A matriz apresentada mostra as notas de três alunos, Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007. Cada elemento da matriz representa a nota de um aluno em um determinado ano.
1) O documento discute conceitos matemáticos relacionados ao plano cartesiano, como coordenadas de pontos, distância entre pontos, ponto médio de um segmento e aplicações destes conceitos.
2) São apresentadas as definições formais de plano cartesiano, coordenadas de pontos, fórmula para calcular a distância entre dois pontos e fórmula para calcular as coordenadas do ponto médio de um segmento.
3) Exemplos ilustram como aplicar estas definições e fórmulas para resolver problemas matemátic
O documento discute as características geométricas da circunferência e do círculo, incluindo definições de circunferência, raio, diâmetro, perímetro, área, comprimento de arco e área de setor circular. Exemplos ilustram como calcular essas grandezas. Exercícios sobre o tema são propostos para treino.
1) El documento presenta problemas de simplificación de raíces, determinación de verdadero o falso, aplicación de la propiedad de la raíz de un producto y cálculos. 2) Contiene ejercicios de álgebra. 3) El objetivo es practicar diferentes operaciones y propiedades algebraicas.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos de áreas e volumes de sólidos geométricos. Explica que sólidos são conjuntos de pontos tridimensionais e classifica-os em poliedros e não-poliedros. Define o que são áreas e volumes e apresenta as fórmulas para calcular a área e volume das figuras planas e sólidos mais comuns como quadrados, cubos, retângulos, cilindros e esferas.
O documento apresenta vários exercícios de fatoração de polinômios do 8o ano. Nos primeiros itens, pede para fatorar polinômios agrupando termos com fatores comuns ou por agrupamento. Nos itens seguintes, pede para fatorar trinômios que são quadrados perfeitos e expressões que podem ser escritas como diferença de quadrados.
O documento apresenta 7 sequências numéricas com suas respectivas leis de formação. São descritas as sequências de números quadrangulares, múltiplos de 5, Fibonacci, e outras sequências inventadas com leis de formação variadas.
1) O documento discute conceitos matemáticos relacionados ao plano cartesiano, como coordenadas de pontos, distância entre pontos, ponto médio de um segmento e aplicações destes conceitos.
2) São apresentadas as definições formais de plano cartesiano, coordenadas de pontos, fórmula para calcular a distância entre dois pontos e fórmula para calcular as coordenadas do ponto médio de um segmento.
3) Exemplos ilustram como aplicar estas definições e fórmulas para resolver problemas matemátic
O documento discute as características geométricas da circunferência e do círculo, incluindo definições de circunferência, raio, diâmetro, perímetro, área, comprimento de arco e área de setor circular. Exemplos ilustram como calcular essas grandezas. Exercícios sobre o tema são propostos para treino.
1) El documento presenta problemas de simplificación de raíces, determinación de verdadero o falso, aplicación de la propiedad de la raíz de un producto y cálculos. 2) Contiene ejercicios de álgebra. 3) El objetivo es practicar diferentes operaciones y propiedades algebraicas.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos de áreas e volumes de sólidos geométricos. Explica que sólidos são conjuntos de pontos tridimensionais e classifica-os em poliedros e não-poliedros. Define o que são áreas e volumes e apresenta as fórmulas para calcular a área e volume das figuras planas e sólidos mais comuns como quadrados, cubos, retângulos, cilindros e esferas.
O documento apresenta vários exercícios de fatoração de polinômios do 8o ano. Nos primeiros itens, pede para fatorar polinômios agrupando termos com fatores comuns ou por agrupamento. Nos itens seguintes, pede para fatorar trinômios que são quadrados perfeitos e expressões que podem ser escritas como diferença de quadrados.
O documento apresenta 7 sequências numéricas com suas respectivas leis de formação. São descritas as sequências de números quadrangulares, múltiplos de 5, Fibonacci, e outras sequências inventadas com leis de formação variadas.
Cap2 - Parte 5 - Medidas Para Dados AgrupadosRegis Andrade
Este documento descreve medidas estatísticas para dados agrupados, incluindo média, mediana, moda, quartis e variância. Explica como calcular cada medida usando fórmulas apropriadas para dados agrupados e fornece exemplos numéricos para ilustrar os cálculos.
O documento descreve as propriedades da função exponencial f(x) = ax, onde a pertence aos números reais positivos exceto 1. Explica que quando a > 1 a função é estritamente crescente e quando 0 < a < 1 a função é estritamente decrescente. Além disso, apresenta vários exercícios resolvidos sobre a função exponencial.
1) O documento descreve os conceitos de função, referencial cartesiano, domínio, contradomínio e diferentes tipos de funções como funções constantes, afins, de proporcionalidade e suas representações gráficas.
2) Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a um único elemento do segundo.
3) Existem diferentes formas de representar funções incluindo tabelas, expressões algébricas e gráficos.
Para fazer o download dessa aula, siga esses passos :
- Curta nossa página no facebook :https://www.facebook.com/pages/Aulas-Apoio/247771711930123
- Escreva-nos pedindo o acesso especial : senha.aula.prisma@centroapoio.com
Avaliação global de matemática 7º ano dezembroMoesio Alves
Este documento é uma avaliação parcial de matemática com 7 questões sobre geometria e área de figuras planas. As questões incluem identificar a medida mais próxima de um ponto a uma reta, calcular a quantidade de lajotas necessárias para forrar uma sala, determinar a área resultante de agrupar retângulos e identificar frações de áreas de figuras.
O documento contém uma lista de exercícios de matemática sobre números racionais com 8 questões. Os alunos devem calcular valores de expressões algébricas, somar resultados, dividir e calcular frações, resolver expressões e equações.
O documento discute intervalos reais, definindo-os como subconjuntos da reta real delimitados por desigualdades. Intervalos podem ser fechados, abertos ou semiabertos dependendo se incluem ou não os extremos, e são representados graficamente e por notação matemática. Exemplos ilustram como realizar operações com intervalos como interseção, união e diferença.
Este documento fornece uma lista de exercícios de logaritmo com as seguintes informações essenciais:
1) Pede para calcular valores de N e resolver equações logarítmicas analisando condições de existência.
2) Apresenta exercícios para analisar condições de existência de logaritmos.
3) Fornece uma expressão logarítmica para calcular o valor de E.
