Matematica

MATEMÁTICA

Estes números foram suficientes para a sociedade
durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o
aumento das "trocas" de mercadorias entre os
homens, foi necessário criar uma representação
numérica para as dívidas.

Operações com números inteiros, fracionários e Com isso inventou-se os chamados "números
decimais; negativos", e junto com estes números, um novo
sistema de medidas usuais; conjunto: o conjunto dos números inteiros,
números relativos, representado pela letra .
regra de três simples e composta;
porcentagem; juros simples; O conjunto dos números inteiros é formado por
equação de 1º e 2º graus; resolução de situações- todos os números NATURAIS mais todos os seus
problema; representantes negativos.
raciocínio lógico.
Note que este conjunto não possui início nem fim
(ao contrário dos naturais, que possui um início e não
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS,
possui fim).
FRACIONÁRIOS E DECIMAIS
Assim como no conjunto dos naturais, podemos
representar todos os inteiros sem o ZERO com a
Conjuntos numéricos podem ser representados de
mesma notação usada para os NATURAIS.
diversas formas. A forma mais simples é dar um nome
Z* = {..., -2, -1, 1, 2, ...}
ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao
lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o
Em algumas situações, teremos a necessidade de
exemplo abaixo:
representar o conjunto dos números inteiros que NÃO
A = {51, 27, -3}
SÃO NEGATIVOS.
Esse conjunto se chama "A" e possui três termos,
Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do
que estão listados entre chaves.
símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta
simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS,
Os nomes dos conjuntos são sempre letras
e não os números POSITIVOS, como muita gente diz).
maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos
Veja o exemplo abaixo:
utilizar qualquer letra.
Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}
Vamos começar nos primórdios da matemática.
- Se eu pedisse para você contar até 10, o que Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um
você me diria? início. E você pode estar pensando "mas o zero não é
- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é
e dez. NULO.

Pois é, estes números que saem naturalmente de Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia
sua boca quando solicitado, são chamados de do sinalzinho positivo representa todos os números
números NATURAIS, o qual é representado pela letra NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.
.
Se quisermos representar somente os positivos (ou
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:
tinha como intenção mostrar quantidades. Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
*Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído
neste conjunto, mas pela necessidade de representar Pois assim teremos apenas os positivos, já que o
uma quantia nula, definiu-se este número como sendo zero não é positivo.
pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Ou também podemos representar somente os
inteiros NÃO POSITIVOS com:
Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros Z - ={...,- 4, - 3, - 2, -1 , 0}
números e possui algumas propriedades próprias,
algumas vezes teremos a necessidade de representar Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui
o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. início.
Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco)
empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria E também os inteiros negativos (ou seja, os não
representar a ausência do zero. Veja o exemplo positivos sem o zero):
abaixo: Z*- ={...,- 4, - 3, - 2, -1}
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Assim:
Matemática 1 A Opção Certa Para a Sua
Realização

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Também são irracionais todas as raízes não
Conjunto dos Números Naturais exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
São todos os números inteiros positivos, incluindo o
zero. É representado pela letra maiúscula N. Conjunto dos Números Reais
Caso queira representar o conjunto dos números É formado por todos os conjuntos citados
naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar anteriormente (união do conjunto dos racionais com os
um * ao lado do N: irracionais).
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...} Representado pela letra R.

Conjunto dos Números Inteiros Representação geométrica de
São todos os números que pertencem ao conjunto A cada ponto de uma reta podemos associar um
dos Naturais mais os seus respectivos opostos único número real, e a cada número real podemos
(negativos). associar um único ponto na reta.
Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois
São representados pela letra Z: números reais existem infinitos números reais (ou seja,
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} na reta, entre dois pontos associados a dois números
reais, existem infinitos pontos).
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos,
eles são: Veja a representação na reta de :

- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são
negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual
ao conjunto dos números naturais.
Fonte:
É representado por Z+:
http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} numericos/

- Inteiros não positivos CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
São todos os números inteiros que não são
positivos. É representado por Z-: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} Veja a operação: 2 + 3 = 5 .
A operação efetuada chama-se adição e é indicada
- Inteiros não negativos e não-nulos escrevendo-se o sinal + (lê-se: “mais") entre os
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se números.
esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Os números 2 e 3 são chamados parcelas. 0
Z*+ = N* número 5, resultado da operação, é chamado soma.
- Inteiros não positivos e não nulos
2 → parcela
São todos os números do conjunto Z - excluindo o +3 → parcela
zero. Representa-se por Z*-. 5 → soma
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
A adição de três ou mais parcelas pode ser
Conjunto dos Números Racionais efetuada adicionando-se o terceiro número à soma
Os números racionais é um conjunto que engloba dos dois primeiros ; o quarto número à soma dos três
os números inteiros (Z), números decimais finitos (por primeiros e assim por diante.
exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos 3+2+6 =
periódicos (que repete uma sequência de algarismos 5 + 6 = 11
da parte decimal infinitamente), como "12,050505...",
são também conhecidas como dízimas periódicas. Veja agora outra operação: 7 – 3 = 4

Os racionais são representados pela letra Q. Quando tiramos um subconjunto de um conjunto,
realizamos a operação de subtração, que indicamos
Conjunto dos Números Irracionais pelo sinal - .
É formado pelos números decimais infinitos não- 7 → minuendo
periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o –3 → subtraendo
número PI (resultado da divisão do perímetro de uma
circunferência pelo seu diâmetro), que vale 4 → resto ou diferença
3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já
conseguiram calcular bilhões de casas decimais para 0 minuendo é o conjunto maior, o subtraendo o
o PI. subconjunto que se tira e o resto ou diferença o
conjunto que sobra.
Realização

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Somando a diferença com o subtraendo obtemos o 2) Subtraindo 25 de um certo número obtemos 11.
minuendo. Dessa forma tiramos a prova da subtração. Qual é esse número?
4+3=7
Solução:
EXPRESSÕES NUMÉRICAS Seja x o número desconhecido. A igualdade
correspondente será:
Para calcular o valor de uma expressão numérica x – 25 = 11
envolvendo adição e subtração, efetuamos essas x = 11 + 25
operações na ordem em que elas aparecem na x = 36
expressão.
Passamos o número 25 para o outro lado da
Exemplos: 35 – 18 + 13 = igualdade e com isso ele mudou de sinal.
17 + 13 = 30
Veja outro exemplo: 47 + 35 – 42 – 15 = 3) Qual o número natural que, adicionado a 8, é
82 – 42 – 15= igual a 20?
40 – 15 = 25 Solução:
x + 8 = 20
Quando uma expressão numérica contiver os sinais x = 20 – 8
de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, x = 12
procederemos do seguinte modo:
1º Efetuamos as operações indicadas dentro dos 4) Determine o número natural do qual, subtraindo
parênteses; 62, obtemos 43.
2º efetuamos as operações indicadas dentro dos Solução:
colchetes; x – 62 = 43
3º efetuamos as operações indicadas dentro das x = 43 + 62
chaves. x = 105

1) 35 +[ 80 – (42 + 11) ] = Para sabermos se o problema está correto é
= 35 + [ 80 – 53] = simples, basta substituir o x pelo valor encontrado e
= 35 + 27 = 62 realizarmos a operação. No último exemplo temos:
x = 105
2) 18 + { 72 – [ 43 + (35 – 28 + 13) ] } = 105 – 62 = 43
= 18 + { 72 – [ 43 + 20 ] } =
= 18 + { 72 – 63} = MULTIPLICAÇÃO
= 18 + 9 = 27
Observe: 4 X 3 =12
CÁLCULO DO VALOR DESCONHECIDO
A operação efetuada chama-se multiplicação e é
Quando pretendemos determinar um número indicada escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre os
natural em certos tipos de problemas, procedemos do números.
seguinte modo:
- chamamos o número (desconhecido) de x ou Os números 3 e 4 são chamados fatores. O número
qualquer outra incógnita ( letra ) 12, resultado da operação, é chamado produto.
- escrevemos a igualdade correspondente 3 X 4 = 12
- calculamos o seu valor
3 fatores
Exemplos: X 4
1) Qual o número que, adicionado a 15, é igual a 31? 12 produto

Solução: Por convenção, dizemos que a multiplicação de
Seja x o número desconhecido. A igualdade qualquer número por 1 é igual ao próprio número.
correspondente será:
x + 15 = 31 A multiplicação de qualquer número por 0 é igual a 0.

Calculando o valor de x temos: A multiplicação de três ou mais fatores pode ser
x + 15 = 31 efetuada multiplicando-se o terceiro número pelo
x + 15 – 15 = 31 – 15 produto dos dois primeiros; o quarto numero pelo
x = 31 – 15 produto dos três primeiros; e assim por diante.
x = 16 3 x 4 x 2 x 5 =
12 x 2 x 5
Na prática , quando um número passa de um lado 24 x 5 = 120
para outro da igualdade ele muda de sinal.

Realização

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EXPRESSÕES NUMÉRICAS Essa divisão não é exata e é chamada divisão
aproximada.
Sinais de associação
O valor das expressões numéricas envolvendo as ATENÇÃO:
operações de adição, subtração e multiplicação é 1) Na divisão de números naturais, o quociente é
obtido do seguinte modo: sempre menor ou igual ao dividendo.
- efetuamos as multiplicações 2) O resto é sempre menor que o divisor.
- efetuamos as adições e subtrações, na ordem 3) O resto não pode ser igual ou maior que o
em que aparecem. divisor.
4) O resto é sempre da mesma espécie do
1) 3.4 + 5.8– 2.9= dividendo. Exemplo: dividindo-se laranjas por
=12 + 40 – 18 certo número, o resto será laranjas.
= 34 5) É impossível dividir um número por 0 (zero),
porque não existe um número que multiplicado
2) 9 . 6 – 4 . 12 + 7 . 2 = por 0 dê o quociente da divisão.
= 54 – 48 + 14 =
= 20 PROBLEMAS

Não se esqueça: 1) Determine um número natural que,
Se na expressão ocorrem sinais de parênteses multiplicado por 17, resulte 238.
colchetes e chaves, efetuamos as operações na X . 17 = 238
ordem em que aparecem: X = 238 : 17
1º) as que estão dentro dos parênteses X = 14
2º) as que estão dentro dos colchetes Prova: 14 . 17 = 238
3º) as que estão dentro das chaves.
2) Determine um número natural que, dividido
Exemplo: por 62, resulte 49.
22 + {12 +[ ( 6 . 8 + 4 . 9 ) – 3 . 7] – 8 . 9 } x : 62 = 49
= 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) – 21] – 72 } = x = 49 . 62
= 22 + { 12 + [ 84 – 21] – 72 } = x = 3038
= 22 + { 12 + 63 – 72 } =
= 22 + 3 = 3) Determine um número natural que,
= 25 adicionado a 15, dê como resultado 32
x + 15 = 32
x = 32 – 15
DIVISÃO
x =17

Observe a operação: 30 : 6 = 5 4) Quanto devemos adicionar a 112, a fim de
obtermos 186?
Também podemos representar a divisão das x + 112 = 186
seguintes maneiras: x = 186 – 112
30 x = 74
30 6 ou =5
6
0 5 5) Quanto devemos subtrair de 134 para
obtermos 81?
O dividendo (D) é o número de elementos do 134 – x = 81
conjunto que dividimos o divisor (d) é o número de – x = 81 – 134
elementos do subconjunto pelo qual dividimos o – x = – 53 (multiplicando por –1)
dividendo e o quociente (c) é o número de x = 53
subconjuntos obtidos com a divisão. Prova: 134 – 53 = 81

Essa divisão é exata e é considerada a operação 6) Ricardo pensou em um número natural,
inversa da multiplicação. adicionou-lhe 35, subtraiu 18 e obteve 40 no
SE 30 : 6 = 5, ENTÃO 5 x 6 = 30 resultado. Qual o número pensado?
x + 35 – 18 = 40
observe agora esta outra divisão: x= 40 – 35 + 18
x = 23
32 6 Prova: 23 + 35 – 18 = 40
2 5
32 = dividendo 7) Adicionando 1 ao dobro de certo número
6 = divisor obtemos 7. Qual é esse numero?
5 = quociente 2 . x +1 = 7
2 = resto 2x = 7 – 1
2x = 6
Realização

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x =6:2 Pedro: x
x =3 Marcelo: x + 6
O número procurado é 3. x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro)
Prova: 2. 3 +1 = 7 2 x + 6 = 30
2 x = 30 – 6
8) Subtraindo 12 do triplo de certo número 2 x = 24
obtemos 18. Determinar esse número. x = 24 : 2
3 . x -12 = 18 x = 12 (Pedro)
3 x = 18 + 12 Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18
3 x = 30
x = 30 : 3 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO AS
x = 10 QUATRO OPERAÇÕES

9) Dividindo 1736 por um número natural, Sinais de associação:
encontramos 56. Qual o valor deste numero O valor das expressões numéricas envolvendo as
natural? quatro operações é obtido do seguinte modo:
1736 : x = 56 - efetuamos as multiplicações e as divisões, na
1736 = 56 . x ordem em que aparecem;
56 . x = 1736 - efetuamos as adições e as subtrações, na
x. 56 = 1736 ordem em que aparecem;
x = 1736 : 56
x = 31 Exemplo 1) 3 .15 + 36 : 9 =
= 45 + 4
10) O dobro de um número é igual a 30. Qual é o = 49
número? Exemplo 2) 18 : 3 . 2 + 8 – 6 . 5 : 10 =
2 . x = 30 = 6 . 2 + 8 – 30 : 10 =
2x = 30 = 12 + 8 – 3 =
x = 30 : 2 = 20 – 3
x = 15 = 17

11) O dobro de um número mais 4 é igual a 20. POTENCIAÇÃO
Qual é o número ?
2 . x + 4 = 20 Considere a multiplicação: 2 . 2 . 2 em que os
2 x = 20 – 4 três fatores são todos iguais a 2.
2 x = 16
x = 16 : 2 Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma
x=8 23 (lê-se: dois elevado à terceira potência), em que o 2
é o fator que se repete e o 3 corresponde à quantidade
12) Paulo e José têm juntos 12 lápis. Paulo tem o desses fatores.
dobro dos lápis de José. Quantos lápis tem
cada menino? Assim, escrevemos: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (3 fatores)
José: x
Paulo: 2x A operação realizada chama-se potenciação.
Paulo e José: x + x + x = 12 O número que se repete chama-se base.
3x = 12 O número que indica a quantidade de fatores iguais
x = 12 : 3 a base chama-se expoente.
x=4 O resultado da operação chama-se potência.
José: 4 - Paulo: 8 23 = 8
3 expoente
13) A soma de dois números é 28. Um é o triplo
do outro. Quais são esses números? base potência
um número: x
o outro número: 3x Observações:
x + x + x + x = 28 (os dois números) 1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes
4 x = 28 especiais de quadrado e cubo,
x = 28 : 4 respectivamente.
x = 7 (um número) 2) As potências de base 0 são iguais a zero. 02 =
0.0=0
3x = 3 . 7 = 21 (o outro número).
3) As potências de base um são iguais a um.
Resposta: 7 e 21
Exemplos: 13 = 1 . 1 . 1 = 1
14) Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas. 15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1
Marcelo tem 6 bolinhas a mais que Pedro. 4) Por convenção, tem-se que:
Quantas bolinhas tem cada um? - a potência de expoente zero é igual a 1 (a0 = 1,

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a ≠ 0) 3
125 raiz cúbica de 125
30 = 1 ; 50 = 1 ; 120 = 1 4
81 raiz quarta de 81
- a potência de expoente um é igual à base (a 1 =
a)
5
32 raiz quinta de 32 e assim por diante
1 1 1
2 =2; 7 =7; 100 =100
No caso da raiz quadrada, convencionou-se não
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS escrever o índice 2.
Exemplo : 2 49 = 49 = 7, pois 72 = 49
1ª) para multiplicar potências de mesma base,
conserva-se a base e adicionam-se os EXERCÍCIOS
expoentes.
am . a n = a m + n 1) Calcule:
Exemplos: 32 . 38 = 32 + 8 = 310 a) 10 – 10 : 5 = b) 45 : 9 + 6 =
5 . 5 6 = 51+6 = 57 c) 20 + 40 : 10 = d) 9. 7 – 3 =
2ª) para dividir potências de mesma base, e) 30 : 5 + 5 = f) 6 . 15 – 56 : 4 =
conserva-se a base e subtraem-se os g) 63 : 9 . 2 – 2 = h) 56 – 34 : 17 . 19 =
expoentes. i) 3 . 15 : 9 + 54 :18 = j) 24 –12 : 4+1. 0 =
am : an = am - n
Exemplos: Respostas:
7
3 : 3 = 3 3 7–3
=3 4 a) 8 b) 11
c) 24 d) 60
510 : 58 = 5 10 – 8 = 52
e) 11 f) 76
3ª) para elevar uma potência a um outro
g) 12 h) 18
expoente, conserva-se base e multiplicam-se
i) 8 j) 21
os expoentes.
Exemplo: (32)4 = 32 . 4 = 38
2) Calcule o valor das expressões:
4ª) para elevar um produto a um expoente, eleva- a) 23 + 32 =
se cada fator a esse expoente. b) 3 . 52 – 72 =
(a. b)m = am . bm c) 2 . 33 – 4. 23 =
d) 53 – 3 . 62 + 22 – 1 =
Exemplos: (4 . 7)3 = 43 . 73 ; (3. 5)2 = 32 . 52 e) (2 + 3)2 + 2 . 34 – 152 : 5 =
f) 1 + 72 – 3 . 24 + (12 : 4)2 =
RADICIAÇÃO
Respostas:
Suponha que desejemos determinar um número a) 17 b) 26
que, elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x c) 22 d) 20
esse número, escrevemos: X2 = 9 e) 142 f) 11
De acordo com a potenciação, temos que x = 3, ou 3) Uma indústria de automóveis produz, por dia,
seja: 32 = 9 1270 unidades. Se cada veículo comporta 5
pneus, quantos pneus serão utilizados ao final
A operação que se realiza para determinar esse de 30 dias? (Resposta: 190.500)
número 3 é chamada radiciação, que é a operação
inversa da potenciação. 4) Numa divisão, o divisor é 9,o quociente é 12 e
o resto é 5. Qual é o dividendo? (113)
Indica-se por:
2
9 = 3 (lê-se: raiz quadrada de 9 é igual a 3) 5) Numa divisão, o dividendo é 227, o divisor é 15
e o resto é 2. Qual é o quociente? (15)
Daí , escrevemos:
6) Numa divisão, o dividendo é 320, o quociente é
2
9 = 3 ⇔ 32 = 9
45 e o resto é 5. Qual é o divisor? (7)
Na expressão acima, temos que: 7) Num divisão, o dividendo é 625, o divisor é 25 e
- o símbolo chama-se sinal da raiz o quociente é 25. Qual ê o resto? (0)
- o número 2 chama-se índice
- o número 9 chama-se radicando 8) Numa chácara havia galinhas e cabras em
- o número 3 chama-se raiz, igual quantidade. Sabendo-se que o total de
- o símbolo 2 9 chama-se radical pés desses animais era 90, qual o número de
galinhas?
As raízes recebem denominações de acordo com o Resposta: 15 ( 2 pés + 4 pés = 6 pés ; 90 : 6 =
índice. Por exemplo: 15).
2
36 raiz quadrada de 36
9) O dobro de um número adicionado a 3 é igual a
Realização

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13. Calcule o número.(5) 2) 5x = 20
Aplicando a operação inversa da multiplicação,
10) Subtraindo 12 do quádruplo de um número temos:
obtemos 60. Qual é esse número (Resp: 18) x = 20 : 5
x=4
11) Num joguinho de "pega-varetas", André e
Renato fizeram 235 pontos no total. Renato fez 3) x – 5 = 10
51 pontos a mais que André. Quantos pontos Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação
fez cada um? ( André-92 e Renato-143) inversa da subtração:
x = 10 + 5
12) Subtraindo 15 do triplo de um número obtemos x =15
39. Qual é o número? (18)
4) x : 2 = 4
13) Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a 3 Aplicando a operação inversa da divisão, temos:
amigos. No final sobraram 2. Quantas balas x=4.2
coube a cada um? (16) x=8

14) A diferença entre dois números naturais é zero
e a sua soma é 30. Quais são esses números?
(15) COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM
PROBLEMA
15) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que
acerta e perde 3 pontos por exercício que erra. Usando a letra x para representar um número,
Ao final de 50 exercícios tinha 130 pontos. podemos expressar, em linguagem matemática, fatos
Quantos exercícios acertou? (35) e sentenças da linguagem corrente referentes a esse
número, observe:
16) Um edifício tem 15 andares; cada andar, 30 - duas vezes o número 2.x
salas; cada sala, 3 mesas; cada mesa, 2
gavetas; cada gaveta, 1 chave. Quantas - o número mais 2 x+2
chaves diferentes serão necessárias para abrir x
todas as gavetas? (2700). - a metade do número
2
17) Se eu tivesse 3 dúzias de balas a mais do que - a soma do dobro com a metade do número
tenho, daria 5 e ficaria com 100. Quantas balas x
2⋅ x +
tenho realmente? (69) 2
x
18) A soma de dois números é 428 e a diferença - a quarta parte do número
entre eles é 34. Qual é o número maior? (231) 4

19) Pensei num número e juntei a ele 5, obtendo PROBLEMA 1
31. Qual é o número? (26) Vera e Paula têm juntas R$ 1.080,00. Vera tem o
triplo do que tem Paula. Quanto tem cada uma?
20) Qual o número que multiplicado por 7 resulta Solução:
56? (8) x + 3x = 1080
4x= 1080
21) O dobro das balas que possuo mais 10 é 36. x =1080 : 4
Quantas balas possuo? (13). x= 270
3 . 270 = 810
22) Raul e Luís pescaram 18 peixinhos. Raul Resposta: Vera – R$ 810,00 e Paula – R$ 270,00
pescou o dobro de Luís. Quanto pescou cada
um? (Raul-12 e Luís-6) PROBLEMA 2
Paulo foi comprar um computador e uma bicicleta.
Pagou por tudo R$ 5.600,00. Quanto custou cada
PROBLEMAS
um, sabendo-se que a computador é seis vezes
mais caro que a bicicleta?
Vamos calcular o valor de x nos mais diversos Solução:
casos: x + 6x = 5600
7x = 5600
1) x + 4 = 10 x = 5600 : 7
Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação x = 800
inversa da adição: 6 . 800= 4800
x = 10 – 4 R: computador – R$ 4.800,00 e bicicleta R$ 800,00
x=6
PROBLEMA 3

Realização

MATEMÁTICA

Repartir 21 cadernos entre José e suas duas irmãs, Solução: x + 2x + x + 2x = 624
de modo que cada menina receba o triplo do que 6x = 624
recebe José. Quantos cadernos receberá José? x = 624 : 6
Solução: x = 104
x + 3x + 3x = 21 Resposta:S-R$ 104,00; J-R$ 208,00; P- R$ 312,00
7x = 21
x = 21 : 7 PROBLEMA 9
x =3 Se eu tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderia
Resposta: 3 cadernos dar a você 7 rosas e ainda ficaria com 2. Quantas
rosas tenho?
PROBLEMA 4 Solução: x+4–7 = 2
Repartir R$ 2.100,00 entre três irmãos de modo x+4 =7+2
que o 2º receba o dobro do que recebe o 1º , e o 3º x+4 =9
o dobro do que recebe o 2º. Quanto receberá cada x =9–4
um? x =5
Solução: Resposta: 5
x + 2x + 4x = 2100
7x = 2100 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
x = 2100 : 7
x = 300 Conhecemos o conjunto N dos números naturais: N
300 . 2 = 600 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....,}
300 . 4 =1200
Resposta: R$ 300,00; R$ 600,00; R$ 1200,00 Assim, os números precedidos do sinal +
chamam-se positivos, e os precedidos de - são
PROBLEMA 5 negativos.
A soma das idades de duas pessoas é 40 anos. A
idade de uma é o triplo da idade da outra. Qual a Exemplos:
idade de cada uma? Números inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....}
Solução: Números inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ....}
3x + x = 40
4x = 40 O conjunto dos números inteiros relativos é
x = 40 : 4 formado pelos números inteiros positivos, pelo zero e
x = 10 pelos números inteiros negativos. Também o
3 . 10 = 30 chamamos de CONJUNTO DOS NÚMEROS
Resposta: 10 e 30 anos. INTEIROS e o representamos pela letra Z, isto é: Z =
{..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... }
PROBLEMA 6
A soma das nossas idades é 45 anos. Eu sou 5 O zero não é um número positivo nem negativo.
anos mais velho que você. Quantos anos eu tenho? Todo número positivo é escrito sem o seu sinal
x + x + 5 = 45 positivo.
x + x= 45 – 5
2x = 40 Exemplo: + 3 = 3 ; +10 = 10
x = 20 Então, podemos escrever: Z = {..., -3, -2, -1, 0 ,
20 + 5 = 25 1, 2, 3, ...}
Resposta: 25 anos
N é um subconjunto de Z.
PROBLEMA 7
Sua bola custou R$ 10,00 menos que a minha. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Quanto pagamos por elas, se ambas custaram R$ Cada número inteiro pode ser representado por um
150,00? ponto sobre uma reta. Por exemplo:
Solução:

x + x – 10= 150 ... -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ...
2x = 150 + 10 ... C’ B’ A’ 0 A B C D ...
2x = 160
x = 160 : 2 Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o
x = 80 número zero.
80 – 10 = 70
Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00 Nas representações geométricas, temos à direita
do zero os números inteiros positivos, e à esquerda do
PROBLEMA 8 zero, os números inteiros negativos.
José tem o dobro do que tem Sérgio, e Paulo tanto
quanto os dois anteriores juntos. Quanto tem cada Observando a figura anterior, vemos que cada
um, se os três juntos possuem R$ 624,00?
Realização

MATEMÁTICA

ponto é a representação geométrica de um número número oposto ou simétrico representado por (-a),
inteiro. tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a)

Exemplos: Exemplos: (+5) + ( -5) = 0 ( -5) + (+5) = 0
 ponto C é a representação geométrica do
número +3 5ª) COMUTATIVA
 ponto B' é a representação geométrica do Se a e b são números inteiros, então:
número -2 a+b=b+a

ADIÇÃO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS Exemplo: (+4) + (-6) = (-6) + (+4)
1) A soma de zero com um número inteiro é o -2 = -2
próprio número inteiro: 0 + (-2) = -2
2) A soma de dois números inteiros positivos é um SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
número inteiro positivo igual à soma dos Em certo local, a temperatura passou de -3ºC para
módulos dos números dados: (+700) + (+200) = 5ºC, sofrendo, portanto, um aumento de 8ºC, aumento
+900 esse que pode ser representado por: (+5) - (-3) = (+5)
3) A soma de dois números inteiros negativos é um + (+3) = +8
número inteiro negativo igual à soma dos
módulos dos números dados: (-2) + (-4) = -6 Portanto:
4) A soma de dois números inteiros de sinais A diferença entre dois números dados numa certa
contrários é igual à diferença dos módulos, e o ordem é a soma do primeiro com o oposto do
sinal é o da parcela de maior módulo: (-800) + segundo.
(+300) = -500
Exemplos: 1) (+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +4
ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS 2) (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = -7
A soma de três ou mais números inteiros é 3) (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = -7
efetuada adicionando-se todos os números positivos e
todos os negativos e, em seguida, efetuando-se a Na prática, efetuamos diretamente a subtração,
soma do número negativo. eliminando os parênteses
- (+4 ) = -4
Exemplos: 1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) = - ( -4 ) = +4
(+17) + (-11) = +6
Observação:
2) (+3) + (-4) + (+2) + (-8) = Permitindo a eliminação dos parênteses, os sinais
(+5) + (-12) = -7 podem ser resumidos do seguinte modo:
(+)=+ +(-)=-
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO - (+)=- - (- )=+
A adição de números inteiros possui as seguintes
propriedades: Exemplos: - ( -2) = +2 +(-6 ) = -6
- (+3) = -3 +(+1) = +1
1ª) FECHAMENTO
A soma de dois números inteiros é sempre um PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO
número inteiro: (-3) + (+6) = + 3∈Z A subtração possui uma propriedade.

