SlideShare uma empresa Scribd logo
Fabiana de Sousa Santos Gonçalves
Matriz   alunos
O colégio Tales distribui, durante o ano
 letivo, 100 pontos por matéria. O quadro a
 seguir mostra os totais de pontos obtidos por
 Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos
 de 2006 e 2007.
                   Ana      Carlos     Pedro
       2006        80         75        72,5
       2007        76        82,5        78
 Quadros como esses ajudam a organizar
  dados. Fica mais fácil analisá-los, combiná-los
  com outros.
Foi o matemático inglês, James Joseph,
 Sylvester, quem usou pela primeira vez esta
 forma de trabalhar com um conjunto de
 informações, dispondo-as em linhas e colunas
 em uma tabela.

A um quadro desse tipo, damos o nome de
 Matriz. Cada número que o constitui é um
 elemento da matriz.

O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto
 é, possui 2 linhas e 3 colunas.
 Matriz
Podemos dizer que uma matriz é uma
 tabela com colunas (vertical) e linhas
 (horizontal). Então chamamos de matriz
 toda tabela m x n sendo que m e n
 podem assumir qualquer valor natural
 menos o zero. Sendo que m é o número
 de linhas e n o número de colunas.
 Para representar uma matriz devemos
 colocar as linhas e colunas entre
 parênteses, chaves ou entre duas barras
 duplas, veja alguns exemplos:
Para nomear matrizes, usamos letras
 latinas maiúsculas. Seus elementos
 ficam dentro de parênteses ou
 colchetes.
  Exemplo


                                 80   75     72,5
     80   75     72,5
A=                      ou A =
                                 76   85,2   78
     76   82,5   78
Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas.
 Dizemos que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três)
 ou, simplesmente, uma matriz 2 x 3.

           80    75    72,5    → 1ª linha
    A =
           76   82,5   78       → 2ª linha



 1ª coluna      2ª coluna     3ª coluna
  Nossa matriz é indicada por A2x3.
Observe que em cada matriz dos
exemplos à esquerda, tem ao lado
indicando o número de linhas e o de
colunas da matriz, o primeiro
exemplo esta indicado 2 x 3 que lê
assim a matriz é de ordem dois por
três.



Se pegarmos uma matriz qualquer
de ordem m x n, como iríamos
representá-la?
Cada elemento de uma matriz
pertence a uma linha e uma
coluna. Dada a matriz de ordem 3
x 2:
Matriz   alunos
De maneira geral, indicamos um elemento de
 uma matriz por uma letra minúscula,
 acompanhada de dois índices, que definem sua
 posição na matriz.

 Um elemento genérico da matriz A é
  indicado assim:

                 i indica a linha do elemento
   aij            j indica a coluna do elemento
a11 ; a21 ; a12 ; a22 são
elementos da matriz
de ordem 2 x 2 (duas
linhas e duas colunas).




                       Então o elemento a21
                       pertence a 2ª linha e
                       1º coluna.
O elemento - 5 pertence a
1ª linha e a 1ª coluna.
O elemento 2 pertence a
2ª linha e 2ª coluna.

 Pararepresentarmos uma matriz de
 ordem 2 x 2 onde não temos seus
 elementos definidos, representamos da
 seguinte forma:
 Se m e n são dois números naturais positivos,
   chama-se matriz do tipo m x n todo quadro
   formado por m.n números reais, dispostos de
   forma ordenada em m linhas e n colunas.
 Uma matriz genérica Am x n pode ser representada
  assim:
                    a11 a12 a13        ...   a1n
                     a21   a22   a23   ...   a2n
             A =
                     ...   ...   ...   ...   ...
                     am1   am2   am3   ...   amn



 De forma simplificada, temos A = [aij]m x n
Na matriz A representada a seguir, cada
 elemento    aij  indica  a   média,  em
 Matemática, da turma i no bimestre j.
 Identificar o tipo de matriz e obter a
 média da turma 2 no 3.º bimestre e a
 média da turma 3 no 4.º bimestre.
              6,2 8,3       9   7,4
        A =    8   7,3 8,7 6,5
              7,2 8,1 6,9       7

  A3 x 2.     a23 = 8,7         a34 = 7
Na matriz A exemplificada, temos

       A=
             80   75     72,5

             76   82,5    78

 a11 = 80    a12 = 75          a13 = 72,5
  a21 = 76  a = 82,5
               22                a23 = 78
Matriz   alunos
Uma      matriz     pode    ser
 definida, indicando-se seu tipo
 e uma fórmula para o cálculo
 de cada elemento aij, em
 função de i e j.
Construir a matriz A = (aij)3x2, em
 que aij = 3i – j.
                 a11 a12              2    1
         A=      a21 a22       A =    5    4
                 a31 a32              8    7
    aij = 3i – j
   a11 = 3.1 – 1 = 2       a12 = 3.1 – 2 = 1

   a21 = 3.2 – 1 = 5       a22 = 3.2 – 2 = 4
   a31 = 3.3 – 1 = 8       a32 = 3.3 – 2   =7
Construir a matriz B = (bij)2x2, tal que


  bij =   2i + j, se i ≥ j
          ji , se i < j           b11   b12
                             B=
                                  b21   b22

  b11 =    2.1 + 1 = 3
  b12 =    21 = 2                       3 2
                                  B=
  b21 =    2.2 + 1 = 5                  5 6
  b22 =    2.2 + 2 = 6
Exemplo:
  Escreva a matriz A = (a
  A matriz A é de ordem 2 x 3,
  então podemos escrevê-la assim:
( i j)2 x 3 tal que aij = 2i + j.
 Agora   os números que ocuparam o lugar de:
 a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da
 equação dada no enunciado: aij = 2i + j.
 Então iremos calcular cada elemento
 sabendo que:
 i é a linha que o elemento pertence.
 j é a coluna que o elemento pertence.

 a11 = 2 . 1 + 1        a21 = 2 . 2 + 1
 a11 = 3                  a21 = 5

 a12 = 2 . 1 + 2        a22 = 2 . 2 + 2
 a12 = 4                 a22 = 6
 a13 = 2 . 1 + 3        a23 = 2 . 2 + 3
 a =5                    a =7
Então os elementos que pertencem
 a matriz A são:
Matriz   alunos
1 – Uma rede é composta por
cinco lojas, numeradas de 1 a
5.
A tabela a seguir apresenta o
faturamento, em dólares, de
cada loja nos quatro primeiros
dias de janeiro:


                            Cada elemento aij dessa
                            matriz é o faturamento da
                            loja i no dia j.

a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?
b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3?
c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias?
2 – Represente explicitamente cada uma das matrizes:




3 – Identifique os tipos de matrizes:
4 – Determine quantos elementos possui uma matriz do
tipo:
a) 1 x 6      b) 4 x 1       c) 3 x 3        d) 3 x 5


5 – É dada a matriz                       , Identifique os
elementos da:

a) 1ª linha   b) 3ª linha   c) 4ª linha      d) 2ª coluna


6 – Considere a matriz

Determine o valor dos seguintes elementos:
a) b11         b) b21           c) b12
d) b23        e) b32            f) b22
7 – Uma matriz possui quatro elementos. Quais os tipos
possíveis para essa matriz?