1. Determina as condições para que denominadores de frações algébricas não sejam nulos.
2. Simplifica a fração 1a25/b62a30 para a = -1 e b = 4, obtendo o valor 4.
3. Indica que Carol e Luís foram os únicos alunos a simplificarem corretamente as frações algébricas.
1. O documento contém uma lista de exercícios sobre radicais. Inclui cálculos, simplificações e operações com radicais.
2. São propostos problemas envolvendo extração de raiz quadrada, cubica e outras potências de radicais, representação em forma de potência fracionária, multiplicação, divisão e outras operações.
3. Também inclui questões sobre perímetro de figuras e valor numérico de expressões algébricas envolvendo radicais.
O documento apresenta exemplos resolvidos e exercícios propostos de equações biquadradas. Quatro exemplos são resolvidos passo a passo, reduzindo a equação biquadrada a uma equação quadrática e encontrando as raízes. Cinco exercícios são propostos para o aluno resolver, encontrando as raízes de cada equação biquadrada dada.
Este documento discute as posições relativas entre retas em geometria descritiva. As retas podem ser coplanares ou não coplanares. Retas coplanares podem ser paralelas ou concorrentes, enquanto retas não coplanares são chamadas de reversas. Vários exemplos ilustram como determinar se retas são coplanares ou não e, se coplanares, se são paralelas ou concorrentes com base em suas projeções.
O documento apresenta os principais tópicos sobre operações com frações, incluindo frações equivalentes, adição, subtração, multiplicação e divisão de frações. Além disso, explica produtos notáveis como o quadrado da soma e da diferença de termos, cubo da soma e da diferença e a diferença e soma de cubos. A lista de exercícios contém questões sobre esses tópicos.
Geometria de Posição e Métrica - ExercíciosEverton Moraes
Este documento apresenta questões sobre geometria espacial, incluindo conceitos como retas, planos, paralelismo, perpendicularidade e suas relações. As questões abordam a determinação de retas e planos a partir de pontos, as propriedades geométricas de figuras no espaço como cubos, e identificação de afirmações verdadeiras ou falsas sobre os conceitos apresentados.
1) O documento apresenta 7 exercícios sobre funções afins e lineares. Os exercícios 1-5 pedem para representar graficamente funções, determinar raízes/zeros de equações e valores de funções para entradas específicas. Os exercícios 6-7 pedem para analisar propriedades e o gráfico de uma função linear específica, como crescimento, zero, interseção com eixo y e valores de x.
1) O documento apresenta 17 situações-problema envolvendo equações do segundo grau. Os problemas abordam temas como raízes, determinação de valores desconhecidos, áreas de figuras geométricas e torneios esportivos.
2) As questões devem ser resolvidas calculando o discriminante, raízes ou outros elementos algébricos para determinar valores como comprimentos, áreas e números de times ou partidas.
3) A resolução envolve passos como isolamento da incógnita, fatoração, raiz quadrada e substituição para che
Este documento contiene una lista de ejercicios de ecuaciones de primer grado. Incluye 16 problemas de resolución de ecuaciones, con sus respectivas respuestas. El documento proporciona ejemplos para que los estudiantes practiquen la resolución de ecuaciones de primer grado, incluyendo ecuaciones con una incógnita, fracciones y paréntesis.
1. O documento contém vários exercícios sobre ângulos, triângulos e polígonos regulares. Inclui cálculos de medidas de ângulos, classificação de triângulos, casos de congruência e propriedades de polígonos.
1) O documento apresenta 11 exercícios de frações algébricas. Os exercícios envolvem simplificar, escrever de forma equivalente e realizar operações com frações.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação. Nos exercícios 1 e 2, pede-se para calcular potências e observar os resultados. Nos exercícios 3 a 5, requer-se resolver potências passo a passo e simplificar expressões usando propriedades da potenciação. Nos exercícios 6 e 7, solicita-se simplificar expressões e resolver problemas usando potências de mesma base. Finalmente, o exercício 8 pede para transformar expressões em radicais.
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre matrizes, incluindo:
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que organiza dados de forma estruturada;
2) Cada elemento de uma matriz tem uma posição definida por sua linha e coluna;
3) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais e nulas.
1. O documento apresenta 30 problemas envolvendo operações com matrizes como soma, subtração, multiplicação, transposição e determinação de elementos específicos. Os problemas abordam também equações matriciais e propriedades de matrizes como simetria e antissimetria.
2. São solicitados cálculos e determinações de elementos, matrizes resultantes de operações, resolução de equações matriciais e verificação de propriedades de matrizes dadas.
3. Os problemas devem ser resolvidos determinando os valores, elementos ou matrizes solicitados nos en
Cap2 - Parte 5 - Medidas Para Dados AgrupadosRegis Andrade
Este documento descreve medidas estatísticas para dados agrupados, incluindo média, mediana, moda, quartis e variância. Explica como calcular cada medida usando fórmulas apropriadas para dados agrupados e fornece exemplos numéricos para ilustrar os cálculos.
O documento descreve as propriedades da função exponencial f(x) = ax, onde a pertence aos números reais positivos exceto 1. Explica que quando a > 1 a função é estritamente crescente e quando 0 < a < 1 a função é estritamente decrescente. Além disso, apresenta vários exercícios resolvidos sobre a função exponencial.
1) O documento descreve os conceitos de função, referencial cartesiano, domínio, contradomínio e diferentes tipos de funções como funções constantes, afins, de proporcionalidade e suas representações gráficas.
2) Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a um único elemento do segundo.
3) Existem diferentes formas de representar funções incluindo tabelas, expressões algébricas e gráficos.
Para fazer o download dessa aula, siga esses passos :
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Avaliação global de matemática 7º ano dezembroMoesio Alves
Este documento é uma avaliação parcial de matemática com 7 questões sobre geometria e área de figuras planas. As questões incluem identificar a medida mais próxima de um ponto a uma reta, calcular a quantidade de lajotas necessárias para forrar uma sala, determinar a área resultante de agrupar retângulos e identificar frações de áreas de figuras.
O documento contém uma lista de exercícios de matemática sobre números racionais com 8 questões. Os alunos devem calcular valores de expressões algébricas, somar resultados, dividir e calcular frações, resolver expressões e equações.
O documento discute intervalos reais, definindo-os como subconjuntos da reta real delimitados por desigualdades. Intervalos podem ser fechados, abertos ou semiabertos dependendo se incluem ou não os extremos, e são representados graficamente e por notação matemática. Exemplos ilustram como realizar operações com intervalos como interseção, união e diferença.
