SlideShare uma empresa Scribd logo
MATEMÁTICA




                                                                    Estes números foram suficientes para a sociedade
                                                                 durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o
                                                                 aumento das "trocas" de mercadorias entre os
                                                                 homens, foi necessário criar uma representação
                                                                 numérica para as dívidas.

Operações com números inteiros, fracionários e                      Com isso inventou-se os chamados "números
decimais;                                                        negativos", e junto com estes números, um novo
sistema de medidas usuais;                                       conjunto: o conjunto dos números inteiros,
números relativos,                                               representado pela letra .
regra de três simples e composta;
porcentagem; juros simples;                                         O conjunto dos números inteiros é formado por
equação de 1º e 2º graus; resolução de situações-                todos os números NATURAIS mais todos os seus
problema;                                                        representantes negativos.
raciocínio lógico.
                                                                    Note que este conjunto não possui início nem fim
                                                                 (ao contrário dos naturais, que possui um início e não
     OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS,
                                                                 possui fim).
         FRACIONÁRIOS E DECIMAIS
                                                                    Assim como no conjunto dos naturais, podemos
                                                                 representar todos os inteiros sem o ZERO com a
   Conjuntos numéricos podem ser representados de
                                                                 mesma notação usada para os NATURAIS.
diversas formas. A forma mais simples é dar um nome
                                                                    Z* = {..., -2, -1, 1, 2, ...}
ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao
lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o
                                                                    Em algumas situações, teremos a necessidade de
exemplo abaixo:
                                                                 representar o conjunto dos números inteiros que NÃO
   A = {51, 27, -3}
                                                                 SÃO NEGATIVOS.
   Esse conjunto se chama "A" e possui três termos,
                                                                    Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do
que estão listados entre chaves.
                                                                 símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta
                                                                 simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS,
     Os nomes dos conjuntos são sempre letras
                                                                 e não os números POSITIVOS, como muita gente diz).
maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos
                                                                 Veja o exemplo abaixo:
utilizar qualquer letra.
                                                                    Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}
   Vamos começar nos primórdios da matemática.
   - Se eu pedisse para você contar até 10, o que                    Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um
você me diria?                                                   início. E você pode estar pensando "mas o zero não é
   - Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove       positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é
e dez.                                                           NULO.

   Pois é, estes números que saem naturalmente de                   Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia
sua boca quando solicitado, são chamados de                      do sinalzinho positivo representa todos os números
números NATURAIS, o qual é representado pela letra               NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.
    .
                                                                    Se quisermos representar somente os positivos (ou
    Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e            seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:
tinha como intenção mostrar quantidades.                            Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
    *Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído
neste conjunto, mas pela necessidade de representar                 Pois assim teremos apenas os positivos, já que o
uma quantia nula, definiu-se este número como sendo              zero não é positivo.
pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:
    N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}                                Ou também podemos representar somente os
                                                                 inteiros NÃO POSITIVOS com:
   Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros                 Z - ={...,- 4, - 3, - 2, -1 , 0}
números e possui algumas propriedades próprias,
algumas vezes teremos a necessidade de representar                   Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui
o conjunto dos números naturais sem incluir o zero.              início.
Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco)
empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria                      E também os inteiros negativos (ou seja, os não
representar a ausência do zero. Veja o exemplo                   positivos sem o zero):
abaixo:                                                             Z*- ={...,- 4, - 3, - 2, -1}
   N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
                                                                    Assim:
Matemática                                                   1               A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




                                                                 Também são irracionais todas as raízes não
   Conjunto dos Números Naturais                              exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
   São todos os números inteiros positivos, incluindo o
zero. É representado pela letra maiúscula N.                      Conjunto dos Números Reais
Caso queira representar o conjunto dos números                    É formado por todos os conjuntos citados
naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar        anteriormente (união do conjunto dos racionais com os
um * ao lado do N:                                            irracionais).
   N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
   N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}                           Representado pela letra R.

   Conjunto dos Números Inteiros                                 Representação geométrica de
   São todos os números que pertencem ao conjunto                A cada ponto de uma reta podemos associar um
dos Naturais mais os seus respectivos opostos                 único número real, e a cada número real podemos
(negativos).                                                  associar um único ponto na reta.
                                                                 Dizemos que o conjunto         é denso, pois entre dois
   São representados pela letra Z:                            números reais existem infinitos números reais (ou seja,
   Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}               na reta, entre dois pontos associados a dois números
                                                              reais, existem infinitos pontos).
   O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos,
eles são:                                                        Veja a representação na reta de      :

   - Inteiros não negativos
   São todos os números inteiros que não são
negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual
ao conjunto dos números naturais.
                                                                 Fonte:
   É representado por Z+:
                                                                 http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-
   Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}                                  numericos/

   - Inteiros não positivos                                     CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
   São todos os números inteiros que não são
positivos. É representado por Z-:                                ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
   Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}                             Veja a operação: 2 + 3 = 5 .
                                                                 A operação efetuada chama-se adição e é indicada
   - Inteiros não negativos e não-nulos                       escrevendo-se o sinal + (lê-se: “mais") entre os
   É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se            números.
esse subconjunto por Z*+:
   Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}                             Os números 2 e 3 são chamados parcelas. 0
   Z*+ = N*                                                   número 5, resultado da operação, é chamado soma.
   - Inteiros não positivos e não nulos
                                                                    2    →     parcela
   São todos os números do conjunto Z - excluindo o                +3    →     parcela
zero. Representa-se por Z*-.                                        5    →     soma
   Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
                                                                 A adição de três ou mais parcelas pode ser
   Conjunto dos Números Racionais                             efetuada adicionando-se o terceiro número à soma
   Os números racionais é um conjunto que engloba             dos dois primeiros ; o quarto número à soma dos três
os números inteiros (Z), números decimais finitos (por        primeiros e assim por diante.
exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos               3+2+6 =
periódicos (que repete uma sequência de algarismos               5 + 6 = 11
da parte decimal infinitamente), como "12,050505...",
são também conhecidas como dízimas periódicas.                   Veja agora outra operação: 7 – 3 = 4

   Os racionais são representados pela letra Q.                  Quando tiramos um subconjunto de um conjunto,
                                                              realizamos a operação de subtração, que indicamos
    Conjunto dos Números Irracionais                          pelo sinal - .
    É formado pelos números decimais infinitos não-              7    → minuendo
periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o             –3    → subtraendo
número PI (resultado da divisão do perímetro de uma
circunferência pelo seu diâmetro), que vale                      4    → resto ou diferença
3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já
conseguiram calcular bilhões de casas decimais para              0 minuendo é o conjunto maior, o subtraendo o
o PI.                                                         subconjunto que se tira e o resto ou diferença o
                                                              conjunto que sobra.
Matemática                                                2              A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




   Somando a diferença com o subtraendo obtemos o               2) Subtraindo 25 de um certo número obtemos 11.
minuendo. Dessa forma tiramos a prova da subtração.           Qual é esse número?
  4+3=7
                                                                 Solução:
             EXPRESSÕES NUMÉRICAS                                Seja x o número desconhecido. A igualdade
                                                              correspondente será:
   Para calcular o valor de uma expressão numérica                   x – 25 = 11
envolvendo adição e subtração, efetuamos essas                       x = 11 + 25
operações na ordem em que elas aparecem na                           x = 36
expressão.
                                                                 Passamos o número 25 para o outro lado da
  Exemplos:          35 – 18 + 13 =                           igualdade e com isso ele mudou de sinal.
                         17 + 13 = 30
  Veja outro exemplo: 47 + 35 – 42 – 15 =                        3) Qual o número natural que, adicionado a 8, é
                            82 – 42 – 15=                     igual a 20?
                               40 – 15 = 25                         Solução:
                                                                      x + 8 = 20
   Quando uma expressão numérica contiver os sinais                   x = 20 – 8
de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves {      },                     x = 12
procederemos do seguinte modo:
   1º Efetuamos as operações indicadas dentro dos                4) Determine o número natural do qual, subtraindo
      parênteses;                                             62, obtemos 43.
   2º efetuamos as operações indicadas dentro dos                   Solução:
      colchetes;                                                 x – 62 = 43
   3º efetuamos as operações indicadas dentro das                     x = 43 + 62
      chaves.                                                         x = 105

  1)    35 +[ 80 – (42 + 11) ] =                                 Para sabermos se o problema está correto é
            = 35 + [ 80 – 53] =                               simples, basta substituir o x pelo valor encontrado e
                   = 35 + 27 = 62                             realizarmos a operação. No último exemplo temos:
                                                                 x = 105
  2)    18 + { 72 – [ 43 + (35 – 28 + 13) ] } =                  105 – 62 = 43
        = 18 + { 72 – [ 43 + 20 ] } =
        = 18 + { 72 – 63} =                                                     MULTIPLICAÇÃO
        = 18 + 9 = 27
                                                                 Observe: 4 X 3 =12
       CÁLCULO DO VALOR DESCONHECIDO
                                                                 A operação efetuada chama-se multiplicação e é
   Quando pretendemos determinar um número                    indicada escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre os
natural em certos tipos de problemas, procedemos do           números.
seguinte modo:
   - chamamos o número (desconhecido) de x ou                    Os números 3 e 4 são chamados fatores. O número
      qualquer outra incógnita ( letra )                      12, resultado da operação, é chamado produto.
   - escrevemos a igualdade correspondente                                3 X 4 = 12
   - calculamos o seu valor
                                                                          3           fatores
  Exemplos:                                                             X 4
  1) Qual o número que, adicionado a 15, é igual a 31?                   12           produto

   Solução:                                                      Por convenção, dizemos que a multiplicação de
     Seja x o número desconhecido.          A igualdade       qualquer número por 1 é igual ao próprio número.
correspondente será:
   x + 15 = 31                                                   A multiplicação de qualquer número por 0 é igual a 0.

  Calculando o valor de x temos:                                 A multiplicação de três ou mais fatores pode ser
          x + 15 = 31                                         efetuada multiplicando-se o terceiro número pelo
     x + 15 – 15 = 31 – 15                                    produto dos dois primeiros; o quarto numero pelo
           x = 31 – 15                                        produto dos três primeiros; e assim por diante.
             x = 16                                              3 x 4 x 2 x 5 =
                                                                    12 x 2 x 5
   Na prática , quando um número passa de um lado                        24 x 5 = 120
para outro da igualdade ele muda de sinal.

Matemática                                                3              A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




            EXPRESSÕES NUMÉRICAS                            Essa divisão não é exata e é chamada divisão
                                                         aproximada.
   Sinais de associação
   O valor das expressões numéricas envolvendo as          ATENÇÃO:
operações de adição, subtração e multiplicação é           1) Na divisão de números naturais, o quociente é
obtido do seguinte modo:                                      sempre menor ou igual ao dividendo.
   - efetuamos as multiplicações                           2) O resto é sempre menor que o divisor.
   - efetuamos as adições e subtrações, na ordem           3) O resto não pode ser igual ou maior que o
       em que aparecem.                                       divisor.
                                                           4) O resto é sempre da mesma espécie do
  1)   3.4 + 5.8– 2.9=                                        dividendo. Exemplo: dividindo-se laranjas por
       =12 + 40 – 18                                          certo número, o resto será laranjas.
       = 34                                                5) É impossível dividir um número por 0 (zero),
                                                              porque não existe um número que multiplicado
  2)   9 . 6 – 4 . 12 + 7 . 2 =                               por 0 dê o quociente da divisão.
       = 54 – 48 + 14 =
        = 20                                                              PROBLEMAS

   Não se esqueça:                                         1)   Determine     um     número natural     que,
   Se na expressão ocorrem sinais de parênteses                 multiplicado por 17, resulte 238.
colchetes e chaves, efetuamos as operações na                   X . 17 = 238
ordem em que aparecem:                                               X = 238 : 17
   1º) as que estão dentro dos parênteses                            X = 14
   2º) as que estão dentro dos colchetes                        Prova: 14 . 17 = 238
   3º) as que estão dentro das chaves.
                                                           2)   Determine um número natural que, dividido
  Exemplo:                                                      por 62, resulte 49.
  22 + {12 +[ ( 6 . 8 + 4 . 9 ) – 3 . 7] – 8 . 9 }              x : 62 = 49
  = 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) – 21] – 72 } =                             x = 49 . 62
  = 22 + { 12 + [ 84 – 21] – 72 } =                                      x = 3038
  = 22 + { 12 + 63 – 72 } =
  = 22 + 3 =                                               3)   Determine     um    número natural      que,
  = 25                                                          adicionado a 15, dê como resultado 32
                                                                         x + 15 = 32
                                                                         x = 32 – 15
                        DIVISÃO
                                                                         x =17

  Observe a operação: 30 : 6 = 5                           4)   Quanto devemos adicionar a 112, a fim de
                                                                obtermos 186?
   Também podemos representar a divisão das                          x + 112 = 186
seguintes maneiras:                                                   x = 186 – 112
                                  30                                    x = 74
  30    6               ou           =5
                                   6
   0   5                                                   5)   Quanto devemos subtrair de 134 para
                                                                obtermos 81?
    O dividendo (D) é o número de elementos do                  134 – x = 81
conjunto que dividimos o divisor (d) é o número de               – x = 81 – 134
elementos do subconjunto pelo qual dividimos o                   – x = – 53   (multiplicando por –1)
dividendo e o quociente (c) é o número de                                x = 53
subconjuntos obtidos com a divisão.                             Prova: 134 – 53 = 81

   Essa divisão é exata e é considerada a operação         6)   Ricardo pensou em um número natural,
inversa da multiplicação.                                       adicionou-lhe 35, subtraiu 18 e obteve 40 no
        SE 30 : 6 = 5, ENTÃO 5 x 6 = 30                         resultado. Qual o número pensado?
                                                                x + 35 – 18 = 40
  observe agora esta outra divisão:                                       x= 40 – 35 + 18
                                                                          x = 23
               32     6                                         Prova: 23 + 35 – 18 = 40
                 2    5
       32 = dividendo                                      7)   Adicionando 1 ao dobro de certo número
          6 = divisor                                           obtemos 7. Qual é esse numero?
          5 = quociente                                         2 . x +1 = 7
          2 = resto                                             2x = 7 – 1
                                                                2x = 6
Matemática                                           4            A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




        x =6:2                                                        Pedro: x
        x =3                                                          Marcelo: x + 6
        O número procurado é 3.                                       x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro)
        Prova: 2. 3 +1 = 7                                            2 x + 6 = 30
                                                                          2 x = 30 – 6
  8)    Subtraindo 12 do triplo de certo número                           2 x = 24
        obtemos 18. Determinar esse número.                                 x = 24 : 2
        3 . x -12 = 18                                                      x = 12 (Pedro)
            3 x = 18 + 12                                               Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18
            3 x = 30
            x = 30 : 3                                        EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO AS
            x = 10                                                      QUATRO OPERAÇÕES

  9)    Dividindo 1736 por um número natural,                  Sinais de associação:
        encontramos 56. Qual o valor deste numero              O valor das expressões numéricas envolvendo as
        natural?                                            quatro operações é obtido do seguinte modo:
        1736 : x = 56                                          - efetuamos as multiplicações e as divisões, na
                 1736 = 56 . x                                    ordem em que aparecem;
               56 . x = 1736                                   - efetuamos as adições e as subtrações, na
                x. 56 = 1736                                      ordem em que aparecem;
                    x = 1736 : 56
                    x = 31                                     Exemplo 1) 3 .15 + 36 : 9 =
                                                                          = 45 + 4
  10)   O dobro de um número é igual a 30. Qual é o                       = 49
        número?                                                Exemplo 2) 18 : 3 . 2 + 8 – 6 . 5 : 10 =
        2 . x = 30                                                        = 6 . 2 + 8 – 30 : 10 =
            2x = 30                                                       = 12 + 8 – 3 =
             x = 30 : 2                                                   = 20 – 3
              x = 15                                                      = 17