8 – Determine a matriz A = (aij)2x3 , tal que:
a) aij = i + 2.j       c) aij = 2.i – j
b) aij = i2 + j        d) aij = j – 2.i

9 – Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que:

a) aij =     1, se i = j        c) aij =    i + j, se i = j
             0, se i ≠ j                     - i – j, se i ≠ j

b) aij =    2,   se i = j        d) aij =    i2 ,   se i = j
           -1,   se i ≠ j                    j2 ,   se i ≠ j

10 – Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por
 aij = 3.i – j2 +3.
É toda matriz do tipo 1xn(n ∈ R*).



Observe   os exemplos:
É   toda matriz do tipo mx1(m R*).
Uma matriz que tem apenas uma linha é
 chamada de matriz linha. Uma matriz que
 tem somente uma coluna é denominada de
 matriz coluna.
     Exemplos
    –1   2   5   É uma matriz linha 1 x 3.



    3
         É uma matriz coluna 2 x 1.
    6
É Toda matriz quadrada possui duas
 diagonais:
 • A principal, composta por elementos aij
 tais que i=j, isto é:




 Toda matriz cujo numero de linhas é igual
 ao numero de colunas. Assim, chamamos
 matriz quadrada de ordem n toda matriz
 do tipo n x n. Exemplos:
A secundária, em que os elementos aij
são tais que, i+j = n+1. veja como são as
diagonais de uma matriz quadrada do
tipo 3×3.
Chama-se matriz quadrada toda matriz em
 que o número de linhas é igual ao de
 colunas. O número de linhas (ou colunas) é a
 ordem da matriz.
        0        3
                         é matriz quadrada de ordem 2.
        –2       5

    3        0       –3

    7        2       –5
                            é matriz quadrada de ordem 3.
    1        4       0
Numa matriz quadrada A =[aij], de ordem n,
 chama-se
 Diagonal principal o conjunto dos elementos aij
  em que i = j;
 Diagonal secundária o conjunto dos elementos
  aij em que i + j = n + 1;
                            Diagonal secundária
       a11 a12 a13                  (i + j = 4)
       a21 a22 a23
                              Diagonal principal
       a31 a32 a33                 (i = j)
   É toda matriz do tipo m x n
    cujos elementos são todos
    nulos. Para indicar uma matriz
    nula utiliza-s a notação:
Uma matriz que tem os seus elementos
 iguais a zero é chamada matriz nula.
 Existe uma matriz nula de cada tipo. A
 matriz nula pode ser indicada por Om x n.

O = 0          0   0
                       É uma matriz nula 2 x 3.
       0       0   0

           0       0
 O =                   É uma matriz nula 2 x 2.
           0       0
Étoda matriz quadrada em que os
elementos não pertencentes à
diagonal principal são todos nulos.
Por exemplo:
É uma matriz quadrada onde aij = 0,
 para i ≠ j, isto é, os elementos que não
 estão na diagonal principal são nulos.
Toda matriz quadrada em que todos os elementos
 fora da diagonal principal são iguais a zero é
 chamada matriz diagonal.

 Chama-se traço de uma matriz quadrada a
  soma dos elementos de sua diagonal principal.

                                        ½     0    0
                  3        0   N=
          M=                            0     0    0
                  0    –5
                                        0     0    2

        Traço de M é –2.            Traço de N é 3/2.
Calcule   o  traço    da   matriz    quadrada                           A
 abaixo, sabendo que ela é matriz diagonal.

                                x – 2y       x–y+6
                      A=
                                x + 2y          x+y

         x + 2y = 0                             x + 2y = 0
                                         ⇒                           +
         x–y+6=0             x (2)              2x – 2y + 12 = 0
                                                 3x + 12 = 0
      ⇒ x = –4        e     y=2

     O traço da matriz é:            x – 2y + x + y      = 2x – y   = –10
 Chama-se matriz identidade de ordem n a matriz
  quadrada indicada In tal que.

      Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1;


      Todos os outros elementos são iguais a 0;

             1     0
     I2 =                é matriz identidade de ordem 2.
             0     1

             1     0     0
     I3 =    0     1     0    é matriz identidade de ordem 3.

             0     0     1
Desse modo, se a matriz A é do tipo
 m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à
1ª coluna de At e a 2ª linha de A
corresponde à 2ª coluna de At.
Veja como podemos apresentar os dados
 referente à tabela da introdução de
 matrizes.
                                               2006     2007
          Ana    Carlos   Pedro        Ana     80       76
  2006    80      75       72,5       Carlos   75       82,5
  2007    76     82,5      78         Pedro    72,5     78

            80     75     72,5                   80      76
     A=                           ⇒       B=
            76    82,5    78                     75      82,5

                                                 72,5    78
Se A é uma matriz do tipo m x n, chama-se
 transposta de A (simbolicamente At), a matriz do
 tipo n x m, obtida de A, trocando-se de posição
 linhas com colunas, de forma que

        A = (aij)m x n   ⇒          At = (aji)n x m

                                     2 3
                         ⇒
           2   –1   1
  A =                        At =
           3   0    –5               –1 0
                                     1 –5
matriz quadrada de ordem n tal
 que A = At . Por exemplo,




é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 =
a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos
sempre        a ij = a ij.
Toda matriz quadrada que é igual a
 sua transposta é chamada matriz
 simétrica.
            A é simétrica ⇔ A = At

 Exemplo          1   –3   5
           N =   –3   2    –1
                  5   –1   6
Obtenha m, n, e                   p,       para      que       seja
 simétrica a matriz.
                            3       m+n          2
                 P=
                           –1           1        5

                          m – 2n    p+2          0

    m + n = –1             m + n = –1                2m + 2n = –2
                      ⇒                      ⇒                             +
    m – 2n = 2             m – 2n = 2                m – 2n = 2
                                                     3m = 0
    p+2=5             ⇒ p=3                 ⇒ m=0           e     n = –1
Toda matriz quadrada que é igual à
 oposta de sua transposta é chamada
 matriz anti-simétrica.
     A é anti-simétrica ⇔ A = –At

 Exemplo
                 0 3 –5
           N =   –3 0 –1
                 5 1 0
Complete a matriz para que ela seja
 anti-simétrica.