2ª) ASSOCIATIVA FECHAMENTO: A diferença de dois números
Se a, b, c são números inteiros quaisquer, então: a inteiros é sempre um número inteiro.
+ (b + c) = (a + b) + c
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Exemplo:(+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2) 1º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS
(+3) + (-2) = (-1) + (+2) INTEIROS POSITIVOS
+1 = +1
Lembremos que: 3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6
3ª) ELEMENTO NEUTRO Exemplo:
Se a é um número inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a (+3) . (+2) = 3 . (+2) = (+2) + (+2) + (+2) = +6
e0+a=a Logo: (+3) . (+2) = +6

Isto significa que o zero é elemento neutro para a Observando essa igualdade, concluímos: na
adição. multiplicação de números inteiros, temos:
(+) . (+) =+
Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +2
2º CASO: UM FATOR É POSITIVO E O OUTRO É
4ª) OPOSTO OU SIMÉTRICO NEGATIVO
Se a é um número inteiro qualquer, existe um único Exemplos:
1) (+3) . (-4) = 3 . (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12
Realização

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ou seja: (+3) . (-4) = -12 Se a, b, c representam números inteiros quaisquer,
então: a . (b . c) = (a . b) . c
2) Lembremos que: -(+2) = -2
(-3) . (+5) = - (+3) . (+5) = -(+15) = - 15 3ª) ELEMENTO NEUTRO
ou seja: (-3) . (+5) = -15 Observe que:
(+4 ) . (+1 ) = +4 e (+1 ) . (+4 ) = +4
Conclusão: na multiplicação de números inteiros,
temos: ( + ) . ( - ) = - (-).(+)=- Qualquer que seja o número inteiro a, temos:
Exemplos : a . (+1 ) = a e (+1 ) . a = a
(+5) . (-10) = -50
(+1) . (-8) = -8 O número inteiro +1 chama-se neutro para a
(-2 ) . (+6 ) = -12 multiplicação.
(-7) . (+1) = -7
4ª) COMUTATIVA
3º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS Observemos que: (+2). (-4 ) = - 8
INTEIROS NEGATIVOS e (-4 ) . (+2 ) = - 8
Exemplo: (-3) . (-6) = -(+3) . (-6) = -(-18) = +18 Portanto: (+2 ) . (-4 ) = (-4 ) . (+2 )
isto é: (-3) . (-6) = +18
Se a e b são números inteiros quaisquer, então: a .
Conclusão: na multiplicação de números inteiros, b = b . a, isto é, a ordem dos fatores não altera o
temos: ( - ) . ( - ) = + produto.
Exemplos: (-4) . (-2) = +8 (-5) . (-4) = +20
5ª) DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À ADIÇÃO E
As regras dos sinais anteriormente vistas podem À SUBTRAÇÃO
ser resumidas na seguinte: Observe os exemplos:
(+).(+)=+ (+).(-)=- (+3 ) . [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ) . ( -5 ) + (+3 ) . (+2 )
(- ).( -)=+ (-).(+)=- (+4 ) . [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ) . ( -2 ) - (+4 ) . (+8 )

Quando um dos fatores é o 0 (zero), o produto é Conclusão:
igual a 0: (+5) . 0 = 0 Se a, b, c representam números inteiros quaisquer,
temos:
PRODUTO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS a) a . [b + c] = a . b + a . c
INTEIROS A igualdade acima é conhecida como
Exemplos: 1) (+5 ) . ( -4 ) . (-2 ) . (+3 ) = propriedade distributiva da multiplicação em
(-20) . (-2 ) . (+3 ) = relação à adição.
(+40) . (+3 ) = +120 b) a . [b – c] = a . b - a . c
2) (-2 ) . ( -1 ) . (+3 ) . (-2 ) = A igualdade acima é conhecida como
(+2 ) . (+3 ) . (-2 ) = propriedade distributiva da multiplicação em
(+6 ) . (-2 ) = -12 relação à subtração.

Podemos concluir que: DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
- Quando o número de fatores negativos é par, o
produto sempre é positivo. CONCEITO
- Quando o número de fatores negativos é ímpar, Dividir (+16) por 2 é achar um número que,
o produto sempre é negativo. multiplicado por 2, dê 16.
16 : 2 = ? ⇔ 2 . ( ? ) = 16
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
No conjunto Z dos números inteiros são válidas as O número procurado é 8. Analogamente, temos:
seguintes propriedades: 1) (+12) : (+3 ) = +4 porque (+4 ) . (+3 ) = +12
2) (+12) : ( -3 ) = - 4 porque (- 4 ) . ( -3 ) = +12
1ª) FECHAMENTO 3) ( -12) : (+3 ) = - 4 porque (- 4 ) . (+3 ) = -12
Exemplo: (+4 ) . (-2 ) = - 8 Z ∈ 4) ( -12) : ( -3 ) = +4 porque (+4 ) . ( -3 ) = -12
Então o produto de dois números inteiros é inteiro.
A divisão de números inteiros só pode ser realizada
2ª) ASSOCIATIVA quando o quociente é um número inteiro, ou seja,
Exemplo: (+2 ) . (-3 ) . (+4 ) quando o dividendo é múltiplo do divisor.
Este cálculo pode ser feito diretamente, mas
também podemos fazê-lo, agrupando os fatores de Portanto, o quociente deve ser um número inteiro.
duas maneiras:
(+2 ) . [(-3 ) . (+4 )] = [(+2 ) . ( -3 )]. (+4 ) Exemplos:
(+2 ) . (-12) = (-6 ) . (+4 ) ( -8 ) : (+2 ) = -4
-24 = -24 ( -4 ) : (+3 ) = não é um número inteiro
Lembramos que a regra dos sinais para a divisão é
De modo geral, temos o seguinte: a mesma que vimos para a multiplicação:
Realização

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(+):(+)=+ (+):( -)=-
(- ):( -)=+ ( -):(+)=- Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8

Exemplos: Daí, a regra:
( +8 ) : ( -2 ) = -4 (-10) : ( -5 ) = +2 Quando o expoente é ímpar, a potência tem o
(+1 ) : ( -1 ) = -1 (-12) : (+3 ) = -4 mesmo sinal da base.

PROPRIEDADE Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16
Como vimos: (+4 ) : (+3 ) ∉ Z
Portanto, não vale em Z a propriedade do PROPRIEDADES
fechamento para a divisão. Alem disso, também não
são válidas as proposições associativa, comutativa e PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
do elemento neutro. Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5
( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Para multiplicar potências de mesma base,
CONCEITO mantemos a base e somamos os expoentes.
A notação
(+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3
( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4
é um produto de três fatores iguais Para dividir potências de mesma base em que o
expoente do dividendo é maior que o expoente do
Analogamente: divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes.
( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 )
POTÊNCIA DE POTÊNCIA
[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15
é um produto de quatro fatores iguais Para calcular uma potência de potência,
conservamos a base da primeira potência e
Portanto potência é um produto de fatores iguais. multiplicamos os expoentes .
Na potência (+5 )2 = +25, temos: POTÊNCIA DE UM PRODUTO
+5 ---------- base [( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4
2 ---------- expoente
+25 ---------- potência Para calcular a potência de um produto, sendo n o
expoente, elevamos cada fator ao expoente n.
Observacões :
(+2 ) 1 significa +2, isto é, (+2 )1 = +2 POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO
( -3 )1 significa -3, isto é, ( -3 )1 = -3
(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0
CÁLCULOS e (+2 )5 : (+2 )5 = 1

O EXPOENTE É PAR Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1
Calcular as potências
1) (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto é, Qualquer potência de expoente zero é igual a 1.
(+2)4 = +16
2) ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto é, Observação:
(-2 )4 = +16 Não confundir -32 com ( -3 )2, porque -32 significa
-( 3 )2 e portanto
Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16 -32 = -( 3 )2 = -9
enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9
Então, de modo geral, temos a regra: Logo: -3 2 ≠ ( -3 )2

Quando o expoente é par, a potência é sempre um CÁLCULOS
número positivo.
O EXPOENTE É PAR
Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9 Calcular as potências
(+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto é, (+2) 4
O EXPOENTE É ÍMPAR = +16
Calcular as potências: ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto é, (-2 ) 4
1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 = +16
isto é, (+2)3 = + 8
2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16
ou seja, (-2)3 = -8
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vida. Vamos definir números pares e ímpares de acordo
Então, de modo geral, temos a regra: com a concepção pitagórica:
Quando o expoente é par, a potência é sempre um • par é o número que pode ser dividido em duas
número positivo. partes iguais, sem que uma unidade fique no
meio, e ímpar é aquele que não pode ser dividido
Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9 em duas partes iguais, porque sempre há uma
unidade no meio
O EXPOENTE É ÍMPAR
Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação
Exemplos: com à natureza dos números:
Calcular as potências: • número par é aquele que tanto pode ser dividido
1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 em duas partes iguais como em partes desiguais,
isto é, (+2)3 = + 8 mas de forma tal que em nenhuma destas
2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 divisões haja uma mistura da natureza par com a
ou seja, (-2)3 = -8 natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem
uma única exceção, que é o princípio do par, o
Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 número 2, que não admite a divisão em partes
desiguais, porque ele é formado por duas
Daí, a regra: unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro
Quando o expoente é ímpar, a potência tem o número par, 2.
mesmo sinal da base.
Para exemplificar o texto acima, considere o número
Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16 10, que é par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5,
PROPRIEDADES mas também como a soma de 7 e 3 (que são ambos
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE ímpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos são pares);
Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 mas nunca como a soma de um número par e outro
( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10 ímpar. Já o número 11, que é ímpar pode ser escrito
como soma de 8 e 3, um par e um ímpar. Atualmente,
Para multiplicar potências de mesma base, definimos números pares como sendo o número que ao
mantemos a base e somamos os expoentes. ser dividido por dois têm resto zero e números ímpares
aqueles que ao serem divididos por dois têm resto
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE diferente de zero. Por exemplo, 12 dividido por 2 têm
(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 resto zero, portanto 12 é par. Já o número 13 ao ser
( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 é ímpar.
Para dividir potências de mesma base em que o
expoente do dividendo é maior que o expoente do MÚLTIPLOS E DIVISORES
divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes.
DIVISIBILIDADE
POTÊNCIA DE POTÊNCIA Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4,
[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 6 ou 8. Ex.: O número 74 é divisível por 2, pois termina em
Para calcular uma potência de potência, 4.
conservamos a base da primeira potência e
multiplicamos os expoentes . Um número é divisível por 3 quando a soma dos
valores absolutos dos seus algarismos é um número
POTÊNCIA DE UM PRODUTO divisível por 3. Ex.: 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6 e
[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 6 é divisível por 3
Para calcular a potência de um produto, sendo n o
expoente, elevamos cada fator ao expoente n. Um número é divisível por 5 quando o algarismo das
unidades é 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 5). Ex.: O
POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO número 320 é divisível por 5, pois termina em 0.
(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0
e (+2 )5 : (+2 )5 = 1 Um número é divisível por 10 quando o algarismo das
Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 unidades é 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O número
Qualquer potência de expoente zero é igual a 1. 500 é divisível por 10, pois termina em 0.
Observação: Não confundir-32 com (-3)2, porque
NÚMEROS PRIMOS
-3 significa -( 3 )2 e portanto: -32 = -( 3 )2 = -9
2

enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9
Um número natural é primo quando é divisível apenas
Logo: -3 2 ≠ ( -3 )2
por dois números distintos: ele próprio e o 1.
NÚMEROS PARES E ÍMPARES
Exemplos:
Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e • O número 2 é primo, pois é divisível apenas por dois
baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de números diferentes: ele próprio e o 1.

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• O número 5 é primo, pois é divisível apenas por dois verificar se cada um é ou não divisor de 12, assinalando
números distintos: ele próprio e o 1. os divisores.
• O número natural que é divisível por mais de dois 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12
números diferentes é chamado composto. = = = = = ==
• O número 4 é composto, pois é divisível por 1, 2, 4. Indicando por D(12) (lê-se: "D de 12”) o conjunto dos
• O número 1 não é primo nem composto, pois é divisores do número 12, temos:
divisível apenas por um número (ele mesmo). D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12}
• O número 2 é o único número par primo.
Na prática, a maneira mais usada é a seguinte:
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 1º) Decompomos em fatores primos o número
(FATORAÇÃO) considerado.
12 2
Um número composto pode ser escrito sob a forma 6 2
de um produto de fatores primos. 3 3
1
Por exemplo, o número 60 pode ser escrito na forma:
60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 2 2 . 3 . 5 que é chamada de forma 2º) Colocamos um traço vertical ao lado os fatores
fatorada. primos e, à sua direita e acima, escrevemos o
numero 1 que é divisor de todos os números.
Para escrever um número na forma fatorada, 1
devemos decompor esse número em fatores primos, 12 2
procedendo do seguinte modo: 6 2
3 3
Dividimos o número considerado pelo menor número 1
primo possível de modo que a divisão seja exata.
Dividimos o quociente obtido pelo menor número 3º) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e
primo possível. escrevemos o produto obtido na linha
correspondente.
Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo x1
menor número primo possível, até que se obtenha o 12 2 2
quociente 1. 6 2
3 3
1

Exemplo: 4º) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos
60 2 divisores já obtidos, escrevendo os produtos nas
linhas correspondentes, sem repeti-los.
0 30 2 x1
12 2 2
0 15 3 6 2 4
5 0 5 3 3
1
1
Portanto: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 x1
12 2 2
Na prática, costuma-se traçar uma barra vertical à 6 2 4
direita do número e, à direita dessa barra, escrever os 3 3 3, 6, 12
divisores primos; abaixo do número escrevem-se os 1
quocientes obtidos. A decomposição em fatores primos
estará terminada quando o último quociente for igual a 1. Os números obtidos à direita dos fatores primos são
os divisores do número considerado. Portanto:
Exemplo: D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12}
60 2
30 2 Exemplos:
15 3 1)
5 5 1
1 18 2 2
Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 9 3 3, 6 D(18) = {1, 2 , 3, 6, 9, 18}
3 3 9, 18
DIVISORES DE UM NÚMERO 1

Consideremos o número 12 e vamos determinar 2)
todos os seus divisores Uma maneira de obter esse
resultado é escrever os números naturais de 1 a 12 e
Realização

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1
30 2 2 Observação: Esse processo prático costuma ser
15 3 3, 6 simplificado fazendo-se uma decomposição simultânea
5 5 5, 10, 15, 30 dos números. Para isso, escrevem-se os números, um
1 ao lado do outro, separando-os por vírgula, e, à direita da
barra vertical, colocada após o último número, escrevem-
D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} se os fatores primos comuns e não-comuns. 0 calculo
estará terminado quando a última linha do dispositivo for
MÁXIMO DIVISOR COMUM composta somente pelo número 1. O M.M.C dos
números apresentados será o produto dos fatores.
Recebe o nome de máximo divisor comum de dois ou
mais números o maior dos divisores comuns a esses Exemplo:
números. Calcular o M.M.C (36, 48, 60)
36, 48, 60 2
Um método prático para o cálculo do M.D.C. de dois 18, 24, 30 2
números é o chamado método das divisões sucessivas 9, 12, 15 2
(ou algoritmo de Euclides), que consiste das etapas 9, 6, 15 2
seguintes: 9, 3, 15 3
1ª) Divide-se o maior dos números pelo menor. Se a 3, 1, 5 3
divisão for exata, o M.D.C. entre esses números 1, 1 5 5
é o menor deles. 1, 1, 1
2ª) Se a divisão não for exata, divide-se o divisor (o
menor dos dois números) pelo resto obtido na Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24 . 32 . 5 = 720
divisão anterior, e, assim, sucessivamente, até
se obter resto zero. 0 ultimo divisor, assim RAÍZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS
determinado, será o M.D.C. dos números
considerados. CONCEITO
Consideremos o seguinte problema:
Exemplo: Descobrir os números inteiros cujo quadrado é +25.
Calcular o M.D.C. (24, 32) Solução: (+5 )2 = +25 e ( -5 )2 =+25
Resposta: +5 e -5
32 24 24 8
Os números +5 e -5 chamam-se raízes quadradas de
8 1 0 3 +25.

Resposta: M.D.C. (24, 32) = 8 Outros exemplos:
Número Raízes quadradas
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM +9 + 3 e -3
+16 + 4 e -4
Recebe o nome de mínimo múltiplo comum de dois +1 + 1 e -1
ou mais números o menor dos múltiplos (diferente de +64 + 8 e -8
zero) comuns a esses números. +81 + 9 e -9
+49 + 7 e -7
O processo prático para o cálculo do M.M.C de dois +36 +6 e -6
ou mais números, chamado de decomposição em fatores O símbolo 25 significa a raiz quadrada de 25, isto
primos, consiste das seguintes etapas: é 25 = +5
1º) Decompõem-se em fatores primos os números
apresentados. Como 25 = +5 , então: − 25 = − 5
2º) Determina-se o produto entre os fatores primos Agora, consideremos este problema.
comuns e não-comuns com seus maiores
expoentes. Esse produto é o M.M.C procurado. Qual ou quais os números inteiros cujo quadrado é
-25?
Exemplos: Calcular o M.M.C (12, 18) Solução: (+5 )2 = +25 e (-5 )2 = +25
Resposta: não existe número inteiro cujo quadrado
Decompondo em fatores primos esses números, seja -25, isto é, − 25 não existe no conjunto Z dos
temos: números inteiros.
12 2 18 2
6 2 9 3 Conclusão: os números inteiros positivos têm, como
3 3 3 3 raiz quadrada, um número positivo, os números inteiros
1 1 negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z dos
números inteiros.
12 = 22 . 3 18 = 2 . 32
Resposta: M.M.C (12, 18) = 22 . 32 = 36 RADICIAÇÃO

Realização

MATEMÁTICA

-(-3) - [-4 ] =
A raiz n-ésima de um número b é um número a tal +3 + 4 = 7
que an = b.
4) –2( -3 –1)2 +3 . ( -1 – 3)3 + 4
n
b = a ⇒ an = b -2 . ( -4 )2 + 3 . ( - 4 )3 + 4 =
-2 . (+16) + 3 . (- 64) + 4 =
5
32 = 2 -32 – 192 + 4 =
-212 + 4 = - 208
5 índice
32 radicando pois 25 = 32 5) (-288) : (-12)2 - (-125) : ( -5 )2 =
(-288) : (+144) - (-125) : (+25) =
raiz
(-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +3
2 radical
6) (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) =
Outros exemplos : 3
8 = 2 pois 2 3 = 8 (-18) : (+6 ) - (-25) : (+5 ) =
3
− 8 = - 2 pois ( -2 )3 = -8 -3 - (- 5) =
- 3 + 5 = +2
PROPRIEDADES (para a ≥ 0, b ≥ 0) 7) –52 : (+25) - (-4 )2 : 24 - 12 =
m: p
1ª) m
a n
= a n: p 15
310
= 3
3 2
-25 : (+25) - (+16) : 16 - 1 =
-1 - (+1) –1 = -1 -1 –1 = -3
2ª) n
a⋅b = a ⋅ b n n
6 = 2⋅ 3
4
5 5 8) 2 . ( -3 )2 + (-40) : (+2)3 - 22 =
3ª) n
a:b = n a :n b 4 =4 2 . (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 =
16 16
+18 + (-5) - 4 =
4ª) ( a)
m
n
= m an ( x)
3
5
= 3 x5 + 18 - 9 = +9
5ª) m n
a = m⋅n a 6
3 = 12 3
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM NÚMEROS
Os números racionais são representados por um
INTEIROS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES
Para calcular o valor de uma expressão numérica a
numeral em forma de fração ou razão, , sendo a e
com números inteiros, procedemos por etapas. b
b números naturais, com a condição de b ser diferente
1ª ETAPA: de zero.
a) efetuamos o que está entre parênteses ( ) 1. NÚMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado
b) eliminamos os parênteses (a, b) de números naturais, sendo b ≠ 0, corresponde
a
2ª ETAPA: um número fracionário .O termo a chama-se
a) efetuamos o que está entre colchetes [ ] b
b) eliminamos os colchetes numerador e o termo b denominador.

3º ETAPA: 2. TODO NÚMERO NATURAL pode ser
a) efetuamos o que está entre chaves { } representado por uma fração de denominador 1. Logo,
b) eliminamos as chaves é possível reunir tanto os números naturais como os
fracionários num único conjunto, denominado conjunto
Em cada etapa, as operações devem ser efetuadas dos números racionais absolutos, ou simplesmente
na seguinte ordem: conjunto dos números racionais Q.
1ª) Potenciação e radiciação na ordem em que
aparecem. Qual seria a definição de um número racional
2ª) Multiplicação e divisão na ordem em que absoluto ou simplesmente racional? A definição
aparecem. depende das seguintes considerações:
3ª) Adição e subtração na ordem em que aparecem. a) O número representado por uma fração não
muda de valor quando multiplicamos ou
Exemplos: dividimos tanto o numerador como o
1) 2 + 7 . (-3 + 4) = denominador por um mesmo número natural,
2 + 7 . (+1) = 2 + 7 = 9 diferente de zero.
Exemplos: usando um novo símbolo: ≈
2) 3
(-1 ) + (-2 ) : (+2 ) = 2 ≈ é o símbolo de equivalência para frações
-1+ (+4) : (+2 ) = 2 2 × 5 10 10 × 2 20
-1 + (+2 ) = ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ⋅⋅⋅
3 3 × 5 15 15 × 2 30
-1 + 2 = +1 b) Classe de equivalência. É o conjunto de todas
as frações equivalentes a uma fração dada.
3) -(-4 +1) – [-(3 +1)] =

Realização

MATEMÁTICA

3 6 9 12
, , , ,⋅ ⋅ ⋅ (classe de equivalência da g) forma mista de uma fração: é o nome dado ao
1 2 3 4 numeral formado por uma parte natural e uma parte
3  4
fração: ) fracionária;  2 A parte natural é 2 e a parte
1  7
4
Agora já podemos definir número racional : número fracionária .
racional é aquele definido por uma classe de
7
equivalência da qual cada fração é um representante.
h) irredutível: é aquela que não pode ser mais
NÚMERO RACIONAL NATURAL ou NÚMERO simplificada, por ter seus termos primos entre si.
NATURAL: 3 5 3
, , , etc.
0 0 4 12 7
0= = = ⋅ ⋅ ⋅ (definido pela classe de
1 2
equivalência que representa o 4. PARA SIMPLIFICAR UMA FRAÇÃO, desde que
mesmo número racional 0) não possua termos primos entre si, basta dividir os
dois ternos pelo seu divisor comum.
1 2
1= = = ⋅⋅⋅ (definido pela classe de 8 8:4 2
1 2 = =
equivalência que representa o
12 12 : 4 3
mesmo número racional 1)
e assim por diante. 5. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES.
Para comparar duas ou mais frações quaisquer
NÚMERO RACIONAL FRACIONÁRIO ou primeiramente convertemos em frações equivalentes
de mesmo denominador. De duas frações que têm o
NÚMERO FRACIONÁRIO: mesmo denominador, a maior é a que tem maior
1 2 3 numerador. Logo:
= = = ⋅ ⋅ ⋅ (definido pela classe de
2 4 6 6 8 9 1 2 3
equivalência que representa o < < ⇔ < <
12 12 12 2 3 4
mesmo número racional 1/2). (ordem crescente)
NOMES DADOS ÀS FRAÇÕES DIVERSAS De duas frações que têm o mesmo numerador, a
Decimais: quando têm como denominador 10 ou maior é a que tem menor denominador.
uma potência de 10
7 7
5 7 Exemplo: >
, ,⋅ ⋅ ⋅ etc. 2 5
10 100 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
b) próprias: aquelas que representam quantidades
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
menores do que 1.
A soma ou a diferença de duas frações é uma outra
1 3 2 fração, cujo calculo recai em um dos dois casos
, , ,⋅ ⋅ ⋅ etc. seguintes:
2 4 7
1º CASO: Frações com mesmo denominador.
c) impróprias: as que indicam quantidades iguais ou Observemos as figuras seguintes:
maiores que 1.
5 8 9
, , ,⋅ ⋅ ⋅ etc.
5 1 5
3 2
d) aparentes: todas as que simbolizam um número 6 6
natural.
20 8 5
= 5, = 4 , etc.
4 2 6
3 2 5
e) ordinárias: é o nome geral dado a todas as Indicamos por: + =
frações, com exceção daquelas que possuem como 6 6 6
denominador 10, 102, 103 ...

f) frações iguais: são as que possuem os termos
3 3 8 8
iguais = , = , etc.
4 4 5 5
Realização

MATEMÁTICA

2 2 7 3 3 5 1 1
a) + + = b) + + + =
6 15 15 15 4 6 8 2
2 +7 +3 18 20 3 12
= = = + + + =
5 15 24 24 24 24
6 12 4 18 + 20 + 3 + 12
= = = =
15 5 24
3
53
6 =
24
5 2 3
Indicamos por: − = Havendo número misto, devemos transformá-lo em
6 6 6 fração imprópria:

Assim, para adicionar ou subtrair frações de Exemplo:
mesmo denominador, procedemos do seguinte modo: 1 5 1
 adicionamos ou subtraímos os numeradores e 2 + +3 =
3 12 6
mantemos o denominador comum.
 simplificamos o resultado, sempre que possível. 7 5 19
+ + =
3 12 6
Exemplos: 28 5 38
3 1 3 +1 4 + + =
+ = = 12 12 12
5 5 5 5 28 + 5 + 38 71
4 8 4 + 8 12 4 =
+ = = = 12 12
9 9 9 9 3
7 3 7 −3 4 2 Se a expressão apresenta os sinais de parênteses
− = = = ( ), colchetes [ ] e chaves { }, observamos a
6 6 6 6 3
mesma ordem:
2 2 2−2 0
− = = =0 1º) efetuamos as operações no interior dos
7 7 7 7 parênteses;
2º) as operações no interior dos colchetes;
Observação: A subtração só pode ser efetuada 3º) as operações no interior das chaves.
quando o minuendo é maior que o subtraendo, ou
igual a ele. Exemplos:
2 3 5 4
2º CASO: Frações com denominadores diferentes: 1) +  −  −  =
Neste caso, para adicionar ou subtrair frações com 3 4 2 2
denominadores diferentes, procedemos do seguinte 8 9  1
= + − =
modo:  12 12  2
• Reduzimos as frações ao mesmo denominador.
17 1
• Efetuamos a operação indicada, de acordo com o = − =
caso anterior. 12 2
• Simplificamos o resultado (quando possível). 17 6
= − =
12 12
Exemplos: 11
1 2 5 3 =
1) + = 2) + = 12
3 4 8 6
4 6 15 12
= + = = + =
12 12 24 24
4 +6 15 +12
= = = =
12 24
10 5 27 9
= = = =
12 6 24 8

Observações:
Para adicionar mais de duas frações, reduzimos
todas ao mesmo denominador e, em seguida,
efetuamos a operação.

Exemplos.

Realização

MATEMÁTICA

  3 1   2 3 
2)5 −  −  − 1 +  =
  2 3   3 4 
  9 2   5 3 
= 5 −  −  −  +  =
  6 6   3 4 
 7   20 9 
= 5 −  −  + =
 6   12 12 
 30 7  29
= − − =
6 6  12
23 29 1 2 3
= − = Dizemos que: = =
6 12 2 4 6
46 29
= − =
12 12 - Para obter frações equivalentes, devemos multi-
17 plicar ou dividir o numerador por mesmo número
= diferente de zero.
12
1 2 2 1 3 3
Ex: ⋅ = ou . =
2 2 4 2 3 6
NÚMEROS RACIONAIS
Para simplificar frações devemos dividir o
numerador e o denominador, por um mesmo número
diferente de zero.

Quando não for mais possível efetuar as divisões
dizemos que a fração é irredutível.
Um círculo foi dividido em duas partes iguais. Exemplo:
Dizemos que uma unidade dividida em duas partes
18 2 9 3
iguais e indicamos 1/2. : = = ⇒ Fração Irredutível
onde: 1 = numerador e 2 = denominador 12 2 6 6
ou Simplificada

1 3
Exemplo: e
3 4

Calcular o M.M.C. (3,4): M.M.C.(3,4) = 12
1 3 (12 : 3 ) ⋅ 1 (12 : 4) ⋅ 3 temos:
e = e
Um círculo dividido em 3 partes iguais indicamos 3 4 12 12
(das três partes hachuramos 2). 4 9
e
Quando o numerador é menor que o denominador 12 12
temos uma fração própria. Observe:
1 4
A fração é equivalente a .
Observe: 3 12

3 9
A fração equivalente .
4 12

Exercícios:
1) Achar três frações equivalentes às seguintes
frações:
1 2
Quando o numerador é maior que o denominador 1) 2)
4 3
temos uma fração imprópria.
2 3 4
Respostas: 1) , , 2)
FRAÇÕES EQUIVALENTES 8 12 16
4 6 8
, ,
Duas ou mais frações são equivalentes, quando 6 9 12
representam a mesma quantidade.