  11)   O dobro de um número mais 4 é igual a 20.                              POTENCIAÇÃO
        Qual é o número ?
        2 . x + 4 = 20                                          Considere a multiplicação: 2 . 2 . 2 em que os
                2 x = 20 – 4                                três fatores são todos iguais a 2.
               2 x = 16
                  x = 16 : 2                                    Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma
                  x=8                                       23 (lê-se: dois elevado à terceira potência), em que o 2
                                                            é o fator que se repete e o 3 corresponde à quantidade
  12)   Paulo e José têm juntos 12 lápis. Paulo tem o       desses fatores.
        dobro dos lápis de José. Quantos lápis tem
        cada menino?                                           Assim, escrevemos: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (3 fatores)
        José: x
        Paulo: 2x                                              A operação realizada chama-se potenciação.
        Paulo e José: x + x + x = 12                           O número que se repete chama-se base.
        3x = 12                                                O número que indica a quantidade de fatores iguais
        x = 12 : 3                                          a base chama-se expoente.
        x=4                                                    O resultado da operação chama-se potência.
        José: 4 - Paulo: 8                                       23 =      8
                                                                                   3        expoente
  13)   A soma de dois números é 28. Um é o triplo
        do outro. Quais são esses números?                     base     potência
        um número: x
        o outro número: 3x                                     Observações:
        x + x + x + x = 28 (os dois números)                   1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes
                    4 x = 28                                      especiais     de    quadrado       e     cubo,
                      x = 28 : 4                                  respectivamente.
                      x = 7 (um número)                        2) As potências de base 0 são iguais a zero. 02 =
                                                                   0.0=0
        3x = 3 . 7 = 21 (o outro número).
                                                               3) As potências de base um são iguais a um.
        Resposta: 7 e 21
                                                                  Exemplos: 13 = 1 . 1 . 1 = 1
  14)   Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas.                                15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1
        Marcelo tem 6 bolinhas a mais que Pedro.               4) Por convenção, tem-se que:
        Quantas bolinhas tem cada um?                          - a potência de expoente zero é igual a 1 (a0 = 1,

Matemática                                              5              A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




         a   ≠ 0)                                                         3
                                                                              125 raiz cúbica de 125
         30 = 1 ; 50 = 1 ; 120 = 1                                        4
                                                                              81 raiz quarta de 81
  -      a potência de expoente um é igual à base (a 1 =
         a)
                                                                         5
                                                                              32   raiz quinta de 32 e assim por diante
             1          1             1
         2 =2;          7 =7;     100 =100
                                                                     No caso da raiz quadrada, convencionou-se não
             PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS                           escrever o índice 2.
                                                                     Exemplo : 2 49 = 49 = 7, pois 72 = 49
  1ª) para multiplicar potências de mesma base,
      conserva-se a base e adicionam-se os                                             EXERCÍCIOS
      expoentes.
         am . a n = a m + n                                         1) Calcule:
         Exemplos: 32 . 38 = 32 + 8 = 310                           a) 10 – 10 : 5 =           b) 45 : 9 + 6 =
         5 . 5 6 = 51+6 = 57                                        c) 20 + 40 : 10 =          d) 9. 7 – 3 =
  2ª) para dividir potências de mesma base,                         e) 30 : 5 + 5 =            f) 6 . 15 – 56 : 4 =
      conserva-se a base e subtraem-se os                           g) 63 : 9 . 2 – 2 =        h) 56 – 34 : 17 . 19 =
      expoentes.                                                    i) 3 . 15 : 9 + 54 :18 =   j) 24 –12 : 4+1. 0 =
         am : an = am - n
         Exemplos:                                                  Respostas:
             7
         3 : 3 = 3  3       7–3
                             =3   4                                        a) 8                   b) 11
                                                                           c) 24                  d) 60
         510 : 58 = 5 10 – 8 = 52
                                                                           e) 11                  f) 76
  3ª) para elevar uma potência a um outro
                                                                           g) 12                  h) 18
      expoente, conserva-se base e multiplicam-se
                                                                           i) 8                   j) 21
      os expoentes.
      Exemplo: (32)4 = 32 . 4 = 38
                                                                    2)   Calcule o valor das expressões:
  4ª) para elevar um produto a um expoente, eleva-                  a)   23 + 32 =
      se cada fator a esse expoente.                                b)   3 . 52 – 72 =
         (a. b)m = am . bm                                          c)   2 . 33 – 4. 23 =
                                                                    d)   53 – 3 . 62 + 22 – 1 =
  Exemplos: (4 . 7)3 = 43 . 73 ;          (3. 5)2 = 32 . 52         e)   (2 + 3)2 + 2 . 34 – 152 : 5 =
                                                                    f)   1 + 72 – 3 . 24 + (12 : 4)2 =
                         RADICIAÇÃO
                                                                    Respostas:
   Suponha que desejemos determinar um número                              a) 17                b) 26
que, elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x                          c) 22                d) 20
esse número, escrevemos: X2 = 9                                            e) 142               f) 11
   De acordo com a potenciação, temos que x = 3, ou                 3) Uma indústria de automóveis produz, por dia,
seja: 32 = 9                                                           1270 unidades. Se cada veículo comporta 5
                                                                       pneus, quantos pneus serão utilizados ao final
   A operação que se realiza para determinar esse                      de 30 dias? (Resposta: 190.500)
número 3 é chamada radiciação, que é a operação
inversa da potenciação.                                             4) Numa divisão, o divisor é 9,o quociente é 12 e
                                                                       o resto é 5. Qual é o dividendo? (113)
  Indica-se por:
   2
     9 = 3 (lê-se: raiz quadrada de 9 é igual a 3)                  5) Numa divisão, o dividendo é 227, o divisor é 15
                                                                       e o resto é 2. Qual é o quociente? (15)
  Daí , escrevemos:
                                                                    6) Numa divisão, o dividendo é 320, o quociente é
   2
       9 = 3 ⇔ 32 = 9
                                                                       45 e o resto é 5. Qual é o divisor? (7)
  Na expressão acima, temos que:                                    7) Num divisão, o dividendo é 625, o divisor é 25 e
  - o símbolo chama-se sinal da raiz                                   o quociente é 25. Qual ê o resto? (0)
  - o número 2 chama-se índice
  - o número 9 chama-se radicando                                   8) Numa chácara havia galinhas e cabras em
  - o número 3 chama-se raiz,                                          igual quantidade. Sabendo-se que o total de
  - o símbolo 2 9 chama-se radical                                     pés desses animais era 90, qual o número de
                                                                       galinhas?
   As raízes recebem denominações de acordo com o                      Resposta: 15 ( 2 pés + 4 pés = 6 pés ; 90 : 6 =
índice. Por exemplo:                                                   15).
         2
           36 raiz quadrada de 36
                                                                    9) O dobro de um número adicionado a 3 é igual a
Matemática                                                    6               A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




      13. Calcule o número.(5)                                 2) 5x = 20
                                                               Aplicando a operação inversa da multiplicação,
  10) Subtraindo 12 do quádruplo de um número               temos:
      obtemos 60. Qual é esse número (Resp: 18)                    x = 20 : 5
                                                                   x=4
  11) Num joguinho de "pega-varetas", André e
      Renato fizeram 235 pontos no total. Renato fez           3) x – 5 = 10
      51 pontos a mais que André. Quantos pontos               Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação
      fez cada um? ( André-92 e Renato-143)                 inversa da subtração:
                                                                  x = 10 + 5
  12) Subtraindo 15 do triplo de um número obtemos                x =15
      39. Qual é o número? (18)
                                                              4) x : 2 = 4
  13) Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a 3          Aplicando a operação inversa da divisão, temos:
      amigos. No final sobraram 2. Quantas balas                  x=4.2
      coube a cada um? (16)                                       x=8

  14) A diferença entre dois números naturais é zero
      e a sua soma é 30. Quais são esses números?
      (15)                                                  COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM
                                                                          PROBLEMA
  15) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que
      acerta e perde 3 pontos por exercício que erra.          Usando a letra x para representar um número,
      Ao final de 50 exercícios tinha 130 pontos.           podemos expressar, em linguagem matemática, fatos
      Quantos exercícios acertou? (35)                      e sentenças da linguagem corrente referentes a esse
                                                            número, observe:
  16) Um edifício tem 15 andares; cada andar, 30               - duas vezes o número     2.x
      salas; cada sala, 3 mesas; cada mesa, 2
      gavetas; cada gaveta, 1 chave. Quantas                  - o número mais 2            x+2
      chaves diferentes serão necessárias para abrir                                       x
      todas as gavetas? (2700).                               - a metade do número
                                                                                           2
  17) Se eu tivesse 3 dúzias de balas a mais do que           - a soma do dobro com a metade do número
      tenho, daria 5 e ficaria com 100. Quantas balas                x
                                                            2⋅ x +
      tenho realmente? (69)                                          2
                                                                                           x
  18) A soma de dois números é 428 e a diferença              - a quarta parte do número
      entre eles é 34. Qual é o número maior? (231)                                        4

  19) Pensei num número e juntei a ele 5, obtendo             PROBLEMA 1
      31. Qual é o número? (26)                               Vera e Paula têm juntas R$ 1.080,00. Vera tem o
                                                              triplo do que tem Paula. Quanto tem cada uma?
  20) Qual o número que multiplicado por 7 resulta            Solução:
      56? (8)                                                     x + 3x = 1080
                                                                    4x= 1080
  21) O dobro das balas que possuo mais 10 é 36.                    x =1080 : 4
      Quantas balas possuo? (13).                                    x= 270
                                                               3 . 270 = 810
  22) Raul e Luís pescaram 18 peixinhos. Raul                 Resposta: Vera – R$ 810,00 e Paula – R$ 270,00
      pescou o dobro de Luís. Quanto pescou cada
      um? (Raul-12 e Luís-6)                                  PROBLEMA 2
                                                              Paulo foi comprar um computador e uma bicicleta.
                                                              Pagou por tudo R$ 5.600,00. Quanto custou cada
                  PROBLEMAS
                                                              um, sabendo-se que a computador é seis vezes
                                                              mais caro que a bicicleta?
   Vamos calcular o valor de x nos mais diversos              Solução:
casos:                                                           x + 6x = 5600
                                                                    7x = 5600
   1) x + 4 = 10                                                   x = 5600 : 7
   Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação                      x = 800
inversa da adição:                                             6 . 800= 4800
        x = 10 – 4                                            R: computador – R$ 4.800,00 e bicicleta R$ 800,00
        x=6
                                                              PROBLEMA 3

Matemática                                              7                A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




  Repartir 21 cadernos entre José e suas duas irmãs,           Solução:   x + 2x + x + 2x = 624
  de modo que cada menina receba o triplo do que                                6x = 624
  recebe José. Quantos cadernos receberá José?                                   x = 624 : 6
  Solução:                                                                        x = 104
          x + 3x + 3x = 21                                     Resposta:S-R$ 104,00; J-R$ 208,00; P- R$ 312,00
              7x = 21
               x = 21 : 7                                      PROBLEMA 9
                x =3                                           Se eu tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderia
  Resposta: 3 cadernos                                         dar a você 7 rosas e ainda ficaria com 2. Quantas
                                                               rosas tenho?
  PROBLEMA 4                                                   Solução:    x+4–7 = 2
  Repartir R$ 2.100,00 entre três irmãos de modo                            x+4 =7+2
  que o 2º receba o dobro do que recebe o 1º , e o 3º                      x+4 =9
  o dobro do que recebe o 2º. Quanto receberá cada                         x =9–4
  um?                                                                      x =5
  Solução:                                                     Resposta: 5
         x + 2x + 4x = 2100
             7x = 2100                                        CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
              x = 2100 : 7
                x = 300                                        Conhecemos o conjunto N dos números naturais: N
  300 . 2 = 600                                             = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....,}
  300 . 4 =1200
  Resposta: R$ 300,00; R$ 600,00; R$ 1200,00                   Assim, os números precedidos do sinal    +
                                                            chamam-se positivos, e os precedidos de - são
  PROBLEMA 5                                                negativos.
  A soma das idades de duas pessoas é 40 anos. A
  idade de uma é o triplo da idade da outra. Qual a            Exemplos:
  idade de cada uma?                                           Números inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....}
  Solução:                                                     Números inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ....}
    3x + x = 40
       4x = 40                                                   O conjunto dos números inteiros relativos é
       x = 40 : 4                                           formado pelos números inteiros positivos, pelo zero e
       x = 10                                               pelos números inteiros negativos. Também o
  3 . 10 = 30                                               chamamos de CONJUNTO DOS NÚMEROS
  Resposta: 10 e 30 anos.                                   INTEIROS e o representamos pela letra Z, isto é: Z =
                                                            {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... }
  PROBLEMA 6
  A soma das nossas idades é 45 anos. Eu sou 5                 O zero não é um número positivo nem negativo.
  anos mais velho que você. Quantos anos eu tenho?          Todo número positivo é escrito sem o seu sinal
         x + x + 5 = 45                                     positivo.
           x + x= 45 – 5
             2x = 40                                           Exemplo:   + 3 = 3 ; +10 = 10
              x = 20                                           Então, podemos escrever: Z = {..., -3, -2, -1, 0 ,
  20 + 5 = 25                                               1, 2, 3, ...}
  Resposta: 25 anos
                                                               N é um subconjunto de Z.
  PROBLEMA 7
  Sua bola custou R$ 10,00 menos que a minha.                  REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
  Quanto pagamos por elas, se ambas custaram R$                Cada número inteiro pode ser representado por um
  150,00?                                                   ponto sobre uma reta. Por exemplo:
  Solução:

        x + x – 10= 150                                        ... -3      -2   -1   0 +1 +2       +3    +4 ...
          2x = 150 + 10                                         ... C’     B’   A’    0 A B         C     D ...
          2x = 160
            x = 160 : 2                                       Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o
            x = 80                                          número zero.
  80 – 10 = 70
  Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00                                Nas representações geométricas, temos à direita
                                                            do zero os números inteiros positivos, e à esquerda do
  PROBLEMA 8                                                zero, os números inteiros negativos.
  José tem o dobro do que tem Sérgio, e Paulo tanto
  quanto os dois anteriores juntos. Quanto tem cada            Observando a figura anterior, vemos que cada
  um, se os três juntos possuem R$ 624,00?
Matemática                                              8                A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




ponto é a representação geométrica de um número                 número oposto ou simétrico representado por (-a),
inteiro.                                                        tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a)

   Exemplos:                                                    Exemplos: (+5) + ( -5) = 0     ( -5) + (+5) = 0
    ponto C é a representação geométrica do
     número +3                                                  5ª) COMUTATIVA
    ponto B' é a representação geométrica do                   Se a e b são números inteiros, então:
     número -2                                                  a+b=b+a

   ADIÇÃO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS                              Exemplo:      (+4) + (-6) = (-6) + (+4)
   1) A soma de zero com um número inteiro é o                                         -2 = -2
       próprio número inteiro: 0 + (-2) = -2
   2) A soma de dois números inteiros positivos é um            SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
       número inteiro positivo igual à soma dos                 Em certo local, a temperatura passou de -3ºC para
       módulos dos números dados: (+700) + (+200) =          5ºC, sofrendo, portanto, um aumento de 8ºC, aumento
       +900                                                  esse que pode ser representado por: (+5) - (-3) = (+5)
    3) A soma de dois números inteiros negativos é um        + (+3) = +8
       número inteiro negativo igual à soma dos
       módulos dos números dados: (-2) + (-4) = -6              Portanto:
   4) A soma de dois números inteiros de sinais                 A diferença entre dois números dados numa certa
       contrários é igual à diferença dos módulos, e o       ordem é a soma do primeiro com o oposto do
       sinal é o da parcela de maior módulo: (-800) +        segundo.
       (+300) = -500
                                                                Exemplos:    1) (+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +4
   ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS                                   2) (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = -7
   A soma de três ou mais números inteiros é                                 3) (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = -7
efetuada adicionando-se todos os números positivos e
todos os negativos e, em seguida, efetuando-se a                 Na prática, efetuamos diretamente a subtração,
soma do número negativo.                                     eliminando os parênteses
                                                                                   - (+4 ) = -4
Exemplos:       1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) =                             - ( -4 ) = +4
                         (+17) + (-11) = +6
                                                                Observação:
                2)   (+3) + (-4) + (+2) + (-8) =                Permitindo a eliminação dos parênteses, os sinais
                                    (+5) + (-12) = -7        podem ser resumidos do seguinte modo:
                                                                    (+)=+           +(-)=-
   PROPRIEDADES DA ADIÇÃO                                           - (+)=-         - (- )=+
   A adição de números inteiros possui as seguintes
propriedades:                                                   Exemplos:      - ( -2) = +2               +(-6 ) = -6
                                                                               - (+3) = -3                +(+1) = +1
  1ª) FECHAMENTO
  A soma de dois números inteiros é sempre um                   PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO
número inteiro: (-3) + (+6) = + 3∈Z                             A subtração possui uma propriedade.