             0
            ....     2
                   ....    5
      Q =
             –2    ....
                     0     3
            ....
             –5    ....
                    –3    ....
                           0
matriz -A obtida a partir de A
 trocando-se o sinal de todos os
 elementos de A.
Chama-se oposta de uma matriz A a
 matriz   representada   por    –A,  cujos
 elementos são os opostos dos elementos de
 mesma posição em A.
                         0   –3
A oposta da matriz A =            , é a matriz
                         2   –5

             0     3
    –A =
            –2     5
Matriz   alunos
Duas matrizes A = (aij)mxn e B =
 (bij)mxn de mesma ordem, são
 iguais se, e somente se, aij = bij.
Dizemos que duas matrizes A e B são
 iguais só se elas são do mesmo tipo e
 cada elemento de uma delas é igual
 ao elemento de mesma posição da
 outra.
Se alguma das condições anteriores
 falhar, dizemos que A e B são
 matrizes diferentes.
Verificar se as matrizes A e B abaixo são
 iguais.
         2   1              2   1
  A =                 B =
         5   4              8   4
         8   7              5   7

 As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e
  têm os mesmos elementos. Elas são
  diferentes pois os elementos 5 e 8 ocupam
  posições diferentes.
Calcular x, y, z e t para que ocorra a
 igualdade.
       2x     –1            4     x+z
      y+1      3    =
                            5     t–y


      2x = 4       ⇒ 2x = 22      ⇒ x=2
      y+1=5        ⇒ y=4
      x + z = –1   ⇒ 2 + z = –1   ⇒ z = –3
      t–y=3        ⇒ t–4=3        ⇒ t=7
Matriz   alunos
1 – Determine a, b, c e d para que se tenha



2 – Determine x, y e z que satisfaçam;



3 – Em cada item determine, caso exista, o
número real m que satisfaz a igualdade:
4 – seja A = (aij)2x3, em que aij = i + j. Determine
m, n e p em B =


, a fim de que tenhamos A = B.
5 – Determine os valores de a, b, c, d, e e f que
tornam verdadeira a igualdade:
Matriz   alunos
Em certos casos surge a necessidade de
 efetuar operações com matrizes.


  Adição;
  Subtração;
  Multiplicação de uma constante real por
   uma matriz;
  Multiplicação.
Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma
 constante  real,  definem-se as    seguintes
 operações:

   Adição de matrizes: A + B é a matriz em que
    cada elemento é a soma dos elementos de mesma
     posição em A e B.

 Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a
  soma de A com a oposta de B.

 Multiplicação de um número por uma matriz: kA é
  a matriz obtida multiplicando-se, por k, cada um
  dos elementos de A.
A soma de duas matrizes A = (aij)mxn
 e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma
 matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij.
A subtração de matrizes é dada
 pela sentença:

                A + B = C
Se  é um número real, o produto
desse número por uma matriz A =
(aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal
que bij =      . aij
Calcule:

  2   –1
                     4     5            2+4    –1 + 5          6    4
                 +                  =                     =
  1    3             –5   –2            1–5    3–2            –4    1




                     3    -7   10               9    -21      30
            N=                          3N =
                     -1   8    -5               -3   24       -15

                     0    4    -2               0    12       6
Observação: A + B existe se, e somente
   se, A e B forem do mesmo tipo
Matriz   alunos
1 – Calcule:




2 – Sejam A =           ,B=            eC=

 Determine as matrizes:
a) A + B + C            b) A – B + C
 c) A – (B + C)         d) B – C + A
8 – Dê cada tipo das matrizes:
9 – Em cada caso determine o valor de elemento a22,
se existir:




10 – Escreva a matriz A = (aij)3x4, em que
aij = 3.i – 2j +1

11 – Determine a matriz B = (bij)4x3, em que
bij = 2 + i2 + j
12 – Determine a soma dos elementos da diagonal
principal de cada matriz quadrada seguinte:
13 – Em cada caso obtenha a transposta da matriz
dada:
14 – Seja A = (aij)3x4, em que aij = 2i + 3j2. Escreva
a matriz At.
.




15 – Qual é o elemento a46 da matriz A = (aij)8x8,
em que aij = ( - 1)i + j. ?


 16 – Seja a matriz A = (aij)3x3, em que aij = i.j.
Forneça os elementos que pertencem às diagonais
principal e secundária de A.

17 – Dê a matriz A = (aij)4x3, em que:

aij =
18 – Uma matriz quadrada A é dita simétrica
quando A = At.
a) Sabendo-se que a matriz            é simétrica,
qual é o valor de
x + 2y – z ?

 b)Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica
quando A = - At . determine os valores de x e y a
fim de que a matriz                   seja
antiassimétrica

19 – Sejam as matrizes A = (aij)10x12, em que
aij = 2i – j, e B = (bij)10x12, em que bij = i + j.
Seja C = A + B, em que cij = aij + bij. Determine os
elementos:
a) c78               b) c1012
19 – Em um fim de semana, registrou-se o número
de fregueses que fizeram compras em uma padaria,
bem como o período (manhã, tarde ou noite) da
visita.
Na matriz a seguir, o elemento aij
indica o número de fregueses que
foram à padaria no dia i e no
período j.

Sabendo que sábado e domingo correspondem,
respectivamente, os índices 1 e 2 e que manhã, tarde e
noite são representados pelos índices 1, 2 e 3,
respectivamente, determine:
•O número de clientes que a padaria recebeu sábado à
tarde;
O número total de clientes no domingo.
Dada as matrizes abaixo obter a matriz
3M – 2N + I2.
                        –2     1
                                                     2   0
             M=                             N=
                        3      2
                                                     3   4
              3.–2           3.1        –6   3
     3.M =                          =
                  3.3        3.2        9    6


              –2.2           –2.0       –4       0
    –2.M =                          =
              –2.3           –2.4       –6 –8
Uma empresa fabrica dois produtos A e B, que
 podem ser acondicionados nas embalagens E1, E2 e
 E3, com 12, 24 ou 30 unidades, respectivamente.
 Os quadros abaixo mostram os custos de
 fabricação do produto e da embalagem, em cada
 caso.

Custo do produto (R$)     Custo da embalagem (R$)

         A      B                   A     B
    E1   60     80             E1   2     3
    E2   100   130             E2   3     4
    E3   120   160             E3   4     6
O fabricante quer vender o produto com lucro de
 50% sobre o custo do produto, mas não quer obter
 lucro no custo da embalagem. Qual será o preço
 de venda dos produtos A e B.



          60     80             2   3
   P =   100    130       E =   3   4
         120    160             4   6


 O preço de venda é obtido efetuando-se a
  operação: 1,5 . P + E
V = 1,5 . P + E
        60      80                        2       3
        100    130            E =         3       4
 P =
        120    160                        4       6

          1,5.60    1,5.80                90 120
1,5 . P = 1,5.100   1,5.130       =       150 195
          1,5.120   1,5.160               180 240

              90     120              2   3           92    123
1,5 . P + E = 150    195      +       3   4   =       153   199
              180    240                              184   246
                                      4   6
Dada as matrizes abaixo obter a
 matriz 3M – 2N + I2.
          –2   1                  2   0
    M =                 N =
          3    2
                                  3   4
3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2 =
                              1       0       –9   3
= –6   3 + –4      0     +                =
   9   6   –6      –8         0       1       3    –1
 Dadas  duas matrizes A = (aij)mxn e B =
 (bij)mxn, o produto da matriz A pela
 matriz B, nesta ordem, somente será
 possível quando o número de colunas da
 matriz A for igual ao número de linhas
 da matriz B.



