cos - sen . R.sen
x' = x . cos - y . sen
y' = R . (sen . cos + sen . cos )
y' = x . sen + y . cos
x' = x . cos - y . sen
y' = x . sen + y . cos
EM MATRIZ:
Aula 17 - Sistemas Lineares
Equação linear
x = variavel
a1, a2, a3,..., an = coeficientes
X pertencente ao conjunto dos reais
K pertencente ao conjunto dos reais
Ex.
2x - 1y = 5
Obs. Um sistema linear com duas variaveis, representado no plano cartesiano são retas. O ponto de interseção
dessas retas constituem, quando existirem, a solução do sistema.
Aula 18 - Desigualdades no plano
Aula 19 e 20 - Metodo de Cramer
O metodo de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas lineares com:
- O mesmo numero de equações e icognitas
- O determinante ( ) da matriz dos coeficientes das icognitas deve ser diferente de zero
1x - 3y = 3
2x - 1y = 11
| 1 -3 |
= | =5
2 -1 |
| 3 -3 |
x= | 11 -1 | =30
| 1 3 |
y= | 2 11 | =5
x= x/ = 30/5 = 6
y= y/ = 5/5 = 1
Aulas 21 a 27 - Escalonamento
Constitui um eficiente metodo de resolucao e analize de sistemas lineares

14. Matriz associada a um sistema linear
x+y+z=1
2x - y + z = 4
3x - y + 4z = 8
| 1 1 1 1 |
| 2 -1 1 4 |
| 3 -1 4 8 |
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz associada a um sistema elementar
-trocar uma linha por outra paralela
- multipliar uma linha por um k 0
- multiplicar uma linha por um k 0 e somar com alguma linha paralela
Classificação de sistemas
Matriz/Sistema Escalonado
Uma matriz diz se escalonaa, se o 1º elemento não nulo de cada linha estiver a direita do 1º elemento não nulo
da linha anterior (linha de cima)
Ex.
| 1 2 1 -4 |
| 0 3 1 7 |
| 0 0 6 3 |
Sistemas Homogeneos
Todas as equações são iguais a zero
Equação Homogenea

15. x+y=0
3x + 2y - 5z = 0
7x - 3y = 0
Sistema Homogeneo
x+y=0
2x - y = 0
Solução Trivial
x=0
y=0
z=0
w=0