Realização

MATEMÁTICA

COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES Exemplo:
2 4
? ⇒ numeradores diferentes e
a) Frações de denominadores iguais. 3 5
Se duas frações tem denominadores iguais a maior denominadores diferentes m.m.c.(3, 5) = 15
será aquela: que tiver maior numerador.
3 1 1 3 (15 : 3).2 (15.5).4 10 12
Ex.: > ou < ? = <
4 4 4 4 15 15 15 15
(ordem crescente)
b) Frações com numeradores iguais
Se duas frações tiverem numeradores iguais, a Exercícios: Colocar em ordem crescente:
menor será aquela que tiver maior denominador. 2 2 5 4
7 7 7 7 1) e 2) e 3)
Ex.: > ou < 5 3 3 3
4 5 5 4
5 2 4
, e
c) Frações com numeradores e denominadores 6 3 5
receptivamente diferentes.
Reduzimos ao mesmo denominador e depois 2 2 4 5
Respostas: 1) < 2) <
comparamos. Exemplos: 5 3 3 3
2 1
> denominadores iguais (ordem
3 3 4 5 3
3) < <
decrescente) 3 6 2
4 4
> numeradores iguais (ordem crescente)
5 3 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 1) Adição e Subtração
a) Com denominadores iguais somam-se ou
Para simplificar frações devemos dividir o subtraem-se os numeradores e conserva-se o deno-
numerador e o denominador por um número diferente minador comum.
de zero. 2 5 1 2 +5 +1 8
Ex: + + = =
3 3 3 3 3
Quando não for mais possível efetuar as divisões,
dizemos que a fração é irredutível. Exemplo: 4 3 4 −3 1
18 : 2 9 : 3 3 − = =
= = 5 5 5 5
12 : 2 6: 3 2
b) Com denominadores diferentes reduz ao mesmo
Fração irredutível ou simplificada. denominador depois soma ou subtrai.
9 36 Ex:
Exercícios: Simplificar 1) 2)
12 45 1 3 2
1) + + = M.M.C.. (2, 4, 3) = 12
3 4 2 4 3
Respostas: 1) 2)
4 5
(12 : 2).1 + (12 : 4).3 + (12.3).2 6 + 9 + 8 23
REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MENOR = =
12 12 12
DENOMINADOR COMUM
4 2
2) − = M.M.C.. (3,9) = 9
1 3 3 9
Ex.: e (9 : 3).4 - (9 : 9).2 12 - 2 10
3 4 = =
9 9 9
Calcular o M.M.C. (3,4) = 12
1
e
3
=
(12 : 3) ⋅ 1 e (12 : 4) ⋅ 3 Exercícios. Calcular:
3 4 2 5 1 5 1
12 12 1) + + 2) − 3)
temos: 7 7 7 6 6
4 9 2 1 1
e + −
12 12 3 4 3
1 4 3 8 4 2 7
A fração é equivalente a . A fração Respostas: 1) 2) = 3)
3 12 4 7 6 3 12
9
equivalente . MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
12

Realização

MATEMÁTICA

Para multiplicar duas ou mais frações devemos
multiplicar os numeradores das frações entre si, assim NÚMEROS DECIMAIS
como os seus denominadores.
Exemplo: Toda fração com denominador 10, 100, 1000,...etc,
2 3 2 3 6 3 chama-se fração decimal.
. = x = =
5 4 5 4 20 10 3 4 7
Ex: , , , etc
10 100 100
Exercícios: Calcular:
2 5 2 3 4  1 3 2 1 Escrevendo estas frações na forma decimal temos:
1) ⋅ 2) ⋅ ⋅ 3)  +  ⋅  − 
5 4 5 2 3 5 5 3 3 3
= três décimos,
10 5 24 4 4 10
Respostas: 1) = 2) = 3)
12 6 30 5 15 4
= quatro centésimos
100
DIVISÃO DE FRAÇÕES 7
= sete milésimos
1000
Para dividir duas frações conserva-se a primeira e
multiplica-se pelo inverso da Segunda. Escrevendo estas frações na forma decimal temos:
4 2 4 3 12 6 3 4 7
Exemplo: : = . = = =0,3 = 0,04 = 0,007
5 3 5 2 10 5 10 100 1000

Exercícios. Calcular: Outros exemplos:
4 2 8 6 34 635 2187
1) : 2) : 3) 1) = 3,4 2) = 6,35 3) =218,7
3 9 15 25 10 100 10
2 3 4 1
 +  :  − 
5 5  3 3  Note que a vírgula “caminha” da direita para a
esquerda, a quantidade de casas deslocadas é a
mesma quantidade de zeros do denominador.
20
Respostas: 1) 6 2) 3) 1
9 Exercícios. Representar em números decimais:
35 473
POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES 1) 2) 3)
10 100
430
Eleva o numerador e o denominador ao expoente
dado. Exemplo: 1000
3
2 23 8
  = 3 = Respostas: 1) 3,5 2) 4,73 3) 0,430
 3 3 27
LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL
Exercícios. Efetuar:
2 4 2 3
3  1 4 1 Ex.:
1)   2)   3)   −  
4  2  3 2

9 1 119
Respostas: 1) 2) 3)
16 16 72

RADICIAÇÃO DE FRAÇÕES

Extrai raiz do numerador e do denominador.
4 4 2
Exemplo: = =
9 9 3

Exercícios. Efetuar:
2
1 16 9  1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
1) 2) 3) + 
9 25 16  2 
Adição e Subtração
1 4 Coloca-se vírgula sob virgula e somam-se ou
Respostas: 1) 2) 3) 1 subtraem-se unidades de mesma ordem. Exemplo 1:
3 5

Realização

MATEMÁTICA

10 + 0,453 + 2,832
10,000 Exercícios
+ 0,453 1) Transformar as frações em números decimais.
2,832 1 4 1
_______ 1) 2) 3)
5 5 4
13,285
Respostas: 1) 0,2 2) 0,8 3) 0,25
Exemplo 2:
2) Efetuar as operações:
47,3 - 9,35
1) 1,6 : 0,4 2) 25,8 : 0,2
47,30
3) 45,6 : 1,23 4) 178 : 4,5-3,4.1/2
9,35
5) 235,6 : 1,2 + 5 . 3/4
______
37,95
Respostas: 1) 4 2) 129 3) 35,07
4) 37,855 5) 200,0833....
Exercícios. Efetuar as operações:
1) 0,357 + 4,321 + 31,45
2) 114,37 - 93,4 Multiplicação de um número decimal por 10, 100,
3) 83,7 + 0,53 - 15, 3 1000

Respostas: 1) 36,128 2) 20,97 3) 68,93 Para tornar um número decimal 10, 100, 1000.....
vezes maior, desloca-se a vírgula para a direita,
MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS respectivamente, uma, duas, três, . . . casas decimais.
2,75 x 10 = 27,5 6,50 x 100 = 650
Multiplicam-se dois números decimais como se 0,125 x 100 = 12,5 2,780 x 1.000 = 2.780
fossem inteiros e separam-se os resultados a partir da 0,060 x 1.000 = 60 0,825 x 1.000 = 825
direita, tantas casas decimais quantos forem os
algarismos decimais dos números dados. DIVISÃO
Para dividir os números decimais, procede-se
Exemplo: 5,32 x 3,8 assim:
5,32 → 2 casas, 1) iguala-se o número de casas decimais;
x 3,8→ 1 casa após a virgula 2) suprimem-se as vírgulas;
______ 3) efetua-se a divisão como se fossem números
4256 inteiros.
1596 +
______ Exemplos:
20,216 → 3 casas após a vírgula ♦ 6 : 0,15 = 6,00 0,15

Exercícios. Efetuar as operações: 000 40
1) 2,41 . 6,3 2) 173,4 . 3,5 + 5 . 4,6 Igualam – se as casas decimais.
3) 31,2 . 0,753 Cortam-se as vírgulas.
 7,85 : 5 = 7,85 : 5,00 785 : 500 = 1,57
Respostas: 1) 15,183 2) 629,9
3) 23,4936 Dividindo 785 por 500 obtém-se quociente 1 e resto
285
DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
Como 285 é menor que 500, acrescenta-se uma
Igualamos as casas decimais entre o dividendo e o vírgula ao quociente e zeros ao resto
divisor e quando o dividendo for menor que o divisor ♦ 2 : 4 0,5
acrescentamos um zero antes da vírgula no quociente.
Como 2 não é divisível por 4, coloca-se zero e
Ex.: vírgula no quociente e zero no dividendo
a) 3:4 ♦ 0,35 : 7 = 0,350 7,00 350 : 700 =
3 |_4_ 0,05
30 0,75
20 Como 35 não divisível por 700, coloca-se zero e
0 vírgula no quociente e um zero no dividendo. Como
b) 4,6:2 350 não é divisível por 700, acrescenta-se outro zero
4,6 |2,0 = 46 | 20 ao quociente e outro ao dividendo
60 2,3
0 Divisão de um número decimal por 10, 100, 1000
Obs.: Para transformar qualquer fração em número
decimal basta dividir o numerador pelo denominador. Para tornar um número decimal 10, 100, 1000, ....
Ex.: 2/5 = 2 |5 , então 2/5=0,4 vezes menor, desloca-se a vírgula para a esquerda,
20 0,4
Realização

MATEMÁTICA

respectivamente, uma, duas, três, ... casas decimais. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
Exemplos: CORRESPONDÊNCIA ENTRE NÚMEROS E
25,6 : 10 = 2,56 PONTOS DA RETA, ORDEM, VALOR ABSOLUTO
04 : 10 = 0,4 Há números que não admitem representação
315,2 : 100 = 3,152 decimal finita nem representação decimal infinita e
018 : 100 = 0,18 periódico, como, por exemplo:
0042,5 : 1.000 = 0,0425
0015 : 1.000 = 0,015
π = 3,14159265...
2 = 1,4142135...
milhar centena dezena Unidade décimo centésimo milésimo 3 = 1,7320508...
simples
5 = 2,2360679...
1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
Estes números não são racionais: π ∈ Q, 2
LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL ∈ Q, 3 ∈ Q, 5 ∈ Q; e, por isso mesmo, são
Procedemos do seguinte modo: chamados de irracionais.
1º) Lemos a parte inteira (como um número
natural). Podemos então definir os irracionais como sendo
2º) Lemos a parte decimal (como um número aqueles números que possuem uma representação
natural), acompanhada de uma das palavras: decimal infinita e não periódico.
- décimos, se houver uma ordem (ou casa)
decimal Chamamos então de conjunto dos números reais, e
- centésimos, se houver duas ordens decimais; indicamos com R, o seguinte conjunto:
- milésimos, se houver três ordens decimais.
R= { x | x é racional ou x é irracional}
Exemplos:
1) 1,2 Lê-se: "um inteiro e Como vemos, o conjunto R é a união do conjunto
dois décimos". dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais.
2) 12,75 Lê-se: "doze inteiros
e setenta e cinco Usaremos o símbolo estrela (*) quando quisermos
centésimos". indicar que o número zero foi excluído de um conjunto.

3) 8,309 Lê-se: "oito inteiros e Exemplo: N* = { 1; 2; 3; 4; ... }; o zero foi excluído
trezentos e nove de N.
milésimos''.
Usaremos o símbolo mais (+) quando quisermos
Observações: indicar que os números negativos foram excluídos de
1) Quando a parte inteira é zero, apenas a parte um conjunto.
decimal é lida.
Exemplos: Exemplo: Z+ = { 0; 1; 2; ... } ; os negativos foram
excluídos de Z.
a) 0,5 - Lê-se: "cinco
décimos". Usaremos o símbolo menos (-) quando quisermos
indicar que os números positivos foram excluídos de
b) 0,38 - Lê-se: "trinta e oito um conjunto.
centésimos".
Exemplo: Z − = { . .. ; - 2; - 1; 0 } ; os positivos
c) 0,421 - Lê-se: "quatrocentos
e vinte e um foram excluídos de Z.
milésimos".
Algumas vezes combinamos o símbolo (*) com o
2) Um número decimal não muda o seu valor se símbolo (+) ou com o símbolo (-).
acrescentarmos ou suprimirmos zeros â direita
do último algarismo. Exemplos
Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 " ....... a) Z * = ( 1; 2; 3; ... ) ; o zero e os negativos
−
foram excluídos de Z.
3) Todo número natural pode ser escrito na forma b) Z * = { ... ; - 3; - 2; - 1 } ; o zero e os positivos
+
de número decimal, colocando-se a vírgula após
foram excluídos de Z.
o último algarismo e zero (ou zeros) a sua
direita.
Exercícios resolvidos
Exemplos: 34 = 34,00... 176 = 176,00...
1. Completar com ∈ ou ∉:
Realização

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a) 5 Z g) 3 Q* R*
b) 5 *
Z− h) 4 Q
*
c) 3,2 Z+ i) ( −2) 2
Q-

d)
1
Z j) 2 R 2. Completar com ∈ ou ∉
4 k) 4 R- a) 3 Q d) π Q
4 b) 3,1 Q e) 3,141414... Q
e) Z c) 3,14 Q
1
f) 2 Q
3. Completar com ⊂ ou ⊄ :
Resolução *
a) ∈ , pois 5 é positivo. a) Z + N* *
d) Z − R
b) ∉, pois 5 é positivo e os positivos foram b) Z− N e) Z − R+
*
excluídos de Z − c) R+ Q
c) ∉ 3,2 não é inteiro.
1 4. Usando diagramas de Euler-Venn, represente os
d) ∉, pois não é inteiro. conjuntos N, Z, Q e R .
4 Respostas:
e) ∈ , pois 4 = 4 é inteiro. 1.
1 a) ∈ e) ∈ i) ∈
f) ∉ , pois 2 não é racional. b) ∉ f) ∈ j) ∈
g) ∉ , pois 3 não é racional c) ∈ g) ∈
h) ∈, pois 4 = 2 é racional d) ∉ h) ∉
i) ∉, pois ( − 2) 2 = 4 =2 é positivo, e os
2.
positivos foram excluídos de Q − . a) ∈ c) ∈ e) ∈
j) ∈ , pois 2 é real. b) ∈ d) ∉
k) ∉, pois 4 = 2 é positivo, e os positivos
3.
foram excluídos de R−
a) ⊂ c) ⊄ e) ⊄
2. Completar com ⊂ ou ⊄ : b) ⊄ d) ⊂
a) N Z* d) Q Z 4.
b) N Z+ e) *
Q+ *
R+
c) N Q
Resolução:
a) ⊄ , pois 0 ∈ N e 0 ∉ Z * .
Reta numérica
b) ⊂ , pois N = Z + Uma maneira prática de representar os números
c) ⊂ , pois todo número natural é também reais é através da reta real. Para construí-la,
racional. desenhamos uma reta e, sobre ela, escolhemos, a
d) ⊄ , pois há números racionais que não são nosso gosto, um ponto origem que representará o
2 número zero; a seguir escolhemos, também a nosso
inteiros como por exemplo, . gosto, porém à direita da origem, um ponto para
3 representar a unidade, ou seja, o número um. Então, a
e) ⊂ , pois todo racional positivo é também real distância entre os pontos mencionados será a unidade
positivo. de medida e, com base nela, marcamos,
ordenadamente, os números positivos à direita da
Exercícios propostos: origem e os números negativos à sua esquerda.
1. Completar com ∈ ou ∉
a) 0 N 7
g)
b) 0 N* 1
c) 7 Z *
Q+
d) - 7 Z+ h) 7 EXERCÍCIOS
e) – 7 Q− Q 1) Dos conjuntos a seguir, o único cujos elementos
1 são todos números racionais é:
i) 7 2
f) Q  1 
7 Q a)  , 2 , 3, 5, 4 2 
j)  2 
7

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 2  III) 2 2 é racional.
c)  −1, , 0, 2, 3  Podemos afirmar que:
 7 
b) { − ,
3 −2, − 2, 0 } a) l é falsa e II e III são verdadeiros.
b) I é verdadeiro e II e III são falsas.
d) { 0, 9, 4 , 5, 7 } c) I e II são verdadeiras e III é falsa.
d) I e II são falsas e III é verdadeira.
2) Se 5 é irracional, então:
10) Considere as seguintes sentenças:
m I) A soma de dois números naturais é sempre um
a) 5 escreve-se na forma , com n ≠0 e m, n ∈
n número natural.
N. II) O produto de dois números inteiros é sempre um
b) 5 pode ser racional número inteiro.
m III) O quociente de dois números inteiros é sempre
c) 5 jamais se escreve sob a forma , com n ≠0 um número inteiro.
n Podemos afirmar que:
e m, n ∈ N. a) apenas I é verdadeiro.
d) 2 5 é racional b) apenas II é verdadeira.
c) apenas III é falsa.
3) Sendo N, Z, Q e R, respectivamente, os conjuntos d) todas são verdadeiras.
dos naturais, inteiros, racionais e reais, podemos
escrever: 11) Assinale a alternativa correta:
a) ∀x ∈ N⇒x∈R c) Z ⊃ Q a) R ⊂ N c) Q ⊃ N
b) ∀x ∈Q⇒x∈Z d) R ⊂ Z b) Z ⊃ R d) N ⊂ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

4) Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 12) Assinale a alternativa correto:
podemos afirmar que: a) O quociente de dois número, racionais é sempre
a) ∀ x ∈ A ⇒ x é primo um número inteiro.
b) ∃ x ∈ A | x é maior que 7 b) Existem números Inteiros que não são números
c) ∀ x ∈ A ⇒ x é múltiplo de 3 reais.
c) A soma de dois números naturais é sempre um
d) ∃ x ∈ A | x é par
número inteiro.
e) nenhuma das anteriores
d) A diferença entre dois números naturais é sempre
um número natural.
5) Assinale a alternativa correta:
a) Os números decimais periódicos são irracionais
13) O seguinte subconjunto dos números reais
b) Existe uma correspondência biunívoca entre os
pontos da reta numerada, e o conjunto Q.
c) Entre dois números racional existem infinitos
números racionais.
d) O conjunto dos números irracionais é finito escrito em linguagem simbólica é:
a) { x ∈ R | 3< x < 15 } c) { x ∈ R | 3 ≤ x ≤ 15 }
6) Podemos afirmar que: b) { x ∈ R | 3 ≤ x < 15 } d) { x ∈ R | 3< x ≤ 15 }
a) todo real é racional.
b) todo real é irracional. 14) Assinale a alternativa falsa:
c) nenhum irracional é racional. a) R* = { x ∈ R | x < 0 ou x >0}
d) algum racional é irracional. b) 3∈ Q
c) Existem números inteiros que não são números
7) Podemos afirmar que:
naturais.
a) entre dois inteiros existe um inteiro.
b) entre dois racionais existe sempre um racional.
c) entre dois inteiros existe um único inteiro.
d) é a
d) entre dois racionais existe apenas um racional.
representação de { x ∈ R | x ≥ 7 }
8) Podemos afirmar que:
15) O número irracional é:
a) ∀a, ∀b ∈ N⇒a-b∈N
4
b) ∀a, ∀b ∈ N⇒a:b∈N a) 0,3333... e)
5
c) ∀a, ∀b ∈ R⇒a+b∈R
b) 345,777... d) 7
d) ∀a, ∀b ∈ Z⇒a:b∈Z
16) O símbolo R − representa o conjunto dos
9) Considere as seguintes sentenças:
I) números:
7 é irracional.
a) reais não positivos c) irracional.
II) 0,777... é irracional.
b) reais negativos d) reais positivos.

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novos conjuntos.
17) Os possíveis valores de a e de b para que a
número a + b 5 seja irracional, são: 2. O CONJUNTO N E SUAS PROPRIEDADES
a) a = 0 e b=0 c) a = 0 e b = 2 Seja o conjunto N: N = { 0, 1, 2, 3. ... , n, ...}
Você deve se lembrar que este conjunto tem sua
c) a = 1 e b = 5 d) a = 16 e b = 0 origem a partir de conjuntos finitos e equipotentes: a
uma classe de todos os conjuntos equipotentes entre
18) Uma representação decimal do número 5 é: si associou-se o mesmo cardinal, o mesmo número e
a) 0,326... c) 1.236... a mesma representação ou numeral.
b) 2.236... d) 3,1415...
2.1. Propriedades das operações em N
19) Assinale o número irracional: Para expressar matematicamente as propriedades
a) 3,01001000100001... e) 3,464646... das operações em N e nos sucessivos conjuntos,
b) 0,4000... d) 3,45 usaremos a notação usual e prática dos
quantificadores. São eles:
20) O conjunto dos números reais negativos é • ∀x significa “qualquer que seja x é o
representado por: quantificador universal e significa “qualquer que
a) R* c) R seja”;
b) R_ d) R* • ∃x significo “existe x” é o quantificador
existencial e significo “existe”. O símbolo ∃ | x
21) Assinale a alternativo falso: significa “existe um único x”.
a) 5 ∈ Z b) 5,1961... ∈ Q
5 ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO
c) − ∈Q
3 1. Fechamento 1. Fechamento
22) Um número racional compreendido entre 3 e ∀ a, b ∈ N, a + b = c ∈ N ∀ a, b ∈ N, a . b = c ∈ N

6 é: 2. Comutativa 2. Comutativa
3. 6 ∀ a, b ∈ N, a + b = b + a ∀ a, b ∈ N, a . b = b . a
a) 3,6 c) 3. Associativo 3. Associativa
2
∀ a, b, c ∈ N, a + (b + c) = (a + b) ∀ a, b, c ∈ N, a . (b . c) = (a
6 3+ 6 +c . b) . c
b) d)
3 2
4. Elemento Neutro 4. Elemento Neutro
23) Qual dos seguintes números é irracional? ∃ 0 ∈ N, tal que ∀ a ∈ N ∃ 1 ∈ N, tal que ∀ a ∈ N
a+0=0+a=a a.1=1.a=a
a) 3 125 c) 27 Distributiva da Multiplicação em Relação à Adição
b) 4
1 d) 169 ∀ a, b, c ∈ N, a . (b + c) = a . b + a . c

3. CONJUNTO Z E SUAS PROPRIEDADES
Em N, a operação 3 - 4 não é possível. Entretanto,
24) é a representação pode-se ampliar N e assim obter Z, onde 3 - 4 = - 1
gráfica de: passa a ser possível. A novidade, em Z, está no fato
a) { x ∈ R | x ≥ 15 } b) { x ∈ R | -2≤ x < 4 } de que qualquer que seja o elemento de Z, este possui
c) { x ∈ R | x < -2 } d) { x ∈ R | -2< x ≤ 4 } um oposto aditivo, ou seja, para + 3 ∈ Z, existe - 3 ∈
Z tal que + 3 – 3 = 0. Sendo Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2,
RESPOSTAS 3, ...}, teremos, então, as seguintes propriedades em
1) d 5) b 9) b 13) b 17) c 21) b Z. com a inclusão da propriedade 5.
2) c 6) c 10) c 14) d 18) b 22) b
3) a 7) b 11) b 15) d 19) a 23) c 3.1. Propriedades das operações em Z
4) e 8) c 12) c 16) b 20) b 24) d ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO
1. Fechamento 1. Fechamento
∀ a, b ∈ Z, a + b = c ∈ Z ∀ a, b ∈ Z, a . b = c ∈ Z
Ordenação dos Reais, Intervalos, Módulo
Para melhor entendermos os NÚMEROS REAIS, 2. Comutativa 2. Comutativa
vamos inicialmente dar um resumo de todos os ∀ a, b ∈ Z, a + b = b + a ∀ a, b ∈ Z, a . b = b . a
conjuntos numéricos.
3. Associativo 3. Associativa
1. Sucessivas ampliações dos campos numéricos ∀ a, b, c ∈ Z, a + (b + c) = (a + b) ∀ a, b, c ∈ Z, a . (b . c) = (a .
Você já tem algum conhecimento o respeito dos +c b) . c
campos ou conjuntos numéricos com os quais iremos
trabalhar nesta unidade. Mostraremos como se 4. Elemento Neutro 4. Elemento Neutro
ampliam sucessivamente esses conjuntos, a partir do ∃ 0 ∈ Z, tal que ∀ a ∈ Z ∃ 1 ∈ Z, tal que ∀ a ∈ Z
conjunto N, e também como se acrescentam outras a+0=0+a=a a.1=1.a=a
propriedades para as operações como elementos dos
5. Elemento Oposto Aditivo

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∀ a ∈ Z, ∃ - a ∈ Z, tal que elementos distintos de Q e verificar que a média
a + ( - a) = 0 aritmética (ou semi-soma) desses dois elementos
Distributiva da Multiplicação em Relação à Adição também pertence a Q. De fato:
∀ a, b, c ∈ Z, a . (b + c) = a . b + a . c
2∈ Q 2 + 3 5
a)  ⇒ = ∈Q
Vê-se que, em Z, a operação adição admite mais
uma propriedade ( 5 ).

4. O CONJUNTO Q E SUAS PROPRIEDADES
3∈ Q 2 2
Tanto em N como em Z, a operação 2 ÷ 3 não é
possível, pois ambos não admitem números
fracionários. A ampliação de Z para Q, entretanto,
permite um fato novo: qualquer que seja o elemento
de Q* ou Q – {0}, existe sempre, para esse elemento,
um inverso multiplicativo.
3  3 8
2 3 ∈ Q +
5  5 5 = 11 ∈ Q
Assim, por exemplo, para ∈ Q, existe ∈Q
3 2
2 3 b)  ⇒
tal que
3 2
. = 1, o que não é possível em N e Z.
8  2 10
Esse fato amplia uma propriedade para as ∈Q
operações em Q.
5 
Propriedades das operações em Q

ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO
1. Fechamento 1. Fechamento
∀ a, b ∈ Q, a + b = c ∈ Q ∀ a, b ∈ Q, a . b = c ∈ Q
Conclui-se, então, que:
2. Comutativa 2. Comutativa
Na reta numerada existe uma Infinidade de
∀ a, b ∈ Q, a + b = b + a ∀ a, b ∈ Q, a . b = b . a
elementos de Q situados entre dois elementos
3. Associativo 3. Associativa quaisquer a e b de Q.
∀ a, b, c ∈ Q, a + (b + c) = (a + ∀ a, b, c ∈ Q, a . (b . c) = (a .
b) + c b) . c O CONJUNTO Q CONTÉM Z E N
Os elementos de Q são aqueles que podem ser
4. Elemento Neutro 4. Elemento Neutro a
∃ 0 ∈ Q, tal que ∀ a ∈ Q ∃ 1 ∈ Q, tal que ∀ a ∈ Q escritos sob o forma , com a e b ∈ Z e b ≠ Q.
b
a+0=0+a=a a.1=1.a=a

5. Elemento Oposto Aditivo Elemento Inverso Multiplicativo Pode-se observar facilmente que qualquer que seja
∀ a ∈ Q, ∃ - a ∈ Q, tal que ∀ a ∈ Q*, ∃ a’ ∈ Q*, tal que o elemento de N ou de Z, este estará em Q.
a + ( - a) = 0 a . a’ = 1 De fato:
2 3 2 2 ∈ N, mas
Ex.: ∈ Q, ∃ ∈Q| . 2 4 6
3 2 3 2 = = = = . . . ∈Q
3 1 2 3
=1 -3 ∈ N, mas
2
Distributiva da Multiplicação em Relação à Adição -3 -6 -9
−3 = = = =. . . ∈ Q
∀ a, b, c ∈ Q, a . (b + c) = a . b + a . c 1 2 3
O esquema a seguir apresenta as relações entre os
Vê-se que, em Q, a operação multiplicação admite conjuntos N, Z e Q.
mais uma propriedade

4.1. Propriedade: A densidade de Q
O conjunto Q possui uma propriedade importante,
que o caracteriza como um conjunto denso. Isto quer
dizer que:

Entre dois elementos distintos de Q, sempre existe INTERVALOS
um outro elemento de Q (como consequência, entre No conjunto dos números reais destacaremos
esses 2 elementos há infinitos elementos de Q). alguns subconjuntos importantes determinados por
desigualdades, chamados intervalos.
Para comprovar essa afirmação, basto tomar dois
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Na reta real os números compreendidos entre 5 e 8 elemento pertence ao conjunto e podemos escrever
incluindo o 5 e o 8 constituem o intervalo fechado [5;
. Se não é um elemento de , nós podemos
8], ou seja:
[5; 8] = {x / 5 « x « 8} dizer que o elemento não pertence ao conjunto e

podemos escrever .
Se excluirmos os números 5 e 8, chamados
extremos do intervalo, temos o intervalo aberto ]5; 8[, 1. Conceitos primitivos
ou seja: Antes de mais nada devemos saber que conceitos
]5; 8[ = {x / 5 < x < 8} primitivos são noções que adotamos sem definição.

Consideraremos ainda os intervalos mistos: Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de conjunto,
]5; 8] = {x / 5 < x « 8} o de elemento e o de pertinência de um elemento a um
conjunto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase:
determinado elemento pertence a um conjunto, sem que
(Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita).
tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o
[5; 8[ = {x / 5 « x < 8} que significa dizer que um elemento pertence ou não a um
conjunto.
(intervalo fechado à esquerda e aberto à direita).

MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO 2 Notação
Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a
seguinte notação:
No conjunto Z para cada número natural r foi criado os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B,
um +n e -n. Chama-se módulo ou valor absoluto de +n C, ... ;
e -n, indica-se | +n | = n e | -n | = n os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c,
x, y, ... ;
Exemplos: o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C é
| -5 | = 5, leia-se o módulo de -5 é 5, indicado com x ∈ C;
| +5 | = 5 o módulo de +5 é 5 o fato de um elemento y não pertencer a um conjunto C é
| 0 | =0 indicado y ∉ C.