A matriz produto (A x B)mxn terá número de
linhas de A e número de colunas de B.
 Os   elementos da matriz produto são
    obtidos multiplicando-se cada elemento
    das linhas da matriz A pelo
    correspondente elemento das colunas da
    matriz B e adicionando os produtos
    obtidos.




    Vamos multiplicar a matriz
    para entender como se obtém cada Cij:
Matriz   alunos
Matriz   alunos
Matriz   alunos
Matriz   alunos
Assim ,
 Observe que:




Portanto ,        A, ou seja, para a multiplicação de
                  matrizes não
     vale a propriedade comutativa.
Da definição, temos que a matriz produto A . B
só existe se o número de colunas de A for igual ao
número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de
linhas de A (m) e o número de colunas
de B(n):




Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o
produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
Matriz   alunos
1 – Determine, se existirem, os produtos:
31 – Sejam as matrizes:




Determine se existir:
a) A.B        d) Bt.C
b) B.A        e) B.At
c) A.C        f) (3.A).B
Encontre os valores de x e y, para que a
 matriz M abaixo seja nula.

              x2 – 1            x2 – x – 2
     M =
              x 2 – y2            x + y

       x2 – 1 = 0             ⇒ x = ±1
       x2 – x – 2 = 0         ⇒ x = –1 ou x = 2
       x2 – y2 = 0
       x+y=0                  ⇒ x = –y


                        ⇒ x = –1 e y = 1
Toda matriz quadrada na qual são nulos
 todos os elementos situados num mesmo
 lado da diagonal principal.

 Exemplos

            3 1            ½    7   3
     A =
            0 –5    B =    0   –2   1
                           0    0   2
Matriz   alunos
Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
              –5     0    B =             1    –3
    A =       –1     4                    2     1
A matriz X deve ser do mesmo tipo de
 A e B.         X=
                    x y

                              z       t


                          x   y           –5   0           1   –3
    3.X – A = 2B ⇒   3.               –             = 2.
                          z       t       –1   4           2   1
 Resolver a equação 3X – A = 2B, onde

                       –5   0                       1 –3
             A=                            B=
                       –1   4                       2        1

 Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem
 equações algébricas. Veja.

                                                                      1
  3.X – A = 2B         ⇒    3.X = A + 2B            ⇒    X=               (A + 2B)
                                                                      3


                  –5    0           2   –6              –3       –6
  A + 2B =                      +               =
                  –1    4           4      2            3        6
Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
                 –5   0              1 –3
            A=                  B=
                 –1   4              2    1

Equações como essa podem ser resolvidas, também,
como se fossem equações algébricas. Veja.

3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B
                                     ⇒
                                         X = 1    (A + 2B)
                                              3

       1    –3   –6         –1 –2
 X =                      = 1 2
        3    3    6
Matriz   alunos
23 – Resolva as seguintes equações
matriciais:
24 – Determine a matriz X, tal que
( X + A)t = B, sendo:

                 e



25 – Dada a matriz

, obtenha as matrizes:
a) 4.A          b) 1/3.A       c) – 2.A
26 – Sejam as matrizes               e



. Determine as seguintes matrizes:
a) 3.A + B         b) A – 3.B
 c) 2.A + 4.B      d) 5.A – 2.B

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Revisão de polinômios
Revisão de polinômiosRevisão de polinômios
Revisão de polinômios
matheuslw
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
PROFESSOR GLEDSON GUIMARÃES
 
Radiciaçâo
RadiciaçâoRadiciaçâo
Função afim
Função afimFunção afim
Função afim
wfsousamatematica
 
02 matematica 7ano1
02 matematica 7ano102 matematica 7ano1
02 matematica 7ano1
Bruno Araujo Lima
 
Geoplana
GeoplanaGeoplana
Geoplana
Robson S
 
Resumo função quadrática
Resumo função quadráticaResumo função quadrática
Resumo função quadrática
cristianomatematico
 
Expressões simples
Expressões simples Expressões simples
Expressões simples
Manuel de Abreu
 
MATEMÁTICA | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
MATEMÁTICA  | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...MATEMÁTICA  | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
MATEMÁTICA | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
GoisBemnoEnem
 
1 produtos notáveis
1 produtos notáveis1 produtos notáveis
1 produtos notáveis
Felipe Bugov
 
Sistemas de equações so 1º grau apresentação
Sistemas de equações so 1º grau apresentaçãoSistemas de equações so 1º grau apresentação
Sistemas de equações so 1º grau apresentação
CIEP 456 - E.M. Milcah de Sousa
 
Expressoes algebricas
Expressoes algebricasExpressoes algebricas
Expressoes algebricas
Larissa Souza
 
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauExercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
André Luís Nogueira
 
Matrizes ppt
Matrizes pptMatrizes ppt
Matrizes ppt
Ariosvaldo Carvalho
 
Círculo e circunferência 8º ano
Círculo e circunferência 8º anoCírculo e circunferência 8º ano
Círculo e circunferência 8º ano
Andréia Rodrigues
 
Princípio multiplicativo tp5
Princípio multiplicativo tp5Princípio multiplicativo tp5
Princípio multiplicativo tp5
Marcele Souza
 
Fatoração
Fatoração Fatoração
Fatoração
Bertarello
 
Circunferência e círculo
Circunferência e círculoCircunferência e círculo
Circunferência e círculo
Dean Costa Silva
 
Equação do 1º grau
Equação do 1º grauEquação do 1º grau
Equação do 1º grau
Elcielle .
 
Potenciação
PotenciaçãoPotenciação
Potenciação
leilamaluf
 

Mais procurados (20)

Revisão de polinômios
Revisão de polinômiosRevisão de polinômios
Revisão de polinômios
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
 
Radiciaçâo
RadiciaçâoRadiciaçâo
Radiciaçâo
 
Função afim
Função afimFunção afim
Função afim
 
02 matematica 7ano1
02 matematica 7ano102 matematica 7ano1
02 matematica 7ano1
 
Geoplana
GeoplanaGeoplana
Geoplana
 
Resumo função quadrática
Resumo função quadráticaResumo função quadrática
Resumo função quadrática
 
Expressões simples
Expressões simples Expressões simples
Expressões simples
 
MATEMÁTICA | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
MATEMÁTICA  | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...MATEMÁTICA  | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
MATEMÁTICA | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
 
1 produtos notáveis
1 produtos notáveis1 produtos notáveis
1 produtos notáveis
 
Sistemas de equações so 1º grau apresentação
Sistemas de equações so 1º grau apresentaçãoSistemas de equações so 1º grau apresentação
Sistemas de equações so 1º grau apresentação
 
Expressoes algebricas
Expressoes algebricasExpressoes algebricas
Expressoes algebricas
 