   2ª) ASSOCIATIVA                                               FECHAMENTO: A diferença de dois números
   Se a, b, c são números inteiros quaisquer, então: a       inteiros é sempre um número inteiro.
+ (b + c) = (a + b) + c
                                                                MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
   Exemplo:(+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2)           1º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS
           (+3) + (-2) = (-1) + (+2)                         INTEIROS POSITIVOS
           +1 = +1
                                                                Lembremos que: 3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6
  3ª) ELEMENTO NEUTRO                                           Exemplo:
  Se a é um número inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a            (+3) . (+2) = 3 . (+2) = (+2) + (+2) + (+2) = +6
e0+a=a                                                          Logo: (+3) . (+2) = +6

    Isto significa que o zero é elemento neutro para a         Observando essa igualdade, concluímos:                   na
adição.                                                      multiplicação de números inteiros, temos:
                                                                                  (+) . (+) =+
   Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +2
                                                               2º CASO: UM FATOR É POSITIVO E O OUTRO É
   4ª) OPOSTO OU SIMÉTRICO                                   NEGATIVO
   Se a é um número inteiro qualquer, existe um único          Exemplos:
                                                               1) (+3) . (-4) = 3 . (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12
Matemática                                               9              A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




   ou seja: (+3) . (-4) = -12                                    Se a, b, c representam números inteiros quaisquer,
                                                              então: a . (b . c) = (a . b) . c
   2) Lembremos que: -(+2) = -2
   (-3) . (+5) = - (+3) . (+5) = -(+15) = - 15                   3ª) ELEMENTO NEUTRO
   ou seja: (-3) . (+5) = -15                                    Observe que:
                                                                 (+4 ) . (+1 ) = +4 e (+1 ) . (+4 ) = +4
   Conclusão: na multiplicação de números inteiros,
temos: ( + ) . ( - ) = -           (-).(+)=-                     Qualquer que seja o número inteiro a, temos:
   Exemplos :                                                    a . (+1 ) = a e     (+1 ) . a = a
                         (+5) . (-10) = -50
                         (+1) . (-8) = -8                       O número inteiro +1 chama-se neutro para a
                         (-2 ) . (+6 ) = -12                  multiplicação.
                         (-7) . (+1) = -7
                                                                 4ª) COMUTATIVA
   3º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS                          Observemos que: (+2). (-4 ) = - 8
INTEIROS NEGATIVOS                                                          e       (-4 ) . (+2 ) = - 8
   Exemplo: (-3) . (-6) = -(+3) . (-6) = -(-18) = +18            Portanto: (+2 ) . (-4 ) = (-4 ) . (+2 )
   isto é: (-3) . (-6) = +18
                                                                 Se a e b são números inteiros quaisquer, então: a .
   Conclusão: na multiplicação de números inteiros,           b = b . a, isto é, a ordem dos fatores não altera o
temos: ( - ) . ( - ) = +                                      produto.
   Exemplos: (-4) . (-2) = +8 (-5) . (-4) = +20
                                                                 5ª) DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À ADIÇÃO E
   As regras dos sinais anteriormente vistas podem                    À SUBTRAÇÃO
ser resumidas na seguinte:                                       Observe os exemplos:
   (+).(+)=+                  (+).(-)=-                          (+3 ) . [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ) . ( -5 ) + (+3 ) . (+2 )
   (- ).( -)=+                (-).(+)=-                          (+4 ) . [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ) . ( -2 ) - (+4 ) . (+8 )

   Quando um dos fatores é o 0 (zero), o produto é               Conclusão:
igual a 0: (+5) . 0 = 0                                          Se a, b, c representam números inteiros quaisquer,
                                                              temos:
   PRODUTO DE TRÊS OU MAIS                NÚMEROS                a) a . [b + c] = a . b + a . c
INTEIROS                                                            A igualdade acima é conhecida como
Exemplos:  1)   (+5 ) . ( -4 ) . (-2 ) . (+3 ) =                    propriedade distributiva da multiplicação em
                (-20) . (-2 ) . (+3 ) =                             relação à adição.
                (+40) . (+3 ) = +120                             b) a . [b – c] = a . b - a . c
           2)   (-2 ) . ( -1 ) . (+3 ) . (-2 ) =                    A igualdade acima é conhecida como
                (+2 ) . (+3 ) . (-2 ) =                             propriedade distributiva da multiplicação em
                (+6 ) . (-2 ) = -12                                 relação à subtração.

   Podemos concluir que:                                         DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
   - Quando o número de fatores negativos é par, o
     produto sempre é positivo.                                 CONCEITO
   - Quando o número de fatores negativos é ímpar,              Dividir (+16) por 2 é achar um número que,
     o produto sempre é negativo.                             multiplicado por 2, dê 16.
                                                                            16 : 2 = ? ⇔ 2 . ( ? ) = 16
   PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
   No conjunto Z dos números inteiros são válidas as             O número procurado é 8. Analogamente, temos:
seguintes propriedades:                                          1) (+12) : (+3 ) = +4 porque (+4 ) . (+3 ) = +12
                                                                 2) (+12) : ( -3 ) = - 4 porque (- 4 ) . ( -3 ) = +12
   1ª) FECHAMENTO                                                3) ( -12) : (+3 ) = - 4 porque (- 4 ) . (+3 ) = -12
   Exemplo: (+4 ) . (-2 ) = - 8  Z ∈                             4) ( -12) : ( -3 ) = +4 porque (+4 ) . ( -3 ) = -12
   Então o produto de dois números inteiros é inteiro.
                                                                 A divisão de números inteiros só pode ser realizada
   2ª) ASSOCIATIVA                                            quando o quociente é um número inteiro, ou seja,
   Exemplo: (+2 ) . (-3 ) . (+4 )                             quando o dividendo é múltiplo do divisor.
   Este cálculo pode ser feito diretamente, mas
também podemos fazê-lo, agrupando os fatores de                  Portanto, o quociente deve ser um número inteiro.
duas maneiras:
   (+2 ) . [(-3 ) . (+4 )] = [(+2 ) . ( -3 )]. (+4 )             Exemplos:
                   (+2 ) . (-12) = (-6 ) . (+4 )                 ( -8 ) : (+2 ) = -4
                             -24 = -24                           ( -4 ) : (+3 ) = não é um número inteiro
                                                                 Lembramos que a regra dos sinais para a divisão é
   De modo geral, temos o seguinte:                           a mesma que vimos para a multiplicação:
Matemática                                               10               A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




                   (+):(+)=+ (+):( -)=-
                   (- ):( -)=+ ( -):(+)=-                                       Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8

   Exemplos:                                                                   Daí, a regra:
   ( +8 ) : ( -2 ) = -4                 (-10) : ( -5 ) = +2                    Quando o expoente é ímpar, a potência tem o
   (+1 ) : ( -1 ) = -1                  (-12) : (+3 ) = -4                   mesmo sinal da base.

   PROPRIEDADE                                                                  Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27               (+2)4 = +16
   Como vimos: (+4 ) : (+3 ) ∉ Z
   Portanto, não vale em Z a propriedade do                                     PROPRIEDADES
fechamento para a divisão. Alem disso, também não
são válidas as proposições associativa, comutativa e                            PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
do elemento neutro.                                                             Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5
                                                                                ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10
      POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
                                                                               Para multiplicar potências de mesma                          base,
   CONCEITO                                                                  mantemos a base e somamos os expoentes.
   A notação
   (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 )                                               QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
                                                                                 (+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3
                                                                                ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4
   é um produto de três fatores iguais                                           Para dividir potências de mesma base em que o
                                                                             expoente do dividendo é maior que o expoente do
   Analogamente:                                                             divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes.
   ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 )
                                                                                POTÊNCIA DE POTÊNCIA
                                                                                [( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15
   é um produto de quatro fatores iguais                                        Para calcular uma potência de potência,
                                                                             conservamos a base da primeira potência e
   Portanto potência é um produto de fatores iguais.                         multiplicamos os expoentes .
   Na potência (+5 )2 = +25, temos:                                             POTÊNCIA DE UM PRODUTO
   +5 ---------- base                                                           [( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4
    2 ---------- expoente
   +25 ---------- potência                                                      Para calcular a potência de um produto, sendo n o
                                                                             expoente, elevamos cada fator ao expoente n.
   Observacões :
   (+2 ) 1 significa +2, isto é, (+2 )1 = +2                                    POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO
   ( -3 )1 significa -3, isto é, ( -3 )1 = -3
                                                                                (+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0
   CÁLCULOS                                                                     e     (+2 )5 : (+2 )5 = 1

   O EXPOENTE É PAR                                                            Consequentemente: (+2 )0 = 1                   ( -4 )0 = 1
   Calcular as potências
   1) (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16            isto é,           Qualquer potência de expoente zero é igual a 1.
      (+2)4 = +16
   2) ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16       isto é,            Observação:
      (-2 )4 = +16                                                               Não confundir -32 com ( -3 )2, porque -32 significa
                                                                             -( 3 )2 e portanto
   Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16                                    -32 = -( 3 )2 = -9
                                                                                enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9
   Então, de modo geral, temos a regra:                                         Logo: -3 2 ≠ ( -3 )2

  Quando o expoente é par, a potência é sempre um                                                      CÁLCULOS
número positivo.
                                                                                O EXPOENTE É PAR
   Outros exemplos:          (-1)6 = +1          (+3)2 = +9                     Calcular as potências
                                                                                (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto é, (+2) 4
  O EXPOENTE É ÍMPAR                                                            = +16
  Calcular as potências:                                                        ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto é, (-2 ) 4
  1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8                                        = +16
     isto é, (+2)3 = + 8
  2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8                                    Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16
     ou seja, (-2)3 = -8
Matemática                                                              11                A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




                                                                             vida. Vamos definir números pares e ímpares de acordo
  Então, de modo geral, temos a regra:                                       com a concepção pitagórica:
  Quando o expoente é par, a potência é sempre um                               • par é o número que pode ser dividido em duas
número positivo.                                                                    partes iguais, sem que uma unidade fique no
                                                                                    meio, e ímpar é aquele que não pode ser dividido
      Outros exemplos: (-1)6 = +1                   (+3)2 = +9                      em duas partes iguais, porque sempre há uma
                                                                                    unidade no meio
                     O EXPOENTE É ÍMPAR
                                                                               Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação
      Exemplos:                                                              com à natureza dos números:
      Calcular as potências:                                                   • número par é aquele que tanto pode ser dividido
      1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8                                       em duas partes iguais como em partes desiguais,
          isto é, (+2)3 = + 8                                                      mas de forma tal que em nenhuma destas
      2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8                                   divisões haja uma mistura da natureza par com a
          ou seja, (-2)3 = -8                                                      natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem
                                                                                   uma única exceção, que é o princípio do par, o
      Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8                                   número 2, que não admite a divisão em partes
                                                                                   desiguais, porque ele é formado por duas
  Daí, a regra:                                                                    unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro
  Quando o expoente é ímpar, a potência tem o                                      número par, 2.
mesmo sinal da base.
                                                                                 Para exemplificar o texto acima, considere o número
      Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27                 (+2)4 = +16            10, que é par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5,
      PROPRIEDADES                                                           mas também como a soma de 7 e 3 (que são ambos
      PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE                                     ímpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos são pares);
      Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5                         mas nunca como a soma de um número par e outro
          ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10          ímpar. Já o número 11, que é ímpar pode ser escrito
                                                                             como soma de 8 e 3, um par e um ímpar. Atualmente,
  Para multiplicar potências de mesma                           base,        definimos números pares como sendo o número que ao
mantemos a base e somamos os expoentes.                                      ser dividido por dois têm resto zero e números ímpares
                                                                             aqueles que ao serem divididos por dois têm resto
    QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE                                     diferente de zero. Por exemplo, 12 dividido por 2 têm
    (+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3                                     resto zero, portanto 12 é par. Já o número 13 ao ser
    ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4                                  dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 é ímpar.
    Para dividir potências de mesma base em que o
expoente do dividendo é maior que o expoente do                                             MÚLTIPLOS E DIVISORES
divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes.
                                                                                DIVISIBILIDADE
   POTÊNCIA DE POTÊNCIA                                                         Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4,
   [( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15                                       6 ou 8. Ex.: O número 74 é divisível por 2, pois termina em
   Para calcular uma potência de potência,                                   4.
conservamos a base da primeira potência e
multiplicamos os expoentes .                                                     Um número é divisível por 3 quando a soma dos
                                                                             valores absolutos dos seus algarismos é um número
   POTÊNCIA DE UM PRODUTO                                                    divisível por 3. Ex.: 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6 e
   [( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4                   6 é divisível por 3
   Para calcular a potência de um produto, sendo n o
expoente, elevamos cada fator ao expoente n.                                    Um número é divisível por 5 quando o algarismo das
                                                                             unidades é 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 5). Ex.: O
      POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO                                              número 320 é divisível por 5, pois termina em 0.
      (+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0
      e    (+2 )5 : (+2 )5 = 1                                                  Um número é divisível por 10 quando o algarismo das
      Consequentemente: (+2 )0 = 1        ( -4 )0 = 1                        unidades é 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O número
      Qualquer potência de expoente zero é igual a 1.                        500 é divisível por 10, pois termina em 0.
   Observação: Não confundir-32 com (-3)2, porque
                                                                                                NÚMEROS PRIMOS
-3 significa -( 3 )2 e portanto: -32 = -( 3 )2 = -9
  2

   enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9
                                                                                Um número natural é primo quando é divisível apenas
   Logo: -3 2 ≠ ( -3 )2
                                                                             por dois números distintos: ele próprio e o 1.
                NÚMEROS PARES E ÍMPARES
                                                                                Exemplos:
   Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e                           • O número 2 é primo, pois é divisível apenas por dois
baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de                            números diferentes: ele próprio e o 1.

Matemática                                                              12               A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




   • O número 5 é primo, pois é divisível apenas por dois        verificar se cada um é ou não divisor de 12, assinalando
     números distintos: ele próprio e o 1.                       os divisores.
   • O número natural que é divisível por mais de dois           1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12
     números diferentes é chamado composto.                      = = = =               =                           ==
   • O número 4 é composto, pois é divisível por 1, 2, 4.            Indicando por D(12) (lê-se: "D de 12”) o conjunto dos
   • O número 1 não é primo nem composto, pois é                 divisores do número 12, temos:
     divisível apenas por um número (ele mesmo).                                  D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12}
   • O número 2 é o único número par primo.
                                                                    Na prática, a maneira mais usada é a seguinte:
         DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS                             1º) Decompomos em fatores primos o número
                    (FATORAÇÃO)                                     considerado.
                                                                                        12 2
   Um número composto pode ser escrito sob a forma                                       6 2
de um produto de fatores primos.                                                         3 3
                                                                                         1
    Por exemplo, o número 60 pode ser escrito na forma:
60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 2 2 . 3 . 5 que é chamada de forma             2º) Colocamos um traço vertical ao lado os fatores
fatorada.                                                           primos e, à sua direita e acima, escrevemos o
                                                                    numero 1 que é divisor de todos os números.
   Para escrever um número na forma fatorada,                                                  1
devemos decompor esse número em fatores primos,                                       12 2
procedendo do seguinte modo:                                                            6 2
                                                                                        3 3
   Dividimos o número considerado pelo menor número                                     1
primo possível de modo que a divisão seja exata.
   Dividimos o quociente obtido pelo menor número                   3º) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e
primo possível.                                                     escrevemos o produto            obtido na linha
                                                                    correspondente.
   Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo                                         x1
menor número primo possível, até que se obtenha o                                      12 2     2
quociente 1.                                                                            6 2
                                                                                        3 3
                                                                                        1

   Exemplo:                                                         4º) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos
   60    2                                                          divisores já obtidos, escrevendo os produtos nas
                                                                    linhas correspondentes, sem repeti-los.
     0    30     2                                                                              x1
                                                                                         12 2    2
          0      15        3                                                              6 2    4
                  5            0     5                                                    3 3
                                                                                          1
                                     1
   Portanto:    60 = 2 . 2 . 3 . 5                                                               x1
                                                                                        12 2      2
    Na prática, costuma-se traçar uma barra vertical à                                   6 2      4
direita do número e, à direita dessa barra, escrever os                                  3 3      3, 6, 12
divisores primos; abaixo do número escrevem-se os                                        1
quocientes obtidos. A decomposição em fatores primos
estará terminada quando o último quociente for igual a 1.           Os números obtidos à direita dos fatores primos são
                                                                 os divisores do número considerado. Portanto:
   Exemplo:                                                               D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12}
                       60 2
                       30 2                                         Exemplos:
                       15 3                                         1)
                        5 5                                                        1
                       1                                                 18 2      2
   Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5                                               9 3      3, 6    D(18) = {1, 2 , 3, 6, 9, 18}
                                                                          3 3      9, 18
               DIVISORES DE UM NÚMERO                                     1

   Consideremos o número 12 e vamos determinar                      2)
todos os seus divisores Uma maneira de obter esse
resultado é escrever os números naturais de 1 a 12 e
Matemática                                                  13              A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




                 1
        30 2     2                                                  Observação: Esse processo prático costuma ser
        15 3     3, 6                                            simplificado fazendo-se uma decomposição simultânea
         5 5     5, 10, 15, 30                                   dos números. Para isso, escrevem-se os números, um
         1                                                       ao lado do outro, separando-os por vírgula, e, à direita da
                                                                 barra vertical, colocada após o último número, escrevem-
            D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}                 se os fatores primos comuns e não-comuns. 0 calculo
                                                                 estará terminado quando a última linha do dispositivo for
               MÁXIMO DIVISOR COMUM                              composta somente pelo número 1. O M.M.C dos
                                                                 números apresentados será o produto dos fatores.
  Recebe o nome de máximo divisor comum de dois ou
mais números o maior dos divisores comuns a esses                   Exemplo:
números.                                                            Calcular o M.M.C (36, 48, 60)
                                                                          36, 48, 60 2
   Um método prático para o cálculo do M.D.C. de dois                     18, 24, 30 2
números é o chamado método das divisões sucessivas                         9, 12, 15 2
(ou algoritmo de Euclides), que consiste das etapas                        9, 6, 15 2
seguintes:                                                                 9, 3, 15 3
   1ª) Divide-se o maior dos números pelo menor. Se a                      3, 1, 5 3
        divisão for exata, o M.D.C. entre esses números                    1, 1 5 5
        é o menor deles.                                                   1, 1, 1
   2ª) Se a divisão não for exata, divide-se o divisor (o
        menor dos dois números) pelo resto obtido na                Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24 . 32 . 5 = 720
        divisão anterior, e, assim, sucessivamente, até
        se obter resto zero. 0 ultimo divisor, assim              RAÍZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS
        determinado, será o M.D.C. dos números
        considerados.                                               CONCEITO
                                                                    Consideremos o seguinte problema:
      Exemplo:                                                      Descobrir os números inteiros cujo quadrado é +25.
      Calcular o M.D.C. (24, 32)                                    Solução: (+5 )2 = +25        e       ( -5 )2 =+25
                                                                    Resposta: +5 e -5
      32        24                 24       8
                                                                    Os números +5 e -5 chamam-se raízes quadradas de
        8        1                  0       3                    +25.