Este documento fornece uma lista de exercícios de logaritmo com as seguintes informações essenciais:
1) Pede para calcular valores de N e resolver equações logarítmicas analisando condições de existência.
2) Apresenta exercícios para analisar condições de existência de logaritmos.
3) Fornece uma expressão logarítmica para calcular o valor de E.
1. Determina as condições para que denominadores de frações algébricas não sejam nulos.
2. Simplifica a fração 1a25/b62a30 para a = -1 e b = 4, obtendo o valor 4.
3. Indica que Carol e Luís foram os únicos alunos a simplificarem corretamente as frações algébricas.
1. O documento contém uma lista de exercícios sobre radicais. Inclui cálculos, simplificações e operações com radicais.
2. São propostos problemas envolvendo extração de raiz quadrada, cubica e outras potências de radicais, representação em forma de potência fracionária, multiplicação, divisão e outras operações.
3. Também inclui questões sobre perímetro de figuras e valor numérico de expressões algébricas envolvendo radicais.
O documento apresenta exemplos resolvidos e exercícios propostos de equações biquadradas. Quatro exemplos são resolvidos passo a passo, reduzindo a equação biquadrada a uma equação quadrática e encontrando as raízes. Cinco exercícios são propostos para o aluno resolver, encontrando as raízes de cada equação biquadrada dada.
Este documento discute as posições relativas entre retas em geometria descritiva. As retas podem ser coplanares ou não coplanares. Retas coplanares podem ser paralelas ou concorrentes, enquanto retas não coplanares são chamadas de reversas. Vários exemplos ilustram como determinar se retas são coplanares ou não e, se coplanares, se são paralelas ou concorrentes com base em suas projeções.
O documento apresenta os principais tópicos sobre operações com frações, incluindo frações equivalentes, adição, subtração, multiplicação e divisão de frações. Além disso, explica produtos notáveis como o quadrado da soma e da diferença de termos, cubo da soma e da diferença e a diferença e soma de cubos. A lista de exercícios contém questões sobre esses tópicos.
Geometria de Posição e Métrica - ExercíciosEverton Moraes
Este documento apresenta questões sobre geometria espacial, incluindo conceitos como retas, planos, paralelismo, perpendicularidade e suas relações. As questões abordam a determinação de retas e planos a partir de pontos, as propriedades geométricas de figuras no espaço como cubos, e identificação de afirmações verdadeiras ou falsas sobre os conceitos apresentados.
1) O documento apresenta 7 exercícios sobre funções afins e lineares. Os exercícios 1-5 pedem para representar graficamente funções, determinar raízes/zeros de equações e valores de funções para entradas específicas. Os exercícios 6-7 pedem para analisar propriedades e o gráfico de uma função linear específica, como crescimento, zero, interseção com eixo y e valores de x.
1) O documento apresenta 17 situações-problema envolvendo equações do segundo grau. Os problemas abordam temas como raízes, determinação de valores desconhecidos, áreas de figuras geométricas e torneios esportivos.
2) As questões devem ser resolvidas calculando o discriminante, raízes ou outros elementos algébricos para determinar valores como comprimentos, áreas e números de times ou partidas.
3) A resolução envolve passos como isolamento da incógnita, fatoração, raiz quadrada e substituição para che
Este documento contiene una lista de ejercicios de ecuaciones de primer grado. Incluye 16 problemas de resolución de ecuaciones, con sus respectivas respuestas. El documento proporciona ejemplos para que los estudiantes practiquen la resolución de ecuaciones de primer grado, incluyendo ecuaciones con una incógnita, fracciones y paréntesis.
1. O documento contém vários exercícios sobre ângulos, triângulos e polígonos regulares. Inclui cálculos de medidas de ângulos, classificação de triângulos, casos de congruência e propriedades de polígonos.
1) O documento apresenta 11 exercícios de frações algébricas. Os exercícios envolvem simplificar, escrever de forma equivalente e realizar operações com frações.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação. Nos exercícios 1 e 2, pede-se para calcular potências e observar os resultados. Nos exercícios 3 a 5, requer-se resolver potências passo a passo e simplificar expressões usando propriedades da potenciação. Nos exercícios 6 e 7, solicita-se simplificar expressões e resolver problemas usando potências de mesma base. Finalmente, o exercício 8 pede para transformar expressões em radicais.
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre matrizes, incluindo:
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que organiza dados de forma estruturada;
2) Cada elemento de uma matriz tem uma posição definida por sua linha e coluna;
3) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais e nulas.
1. O documento apresenta 30 problemas envolvendo operações com matrizes como soma, subtração, multiplicação, transposição e determinação de elementos específicos. Os problemas abordam também equações matriciais e propriedades de matrizes como simetria e antissimetria.
2. São solicitados cálculos e determinações de elementos, matrizes resultantes de operações, resolução de equações matriciais e verificação de propriedades de matrizes dadas.
3. Os problemas devem ser resolvidos determinando os valores, elementos ou matrizes solicitados nos en
Este documento contém 16 questões sobre matrizes e sistemas de equações lineares. A maioria das questões pede para calcular determinantes, resolver sistemas ou analisar propriedades de matrizes.
O documento descreve matrizes, incluindo sua definição, notação e exemplos. Ele apresenta uma matriz genérica A de tamanho m x n e resolve um exercício definindo explicitamente os elementos de uma matriz 2 x 3 com base em uma fórmula dada. Por fim, apresenta atividades que envolvem interpretar e representar matrizes com base em suas definições.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo sua definição, tipos de matrizes e suas propriedades. É introduzido o conceito de matriz como uma tabela de números e são descritos os tipos especiais de matrizes como matriz quadrada, triangular, diagonal e identidade.
O documento apresenta os gabaritos preliminares para o concurso público de 2012 do Ministério Público do Estado do Mato Grosso do Sul para os cargos de analista em diversas áreas, incluindo direito, economia e biologia. Os gabaritos estão organizados por cor de teste e especialidade, com as respostas corretas para as questões de conhecimentos básicos e específicos.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)Pedro Povoleri
As matrizes foram inicialmente utilizadas pelo matemático inglês James Sylvester em meados do século XIX. Seu colega Arthur Cayley definiu operações básicas entre matrizes. O matemático alemão Gotthold Eisenstein contribuiu para o desenvolvimento da multiplicação matricial.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que representa elementos ordenados.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, nulas e transpostas.
3) Podemos realizar operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação seguindo regras de ordem das linhas e colunas.