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauExercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
 
Matrizes ppt
Matrizes pptMatrizes ppt
Matrizes ppt
 
Círculo e circunferência 8º ano
Círculo e circunferência 8º anoCírculo e circunferência 8º ano
Círculo e circunferência 8º ano
 
Princípio multiplicativo tp5
Princípio multiplicativo tp5Princípio multiplicativo tp5
Princípio multiplicativo tp5
 
Fatoração
Fatoração Fatoração
Fatoração
 
Circunferência e círculo
Circunferência e círculoCircunferência e círculo
Circunferência e círculo
 
Equação do 1º grau
Equação do 1º grauEquação do 1º grau
Equação do 1º grau
 
Potenciação
PotenciaçãoPotenciação
Potenciação
 

Destaque

Matriz 1 2012
Matriz 1   2012Matriz 1   2012
Matriz 1 2012
Fabiana Gonçalves
 
Atividades de matriz 2
Atividades de matriz 2Atividades de matriz 2
Atividades de matriz 2
Fabiana Gonçalves
 
Mat exercicios resolvidos 003
Mat exercicios resolvidos  003Mat exercicios resolvidos  003
Mat exercicios resolvidos 003
trigono_metrico
 
Introdução ao estudo de matrizes
Introdução ao estudo de matrizesIntrodução ao estudo de matrizes
Introdução ao estudo de matrizes
Maikon Fernandes de Lima
 
Algebra linear apostila i prof inacio
Algebra linear apostila i   prof inacioAlgebra linear apostila i   prof inacio
Algebra linear apostila i prof inacio
Eng Amb
 
Gabaritos
GabaritosGabaritos
Gabaritos
Ptx Bsb
 
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)
Pedro Povoleri
 
Matriz[1]
Matriz[1]Matriz[1]
Matriz[1]
Cie02
 
Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.
Antonio Carneiro
 
Exercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabaritoExercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabarito
Otávio Sales
 
Matrizes e determinantes exercícios
Matrizes e determinantes   exercícios Matrizes e determinantes   exercícios
Matrizes e determinantes exercícios
Edson Marcos Silva
 
4 - 2014 razão proporção porcentagem e regra de 3
4 - 2014 razão proporção porcentagem e regra de 34 - 2014 razão proporção porcentagem e regra de 3
4 - 2014 razão proporção porcentagem e regra de 3
Milton Henrique do Couto Neto
 
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
J M
 
Elementos de Matemática Básica - Razão, Proporção, Porcentagem e Regra de 3
Elementos de Matemática Básica - Razão, Proporção, Porcentagem e Regra de 3Elementos de Matemática Básica - Razão, Proporção, Porcentagem e Regra de 3
Elementos de Matemática Básica - Razão, Proporção, Porcentagem e Regra de 3
Milton Henrique do Couto Neto
 
Matrizes - Completo com exercícios
Matrizes - Completo com exercíciosMatrizes - Completo com exercícios
Matrizes - Completo com exercícios
naathyb
 
Banco de Questões PJF
Banco de Questões PJFBanco de Questões PJF
Banco de Questões PJF
francielidaiane
 
Resumo do 7º e 8º ano
Resumo do 7º e 8º anoResumo do 7º e 8º ano
Resumo do 7º e 8º ano
Tiiagu
 
Banco de exercícios gerais de matematica todo em
Banco de exercícios gerais de matematica todo emBanco de exercícios gerais de matematica todo em
Banco de exercícios gerais de matematica todo em
Elias Silveira de Albuquerque
 
Perguntas para o ensino fundamental maior
Perguntas para o ensino fundamental maiorPerguntas para o ensino fundamental maior
Perguntas para o ensino fundamental maior
Fábio Brito
 
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
FunçãO Do 1º  E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoFunçãO Do 1º  E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
Antonio Carneiro
 

Destaque (20)

Matriz 1 2012
Matriz 1   2012Matriz 1   2012
Matriz 1 2012
 
Atividades de matriz 2
Atividades de matriz 2Atividades de matriz 2
Atividades de matriz 2
 
Mat exercicios resolvidos 003
Mat exercicios resolvidos  003Mat exercicios resolvidos  003
Mat exercicios resolvidos 003
 
Introdução ao estudo de matrizes
Introdução ao estudo de matrizesIntrodução ao estudo de matrizes
Introdução ao estudo de matrizes
 
Algebra linear apostila i prof inacio
Algebra linear apostila i   prof inacioAlgebra linear apostila i   prof inacio
Algebra linear apostila i prof inacio
 
Gabaritos
GabaritosGabaritos
Gabaritos
 
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)
 
Matriz[1]
Matriz[1]Matriz[1]
Matriz[1]
 
Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.
 
Exercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabaritoExercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabarito
 
Matrizes e determinantes exercícios
Matrizes e determinantes   exercícios Matrizes e determinantes   exercícios
Matrizes e determinantes exercícios
 
4 - 2014 razão proporção porcentagem e regra de 3
4 - 2014 razão proporção porcentagem e regra de 34 - 2014 razão proporção porcentagem e regra de 3
4 - 2014 razão proporção porcentagem e regra de 3
 
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
 
Elementos de Matemática Básica - Razão, Proporção, Porcentagem e Regra de 3
Elementos de Matemática Básica - Razão, Proporção, Porcentagem e Regra de 3Elementos de Matemática Básica - Razão, Proporção, Porcentagem e Regra de 3
Elementos de Matemática Básica - Razão, Proporção, Porcentagem e Regra de 3
 
Matrizes - Completo com exercícios
Matrizes - Completo com exercíciosMatrizes - Completo com exercícios
Matrizes - Completo com exercícios
 
Banco de Questões PJF
Banco de Questões PJFBanco de Questões PJF
Banco de Questões PJF
 
Resumo do 7º e 8º ano
Resumo do 7º e 8º anoResumo do 7º e 8º ano
Resumo do 7º e 8º ano
 
Banco de exercícios gerais de matematica todo em
Banco de exercícios gerais de matematica todo emBanco de exercícios gerais de matematica todo em
Banco de exercícios gerais de matematica todo em
 
Perguntas para o ensino fundamental maior
Perguntas para o ensino fundamental maiorPerguntas para o ensino fundamental maior
Perguntas para o ensino fundamental maior
 
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
FunçãO Do 1º  E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoFunçãO Do 1º  E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
 

Semelhante a Matriz alunos

2 ano matrizes 2010
2 ano   matrizes 20102 ano   matrizes 2010
2 ano matrizes 2010
profcesarlassis
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade]
MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade]MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade]
MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade]
guest202a61
 
MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade]
MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade]MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade]
MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade]
Antonio Carneiro
 
Aula_1_Matrizes.pptx
Aula_1_Matrizes.pptxAula_1_Matrizes.pptx
Aula_1_Matrizes.pptx
CntiaCastro14
 