   Resposta: M.D.C. (24, 32) = 8                                   Outros exemplos:
                                                                       Número              Raízes quadradas
             MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM                                     +9                  + 3 e -3
                                                                       +16                 + 4 e -4
   Recebe o nome de mínimo múltiplo comum de dois                      +1                  + 1 e -1
ou mais números o menor dos múltiplos (diferente de                    +64                 + 8 e -8
zero) comuns a esses números.                                          +81                 + 9 e -9
                                                                       +49                 + 7 e -7
   O processo prático para o cálculo do M.M.C de dois                  +36                 +6 e -6
ou mais números, chamado de decomposição em fatores                O símbolo     25 significa a raiz quadrada de 25, isto
primos, consiste das seguintes etapas:                           é   25 = +5
   1º) Decompõem-se em fatores primos os números
        apresentados.                                              Como 25 = +5 , então: − 25 = −         5
   2º) Determina-se o produto entre os fatores primos              Agora, consideremos este problema.
        comuns e não-comuns com seus maiores
        expoentes. Esse produto é o M.M.C procurado.                Qual ou quais os números inteiros cujo quadrado é
                                                                 -25?
   Exemplos: Calcular o M.M.C (12, 18)                              Solução: (+5 )2 = +25 e    (-5 )2 = +25
                                                                    Resposta: não existe número inteiro cujo quadrado
   Decompondo em fatores primos esses números,                   seja -25, isto é,  − 25 não existe no conjunto Z dos
temos:                                                           números inteiros.
   12 2            18     2
    6 2            9      3                                          Conclusão: os números inteiros positivos têm, como
    3 3            3      3                                      raiz quadrada, um número positivo, os números inteiros
    1              1                                             negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z dos
                                                                 números inteiros.
   12 = 22 . 3        18 = 2 . 32
   Resposta: M.M.C (12, 18) = 22 . 32 = 36                                            RADICIAÇÃO

Matemática                                                  14              A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




                                                                                                         -(-3) - [-4 ] =
   A raiz n-ésima de um número b é um número a tal                                                       +3 + 4 = 7
que an = b.
                                                                                                    4)   –2( -3 –1)2 +3 . ( -1 – 3)3 + 4
                          n
                              b = a ⇒ an = b                                                             -2 . ( -4 )2 + 3 . ( - 4 )3 + 4 =
                                                                                                         -2 . (+16) + 3 . (- 64) + 4               =
          5
              32 = 2                                                                                     -32 – 192 + 4 =
                                                                                                         -212 + 4 = - 208
  5                       índice
  32                      radicando                       pois 25 = 32                              5)   (-288) : (-12)2 - (-125) : ( -5 )2 =
                                                                                                         (-288) : (+144) - (-125) : (+25) =
                          raiz
                                                                                                         (-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +3
  2                       radical
                                                                                                    6)   (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) =
  Outros exemplos :                              3
                                                     8 = 2 pois 2 3 = 8                                  (-18) : (+6 ) - (-25) : (+5 ) =
   3
       − 8 = - 2 pois ( -2 )3 = -8                                                                       -3 - (- 5) =
                                                                                                         - 3 + 5 = +2
  PROPRIEDADES (para a                                 ≥ 0, b ≥ 0)                                  7)   –52 : (+25) - (-4 )2 : 24 - 12 =
                              m: p
  1ª)     m
              a   n
                          =           a   n: p             15
                                                                310
                                                                        = 3
                                                                         3    2
                                                                                                         -25 : (+25) - (+16) : 16 - 1 =
                                                                                                         -1 - (+1) –1 = -1 -1 –1 = -3
  2ª)     n
              a⋅b = a ⋅ b     n       n
                                                                6 = 2⋅ 3
                                                                     4
                                                                 5      5                           8)   2 . ( -3 )2 + (-40) : (+2)3 - 22 =
  3ª)     n
              a:b = n a :n b                               4       =4                                    2 . (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 =
                                                                16     16
                                                                                                         +18 + (-5) - 4 =
  4ª)     ( a)
          m
                      n
                          = m an                           ( x)
                                                           3
                                                                    5
                                                                        = 3 x5                           + 18 - 9 = +9
  5ª)     m n
                  a = m⋅n a                                6
                                                                    3 = 12 3
                                                                                                  CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
   EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM NÚMEROS
                                                                                                    Os números racionais são representados por um
INTEIROS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES
   Para calcular o valor de uma expressão numérica                                                                                                 a
                                                                                                 numeral em forma de fração ou razão,                , sendo a e
com números inteiros, procedemos por etapas.                                                                                                       b
                                                                                                 b números naturais, com a condição de b ser diferente
  1ª ETAPA:                                                                                      de zero.
   a) efetuamos o que está entre parênteses                                           ( )            1. NÚMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado
   b) eliminamos os parênteses                                                                   (a, b) de números naturais, sendo b ≠ 0, corresponde
                                                                                                                                 a
  2ª ETAPA:                                                                                      um número fracionário             .O termo a chama-se
   a) efetuamos o que está entre colchetes                                        [     ]                                        b
   b) eliminamos os colchetes                                                                    numerador e o termo b denominador.

  3º ETAPA:                                                                                          2. TODO NÚMERO NATURAL pode ser
     a) efetuamos o que está entre chaves { }                                                    representado por uma fração de denominador 1. Logo,
     b) eliminamos as chaves                                                                     é possível reunir tanto os números naturais como os
                                                                                                 fracionários num único conjunto, denominado conjunto
   Em cada etapa, as operações devem ser efetuadas                                               dos números racionais absolutos, ou simplesmente
na seguinte ordem:                                                                               conjunto dos números racionais Q.
   1ª) Potenciação e radiciação na ordem em que
        aparecem.                                                                                   Qual seria a definição de um número racional
   2ª) Multiplicação e divisão na ordem em que                                                   absoluto ou simplesmente racional? A definição
        aparecem.                                                                                depende das seguintes considerações:
   3ª) Adição e subtração na ordem em que aparecem.                                                 a) O número representado por uma fração não
                                                                                                       muda de valor quando multiplicamos ou
  Exemplos:                                                                                            dividimos tanto o numerador como o
  1) 2 + 7 . (-3 + 4) =                                                                                denominador por um mesmo número natural,
      2 + 7 . (+1) = 2 + 7 = 9                                                                         diferente de zero.
                                                                                                       Exemplos: usando um novo símbolo:               ≈
  2)              3
         (-1 ) + (-2 ) : (+2 ) =  2                                                                    ≈ é o símbolo de equivalência para frações
         -1+ (+4) : (+2 ) =                                                                              2 2 × 5 10 10 × 2 20
         -1 + (+2 ) =                                                                                     ≈     ≈  ≈      ≈   ≈ ⋅⋅⋅
                                                                                                         3 3 × 5 15 15 × 2 30
         -1 + 2 = +1                                                                                b) Classe de equivalência. É o conjunto de todas
                                                                                                       as frações equivalentes a uma fração dada.
  3)     -(-4 +1) – [-(3 +1)] =

Matemática                                                                                  15              A Opção Certa Para a Sua
Realização
MATEMÁTICA




         3 6 9 12
          , , , ,⋅ ⋅ ⋅         (classe de equivalência da           g) forma mista de uma fração: é o nome dado ao
         1 2 3 4                                                  numeral formado por uma parte natural e uma parte
                   3                                                            4
         fração:     )                                            fracionária;  2 A parte natural é 2 e a parte
                   1                                                            7
                                                                              4
   Agora já podemos definir número racional : número              fracionária   .
racional é aquele definido por uma classe de
                                                                              7
equivalência da qual cada fração é um representante.
                                                                     h) irredutível: é aquela que não pode ser mais
  NÚMERO RACIONAL NATURAL ou NÚMERO                               simplificada, por ter seus termos primos entre si.
NATURAL:                                                                             3          5     3
                                                                                       ,          ,     , etc.
          0 0                                                                        4         12     7
   0=      = = ⋅ ⋅ ⋅ (definido          pela   classe   de
          1 2
                          equivalência que representa o              4. PARA SIMPLIFICAR UMA FRAÇÃO, desde que
                          mesmo número racional 0)                não possua termos primos entre si, basta dividir os
                                                                  dois ternos pelo seu divisor comum.
          1 2
   1=      = = ⋅⋅⋅        (definido     pela   classe   de                            8   8:4   2
          1 2                                                                           =     =
                        equivalência que representa o
                                                                                     12 12 : 4 3
                        mesmo número racional 1)
          e assim por diante.                                        5. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES.
                                                                     Para comparar duas ou mais frações quaisquer
  NÚMERO   RACIONAL                   FRACIONÁRIO       ou        primeiramente convertemos em frações equivalentes
                                                                  de mesmo denominador. De duas frações que têm o
NÚMERO FRACIONÁRIO:                                               mesmo denominador, a maior é a que tem maior
   1 2 3                                                          numerador. Logo:
    = = = ⋅ ⋅ ⋅ (definido              pela    classe   de
   2 4 6                                                              6   8   9  1 2 3
                         equivalência que representa     o              <   <   ⇔ < <
                                                                     12 12 12    2 3 4
                         mesmo número racional 1/2).                 (ordem crescente)
  NOMES DADOS ÀS FRAÇÕES DIVERSAS                                   De duas frações que têm o mesmo numerador, a
  Decimais: quando têm como denominador 10 ou                     maior é a que tem menor denominador.
uma potência de 10
                                                                                     7 7
                     5 7                                             Exemplo:         >
                      ,    ,⋅ ⋅ ⋅ etc.                                               2 5
                    10 100                                                   OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
  b) próprias: aquelas que representam quantidades
                                                                      ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
menores do que 1.
                                                                      A soma ou a diferença de duas frações é uma outra
                    1 3 2                                         fração, cujo calculo recai em um dos dois casos
                     , , ,⋅ ⋅ ⋅       etc.                        seguintes:
                    2 4 7
                                                                    1º CASO: Frações com mesmo denominador.
  c) impróprias: as que indicam quantidades iguais ou             Observemos as figuras seguintes:
maiores que 1.
                    5 8 9
                     , , ,⋅ ⋅ ⋅ etc.
                    5 1 5
                                                                                           3           2
   d) aparentes: todas as que simbolizam um número                                         6           6
natural.
                    20         8                                                                 5
                       = 5,      = 4 , etc.
                    4          2                                                                 6
                                                                                               3 2 5
    e) ordinárias: é o nome geral dado a todas as                    Indicamos por:             + =
frações, com exceção daquelas que possuem como                                                 6 6 6
denominador 10, 102, 103 ...

   f) frações iguais: são as que possuem os termos
         3   3           8 8
iguais     =   ,          = , etc.
         4   4           5 5
Matemática                                                   16              A Opção Certa Para a Sua
Realização
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)
Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)
Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)
Otávio Sales
 
Triangulo exercicios
Triangulo   exerciciosTriangulo   exercicios
Triangulo exercicios
Diomedes Manoel
 
Numeros inteiros piramide para o slide
Numeros inteiros piramide para o slideNumeros inteiros piramide para o slide
Numeros inteiros piramide para o slide
Adriano Augusto
 
SONDAGEM DE MATEMÁTICA/ 7º ANO
SONDAGEM DE MATEMÁTICA/ 7º ANOSONDAGEM DE MATEMÁTICA/ 7º ANO
SONDAGEM DE MATEMÁTICA/ 7º ANO
Etiene Isaias da Silva
 
Recuperação paralela 1 bimestre
Recuperação paralela 1 bimestreRecuperação paralela 1 bimestre
Recuperação paralela 1 bimestre
Graziele Sousa
 
Avaliação diagnóstica 7 ano
Avaliação diagnóstica 7 anoAvaliação diagnóstica 7 ano
Avaliação diagnóstica 7 ano
Daniela F Almenara
 
www.CentroApoio.com - Matemática - Dízima Periódica - Vídeo Aulas
www.CentroApoio.com - Matemática - Dízima Periódica - Vídeo Aulas www.CentroApoio.com - Matemática - Dízima Periódica - Vídeo Aulas
www.CentroApoio.com - Matemática - Dízima Periódica - Vídeo Aulas
Vídeo Aulas Apoio
 
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática   7ano - gabaritoI lista de exercícios de matemática   7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
jonihson
 
Lista de exercícios estrutura atômica
Lista de exercícios estrutura atômicaLista de exercícios estrutura atômica
Lista de exercícios estrutura atômica
Nai Mariano
 
Potencia.pdf
Potencia.pdfPotencia.pdf
Potencia.pdf
Klaudio Manoel
 
Lista de exercícios 2 operações com números naturais
Lista de exercícios 2   operações com números naturaisLista de exercícios 2   operações com números naturais
Lista de exercícios 2 operações com números naturais
Everton Moraes
 
Divisores de um número natural
Divisores de um número naturalDivisores de um número natural
Divisores de um número natural
Mary Alvarenga
 
Atividades produtos notáveis
Atividades produtos notáveisAtividades produtos notáveis
Atividades produtos notáveis
Alessandra Dias
 
Círculo e circunferência 8º ano
Círculo e circunferência 8º anoCírculo e circunferência 8º ano
Círculo e circunferência 8º ano
Andréia Rodrigues
 
3 Revisão plano cartetsiano.pdf
3 Revisão plano cartetsiano.pdf3 Revisão plano cartetsiano.pdf
3 Revisão plano cartetsiano.pdf
karfrio
 
1ª lista de exerc(monomios) 8º ano ilton bruno
1ª lista de exerc(monomios) 8º ano   ilton bruno1ª lista de exerc(monomios) 8º ano   ilton bruno
1ª lista de exerc(monomios) 8º ano ilton bruno
Ilton Bruno
 
Cruzadinha substantivos.docx
Cruzadinha substantivos.docxCruzadinha substantivos.docx
Cruzadinha substantivos.docx
FelipeFreitas599696
 
2ª lista de exercícios 7º ano - linguagem algébrica
2ª lista de exercícios   7º ano - linguagem algébrica2ª lista de exercícios   7º ano - linguagem algébrica
2ª lista de exercícios 7º ano - linguagem algébrica
Alessandra Dias
 
Aula 02 polígonos - exercicios
Aula 02   polígonos - exerciciosAula 02   polígonos - exercicios
Aula 02 polígonos - exercicios
Jeane Carvalho
 
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
Josie Michelle Soares
 

Mais procurados (20)

Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)
Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)
Probabilidade e Estatística - Escola Nova - para 7º ano (ou 6º)
 
Triangulo exercicios
Triangulo   exerciciosTriangulo   exercicios
Triangulo exercicios
 
Numeros inteiros piramide para o slide
Numeros inteiros piramide para o slideNumeros inteiros piramide para o slide
Numeros inteiros piramide para o slide
 