TEORIA DOS CONJUNTOS 3. Representação dos conjuntos
Um conjunto pode ser representado de três maneiras:
por enumeração de seus elementos;
CONJUNTO
por descrição de uma propriedade característica do
Em matemática, um conjunto é uma coleção de
conjunto;
elementos. Não interessa a ordem e quantas vezes os
através de uma representação gráfica.
elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma
coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a
Um conjunto é representado por enumeração quando
ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.
todos os seus elementos são indicados e colocados dentro
de um par de chaves.
Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática.
Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas
Exemplo:
de elementos. A notação padrão lista os elementos
A = ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjunto formado
separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses"
pelos algarismos do nosso sistema de numeração.
ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos:
B = ( a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x,
{1, 2, 3}
z ) indica o conjunto formado pelas letras do nosso
{1, 2, 2, 1, 3, 2}
alfabeto.
{x : x é um número inteiro tal que 0<x<4}
Quando um conjunto possui número elevado de
elementos, porém apresenta lei de formação bem
Os três exemplos acima são maneiras diferentes de
clara, podemos representa-lo, por enumeração,
representar o mesmo conjunto.
indicando os primeiros e os últimos elementos,
intercalados por reticências. Assim:C = ( 2; 4; 6;... ; 98
É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes
) indica o conjunto dos números pares positivos,
maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos
menores do que100.
pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus
Ainda usando reticências, podemos representar, por
elementos. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e
enumeração, conjuntos com infinitas elementos que
somente se cada elemento de um é também elemento do
tenham uma lei de formação bem clara, como os
outro, não importando a quantidade e nem a ordem das
seguintes:
ocorrências dos elementos.
D = (0; 1; 2; 3; ...) indica o conjunto dos números
Conceitos essenciais
inteiros não negativos;
Conjunto: representa uma coleção de objetos,
E = (... ; -2; -1; 0; 1; 2; ...) indica o conjunto dos
geralmente representado por letras maiúsculas;
números inteiros;
Elemento: qualquer um dos componentes de um
F = (1; 3; 5; 7; ...) indica o conjunto dos números
conjunto, geralmente representado por letras
ímpares positivos.
minúsculas;
Pertinência: é a característica associada a um elemento
A representação de um conjunto por meio da descrição
que faz parte de um conjunto.
de uma propriedade característica é mais sintética que sua
Pertence ou não pertence
representação por enumeração. Neste caso, um conjunto C,
Se é um elemento de , nós podemos dizer que o de elementos x, será representado da seguinte maneira:
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C = { x | x possui uma determinada propriedade} a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u}
b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a}
que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u}
uma determinada propriedade: d) {a;e;i;o;u} ≠ {a;e;i;o}
e) { x | x2 = 100} = {10; -10}
Exemplos f) { x | x2 = 400} ≠ {20}
O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser
representado por descrição da seguinte maneira: A = { x | x
7 Subconjuntos de um conjunto
é algarismo do nosso sistema de numeração }
Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um
conjunto B se todo elemento, que pertencer a A, também
O conjunto G = {a; e; i; o, u } pode ser representado por
pertencer a B.
descrição da seguinte maneira G = { x | x é vogal do nosso
alfabeto }
Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o
conjunto A estará "totalmente dentro" do conjunto B :
O conjunto H = {2; 4; 6; 8; ...} pode ser representado por
descrição da seguinte maneira:
H = { x | x é par positivo }

A representação gráfica de um conjunto é bastante
cômoda. Através dela, os elementos de um conjunto são
representados por pontos interiores a uma linha fechada que
não se entrelaça. Os pontos exteriores a esta linha Indicamos que A é um subconjunto de B de duas
representam os elementos que não pertencem ao conjunto. maneiras:

Exemplo
A ⊂ B; que deve ser lido : A é subconjunto de B ou A
está contido em B ou A é parte de B;
B ⊃ A; que deve ser lido: B contém A ou B inclui A.

Exemplo
Sejam os conjuntos A = {x | x é mineiro} e B = { x | x é
brasileiro} ; temos então que A ⊂
B e que B ⊃A.

Observações:
Quando A não é subconjunto de B, indicamos com A ⊄
B ou B A.
Admitiremos que o conjunto vazio está contido em
qualquer conjunto.

8 Número de subconjuntos de um conjunto dado
Por esse tipo de representação gráfica, chamada Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n
diagrama de Euler-Venn, percebemos que x C, y∈C, ∈ elementos, então este conjunto terá 2n subconjuntos.
z ∈ C; e que a ∉ C, b ∉ C, c ∉ C, d ∉ C. Exemplo

4 Número de elementos de um conjunto O conjunto C = {1; 2 } possui dois elementos; logo, ele
Consideremos um conjunto C. Chamamos de número de terá 22 = 4 subconjuntos.
elementos deste conjunto, e indicamos com n(C), ao número
de elementos diferentes entre si, que pertencem ao conjunto. Exercício resolvido:
1. Determine o número de subconjuntos do conjunto C =
Exemplos (a; e; i; o; u ) .
O conjunto A = { a; e; i; o; u } é tal que n(A) = 5.
O conjunto B = {0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } é tal que n(B) = Resolução: Como o conjunto C possui cinco elementos, o
10. número dos seus subconjuntos será 25 = 32.
O conjunto C = (1; 2; 3; 4;... ; 99) é tal que n (C) = 99.
Exercícios propostas:
5 Conjunto unitário e conjunto vazio
Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C, tal 2. Determine o número de subconjuntos do conjunto
que n (C) = 1. C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }
Resposta: 1024
Exemplo: C = ( 3 )
E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que 3. Determine o número de subconjuntos do conjunto
n(C) = 0. 1 1 1 2 3 3 
Exemplo: M = { x | x2 = -25} C=  ; ; ; ; ; 
2 3 4 4 4 5 
O conjunto vazio é representado por { } ou por ∅ .
Resposta: 32
6 igualdade de conjuntos B) OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 são iguais, e
indicaremos com A = 8, se ambos possuírem os mesmos 1 União de conjuntos
elementos. Quando isto não ocorrer, diremos que os Dados dois conjuntos A e B, chamamos união ou reunião
conjuntos são diferentes e indicaremos com A ≠ B. de A com B, e indicamos com A ∩
B, ao conjunto
Exemplos .
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constituído por todos os elementos que pertencem a A ou a
B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando
com hachuras a interseção dos conjuntos, temos:

.Resolução

Exemplos
{a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e}
{a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d}
{a;b;c} U {a;c}={a;b;c}

2 Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseção de
A com B, e indicamos com A ∩
B, ao conjunto constituído
3. No diagrama seguinte temos:
por todos os elementos que pertencem a A e a B. n(A) = 20
n(B) = 30
com hachuras a intersecção dos conjuntos, temos:
n(A ∩ B) = 5

Determine n(A ∪ B).
Resolução

Exemplos
a) {a;b;c} ∩ {d;e} = ∅ Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos
b) {a;b;c} ∩ {b;c,d} = {b;c} de B, estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas
c) {a;b;c} ∩ {a;c} = {a;c} vezes; o que, evidentemente, é incorreto; e, para corrigir
este erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n
Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia, como B; teremos então:
no exemplo a, dizemos que os conjuntos são disjuntos. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩
B) ou seja:
n(A ∪ B) = 20 + 30 – 5 e então:
Exercícios resolvidos
Sendo A = (x; y; z); B = (x; w; v) e C = ( y; u; t), n(A ∪ B) = 45.
determinar os seguintes conjuntos:
a) A ∪ B f) B C∩ 4 Conjunto complementar
b) A ∩ B g) A ∪ B ∪ C
Dados dois conjuntos A e B, com B ⊂
A, chamamos de
conjunto complementar de B em relação a A, e indicamos
c) A ∪ C h) A B∩ ∩ C com CA B, ao conjunto A - B.
d) A ∩ C i) (A ∩
B) U (A ∩
C)
e) B ∪ C Observação: O complementar é um caso particular de
diferença em que o segundo conjunto é subconjunto do
Resolução primeiro.
A ∪ B = {x; y; z; w; v }
A ∩ B = {x } com hachuras o complementar de B em relação a A, temos:
A ∪ C = {x; y;z; u; t }
A ∩ C = {y }
B ∪ C={x;w;v;y;u;t}
B ∩ C= ∅
A ∪ B ∪ C= {x;y;z;w;v;u;t}
A ∩ ∩ B C= ∅
(A∩ B) ∪ u (A ∩ C)={x} ∪ {y}={x;y}
Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f}
2. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras
os conjuntos: :
Observação: O conjunto complementar de B em relação
a) A∩ ∩ B C a A é formado pelos elementos que faltam para "B chegar a
∩
b) (A B) ∪ (A ∩
C) A"; isto é, para B se igualar a A.

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Exercícios resolvidos: Podemos medir a página deste livro utilizando um
lápis; nesse caso o lápis foi tomado como unidade de
4. Sendo A = { x; y; z } , B = { x; w; v } e C = { y; u; t}, medida ou seja, ao utilizarmos o lápis para medirmos o
determinar os seguintes conjuntos: comprimento do livro, estamos verificando quantas vezes o
A–B C-A lápis (tomado como medida padrão) caberá nesta página.
B–A B–C
A–C C–B Para haver uma uniformidade nas relações humanas
estabeleceu-se o metro como unidade fundamental de
Resolução medida de comprimento; que deu origem ao sistema métrico
A - B = { y; z } decimal, adotado oficialmente no Brasil.
B - A= {w;v}
A - C= {x;z} Múltiplos e sub-múltiplos do sistema métrico: Para
C – A = {u;t} escrevermos os múltiplos e sub-múltiplos do sistema métrico
B – C = {x;w;v} decimal, utilizamos os seguintes prefixos gregos:
C – B = {y;u;t}
KILO significa 1.000 vezes
Exemplos de conjuntos compostos por números
Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, HECTA significa 100 vezes
enquanto r e s são números reais. DECA significa 10 vezes
Números naturais são usados para contar. O símbolo DECI significa décima parte
usualmente representa este conjunto. CENTI significa centésima parte
Números inteiros aparecem como soluções de equações MILI significa milésima parte.
como x + a = b. O símbolo usualmente representa
1km = 1.000m 1 m = 10 dm
este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa
1hm = 100m e 1 m = 100 cm
números).
1dam = 10m 1 m = 1000 mm
Números racionais aparecem como soluções de
equações como a + bx = c. O símbolo usualmente
representa este conjunto (da palavra quociente).
Números algébricos aparecem como soluções de
equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e
envolvem raízes e alguns outros números irracionais.

O símbolo ou usualmente representa este Transformações de unidades: Cada unidade de
conjunto. comprimento é dez (10) vezes maior que a unidade
Números reais incluem os números algébricos e os imediatamente. inferior. Na prática cada mudança de vírgula
números transcendentais. O símbolo usualmente para a direita (ou multiplicação por dez) transforma uma
representa este conjunto. unidade imediatamente inferior a unidade dada; e cada
Números imaginários aparecem como soluções de mudança de vírgula para a esquerda (ou divisão por dez)
equações como x 2 + r = 0 onde r > 0. O símbolo transforma uma unidade na imediatamente superior.
usualmente representa este conjunto.
Números complexos é a soma dos números reais e dos Ex.: 45 Km ⇒ 45 . 1.000 = 45.000 m
imaginários: . Aqui tanto r quanto s podem 500 cm ⇒ 500 ÷ 100 = 5 m
ser iguais a zero; então os conjuntos dos números 8 Km e 25 m ⇒ 8.000m + 25m = 8.025 m
reais e o dos imaginários são subconjuntos do ou 8,025 Km.
conjunto dos números complexos. O símbolo
usualmente representa este conjunto. Resumo

SISTEMA DE MEDIDAS USUAIS

A) Unidades de Comprimento
B) Unidades de ÁREA
C) Áreas Planas
D) Unidades de Volume e de Capacidade
E) Volumes dos principais sólidos geométricos Permitido de um polígono: o perímetro de um
F) Unidades de Massa polígono é a soma do comprimento de seus lados.

A) UNIDADES DE COMPRIMENTO

Medidas de comprimento:

Medir significa comparar. Quando se mede um
determinado comprimento, estamos comparando este
comprimento com outro tomado como unidade de medida.
Portanto, notamos que existe um número seguido de um
nome: 4 metros — o número será a medida e o nome será a
unidade de medida.

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• para se converter um número medido numa
unidade, para uma unidade imediatamente
Perímetro de uma circunferência: Como a abertura do inferior, deve-se multiplicá-lo por 100.
compasso não se modifica durante o traçado vê-se logo que
os pontos da circunferência distam igualmente do ponto zero Medidas Agrárias:
(0). centiare (ca) — é o m2

are (a) —é o dam2 (100 m2)

hectare (ha) — é o hm2 (10000 m2).

C) ÁREAS PLANAS

Retângulo: a área do retângulo é dada pelo produto
da medida de comprimento pela medida da largura, ou,
medida da base pela medida da altura.

Elementos de uma circunferência:

Perímetro: a + a + b + b

Quadrado: a área do quadrado é dada pelo produto
“lado por lado, pois sendo um retângulo de lados iguais,
base = altura = lado.
O perímetro da circunferência é calculado multiplican-
do-se 3,14 pela medida do diâmetro.

3,14 . medida do diâmetro = perímetro.

B) UNIDADES DE ÁREA: a ideia de superfície já é
nossa conhecida, é uma noção intuitiva. Ex.: superfície da
mesa, do assoalho que são exemplos de superfícies planas
enquanto que a superfície de uma bola de futebol, é uma Perímetro: é a soma dos quatro lados.
superfície esférica.
Triângulo: a área do triângulo é dada pelo produto da
Damos o nome de área ao número que mede uma base pela altura dividido por dois.
superfície numa determinada unidade.

Metro quadrado: é a unidade fundamental de medida
de superfície (superfície de um quadrado que tem 1 m de
lado).

Propriedade: Toda unidade de medida de superfície é Perímetro – é a soma dos três lados.
100 vezes maior do que a imediatamente inferior.
Trapézio: a área do trapézio é igual ao produto da
Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado: semi-soma das bases, pela altura.
Múltiplos Submúltiplos
km2: 1.000.000 m2 m2 cm2 : 0,0001 m2
hm2: 10.000 m2 dm2: 0,01 m2
dam2: 100 m2 mm2 : 0,000001m2

1km2 = 1000000 (= 1000 x 1000)m2
1 hm2= 10000 (= 100 x 100)m2
1dam2 =100 (=10x10) m2

Perímetro – é a soma dos quatro lados.
Regras Práticas:
Losango: a área do losango é igual ao semi-produto
• para se converter um número medido numa das suas diagonais.
unidade para a unidade imediatamente superior
deve-se dividi-lo por 100.

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Múltiplos Submúltiplos

hl ( 100 l) dl (0,1 l)
dal ( 10 l) litro l cl (0,01 l)
ml (0,001 l)

Perímetro – á a soma dos quatro lados. Como se vê:

Área de polígono regular: a área do polígono regular 1 hl = 100 l 1 l = 10 dl
é igual ao produto da medida do perímetro (p) pela medida 1 dal = 10 l 1 l = 100 cl
do apotema (a) sobre 2. 1 l = 1000 ml

VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS
GEOMÉTRICOS

Volume do paralelepípedo retângulo: é o mais comum
dos sólidos geométricos. Seu volume é dado pelo produto de
Perímetro – soma de seus lados. suas três dimensões.

DUNIDADES DE VOLUME E CAPACIDADE

Unidades de volume: volume de um sólido é a
medida deste sólido.

Chama-se metro cúbico ao volume de um cubo cuja
aresta mede 1 m.

Volume do cubo: o cubo é um paralelepipedo
retângulo de faces quadradas. Um exemplo comum de cubo,
é o dado.
Propriedade: cada unidade de volume é 1.000 vezes
maior que a unidade imediatamente inferior.

Múltiplos e sub-múltiplos do metro cúbico:

MÚLTIPIOS SUB-MÚLTIPLOS

km3 ( 1 000 000 000m3) dm3 (0,001 m3)
3 3
hm ( 1 000 000 m ) cm3 (0,000001m3) O volume do cubo é dado pelo produto das medidas
dam3 (1 000 m3) mm3 (0,000 000 001m3) de suas três arestas que são iguais.

Como se vê: V = a. a . a = a3 cubo
1 km3 = 1 000 000 000 (1000x1000x1000)m3
1 hm3 = 1000000 (100 x 100 x 100) m3 Volume do prisma reto: o volume do prisma reto é
1dam3 = 1000 (10x10x10)m3 dado pelo produto da área da base pela medida da altura.

1m3 =1000 (= 10 x 10 x 10) dm3
1m3 =1000 000 (=100 x 100 x 100) cm3
1m = 1000000000 ( 1000x 1000x 1000) mm3
3

Unidades de capacidade: litro é a unidade
fundamental de capacidade. Abrevia-se o litro por l.

O litro é o volume equivalente a um decímetro cúbico.

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1 minuto = sessenta segundos
1 ano = 365 dias
1 mês = 30 dias

Média geométrica

Numa proporção contínua, o meio comum é
denominado média proporcional ou média geométrica dos
extremos. Portanto no exemplo acima 8 é a média
proporcional entre 4 e 16. O quarto termo de uma proporção
contínua é chamado terceira proporcional. Assim, no nosso
exemplo, 16 é a terceira proporcional depois de 4 e 8.

Para se calcular a média proporcional ou geométrica
de dois números, teremos que calcular o valor do meio
comum de uma proporção continua. Ex.:
4 X
Volume do cilindro: o volume do cilindro é dado pelo =
produto da área da base pela altura.
X 16

4 . 16 x . x

x2 = 64 x
64 =8

4.º proporcional: é o nome dado ao quarto termo de
uma proporção não continua. Ex.:

4 12
= , 4 . x = 8 . 12
8 F
96
x= =24.
4
F) UNIDADES DE MASSA Nota: Esse cálculo é idêntico ao cálculo do elemento
desconhecido de uma proporção).
— A unidade fundamental para se medir massa de
um corpo (ou a quantidade de matéria que esse corpo Média Aritmética Simples: (ma)
possui), é o kilograma (kg).
— o kg é a massa aproximada de 1 dm3 de água a 4 A média aritmética simples de dois números é dada
graus de temperatura. pelo quociente da soma de seus valores e pela quantidade
das parcelas consideradas.
— Múltiplos e sub-múltiplos do kilograma: Ex.: determinar a ma de: 4, 8, 12, 20

Múltiplos Submúltiplos 4 + 8 + 12 + 20 44
kg (1000g) dg (0,1 g) ma = = = 11
hg ( 100g) cg (0,01 g) 4 4
dag ( 10 g) mg (0,001 g)
Média Aritmética Ponderada (mv):
Como se vê:
A média aritmética ponderada de vários números aos
1kg = 1000g 1g = 10 dg quais são atribuídos pesos (que indicam o número de vezes
1 hg = 100 g e 1g= 100 cg que tais números figuraram) consiste no quociente da soma
1 dag = 10g 1g = 1000 mg dos produtos — que se obtém multiplicando cada número
pelo peso correspondente, pela soma dos pesos.

Ex.: No cálculo da média final obtida por um aluno
durante o ano letivo, usamos a média aritmética ponderada.
A resolução é a seguinte:

Matéria Notas Peso
Português 60,0 5
Para a água destilada, 1.º acima de zero. Matemática 40,0 3
volume capacidade massa História 70,0 2
1dm2 1l 1kg 60 . 5 + 40 3 + 70 . 2
mp =
5 +3 +2
Medidas de tempo:
Não esquecer:
1dia = 24 horas 300 + 120 + 140
= = 56
1 hora = sessenta minutos 10

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Sistema monetário brasileiro Nessa expressão, a chama-se antecedente e b,
Nossa moeda é o real (R$) consequente. Outros exemplos de razão:
Escreve-se:
R$ 1,00 (um real) Em cada 10 terrenos vendidos, um é do corretor.
R$ 10,00 (dez reais)
1
Subdivisão: centavos. Razão =
10
R$ 10,20 = dez reais e vinte centavos.
Os times A e B jogaram 6 vezes e o time A ganhou
todas.
RAZÕES E PROPORÇÕES 6
Razão =
1. INTRODUÇÃO
6
Se a sua mensalidade escolar sofresse hoje um
3. Uma liga de metal é feita de 2 partes de ferro e 3
reajuste de R$ 80,00, como você reagiria? Acharia
partes de zinco.
caro, normal, ou abaixo da expectativa? Esse mesmo
valor, que pode parecer caro no reajuste da 2 3
Razão = (ferro) Razão = (zinco).
mensalidade, seria considerado insignificante, se 5 5
tratasse de um acréscimo no seu salário.
3. PROPORÇÃO
Naturalmente, você já percebeu que os R$ 80,00 Há situações em que as grandezas que estão
nada representam, se não forem comparados com um sendo comparadas podem ser expressas por razões
valor base e se não forem avaliados de acordo com a de antecedentes e consequentes diferentes, porém
natureza da comparação. Por exemplo, se a com o mesmo quociente. Dessa maneira, quando uma
mensalidade escolar fosse de R$ 90,00, o reajuste pesquisa escolar nos revelar que, de 40 alunos
poderia ser considerado alto; afinal, o valor da entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos
mensalidade teria quase dobrado. Já no caso do supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mes-
salário, mesmo considerando o salário mínimo, R$ ma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na
80,00 seriam uma parte mínima. . verdade, estamos afirmando que 10 estão
representando em 40 o mesmo que 20 em 80.
A fim de esclarecer melhor este tipo de problema, 10 20
vamos estabelecer regras para comparação entre Escrevemos: =
40 80
grandezas.
A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o
2. RAZÃO
nome de proporção.
Você já deve ter ouvido expressões como: "De
cada 20 habitantes, 5 são analfabetos", "De cada 10
a
c
alunos, 2 gostam de Matemática", "Um dia de sol, para Dadas duas razões , com b e d ≠ 0,
e
cada dois de chuva". b
d
a c
teremos uma proporção se = .
Em cada uma dessas. frases está sempre clara b d
uma comparação entre dois números. Assim, no
primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no segundo, 2
entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. Na expressão acima, a e c são chamados de
Todas as comparações serão matematicamente antecedentes e b e d de consequentes. .
expressas por um quociente chamado razão.
Teremos, pois: A proporção também pode ser representada como
De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. a : b = c : d. Qualquer uma dessas expressões é lida
5 assim: a está para b assim como c está para d. E
Razão = importante notar que b e c são denominados meios e
20 a e d, extremos.
Exemplo:
De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática.
3 9
2 A proporção = , ou 3 : 7 : : 9 : 21, é
Razão = 7 21
10 lida da seguinte forma: 3 está para 7 assim como 9
está para 21. Temos ainda:
c. Um dia de sol, para cada dois de chuva. 3 e 9 como antecedentes,
1 7 e 21 como consequentes,
Razão =
2 7 e 9 como meios e
3 e 21 como extremos.
A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o
a 3.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
quociente , ou a : b.
Matemática b A Opção Certa Para a Sua
34
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O produto dos extremos é igual ao produto dos Velocidade média e distância percorrida, pois, se
meios: você dobrar a velocidade com que anda, deverá, num
mesmo tempo, dobrar a distância percorrida.
a c
= ⇔ad = bc ; b, d ≠ 0
b d Área e preço de terrenos.

Altura de um objeto e comprimento da sombra
Exemplo: projetada por ele.
6 24
Se = , então 6 . 96 = 24 . 24 = 576. Assim:
24 96
Duas grandezas São diretamente proporcionais
3.2 ADIÇÃO (OU SUBTRAÇÃO) DOS quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas
ANTECEDENTES E CONSEQUENTES numa determinada razão, a outra diminui (ou
Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos aumenta) nessa mesma razão.
antecedentes está para a soma (ou diferença) dos
consequentes assim como cada antecedente está 3. PROPORÇÃO INVERSA
para seu consequente. Ou seja: Grandezas como tempo de trabalho e número de
operários para a mesma tarefa são, em geral,
a c a + c a c inversamente proporcionais. Veja: Para uma tarefa
Se = , entao = = ,
b d b + d b d que 10 operários executam em 20 dias, devemos
a - c a c esperar que 5 operários a realizem em 40 dias.
ou = =
b - d b d Podemos destacar outros exemplos de grandezas
inversamente proporcionais:
Essa propriedade é válida desde que nenhum
denominador seja nulo. Velocidade média e tempo de viagem, pois, se
você dobrar a velocidade com que anda, mantendo
Exemplo: fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do
21 + 7 28 7 percurso pela metade.
= =
12 + 4 16 4
21 7 Número de torneiras de mesma vazão e tempo
= para encher um tanque, pois, quanto mais torneiras
12 4 estiverem abertas, menor o tempo para completar o
21 - 7 14 7 tanque.
= =
12 - 4 8 4
Podemos concluir que :
GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DIVISÃO
PROPORCIONAL Duas grandezas são inversamente proporcionais
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas
1. INTRODUÇÃO: numa determinada razão, a outra diminui (ou
No dia-a-dia, você lida com situações que aumenta) na mesma razão.
envolvem números, tais como: preço, peso, salário,
dias de trabalho, índice de inflação, velocidade, tempo, Vamos analisar outro exemplo, com o objetivo de
idade e outros. Passaremos a nos referir a cada uma reconhecer a natureza da proporção, e destacar a
dessas situações mensuráveis como uma grandeza. razão. Considere a situação de um grupo de pessoas
Você sabe que cada grandeza não é independente, que, em férias, se instale num acampamento que
mas vinculada a outra conveniente. O salário, por cobra R$100,00 a diária individual.
exemplo, está relacionado a dias de trabalho. Há
pesos que dependem de idade, velocidade, tempo etc. Observe na tabela a relação entre o número de
Vamos analisar dois tipos básicos de dependência pessoas e a despesa diária:
entre grandezas proporcionais.

2. PROPORÇÃO DIRETA Número de
Grandezas como trabalho produzido e pessoas 1 2 4 5 10
remuneração obtida são, quase sempre, diretamente
proporcionais. De fato, se você receber R$ 2,00 para Despesa
cada folha que datilografar, sabe que deverá receber diária (R$ ) 100 200 400 500 1.000
R$ 40,00 por 20 folhas datilografadas.
Você pode perceber na tabela que a razão de
Podemos destacar outros exemplos de grandezas
aumento do número de pessoas é a mesma para o
diretamente proporcionais:
aumento da despesa. Assim, se dobrarmos o número
de pessoas, dobraremos ao mesmo tempo a despesa.
Realização

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Esta é portanto, uma proporção direta, ou melhor, as 4.2 INVERSAMENTE PROPORCIONAL
grandezas número de pessoas e despesa diária são E se nosso problema não fosse efetuar divisão em
diretamente proporcionais. partes diretamente proporcionais, mas sim
inversamente? Por exemplo: suponha que as duas
Suponha também que, nesse mesmo exemplo, a pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo
quantia a ser gasta pelo grupo seja sempre de período para fabricar e vender por R$ 160,00 um certo
R$2.000,00. Perceba, então, que o tempo de artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5
permanência do grupo dependerá do número de dias, como efetuar com justiça a divisão? O problema
pessoas. agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente
proporcionais a 3 e a 5, pois deve ser levado em
Analise agora a tabela abaixo : consideração que aquele que se atrasa mais deve
Número de 1 2 4 5 10 receber menos.
pessoas

Tempo de Dividir um número em partes inversamente
permanência proporcionais a outros números dados é encontrar
(dias) 20 10 5 4 2 partes desse número que sejam diretamente
proporcionais aos inversos dos números dados e
Note que, se dobrarmos o número de pessoas, o cuja soma reproduza o próprio número.
tempo de permanência se reduzirá à metade. Esta é,
portanto, uma proporção inversa, ou melhor, as
grandezas número de pessoas e número de dias são No nosso problema, temos de dividir 160 em partes
inversamente proporcionais. inversamente proporcionais a 3 e a 5, que são os
números de atraso de A e B. Vamos formalizar a
4. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS divisão, chamando de x o que A tem a receber e de y o
que B tem a receber.
4. 1 Diretamente proporcional
Duas pessoas, A e B, trabalharam na fabricação de x + y = 160
um mesmo objeto, sendo que A o fez durante 6 horas
e B durante 5 horas. Como, agora, elas deverão dividir x y
=
com justiça os R$ 660,00 apurados com sua venda? Teremos: 1 1
Na verdade, o que cada um tem a receber deve ser 3 5
diretamente proporcional ao tempo gasto na confecção
do objeto. Resolvendo o sistema, temos:
Dividir um número em partes diretamente x + y x x + y x
proporcionais a outros números dados é = ⇒ =
1 1 1 8 1
encontrar partes desse número que sejam +
diretamente proporcionais aos números dados e 3 5 3 15 3
cuja soma reproduza o próprio número. Mas, como x + y = 160, então
160 x 160 1
= ⇒ x = ⋅ ⇒
No nosso problema, temos de dividir 660 em partes 8 1 8 3
diretamente proporcionais a 6 e 5, que são as horas 15 3 15
que A e B trabalharam.
Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que
15 1
A tem a receber, e de y o que B tem a receber. ⇒ x = 160 ⋅ ⋅ ⇒ x = 100
Teremos então: 8 3
X + Y = 660
Como x + y = 160, então y = 60. Concluindo, A
X Y deve receber R$ 100,00 e B, R$ 60,00.
=
6 5 4.3 DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA
Vamos analisar a seguinte situação: Uma
Esse sistema pode ser resolvido, usando as empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua.
propriedades de proporção. Assim: Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo
X + Y pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da
= Substituindo X + Y por 660, vem
6 + 5 seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens
660 X 6 ⋅ 660 trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12
= ⇒ X = = 360 homens trabalharam durante 4 dias. Estamos consi-
11 6 11 derando que os homens tinham a mesma capacidade
Como X + Y = 660, então Y = 300 de trabalho. A empreiteira tinha R$ 29.400,00 para
dividir com justiça entre as duas turmas de trabalho.
Concluindo, A deve receber R$ 360,00 enquanto B, Como fazê-lo?
R$ 300,00.