Apostila de-algebra-linear-1235013869657841-2
Apostila de-algebra-linear-1235013869657841-2Apostila de-algebra-linear-1235013869657841-2
Apostila de-algebra-linear-1235013869657841-2
Alessandra Nascimento
 
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Matrizes
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Matrizeswww.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Matrizes
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Matrizes
Lucia Silveira
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Matrizes
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Matrizeswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Matrizes
www.aulasapoio.com - Matemática - Matrizes
Aulas Apoio
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Matrizes
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Matrizes www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Matrizes
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Matrizes
Beatriz Góes
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Matrizes
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Matrizeswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Matrizes
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Matrizes
Aulas De Matemática Apoio
 
Matrizes aula 01
Matrizes aula 01Matrizes aula 01
Matrizes aula 01
Pedro Henrique Drehmer
 
Matemática - Matrizes e Determinantes (Pt 1).
Matemática - Matrizes e Determinantes (Pt 1).Matemática - Matrizes e Determinantes (Pt 1).
Matemática - Matrizes e Determinantes (Pt 1).
Julia Maldonado Garcia
 
10 - Matrizes
10 - Matrizes10 - Matrizes
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
JosivaldoFarias1
 
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantesáLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes
Pedro Povoleri
 
2º ano matriz
2º ano matriz2º ano matriz
2º ano matriz
celio pacheco
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
Sergio Manoel
 
Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.
Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.
Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.
WillOliveira20
 
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales  ccesa007Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales  ccesa007
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Apostila de matrizes ju
Apostila de matrizes juApostila de matrizes ju
Apostila de matrizes ju
Ju Glowacki
 

Semelhante a Matriz alunos (20)

2 ano matrizes 2010
2 ano   matrizes 20102 ano   matrizes 2010
2 ano matrizes 2010
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade]
MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade]MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade]
MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade]
 
MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade]
MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade]MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade]
MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade]
 
Aula_1_Matrizes.pptx
Aula_1_Matrizes.pptxAula_1_Matrizes.pptx
Aula_1_Matrizes.pptx
 
Apostila de-algebra-linear-1235013869657841-2
Apostila de-algebra-linear-1235013869657841-2Apostila de-algebra-linear-1235013869657841-2
Apostila de-algebra-linear-1235013869657841-2
 
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Matrizes
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Matrizeswww.aulaparticularonline.net.br - Matemática -  Matrizes
www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Matrizes
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Matrizes
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Matrizeswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Matrizes
www.aulasapoio.com - Matemática - Matrizes
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Matrizes
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Matrizes www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Matrizes
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Matrizes
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Matrizes
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Matrizeswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Matrizes
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Matrizes
 
Matrizes aula 01
Matrizes aula 01Matrizes aula 01
Matrizes aula 01
 
Matemática - Matrizes e Determinantes (Pt 1).
Matemática - Matrizes e Determinantes (Pt 1).Matemática - Matrizes e Determinantes (Pt 1).
Matemática - Matrizes e Determinantes (Pt 1).
 
10 - Matrizes
10 - Matrizes10 - Matrizes
10 - Matrizes
 
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
 
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantesáLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes
 
2º ano matriz
2º ano matriz2º ano matriz
2º ano matriz
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.
Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.
Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.
 
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales  ccesa007Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales  ccesa007
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007
 
Apostila de matrizes ju
Apostila de matrizes juApostila de matrizes ju
Apostila de matrizes ju
 

Mais de Fabiana Gonçalves

Questões do enem
Questões do enemQuestões do enem
Questões do enem
Fabiana Gonçalves
 
Termodinamica 2013
Termodinamica 2013Termodinamica 2013
Termodinamica 2013
Fabiana Gonçalves
 
Magnetismo 2013
Magnetismo 2013Magnetismo 2013
Magnetismo 2013
Fabiana Gonçalves
 
Exercícios de física leis de kepler
Exercícios de física   leis de keplerExercícios de física   leis de kepler
Exercícios de física leis de kepler
Fabiana Gonçalves
 
1ª lei de coulomb2
1ª lei de coulomb21ª lei de coulomb2
1ª lei de coulomb2
Fabiana Gonçalves
 
Eletriidade 1
Eletriidade 1Eletriidade 1
Eletriidade 1
Fabiana Gonçalves
 
Apresentação2
Apresentação2Apresentação2
Apresentação2
Fabiana Gonçalves
 
Revisão de mate mática
Revisão de mate máticaRevisão de mate mática
Revisão de mate mática
Fabiana Gonçalves
 
Acústica
AcústicaAcústica
Energia nuclear 2012
Energia nuclear 2012Energia nuclear 2012
Energia nuclear 2012
Fabiana Gonçalves
 
Velocidade de propagação das
Velocidade de propagação dasVelocidade de propagação das
Velocidade de propagação das
Fabiana Gonçalves
 
A luz como onda 2012
A luz como onda   2012A luz como onda   2012
A luz como onda 2012
Fabiana Gonçalves
 
Cones alunos
Cones   alunosCones   alunos
Cones alunos
Fabiana Gonçalves
 
A luz como onda 2012
A luz como onda   2012A luz como onda   2012
A luz como onda 2012
Fabiana Gonçalves
 
Exercícios de matemática revisão
Exercícios de matemática   revisãoExercícios de matemática   revisão
Exercícios de matemática revisão
Fabiana Gonçalves
 
Leis de newton 1 e 2
Leis de newton 1 e 2Leis de newton 1 e 2
Leis de newton 1 e 2
Fabiana Gonçalves
 
Apresentação1
Apresentação1Apresentação1
Apresentação1
Fabiana Gonçalves
 
Geometria espacial cilindros
Geometria espacial cilindrosGeometria espacial cilindros
Geometria espacial cilindros
Fabiana Gonçalves
 
Exercícios de paralelepípedo e cubo
Exercícios de paralelepípedo e cuboExercícios de paralelepípedo e cubo
Exercícios de paralelepípedo e cubo
Fabiana Gonçalves
 
Paralelepípedo e cubo
Paralelepípedo e cuboParalelepípedo e cubo
Paralelepípedo e cubo
Fabiana Gonçalves
 

Mais de Fabiana Gonçalves (20)

Questões do enem
Questões do enemQuestões do enem
Questões do enem
 
Termodinamica 2013
Termodinamica 2013Termodinamica 2013
Termodinamica 2013
 
Magnetismo 2013
Magnetismo 2013Magnetismo 2013
Magnetismo 2013
 
Exercícios de física leis de kepler
Exercícios de física   leis de keplerExercícios de física   leis de kepler
Exercícios de física leis de kepler
 
1ª lei de coulomb2
1ª lei de coulomb21ª lei de coulomb2
1ª lei de coulomb2
 
Eletriidade 1
Eletriidade 1Eletriidade 1
Eletriidade 1
 
Apresentação2
Apresentação2Apresentação2
Apresentação2
 
Revisão de mate mática
Revisão de mate máticaRevisão de mate mática
Revisão de mate mática
 