Este documento fornece um resumo sobre funções do 2o grau. Em três frases ou menos:
A função do 2o grau é definida pela expressão y=ax2+bx+c, onde a, b e c são constantes. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, cujo vértice pode ser encontrado calculando -b/2a. O sinal de a determina se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
1) O documento apresenta uma lista de 56 exercícios sobre matrizes e determinantes, incluindo construção de matrizes, cálculo de determinantes, resolução de equações matriciais e outras operações com matrizes.
Este documento fornece informações sobre razão, proporção, porcentagem e regra de três. Explica como calcular razões e proporções entre números e como resolver problemas usando esses conceitos matemáticos. Também apresenta exemplos e exercícios para treinar o uso dessas técnicas.
Este documento apresenta as resoluções de sete questões sobre matrizes e determinantes. A primeira questão trata da ordem de uma expressão matricial resultante de uma série de produtos de matrizes. A segunda questão pede para igualar uma matriz produto a outra dada. A terceira questão calcula o produto de elementos de uma matriz resultante da soma de outras duas. As demais questões calculam determinantes de matrizes dadas ou relacionadas a elas.
Material elaborado para a disciplina de Matemática Básica dos cursos de administração e ciências contábeis da Faculdade Salesiana de Vitória / ES - 2013_01
1) As matrizes surgiram na China antiga e o termo "matriz" foi introduzido por Sylvester em 1850.
2) Matrizes são usadas em imagens digitais e planilhas.
3) Uma matriz pode ser representada de três formas: colchetes, parênteses ou barra dupla.
1. O documento apresenta três problemas de matemática relacionados a área de figuras planas e volume de sólidos.
2. No primeiro problema, de nível fácil, é calculada a área de um paralelogramo. No segundo, de nível médio, calcula-se a área de um trapézio. No terceiro, de nível difícil, calcula-se a área de um losango.
3. O segundo documento apresenta problemas de volume de diferentes sólidos como prisma, pirâmide, cilindro e cone. Nos problemas de nível fácil e mé
1) O documento resume os principais conteúdos de Matemática do 7o e 8o ano, incluindo teorema de Pitágoras, funções, semelhança de triângulos e estatística.
2) Fornece detalhes sobre como aplicar o teorema de Pitágoras e os critérios de semelhança de triângulos na resolução de problemas.
3) Discutem conceitos como múltiplos e divisores, potências, notação científica, lugares geométricos e medidas estatísticas.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
Perguntas para o ensino fundamental maiorFábio Brito
Este documento contém 896 questões de Matemática dos 5o ao 8o ano para preparar avaliações, simulados ou questões extras. Fornece também os contatos dos professores que elaboraram as questões.
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
A função do 2o grau é definida por y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As coordenadas do vértice e as raízes da função podem ser determinadas a partir dos valores de a, b e c.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e exemplos. Resume os principais conceitos de matrizes como tabelas com linhas e colunas para organizar dados, indicando elementos individuais e realizando operações como soma, subtração e multiplicação.
O documento apresenta uma introdução às matrizes, definindo-as como conjuntos de elementos ordenados por linhas e colunas. Explica como representar matrizes de diferentes tamanhos, como ler elementos específicos e apresenta exemplos numéricos. Também discute matrizes especiais como identidade, transposta e simétrica.
1) Um cientista registrou as temperaturas de uma região durante os primeiros 4 dias de junho em uma tabela.
2) A tabela é um exemplo de uma matriz, que organiza dados em linhas e colunas.
3) O documento explica conceitos básicos sobre matrizes como adição, subtração e multiplicação.
1) Um cientista registrou as temperaturas de uma região durante os primeiros 4 dias de junho em uma tabela.
2) A tabela é um exemplo de uma matriz, que organiza dados em linhas e colunas.
3) O documento explica conceitos básicos sobre matrizes como adição, subtração e multiplicação.
Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que contém elementos. O documento explica que uma matriz pode ser classificada de acordo com sua forma (retangular, quadrada, coluna ou linha) e natureza dos elementos (real, complexa, nula, triangular superior/inferior, diagonal, escalar, simétrica ou densa). Observações importantes sobre diagonais principais e secundárias são fornecidas para matrizes quadradas.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo:
1) Definição de matrizes, dimensões e elementos.
2) Tipos de matrizes como nula, quadrada, diagonal, identidade e transposta.
3) Operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação por uma constante.
O documento descreve os principais conceitos relacionados a matrizes, incluindo: (1) o que é uma matriz e suas representações; (2) igualdade e tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; e (3) operações básicas como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
O documento descreve os principais conceitos relacionados a matrizes, incluindo: (1) o que é uma matriz e suas representações; (2) igualdade e tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular; (3) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação e operações. É descrito como João e Maria obtiveram notas em diferentes matérias e como essas informações podem ser organizadas em matrizes. Também são explicados conceitos como produto de matrizes, matriz identidade e propriedades de operações com matrizes.
O documento introduz o conceito de matrizes, definindo-as como tabelas que relacionam dados numéricos de forma lógica. É explicado o que é uma matriz, sua ordem e elementos, apresentando exemplos de matrizes especiais como quadradas e identidade. Por fim, são descritas operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação por um número.
A matriz é um conjunto numérico disposto em linhas e colunas. O documento explica os conceitos de matriz, incluindo matriz quadrada, linha, coluna, elementos, transposta e operações como adição. Há também exercícios para fixar os conceitos ensinados.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantesPedro Povoleri
As matrizes foram utilizadas pela primeira vez pelo matemático e advogado inglês James Sylvester em 1848. Seu colega também inglês Arthur Cayley instituiu algumas operações básicas entre as matrizes em 1858. A multiplicação matricial deveu-se ao matemático alemão Gotthold Eisenstein.
1. O documento define e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes, incluindo matrizes especiais como matrizes nulas, diagonais, identidade e transpostas.
2. São descritas regras para representar elementos de uma matriz usando índices e para verificar igualdade entre matrizes.
3. Uma lista de exercícios é fornecida para praticar conceitos como escrever matrizes com elementos definidos por funções dos índices, calcular traços, transpor e igualar matrizes.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, definindo-as como tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes podem ser somadas e multiplicadas, seguindo regras específicas, e apresenta exemplos ilustrativos dessas operações.
Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.WillOliveira20
Este documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo definição, representação, ordem, tipos especiais como matrizes quadradas e diagonais, e igualdade de matrizes. Também fornece exemplos e questões sobre o assunto.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Apresenta conceitos básicos de matrizes como definição, tipos, operações e inversa. Também aborda determinantes e como representar sistemas de equações lineares na forma matricial.