Realização

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Essa divisão não é de mesma natureza das reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la.
anteriores. Trata-se aqui de uma divisão composta em
partes proporcionais, já que os números obtidos Assim:
deverão ser proporcionais a dois números e também a
dois outros. Grandeza 1: tempo Grandeza 2: distância
(horas) percorrida
Na primeira turma, 10 homens trabalharam 5 dias, (km)
produzindo o mesmo resultado de 50 homens,
trabalhando por um dia. Do mesmo modo, na segunda 6 900
turma, 12 homens trabalharam 4 dias, o que seria
equivalente a 48 homens trabalhando um dia. 8 x

Para a empreiteira, o problema passaria a ser,
portanto, de divisão diretamente proporcional a 50 Observe que colocamos na mesma linha valores
que se correspondem: 6 horas e 900 km; 8 horas e o
(que é 10 . 5), e 48 (que é 12 . 4).
valor desconhecido.
Para dividir um número em partes de tal forma que Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes,
uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p para indicar a natureza da proporção. Se elas
e q, basta divida esse número em partes estiverem no mesmo sentido, as grandezas são
proporcionais a m . n e p . q. diretamente proporcionais; se em sentidos contrários,
são inversamente proporcionais.
Convém lembrar que efetuar uma divisão em partes
inversamente proporcionais a certos números é o Nesse problema, para estabelecer se as setas têm
mesmo que fazer a divisão em partes diretamente o mesmo sentido, foi necessário responder à pergunta:
proporcionais ao inverso dos números dados. "Considerando a mesma velocidade, se aumentarmos
o tempo, aumentará a distância percorrida?" Como a
Resolvendo nosso problema, temos: resposta a essa questão é afirmativa, as grandezas
Chamamos de x: a quantia que deve receber a são diretamente proporcionais.
primeira turma; y: a quantia que deve receber a
segunda turma. Assim: Já que a proporção é direta, podemos escrever:
x y x y 6 900
= ou = =
10 ⋅ 5 12 ⋅ 4 50 48 8 x
x + y x
⇒ = 7200
50 + 48 50 Então: 6 . x = 8 . 900 ⇒ x = = 1 200
6
29400 x
Como x + y = 29400, então = Concluindo, o automóvel percorrerá 1 200 km em 8
98 50 horas.
29400 ⋅ 50
⇒x = ⇒15.000
98 Vamos analisar outra situação em que usamos a
regra de três.
Portanto y = 14 400.

Concluindo, a primeira turma deve receber R$ Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h,
15.000,00 da empreiteira, e a segunda, R$ 14.400,00. percorre um certo espaço durante 8 horas. Qual será o
tempo necessário para percorrer o mesmo espaço
Observação: Firmas de projetos costumam cobrar com uma velocidade de 60 km/h?
cada trabalho usando como unidade o homem-hora. O
nosso problema é um exemplo em que esse critério Grandeza 1: tempo Grandeza 2: velocidade
poderia ser usado, ou seja, a unidade nesse caso (horas) (km/h)
seria homem-dia. Seria obtido o valor de R$ 300,00
que é o resultado de 15 000 : 50, ou de 14 400 : 48. 8 90
REGRA DE TRÊS SIMPLES x 60
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Retomando o problema do automóvel, vamos
resolvê-lo com o uso da regra de três de maneira A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço
prática. percorrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo
aumentará?" é negativa. Vemos, então, que as
Devemos dispor as grandezas, bem como os grandezas envolvidas são inversamente proporcionais.
valores envolvidos, de modo que possamos
Realização

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Como a proporção é inversa, será necessário devemos fazer com que as setas fiquem no mesmo
invertermos a ordem dos termos de uma das colunas, sentido, invertendo os termos das colunas
tornando a proporção direta. Assim: convenientes. Naturalmente, no nosso exemplo, fica
mais fácil inverter a coluna da grandeza 2.
8 60
10 6 2000
x 90

Escrevendo a proporção, temos: x 20 1680
8 60 8 ⋅ 90
= ⇒ x= = 12 Agora, vamos escrever a proporção:
x 90 60
10 6 2000
= ⋅
Concluindo, o automóvel percorrerá a mesma x 20 1680
distância em 12 horas.
(Lembre-se de que uma grandeza proporcional a
duas outras é proporcional ao produto delas.)
Regra de três simples é um processo prático utilizado
10 12000 10 ⋅ 33600
= ⇒ x= = 28
para resolver problemas que envolvam pares de x 33600 12000
grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Essas grandezas formam uma proporção em que se Concluindo, serão necessárias 28 máquinas.
conhece três termos e o quarto termo é procurado.
PORCENTAGEM
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Vamos agora utilizar a regra de três para resolver 1. INTRODUÇÃO
problemas em que estão envolvidas mais de duas Quando você abre o jornal, liga a televisão ou olha
grandezas proporcionais. Como exemplo, vamos vitrinas, frequentemente se vê às voltas com
analisar o seguinte problema. expressões do tipo:
 "O índice de reajuste salarial de março é de
Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias 16,19%."
produzem 2 000 peças. Quantas máquinas serão  "O rendimento da caderneta de poupança em
necessárias para se produzir 1 680 peças em 6 dias? fevereiro foi de 18,55%."
 "A inflação acumulada nos últimos 12 meses foi
Como nos problemas anteriores, você deve de 381,1351%.
verificar a natureza da proporção entre as grandezas e  "Os preços foram reduzidos em até 0,5%."
escrever essa proporção. Vamos usar o mesmo modo
de dispor as grandezas e os valores envolvidos. Mesmo supondo que essas expressões não sejam
completamente desconhecidas para uma pessoa, é
Grandeza 1: Grandeza 2: Grandeza 3: importante fazermos um estudo organizado do assunto
número de máquinas dias número de peças porcentagem, uma vez que o seu conhecimento é
ferramenta indispensável para a maioria dos
problemas relativos à Matemática Comercial.
10 20 2000
2. PORCENTAGEM
x 6 1680 O estudo da porcentagem é ainda um modo de
comparar números usando a proporção direta. Só que
Natureza da proporção: para estabelecer o sentido uma das razões da proporção é um fração de
das setas é necessário fixar uma das grandezas e denominador 100. Vamos deixar isso mais claro: numa
relacioná-la com as outras. situação em que você tiver de calcular 40% de R$
300,00, o seu trabalho será determinar um valor que
Supondo fixo o número de dias, responda à represente, em 300, o mesmo que 40 em 100. Isso
questão: "Aumentando o número de máquinas, pode ser resumido na proporção:
aumentará o número de peças fabricadas?" A resposta 40 x
a essa questão é afirmativa. Logo, as grandezas 1 e 3 =
são diretamente proporcionais. 100 300

Agora, supondo fixo o número de peças, responda Então, o valor de x será de R$ 120,00.
à questão: "Aumentando o número de máquinas, Sabendo que em cálculos de porcentagem será
aumentará o número de dias necessários para o necessário utilizar sempre proporções diretas, fica
trabalho?" Nesse caso, a resposta é negativa. Logo, claro, então, que qualquer problema dessa natureza
as grandezas 1 e 2 são inversamente proporcionais. poderá ser resolvido com regra de três simples.

3. TAXA PORCENTUAL
Para se escrever corretamente a proporção,
O uso de regra de três simples no cálculo de

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porcentagens é um recurso que torna fácil o No 1.° fato, R$ 24 000,00 é uma compensação em
entendimento do assunto, mas não é o único caminho dinheiro que se recebe por emprestar uma quantia por
possível e nem sequer o mais prático. determinado tempo.

Para simplificar os cálculos numéricos, é No 2.° fato, R$ 750,00 é uma compensação em
necessário, inicialmente, dar nomes a alguns termos. dinheiro que se paga quando se compra uma
Veremos isso a partir de um exemplo. mercadoria a prazo.

Exemplo: Assim:
Calcular 20% de 800.  Quando depositamos ou emprestamos certa
20 quantia por determinado tempo, recebemos uma
Calcular 20%, ou de 800 é dividir 800 em compensação em dinheiro.
100
 Quando pedimos emprestada certa quantia por
100 partes e tomar 20 dessas partes. Como a
determinado tempo, pagamos uma
centésima parte de 800 é 8, então 20 dessas partes compensação em dinheiro.
será 160.  Quando compramos uma mercadoria a prazo,
pagamos uma compensação em dinheiro.
Chamamos: 20% de taxa porcentual; 800 de
principal; 160 de porcentagem. Pelas considerações feitas na introdução, podemos
dizer que :
Temos, portanto:
 Principal: número sobre o qual se vai calcular a Juro é uma compensação em dinheiro que se
porcentagem. recebe ou que se paga.
 Taxa: valor fixo, tomado a partir de cada 100
partes do principal. Nos problemas de juros simples, usaremos a
 Porcentagem: número que se obtém somando seguinte nomenclatura: dinheiro depositado ou
cada uma das 100 partes do principal até emprestado denomina-se capital.
conseguir a taxa.
O porcentual denomina-se taxa e representa o juro
A partir dessas definições, deve ficar claro que, ao recebido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano.
calcularmos uma porcentagem de um principal
conhecido, não é necessário utilizar a montagem de O período de depósito ou de empréstimo
uma regra de três. Basta dividir o principal por 100 e denomina-se tempo.
tomarmos tantas destas partes quanto for a taxa.
Vejamos outro exemplo. A compensação em dinheiro denomina-se juro.

Exemplo: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES
Calcular 32% de 4.000.
Primeiro dividimos 4 000 por 100 e obtemos 40, Vejamos alguns exemplos:
que é a centésima parte de 4 000. Agora, somando 32
partes iguais a 40, obtemos 32 . 40 ou 1 280 que é a 1.° exemplo: Calcular os juros produzidos por um
resposta para o problema. capital de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao
ano, durante 5 anos.
Observe que dividir o principal por 100 e multiplicar De acordo com os dados do problema, temos:
o resultado dessa divisão por 32 é o mesmo que 25% em 1ano ⇒ 125% (25 . 5) em 5 anos
32
multiplicar o principal por ou 0,32. Vamos usar 125
100 125% = = 1,25
esse raciocínio de agora em diante: 100

Nessas condições, devemos resolver o seguinte
Porcentagem = taxa X principal problema:
Calcular 125% de R$ 720 000,00. Dai:
x = 125% de 720 000 =
JUROS SIMPLES
1,25 . 720 000 = 900 000.
900.000 – 720.000 = 180.000
Consideremos os seguintes fatos: Resposta: Os juros produzidos são de R$
• Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo 180.000,00
prazo de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo,
R$ 24 000,00 de juros. 2.° exemplo: Apliquei um capital de R$ 10.000,00 a
• O preço de uma televisão, a vista, é R$ uma taxa de 1,8% ao mês, durante 6 meses.
4.000,00. Se eu comprar essa mesma televisão Quanto esse capital me renderá de juros?
em 10 prestações, vou pagar por ela R$
1,8% em 1 mês ⇒ 6 . 1,8% = 10,8% em 6 meses
4.750,00. Portanto, vou pagar R$750,00 de
juros.

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10,8 - Uma geladeira custa R$ 1 000,00. Como vou
10,8% = = 0,108 compra-la no prazo de 5 meses, a loja
100
vendedora cobrara juros simples de 1,5% ao
Dai:
mês. Quanto pagarei por essa geladeira e qual
x = 0,108 . 10 000 = 1080
o valor de cada prestação mensal, se todas elas
Resposta: Renderá juros de R$ 1 080,00.
são iguais.
- Comprei um aparelho de som no prazo de 8
3.° exemplo: Tomei emprestada certa quantia
meses. O preço original do aparelho era de R$
durante 6 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês, e
800,00 e os juros simples cobrados pela firma
devo pagar R$ 3 600,00 de juros. Qual foi a quantia
foram de R$ 160,00. Qual foi a taxa (%) mensal
emprestada?
dos juros cobrados?
De acordo com os dados do problema:
1,2% em 1 mês ⇒ 6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses Respostas
7,2 R$ 4 400,00
7,2% = = 0,072
100 R$ 70 000,00
Nessas condições, devemos resolver o seguinte R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00
problema: R$ 5 220,00
3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule 1,1%
x. R$ 1 075,00 e R$ 215,00
2,5%
Dai:
3600 = 0,072 . x ⇒ 0,072x = 3 600 ⇒ EQUAÇÃO DO 1º GRAU
3600
x= IGUALDADES E PROPRIEDADES
0,072
São expressões constituídas por números e letras,
x = 50 000 unidos por sinais de operações.
Resposta: A quantia emprestada foi de R$
50.000,00.
Exemplo: 3a2; –2axy + 4x2; xyz; x + 2 , é o
4.° exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado 3
durante 6 meses, rendeu juros de R$ 4 800,00. mesmo que 3.a2; –2.a.x.y + 4.x2; x.y.z; x : 3 + 2, as
Qual foi a taxa (em %) ao mês? letras a, x, y e z representam um número qualquer.
De acordo com os dados do problema:
x% em 1 mês ⇒ (6x)% em 6 meses Chama-se valor numérico de uma expressão
Devemos, então, resolver o seguinte problema: algébrica quando substituímos as letras pelos
4 800 representam quantos % de 80 000? respectivos valores dados:
Dai:
4 800 = 6x . 80 000 ⇒ 480 000 x = 4 800 Exemplo: 3x2 + 2y para x = –1 e y = 2,
substituindo os respectivos valores temos, 3.(–1)2 + 2.2
4 800 48
x= ⇒ x= ⇒ x = 0,01 → 3 . 1+ 4 → 3 + 4 = 7 é o valor numérico da
480 000 4 800 expressão.
1
0,01 = =1%
100 Exercícios
Resposta: A taxa foi de 1% ao mês. Calcular os valores numéricos das expressões:
1) 3x – 3y para x = 1 e y =3
Resolva os problemas: 2) x + 2a para x =–2 e a = 0
- Emprestando R$ 50 000,00 à taxa de 1,1% ao 3) 5x2 – 2y + a para x =1, y =2 e a =3
mês, durante 8 meses, quanto deverei receber Respostas: 1) –6 2) –2 3) 4
de juros?
- Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 Termo algébrico ou monômio: é qualquer número
anos, à taxa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 real, ou produto de números, ou ainda uma expressão
000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada? na qual figuram multiplicações de fatores numéricos e
- Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado literais.
durante 1 ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. Exemplo: 5x4 , –2y, 3 x , –4a , 3 , – x
No final desse tempo, quanto receberei de juros
e qual o capital acumulado (capital aplicado + Partes do termo algébrico ou monômio.
juros)?
- Um aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Exemplo:
Como vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a sinal (–)
loja cobrará juros simples de 1,6% ao mês. –3x5ybz 3 coeficiente numérico ou parte numérica
Quanto vou pagar por esse aparelho. x5ybz parte literal
- A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6
meses, rendeu juros de R$ 33 000,00. Qual foi Obs.:
a taxa (%) mensal da aplicação 1) As letras x, y, z (final do alfabeto) são usadas
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como variáveis (valor variável) Adição e Subtração de monômios e expressões
2) quando o termo algébrico não vier expresso o polinômios: eliminam-se os sinais de associações, e
coeficiente ou parte numérica fica subentendido reduzem os termos semelhantes.
que este coeficiente é igual a 1.
Exemplo:
Exemplo: 1) a3bx4 = 1.a3bx4 2) –abc = –1.a.b.c 3x2 + (2x – 1) – (–3a) + (x2 – 2x + 2) – (4a)
Termos semelhantes: Dois ou mais termos são 3x2 + 2x – 1 + 3a + x2 – 2x + 2 – 4a =
semelhantes se possuem as mesmas letras elevadas 3x2 + 1.x2 + 2x – 2x + 3a – 4a – 1 + 2 =
aos mesmos expoentes e sujeitas às mesmas (3+1)x2 + (2–2)x + (3–4)a – 1+2 =
operações. 4x2 + 0x – 1.a + 1 =
4x2 – a + 1
Exemplos:
1) a3bx, –4a3bx e 2a3bx são termos semelhantes. Obs.: As regras de eliminação de parênteses são as
2) –x3 y, +3x3 y e 8x3 y são termos semelhantes. mesmas usadas para expressões numéricas no
conjunto Z.
Grau de um monômio ou termo algébrico: E a Exercícios. Efetuar as operações:
soma dos expoentes da parte literal. 1) 4x + (5a) + (a –3x) + ( x –3a)
2) 4x2 – 7x + 6x2 + 2 + 4x – x2 + 1
Exemplos:
1) 2 x4 y3 z = 2.x4.y3.z1 (somando os expoentes da Respostas: 1) 2x +3a 2) 9x2 – 3x + 3
parte literal temos, 4 + 3 + 1 = 8) grau 8.
MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Expressão polinômio: É toda expressão literal
constituída por uma soma algébrica de termos ou Multiplicação de dois monômios: Multiplicam-se
monômios. os coeficientes e após o produto dos coeficientes
escrevem-se as letras em ordem alfabética, dando a
Exemplos: 1)2a2b – 5x 2)3x2 + 2b+ 1 cada letra o novo expoente igual à soma de todos os
expoentes dessa letra e repetem-se em forma de
Polinômios na variável x são expressões polinomiais produto as letras que não são comuns aos dois
com uma só variável x, sem termos semelhantes. monômios.

Exemplo: Exemplos:
5x2 + 2x – 3 denominada polinômio na variável x 1) 2x4 y3 z . 3xy2 z3 ab = 2.3 .x 4+1 . y 3+2. z 1+3.a.b =
cuja forma geral é a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn, onde 6abx5y5z4
a0, a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes. 2) –3a2bx . 5ab= –3.5. a2+1.b1 +1. x = –15a3b2 x

Grau de um polinômio não nulo, é o grau do Exercícios: Efetuar as multiplicações.
monômio de maior grau. 1) 2x2 yz . 4x3 y3 z =
2) –5abx3 . 2a2 b2 x2 =
Exemplo: 5a2x – 3a4x2y + 2xy
Respostas: 1) 8x5 y4 z2 2) –10a3 b3 x5
Grau 2+1 = 3, grau 4+2+1= 7, grau 1+1= 2, 7 é o EQUAÇÕES DO 1.º GRAU
maior grau, logo o grau do polinômio é 7.
Equação: É o nome dado a toda sentença algébrica
Exercícios
que exprime uma relação de igualdade.
1) Dar os graus e os coeficientes dos
monômios:
Ou ainda: É uma igualdade algébrica que se verifica
a)–3x y2 z grau coefciente__________
somente para determinado valor numérico atribuído à
b)–a7 x2 z2 grau coeficiente__________
variável. Logo, equação é uma igualdade condicional.
c) xyz grau coeficiente__________
Exemplo: 5 + x = 11
2) Dar o grau dos polinômios:
a) 2x4y – 3xy2+ 2x grau __________ ↓ ↓
b) –2+xyz+2x5 y2 grau __________ 1 0.membro 20.membro

Respostas: onde x é a incógnita, variável ou oculta.
1) a) grau 4, coeficiente –3
b) grau 11, coeficiente –1 Resolução de equações
c) grau 3, coeficiente 1
2) a) grau 5 b) grau 7 Para resolver uma equação (achar a raiz)
seguiremos os princípios gerais que podem ser
CÁLCULO COM EXPRESSÕES LITERAIS aplicados numa igualdade.
Ao transportar um termo de um membro de uma
igualdade para outro, sua operação deverá ser
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invertida.

 2x + y = 1  2x + y = 1
Exemplo: 2x + 3 = 8 + x
fica assim: 2x – x = 8 – 3 = 5 ⇒ x = 5

Note que o x foi para o 1.º membro e o 3 foi para o
 →
 x + y = 8. ( -1)  - x − y −= 8
2.º membro com as operações invertidas.
Dizemos que 5 é a solução ou a raiz da equação,
dizemos ainda que é o conjunto verdade (V).

Exercícios
Resolva as equações : soma-se membro a membro
1) 3x + 7 = 19 2) 4x +20=0

 2x + y = 11
3) 7x – 26 = 3x – 6

Respostas: 1) x = 4 ou V = {4}
 +
 - x- y = -8
2) x = –5 ou V = {–5} 3) x = 5 ou V = {5}

EQUAÇÕES DO 1.º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Resolução por adição. x+ 0= 3
 x+ y= 7 -I
Exemplo 1:  x= 3
 x − y = 1 - II Agora, substituindo x = 3 na equação II: x + y = 8,
fica 3 + y = 8, portanto y = 5
Soma-se membro a membro.
Exemplo 3:
2x +0 =8
2x = 8
 5x + 2y = 18 -Ι

8
x=
 3x - y = 2 - ΙΙ
2
x=4

Sabendo que o valor de x é igual 4 substitua este neste exemplo, devemos multiplicar a equação II por
valor em qualquer uma das equações ( I ou II ), 2 (para “desaparecer” a variável y).
Substitui em I fica:

 5x + 2y = 18  5x + 2y = 18
4+y=7 ⇒ y=7–4 ⇒ y=3

⇒
Se quisermos verificar se está correto, devemos
substituir os valores encontrados x e y nas equações

 3x - y = 2 .(2)  6x − 2 y = 4
x+y=7 x–y=1
4 +3 = 7 4–3=1

Dizemos que o conjunto verdade: V = {(4, 3)}

 2x + y = 11 - I soma-se membro a membro:
5x + 2y = 18
Exemplo 2 :  6x – 2y = 4
 x + y = 8 - II 11x+ 0=22 ⇒ 11x = 22 ⇒ x =
22
⇒x=2
11
Note que temos apenas a operação +, portanto Substituindo x = 2 na equação I:
devemos multiplicar qualquer uma ( I ou II) por –1, 5x + 2y = 18
escolhendo a II, temos: 5 . 2 + 2y = 18
10 + 2y = 18
2y = 18 – 10
2y = 8
8
y=
2
y =4
então V = {(2,4)}

Realização

MATEMÁTICA

Exercícios. Resolver os sistemas de Equação constante.
Linear:
Exemplos:
 7x − y = 20  5x + y = 7  8x − 4y = 28 a)3x2 + 4x + 1= 0 b) y2 + 0y + 3 = 0
1)  2)  3)  a =3,b = 4,c = 1 a = 1,b = 0, c = 3

 5x + y = 16  8x − 3y = 2  2x − 2y = 10
c) – 2x2 –3x +1 = 0 d) 7y2 + 3y + 0 = 0
a = –2, b = –3, c = 1 a = 7, b = 3, c = 0

Respostas: 1) V = {(3,1)} 2) V = {(1,2)} 3) V {(–3,2 )} Exercícios
Destaque os coeficientes:
1)3y2 + 5y + 0 = 0 2)2x2 – 2x + 1 = 0
INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU 2
3)5y –2y + 3 = 0 4) 6x2 + 0x +3 = 0
Distinguimos as equações das inequações pelo Respostas:
sinal, na equação temos sinal de igualdade (=) nas 1) a =3, b = 5 e c = 0
inequações são sinais de desigualdade. 2)a = 2, b = –2 e c = 1
> maior que, ≥ maior ou igual, < menor que , 3) a = 5, b = –2 e c =3
≤ menor ou igual 4) a = 6, b = 0 e c =3

Exemplo 1: Determine os números naturais de EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS
modo que 4 + 2x > 12. Temos uma equação completa quando os
4 + 2x > 12 coeficientes a , b e c são diferentes de zero.
2x > 12 – 4 Exemplos:
8
2x > 8 ⇒ x > ⇒ x>4 3x2 – 2x – 1= 0
2
y2 – 2y – 3 = 0 São equações completas.
Exemplo 2: Determine os números inteiros de modo y2 + 2y + 5 = 0
que 4 + 2x ≤ 5x + 13
Quando uma equação é incompleta, b = 0 ou c = 0,
4+2x ≤ 5x + 13 costuma-se escrever a equação sem termos de
2x – 5x ≤ 13 – 4 coeficiente nulo.
–3x ≤ 9 . (–1) ⇒ 3x ≥ – 9, quando multiplicamos por
(-1), invertemos o sinal dê desigualdade ≤ para ≥, fica: Exemplos:
− 9 x2 – 16 = 0, b = 0 (Não está escrito o termo x)
3x ≥ – 9, onde x ≥ ou x ≥ – 3 x2 + 4x = 0, c = 0 (Não está escrito o termo inde-
3
pendente ou termo constante)
x2 = 0, b = 0, c = 0 (Não estão escritos
Exercícios. Resolva:
o termo x e termo independente)
1) x – 3 ≥ 1 – x,
2) 2x + 1 ≤ 6 x –2 FORMA NORMAL DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU
3) 3 – x ≤ –1 + x ax 2 + bx + c = 0
Respostas: 1) x ≥ 2 2) x ≥ 3/4 3) x ≥ 2
EXERCÍCIOS
EQUAÇÕES DO 2.º GRAU Escreva as equações na forma normal:
1) 7x2 + 9x = 3x2 – 1 2) 5x2 – 2x = 2x2 + 2
Definição: Denomina-se equação de 2.º grau com Respostas: 1) 4x + 9x + 1= 0 2) 3x2 – 2x –2 = 0
2

variável toda equação de forma:
ax2 + bx + c = 0 Resolução de Equações Completas
onde : x é variável e a,b, c ∈ R, com a ≠ 0. Para resolver a equação do 2.º Grau, vamos utilizar
a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara.
A expressão b2 - 4ac, chamado discriminante de
Exemplos:
3x2 - 6x + 8 = 0 equação, é representada pela letra grega ∆ (lê-se
2x2 + 8x + 1 = 0 deita).
x2 + 0x – 16 = 0 y2 - y + 9 = 0
- 3y2 - 9y+0 = 0 5x2 + 7x - 9 = 0 ∆ = b2 - 4ac logo se ∆ > 0 podemos escrever:

COEFICIENTE DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU −b ± ∆
x=
2a
Os números a, b, c são chamados de coeficientes da
equação do 2.º grau, sendo que: RESUMO
• a representa sempre o coeficiente do termo x2. NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.º GRAU
• b representa sempre o coeficiente do termo x. COMPLETA PODEMOS USAR AS DUAS FORMAS:
• c é chamado de termo independente ou termo

Realização

MATEMÁTICA

ou ∆ = b2 - 4ac Exemplo:
− b ± b2 − 4 a c
x= 2x2 – 7x = 0 Colocando-se o fator x em evidência
2a (menor expoente)
−b ± ∆
x=
2a x . (2x – 7) = 0 x=0

Exemplos: 7
a) 2x2 + 7x + 3 = 0 a = 2, b =7, c = 3 ou 2x – 7 = 0 ⇒ x=
2
− b ± b2 − 4 a c ⇒ − ( + 7) ± ( 7) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 7
x= x=
2a 2⋅2 Os números reais 0 e são as raízes da equação
2
− ( + 7 ) ± 49 − 24 − ( + 7 ) ± 25
x= ⇒x = 7
4 4 S={0; )
− ( + 7) ± 5 −7 + 5 -2 -1 2
x= ⇒x'= = = Equação da forma: ax2 + c = 0, onde b = 0
4 4 4 2
− 5
7 − -12
Exemplos
x " = = =
- 3
4 x2 –
a) 481 = 0
2
x = 81→transportando-se o termo independente
− 1 
S= , - 3 para o 2.º termo.
2  x = ± 81 →pela relação fundamental.
x=±9 S = { 9; – 9 }
ou
b) 2x2 +7x + 3 = 0 a = 2, b = 7, c = 3 b) x2 +25 = 0
∆ = b2 – 4.a. c x2 = –25
∆ =72 – 4 . 2 . 3 x = ± −25 , −25 não representa número real,
∆ = 49 – 24 isto é −25 ∉ R
∆ = 25 a equação dada não tem raízes em IR.
− ( + 7 ) ± 25 − ( + 7) ± 5 S=φ ou S = { }
x= ⇒x =
4 4
−7 + 5 -2 -1 9x2 – 81= 0 c)
⇒ ‘x'= = = e
4 4 2 9x2 = 81
− 5 7 − -12 81
x " = = x2 = = - 3
4 4 9
− 1  x2 = 9
S= , - 3 x= ± 9
2 
x=±3
S = { ±3}
Observação: fica ao SEU CRITÉRIO A ESCOLHA
DA FORMULA. Equação da forma: ax = 0 onde b = 0, c = 0
A equação incompleta ax = 0 admite uma única
EXERCÍCIOS solução x = 0. Exemplo:
Resolva as equações do 2.º grau completa: 3x2 = 0
1) x2 – 9x +20 = 0
0
2) 2x2 + x – 3 = 0 x2 =
3) 2x2 – 7x – 15 = 0 3
4) x2 +3x + 2 = 0 x2 = 0
5) x2 – 4x +4 = 0 x2 = + 0
Respostas S={0}
1) V = { 4 , 5) Exercícios Respostas:
− 3 1) 4x2 – 16 = 0 1) V = { –2, + 2}
2) V = { 1, } 2) 5x2 – 125 = 0 2) V = { –5, +5}
2
3) 3x2 + 75x = 0 3) V = { 0, –25}
− 3
3) V = { 5 , }
2 Relações entre coeficiente e raízes
4) V = { –1 , –2 }
5) V = {2} Seja a equação ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0), sejam x’ e
x” as raízes dessa equação existem x’ e x” reais dos
EQUAÇÃO DO 2.º GRAU INCOMPLETA
coeficientes a, b, c.
Estudaremos a resolução das equações incompletas
−b + ∆
do 2.º grau no conjunto R. Equação da forma: ax 2 + bx x'= e
2a
= 0 onde c = 0

Realização

MATEMÁTICA

− ∆
b −
x " = c 45
2a P = ' ⋅ " = =
x x
a 9
RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES
2
−= 3, ∆
2) 3x +21x – 24= 0 a
b + b = 21,c = –24 − b
x ' +
x " = + b
S 2a +" =
=' x x − = -
⇒ a
b += ' ⋅ " = = (
− P∆ −
− xb x
c
∆ +
x ' +=
x "
2a a
−2b a = 4,
b
x ' +" =
x ⇒
x ' +" =
x −
2a a
3) 4x2 – 16 = 0 b = 0, (equação incompleta)
Daí a soma das raízes é igual a -b/a ou seja, x’+ x” c = –16
= -b/a b 0
Relação da soma: S = ' +" =
x x − = =
a 4
b
x ' +" =
x − c +
a P = ' ⋅ " = =
x x
a
RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES a = a+1
b = – (a+ 1) 4) ( a+1) x2 – ( a + 1) x + 2a+ 2 = 0
− ∆
b +c = 2a+2 −
b
x ' ⋅x " = ⋅
2a b
⇒ S =' +" =
x x −=
a
x ' ⋅
− ∆
x " =
b + ⋅ −
c
b −
2a
( )(
P = ' ⋅ " = =
x 4a 2
x
a a
2 
−
b2   − ∆ ( )
x ' ⋅
x " = 
 ⇒
∆
Se a = 1 essas 2
4a relações podem ser escritas:
⇒ b

x ' + " =
x −
b2
−−
 4ac 
b2
1 
x ' ⋅
x " =  ⇒

x'+ x"= −b
4a 2

b2 −
b2 + 4ac
x ' ⋅" =
x ⇒
4a 2 c
4ac c x ' ⋅ " =
x
x ' ⋅ " =
x ⇒ x " =
x ' ⋅ 1
4a 2 a

Daí o produto das raízes é igual a
c
ou seja:
x '⋅ x "= c
a
Exemplo:
c
x ' ⋅ " =
x ( Relação de x2 –7x+2 = 0 a = 1, b =–7, c = 2
a
b
produto) S =' + " =
x x − = -
a
Sua Representação: c 2
• Representamos a Soma por S P = ' ⋅ " = = =
x x
a 1
b EXERCÍCIOS
S =' + " =
x x −
a Calcule a Soma e Produto
• Representamos o Produto pôr P 1) 2x2 – 12x + 6 = 0
2) x2 – (a + b)x + ab = 0
c 3) ax2 + 3ax–- 1 = 0
P = ⋅ " =
x ' x
a 4) x2 + 3x – 2 = 0
Exemplos:
Respostas:
1) 9x2 – 72x +45 = 0 a = 9, b = –72, c = 45.