Acústica
AcústicaAcústica
Acústica
 
Energia nuclear 2012
Energia nuclear 2012Energia nuclear 2012
Energia nuclear 2012
 
Velocidade de propagação das
Velocidade de propagação dasVelocidade de propagação das
Velocidade de propagação das
 
A luz como onda 2012
A luz como onda   2012A luz como onda   2012
A luz como onda 2012
 
Cones alunos
Cones   alunosCones   alunos
Cones alunos
 
A luz como onda 2012
A luz como onda   2012A luz como onda   2012
A luz como onda 2012
 
Exercícios de matemática revisão
Exercícios de matemática   revisãoExercícios de matemática   revisão
Exercícios de matemática revisão
 
Leis de newton 1 e 2
Leis de newton 1 e 2Leis de newton 1 e 2
Leis de newton 1 e 2
 
Apresentação1
Apresentação1Apresentação1
Apresentação1
 
Geometria espacial cilindros
Geometria espacial cilindrosGeometria espacial cilindros
Geometria espacial cilindros
 
Exercícios de paralelepípedo e cubo
Exercícios de paralelepípedo e cuboExercícios de paralelepípedo e cubo
Exercícios de paralelepípedo e cubo
 
Paralelepípedo e cubo
Paralelepípedo e cuboParalelepípedo e cubo
Paralelepípedo e cubo
 