1. O documento discute conceitos básicos de matrizes, incluindo definição, representação algébrica, tipos especiais de matrizes como quadrada e identidade, e operações como adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes.
2. São apresentados exemplos ilustrativos de como representar e calcular matrizes.
3. As principais operações com matrizes discutidas são adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes, além de conceitos como matriz inversa e transposta.
O documento discute questões sobre geometria e matemática aplicadas a situações reais como navios, danças folclóricas e construção de galinheiros. Inclui gráficos e figuras para ilustrar os problemas apresentados.
1) O documento discute os conceitos básicos da termodinâmica, incluindo a história da máquina térmica, definições de energia, as leis da termodinâmica e exemplos de máquinas térmicas como a máquina de Watt e turbinas a vapor.
2) A Segunda Lei da Termodinâmica estabelece que é impossível construir uma máquina térmica que converta todo o calor em trabalho. Máquinas térmicas sempre terão alguma perda de calor para o me
1) O magnetismo resulta da propriedade da magnetita de atrair objetos ferrosos à distância.
2) A magnetita é um mineral magnético natural formado por óxidos de ferro.
3) Ímãs artificiais podem ser feitos de ferro ou ligas de ferro e imantados por indução ou atrito com um ímã natural.
O documento apresenta 10 exercícios de física sobre o movimento dos planetas ao redor do Sol. Os exercícios abordam conceitos como órbitas elípticas, velocidades e períodos de translação em diferentes distâncias do Sol. Calculam também áreas varridas na órbita da Terra e determinam períodos de outros planetas usando a lei dos períodos planetários.
A Lei de Coulomb descreve que a força entre duas partículas carregadas é diretamente proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Charles-Augustin de Coulomb formulou esta lei em 1785 através de experimentos usando uma balança de torção de sua invenção.
O documento descreve o estudo da eletrostática e conceitos relacionados à eletricidade. Aborda tópicos como a existência da eletricidade na natureza e no corpo humano, os processos de eletrização, a carga elétrica e sua unidade de medida no Sistema Internacional, além de apresentar exemplos de questões sobre o tema.
O documento discute os três principais mecanismos de transmissão de calor: condução, convecção e radiação. A condução ocorre através do contato direto entre partículas, a convecção envolve o movimento de fluidos, e a radiação se refere à transmissão por ondas eletromagnéticas.
O documento apresenta uma revisão de matemática com 7 questões sobre geometria espacial (pirâmides e tetraedros), sistemas de equações, determinantes e equações de 1o e 2o grau. As questões incluem cálculos de áreas, volumes, resolução de sistemas algébrica e graficamente e uso da regra de Cramer.
O documento discute acústica, especificamente sobre a produção, transmissão e propriedades do som. O som é definido como uma onda mecânica longitudinal que requer um meio material para se propagar. A velocidade do som varia de acordo com o meio, sendo mais rápida em sólidos e mais lenta em gases. O som humanamente audível possui frequências entre 20-20.000 Hz.
O documento descreve a história da descoberta da energia nuclear, incluindo a descoberta dos raios-X por Roentgen, a descoberta da radioatividade por Becquerel e Curie, e a descoberta das radiações alfa, beta e gama. Também discute os processos de fissão e fusão nuclear e o desenvolvimento da energia nuclear para geração de energia em usinas nucleares.
O pulso é uma perturbação que se propaga através de um meio transportando energia, sem transportar matéria. A velocidade de propagação de um pulso depende da densidade do meio e da força de tração. As ondas mecânicas dependem de um meio material para se propagarem.
O documento discute conceitos gerais sobre luz, incluindo:
1) A luz é uma onda eletromagnética que se propaga a 300.000 km/s no vácuo.
2) A luz é composta por diferentes comprimentos de onda que correspondem às cores visíveis.
3) A velocidade, comprimento de onda e frequência da luz estão relacionados pela equação da velocidade da luz.
O documento apresenta definições e propriedades geométricas do cone circular reto, incluindo suas partes constituintes, fórmulas para calcular área total, área lateral e volume. Há também exemplos resolvidos de cálculos envolvendo estas grandezas para diferentes cones retos.
O documento discute conceitos gerais sobre luz, incluindo:
1) A luz é uma onda eletromagnética que se propaga a 300.000 km/s no vácuo.
2) A luz é composta por diferentes cores correspondentes a diferentes comprimentos de onda.
3) O espectro eletromagnético inclui radiações além da luz visível percebida pelo olho humano.
O documento apresenta 11 exercícios de matemática envolvendo cálculos geométricos e de progressões aritméticas. Os exercícios incluem cálculos de número de arestas, faces e vértices de poliedros, áreas e volumes de prisma triangular e quadrangular, soma de termos de PAs, e determinação de medidas a partir de informações sobre volume.
O documento discute os conceitos fundamentais da dinâmica, incluindo forças, tipos de forças e as três leis de Newton. Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos e discute a importância da força e do equilíbrio no estudo do movimento.
O documento discute a história da termodinâmica e da mecânica como campos distintos da ciência até experimentos no século 19 demonstrarem que a energia pode ser transferida através do calor e do trabalho, levando ao tratamento moderno da energia interna como podendo ser transformada entre formas mecânicas e térmicas.
1. Um prisma pode ser reto ou oblíquo. Um prisma regular tem bases polígonos regulares e faces retangulares.
2. O documento fornece fórmulas para calcular a área da base, área lateral e área total de prisma, bem como o volume. Exemplos mostram cálculos para prisma triangular, quadrangular e hexagonal.
O documento apresenta 12 exercícios sobre cálculo de áreas, volumes e diagonais de paralelepípedos retângulos e cubos. Os exercícios envolvem determinar medidas como diagonais, áreas totais e volumes a partir de informações como dimensões das arestas, diagonais ou áreas das faces.
1. O documento descreve as características e propriedades de paralelepípedos e cubos. Um paralelepípedo é um poliedro de seis faces, com três pares de faces paralelas. Se as bases forem retangulares, é chamado de paralelepípedo retângulo.
2. Um cubo é um paralelepípedo especial onde todas as arestas são congruentes, formando seis faces quadradas iguais. Sua fórmula de volume é V=a3, onde a é o comprimento de uma aresta.
3
3. O colégio Tales distribui, durante o ano
letivo, 100 pontos por matéria. O quadro a
seguir mostra os totais de pontos obtidos por
Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos
de 2006 e 2007.