S =' +" =
x x
b
1) S = 6 e P = 3
2) S-(a + -72
− = b) e P = ab
= ( )=72
=8
a 9 9
Realização

MATEMÁTICA

− 1 Respostas:
3) S = –3 e P = 1) x2 – 5x+6= 0 2) x2 – x – 30 = 0
a
4) S = –3 e P = –2 − 6x 8
3)x2 – – =0
5 5
APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES 4) x2 – 6x + 4 = 0 5) x2 – 6x = 0
Se considerarmos a = 1, a expressão procurada é x2
+ bx + c: pelas relações entre coeficientes e raízes RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
temos:
x’ + x”= –b b = – ( x’ + x”) Um problema de 2.º grau pode ser resolvido por
x’ . x” = c c = x’ . x” meio de uma equação ou de um sistema de equações
do 2.º grau.
Daí temos: x2 + bx + c = 0
Para resolver um problema do segundo grau deve-
se seguir três etapas:
• Estabelecer a equação ou sistema de equações
correspondente ao problema (traduzir matemati-
camente), o enunciado do problema para linguagem
simbólica.
• Resolver a equação ou sistema
• Interpretar as raízes ou solução encontradas
REPRESENTAÇÃO
Representando a soma x’ + x” = S Exemplo:
Representando o produto x’ . x” = P Qual é o número cuja soma de seu quadrado com
E TEMOS A EQUAÇÃO: x2 – Sx + P = 0 seu dobro é igual a 15?
número procurado : x
Exemplos: equação: x2 + 2x = 15
a) raízes 3 e – 4
S = x’+ x” = 3 + (-4) =3 – 4 = –1 Resolução:
P = x’ .x” = 3 . (–4) = –12 x2 + 2x –15 = 0
x – Sx + P = 0 ∆ =b2 – 4ac ∆ = (2)2 – 4 .1.(–15) ∆ = 4 + 60
x2 + x – 12 = 0 ∆ = 64
− 2 ± 64 −2 ± 8
b) 0,2 e 0,3 x= x=
S = x’+ x” =0,2 + 0,3 = 0,5 2 ⋅1 2
P = x . x =0,2 . 0,3 = 0,06 −2 + 8 6
x'= = =3
x2 – Sx + P = 0 2 2
x2 – 0,5x + 0,06 = 0 − 8
2 − −
10
x " = = =
−
2 2
5 3
c) e
2 4
5 3 10 + 3 13 Os números são 3 e – 5.
S = x’+ x” = + = =
2 4 4 4 Verificação:
5 3 15 x2 + 2x –15 = 0 x2 + 2x –15 = 0
P=x.x= . =
2 4 8 (3)2 + 2 (3) – 15 = 0 (–5)2 + 2 (–5) – 15 = 0
x2 – Sx + P = 0 9 + 6 – 15 = 0 25 – 10 – 15 = 0
13 15 0=0 0=0
x2 – x+ =0 (V) (V)
4 8
S = { 3 , –5 }
d) 4e–4
RESOLVA OS PROBLEMAS DO 2.º GRAU:
S = x’ +x” = 4 + (–4) = 4 – 4 = 0
P = x’ . x” = 4 . (–4) = –16
x2 – Sx + P = 0 1) O quadrado de um número adicionado com o
x2 –16 = 0 quádruplo do mesmo número é igual a 32.
2) A soma entre o quadrado e o triplo de um mesmo
Exercícios número é igual a 10. Determine esse número.
Componha a equação do 2.º grau cujas raízes são: 3) O triplo do quadrado de um número mais o próprio
número é igual a 30. Determine esse numero.
− 4
1) 3 e 2 2) 6 e –5 3) 2 e 4) A soma do quadrado de um número com seu
5 quíntuplo é igual a 8 vezes esse número, deter-
4) 3 + 5 e 3 – 5 5) 6 e 0 mine-o.

Realização

MATEMÁTICA

Respostas:
1) 4 e – 8 2) – 5 e 2 a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
3) −10
3 e 3 4) 0 e 3 12. Você e eu temos juntos R$ 615,00. Se você me
desse R$ 140,00, ficaria com R$ 65,00 mais do
que eu. Se eu lhe desse R$ 20,00 você ficaria
PROVA SIMULADA DE MATEMÁTICA com:
FUNDAMENTAL
a) R$ 225,00 b) R$ 285,00 c) R$ 300,00 d) R$
1. Se der R$12,00 a cada garoto, ficarei ainda com 400,00 e) R$ 500,00
R$ 60,00. Para dar R$15,00 a cada um precisarei
de mais R$ 6,00. Quantos são os garotos ? (12X + 3
60 = 15X – 6) 13. Calcular de um número ou de uma quantia é
5
2. Distribuí certo número de selos entre os alunos de 3
multiplicar por esse número ou essa quantia ?
uma das minhas turmas, cabendo 5 para cada um. 5
Se eu fosse distribuir para a outra turma, que tem 1
31 alunos a mais, eu teria de dar 2 selos a cada 14. Quando se diz que de um número é 12, a
aluno e me sobrará 1. Quantos selos eu distribuí? 4
4
fração que corresponde ao número é ?
3. Duas cidades, A e B, distam 360 km uma da outra. 4
Às 8 horas, um carro sai de A em direção a B e
outro de B em direção a A, sendo que os dois se 2 3 1
cruzam às12 horas num ponto a 120 km de A. 15. Se eu gasto ou ou de meu dinheiro,
Qual a velocidade do carro que partiu de A? 5 7 9
5
esse dinheiro é representado pela fração ou
4. A diferença entre dois números é 15. 5
Multiplicando-se o maior pôr 11, a diferença passa 7 9
a ser 535. Calcular os dois números. ou , respectivamente?.
7 9
5. O produto de um número a pelo número 263 é p.
Acrescentando-se 4 unidades ao fator a e 3 1
16. Se de meu ordenado são R$300,00, de
conservando o fator 263, qual será o novo 5 5
produto? meu ordenado corresponderá a R$ 300,00 : 3 ?

6. A soma de dois números é 90. Calcule o menor 1
desses números, sabendo que o produto deles 17. Quanto é do número de minutos de uma
4
dividido por sua diferença dá o maior.
hora ?
7. Seja o produto 456 x 34. Aumenta-se o
muItiplicador de 1. De quanto devemos aumentar 3
18. Quanto vale de R$100,00?
o multiplicando para que o produto exceda a 5
antigo de 526?
19. Um aluno de ginásio é obrigado a freqüentar, no
3
8. Entre os números inteiros inferiores a 200, quais mínimo, das aulas dadas durante o ano letivo.
4
são aqueles que podem servir de dividendo, em Se o seu ginásio der 720 aulas, quantas no
uma divisão de números inteiros, cujo quociente é mínimo terá de freqüentar ?
4 e o resto 35?
20. Cada aula do antigo Curso de Artigo 99, da Rádio
9. São dados dois números dos quais o maior é 400.
5
Tirando-se 210 de um deles e 148 do outro, a Ministério da Educação, tinha a duração de
soma dos restos é 200. Qual o menor número ? 12
da hora. Quantos minutos de duração tinha cada
10. Um aluno ao multiplicar um número por 60, aula ?
esqueceu-se de colocar o zero à direita e obteve
inferior 291.006 do que deveria ter encontrado. 21. Comprei um apartamento por R$420.000,00.
Calcular o número 2
Paguei de entrada e o resto em 10 meses.
3
11. Dois alunos têm, cada um, certo número de Quanto dei de entrada ?
canetas. Se o 1º desse uma ao 2º, teriam igual
número; se o 2º desse uma ao 1º, este terá então
duas vezes mais do que o 2.º. Quem tem o maior
número de canetas, possui:

Realização

MATEMÁTICA

1
22. Um comerciário gastou de seu ordenado, 3
3 35. Dei do meu dinheiro a meu irmão e metade do
comprando um pequeno rádio por R$ 250,00. Qual 5
o seu ordenado ? resto a minha irmã. Fiquei ainda com os R$ 8,00.
Quanto eu possuía?
23. Dois terços de uma peça de fazenda medem 90
metros. Quantos metros tem a peça ? 36. O lucro de uma sociedade em 1965, foi igual a
R$1.400.000,00. Esse lucro foi dividido entre os
3 2
24. Se de meu ordenado é R$ 660,00, qual é o três sócios de modo que o primeiro recebeu
4 3
meu ordenado ? 4
da parte do segundo e este da parte do
5
2 terceiro. Qual a parte de cada um ?
25. Qual a área aproximada do Brasil se dessa
5
área do 340.000 km2 ? 37. A soma, de dois números é 595 e um deles é iguaI
12
2 a do outro. Quais são esses números?
26. Gastei R$ 720,00 e fiquei ainda com de meu 5
5
ordenado. Qual o meu ordenado? 4
38. A metade de minha idade aumentada de seus
5
27. Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Em
é igual a 52 anos. Qual é a minha idade ?
3
quantos minutos enche do tanque ?
4 39. A soma de dois ângulos é 90 graus. Um deles é
2
2 do outro. Quais as medidas desses ângulos ?
28. Gasto do meu ordenado com aluguel de casa 3
5
1 40. Diminuindo-se 8 anos da idade de meu filho
e dele em outras despesas. Fico ainda com 3
2 obtém-se os de sua idade. Qual a idade de
R$ 200,00. Qual é o meu ordenado ? 5
meu filho ?
1
29. Pedro gastou da quantia que possuía e, 41. Duas pessoas têm juntas 76 anos. Quantos anos
3
2 2
tem cada uma se da idade da maior é
depois, dessa quantia. Ficou ainda com R$ 5
9
40,00. Quanto Pedro possuía ? 4
igual a da idade da menor?
9
30. Num time de futebol carioca, metade dos
1
jogadores contratados são cariocas, são dos 42. Quando devo subtrair do numerador da fração
3
outros Estados e os 4 restantes são estrangeiros. 324
para torná-la nove vezes maior?
Quantos jogadores contratados tem o clube ? 349

31. Uma torneira enche um tanque em 20 horas e 43. A soma da metade com a terça parte da quantia
outra em 30 horas. Em quanto tempo as duas que certa pessoa tem é igual a R$15,00.
juntas encherão o tanque? Quanto possui esta pessoa ?

32. Uma empresa construtora pode fazer uma obra 44. Uma pessoa despendeu certa quantia na compra
em 40 meses e outra em 60 meses. Em quanto de um terreno e o vendeu por R$ 35.000,00;
tempo as duas, juntas, podem fazer essa obra? 3
nesta venda ganhou do que despendera.
4
33. Que horas são se o que ainda resta para terminar
Por quanto comprou o terreno?
2
o dia é do que já passou ?
3 7
45. Determinar a fração-equivalente a cuja soma
15
3 dos termos é 198.
34. Paulo gastou do que possuía e, a seguir, a
4
metade do resto. Ficou ainda com R$ 7,00. 46. Achar as frações próprias irredutíveis tais que o
Quanto Paulo possuía ? produto de seus termos seja 84.

Realização

MATEMÁTICA

1
47. Qual a fração que, acrescida de seu quadrado, dá a) 6,25 b) 1,6 c) d) 16
16
como soma outra fração que representa a
625
82 e)
fração inicial multiplicada por ? 100
27
48. Um excursionista fez uma viagem de 360 km. Os
3 1 34
do percurso foram feitos de trem, a
4 8 56. A fração equivalente a , cujos termos têm
51
cavalo e o resto de automóvel. Quantos km
para menor múltiplo comum 150, é:
andou de automóvel e que fração representa
da viagem total? 10 2 30
a) b) c)
15 3 50
5 50 20
49. Para ladrilhar de um pátio empregaram-se d) e)
7 75 30
46.360 ladrilhos: Quantos ladrilhos iguais
3 57. Duas torneiras são abertas juntas, a 1.ª enchendo
serão necessários para ladrilhar do um tanque em 5h, a 2.ª enchendo outro tanque
8 de igual capacidade em 4h. No fim de quanto
mesmo pátio?
tempo o volume que falta para encher o 2.º
3 1
50. Dois lotes têm a mesma área. Os da área do
4 será do volume que falta para encher o 1.º
4
2 tanque?
primeiro excedem de 140 m 2 os da área
5
do segundo. A área de cada lote é 17
de ...................... m2. 58. Um negociante ao falir só pode pagar do que
36
deve. Se possuísse mais R$ 23.600,00
51. Pedro e Paulo encarregados de uma obra, fariam
poderia pagar 80% da divida. Quanto deve
todo o trabalho em 12 dias. No fim do quarto
ele?
dia de trabalho, Pedro adoeceu e Paulo
concluiu o serviço em 10 dias. Que fração da
59. O som percorre no ar 340 metros por segundo.
obra cada um executou?
Que distância (em quilômetros) percorrerá em
um minuto?
52. Cláudia e Vera possuíam juntas R$100,00. Ao
comprarem um presente de R$ 23,00 para
60. Medi o comprimento de um corredor e encontrei
oferecer a uma amiga comum, cada qual deu
8,40 m. Verifiquei, depois, que o metro
uma quantia diferente, na medida de suas
utilizado era de fabricação defeituosa, pois seu
1 comprimento tinha menos 2 centímetros do
possibilidades. Cláudia entrou com do
4 que o verdadeiro. Qual a medida exata do
1 corredor ?
dinheiro de que dispunha e Vera com do
5
61. Medi o comprimento de um terreno e achei 18
seu. Calcule com quanto Cláudia contribuiu?
passos e 2 pés. Verifiquei, depois, que o
comprimento de meu passo vale 56 cm e o de
2 meu pé 25 cm. Qual o comprimento do.
53. Numa cesta havia laranjas. Deu-se a uma
5 terreno em metros?
pessoa, a terça parte do resto a outra e ainda
restam 10 laranjas. Quantas laranjas havia na 62. Com 22 livros de 3 cm e 7cm de espessura forma-
cesta ? se uma pilha de 1,06 m de altura. Quantos
livros foram usados com a espessura de 3 cm?
54. Paulo e Antônio têm juntos R$123,00. Paulo
2 3 63. A área de uma sala é de 45 m2. Quantos tacos de
gastou e Antônio do que possuíam, madeira de 150 cm2 serão necessários para
5 7
ficando com quantias iguais. Quanto possuía taquear essa sala?
cada um ?
64. A soma das áreas de dois terrenos é de 50
55. Dividir um número por 0,0625 equivale a hectares. O primeiro terreno tem mais1.400
multiplicá-lo por: decâmetros quadrados que o segundo. A área
do segundo é de .. . . . . . . . . . . . .. quilômetros
quadrados.

Realização

MATEMÁTICA

65. Dividiu-se um terreno de 200 hectares de área em 76. Uma sala de 0,007 Km de comprimento, 80 dm de
duas partes. A quarta parte da primeira é igual largura e 400 cm de altura, tem uma porta de
a sexta parte da segunda. A primeira parte tem 2,4 m2 de área e uma janela de 2m 2 de área.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . decâmetros quadrados. Quantos litros de tinta serão precisos para
pintar a sala toda, com o teto, sabendo-se que
66. Um terreno retangular com 8,40 m de frente e 22 com 1 L de tinta pinta-se 0,04 dam2 ?
m de fundo foi vendido por R$ 27.720,00. Por
quanto foi vendido o metro quadrado? 77. Um terreno retangular de 27 ares de área, tem
3.000 cm de largura. Esse terreno deve ser
67. Um campo de forma retangular mede 3 dam de cercado com um muro de dois metros de
1 2 altura. Sabendo-se que cada metro quadrado
frente e hm de fundo. Sabendo que da de muro construído consome 300 dm 3 de
4 3
concreto, pergunta-se, quantos metros cúbicos
superfície estão cultivados, pede-se em ha, a
de concreto serão consumidos no muro todo ?
área da parte não cultivada.
78. Dois vasos contêm em conjunto 3,5 hl. Tirando-se
68. Em certa cidade um ha de terreno custa R$
75 L do primeiro e 10,5 dal do segundo, ficam
80.000,00. Calcule o lado de um terreno
quantidades iguais. A capacidade do primeiro
quadrado adquirido por R$7.200,00.
vaso é de . . . .. . . . . . . . . . . . . e a do
segundo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69. A área de um trapézio é de quatro decâmetros
quadrados dois metros quadrados e vinte e
79. Um reservatório estava cheio de água. Esvaziou-
quatro e 24 decímetros quadrados; sabendo-
se que as bases medem respectivamente 5 1
se esse reservatório de da sua capacidade
metros e 3 metros, calcular a altura desse 3
trapézio, dando a resposta em milímetros. e retirou-se depois 4 hl d’água. Quantos litros
ficaram se o volume restante corresponde a
70. As dimensões de um retângulo são 2,25 m e 0,64 3
m. O lado do quadrado equivalente a esse da capacidade total do reservatório?
5
retângulo tem por medida:
80. Calcule, em hl, a capacidade de um reservatório,
a) 1,2 m b) 3,6 m c) 0,18 m
com a forma de um paralelepipedo retângulo
d) 12 m e) 0,72 m
cujo comprimento é o triplo da largura e esta o
dobro da altura, sendo que a soma das três
5 dimensões é igual a 18 m.
71. Se eu diminuir a área de um terreno os seus ,
8
a área passará a ter 112,50 dam2, mas se eu 81. A soma das capacidades de dois reservatórios é
acrescentar. . . . . . . . . . . . . . .. . centiares ele 3
ficará com 5 hectares e 4 ares. de 20 hl. O primeiro contém água até os
4
de sua capacidade e o segundo até a metade.
72. Um muro de 18,25m de comprimento deverá levar
Se colocarmos a água do primeiro no
duas faixas de ladrilhos paralelos entre sí em
segundo, este ficará cheio. Qual o volume do
toda a sua extensão. A primeira faixa mede
segundo em m3 ?
1,25 m de largura e a segundo 0,75 m. Cada
ladrilho, que é quadrado, mede 0,25 m de lado
82. Quantas toneladas pesam 40.000 m 3 de certa
e custa R$ 3,00. Quanto custarão os ladrilhos
substância, sabendo-se que um litro pesa 2,5
para esta obra ?
kg?
73. Dois terços de uma caixa cujo volume é 2.760 m 3
83. Um tanque de 1,5 m de comprimento, 12 dm de
estão cheios de um certo óleo. Quantos dal
largura e 80 cm de altura está cheio de óleo do
d'água devem ser colocados na caixa para
qual cada hl pesa 80kg. Qual o peso, em
acabar de enchê-la?
toneladas, do óleo contido no reservatório?
74. Um reservatório de água tem as dimensões: 2,4
84. Um metro de fio pesa 487,5 g. Esse fio é para
m; 5 m e 1m. Quantos dal de água podemos
fazer pregos de 0,09 m de comprimento.
depositar no referido reservatório?
Quantos pregos poderão ser feitos com um
rolo de 35,1 kg desse mesmo fio?
75. Uma caixa d'água tem as seguintes dimensões:
1,20 m de comprirnento; 8 dm de largura e 50
85. Se um litro de óleo pesa 960 g, qual o volume
cm de altura. Calcular quantos litros d'água há
ocupado por 2,4 t desse óleo?
nesta caixa, sabendo-se que faltam 5 cm para
ficar cheia.
86. Um vaso cheio de um certo líquido pesa mais 1kg
do que se estivesse cheio de água. Um dal

Realização

MATEMÁTICA

desse líquido pesa 12 kg. A capacidade do 2
vaso é de . .. ... . .... . ... . .litros. 98. Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade é da
7
87. Um tanque está cheio de água. Esvaziando-se um 1
minha e há 5 anos era . Qual a idade do
terço de sua capacidade restam 21,35 hl mais 6
do que a sua quarta parte. O peso da água pai e qual a do filho?
contida no tanque, quando cheio
é ......................... toneladas. 99. Resolva o problema: Há 18 anos a idade de uma
pessoa era o duplo da de outra; em 9 anos a
88. Dois vasos cheios de água pesam 2,08kg. Um 5
contém 14 cl mais do que o outro. Determinar, idade da primeira passou a ser da
4
em litros, a capacidade de cada um, sabendo- segunda. Que idade têm as duas atualmente?
se que os vasos vazios pesam juntos 12 hg.
100. Uma pessoa possui 2 cavalos e uma sela que
89. Analizando certa amostra de leite, verificou-se que vale R$15,00. Colocando a sela no primeiro
a ele havia sido adicionado água. Um litro de cavalo, vale este o dobro do segundo.
leite adulterado pesava 1.015g. Calcule Colocando-a no segundo, vale este R$ 30,00
quantos ml de água adicionada contém 1 litro menos que o primeiro. Quanto vale cada
dessa amostra, sabendo-se que o leite puro cavalo?
pesa 1.025 g por litro e a aguá 1.000 g por
litro? RESPOSTAS
90. Um avião consome 2,3 dal de gasolina por minuto 1) 22
de vôo. Sabendo-se: 2) 105
1.º) sua velocidade de cruzeiro é de 450km/h; 3) 30km/h
2.º) a gasolina pesa 0,7 kg por litro; 4) 52 e 37
3.º) o avião deve transportar 60% a mais do 5) p +1.052
que a gasolina necessária; 6) 30
7) 2
determinar quantas toneladas de gasolina 8) 179, 183, 187, 191, 195 e199
deve transportar esse avião para fazer uma 9) 158
viagem de 1.125 km. 10) 5.389
11) b
2 3 12) e
91. Qual é o número, cujos mais os mais 54 é
5 7 13) Sim
igual ao próprio número, mais 72? 14) Sim
15) Sim
92. Que horas são, se o que ainda resta para terminar 16) Sim
2 17) 15 min
o dia é do que já passou? 18) R$ 60,00
3
19) 540
20) 25 mim
93. As idades de João e Pedro somam 45 anos e há 5
21) R$ 280.000,00
anos a idade de João era quatro vezes a de
22) R$ 750,00
Pedro. Que idades têm agora João e Pedro?
23) 135
24) R$ 880,00
94. Roberto tem 24 anos e Paulo 10. No fim de
25) 850.000 km2
quantos anos a idade de Roberto será o triplo
26) R$ 1.200,00
da de Paulo? .
27) 135min
28) R$ 2.000,00
95. Dois indivíduos têm: o primeiro 45 anos e o
29) R$ 90,00
segundo 15. Depois de quantos anos a idade
30) 24
do segundo será um quarto da idade do
31) 12h
primeiro?
32) 24 meses
33) 14h 24 min
96. A soma das idades de A e B é 35. Daqui a 5 anos
34) R$ 56,00
a idade de A será o dobro da de B. Calcular as
35) R$ 40,00
idades de A e B.
36) R$ 320.000,00 R$ 480.000,00 R$ 600.000,00
37) 175 e 420
97. Um pai tem 32 anos e o seu filho 14. Quando
38) 40 anos
aconteceu ou acontecerá que a idade de um
39) 54º e 36º
seja o triplo da do outro?
40) 20 anos
41) 40 e 36

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MATEMÁTICA

42) 288 Lógica matemática
43) R$ 18,00
44) R$ 20.000,00 Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica
dizia respeito, tradicionalmente, apenas às proposições da
45) 63/135
linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, seus
46) 1/84, 3/28, 4/21, e 7/12 princípios foram aplicados à linguagem simbólica da
47) 55/27 matemática.
48) 45 km e 1/8
49) 24.339 Lógica matemática é o conjunto de estudos que visam
50) 400 a expressar em signos matemáticos as estruturas e
51) 1/6 e 5/6 operações do pensamento, deduzindo-as de um pequeno
52) R$ 60,00 número de axiomas, com o propósito de criar uma linguagem
53) 25 rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual
54) R$ 60,00 e R$63,00 estejam afastadas as ambigüidades próprias da linguagem
comum. Fundamenta-se na construção de sistemas formais,
55) d
ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos
56) d axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou
57) 3h 45 min demonstração.
58) R$ 72.000,00
59) 20,4 km Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por
60) 8,232 m Laozi (Lao-tsé) 500 anos antes da era cristã, ao dizer que
61) 10,58 m "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou seja,
62) 12 que a relação entre os diversos elementos que formam a
63) 3.000 carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e
64) 0,18 diferentes da soma das propriedades de cada um de seus
65) 8.000 componentes em separado. Aristóteles já assinalara um
princípio de abstração ao descrever sistema como um
66) R$ 150,00 conjunto de funções, características e atributos que podem
67) 0,025 há ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota
68) 30 m preferencialmente o conjunto de regras e raciocínios
69) 100.560 m dedutivos elaborado a partir da segunda metade do século
70) a XIX. Mediante a eliminação das imprecisões e erros lógicos
71) 20.400 da linguagem comum e a adoção de critérios de
72) R$ 1.752,00 formalização e emprego de símbolos, a lógica formal
73) 92 dal converteu-se numa disciplina associada à matemática.
74) 1.200 dal
75) 432 L Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos,
ou operadores, propostos por Aristóteles para as
76) 56,9 L
proposições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras
77) 144 similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a
78) 190 L e 160 L chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária
79) 3.600 L de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para cada
80) 960 hl proposição.
81) 1,200 m3
82) 100.000t Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos
83) 1,152t conjuntos e suas operações. Definiu conjunto como a união
84) 800 de objetos que satisfazem propriedades exprimíveis, e
85) 2.500 dm3 conjunto de conjuntos como um novo conjunto que contém a
86) 5 si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand
Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou
87) 5,124 que um conjunto pertence à primeira categoria se não
88) 0,32 L e 0,46 L contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo
89) 400 ml como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elementos
90) 3,864 t os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução,
91) -105 pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas,
92) 14h 24 min ainda que inicialmente se atribuísse uma categoria a cada
93) 33 e 12 conjunto.
94) Há 3 anos
95) Há 5 anos Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de
96) 25 e 10 escolha sobre conjuntos não-vazios, isto é, que contêm
elementos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer
97) Há 5 anos
que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo
98) 35 e 10 anos um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A,
99) 24 e 21 que não podia pertencer a nenhuma categoria, como
100) R$ 60,00 e R$ 105,00 constituído desses elementos. Com esse axioma puderam
ser demonstrados teoremas matemáticos clássicos carentes
de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a
polêmica quanto à validade dos teoremas demonstrados
RACIOCÍNIO LÓGICO com base nele, e a equiparação destes com aqueles que
não necessitam desse axioma para sua demonstração.