SONDAGEM DE MATEMÁTICA/ 7º ANO
SONDAGEM DE MATEMÁTICA/ 7º ANOSONDAGEM DE MATEMÁTICA/ 7º ANO
SONDAGEM DE MATEMÁTICA/ 7º ANO
 
Recuperação paralela 1 bimestre
Recuperação paralela 1 bimestreRecuperação paralela 1 bimestre
Recuperação paralela 1 bimestre
 
Avaliação diagnóstica 7 ano
Avaliação diagnóstica 7 anoAvaliação diagnóstica 7 ano
Avaliação diagnóstica 7 ano
 
www.CentroApoio.com - Matemática - Dízima Periódica - Vídeo Aulas
www.CentroApoio.com - Matemática - Dízima Periódica - Vídeo Aulas www.CentroApoio.com - Matemática - Dízima Periódica - Vídeo Aulas
www.CentroApoio.com - Matemática - Dízima Periódica - Vídeo Aulas
 
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática   7ano - gabaritoI lista de exercícios de matemática   7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
 
Lista de exercícios estrutura atômica
Lista de exercícios estrutura atômicaLista de exercícios estrutura atômica
Lista de exercícios estrutura atômica
 
Potencia.pdf
Potencia.pdfPotencia.pdf
Potencia.pdf
 
Lista de exercícios 2 operações com números naturais
Lista de exercícios 2   operações com números naturaisLista de exercícios 2   operações com números naturais
Lista de exercícios 2 operações com números naturais
 
Divisores de um número natural
Divisores de um número naturalDivisores de um número natural
Divisores de um número natural
 
Atividades produtos notáveis
Atividades produtos notáveisAtividades produtos notáveis
Atividades produtos notáveis
 
Círculo e circunferência 8º ano
Círculo e circunferência 8º anoCírculo e circunferência 8º ano
Círculo e circunferência 8º ano
 
3 Revisão plano cartetsiano.pdf
3 Revisão plano cartetsiano.pdf3 Revisão plano cartetsiano.pdf
3 Revisão plano cartetsiano.pdf
 
1ª lista de exerc(monomios) 8º ano ilton bruno
1ª lista de exerc(monomios) 8º ano   ilton bruno1ª lista de exerc(monomios) 8º ano   ilton bruno
1ª lista de exerc(monomios) 8º ano ilton bruno
 
Cruzadinha substantivos.docx
Cruzadinha substantivos.docxCruzadinha substantivos.docx
Cruzadinha substantivos.docx
 
2ª lista de exercícios 7º ano - linguagem algébrica
2ª lista de exercícios   7º ano - linguagem algébrica2ª lista de exercícios   7º ano - linguagem algébrica
2ª lista de exercícios 7º ano - linguagem algébrica
 
Aula 02 polígonos - exercicios
Aula 02   polígonos - exerciciosAula 02   polígonos - exercicios
Aula 02 polígonos - exercicios
 
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
 

Destaque

Projeto dificuldade de aprendizagem por simone helen drumond
Projeto dificuldade de aprendizagem por simone helen drumondProjeto dificuldade de aprendizagem por simone helen drumond
Projeto dificuldade de aprendizagem por simone helen drumond
SimoneHelenDrumond
 
Apostila etec matematica financeira ii
Apostila etec matematica financeira iiApostila etec matematica financeira ii
Apostila etec matematica financeira ii
simuladocontabil
 
Encerramento exercicios
Encerramento exerciciosEncerramento exercicios
Encerramento exercicios
zeramento contabil
 
Situações problema que fazem parte do cotidiano de um tutor.
Situações  problema que  fazem parte do cotidiano de um  tutor.Situações  problema que  fazem parte do cotidiano de um  tutor.
Situações problema que fazem parte do cotidiano de um tutor.
culturaafro
 
Atividade de-portugues-pontuacao-5º-ano
Atividade de-portugues-pontuacao-5º-anoAtividade de-portugues-pontuacao-5º-ano
Atividade de-portugues-pontuacao-5º-ano
Alex Sandro Nunes Nunes
 
D14 (5º ano mat.)
D14  (5º ano   mat.)D14  (5º ano   mat.)
D14 (5º ano mat.)
Cidinha Paulo
 
D8 (5º ano mat.)
D8 (5º ano   mat.)D8 (5º ano   mat.)
D8 (5º ano mat.)
Cidinha Paulo
 
Atividades de fixação multiplicação e divisão
Atividades de fixação multiplicação e divisãoAtividades de fixação multiplicação e divisão
Atividades de fixação multiplicação e divisão
emefjardel1
 
Problemas
ProblemasProblemas
Problemas
Raquel Becker
 
1 problemas de duzias
1 problemas de duzias1 problemas de duzias
1 problemas de duzias
eli_spina
 
Simulado 7
Simulado 7Simulado 7
Simulado 7
Cidinha Paulo
 
D7 (5º ano mat.)
D7 (5º ano   mat.)D7 (5º ano   mat.)
D7 (5º ano mat.)
Cidinha Paulo
 
Avaliação diagnóstica 6 ano 2012
Avaliação diagnóstica 6 ano 2012Avaliação diagnóstica 6 ano 2012
Avaliação diagnóstica 6 ano 2012
Daniela F Almenara
 
D6 (5º ano) mat
D6 (5º ano) matD6 (5º ano) mat
D6 (5º ano) mat
Cidinha Paulo
 
Situações-Problema - Matemática
Situações-Problema - MatemáticaSituações-Problema - Matemática
Situações-Problema - Matemática
Paulo Alves de Araujo
 

Destaque (15)

Projeto dificuldade de aprendizagem por simone helen drumond
Projeto dificuldade de aprendizagem por simone helen drumondProjeto dificuldade de aprendizagem por simone helen drumond
Projeto dificuldade de aprendizagem por simone helen drumond
 
Apostila etec matematica financeira ii
Apostila etec matematica financeira iiApostila etec matematica financeira ii
Apostila etec matematica financeira ii
 
Encerramento exercicios
Encerramento exerciciosEncerramento exercicios
Encerramento exercicios
 
Situações problema que fazem parte do cotidiano de um tutor.
Situações  problema que  fazem parte do cotidiano de um  tutor.Situações  problema que  fazem parte do cotidiano de um  tutor.
Situações problema que fazem parte do cotidiano de um tutor.
 
Atividade de-portugues-pontuacao-5º-ano
Atividade de-portugues-pontuacao-5º-anoAtividade de-portugues-pontuacao-5º-ano
Atividade de-portugues-pontuacao-5º-ano
 
D14 (5º ano mat.)
D14  (5º ano   mat.)D14  (5º ano   mat.)
D14 (5º ano mat.)
 
D8 (5º ano mat.)
D8 (5º ano   mat.)D8 (5º ano   mat.)
D8 (5º ano mat.)
 
Atividades de fixação multiplicação e divisão
Atividades de fixação multiplicação e divisãoAtividades de fixação multiplicação e divisão
Atividades de fixação multiplicação e divisão
 
Problemas
ProblemasProblemas
Problemas
 
1 problemas de duzias
1 problemas de duzias1 problemas de duzias
1 problemas de duzias
 
Simulado 7
Simulado 7Simulado 7
Simulado 7
 
D7 (5º ano mat.)
D7 (5º ano   mat.)D7 (5º ano   mat.)
D7 (5º ano mat.)
 
Avaliação diagnóstica 6 ano 2012
Avaliação diagnóstica 6 ano 2012Avaliação diagnóstica 6 ano 2012
Avaliação diagnóstica 6 ano 2012
 
D6 (5º ano) mat
D6 (5º ano) matD6 (5º ano) mat
D6 (5º ano) mat
 
Situações-Problema - Matemática
Situações-Problema - MatemáticaSituações-Problema - Matemática
Situações-Problema - Matemática
 

Semelhante a Matematica

Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Thomas Willams
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
andreilson18
 
Painel 04
Painel 04Painel 04
Painel 04
Prof. Materaldo
 
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOSMATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS
CARLOS EDUARDO MORAES PIRES
 
Apostilamatematicanotacaoformulassimbolos 111208104224-phpapp01
Apostilamatematicanotacaoformulassimbolos 111208104224-phpapp01Apostilamatematicanotacaoformulassimbolos 111208104224-phpapp01
Apostilamatematicanotacaoformulassimbolos 111208104224-phpapp01
Carlos Andrade
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
Marcelo Pinheiro
 
Apostila matematica notacao formulas simbolos
Apostila matematica notacao formulas simbolosApostila matematica notacao formulas simbolos
Apostila matematica notacao formulas simbolos
trigono_metria
 
Definição de conjuntos numéricos
Definição de conjuntos numéricosDefinição de conjuntos numéricos
Definição de conjuntos numéricos
Robson Nascimento
 
Conjuntos-Numericos-e-Dizimas-Periodicas.pdf
Conjuntos-Numericos-e-Dizimas-Periodicas.pdfConjuntos-Numericos-e-Dizimas-Periodicas.pdf
Conjuntos-Numericos-e-Dizimas-Periodicas.pdf
AnaCordeiro67
 
9ANO CONJUNTOS NUMÉRICOS.pptx
9ANO CONJUNTOS NUMÉRICOS.pptx9ANO CONJUNTOS NUMÉRICOS.pptx
9ANO CONJUNTOS NUMÉRICOS.pptx
RosangelaBraatz1
 
Painel 63 - Números Inteiros I
Painel 63 - Números Inteiros IPainel 63 - Números Inteiros I
Painel 63 - Números Inteiros I
Prof. Materaldo
 
M4 59 vb
M4 59 vbM4 59 vb
M4 59 vb
Angela Pereira
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
André Luís Nogueira
 
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiroswww.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiros
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
Lucia Silveira
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Conjunto de Números Inteiros www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
Beatriz Góes
 
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiroswww.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiros
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
ApoioAulaParticular
 
www.ensinofundamental.net.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.ensinofundamental.net.br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiroswww.ensinofundamental.net.br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiros
www.ensinofundamental.net.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
EnsinoFundamental
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricoswww.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
Clarice Leclaire
 
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiroswww.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiros
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
Antônia Sampaio
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjunto dos Números Inteiros
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática -  Conjunto dos Números Inteiroswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática -  Conjunto dos Números Inteiros
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjunto dos Números Inteiros
Aulas De Matemática Apoio
 

Semelhante a Matematica (20)

Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
 
Painel 04
Painel 04Painel 04
Painel 04
 
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOSMATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS
MATEMATICARLOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS
 
Apostilamatematicanotacaoformulassimbolos 111208104224-phpapp01
Apostilamatematicanotacaoformulassimbolos 111208104224-phpapp01Apostilamatematicanotacaoformulassimbolos 111208104224-phpapp01
Apostilamatematicanotacaoformulassimbolos 111208104224-phpapp01
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
 
Apostila matematica notacao formulas simbolos
Apostila matematica notacao formulas simbolosApostila matematica notacao formulas simbolos
Apostila matematica notacao formulas simbolos
 
Definição de conjuntos numéricos
Definição de conjuntos numéricosDefinição de conjuntos numéricos
Definição de conjuntos numéricos
 
Conjuntos-Numericos-e-Dizimas-Periodicas.pdf
Conjuntos-Numericos-e-Dizimas-Periodicas.pdfConjuntos-Numericos-e-Dizimas-Periodicas.pdf
Conjuntos-Numericos-e-Dizimas-Periodicas.pdf
 
9ANO CONJUNTOS NUMÉRICOS.pptx
9ANO CONJUNTOS NUMÉRICOS.pptx9ANO CONJUNTOS NUMÉRICOS.pptx
9ANO CONJUNTOS NUMÉRICOS.pptx
 
Painel 63 - Números Inteiros I
Painel 63 - Números Inteiros IPainel 63 - Números Inteiros I
Painel 63 - Números Inteiros I
 
M4 59 vb
M4 59 vbM4 59 vb
M4 59 vb
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
 
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiroswww.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiros
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Conjunto de Números Inteiros www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
 
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiroswww.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiros
www.AulaParticularApoio.Com.Br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
 
www.ensinofundamental.net.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.ensinofundamental.net.br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiroswww.ensinofundamental.net.br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiros
www.ensinofundamental.net.br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricoswww.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
 
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiroswww.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática -  Conjunto de Números Inteiros
www.TutoresDePlantao.Com.Br - Matemática - Conjunto de Números Inteiros
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjunto dos Números Inteiros
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática -  Conjunto dos Números Inteiroswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática -  Conjunto dos Números Inteiros
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjunto dos Números Inteiros
 

Último

347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
AntnioManuelAgdoma
 
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
LucianaCristina58
 
Leonardo da Vinci .pptx
Leonardo da Vinci                  .pptxLeonardo da Vinci                  .pptx
Leonardo da Vinci .pptx
TomasSousa7
 
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números RacionaisPotenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
wagnermorais28
 
livro ciclo da agua educação infantil.pdf
livro ciclo da agua educação infantil.pdflivro ciclo da agua educação infantil.pdf
livro ciclo da agua educação infantil.pdf
cmeioctaciliabetesch
 
Funções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prismaFunções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prisma
djincognito
 
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.pptEstrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
livrosjovert
 
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sonsAula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Érika Rufo
 
UFCD_10145_Enquadramento do setor farmacêutico_indice.pdf
UFCD_10145_Enquadramento do setor farmacêutico_indice.pdfUFCD_10145_Enquadramento do setor farmacêutico_indice.pdf
UFCD_10145_Enquadramento do setor farmacêutico_indice.pdf
Manuais Formação
 
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Mary Alvarenga
 
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptxAula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
LILIANPRESTESSCUDELE
 
GÊNERO TEXTUAL - POEMA.pptx
GÊNERO      TEXTUAL     -     POEMA.pptxGÊNERO      TEXTUAL     -     POEMA.pptx
GÊNERO TEXTUAL - POEMA.pptx
Marlene Cunhada
 
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escolaIntrodução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
Professor Belinaso
 
CRONOGRAMA - PSC 2° ETAPA 2024.pptx (1).pdf
CRONOGRAMA - PSC 2° ETAPA 2024.pptx (1).pdfCRONOGRAMA - PSC 2° ETAPA 2024.pptx (1).pdf
CRONOGRAMA - PSC 2° ETAPA 2024.pptx (1).pdf
soaresdesouzaamanda8
 
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
MessiasMarianoG
 
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptxAVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AntonioVieira539017
 
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo FreireLivro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
WelberMerlinCardoso
 
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua PortuguesaD20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
eaiprofpolly
 
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoAtividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
MateusTavares54
 
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do AssaréFamílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
profesfrancleite
 

Último (20)

347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
 
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
 
Leonardo da Vinci .pptx
Leonardo da Vinci                  .pptxLeonardo da Vinci                  .pptx
Leonardo da Vinci .pptx
 
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números RacionaisPotenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
 
livro ciclo da agua educação infantil.pdf
livro ciclo da agua educação infantil.pdflivro ciclo da agua educação infantil.pdf
livro ciclo da agua educação infantil.pdf
 
Funções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prismaFunções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prisma
 
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.pptEstrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
 
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sonsAula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
 
UFCD_10145_Enquadramento do setor farmacêutico_indice.pdf
UFCD_10145_Enquadramento do setor farmacêutico_indice.pdfUFCD_10145_Enquadramento do setor farmacêutico_indice.pdf
UFCD_10145_Enquadramento do setor farmacêutico_indice.pdf
 
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
 
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptxAula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
 
GÊNERO TEXTUAL - POEMA.pptx
GÊNERO      TEXTUAL     -     POEMA.pptxGÊNERO      TEXTUAL     -     POEMA.pptx
GÊNERO TEXTUAL - POEMA.pptx
 
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escolaIntrodução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
 
CRONOGRAMA - PSC 2° ETAPA 2024.pptx (1).pdf
CRONOGRAMA - PSC 2° ETAPA 2024.pptx (1).pdfCRONOGRAMA - PSC 2° ETAPA 2024.pptx (1).pdf
CRONOGRAMA - PSC 2° ETAPA 2024.pptx (1).pdf
 
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
 
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptxAVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
 
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo FreireLivro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
 
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua PortuguesaD20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
D20 - Descritores SAEB de Língua Portuguesa
 
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoAtividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
 
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do AssaréFamílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
 