Ana Carlos Pedro
2006 80 75 72,5
2007 76 82,5 78
Quadros como esses ajudam a organizar
dados. Fica mais fácil analisá-los, combiná-los
com outros.
4. Foi o matemático inglês, James Joseph,
Sylvester, quem usou pela primeira vez esta
forma de trabalhar com um conjunto de
informações, dispondo-as em linhas e colunas
em uma tabela.
A um quadro desse tipo, damos o nome de
Matriz. Cada número que o constitui é um
elemento da matriz.
O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto
é, possui 2 linhas e 3 colunas.
5. Matriz
Podemos dizer que uma matriz é uma
tabela com colunas (vertical) e linhas
(horizontal). Então chamamos de matriz
toda tabela m x n sendo que m e n
podem assumir qualquer valor natural
menos o zero. Sendo que m é o número
de linhas e n o número de colunas.
Para representar uma matriz devemos
colocar as linhas e colunas entre
parênteses, chaves ou entre duas barras
duplas, veja alguns exemplos:
6. Para nomear matrizes, usamos letras
latinas maiúsculas. Seus elementos
ficam dentro de parênteses ou
colchetes.
Exemplo
80 75 72,5
80 75 72,5
A= ou A =
76 85,2 78
76 82,5 78
7. Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas.
Dizemos que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três)
ou, simplesmente, uma matriz 2 x 3.
80 75 72,5 → 1ª linha
A =
76 82,5 78 → 2ª linha
1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna
Nossa matriz é indicada por A2x3.
8. Observe que em cada matriz dos
exemplos à esquerda, tem ao lado
indicando o número de linhas e o de
colunas da matriz, o primeiro
exemplo esta indicado 2 x 3 que lê
assim a matriz é de ordem dois por
três.
Se pegarmos uma matriz qualquer
de ordem m x n, como iríamos
representá-la?
Cada elemento de uma matriz
pertence a uma linha e uma
coluna. Dada a matriz de ordem 3
x 2:
9.
10. De maneira geral, indicamos um elemento de
uma matriz por uma letra minúscula,
acompanhada de dois índices, que definem sua
posição na matriz.
Um elemento genérico da matriz A é
indicado assim:
i indica a linha do elemento
aij j indica a coluna do elemento
11. a11 ; a21 ; a12 ; a22 são
elementos da matriz
de ordem 2 x 2 (duas
linhas e duas colunas).
Então o elemento a21
pertence a 2ª linha e
1º coluna.
12. O elemento - 5 pertence a
1ª linha e a 1ª coluna.
O elemento 2 pertence a
2ª linha e 2ª coluna.
Pararepresentarmos uma matriz de
ordem 2 x 2 onde não temos seus
elementos definidos, representamos da
seguinte forma:
13. Se m e n são dois números naturais positivos,
chama-se matriz do tipo m x n todo quadro
formado por m.n números reais, dispostos de
forma ordenada em m linhas e n colunas.
Uma matriz genérica Am x n pode ser representada
assim:
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
A =
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
De forma simplificada, temos A = [aij]m x n
14. Na matriz A representada a seguir, cada
elemento aij indica a média, em
Matemática, da turma i no bimestre j.
Identificar o tipo de matriz e obter a
média da turma 2 no 3.º bimestre e a
média da turma 3 no 4.º bimestre.
6,2 8,3 9 7,4
A = 8 7,3 8,7 6,5
7,2 8,1 6,9 7
A3 x 2. a23 = 8,7 a34 = 7
19. Construir a matriz B = (bij)2x2, tal que
bij = 2i + j, se i ≥ j
ji , se i < j b11 b12
B=
b21 b22
b11 = 2.1 + 1 = 3
b12 = 21 = 2 3 2
B=
b21 = 2.2 + 1 = 5 5 6
b22 = 2.2 + 2 = 6
20. Exemplo:
Escreva a matriz A = (a
A matriz A é de ordem 2 x 3,
então podemos escrevê-la assim:
( i j)2 x 3 tal que aij = 2i + j.
21. Agora os números que ocuparam o lugar de:
a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da
equação dada no enunciado: aij = 2i + j.
Então iremos calcular cada elemento
sabendo que:
i é a linha que o elemento pertence.
j é a coluna que o elemento pertence.
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1
a11 = 3 a21 = 5
a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2
a12 = 4 a22 = 6
a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3
a =5 a =7
24. 1 – Uma rede é composta por
cinco lojas, numeradas de 1 a
5.
A tabela a seguir apresenta o
faturamento, em dólares, de
cada loja nos quatro primeiros
dias de janeiro:
Cada elemento aij dessa
matriz é o faturamento da
loja i no dia j.
a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?
b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3?
c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias?
25. 2 – Represente explicitamente cada uma das matrizes:
3 – Identifique os tipos de matrizes:
26. 4 – Determine quantos elementos possui uma matriz do
tipo:
a) 1 x 6 b) 4 x 1 c) 3 x 3 d) 3 x 5
5 – É dada a matriz , Identifique os
elementos da:
a) 1ª linha b) 3ª linha c) 4ª linha d) 2ª coluna
6 – Considere a matriz
Determine o valor dos seguintes elementos:
a) b11 b) b21 c) b12
d) b23 e) b32 f) b22
27. 7 – Uma matriz possui quatro elementos. Quais os tipos
possíveis para essa matriz?
8 – Determine a matriz A = (aij)2x3 , tal que:
a) aij = i + 2.j c) aij = 2.i – j
b) aij = i2 + j d) aij = j – 2.i
9 – Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que:
a) aij = 1, se i = j c) aij = i + j, se i = j
0, se i ≠ j - i – j, se i ≠ j
b) aij = 2, se i = j d) aij = i2 , se i = j
-1, se i ≠ j j2 , se i ≠ j
10 – Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por
aij = 3.i – j2 +3.
28. É toda matriz do tipo 1xn(n ∈ R*).
Observe os exemplos:
30. Uma matriz que tem apenas uma linha é
chamada de matriz linha. Uma matriz que
tem somente uma coluna é denominada de
matriz coluna.
Exemplos
–1 2 5 É uma matriz linha 1 x 3.
3
É uma matriz coluna 2 x 1.