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MATEMÁTICA

Enfim, tornou-se prática indicar se em determinado teorema de um mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas
havia sido usado ou não o axioma de escolha. contraditórios.

Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além
fosse suficiente para a aritmética clássica seria dos axiomas, as próprias regras de dedução deveriam estar
necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras de
sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, ou
escolha, e assim se mantém quando nele se inclui a formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez
negação desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade estabelecido o método. Quando se pode demonstrar uma
geral também é coerente com a matemática comum, que proposição ou sua negativa, o sistema é completo. Se um
mantém a coerência quando se lhe acrescentam sistema que contém um teorema se altera, a mesma
simultaneamente o axioma de escolha e a hipótese de proposição, ou a que corresponde à nova entidade, passa a
continuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade
provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira causa se mantenha, seria preciso uma nova demonstração, devido
se desconhece. à possibilidade de que os axiomas ou as regras de dedução
do sistema tenham perdido sua pertinência.
Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX,
define-se sistema como um conjunto cujos elementos estão As regras básicas da lógica matemática exigem a
em interação e no qual prevalecem as relações recíprocas formulação de enunciados, nos quais se definem
entre os elementos, e não os elementos em si. Por sua previamente os conceitos da proposição, e predicados ou
própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que sentenças matemáticas que empregam os enunciados
significa que pode ser analisado. O conjunto como um todo, descritos anteriormente.
porém, não pode ser obtido pela simples acumulação das
partes. A trama das relações entre os elementos constitui a A terminologia e a metodologia da lógica matemática
estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o tiveram, ao longo do século XX, importante papel no
mecanismo de articulação de suas partes. progresso das novas ciências da informática e cibernética.
Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais da
As grandezas tomadas para descrever um sistema lógica binária e da álgebra de Boole e empregaram a
não são sempre as mesmas. Se uma delas se comporta de filosofia de enunciado-predicado em suas proposições, numa
forma particular, deve ter propriedades que suscitam tal axiomática e num conjunto de regras hipotético-dedutivas
comportamento e dêem lugar a certas regras de definidas previamente.©Encyclopaedia Britannica do Brasil
organização. Os sistemas têm limites precisos, de modo que Publicações Ltda.
é possível determinar sem ambigüidades se um elemento
pretence a um ou a outro sistema. DEFINIÇÕES:
Neste roteiro, o principal objetivo será a investigação da
Os sistemas classificam-se em fechados, se não validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos
permutam matéria com o exterior, mesmo que haja permuta quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS.
de energia para chegar ao equilíbrio, e abertos, se podem
permutar matéria e energia com o exterior e tendem à Os argumentos estão tradicionalmente divididos em
estabilidade. Os últimos se caracterizam por um DEDUTIVOS e INDUTIVOS.
comportamento não plenamente determinado por uma
cadeia causal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas,
tendem a se manter no estado em que melhor se adequam a se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira.
possíveis perturbações. Essa tendência à estabilidade lhes
permite alcançar um estado final característico a partir de Premissa : "Todo homem é mortal."
estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuação Premissa : "João é homem."
ou comportamento de cada subsistema ou componente de Conclusão : "João é mortal."
um sistema se difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas são
representados formalmente mediante modelos, e chama-se
simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não
modelo que representa. basta para assegurar a verdade da conclusão.

Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo
matemático exige rigor. O modelo tradicional de um sistema Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado."
consiste na apresentação das assertivas principais em forma Premissa : "Está chovendo."
de teoremas, como já o fizera Euclides na Grécia antiga. Conclusão: "Ficará nublado."
Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma proposição
cuja validade se prova por demonstração. Assim, os
axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas
admitem sem demonstração, pertencem a uma categoria em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento
lógica diferente. Os teoremas se demonstram a partir de possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação
outros teoremas, mediante procedimentos de dedução ou de sua validade. Tais técnicas de análise serão tratadas no
indução nos quais se encadeiam conseqüências lógicas. A decorrer deste roteiro.
axiomática da matemática, e das ciências em geral, constitui .UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA
o elemento básico para a dedução de teoremas derivados, e
a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos mais LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da
delicados na elaboração dos modelos de qualquer sistema. probabilidade, não será abordada neste roteiro.
Um conjunto de axiomas é aceitável, do ponto de vista
matemático, quando tem coerência lógica, o que implica que LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em :

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 LÓGICA CLÁSSICA- Considerada como o núcleo da (A) a sapataria fica entre a banca de jornal e a
lógica dedutiva. É o que chamamos hoje de CÁLCULO DE padaria.
PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem igualdade e de (B) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e
alguns de seus subsistemas. a padaria.
(C) o posto de gasolina fica entre a padaria e a
banca de jornal.
Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da (D) a padaria fica entre a sapataria e o posto de
IDENTIDADE, da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO gasolina.
EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante. (E) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a
padaria.
 LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA:
Complementam de algum modo a lógica clássica 6. Um técnica de futebol, animado com as vitórias
estendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal , obtidas pela sua equipe nos últimos quatro
deôntica, epistêmica , etc. jogos, decide apostar que essa equipe também
vencerá o próximo jogo. Indique a Informação
adicional que tornaria menos provável a vitória
PROVA SIMULADA I esperada.

1. Todos os marinheiros são republicanos. Assim (A) Sua equipe venceu os últimos seis jogos, em vez
sendo, de apenas quatro.
(B) Choveu nos últimos quatro jogos e há previsão
(A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto de que não choverá no próximo jogo.
dos republicanos. (C) Cada um dos últimos quatro jogos foi ganho por
(B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto uma diferença de mais de um gol.
dos marinheiros. (D) O artilheiro de sua equipe recuperou-se do
(C) todos os republicanos são marinheiros. estiramento muscular.
(D) algum marinheiro não é republicano. (E) Dois dos últimos quatro jogos foram realizados
(E) nenhum marinheiro é republicano. em seu campo e os outros dois, em campo
adversário.
2. Assinale a alternativa que apresenta uma
contradição. 7. Marta corre tanto quanto Rita e menos do que
Juliana. Fátima corre tanto quanto Juliana. Logo,
(A) Todo espião não é vegetariano e algum
vegetariano é espião. (A) Fátima corre menos do que Rita.
(B) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano (B) Fátima corre mais do que Marta.
não é espião. (C) Juliana corre menos do que Rita.
(C) Nenhum espião é vegetariano e algum es pião (D) Marta corre mais do que Juliana.
não é vegetariano. (E) Juliana corre menos do que Marta.
(D) Algum espião é vegetariano e algum es pião não
é vegetariano. 8. Há 4 caminhos para se ir de X a Y e 6 caminhos para
(E) Todo vegetariano é espião e algum espião não é se ir de Y a Z. O número de caminhos de X a Z que
vegetariano. passam por Y é

3. Todos os que conhecem João e Maria admiram (A) 10.
Maria. Alguns que conhecem Maria não a (B) 12.
admiram. Logo, (C) 18.
(D) 24.
(A) todos os que conhecem Maria a admiram. (E) 32.
(B) ninguém admira Maria.
(C) alguns que conhecem Maria não conhecem 9. Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas
João. plantas que tem clorofila são comestíveis. Logo,
(D) quem conhece João admira Maria.
(E) só quem conhece João e Maria conhece Maria. (A) algumas plantas verdes são comestíveis.
(B) algumas plantas verdes não são comestíveis.
4. Válter tem inveja de quem é mais rico do que (C) algumas plantas comestíveis têm clorofila.
ele. Geraldo não é mais rico do que quem o (D) todas as plantas que têm clorofila são
inveja. Logo, comestíveis.
(E) todas as plantas vendes são comestíveis.
(A) quem não é mais rico do que Válter é mais pobre
do que Válter. 10. A proposição 'É necessário que todo
(B) Geraldo é mais rico do que Válter. acontecimento tenha causa' é equivalente a
(C) Válter não tem inveja de quem não é mais rico do
que ele. (A) É possível que algum acontecimento não tenha
(D) Válter inveja só quem é mais rico do que ele. causa.
(E) Geraldo não é mais rico do que Válter. (B) Não é possível que algum acontecimento não
tenha causa.
5. Em uma avenida reta, a padaria fica entre o (C) É necessário que algum acontecimento não
posto de gasolina e a banca de jornal, e o posto tenha causa.
de gasolina fica entre a banca de jornal e a (D) Não é necessário que todo acontecimento tenha
sapataria. Logo, causa.

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(E) É impossível que algum acontecimento tenha (D) não tem febre.
causa. (E) não está bem.

11. Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder
26, ... , temos às questões de nº 17 e 18.

(A) 21. "O primeiro impacto da nova tecnologia de
(B) 22. aprendizado será sobre a educação universal. Através dos
(C) 23. tempos, as escolas, em sua maioria, gastaram horas
(D) 24. intermináveis tentando ensinar coisas que eram melhor
(E) 25. aprendidas do que ensinadas, isto é, coisas que são
aprendidas de forma comportamental e através de
12. ... ó pensador crítico precisa ter uma tolerância e exercícios, repetição e feedback. Pertencem a esta
até predileção por estados cognitivos de conflito, categoria todas as matérias ensinadas no primeiro grau,
em que o problema ainda não é totalmente mas também muitas daquelas ensinadas em estágios
compreendido. Se ele ficar aflito quando não posteriores do processo educacional. Essas matérias - seja
sabe 'a resposta correta', essa ansiedade pode ler e escrever, aritmética, ortografia, história, biologia, ou
impedir a exploração mais completa do mesmo matérias avançadas como neurocirurgia,
problema.' (David Canaher, Senso Crítico). diagnóstico médico e a maior parte da engenharia - são
O AUTOR QUER DIZER QUE O PENSADOR melhor aprendidas através de programas de computador. O
CRÍTICO professor motiva, dirige, incentiva. Na verdade, ele passa a
ser um líder e um recurso.
(A) precisa tolerar respostas corretas.
(B) nunca sabe a resposta correta. Na escola de amanhã os estudantes serão seus
(C) precisa gostar dos estados em que não sabe a próprios instrutores, com programas de computador como
resposta correta. ferramentas. Na verdade, quanto mais jovens forem os
(D) que não fica aflito explora com mais dificuldades estudantes, maior o apelo do computador para eles e maior
os problemas. o seu sucesso na sua orientação e instrução.
(E) não deve tolerar estados cognitivos de conflito. Historicamente, a escola de primeiro grau tem sido
totalmente intensiva de mão-de-obra. A escola de primeiro
13. As rosas são mais baratas do que os lírios. Não grau de amanhã será fortemente intensiva de capital.
tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias
de rosas. Logo, Contudo, apesar da tecnologia disponível, a
educação universal apresenta tremendos desafios. Os
(A) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia conceitos tradicionais de educação não são mais
de rosas. suficientes. Ler, escrever e aritmética continuarão a ser
(B) não tenho dinheiro suficiente para comprar uma necessários como hoje, mas a educação precisará ir muito
dúzia de rosas. além desses itens básicos. Ela irá exigir familiaridade com
(C) não tenho dinheiro. suficiente para comprar meia números e cálculos; uma compreensão básica de ciência e
dúzia de lírios. da dinâmica da tecnologia; conhecimento de línguas
(D) não tenho dinheiro suficiente para comprar duas estrangeiras. Também será necessário aprender a ser
dúzias de lírios. eficaz como membro de uma organização, como
(E) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia empregado." (Peter Drucker, A sociedade pós-capitalista).
de lírios.
17. Para Peter Drucker, o ensino de matérias como
aritmética, ortografia, história e biologia
14. Se você se esforçar, então irá vencer. Assim
sendo,
(A) Deve Ocorrer Apenas No Primeiro Grau.
(B) deve ser diferente do ensino de matérias como
(A) seu esforço é condição suficiente para vencer.
neurocirurgia e diagnóstico médico.
(B) seu esforço é condição necessária para vencer.
(C) será afetado pelo desenvolvimento da
(C) se você não se esforçar, então não irá vencer.
informática.
(D) você vencerá só se se esforçar.
(D) não deverá se modificar, nas próximas décadas.
(E) mesmo que se esforce, você não vencerá.
(E) deve se dar através de meras repetições e
exercícios.
15. Se os tios de músicos sempre são músicos,
então
18. Para o autor, neste novo cenário, o computador
(A) os sobrinhos de não músicos nunca são músicos.
(A) terá maior eficácia educacional quanto mais
(B) os sobrinhos de não músicos sempre são
jovem for o estudante.
músicos.
(B) tende a substituir totalmente o professor em sala
(C) os sobrinhos de músicos sempre são músicos.
de aula.
(D) os sobrinhos de músicos nunca são músicos.
(C) será a ferramenta de aprendizado para os
(E) os sobrinhos de músicos quase sempre são
professores.
músicos.
(D) tende a ser mais utilizado por médicos.
(E) será uma ferramenta acessória na educação.
16. O paciente não pode estar bem e ainda ter febre.
O paciente está bem. Logo, o paciente
19. Assinale a alternativa em que se chega a uma
conclusão por um processo de dedução.
(A) tem febre e não está bem.
(B) tem febre ou não está bem.
(C) tem febre.

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(A) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro (C) a autoridade de liderança se estabelece por
cisne branco ... então todos os cisnes são características individuais de alguns homens.
brancos. (D) a autoridade de posição se estabelece por
(B) Vi um cisne, então ele é branco. habilidades pessoais superiores de alguns
(C) Vi dois cisnes brancos, então outros cisnes líderes.
devem ser brancos. (E) tanto a autoridade de posição quanto a
(D) Todos os cisnes são brancos, então este cisne é autoridade de liderança são ineficazes.
branco.
(E) Todos os cisnes são brancos, então este cisne 24. Durante o texto, o autor procura mostrar que as
pode ser branco. pessoas

20. Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos (A) não costumam respeitar a autoridade de posição.
gorda do que Bruna. Logo, (B) também respeitam autoridade que não esteja
ligada a posições hierárquicas superiores.
(A) Vera é mais gorda do que Bruna. (C) respeitam mais a autoridade de liderança do que
(B) Cátia é menos gorda do que Bruna. de posição.
(C) Bruna é mais gorda do que Cátia. (D) acham incompatíveis os dois tipos de autoridade.
(D) Vera é menos gorda do que Cátia. (E) confundem autoridade de posição e liderança.
(E) Bruna é menos gorda do que Vera.
25. Utilizando-se de um conjunto de hipóteses, um
21. Todo cavalo é um animal. Logo, cientista deduz uma predição sobre a ocorrência
de um certo eclipse solar. Todavia, sua predição
(A) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. mostra-se falsa. O cientista deve logicamente
(B) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. concluir que
(C) todo animal é cavalo.
(D) nem todo cavalo é animal. (A) todas as hipóteses desse conjunto são falsas.
(E) nenhum animal é cavalo. (B) a maioria das hipóteses desse conjunto é falsa.
(C) pelo menos uma hipótese desse conjunto é falsa.
22. Em uma classe, há 20 alunos que praticam (D) pelo menos uma hipótese desse conjunto é
futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que verdadeira.
praticam vôlei mas não praticam futebol. O total (E) a maioria das hipóteses desse conjunto é
dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 verdadeira.
alunos que não praticam futebol. O número de
alunos da classe é 26. Se Francisco desviou dinheiro da campanha
assistencial, então ele cometeu um grave delito.
(A) 30. Mas Francisco não desviou dinheiro da
(B) 35. campanha assistencial. Logo,
(C) 37.
(D) 42. (A) Francisco desviou dinheiro da campanha
(E) 44. assistencial.
(B) Francisco não cometeu um grave delito.
INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder (C) Francisco cometeu um grave delito.
às questões de nº 23 e 24. (D) alguém desviou dinheiro da campanha
assistencial.
“Os homens atribuem autoridade a comunicações de (E) alguém não desviou dinheiro da campanha
posições superiores, com a condição de que estas assistencial.
comunicações sejam razoavelmente consistentes com as
vantagens de escopo e perspectiva que são creditadas a 27. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo,
estas posições. Esta autoridade é, até um grau
considerável, independente da habilidade pessoal do sujeito (A) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
que ocupa a posição. E muitas vezes reconhecido que, (B) Rodrigo é culpado.
embora este sujeito possa ter habilidade pessoal limitada, (C) se Rodrigo não mentiu. então ele não é culpado.
sua recomendação deve ser superior pela simples razão da (D) Rodrigo mentiu.
vantagem de posição. Esta é a autoridade de posição”. (E) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.

Mas é óbvio que alguns homens têm habilidade 28. Continuando a seqüência de letras F, N, G, M,
superior. O seu conhecimento e a sua compreensão, H . . ..., ..., temos, respectivamente,
independentemente da posição, geram respeito. Os homens
atribuem autoridade ao que eles dizem, em uma (A) O, P.
organização, apenas por esta razão. Esta é a autoridade de (B) I, O.
liderança.' (C) E, P.
(D) L, I.
(Chester Barnard, The Functions of the Executive). (E) D, L.

23. Para o autor, 29. Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, ..., temos

(A) autoridade de posição e autoridade de liderança (A) 236.
são sinônimos. (B) 244.
(B) autoridade de posição é uma autoridade superior (C) 246.
à autoridade de liderança. (D) 254.
(E) 256.

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04 O carro azul é maior do que o vermelho e o
30. Assinale a alternativa em que ocorre uma vermelho é menor do que o amarelo. Qual o maior
conclusão verdadeira (que corresponde à dos carros?:
realidade) e o argumento inválido (do ponto de
vista lógico). a) o vermelho;
b) o amarelo;
(A) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, c) o azul;
portanto Sócrates é mortal. d) o azul e o amarelo;
(B) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é e) impossível responder.
um ser, e todo ser é homem.
(C) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto 05. O carro amarelo anda mais rapidamente do que o
cachorros não são gatos. vermelho e este mais rapidamente do que o azul.
(D) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo Qual o carro que está se movimentando com
pensamento é um movimento, visto que todos os maior velocidade?:
raciocínios são movimentos.
(E) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem a) o amarelo; '
cinco pés, portanto algumas cadeiras tem quatro b) o azul;
pés. c) o vermelho; .
d) o vermelho e o azul;
31. Cinco ciclistas apostaram uma corrida. e) impossível responder.
• "A" chegou depois de "B".
• "C" e "E" chegaram ao mesmo tempo. 06. Para que haja uma representação teatral não pode
• "D" chegou antes de "B". faltar:
• quem ganhou, chegou sozinho.
Quem ganhou a corrida foi a) palco:
b) bilheteria;
(A) A. c) ator;
(B) B. d) auditório;
(C) C. e) texto.
(D) D.
(E) E. 07. João e José têm, juntos, 125 anos. João tem 11
anos menos que Júlio e 7 mais que José. Quantos
Gabarito: anos tem Júlio?:
1-B; 2-A; 3-C; 4-E; 5-E; 6-B; 7-B; 8-D; 9-C; 10-B;
11-C; 12-C; 13-D; 14-A; 15-A; 16-D; 17-C; 18-A; 19- a) 83;
D; 20-D; 21-B; 22-E; 23-C; 24-B; 25-C; 26-E; 27-A; b) 77;
28-D; 29-B; 30-E; 31-D. c) 71:
d) 66:
PROVA SIMULADA II e) 59.

01. Imagine que seu relógio adiante exatamente 4 08. Na série de números colocada a seguir, sempre
minutos em 24 horas. Quando eram 7,30 da que dois algarismos vizinhos somados
manhã, ele marcava 7 horas e 30 minutos e meio. proporcionem o total de 10, faça a soma. E
Que horas estará marcando quando forem 12 indique o total geral desta forma encontrado.
horas do mesmo dia?:
35546322881374511246678791829:
a) 12 horas, 1 minuto e 15 segundos;
b) 12 horas e 1 minuto; a) 45:
c) 12 horas e 45 segundos; b) 50:
d) 12 horas e 30 segundos; c) 60:
e) 12 horas e 30 minutos. d) 70:
e) 80.
02. Quantas dezenas há no número 469?:
09 Qual o número que colocado no lugar do traço
a) nenhuma deixará o conjunto coerente?:
b) 4,6;
cl 6; 57 19 38 - 19 38 57 - 38 57
d) 6,9;
e) 46. a) 19;
b) 35:
03. Quantos quartos de quilo existem em meia c) 38;
tonelada?: d) 57;
e) 85;
a) 500;
b) 1000; 10 O time azul, jogando uma partida de futebol com o
c) 1500; time verde, tem 70% de possibilidade de ganhar,
d) 2000; atuando durante o dia; mas sob a luz dos
e) 2500. refletores, sua possibilidade (por motivos
ignorados) desce para 20%, Qual sua
possibilidade ganhar num jogo que terá, dos 90

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minutos regulamentares, 18 jogados ainda de dia e) impossível responder por estarem os dados mal
e 72 disputados já com os refletores acesos : colocados.

a) 80%; 19. O mesmo problema, com as mesmas opções
b) 60%; anteriores: havendo, em A 4 bolas pretas e 8
c) 50%; brancas em B 6 bolas pretas e 12 brancas.
d) 45%;
e) 30%. 20 ldem, havendo, em 1 bola preta e 3 brancas em B
2 bolas pretas e 5 brancas.
11. Qual o menor número de carros que nos permite
armar o seguinte conjunto de afirmações: Nesta rua 21 ldem, havendo, em A 6 bolas pretas e 10 brancas
vimos passar 2 carros na frente de 2, 2 atrás de 2 e 2 em B 3 bolas pretas e 6 brancas.
entre 2?:
22. Considere, agora, três recipientes, permanecendo
a) 12; o mesmo problema: havendo, em A 5 bolas pretas
b) 8; e 10 brancas em B 4 bolas pretas e 7 brancas em
c) 6; C 2 bolas pretas e 5 brancas. As opções, para este
d) 4; caso 22, são as seguintes:
e) 3.
a) do A;
12. Qual o número que, acrescido da 3, dá metade de b) do B;
9 vezes um oitavo de 32?: c) do C;
d) é indiferente;
a) 15; e) é impossível responder.
b) 16;
c) 21; 23. Indique entre as opções o melhor sinônimo:
d) 27; Para "pecúlio":
e) 34;
a) roubo;
13. Esta a situação: Cinco moças estão sentadas na b) porção;
primeira fila da sala de aula: são Maria, Mariana, c) bens;
Marina, Marisa e Matilde. Marisa está numa d) herança;
extremidade e Marina na outra. Mariana senta-se e) criação.
ao lado de Marina e Matilde, ao lado de Marisa. .
24. Para "misantropia":
Este o esquema para responder:
a) religiosidade;
Para quantidades Para nomes b) sociabilidade;
c) aversão;
a) = 1 a) = Mariana d) ira;
b) =2 b) = Maria e) caridade.
c) = 3 c) = Matilde
d) = 4 d) = Marina 25 Para "exasperação":
e) = 5 e) = Marisa a) alisamento;
b) espera;
E estas as perguntas: c) evocação;
Quantas estão entre Marina e Marisa?: d) exatidão;
e) irritação.
14. Quem está no meio?:

15. Quem está entre Matilde e Mariana?: 26 está para assim como está
para
16 Quem está entre Marina e Maria?:
a) b) c) d)
17 Quantas estão entre Marisa e Mariana?

18 Imagine dois recipientes opacos, com a forma de e)
garrafa de boca estreita, que vamos chamar A e B.
E bolas brancas e pretas, que podem ser 27 Uma família gastou 1/4 de seu salário mensal
colocadas nos recipientes e que irão ser retiradas em alimentação e 1/3 do restante em pagamento de
como se fosse um sorteio . O problema é este: de prestações. Que porcentagem de salário lhe restou?:
qual recipiente você terá mais chance de retirar
uma bola preta numa. primeira e única tentativa, a) 15%
havendo, em A 2 bolas pretas e 4 brancas em B 3 b) 25%;
bolas pretas e 7 brancas? Opções: c) 35%;
d) 45%;
a) do A; e) 50%.
b) do B;
c) é indiferente; 28. 32 42 52...21 31 41.....40 50 _
d) impossível responder por falta de dados;
a) 24;

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b) 30; logo, todo A é C,
c) 33; 5. Algum D é B
d) 60; nenhum B é A
e) 63. logo, algum D é A.

29. Sendo este quadro um código - linhas e colunas -, E assinale conforme as seguintes opções:
o que está representando a fórmula 45551142? a) Todos os raciocínios são falsos;
b) Todos os raciocínios são verdadeiros;
a) Ele; c) Apenas o terceiro é verdadeiro;
b) Fae; d) Apenas os raciocínios 2 e 4 são falsos;
c) lNRl; e) Nenhum dos casos anteriores.
d) Deus;
34. Confira os raciocínios seguintes:

1. Todo P é O
ora, R é P
logo, R é O.
2. Todo R é S
ora, P não é S
logo, P não é R,
3. Todo S é P
todo S é O
logo, algum P é O.
4. Todo P é O
e) Jesus. todo O é R
logo, P é R.
5. Nenhum S é T
Descobriu-se num código, até então secreto, que o .....ora, R é T
número 12=8=4 realmente significava 9=5=1. Daí, .....logo, R não é S.
como se espera que esteja escrito "revolução" :
E assinale conforme as seguintes opções
a) vibapegia;
b) tgyqnxebq; a) Todos os raciocínios são verdadeiros;
c) obslirzxl; b) São falsos os raciocínios 4 e 5;
d) sfxpmvdbp; c) São verdadeiros apenas os de números 1 e 3;
e) uhzroyfdr. d) São falsos todos os raciocínios;
e) Nenhum dos casos anteriores.
31. 14 64 24 11 61 21
15 65 - 35. O contrário do contrário de exato é:

a) 45; a) duvidoso;
b) 26; b) provável;
c) 25; c) inexato;
d) 22; d) errado;
e) 16. e) certo.

32. Afirmando que o fogo é "frio" e que o açúcar é 36. Quantos cubos você necessária para reproduzir a
"salgado", poderíamos dizer que o perito é alguém: construção apresentada a seguir

a) inábil a) 60;
b) experimentado; b) 40;
c) sábio; c) 32;
d) prático; d) 24;
e) culto. e) 16.

33. Seguem-se alguns raciocínios (duas
premissas e uma conclusão) que você deve julgar como
verdadeiros ou falsos, isto é, se a conclusão é correta
ou não, dadas como verdadeiras as premissas:

1. A não é B
B não é C
logo, A não é C.
2. Algum B é C 37. E esta outra
algum C é A
logo, algum A é B.
3. Nenhum D é A
todo A é C
logo, nenhum D é C.
4. Todo C é B
algum B é A

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c) cansaço
d) cãs;
e) morte.

41. Precoce está para cedo assim como tardio está
para:

a) inverno;
a) 10; b) manhã;
b) 16; c) serôdio;
c) 17; d) inoportuno;
c) 20; e) inicial.
e) 24.
42. Direita está para esquerda assim como destro
está para:
38. Medo está para coragem assim como esperança
está para: a) ágil;
b) esperto;
a) fé; c) sinistro;
b) cólera; d) inábil;
c) desespero; e) reto.
d) tristeza;
e) melancolia. 43. Franco está para a França assim como Lira está
para:
39. Admitindo que cada quadra é percorrida em 5
minutos e que para atravessar uma rua sempre pelas a) Música;
faixas situadas junto às esquinas -,você dispenderá 50 b) Mentiroso;
segundos, permanecendo 10 minutos em cada local, c) Bulgária;
qual a seqüência que você seguirá para ir, o mais d) Itália;
rapidamente possível, de sua casa até a livraria, e voltar, e) Espanha.

44 Há uma lesma que pretende subir um muro de 8
metros de altura - e ela sabe percorrer um caminho
exatamente perpendicular.

Das 6 ás 18 horas, ela sobe 3 metros. Dai, descansa,
e das 18 ás 6 horas, desce, deslizando, 2
metros.
Tendo iniciado a subida ás 6 horas de uma segunda
feira, quando atingirá os 8 metros?

a) às 18 horas de sábado;
b) às 6 horas de domingo;
c) ás 18 horas de domingo;
d) às 6 horas da segunda feira seguinte;
e) ás 18 horas da segunda feira seguinte.

45 O número que continua a seqüência 12 34 56
passando, na ida ou na volta, pelo correio, pela
panificadora, pela casa de lanches e pelo banco? a) 65;
CO = correio CL = casa de b) 68;
lanches c) 75;
d) 76;
L = livraria P = panificadora e) 78.
C = casa B = banco

a) é indiferente;
b) livraria - correio - casa de lanches - panificadora - RESPOSTAS
banco;
c) banco - panificadora - casa de lanches - livraria - 1. Se o relógio adianta 4 minutos em 24 horas, ou seja,
correio; em 1.440 minutos, então ele adianta 10s por hora.
d) livraria - casa de lanches - panificadora - correio - Entre 7h30 e 12h temos 4h30, ou seja, um
banco: adiantamento de 45s. Acrescendo estes 45s aos 30s
e) correio - panificadora - casa de lanches - livraria - que o relógio já marcava às 7h30 teremos às 12h a
banco. marcação 12 h/min e 15 segundos.