Matematica

  • 1. MATEMÁTICA Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas. Operações com números inteiros, fracionários e Com isso inventou-se os chamados "números decimais; negativos", e junto com estes números, um novo sistema de medidas usuais; conjunto: o conjunto dos números inteiros, números relativos, representado pela letra . regra de três simples e composta; porcentagem; juros simples; O conjunto dos números inteiros é formado por equação de 1º e 2º graus; resolução de situações- todos os números NATURAIS mais todos os seus problema; representantes negativos. raciocínio lógico. Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS, possui fim). FRACIONÁRIOS E DECIMAIS Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a Conjuntos numéricos podem ser representados de mesma notação usada para os NATURAIS. diversas formas. A forma mais simples é dar um nome Z* = {..., -2, -1, 1, 2, ...} ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o Em algumas situações, teremos a necessidade de exemplo abaixo: representar o conjunto dos números inteiros que NÃO A = {51, 27, -3} SÃO NEGATIVOS. Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do que estão listados entre chaves. símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, Os nomes dos conjuntos são sempre letras e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos Veja o exemplo abaixo: utilizar qualquer letra. Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...} Vamos começar nos primórdios da matemática. - Se eu pedisse para você contar até 10, o que Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um você me diria? início. E você pode estar pensando "mas o zero não é - Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é e dez. NULO. Pois é, estes números que saem naturalmente de Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia sua boca quando solicitado, são chamados de do sinalzinho positivo representa todos os números números NATURAIS, o qual é representado pela letra NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto. . Se quisermos representar somente os positivos (ou Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e seja, os não negativos sem o zero), escrevemos: tinha como intenção mostrar quantidades. Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} *Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar Pois assim teremos apenas os positivos, já que o uma quantia nula, definiu-se este número como sendo zero não é positivo. pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com: Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros Z - ={...,- 4, - 3, - 2, -1 , 0} números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. início. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria E também os inteiros negativos (ou seja, os não representar a ausência do zero. Veja o exemplo positivos sem o zero): abaixo: Z*- ={...,- 4, - 3, - 2, -1} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Assim: Matemática 1 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 2. MATEMÁTICA Também são irracionais todas as raízes não Conjunto dos Números Naturais exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...) São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Conjunto dos Números Reais Caso queira representar o conjunto dos números É formado por todos os conjuntos citados naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar anteriormente (união do conjunto dos racionais com os um * ao lado do N: irracionais). N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...} Representado pela letra R. Conjunto dos Números Inteiros Representação geométrica de São todos os números que pertencem ao conjunto A cada ponto de uma reta podemos associar um dos Naturais mais os seus respectivos opostos único número real, e a cada número real podemos (negativos). associar um único ponto na reta. Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois São representados pela letra Z: números reais existem infinitos números reais (ou seja, Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} na reta, entre dois pontos associados a dois números reais, existem infinitos pontos). O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: Veja a representação na reta de : - Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. Fonte: É representado por Z+: http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos- Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} numericos/ - Inteiros não positivos CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} Veja a operação: 2 + 3 = 5 . A operação efetuada chama-se adição e é indicada - Inteiros não negativos e não-nulos escrevendo-se o sinal + (lê-se: “mais") entre os É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se números. esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Os números 2 e 3 são chamados parcelas. 0 Z*+ = N* número 5, resultado da operação, é chamado soma. - Inteiros não positivos e não nulos 2 → parcela São todos os números do conjunto Z - excluindo o +3 → parcela zero. Representa-se por Z*-. 5 → soma Z*- = {... -4, -3, -2, -1} A adição de três ou mais parcelas pode ser Conjunto dos Números Racionais efetuada adicionando-se o terceiro número à soma Os números racionais é um conjunto que engloba dos dois primeiros ; o quarto número à soma dos três os números inteiros (Z), números decimais finitos (por primeiros e assim por diante. exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos 3+2+6 = periódicos (que repete uma sequência de algarismos 5 + 6 = 11 da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas. Veja agora outra operação: 7 – 3 = 4 Os racionais são representados pela letra Q. Quando tiramos um subconjunto de um conjunto, realizamos a operação de subtração, que indicamos Conjunto dos Números Irracionais pelo sinal - . É formado pelos números decimais infinitos não- 7 → minuendo periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o –3 → subtraendo número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 4 → resto ou diferença 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para 0 minuendo é o conjunto maior, o subtraendo o o PI. subconjunto que se tira e o resto ou diferença o conjunto que sobra. Matemática 2 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 3. MATEMÁTICA Somando a diferença com o subtraendo obtemos o 2) Subtraindo 25 de um certo número obtemos 11. minuendo. Dessa forma tiramos a prova da subtração. Qual é esse número? 4+3=7 Solução: EXPRESSÕES NUMÉRICAS Seja x o número desconhecido. A igualdade correspondente será: Para calcular o valor de uma expressão numérica x – 25 = 11 envolvendo adição e subtração, efetuamos essas x = 11 + 25 operações na ordem em que elas aparecem na x = 36 expressão. Passamos o número 25 para o outro lado da Exemplos: 35 – 18 + 13 = igualdade e com isso ele mudou de sinal. 17 + 13 = 30 Veja outro exemplo: 47 + 35 – 42 – 15 = 3) Qual o número natural que, adicionado a 8, é 82 – 42 – 15= igual a 20? 40 – 15 = 25 Solução: x + 8 = 20 Quando uma expressão numérica contiver os sinais x = 20 – 8 de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, x = 12 procederemos do seguinte modo: 1º Efetuamos as operações indicadas dentro dos 4) Determine o número natural do qual, subtraindo parênteses; 62, obtemos 43. 2º efetuamos as operações indicadas dentro dos Solução: colchetes; x – 62 = 43 3º efetuamos as operações indicadas dentro das x = 43 + 62 chaves. x = 105 1) 35 +[ 80 – (42 + 11) ] = Para sabermos se o problema está correto é = 35 + [ 80 – 53] = simples, basta substituir o x pelo valor encontrado e = 35 + 27 = 62 realizarmos a operação. No último exemplo temos: x = 105 2) 18 + { 72 – [ 43 + (35 – 28 + 13) ] } = 105 – 62 = 43 = 18 + { 72 – [ 43 + 20 ] } = = 18 + { 72 – 63} = MULTIPLICAÇÃO = 18 + 9 = 27 Observe: 4 X 3 =12 CÁLCULO DO VALOR DESCONHECIDO A operação efetuada chama-se multiplicação e é Quando pretendemos determinar um número indicada escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre os natural em certos tipos de problemas, procedemos do números. seguinte modo: - chamamos o número (desconhecido) de x ou Os números 3 e 4 são chamados fatores. O número qualquer outra incógnita ( letra ) 12, resultado da operação, é chamado produto. - escrevemos a igualdade correspondente 3 X 4 = 12 - calculamos o seu valor 3 fatores Exemplos: X 4 1) Qual o número que, adicionado a 15, é igual a 31? 12 produto Solução: Por convenção, dizemos que a multiplicação de Seja x o número desconhecido. A igualdade qualquer número por 1 é igual ao próprio número. correspondente será: x + 15 = 31 A multiplicação de qualquer número por 0 é igual a 0. Calculando o valor de x temos: A multiplicação de três ou mais fatores pode ser x + 15 = 31 efetuada multiplicando-se o terceiro número pelo x + 15 – 15 = 31 – 15 produto dos dois primeiros; o quarto numero pelo x = 31 – 15 produto dos três primeiros; e assim por diante. x = 16 3 x 4 x 2 x 5 = 12 x 2 x 5 Na prática , quando um número passa de um lado 24 x 5 = 120 para outro da igualdade ele muda de sinal. Matemática 3 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 4. MATEMÁTICA EXPRESSÕES NUMÉRICAS Essa divisão não é exata e é chamada divisão aproximada. Sinais de associação O valor das expressões numéricas envolvendo as ATENÇÃO: operações de adição, subtração e multiplicação é 1) Na divisão de números naturais, o quociente é obtido do seguinte modo: sempre menor ou igual ao dividendo. - efetuamos as multiplicações 2) O resto é sempre menor que o divisor. - efetuamos as adições e subtrações, na ordem 3) O resto não pode ser igual ou maior que o em que aparecem. divisor. 4) O resto é sempre da mesma espécie do 1) 3.4 + 5.8– 2.9= dividendo. Exemplo: dividindo-se laranjas por =12 + 40 – 18 certo número, o resto será laranjas. = 34 5) É impossível dividir um número por 0 (zero), porque não existe um número que multiplicado 2) 9 . 6 – 4 . 12 + 7 . 2 = por 0 dê o quociente da divisão. = 54 – 48 + 14 = = 20 PROBLEMAS Não se esqueça: 1) Determine um número natural que, Se na expressão ocorrem sinais de parênteses multiplicado por 17, resulte 238. colchetes e chaves, efetuamos as operações na X . 17 = 238 ordem em que aparecem: X = 238 : 17 1º) as que estão dentro dos parênteses X = 14 2º) as que estão dentro dos colchetes Prova: 14 . 17 = 238 3º) as que estão dentro das chaves. 2) Determine um número natural que, dividido Exemplo: por 62, resulte 49. 22 + {12 +[ ( 6 . 8 + 4 . 9 ) – 3 . 7] – 8 . 9 } x : 62 = 49 = 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) – 21] – 72 } = x = 49 . 62 = 22 + { 12 + [ 84 – 21] – 72 } = x = 3038 = 22 + { 12 + 63 – 72 } = = 22 + 3 = 3) Determine um número natural que, = 25 adicionado a 15, dê como resultado 32 x + 15 = 32 x = 32 – 15 DIVISÃO x =17 Observe a operação: 30 : 6 = 5 4) Quanto devemos adicionar a 112, a fim de obtermos 186? Também podemos representar a divisão das x + 112 = 186 seguintes maneiras: x = 186 – 112 30 x = 74 30 6 ou =5 6 0 5 5) Quanto devemos subtrair de 134 para obtermos 81? O dividendo (D) é o número de elementos do 134 – x = 81 conjunto que dividimos o divisor (d) é o número de – x = 81 – 134 elementos do subconjunto pelo qual dividimos o – x = – 53 (multiplicando por –1) dividendo e o quociente (c) é o número de x = 53 subconjuntos obtidos com a divisão. Prova: 134 – 53 = 81 Essa divisão é exata e é considerada a operação 6) Ricardo pensou em um número natural, inversa da multiplicação. adicionou-lhe 35, subtraiu 18 e obteve 40 no SE 30 : 6 = 5, ENTÃO 5 x 6 = 30 resultado. Qual o número pensado? x + 35 – 18 = 40 observe agora esta outra divisão: x= 40 – 35 + 18 x = 23 32 6 Prova: 23 + 35 – 18 = 40 2 5 32 = dividendo 7) Adicionando 1 ao dobro de certo número 6 = divisor obtemos 7. Qual é esse numero? 5 = quociente 2 . x +1 = 7 2 = resto 2x = 7 – 1 2x = 6 Matemática 4 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 5. MATEMÁTICA x =6:2 Pedro: x x =3 Marcelo: x + 6 O número procurado é 3. x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro) Prova: 2. 3 +1 = 7 2 x + 6 = 30 2 x = 30 – 6 8) Subtraindo 12 do triplo de certo número 2 x = 24 obtemos 18. Determinar esse número. x = 24 : 2 3 . x -12 = 18 x = 12 (Pedro) 3 x = 18 + 12 Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18 3 x = 30 x = 30 : 3 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO AS x = 10 QUATRO OPERAÇÕES 9) Dividindo 1736 por um número natural, Sinais de associação: encontramos 56. Qual o valor deste numero O valor das expressões numéricas envolvendo as natural? quatro operações é obtido do seguinte modo: 1736 : x = 56 - efetuamos as multiplicações e as divisões, na 1736 = 56 . x ordem em que aparecem; 56 . x = 1736 - efetuamos as adições e as subtrações, na x. 56 = 1736 ordem em que aparecem; x = 1736 : 56 x = 31 Exemplo 1) 3 .15 + 36 : 9 = = 45 + 4 10) O dobro de um número é igual a 30. Qual é o = 49 número? Exemplo 2) 18 : 3 . 2 + 8 – 6 . 5 : 10 = 2 . x = 30 = 6 . 2 + 8 – 30 : 10 = 2x = 30 = 12 + 8 – 3 = x = 30 : 2 = 20 – 3 x = 15 = 17 11) O dobro de um número mais 4 é igual a 20. POTENCIAÇÃO Qual é o número ? 2 . x + 4 = 20 Considere a multiplicação: 2 . 2 . 2 em que os 2 x = 20 – 4 três fatores são todos iguais a 2. 2 x = 16 x = 16 : 2 Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma x=8 23 (lê-se: dois elevado à terceira potência), em que o 2 é o fator que se repete e o 3 corresponde à quantidade 12) Paulo e José têm juntos 12 lápis. Paulo tem o desses fatores. dobro dos lápis de José. Quantos lápis tem cada menino? Assim, escrevemos: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (3 fatores) José: x Paulo: 2x A operação realizada chama-se potenciação. Paulo e José: x + x + x = 12 O número que se repete chama-se base. 3x = 12 O número que indica a quantidade de fatores iguais x = 12 : 3 a base chama-se expoente. x=4 O resultado da operação chama-se potência. José: 4 - Paulo: 8 23 = 8 3 expoente 13) A soma de dois números é 28. Um é o triplo do outro. Quais são esses números? base potência um número: x o outro número: 3x Observações: x + x + x + x = 28 (os dois números) 1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes 4 x = 28 especiais de quadrado e cubo, x = 28 : 4 respectivamente. x = 7 (um número) 2) As potências de base 0 são iguais a zero. 02 = 0.0=0 3x = 3 . 7 = 21 (o outro número). 3) As potências de base um são iguais a um. Resposta: 7 e 21 Exemplos: 13 = 1 . 1 . 1 = 1 14) Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas. 15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 Marcelo tem 6 bolinhas a mais que Pedro. 4) Por convenção, tem-se que: Quantas bolinhas tem cada um? - a potência de expoente zero é igual a 1 (a0 = 1, Matemática 5 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 6. MATEMÁTICA a ≠ 0) 3 125 raiz cúbica de 125 30 = 1 ; 50 = 1 ; 120 = 1 4 81 raiz quarta de 81 - a potência de expoente um é igual à base (a 1 = a) 5 32 raiz quinta de 32 e assim por diante 1 1 1 2 =2; 7 =7; 100 =100 No caso da raiz quadrada, convencionou-se não PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS escrever o índice 2. Exemplo : 2 49 = 49 = 7, pois 72 = 49 1ª) para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e adicionam-se os EXERCÍCIOS expoentes. am . a n = a m + n 1) Calcule: Exemplos: 32 . 38 = 32 + 8 = 310 a) 10 – 10 : 5 = b) 45 : 9 + 6 = 5 . 5 6 = 51+6 = 57 c) 20 + 40 : 10 = d) 9. 7 – 3 = 2ª) para dividir potências de mesma base, e) 30 : 5 + 5 = f) 6 . 15 – 56 : 4 = conserva-se a base e subtraem-se os g) 63 : 9 . 2 – 2 = h) 56 – 34 : 17 . 19 = expoentes. i) 3 . 15 : 9 + 54 :18 = j) 24 –12 : 4+1. 0 = am : an = am - n Exemplos: Respostas: 7 3 : 3 = 3 3 7–3 =3 4 a) 8 b) 11 c) 24 d) 60 510 : 58 = 5 10 – 8 = 52 e) 11 f) 76 3ª) para elevar uma potência a um outro g) 12 h) 18 expoente, conserva-se base e multiplicam-se i) 8 j) 21 os expoentes. Exemplo: (32)4 = 32 . 4 = 38 2) Calcule o valor das expressões: 4ª) para elevar um produto a um expoente, eleva- a) 23 + 32 = se cada fator a esse expoente. b) 3 . 52 – 72 = (a. b)m = am . bm c) 2 . 33 – 4. 23 = d) 53 – 3 . 62 + 22 – 1 = Exemplos: (4 . 7)3 = 43 . 73 ; (3. 5)2 = 32 . 52 e) (2 + 3)2 + 2 . 34 – 152 : 5 = f) 1 + 72 – 3 . 24 + (12 : 4)2 = RADICIAÇÃO Respostas: Suponha que desejemos determinar um número a) 17 b) 26 que, elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x c) 22 d) 20 esse número, escrevemos: X2 = 9 e) 142 f) 11 De acordo com a potenciação, temos que x = 3, ou 3) Uma indústria de automóveis produz, por dia, seja: 32 = 9 1270 unidades. Se cada veículo comporta 5 pneus, quantos pneus serão utilizados ao final A operação que se realiza para determinar esse de 30 dias? (Resposta: 190.500) número 3 é chamada radiciação, que é a operação inversa da potenciação. 