6
31. É Toda matriz quadrada possui duas
diagonais:
• A principal, composta por elementos aij
tais que i=j, isto é:
Toda matriz cujo numero de linhas é igual
ao numero de colunas. Assim, chamamos
matriz quadrada de ordem n toda matriz
do tipo n x n. Exemplos:
32. A secundária, em que os elementos aij
são tais que, i+j = n+1. veja como são as
diagonais de uma matriz quadrada do
tipo 3×3.
33. Chama-se matriz quadrada toda matriz em
que o número de linhas é igual ao de
colunas. O número de linhas (ou colunas) é a
ordem da matriz.
0 3
é matriz quadrada de ordem 2.
–2 5
3 0 –3
7 2 –5
é matriz quadrada de ordem 3.
1 4 0
34. Numa matriz quadrada A =[aij], de ordem n,
chama-se
Diagonal principal o conjunto dos elementos aij
em que i = j;
Diagonal secundária o conjunto dos elementos
aij em que i + j = n + 1;
Diagonal secundária
a11 a12 a13 (i + j = 4)
a21 a22 a23
Diagonal principal
a31 a32 a33 (i = j)
35. É toda matriz do tipo m x n
cujos elementos são todos
nulos. Para indicar uma matriz
nula utiliza-s a notação:
36. Uma matriz que tem os seus elementos
iguais a zero é chamada matriz nula.
Existe uma matriz nula de cada tipo. A
matriz nula pode ser indicada por Om x n.
O = 0 0 0
É uma matriz nula 2 x 3.
0 0 0
0 0
O = É uma matriz nula 2 x 2.
0 0
37. Étoda matriz quadrada em que os
elementos não pertencentes à
diagonal principal são todos nulos.
Por exemplo:
38. É uma matriz quadrada onde aij = 0,
para i ≠ j, isto é, os elementos que não
estão na diagonal principal são nulos.
39. Toda matriz quadrada em que todos os elementos
fora da diagonal principal são iguais a zero é
chamada matriz diagonal.
Chama-se traço de uma matriz quadrada a
soma dos elementos de sua diagonal principal.
½ 0 0
3 0 N=
M= 0 0 0
0 –5
0 0 2
Traço de M é –2. Traço de N é 3/2.
40. Calcule o traço da matriz quadrada A
abaixo, sabendo que ela é matriz diagonal.
x – 2y x–y+6
A=
x + 2y x+y
x + 2y = 0 x + 2y = 0
⇒ +
x–y+6=0 x (2) 2x – 2y + 12 = 0
3x + 12 = 0
⇒ x = –4 e y=2
O traço da matriz é: x – 2y + x + y = 2x – y = –10
41. Chama-se matriz identidade de ordem n a matriz
quadrada indicada In tal que.
Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1;
Todos os outros elementos são iguais a 0;
1 0
I2 = é matriz identidade de ordem 2.
0 1
1 0 0
I3 = 0 1 0 é matriz identidade de ordem 3.
0 0 1
42. Desse modo, se a matriz A é do tipo
m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à
1ª coluna de At e a 2ª linha de A
corresponde à 2ª coluna de At.
43. Veja como podemos apresentar os dados
referente à tabela da introdução de
matrizes.
2006 2007
Ana Carlos Pedro Ana 80 76
2006 80 75 72,5 Carlos 75 82,5
2007 76 82,5 78 Pedro 72,5 78
80 75 72,5 80 76
A= ⇒ B=
76 82,5 78 75 82,5
72,5 78
44. Se A é uma matriz do tipo m x n, chama-se
transposta de A (simbolicamente At), a matriz do
tipo n x m, obtida de A, trocando-se de posição
linhas com colunas, de forma que
A = (aij)m x n ⇒ At = (aji)n x m
2 3
⇒
2 –1 1
A = At =
3 0 –5 –1 0
1 –5
45. matriz quadrada de ordem n tal
que A = At . Por exemplo,
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 =
a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos
sempre a ij = a ij.
46. Toda matriz quadrada que é igual a
sua transposta é chamada matriz
simétrica.
A é simétrica ⇔ A = At
Exemplo 1 –3 5
N = –3 2 –1
5 –1 6
47. Obtenha m, n, e p, para que seja
simétrica a matriz.
3 m+n 2
P=
–1 1 5
m – 2n p+2 0
m + n = –1 m + n = –1 2m + 2n = –2
⇒ ⇒ +
m – 2n = 2 m – 2n = 2 m – 2n = 2
3m = 0
p+2=5 ⇒ p=3 ⇒ m=0 e n = –1
48. Toda matriz quadrada que é igual à
oposta de sua transposta é chamada
matriz anti-simétrica.
A é anti-simétrica ⇔ A = –At
Exemplo
0 3 –5
N = –3 0 –1
5 1 0
49. Complete a matriz para que ela seja
anti-simétrica.
0
.... 2
.... 5
Q =
–2 ....
0 3
....
–5 ....
–3 ....
0
50. matriz -A obtida a partir de A
trocando-se o sinal de todos os
elementos de A.
51. Chama-se oposta de uma matriz A a
matriz representada por –A, cujos
elementos são os opostos dos elementos de
mesma posição em A.
0 –3
A oposta da matriz A = , é a matriz
2 –5
0 3
–A =
–2 5
52.
53. Duas matrizes A = (aij)mxn e B =
(bij)mxn de mesma ordem, são
iguais se, e somente se, aij = bij.
54. Dizemos que duas matrizes A e B são
iguais só se elas são do mesmo tipo e
cada elemento de uma delas é igual
ao elemento de mesma posição da
outra.
Se alguma das condições anteriores
falhar, dizemos que A e B são
matrizes diferentes.
55. Verificar se as matrizes A e B abaixo são
iguais.
2 1 2 1
A = B =
5 4 8 4
8 7 5 7
As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e
têm os mesmos elementos. Elas são
diferentes pois os elementos 5 e 8 ocupam
posições diferentes.
56. Calcular x, y, z e t para que ocorra a
igualdade.
2x –1 4 x+z
y+1 3 =
5 t–y
2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x=2
y+1=5 ⇒ y=4
x + z = –1 ⇒ 2 + z = –1 ⇒ z = –3
t–y=3 ⇒ t–4=3 ⇒ t=7
57.
58. 1 – Determine a, b, c e d para que se tenha
2 – Determine x, y e z que satisfaçam;
3 – Em cada item determine, caso exista, o
número real m que satisfaz a igualdade:
59. 4 – seja A = (aij)2x3, em que aij = i + j. Determine
m, n e p em B =
, a fim de que tenhamos A = B.
5 – Determine os valores de a, b, c, d, e e f que
tornam verdadeira a igualdade:
60.