40. Fogo está para fumaça assim como velhice está 2. No número 469 temos mais exatamente 46,9 dezenas,
para: mas se considerarmos apenas os inteiros, temos
então 46 dezenas.
a) mocidade;
b) imaturidade;

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3. Para sabermos quantos quartos de kilo temos em meia 19. Neste caso é diferente porque a proporção de bolas
tonelada basta dividirmos os 500 kg que equivalem a pretas para o total é a mesma: 1 para 3.
uma tonelada por 0.25kg, que é um quarto de kilo.
Assim sendo, temos 2.000 quartos de kilo em meia 20. É maior agora a possibilidade de tirarmos uma bola
tonelada. preta do recipiente B, pois a fração 2/7 é maior que
1/4, em decimais, respectivamente 0,285 e 0,25.
4. É impossível responder qual é o maior dos carros,
sabe-se apenas que o vermelho é o menor entre 21. A fração 6/16 é maior que 3/9, portanto no recipiente A
eles. a possibilidade de tirarmos primeiro uma bola preta é
maior.
5. O carro que dentre os três está se movimentando com
maior rapidez é o amarelo. 22. A maior probabilidade de tirarmos uma bola preta em
primeiro lugar é a do recipiente B, pois a fração 4/7 é
6. Para que haja uma representação teatral aquilo que a maior de todas e corresponde a uma chance de
absolutamente imprescindível é que exista um ator ou 57,14%.
uma atriz.
23. A definição mais exata de pecúlio é soma ou
7. Chamando de x a idade de João, y a de José e z a de quantidade de dinheiro que alguém conseguiu
Júlio, teremos o seguinte sistema de equações: x + y acumular pelo seu trabalho e economia, porém o
= 125. Resolvendo por x = y + 7 substituição sinônimo bens não é incorreto.
encontraremos que João tem 66 anos. Portanto Júlio,
que é 11 anos mais velho tem 77 anos. 24. Misantropia é um tipo de aversão, mais especificamente
aversão social, aversão ao contato com pessoas.
8. Teste fácil, cuja resposta correta é a letra D.
25. O sinônimo mais correto para exasperação é o contido
9. Questão sobre lei de formação, que neste caso é na alternativa E: irritação.
começar a linha pelo segundo termo da linha anterior
e terminá-la com o primeiro termo da anterior. Desta 26. A figura que corresponde ao par de figuras anteriores
maneira o número a ser colocado no espaço em se encontra na letra B, pois o que foi feito foi uma
branco é 19. repetição do mesmo desenho original dobrado.

10. Para resolvermos este problema basta fazermos uma 27. Se a família gastou 1/4, então lhe restam 3/4. Gastando
média ponderada: durante 4/5 de jogo, ou seja, 80% 1/3 do que restou, isso significa mais um quarto, pois
é dia durante 20% de jogo à noite, ou seja, há o uso 1/3 de 3/4 é 1/4. Desta maneira a família ainda dispõe
dos refletores. Basta multiplicarmos cada fração do de 50% do salário total.
jogo pela chance do time azul, ou seja, fazermos:
80% x 70% + 20% x 20%, o que resulta em 60% de 28. Pela lei de formação deste problema, repete-se o
chance de vitória. segundo número e substitui-se o primeiro pelo seu
consecutivo. Assim sendo, o número que deve ser
11. O menor número de carros que nos permite armar o colocado no espaço é 60.
conjunto proposto é 6. Suponhamos que à frente dos
6 tenhamos os carros azuis; atrás destes os 29. Se é um quadro de linhas e colunas, então devemos
vermelhos e por último dois amarelos. analisar cada par de números, sendo o primeiro
Conseqüentemente teremos duas possibilidades para número do paro que designa a linha e o segundo o
vermos passarem 2 na frente de 2. Teremos 3 que designa a coluna. Desta maneira a fórmula dada
possibilidades de vermos 2 atrás de 2 e uma corresponde a Deus.
possibilidade de termos 2 entre 2.
30. Pelo código apresentado, cada termo deve ser
12. Um oitavo de 32 é 4. 9 vezes isto é 36. A metade de 36 substituído por outras três unidades inferiores. Assim
é 18. Portanto o número que acrescido de 3 dá as letras devem ser substituídas por outras que as
metade de 9 vezes um oitavo de 32 é15. precedem 3 vezes. Por exemplo d corresponde à
letra a. Transcrevendo então resolução obteremos
13. Devemos responder com a letra C pois há 3 moças uma palavra análoga à contida na alternativa C.
entre Marina e Marisa.
31. O número que deve ser colocado no espaço em branco
14. No meio das 5 encontra-se sentada Maria. é 25, de acordo com o estabelecido nas linhas
anteriores à incompleta.
15. Quem está entre Matilde e Marina é Maria, a que está
no meio-de todas. 32. Se as afirmações são ao contrário; então podemos
dizer que o perito é alguém inábil.
16. Entre Marina e Maria está sentada Mariana.
33. De acordo com o nosso raciocínio apenas a terceira
17. Duas estão entre Marisa e Mariana: Matilde e Maria. afirmação é perfeitamente condizente.

18. No recipiente A a possibilidade de tirarmos uma bola 34. De acordo com nossa opinião todos os raciocínios
preta é maior que no recipiente B, pois a fração 2/6 é apresentados estão corretos.
maior que 3/10, pois em decimais temos
respectivamente 0,333... e 0,30.

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35. O contrário do contrário de algo é o próprio algo.
Portanto o contrário do contrário do exato é certo. 03) Uma das formas mais simples de argumentar consiste
em duas frases, uma das quais é conclusão da outra,
36. São precisos 40 cubos para erguermos uma construção que é chamada premissa. Dentre as opções a seguir,
igual à apresentada. assinale aquela em que a associação está correta.
a) Premissa: Os exames finais devem ser extintos.
37. São precisos 20 cubos para fazermos uma construção Conclusão: Os exames finais dão muito trabalho a
análoga à desenhada no enunciado. alunos e a professores.
b) Premissa: Os índios brasileiros eram culturalmente
primitivos.
38. As coisas estão com valor inverso, portanto esperança
Conclusão: Os índios brasileiros cultuavam vários
está para desespero, assim como medo está para
deuses.
coragem.
c) Premissa: N é um número inteiro múltiplo de 6.
Conclusão: N não é um número ímpar.
39. Cremos que o itinerário contido na alternativa C é o que d) Premissa: É possível que um candidato ganhe as
despende menor quantidade de tempo. eleições presidenciais.
Conclusão: O tal candidato tem muitos eleitores no
40. Fogo está para fumaça assim como velhice está para interior do país.
cãs, ou seja, fumaça é um sinal de fogo assim como
cãs o é de velhice. 04) Em uma carpintaria há mestres-carpinteiros e
aprendizes. Os mestres têm todos a mesma
41. Precoce está para cedo assim como tardio está para capacidade de trabalho. Os aprendizes, também. Se 8
serôdio. mestres juntamente com 6 aprendizes têm a mesma
capacidade de produção de 6 mestres juntamente com
42. Destro é sinônimo de direito, que usa a mão direita. 10 aprendizes, a capacidade de um dos mestres,
Portanto de acordo com a proposição feita devemos sozinho, corresponde à de:
associá-lo a sinistro, que é a pessoa que usa a mão a) 2 aprendizes.
esquerda. b) 3 aprendizes.
c) 4 aprendizes.
43. Franco é a moeda da França, assim como a libra o é da d) 5 aprendizes.
ltália.
05) Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram
três dias antes do dia depois do dia de antes de
44. se a lesma subir neste ritmo chegará ao topo do muro
amanhã. Hoje é terça-feira. Em que dia Regina e
às 18 horas de sábado, quando deixará de
Roberto voltaram?
escorregar porque já chegou ao topo.
a) Quarta-feira.
b) Quinta-feira.
45. A seqüência apresentada é uma P.A. de razão 22, c) Sexta-feira.
portanto o quarto termo é 78. d) Domingo.

06) Considere as seguintes afirmativas:
PROVA SIMULADA III I. Todas as pessoas inteligentes gostam de cinema;
II. Existem pessoas antipáticas e inteligentes.
Admitindo-se que as afirmações acima são corretas,
01) Considere as afirmações:
pode-se concluir que:
A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade;
a) todas as pessoas que gostam de cinema são
B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;
inteligentes.
C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa
b) toda pessoa antipática é inteligente.
amiga.
c) podem existir pessoas antipáticas que não gostem de
A análise do encadeamento lógico dessas três
cinema.
afirmações permite concluir que elas:
d) as afirmações a, b e c são todas falsas.
a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa
amiga
07) Considere uma pergunta e duas informações as quais
b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa
assumiremos como verdadeiras.
amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga
Pergunta: Entre João, Nuno e Luís, quem é o mais
c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e
baixo?
que Helena não é uma boa amiga
Informação 1: João é mais alto do que Luís.
d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga
Informação 2: Nuno é mais alto do que Luís.
Diante desses dados conclui-se que:
02) Na questão, observe que há uma relação entre o
a) a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se
primeiro e o segundo grupos de letras. A mesma
responda corretamente à pergunta, e a segunda,
relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos
insuficiente.
cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja,
b) a segunda informação, sozinha, é suficiente para que
aquele que substitui corretamente o ponto de
se responda corretamente à pergunta, e a primeira,
interrogação. Considere que a ordem alfabética
insuficiente.
adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.
c) as duas informações, em conjunto, são suficientes para
CASA : LATA : : LOBO : ?
que se responda corretamente à pergunta, e cada uma
a) SOCO
delas, sozinha, é insuficiente.
b) TOCO
d) as duas informações, em conjunto, são insuficientes
c) TOMO
para que se responda corretamente à pergunta.
d) VOLO

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08) Se Lucia é pintora, então ela é feliz. Portanto: meio". A que está sentada à esquerda, a que está
a) Se Lucia não é feliz, então ela não é pintora. sentada no meio e a que está sentada à direita são,
b) Se Lucia é feliz, então ela é pintora. respectivamente:
c) Se Lucia é feliz, então ela não é pintora. a) Janete, Tânia e Angélica
d) Se Lucia não é pintora, então ela é feliz. b) Janete, Angélica e Tânia
c) Angélica, Janete e Tânia
09) Considere que, em um determinado instante, P d) Angélica, Tânia e Janete
passageiros aguardavam seu vôo em uma sala de
embarque de certo aeroporto. Na primeira chamada 15) Com a promulgação de uma nova lei, um determinado
embarcaram os idosos, que correspondiam à metade concurso deixou de ser realizado por meio de provas,
de P; na segunda, embarcaram as mulheres não passando a análise curricular a ser o único material
idosas, cuja quantidade correspondia à metade do para aprovação dos candidatos. Neste caso, todos os
número de passageiros que haviam ficado na sala; na candidatos seriam aceitos, caso preenchessem e
terceira, embarcaram alguns homens, em quantidade entregassem a ficha de inscrição e tivessem curso
igual à metade do número de passageiros que ainda superior, a não ser que não tivessem nascido no Brasil
restavam na sala. Se, logo após as três chamadas, e/ou tivessem idade superior a 35 anos. José
chegaram à sala mais 24 passageiros e, nesse preencheu e entregou a ficha de inscrição e possuía
momento, o total de passageiros na sala passou a ser curso superior, mas não passou no concurso.
a metade de P, então na: Considerando o texto acima e suas restrições, qual das
a) primeira chamada embarcaram 34 passageiros. alternativas abaixo, caso verdadeira, criaria uma
b) primeira chamada embarcaram 36 passageiros. contradição com a desclassificação de José?
c) segunda chamada embarcaram 16 passageiros. a) José tem menos de 35 anos e preencheu a ficha de
d) segunda chamada embarcaram 18 passageiros. inscrição corretamente.
b) José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil.
10) Dizer que "André é artista ou Bernardo não é c) José tem menos de 35 anos e curso superior completo.
engenheiro" é logicamente eqüivalente a dizer que: d) José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil.
a) André é artista se e somente se Bernardo não é
engenheiro. 16) Se Beatriz não é mãe de Ana, é tia de Paula. Se
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. Beatriz é irmã de Flávio, é mãe de Ana. Se Beatriz é
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro mãe de Ana, não é irmã de Flávio. Se Beatriz não é
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. irmã de Flávio, não é tia de Paula. Logo, Beatriz:
a) não é mãe de Ana, é irmã de Flávio e não é tia de
11) Um trapézio ABCD, com altura igual a h, possui bases Paula.
AB = a e CD = b, com a > b. As diagonais deste b) é mãe de Ana, é irmã de Flávio e não é tia de Paula.
trapézio determinam quatro triângulos. A diferença c) não é mãe de Ana, é irmã de Flávio e é tia de Paula.
entre as áreas dos triângulos que têm por bases AB e d) é mãe de Ana, não é irmã de Flávio e não é tia de
CD respectivamente e por vértices opostos a interseção Paula.
das diagonais do trapézio é igual a:
a) (a + b)/2 17) Em uma empresa, há 12 dirigentes de níveis
b) (a + b)h/2 hierárquicos distintos capacitados para a elaboração de
c) (a - b)h/2 determinado estudo: 5 diretores e 7 gerentes. Para
d) (a - b)/2 isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão sorteados
aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará
12) Um psicólogo faz terapia de grupo com quatro pessoas: o referido estudo. A probabilidade de os 4 dirigentes
João, Pedro, Paulo e José. Em um determinado dia, sorteados serem do mesmo nível hierárquico está
sua sessão foi realizada em uma mesa retangular com entre:
dois lugares de cada lado oposto da mesa e com o a) 0,01 e 0,05.
psicólogo e Paulo nas cabeceiras. Sendo assim, um b) 0,06 e 0,10.
lugar na mesa estava vago e este não estava perto do c) 0,11 e 0,15.
psicólogo. d) 0,16 e 0,20.
Dado esse cenário, pode-se afirmar, com certeza, que:
a) o lugar vago estava perto do Paulo. 18) Estava olhando para o Norte. Girei 90º para a esquerda
b) o lugar vago estava perto do José. e passei, portanto, a olhar para o Oeste. Girei 180º e
c) o lugar vago estava perto do João. depois girei 45º à esquerda. Depois girei 90º à
d) o lugar vago estava perto do Pedro. esquerda e, depois, 135º à direita. Passei, nesse
momento, a olhar para o:
13) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim a) Norte;
é florido, então o passarinho não canta. Ora, o b) Leste;
passarinho canta. Logo: c) Nordeste;
a) o jardim é florido e o gato mia d) Sudeste;
b) o jardim é florido e o gato não mia
c) o jardim não é florido e o gato mia 19) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair
d) o jardim não é florido e o gato não mia do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao
jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é
14) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é
lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O
Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a barão não sorriu. Logo:
verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a
quem está sentada no meio". A que está sentada no princesa.
meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde
sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no encontrou a princesa.

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c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do
princesa. que do flamenguista. O vascaíno está sentado em uma
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. das pontas, e a esposa do cozinheiro está sentada à
sua direita. Mário está sentado entre Tânia, que está à
20) Antônio, Bento, Ciro e Dorival são profissionais liberais. sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de
Um deles é advogado, outro é paisagista, outro é Oscar são, respectivamente:
veterinário e outro é professor. Sabe-se que: o a) Regina e Sandra
veterinário não é Antônio e nem Ciro; Bento não é b) Tânia e Sandra
veterinário e nem paisagista; Ciro não é advogado e c) Sandra e Tânia
nem paisagista. A conclusão correta quanto à d) Regina e Tânia
correspondência entre carreira e profissional está
indicada em: 25) Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então
a) advogado - Dorival também será verdade que:
b) paisagista - Dorival a) todos não-artistas são não-atletas
c) paisagista - Antônio b) nenhum atleta é não-artista
d) advogado - Antônio c) nenhum artista é não-atleta
d) pelo menos um não-atleta é artista
21) Um psicólogo faz terapia de grupo com quatro pessoas:
João, Pedro, Paulo e José. Em um determinado dia, 26) Os advogados Clóvis, Rui e Raimundo trabalham em
sua sessão foi realizada em uma mesa retangular com agências diferentes de um mesmo banco,
dois lugares de cada lado oposto da mesa e com o denominadas Norte, Sul e Leste. Exercem, não
psicólogo e Paulo nas cabeceiras. Sendo assim, um necessariamente nesta ordem, suas funções nos
lugar na mesa estava vago e este não estava perto do setores de Financiamento, Cobrança e Ouvidoria.
psicólogo. Sabe-se, ainda, que:
Dado esse cenário, pode-se afirmar, com certeza, que: • Clóvis e o advogado da Agência Leste não trabalham
a) o lugar vago estava perto do Paulo. na Ouvidoria.
b) o lugar vago estava perto do José. • O advogado da Agência Norte não é Clóvis nem Rui.
c) o lugar vago estava perto do João. • Na Agência Sul, o advogado não trabalha na Ouvidoria
d) o lugar vago estava perto do Pedro. nem no Financiamento.
É possível concluir que:
22) Em um certo aeroporto, Ana caminhava à razão de um a) Clóvis trabalha no setor de Cobranças da Agência
metro por segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de Norte.
210 metros, que se movimenta no mesmo sentido em b) Rui, o advogado da Agência Leste, trabalha no setor de
que ela caminhava, continuou andando no mesmo Ouvidoria.
passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou ter c) nem Raimundo, nem Rui trabalham no setor de
levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a Financiamento.
extensão da esteira. Se Ana não tivesse continuado a d) nas Agências Sul e Norte, os advogados não trabalham
caminhar quando estava sobre a esteira, o tempo que com Financiamento.
levaria para ser transportada do início ao fim da esteira
seria igual a: 27) Uma grande empresa multinacional oferece a seus
a) 1 minuto e 20 segundos. funcionários cursos de português, inglês e italiano.
b) 1 minuto e 24 segundos. Sabe-se que 20 funcionários cursam italiano e inglês;
c) 1 minuto e 30 segundos. 60 funcionários cursam português e 65 cursam inglês;
d) 1 minuto e 40 segundos. 21 funcionários não cursam nem português nem
italiano; o número de funcionários que praticam só
23) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa português é idêntico ao número dos funcionários que
de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, praticam só italiano; 17 funcionários praticam português
Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o e italiano; 45 funcionários praticam português e inglês;
culpado, cada um deles respondeu: 30, entre os 45, não praticam italiano. Com estas
Armando: "Sou inocente" informações pode-se concluir que a diferença entre o
Celso: "Edu é o culpado" total de funcionários da empresa e o total de
Edu: "Tarso é o culpado" funcionários que não estão matriculados em qualquer
Juarez: "Armando Disse a verdade" um dos cursos é igual a:
Tarso: "Celso mentiu" a) 93
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e b) 83
que todos os outros disseram a verdade, pode-se c) 103
concluir que o culpado é: d) 113
a) Armando
b) Celso 28) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras
c) Edu às terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos
d) Tarso demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas
24) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas condições, somente em quais dias da semana seria
esposas, sentaram-se, lado a lado, à beira do cais, possível ela fazer a afirmação "Eu menti ontem e
para apreciar o pôr-do-sol. Um deles é flamenguista, também mentirei amanhã."?
outro é palmeirense, e outro vascaíno. Sabe-se, a) Terça e quinta-feira.
também, que um é arquiteto, outro é biólogo, e outro é b) Terça e sexta-feira.
cozinheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da c) Quarta e quinta-feira.
esposa, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra d) Quarta-feira e sábado.
do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não
necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tânia. 29) Paulo, João, Beto, Marcio e Alfredo estão numa festa.
O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, Sabendo-se que cada um deles possui diferentes

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profissões: advogado, administrador, psicólogo, físico e valores do atual sistema monetário brasileiro, sendo:
médico. Temos: o advogado gosta de conversar com duas moedas do menor valor, três do maior valor e
beto, Marcio e João, mas odeia conversar com o uma moeda de cada um dos outros valores. Sendo
médico Beto joga futebol com o físico Paulo, Beto e assim, ela tem o suficiente para pagar a tarifa e ainda
marcio jogam vôlei com o administrador alfredo move lhe sobrarão:
uma ação trabalhista contra o médico. Podemos a) doze centavos.
afirmar que Paulo é.... b) onze centavos.
a) Paulo é o advogado, João é o administrador c) dez centavos.
b) Alfredo é o advogado, Paulo é o médico. d) nove centavos.
c) Marcio é o psicólogo, Alfredo é o médico
d) Beto é o físico, Alfredo é o administrador 36) Existem três caixas I, II e III contendo transistores. Um
técnico constatou que:
30) Considerando-se que todos os Gringles são Jirnes e • se passasse 15 transistores da caixa I para a caixa II,
que nenhum Jirnes é Trumps, a afirmação de que esta ficaria com 46 transistores a mais do que a caixa I
nenhum Trumps pode ser Gringles é: tinha inicialmente;
a) Necessariamente verdadeira. • se passasse 8 transistores da caixa II para a caixa III,
b) Verdadeira, mas não necessariamente. esta ficaria com 30 transistores a mais do que a caixa II
c) Necessariamente falsa. tinha inicialmente.
d) Falsa, mas não necessariamente. • Se o total de transistores nas três caixas era de 183,
então o número inicial de transistores em:
31) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é a) I era um número par.
preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto b) II era um número ímpar.
por meio de uma senha. Cada senha é constituída por c) III era um número menor que 85.
3 algarismos distintos. Nessas condições, o número d) I e III era igual a 119.
máximo de tentativas para abrir os cadeados é
a) 518.400 37) Para asfaltar 1 quilômetro de estrada, 30 homens
b) 1.440 gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia,
c) 720 enquanto que 20 homens, para asfaltarem 2
d) 120 quilômetros da mesma estrada, trabalhando 12 horas
por dia, gastam x dias. Calcule o valor de x.
32) Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as a) 30
cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem b) 22
simultaneamente, um de cada cidade, para c) 25
percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O d) 24
ônibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a uma
velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de 38) Uma circunferência sobre um plano determina duas
Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando regiões nesse mesmo plano. Duas circunferências
que nenhum dos dois realizou nenhuma parada no distintas sobre um mesmo plano determinam, no
trajeto, podemos afirmar que: I - Quando os dois se máximo, 4 regiões. Quantas regiões, no máximo, 3
cruzarem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto circunferências distintas sobre um mesmo plano podem
de Bonito do que o 165. II - Quando os dois se determinar nesse plano?
cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais a) 4
tempo do que o 175. b) 7
a) Somente a hipótese (I) está errada. c) 5
b) Somente a hipótese (II) está errada. d) 8
c) Ambas as hipóteses estão erradas.
d) Nenhuma das hipóteses está errada. 39) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan
coloca Luís à frente de três portas e lhe diz: “Atrás de
33) A hipotenusa de um triangulo retângulo mede 10 cm, e uma destas portas encontra-se uma barra de ouro,
um de seus catetos mede 6 cm. A área deste triangulo atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei
é igual a: onde cada um deles está. Podes escolher uma porta
a) 24 cm2 qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas,
b) 30 cm2 entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se
c) 40 cm2 encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma
d) 48 cm2 das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua
escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador
34) O menor complementar de um elemento genérico xij de abre uma das portas não-escolhidas por Luís e lhe
uma matriz X é o determinante que se obtém mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitandose
suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz:
localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a “Temível imperador, não quero mais a porta que
matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij) e B = escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia
(bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , então o escolhido, aquela que não abriste”. A probabilidade de
menor complementar do elemento y23 é igual a: que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a
a) 0 porta que conduz à barra de ouro é igual a:
b) -8 a) 1/2.
c) -80 b) 1/3.
d) 8 c) 2/3.
d) 2/5.
35) Maria vai de carona no carro de sua amiga e se propõe
a pagar a tarifa do pedágio, que é de R$ 3,80. Verificou 40) Num concurso para preencher uma vaga para o cargo
que tem no seu porta-níqueis moedas de todos os de gerente administrativo da empresa M, exatamente

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quatro candidatos obtiveram a nota máxima. São eles, b) É menor do que 75 litros.
André, Bruno, Célio e Diogo. Para decidir qual deles c) É maior do que 75 litros.
ocuparia a vaga, os quatro foram submetidos a uma d) É impossível ter qualquer idéia a respeito da quantidade
bateria de testes e a algumas entrevistas. Ao término de gasolina.
dessa etapa, cada candidato fez as seguintes
declarações: 45) Certo dia, durante o expediente do Tribunal de Contas
• André declarou: Se Diogo não foi selecionado, então do Estado de Minas Gerais, três funcionários Antero,
Bruno foi selecionado. Boris e Carmo executaram as tarefas de arquivar um
• Bruno declarou: André foi selecionado ou eu não fui lote de processos, protocolar um lote de documentos e
selecionado. prestar atendimento ao público, não necessariamente
• Célio declarou: Se Bruno foi selecionado, então eu não nesta ordem. Considere que:
fui selecionado. - cada um deles executou somente uma das tarefas
• Diogo declarou: Se André não foi selecionado, então mencionadas;
Célio foi. - todos os processos do lote, todos os documentos do
Admitindo-se que, das quatro afirmações acima, lote e todas as pessoas atendidas eram procedentes
apenas a declaração de Diogo seja falsa, é correto de apenas uma das cidades: Belo Horizonte, Uberaba e
concluir que o candidato selecionado para preencher a Uberlândia, não respectivamente;
vaga de gerente administrativo foi: - Antero arquivou os processos;
a) Célio - os documentos protocolados eram procedentes de Belo
b) André Horizonte;
c) Bruno - a tarefa executada por Carmo era procedente de
d) Diogo Uberlândia.
Nessas condições, é correto afirmar que:
41) Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram a) Carmo protocolou documentos.
todas distintas, foram distribuídos em duas turmas, de b) a tarefa executada por Boris era procedente de Belo
acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros Horizonte.
foram colocados na turma A e os 30 seguintes na c) Boris atendeu às pessoas procedentes de Uberaba.
turma B. As médias das duas turmas no concurso d) as pessoas atendidas por Antero não eram procedentes
foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se de Uberaba.
passar o último colocado da turma A para a turma B.
Com isso: 46) Se Rasputin não tivesse existido, Lenin também não
a) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou. existiria. Lenin existiu. Logo,
b) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou. a) Lenin e Rasputin não existiram.
c) As médias de ambas as turmas melhoraram. b) Lenin não existiu.
d) As médias de ambas as turmas pioraram. c) Rasputin existiu.
d) Rasputin não existiu.
42) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre
verdadeira, independentemente da verdade dos termos 47) Assinale a alternativa correspondente ao número de
que a compõem. Um exemplo de tautologia é: cinco dígitos no qual o quinto dígito é a metade do
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo quarto e um quarto do terceiro dígito. O terceiro dígito é
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segundo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é dígito é três vezes o quarto e tem cinco unidades a
gordo mais que o quinto.
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto a) 17942
e Guilherme é gordo b) 25742
c) 65384
43) Na Consoantelândia, fala-se o consoantês. Nessa d) 86421
língua, existem 10 letras: 6 do tipo I e 4 do tipo II.
• As letras do tipo I são: b, d, h, k, l, t. 48) De quantos modos é possível formar um subconjunto,
• As letras do tipo II são: g, p, q, y. com exatamente 3 elementos, do conjunto {1 ,2,3,4,5,6}
Nessa língua, só há uma regra de acentuação: uma no qual NÃO haja elementos consecutivos?
palavra só será acentuada se tiver uma letra do tipo II a) 4
precedendo uma letra do tipo I. b) 6
Pode-se afirmar que: c) 8
a) dhtby é acentuada. d) 18
b) pyg é acentuada.
c) kpth não é acentuada. 49) Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os
d) kydd é acentuada. momorrengos são cronópios então pode-se concluir
que:
44) A seção "Dia a dia", do Jornal da Tarde de 6 de janeiro a) É possível existir um jaguadarte que não seja
de 1996, trazia esta nota: momorrengo.
"Técnicos da CETESB já tinham retirado, até o fim da b) É possível existir um momorrengo que não seja
tarde de ontem, 75 litros da gasolina que penetrou nas jaguadarte.
galerias de águas pluviais da Rua João Boemer, no c) Todos os momorrengos são jaguadartes.
Pari, Zona Norte. A gasolina se espalhou pela galeria d) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio.
devido ao tombamento de um tambor num posto de
gasolina desativado." 50) Em uma urna temos 3 bolas azuis, cada uma com 5
De acordo com a nota, a que conclusão se pode chegar cm³ de volume, 3 cubos pretos, cada um com 2 cm³ de
a respeito da quantidade de litros de gasolina vazada volume e 1 cubo azul de 3 cm³ de volume. Retirando-se
do tambor para as galerias pluviais? quatro objetos da urna, sem reposição,
a) Corresponde a 75 litros. necessariamente um deles:

Realização

MATEMÁTICA

a) terá volume menor do que 3 cm³.
b) terá volume maior do que 3 cm³.
c) será uma bola.
d) será azul.

RESPOSTAS
1. B 21. A 41. C
2. B 22. B 41. A
3. C 23. D 43. D
4. A 24. C 44. C
5. D 25. D 45. B
6. C 26. D 46. C
7. C 27. A 47. D
8. A 28. A 48. A
9. C 29. B 49. A
10. D 30. A 50. D
11. C 31. B
12. A 32. C
12. C 33. A
14. B 34. C
15. D 35. A
16. D 36. D
17. B 37. D
18. B 38. D
19. C 39. C
20. C 40. D

Realização

Matematica

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