4) Numa divisão, o divisor é 9,o quociente é 12 e o resto é 5. Qual é o dividendo? (113) Indica-se por: 2 9 = 3 (lê-se: raiz quadrada de 9 é igual a 3) 5) Numa divisão, o dividendo é 227, o divisor é 15 e o resto é 2. Qual é o quociente? (15) Daí , escrevemos: 6) Numa divisão, o dividendo é 320, o quociente é 2 9 = 3 ⇔ 32 = 9 45 e o resto é 5. Qual é o divisor? (7) Na expressão acima, temos que: 7) Num divisão, o dividendo é 625, o divisor é 25 e - o símbolo chama-se sinal da raiz o quociente é 25. Qual ê o resto? (0) - o número 2 chama-se índice - o número 9 chama-se radicando 8) Numa chácara havia galinhas e cabras em - o número 3 chama-se raiz, igual quantidade. Sabendo-se que o total de - o símbolo 2 9 chama-se radical pés desses animais era 90, qual o número de galinhas? As raízes recebem denominações de acordo com o Resposta: 15 ( 2 pés + 4 pés = 6 pés ; 90 : 6 = índice. Por exemplo: 15). 2 36 raiz quadrada de 36 9) O dobro de um número adicionado a 3 é igual a Matemática 6 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 7. MATEMÁTICA 13. Calcule o número.(5) 2) 5x = 20 Aplicando a operação inversa da multiplicação, 10) Subtraindo 12 do quádruplo de um número temos: obtemos 60. Qual é esse número (Resp: 18) x = 20 : 5 x=4 11) Num joguinho de "pega-varetas", André e Renato fizeram 235 pontos no total. Renato fez 3) x – 5 = 10 51 pontos a mais que André. Quantos pontos Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação fez cada um? ( André-92 e Renato-143) inversa da subtração: x = 10 + 5 12) Subtraindo 15 do triplo de um número obtemos x =15 39. Qual é o número? (18) 4) x : 2 = 4 13) Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a 3 Aplicando a operação inversa da divisão, temos: amigos. No final sobraram 2. Quantas balas x=4.2 coube a cada um? (16) x=8 14) A diferença entre dois números naturais é zero e a sua soma é 30. Quais são esses números? (15) COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM PROBLEMA 15) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 pontos por exercício que erra. Usando a letra x para representar um número, Ao final de 50 exercícios tinha 130 pontos. podemos expressar, em linguagem matemática, fatos Quantos exercícios acertou? (35) e sentenças da linguagem corrente referentes a esse número, observe: 16) Um edifício tem 15 andares; cada andar, 30 - duas vezes o número 2.x salas; cada sala, 3 mesas; cada mesa, 2 gavetas; cada gaveta, 1 chave. Quantas - o número mais 2 x+2 chaves diferentes serão necessárias para abrir x todas as gavetas? (2700). - a metade do número 2 17) Se eu tivesse 3 dúzias de balas a mais do que - a soma do dobro com a metade do número tenho, daria 5 e ficaria com 100. Quantas balas x 2⋅ x + tenho realmente? (69) 2 x 18) A soma de dois números é 428 e a diferença - a quarta parte do número entre eles é 34. Qual é o número maior? (231) 4 19) Pensei num número e juntei a ele 5, obtendo PROBLEMA 1 31. Qual é o número? (26) Vera e Paula têm juntas R$ 1.080,00. Vera tem o triplo do que tem Paula. Quanto tem cada uma? 20) Qual o número que multiplicado por 7 resulta Solução: 56? (8) x + 3x = 1080 4x= 1080 21) O dobro das balas que possuo mais 10 é 36. x =1080 : 4 Quantas balas possuo? (13). x= 270 3 . 270 = 810 22) Raul e Luís pescaram 18 peixinhos. Raul Resposta: Vera – R$ 810,00 e Paula – R$ 270,00 pescou o dobro de Luís. Quanto pescou cada um? (Raul-12 e Luís-6) PROBLEMA 2 Paulo foi comprar um computador e uma bicicleta. Pagou por tudo R$ 5.600,00. Quanto custou cada PROBLEMAS um, sabendo-se que a computador é seis vezes mais caro que a bicicleta? Vamos calcular o valor de x nos mais diversos Solução: casos: x + 6x = 5600 7x = 5600 1) x + 4 = 10 x = 5600 : 7 Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação x = 800 inversa da adição: 6 . 800= 4800 x = 10 – 4 R: computador – R$ 4.800,00 e bicicleta R$ 800,00 x=6 PROBLEMA 3 Matemática 7 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 8. MATEMÁTICA Repartir 21 cadernos entre José e suas duas irmãs, Solução: x + 2x + x + 2x = 624 de modo que cada menina receba o triplo do que 6x = 624 recebe José. Quantos cadernos receberá José? x = 624 : 6 Solução: x = 104 x + 3x + 3x = 21 Resposta:S-R$ 104,00; J-R$ 208,00; P- R$ 312,00 7x = 21 x = 21 : 7 PROBLEMA 9 x =3 Se eu tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderia Resposta: 3 cadernos dar a você 7 rosas e ainda ficaria com 2. Quantas rosas tenho? PROBLEMA 4 Solução: x+4–7 = 2 Repartir R$ 2.100,00 entre três irmãos de modo x+4 =7+2 que o 2º receba o dobro do que recebe o 1º , e o 3º x+4 =9 o dobro do que recebe o 2º. Quanto receberá cada x =9–4 um? x =5 Solução: Resposta: 5 x + 2x + 4x = 2100 7x = 2100 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) x = 2100 : 7 x = 300 Conhecemos o conjunto N dos números naturais: N 300 . 2 = 600 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....,} 300 . 4 =1200 Resposta: R$ 300,00; R$ 600,00; R$ 1200,00 Assim, os números precedidos do sinal + chamam-se positivos, e os precedidos de - são PROBLEMA 5 negativos. A soma das idades de duas pessoas é 40 anos. A idade de uma é o triplo da idade da outra. Qual a Exemplos: idade de cada uma? Números inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....} Solução: Números inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ....} 3x + x = 40 4x = 40 O conjunto dos números inteiros relativos é x = 40 : 4 formado pelos números inteiros positivos, pelo zero e x = 10 pelos números inteiros negativos. Também o 3 . 10 = 30 chamamos de CONJUNTO DOS NÚMEROS Resposta: 10 e 30 anos. INTEIROS e o representamos pela letra Z, isto é: Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... } PROBLEMA 6 A soma das nossas idades é 45 anos. Eu sou 5 O zero não é um número positivo nem negativo. anos mais velho que você. Quantos anos eu tenho? Todo número positivo é escrito sem o seu sinal x + x + 5 = 45 positivo. x + x= 45 – 5 2x = 40 Exemplo: + 3 = 3 ; +10 = 10 x = 20 Então, podemos escrever: Z = {..., -3, -2, -1, 0 , 20 + 5 = 25 1, 2, 3, ...} Resposta: 25 anos N é um subconjunto de Z. PROBLEMA 7 Sua bola custou R$ 10,00 menos que a minha. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA Quanto pagamos por elas, se ambas custaram R$ Cada número inteiro pode ser representado por um 150,00? ponto sobre uma reta. Por exemplo: Solução: x + x – 10= 150 ... -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ... 2x = 150 + 10 ... C’ B’ A’ 0 A B C D ... 2x = 160 x = 160 : 2 Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o x = 80 número zero. 80 – 10 = 70 Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00 Nas representações geométricas, temos à direita do zero os números inteiros positivos, e à esquerda do PROBLEMA 8 zero, os números inteiros negativos. José tem o dobro do que tem Sérgio, e Paulo tanto quanto os dois anteriores juntos. Quanto tem cada Observando a figura anterior, vemos que cada um, se os três juntos possuem R$ 624,00? Matemática 8 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 9. MATEMÁTICA ponto é a representação geométrica de um número número oposto ou simétrico representado por (-a), inteiro. tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a) Exemplos: Exemplos: (+5) + ( -5) = 0 ( -5) + (+5) = 0  ponto C é a representação geométrica do número +3 5ª) COMUTATIVA  ponto B' é a representação geométrica do Se a e b são números inteiros, então: número -2 a+b=b+a ADIÇÃO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS Exemplo: (+4) + (-6) = (-6) + (+4) 1) A soma de zero com um número inteiro é o -2 = -2 próprio número inteiro: 0 + (-2) = -2 2) A soma de dois números inteiros positivos é um SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS número inteiro positivo igual à soma dos Em certo local, a temperatura passou de -3ºC para módulos dos números dados: (+700) + (+200) = 5ºC, sofrendo, portanto, um aumento de 8ºC, aumento +900 esse que pode ser representado por: (+5) - (-3) = (+5) 3) A soma de dois números inteiros negativos é um + (+3) = +8 número inteiro negativo igual à soma dos módulos dos números dados: (-2) + (-4) = -6 Portanto: 4) A soma de dois números inteiros de sinais A diferença entre dois números dados numa certa contrários é igual à diferença dos módulos, e o ordem é a soma do primeiro com o oposto do sinal é o da parcela de maior módulo: (-800) + segundo. (+300) = -500 Exemplos: 1) (+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +4 ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS 2) (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = -7 A soma de três ou mais números inteiros é 3) (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = -7 efetuada adicionando-se todos os números positivos e todos os negativos e, em seguida, efetuando-se a Na prática, efetuamos diretamente a subtração, soma do número negativo. eliminando os parênteses - (+4 ) = -4 Exemplos: 1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) = - ( -4 ) = +4 (+17) + (-11) = +6 Observação: 2) (+3) + (-4) + (+2) + (-8) = Permitindo a eliminação dos parênteses, os sinais (+5) + (-12) = -7 podem ser resumidos do seguinte modo: (+)=+ +(-)=- PROPRIEDADES DA ADIÇÃO - (+)=- - (- )=+ A adição de números inteiros possui as seguintes propriedades: Exemplos: - ( -2) = +2 +(-6 ) = -6 - (+3) = -3 +(+1) = +1 1ª) FECHAMENTO A soma de dois números inteiros é sempre um PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO número inteiro: (-3) + (+6) = + 3∈Z A subtração possui uma propriedade. 2ª) ASSOCIATIVA FECHAMENTO: A diferença de dois números Se a, b, c são números inteiros quaisquer, então: a inteiros é sempre um número inteiro. + (b + c) = (a + b) + c MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Exemplo:(+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2) 1º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS (+3) + (-2) = (-1) + (+2) INTEIROS POSITIVOS +1 = +1 Lembremos que: 3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6 3ª) ELEMENTO NEUTRO Exemplo: Se a é um número inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a (+3) . (+2) = 3 . (+2) = (+2) + (+2) + (+2) = +6 e0+a=a Logo: (+3) . (+2) = +6 Isto significa que o zero é elemento neutro para a Observando essa igualdade, concluímos: na adição. multiplicação de números inteiros, temos: (+) . (+) =+ Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +2 2º CASO: UM FATOR É POSITIVO E O OUTRO É 4ª) OPOSTO OU SIMÉTRICO NEGATIVO Se a é um número inteiro qualquer, existe um único Exemplos: 1) (+3) . (-4) = 3 . (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12 Matemática 9 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 10. MATEMÁTICA ou seja: (+3) . (-4) = -12 Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, então: a . (b . c) = (a . b) . c 2) Lembremos que: -(+2) = -2 (-3) . (+5) = - (+3) . (+5) = -(+15) = - 15 3ª) ELEMENTO NEUTRO ou seja: (-3) . (+5) = -15 Observe que: (+4 ) . (+1 ) = +4 e (+1 ) . (+4 ) = +4 Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: ( + ) . ( - ) = - (-).(+)=- Qualquer que seja o número inteiro a, temos: Exemplos : a . (+1 ) = a e (+1 ) . a = a (+5) . (-10) = -50 (+1) . (-8) = -8 O número inteiro +1 chama-se neutro para a (-2 ) . (+6 ) = -12 multiplicação. (-7) . (+1) = -7 4ª) COMUTATIVA 3º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS Observemos que: (+2). (-4 ) = - 8 INTEIROS NEGATIVOS e (-4 ) . (+2 ) = - 8 Exemplo: (-3) . (-6) = -(+3) . (-6) = -(-18) = +18 Portanto: (+2 ) . (-4 ) = (-4 ) . (+2 ) isto é: (-3) . (-6) = +18 Se a e b são números inteiros quaisquer, então: a . Conclusão: na multiplicação de números inteiros, b = b . a, isto é, a ordem dos fatores não altera o temos: ( - ) . ( - ) = + produto. Exemplos: (-4) . (-2) = +8 (-5) . (-4) = +20 5ª) DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À ADIÇÃO E As regras dos sinais anteriormente vistas podem À SUBTRAÇÃO ser resumidas na seguinte: Observe os exemplos: (+).(+)=+ (+).(-)=- (+3 ) . [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ) . ( -5 ) + (+3 ) . (+2 ) (- ).( -)=+ (-).(+)=- (+4 ) . [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ) . ( -2 ) - (+4 ) . (+8 ) Quando um dos fatores é o 0 (zero), o produto é Conclusão: igual a 0: (+5) . 0 = 0 Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, temos: PRODUTO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS a) a . [b + c] = a . b + a . c INTEIROS A igualdade acima é conhecida como Exemplos: 1) (+5 ) . ( -4 ) . (-2 ) . (+3 ) = propriedade distributiva da multiplicação em (-20) . (-2 ) . (+3 ) = relação à adição. (+40) . (+3 ) = +120 b) a . [b – c] = a . b - a . c 2) (-2 ) . ( -1 ) . (+3 ) . (-2 ) = A igualdade acima é conhecida como (+2 ) . (+3 ) . (-2 ) = propriedade distributiva da multiplicação em (+6 ) . (-2 ) = -12 relação à subtração. Podemos concluir que: DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS - Quando o número de fatores negativos é par, o produto sempre é positivo. CONCEITO - Quando o número de fatores negativos é ímpar, Dividir (+16) por 2 é achar um número que, o produto sempre é negativo. multiplicado por 2, dê 16. 16 : 2 = ? ⇔ 2 . ( ? ) = 16 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO No conjunto Z dos números inteiros são válidas as O número procurado é 8. Analogamente, temos: seguintes propriedades: 1) (+12) : (+3 ) = +4 porque (+4 ) . (+3 ) = +12 2) (+12) : ( -3 ) = - 4 porque (- 4 ) . ( -3 ) = +12 1ª) FECHAMENTO 3) ( -12) : (+3 ) = - 4 porque (- 4 ) . (+3 ) = -12 Exemplo: (+4 ) . (-2 ) = - 8 Z ∈ 4) ( -12) : ( -3 ) = +4 porque (+4 ) . ( -3 ) = -12 Então o produto de dois números inteiros é inteiro. A divisão de números inteiros só pode ser realizada 2ª) ASSOCIATIVA quando o quociente é um número inteiro, ou seja, Exemplo: (+2 ) . (-3 ) . (+4 ) quando o dividendo é múltiplo do divisor. Este cálculo pode ser feito diretamente, mas também podemos fazê-lo, agrupando os fatores de Portanto, o quociente deve ser um número inteiro. duas maneiras: (+2 ) . [(-3 ) . (+4 )] = [(+2 ) . ( -3 )]. (+4 ) Exemplos: (+2 ) . (-12) = (-6 ) . (+4 ) ( -8 ) : (+2 ) = -4 -24 = -24 ( -4 ) : (+3 ) = não é um número inteiro Lembramos que a regra dos sinais para a divisão é De modo geral, temos o seguinte: a mesma que vimos para a multiplicação: Matemática 10 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 11. MATEMÁTICA (+):(+)=+ (+):( -)=- (- ):( -)=+ ( -):(+)=- Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 Exemplos: Daí, a regra: ( +8 ) : ( -2 ) = -4 (-10) : ( -5 ) = +2 Quando o expoente é ímpar, a potência tem o (+1 ) : ( -1 ) = -1 (-12) : (+3 ) = -4 mesmo sinal da base. PROPRIEDADE Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16 Como vimos: (+4 ) : (+3 ) ∉ Z Portanto, não vale em Z a propriedade do PROPRIEDADES fechamento para a divisão. Alem disso, também não são válidas as proposições associativa, comutativa e PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE do elemento neutro. Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Para multiplicar potências de mesma base, CONCEITO mantemos a base e somamos os expoentes. A notação (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE (+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 é um produto de três fatores iguais Para dividir potências de mesma base em que o expoente do dividendo é maior que o expoente do Analogamente: divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes. ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) POTÊNCIA DE POTÊNCIA [( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 é um produto de quatro fatores iguais Para calcular uma potência de potência, conservamos a base da primeira potência e Portanto potência é um produto de fatores iguais. multiplicamos os expoentes . Na potência (+5 )2 = +25, temos: POTÊNCIA DE UM PRODUTO +5 ---------- base [( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 2 ---------- expoente +25 ---------- potência Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n. Observacões : (+2 ) 1 significa +2, isto é, (+2 )1 = +2 POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO ( -3 )1 significa -3, isto é, ( -3 )1 = -3 (+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 CÁLCULOS e (+2 )5 : (+2 )5 = 1 O EXPOENTE É PAR Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 Calcular as potências 1) (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto é, Qualquer potência de expoente zero é igual a 1. (+2)4 = +16 2) ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto é, Observação: (-2 )4 = +16 Não confundir -32 com ( -3 )2, porque -32 significa -( 3 )2 e portanto Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16 -32 = -( 3 )2 = -9 enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 Então, de modo geral, temos a regra: Logo: -3 2 ≠ ( -3 )2 Quando o expoente é par, a potência é sempre um CÁLCULOS número positivo. O EXPOENTE É PAR Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9 Calcular as potências (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto é, (+2) 4 O EXPOENTE É ÍMPAR = +16 Calcular as potências: ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto é, (-2 ) 4 1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 = +16 isto é, (+2)3 = + 8 2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16 ou seja, (-2)3 = -8 Matemática 11 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 12. MATEMÁTICA vida. Vamos definir números pares e ímpares de acordo Então, de modo geral, temos a regra: com a concepção pitagórica: Quando o expoente é par, a potência é sempre um • par é o número que pode ser dividido em duas número positivo. partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, e ímpar é aquele que não pode ser dividido Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9 em duas partes iguais, porque sempre há uma unidade no meio O EXPOENTE É ÍMPAR Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação Exemplos: com à natureza dos números: Calcular as potências: • número par é aquele que tanto pode ser dividido 1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 em duas partes iguais como em partes desiguais, isto é, (+2)3 = + 8 mas de forma tal que em nenhuma destas 2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 divisões haja uma mistura da natureza par com a ou seja, (-2)3 = -8 natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma única exceção, que é o princípio do par, o Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 número 2, que não admite a divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas Daí, a regra: unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro Quando o expoente é ímpar, a potência tem o número par, 2. mesmo sinal da base. Para exemplificar o texto acima, considere o número Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16 10, que é par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, PROPRIEDADES mas também como a soma de 7 e 3 (que são ambos PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE ímpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos são pares); Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 mas nunca como a soma de um número par e outro ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10 ímpar. Já o número 11, que é ímpar pode ser escrito como soma de 8 e 3, um par e um ímpar. Atualmente, Para multiplicar potências de mesma base, definimos números pares como sendo o número que ao mantemos a base e somamos os expoentes. ser dividido por dois têm resto zero e números ímpares aqueles que ao serem divididos por dois têm resto QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE diferente de zero. Por exemplo, 12 dividido por 2 têm (+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 resto zero, portanto 12 é par. Já o número 13 ao ser ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 é ímpar. Para dividir potências de mesma base em que o expoente do dividendo é maior que o expoente do MÚLTIPLOS E DIVISORES divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes. DIVISIBILIDADE POTÊNCIA DE POTÊNCIA Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, [( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 6 ou 8. Ex.: O número 74 é divisível por 2, pois termina em Para calcular uma potência de potência, 4. conservamos a base da primeira potência e multiplicamos os expoentes . Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é um número POTÊNCIA DE UM PRODUTO divisível por 3. Ex.: 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6 e [( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 6 é divisível por 3 Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n. Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 5). Ex.: O POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO número 320 é divisível por 5, pois termina em 0. (+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 e (+2 )5 : (+2 )5 = 1 Um número é divisível por 10 quando o algarismo das Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 unidades é 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O número Qualquer potência de expoente zero é igual a 1. 500 é divisível por 10, pois termina em 0. Observação: Não confundir-32 com (-3)2, porque NÚMEROS PRIMOS -3 significa -( 3 )2 e portanto: -32 = -( 3 )2 = -9 2 enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 Um número natural é primo quando é divisível apenas Logo: -3 2 ≠ ( -3 )2 por dois números distintos: ele próprio e o 1. NÚMEROS PARES E ÍMPARES Exemplos: Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e • O número 2 é primo, pois é divisível apenas por dois baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de números diferentes: ele próprio e o 1. Matemática 12 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 13. MATEMÁTICA • O número 5 é primo, pois é divisível apenas por dois verificar se cada um é ou não divisor de 12, assinalando números distintos: ele próprio e o 1. os divisores. • O número natural que é divisível por mais de dois 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 números diferentes é chamado composto. = = = = = == • O número 4 é composto, pois é divisível por 1, 2, 4. Indicando por D(12) (lê-se: "D de 12”) o conjunto dos • O número 1 não é primo nem composto, pois é divisores do número 12, temos: divisível apenas por um número (ele mesmo). D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} • O número 2 é o único número par primo. Na prática, a maneira mais usada é a seguinte: DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 1º) Decompomos em fatores primos o número (FATORAÇÃO) considerado. 12 2 Um número composto pode ser escrito sob a forma 6 2 de um produto de fatores primos. 3 3 1 Por exemplo, o número 60 pode ser escrito na forma: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 2 2 . 3 . 5 que é chamada de forma 2º) Colocamos um traço vertical ao lado os fatores fatorada. primos e, à sua direita e acima, escrevemos o numero 1 que é divisor de todos os números. Para escrever um número na forma fatorada, 1 devemos decompor esse número em fatores primos, 12 2 procedendo do seguinte modo: 6 2 3 3 Dividimos o número considerado pelo menor número 1 primo possível de modo que a divisão seja exata. Dividimos o quociente obtido pelo menor número 3º) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e primo possível. escrevemos o produto obtido na linha correspondente. Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo x1 menor número primo possível, até que se obtenha o 12 2 2 quociente 1. 6 2 3 3 1 Exemplo: 4º) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos 60 2 divisores já obtidos, escrevendo os produtos nas linhas correspondentes, sem repeti-los. 0 30 2 x1 12 2 2 0 15 3 6 2 4 5 0 5 3 3 1 1 Portanto: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 x1 12 2 2 Na prática, costuma-se traçar uma barra vertical à 6 2 4 direita do número e, à direita dessa barra, escrever os 3 3 3, 6, 12 divisores primos; abaixo do número escrevem-se os 1 quocientes obtidos. A decomposição em fatores primos estará terminada quando o último quociente for igual a 1. Os números obtidos à direita dos fatores primos são os divisores do número considerado. Portanto: Exemplo: D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12} 60 2 30 2 Exemplos: 15 3 1) 5 5 1 1 18 2 2 Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 9 3 3, 6 D(18) = {1, 2 , 3, 6, 9, 18} 3 3 9, 18 DIVISORES DE UM NÚMERO 1 Consideremos o número 12 e vamos determinar 2) todos os seus divisores Uma maneira de obter esse resultado é escrever os números naturais de 1 a 12 e Matemática 13 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 14. MATEMÁTICA 1 30 2 2 Observação: Esse processo prático costuma ser 15 3 3, 6 simplificado fazendo-se uma decomposição simultânea 5 5 5, 10, 15, 30 dos números. Para isso, escrevem-se os números, um 1 ao lado do outro, separando-os por vírgula, e, à direita da barra vertical, colocada após o último número, escrevem- D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} se os fatores primos comuns e não-comuns. 0 calculo estará terminado quando a última linha do dispositivo for MÁXIMO DIVISOR COMUM composta somente pelo número 1. O M.M.C dos números apresentados será o produto dos fatores. Recebe o nome de máximo divisor comum de dois ou mais números o maior dos divisores comuns a esses Exemplo: números. Calcular o M.M.C (36, 48, 60) 36, 48, 60 2 Um método prático para o cálculo do M.D.C. de dois 18, 24, 30 2 números é o chamado método das divisões sucessivas 9, 12, 15 2 (ou algoritmo de Euclides), que consiste das etapas 9, 6, 15 2 seguintes: 9, 3, 15 3 1ª) Divide-se o maior dos números pelo menor. Se a 3, 1, 5 3 divisão for exata, o M.D.C. entre esses números 1, 1 5 5 é o menor deles. 1, 1, 1 2ª) Se a divisão não for exata, divide-se o divisor (o menor dos dois números) pelo resto obtido na Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24 . 32 . 5 = 720 divisão anterior, e, assim, sucessivamente, até se obter resto zero. 0 ultimo divisor, assim RAÍZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS determinado, será o M.D.C. dos números considerados. CONCEITO Consideremos o seguinte problema: Exemplo: Descobrir os números inteiros cujo quadrado é +25. Calcular o M.D.C. (24, 32) Solução: (+5 )2 = +25 e ( -5 )2 =+25 Resposta: +5 e -5 32 24 24 8 Os números +5 e -5 chamam-se raízes quadradas de 8 1 0 3 +25. Resposta: M.D.C. (24, 32) = 8 Outros exemplos: Número Raízes quadradas MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM +9 + 3 e -3 +16 + 4 e -4 Recebe o nome de mínimo múltiplo comum de dois +1 + 1 e -1 ou mais números o menor dos múltiplos (diferente de +64 + 8 e -8 zero) comuns a esses números. +81 + 9 e -9 +49 + 7 e -7 O processo prático para o cálculo do M.M.C de dois +36 +6 e -6 ou mais números, chamado de decomposição em fatores O símbolo 25 significa a raiz quadrada de 25, isto primos, consiste das seguintes etapas: é 25 = +5 1º) Decompõem-se em fatores primos os números apresentados. Como 25 = +5 , então: − 25 = − 5 2º) Determina-se o produto entre os fatores primos Agora, consideremos este problema. comuns e não-comuns com seus maiores expoentes. Esse produto é o M.M.C procurado. Qual ou quais os números inteiros cujo quadrado é -25? Exemplos: Calcular o M.M.C (12, 18) Solução: (+5 )2 = +25 e (-5 )2 = +25 Resposta: não existe número inteiro cujo quadrado Decompondo em fatores primos esses números, seja -25, isto é, − 25 não existe no conjunto Z dos temos: números inteiros. 12 2 18 2 6 2 9 3 Conclusão: os números inteiros positivos têm, como 3 3 3 3 raiz quadrada, um número positivo, os números inteiros 1 1 negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z dos números inteiros. 12 = 22 . 3 18 = 2 . 32 Resposta: M.M.C (12, 18) = 22 . 32 = 36 RADICIAÇÃO Matemática 14 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 15. MATEMÁTICA -(-3) - [-4 ] = A raiz n-ésima de um número b é um número a tal +3 + 4 = 7 que an = b. 4) –2( -3 –1)2 +3 . ( -1 – 3)3 + 4 n b = a ⇒ an = b -2 . ( -4 )2 + 3 . ( - 4 )3 + 4 = -2 . (+16) + 3 . (- 64) + 4 = 5 32 = 2 -32 – 192 + 4 = -212 + 4 = - 208 5 índice 32 radicando pois 25 = 32 5) (-288) : (-12)2 - (-125) : ( -5 )2 = (-288) : (+144) - (-125) : (+25) = raiz (-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +3 2 radical 6) (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) = Outros exemplos : 3 8 = 2 pois 2 3 = 8 (-18) : (+6 ) - (-25) : (+5 ) = 3 − 8 = - 2 pois ( -2 )3 = -8 -3 - (- 5) = - 3 + 5 = +2 PROPRIEDADES (para a ≥ 0, b ≥ 0) 7) –52 : (+25) - (-4 )2 : 24 - 12 = m: p 1ª) m a n = a n: p 15 310 = 3 3 2 -25 : (+25) - (+16) : 16 - 1 = -1 - (+1) –1 = -1 -1 –1 = -3 2ª) n a⋅b = a ⋅ b n n 6 = 2⋅ 3 4 5 5 8) 2 . ( -3 )2 + (-40) : (+2)3 - 22 = 3ª) n a:b = n a :n b 4 =4 2 . (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 = 16 16 +18 + (-5) - 4 = 4ª) ( a) m n = m an ( x) 3 5 = 3 x5 + 18 - 9 = +9 5ª) m n a = m⋅n a 6 3 = 12 3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM NÚMEROS Os números racionais são representados por um INTEIROS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES Para calcular o valor de uma expressão numérica a numeral em forma de fração ou razão, , sendo a e com números inteiros, procedemos por etapas. b b números naturais, com a condição de b ser diferente 1ª ETAPA: de zero. a) efetuamos o que está entre parênteses ( ) 1. NÚMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado b) eliminamos os parênteses (a, b) de números naturais, sendo b ≠ 0, corresponde a 2ª ETAPA: um número fracionário .O termo a chama-se a) efetuamos o que está entre colchetes [ ] b b) eliminamos os colchetes numerador e o termo b denominador. 3º ETAPA: 2. TODO NÚMERO NATURAL pode ser a) efetuamos o que está entre chaves { } representado por uma fração de denominador 1. Logo, b) eliminamos as chaves é possível reunir tanto os números naturais como os fracionários num único conjunto, denominado conjunto Em cada etapa, as operações devem ser efetuadas dos números racionais absolutos, ou simplesmente na seguinte ordem: conjunto dos números racionais Q. 1ª) Potenciação e radiciação na ordem em que aparecem. Qual seria a definição de um número racional 2ª) Multiplicação e divisão na ordem em que absoluto ou simplesmente racional? A definição aparecem. depende das seguintes considerações: 3ª) Adição e subtração na ordem em que aparecem. a) O número representado por uma fração não muda de valor quando multiplicamos ou Exemplos: dividimos tanto o numerador como o 1) 2 + 7 . (-3 + 4) = denominador por um mesmo número natural, 2 + 7 . (+1) = 2 + 7 = 9 diferente de zero. Exemplos: usando um novo símbolo: ≈ 2) 3 (-1 ) + (-2 ) : (+2 ) = 2 ≈ é o símbolo de equivalência para frações -1+ (+4) : (+2 ) = 2 2 × 5 10 10 × 2 20 -1 + (+2 ) = ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ⋅⋅⋅ 3 3 × 5 15 15 × 2 30 -1 + 2 = +1 b) Classe de equivalência. É o conjunto de todas as frações equivalentes a uma fração dada. 3) -(-4 +1) – [-(3 +1)] = Matemática 15 A Opção Certa Para a Sua Realização
  • 16. MATEMÁTICA 3 6 9 12 , , , ,⋅ ⋅ ⋅ (classe de equivalência da g) forma mista de uma fração: é o nome dado ao 1 2 3 4 numeral formado por uma parte natural e uma parte 3  4 fração: ) fracionária;  2 A parte natural é 2 e a parte 1  7 4 Agora já podemos definir número racional : número fracionária . racional é aquele definido por uma classe de 7 equivalência da qual cada fração é um representante. h) irredutível: é aquela que não pode ser mais NÚMERO RACIONAL NATURAL ou NÚMERO simplificada, por ter seus termos primos entre si. NATURAL: 3 5 3 , , , etc. 0 0 4 12 7 0= = = ⋅ ⋅ ⋅ (definido pela classe de 1 2 equivalência que representa o 4. PARA SIMPLIFICAR UMA FRAÇÃO, desde que mesmo número racional 0) não possua termos primos entre si, basta dividir os dois ternos pelo seu divisor comum. 1 2 1= = = ⋅⋅⋅ (definido pela classe de 8 8:4 2 1 2 = = equivalência que representa o 12 12 : 4 3 mesmo número racional 1) e assim por diante. 5. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES. Para comparar duas ou mais frações quaisquer NÚMERO RACIONAL FRACIONÁRIO ou primeiramente convertemos em frações equivalentes de mesmo denominador. De duas frações que têm o NÚMERO FRACIONÁRIO: mesmo denominador, a maior é a que tem maior 1 2 3 numerador. Logo: = = = ⋅ ⋅ ⋅ (definido pela classe de 2 4 6 6 8 9 1 2 3 equivalência que representa o < < ⇔ < < 12 12 12 2 3 4 mesmo número racional 1/2). (ordem crescente) NOMES DADOS ÀS FRAÇÕES DIVERSAS De duas frações que têm o mesmo numerador, a Decimais: quando têm como denominador 10 ou maior é a que tem menor denominador. uma potência de 10 7 7 5 7 Exemplo: > , ,⋅ ⋅ ⋅ etc. 2 5 10 100 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES b) próprias: aquelas que representam quantidades ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO menores do que 1. A soma ou a diferença de duas frações é uma outra 1 3 2 fração, cujo calculo recai em um dos dois casos , , ,⋅ ⋅ ⋅ etc. seguintes: 2 4 7 1º CASO: Frações com mesmo denominador. c) impróprias: as que indicam quantidades iguais ou Observemos as figuras seguintes: maiores que 1. 5 8 9 , , ,⋅ ⋅ ⋅ etc. 5 1 5 3 2 d) aparentes: todas as que simbolizam um número 6 6 natural. 20 8 5 = 5, = 4 , etc. 4 2 6 3 2 5 e) ordinárias: é o nome geral dado a todas as Indicamos por: + = frações, com exceção daquelas que possuem como 6 6 6 denominador 10, 102, 103 ... f) frações iguais: são as que possuem os termos 3 3 8 8 iguais = , = , etc. 4 4 5 5 Matemática 16 A Opção Certa Para a Sua Realização