61. Em certos casos surge a necessidade de
efetuar operações com matrizes.
Adição;
Subtração;
Multiplicação de uma constante real por
uma matriz;
Multiplicação.
62. Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma
constante real, definem-se as seguintes
operações:
Adição de matrizes: A + B é a matriz em que
cada elemento é a soma dos elementos de mesma
posição em A e B.
Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a
soma de A com a oposta de B.
Multiplicação de um número por uma matriz: kA é
a matriz obtida multiplicando-se, por k, cada um
dos elementos de A.
63. A soma de duas matrizes A = (aij)mxn
e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma
matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij.
A subtração de matrizes é dada
pela sentença:
A + B = C
64. Se é um número real, o produto
desse número por uma matriz A =
(aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal
que bij = . aij
70. 9 – Em cada caso determine o valor de elemento a22,
se existir:
10 – Escreva a matriz A = (aij)3x4, em que
aij = 3.i – 2j +1
11 – Determine a matriz B = (bij)4x3, em que
bij = 2 + i2 + j
71. 12 – Determine a soma dos elementos da diagonal
principal de cada matriz quadrada seguinte:
72. 13 – Em cada caso obtenha a transposta da matriz
dada:
73. 14 – Seja A = (aij)3x4, em que aij = 2i + 3j2. Escreva
a matriz At.
.
15 – Qual é o elemento a46 da matriz A = (aij)8x8,
em que aij = ( - 1)i + j. ?
16 – Seja a matriz A = (aij)3x3, em que aij = i.j.
Forneça os elementos que pertencem às diagonais
principal e secundária de A.
17 – Dê a matriz A = (aij)4x3, em que:
aij =
74. 18 – Uma matriz quadrada A é dita simétrica
quando A = At.
a) Sabendo-se que a matriz é simétrica,
qual é o valor de
x + 2y – z ?
b)Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica
quando A = - At . determine os valores de x e y a
fim de que a matriz seja
antiassimétrica
19 – Sejam as matrizes A = (aij)10x12, em que
aij = 2i – j, e B = (bij)10x12, em que bij = i + j.
Seja C = A + B, em que cij = aij + bij. Determine os
elementos:
a) c78 b) c1012
75. 19 – Em um fim de semana, registrou-se o número
de fregueses que fizeram compras em uma padaria,
bem como o período (manhã, tarde ou noite) da
visita.
Na matriz a seguir, o elemento aij
indica o número de fregueses que
foram à padaria no dia i e no
período j.
Sabendo que sábado e domingo correspondem,
respectivamente, os índices 1 e 2 e que manhã, tarde e
noite são representados pelos índices 1, 2 e 3,
respectivamente, determine:
•O número de clientes que a padaria recebeu sábado à
tarde;
O número total de clientes no domingo.
77. Uma empresa fabrica dois produtos A e B, que
podem ser acondicionados nas embalagens E1, E2 e
E3, com 12, 24 ou 30 unidades, respectivamente.
Os quadros abaixo mostram os custos de
fabricação do produto e da embalagem, em cada
caso.
Custo do produto (R$) Custo da embalagem (R$)
A B A B
E1 60 80 E1 2 3
E2 100 130 E2 3 4
E3 120 160 E3 4 6
78. O fabricante quer vender o produto com lucro de
50% sobre o custo do produto, mas não quer obter
lucro no custo da embalagem. Qual será o preço
de venda dos produtos A e B.
60 80 2 3
P = 100 130 E = 3 4
120 160 4 6
O preço de venda é obtido efetuando-se a
operação: 1,5 . P + E
79. V = 1,5 . P + E
60 80 2 3
100 130 E = 3 4
P =
120 160 4 6
1,5.60 1,5.80 90 120
1,5 . P = 1,5.100 1,5.130 = 150 195
1,5.120 1,5.160 180 240
90 120 2 3 92 123
1,5 . P + E = 150 195 + 3 4 = 153 199
180 240 184 246
4 6
81. Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B =
(bij)mxn, o produto da matriz A pela
matriz B, nesta ordem, somente será
possível quando o número de colunas da
matriz A for igual ao número de linhas
da matriz B.
A matriz produto (A x B)mxn terá número de
linhas de A e número de colunas de B.
82. Os elementos da matriz produto são
obtidos multiplicando-se cada elemento
das linhas da matriz A pelo
correspondente elemento das colunas da
matriz B e adicionando os produtos
obtidos.
Vamos multiplicar a matriz
para entender como se obtém cada Cij:
83.
84.
85.
86.
87. Assim ,
Observe que:
Portanto , A, ou seja, para a multiplicação de
matrizes não
vale a propriedade comutativa.
88. Da definição, temos que a matriz produto A . B
só existe se o número de colunas de A for igual ao
número de linhas de B:
89. A matriz produto terá o número de
linhas de A (m) e o número de colunas
de B(n):
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o
produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
92. 31 – Sejam as matrizes:
Determine se existir:
a) A.B d) Bt.C
b) B.A e) B.At
c) A.C f) (3.A).B
93. Encontre os valores de x e y, para que a
matriz M abaixo seja nula.
x2 – 1 x2 – x – 2
M =
x 2 – y2 x + y
x2 – 1 = 0 ⇒ x = ±1
x2 – x – 2 = 0 ⇒ x = –1 ou x = 2
x2 – y2 = 0
x+y=0 ⇒ x = –y
⇒ x = –1 e y = 1
94. Toda matriz quadrada na qual são nulos
todos os elementos situados num mesmo
lado da diagonal principal.
Exemplos
3 1 ½ 7 3
A =
0 –5 B = 0 –2 1
0 0 2
95.
96. Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
–5 0 B = 1 –3
A = –1 4 2 1
A matriz X deve ser do mesmo tipo de
A e B. X=
x y
z t
x y –5 0 1 –3
3.X – A = 2B ⇒ 3. – = 2.
z t –1 4 2 1
97. Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
–5 0 1 –3
A= B=
–1 4 2 1
Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem
equações algébricas. Veja.
1
3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B ⇒ X= (A + 2B)
3
–5 0 2 –6 –3 –6
A + 2B = + =
–1 4 4 2 3 6
98. Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
–5 0 1 –3
A= B=
–1 4 2 1
Equações como essa podem ser resolvidas, também,
como se fossem equações algébricas. Veja.
3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B
⇒
X = 1 (A + 2B)
3
1 –3 –6 –1 –2
X = = 1 2
3 3 6