Matriz alunos

  • 1. Fabiana de Sousa Santos Gonçalves
  • 3. O colégio Tales distribui, durante o ano letivo, 100 pontos por matéria. O quadro a seguir mostra os totais de pontos obtidos por Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007. Ana Carlos Pedro 2006 80 75 72,5 2007 76 82,5 78  Quadros como esses ajudam a organizar dados. Fica mais fácil analisá-los, combiná-los com outros.
  • 4. Foi o matemático inglês, James Joseph, Sylvester, quem usou pela primeira vez esta forma de trabalhar com um conjunto de informações, dispondo-as em linhas e colunas em uma tabela. A um quadro desse tipo, damos o nome de Matriz. Cada número que o constitui é um elemento da matriz. O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto é, possui 2 linhas e 3 colunas.
  • 5.  Matriz Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas. Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos:
  • 6. Para nomear matrizes, usamos letras latinas maiúsculas. Seus elementos ficam dentro de parênteses ou colchetes.  Exemplo 80 75 72,5 80 75 72,5 A= ou A = 76 85,2 78 76 82,5 78
  • 7. Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas. Dizemos que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três) ou, simplesmente, uma matriz 2 x 3. 80 75 72,5 → 1ª linha A = 76 82,5 78 → 2ª linha 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna  Nossa matriz é indicada por A2x3.
  • 8. Observe que em cada matriz dos exemplos à esquerda, tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três. Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la? Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2:
  • 10. De maneira geral, indicamos um elemento de uma matriz por uma letra minúscula, acompanhada de dois índices, que definem sua posição na matriz.  Um elemento genérico da matriz A é indicado assim: i indica a linha do elemento aij j indica a coluna do elemento
  • 11. a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas). Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna.
  • 12. O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna. O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.  Pararepresentarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma:
  • 13.  Se m e n são dois números naturais positivos, chama-se matriz do tipo m x n todo quadro formado por m.n números reais, dispostos de forma ordenada em m linhas e n colunas.  Uma matriz genérica Am x n pode ser representada assim: a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n A = ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn  De forma simplificada, temos A = [aij]m x n
  • 14. Na matriz A representada a seguir, cada elemento aij indica a média, em Matemática, da turma i no bimestre j. Identificar o tipo de matriz e obter a média da turma 2 no 3.º bimestre e a média da turma 3 no 4.º bimestre. 6,2 8,3 9 7,4 A = 8 7,3 8,7 6,5 7,2 8,1 6,9 7  A3 x 2.  a23 = 8,7  a34 = 7
  • 15. Na matriz A exemplificada, temos A= 80 75 72,5 76 82,5 78  a11 = 80  a12 = 75  a13 = 72,5  a21 = 76  a = 82,5 22  a23 = 78
  • 17. Uma matriz pode ser definida, indicando-se seu tipo e uma fórmula para o cálculo de cada elemento aij, em função de i e j.
  • 18. Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j. a11 a12 2 1 A= a21 a22 A = 5 4 a31 a32 8 7  aij = 3i – j a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1 a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4 a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 =7
  • 19. Construir a matriz B = (bij)2x2, tal que bij = 2i + j, se i ≥ j ji , se i < j b11 b12 B= b21 b22 b11 = 2.1 + 1 = 3 b12 = 21 = 2 3 2 B= b21 = 2.2 + 1 = 5 5 6 b22 = 2.2 + 2 = 6
  • 20. Exemplo: Escreva a matriz A = (a A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim: ( i j)2 x 3 tal que aij = 2i + j.
  • 21.  Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no enunciado: aij = 2i + j. Então iremos calcular cada elemento sabendo que: i é a linha que o elemento pertence. j é a coluna que o elemento pertence. a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1 a11 = 3 a21 = 5 a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2 a12 = 4 a22 = 6 a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3 a =5 a =7
  • 22. Então os elementos que pertencem a matriz A são:
  • 24. 1 – Uma rede é composta por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A tabela a seguir apresenta o faturamento, em dólares, de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro: Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j. a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3? c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias?
  • 25. 2 – Represente explicitamente cada uma das matrizes: 3 – Identifique os tipos de matrizes:
  • 26. 4 – Determine quantos elementos possui uma matriz do tipo: a) 1 x 6 b) 4 x 1 c) 3 x 3 d) 3 x 5 5 – É dada a matriz , Identifique os elementos da: a) 1ª linha b) 3ª linha c) 4ª linha d) 2ª coluna 6 – Considere a matriz Determine o valor dos seguintes elementos: a) b11 b) b21 c) b12 d) b23 e) b32 f) b22
  • 27. 7 – Uma matriz possui quatro elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz? 8 – Determine a matriz A = (aij)2x3 , tal que: a) aij = i + 2.j c) aij = 2.i – j b) aij = i2 + j d) aij = j – 2.i 9 – Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que: a) aij = 1, se i = j c) aij = i + j, se i = j 0, se i ≠ j - i – j, se i ≠ j b) aij = 2, se i = j d) aij = i2 , se i = j -1, se i ≠ j j2 , se i ≠ j 10 – Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3.i – j2 +3.
  • 28. É toda matriz do tipo 1xn(n ∈ R*). Observe os exemplos:
  • 29. É toda matriz do tipo mx1(m R*).
  • 30. Uma matriz que tem apenas uma linha é chamada de matriz linha. Uma matriz que tem somente uma coluna é denominada de matriz coluna.  Exemplos –1 2 5 É uma matriz linha 1 x 3. 3 É uma matriz coluna 2 x 1. 6
  • 31. É Toda matriz quadrada possui duas diagonais: • A principal, composta por elementos aij tais que i=j, isto é:  Toda matriz cujo numero de linhas é igual ao numero de colunas. Assim, chamamos matriz quadrada de ordem n toda matriz do tipo n x n. Exemplos:
  • 32. A secundária, em que os elementos aij são tais que, i+j = n+1. veja como são as diagonais de uma matriz quadrada do tipo 3×3.
  • 33. Chama-se matriz quadrada toda matriz em que o número de linhas é igual ao de colunas. O número de linhas (ou colunas) é a ordem da matriz. 0 3 é matriz quadrada de ordem 2. –2 5 3 0 –3 7 2 –5 é matriz quadrada de ordem 3. 1 4 0
  • 34. Numa matriz quadrada A =[aij], de ordem n, chama-se  Diagonal principal o conjunto dos elementos aij em que i = j;  Diagonal secundária o conjunto dos elementos aij em que i + j = n + 1; Diagonal secundária a11 a12 a13 (i + j = 4) a21 a22 a23 Diagonal principal a31 a32 a33 (i = j)
  • 35. É toda matriz do tipo m x n cujos elementos são todos nulos. Para indicar uma matriz nula utiliza-s a notação:
  • 36. Uma matriz que tem os seus elementos iguais a zero é chamada matriz nula. Existe uma matriz nula de cada tipo. A matriz nula pode ser indicada por Om x n. O = 0 0 0 É uma matriz nula 2 x 3. 0 0 0 0 0 O = É uma matriz nula 2 x 2. 0 0
  • 37. Étoda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes à diagonal principal são todos nulos. Por exemplo:
  • 38. É uma matriz quadrada onde aij = 0, para i ≠ j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
  • 39. Toda matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero é chamada matriz diagonal.  Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. ½ 0 0 3 0 N= M= 0 0 0 0 –5 0 0 2 Traço de M é –2. Traço de N é 3/2.
  • 40. Calcule o traço da matriz quadrada A abaixo, sabendo que ela é matriz diagonal. x – 2y x–y+6 A= x + 2y x+y x + 2y = 0 x + 2y = 0 ⇒ + x–y+6=0 x (2) 2x – 2y + 12 = 0 3x + 12 = 0 ⇒ x = –4 e y=2 O traço da matriz é: x – 2y + x + y = 2x – y = –10
  • 41.  Chama-se matriz identidade de ordem n a matriz quadrada indicada In tal que.  Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1;  Todos os outros elementos são iguais a 0; 1 0 I2 = é matriz identidade de ordem 2. 0 1 1 0 0 I3 = 0 1 0 é matriz identidade de ordem 3. 0 0 1
  • 42. Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.
  • 43. Veja como podemos apresentar os dados referente à tabela da introdução de matrizes. 2006 2007 Ana Carlos Pedro Ana 80 76 2006 80 75 72,5 Carlos 75 82,5 2007 76 82,5 78 Pedro 72,5 78 80 75 72,5 80 76 A= ⇒ B= 76 82,5 78 75 82,5 72,5 78
  • 44. Se A é uma matriz do tipo m x n, chama-se transposta de A (simbolicamente At), a matriz do tipo n x m, obtida de A, trocando-se de posição linhas com colunas, de forma que A = (aij)m x n ⇒ At = (aji)n x m 2 3 ⇒ 2 –1 1 A = At = 3 0 –5 –1 0 1 –5
  • 45. matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo, é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij.
  • 46. Toda matriz quadrada que é igual a sua transposta é chamada matriz simétrica. A é simétrica ⇔ A = At Exemplo 1 –3 5 N = –3 2 –1 5 –1 6
  • 47. Obtenha m, n, e p, para que seja simétrica a matriz. 3 m+n 2 P= –1 1 5 m – 2n p+2 0 m + n = –1 m + n = –1 2m + 2n = –2 ⇒ ⇒ + m – 2n = 2 m – 2n = 2 m – 2n = 2 3m = 0 p+2=5 ⇒ p=3 ⇒ m=0 e n = –1
  • 48. Toda matriz quadrada que é igual à oposta de sua transposta é chamada matriz anti-simétrica. A é anti-simétrica ⇔ A = –At Exemplo 0 3 –5 N = –3 0 –1 5 1 0
  • 49. Complete a matriz para que ela seja anti-simétrica. 0 .... 2 .... 5 Q = –2 .... 0 3 .... –5 .... –3 .... 0
  • 50. matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A.
  • 51. Chama-se oposta de uma matriz A a matriz representada por –A, cujos elementos são os opostos dos elementos de mesma posição em A. 0 –3 A oposta da matriz A = , é a matriz 2 –5 0 3 –A = –2 5
  • 53. Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij.
  • 54. Dizemos que duas matrizes A e B são iguais só se elas são do mesmo tipo e cada elemento de uma delas é igual ao elemento de mesma posição da outra. Se alguma das condições anteriores falhar, dizemos que A e B são matrizes diferentes.
  • 55. Verificar se as matrizes A e B abaixo são iguais. 2 1 2 1 A = B = 5 4 8 4 8 7 5 7  As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e têm os mesmos elementos. Elas são diferentes pois os elementos 5 e 8 ocupam posições diferentes.
  • 56. Calcular x, y, z e t para que ocorra a igualdade. 2x –1 4 x+z y+1 3 = 5 t–y 2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x=2 y+1=5 ⇒ y=4 x + z = –1 ⇒ 2 + z = –1 ⇒ z = –3 t–y=3 ⇒ t–4=3 ⇒ t=7
  • 58. 1 – Determine a, b, c e d para que se tenha 2 – Determine x, y e z que satisfaçam; 3 – Em cada item determine, caso exista, o número real m que satisfaz a igualdade:
  • 59. 4 – seja A = (aij)2x3, em que aij = i + j. Determine m, n e p em B = , a fim de que tenhamos A = B. 5 – Determine os valores de a, b, c, d, e e f que tornam verdadeira a igualdade:
  • 61. Em certos casos surge a necessidade de efetuar operações com matrizes.  Adição;  Subtração;  Multiplicação de uma constante real por uma matriz;  Multiplicação.
  • 62. Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma constante real, definem-se as seguintes operações:  Adição de matrizes: A + B é a matriz em que cada elemento é a soma dos elementos de mesma posição em A e B.  Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a soma de A com a oposta de B.  Multiplicação de um número por uma matriz: kA é a matriz obtida multiplicando-se, por k, cada um dos elementos de A.
  • 63. A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij. A subtração de matrizes é dada pela sentença: A + B = C
  • 64. Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = (aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal que bij = . aij
  • 65. Calcule: 2 –1 4 5 2+4 –1 + 5 6 4 + = = 1 3 –5 –2 1–5 3–2 –4 1 3 -7 10 9 -21 30 N= 3N = -1 8 -5 -3 24 -15 0 4 -2 0 12 6
  • 66. Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo
  • 68. 1 – Calcule: 2 – Sejam A = ,B= eC= Determine as matrizes: a) A + B + C b) A – B + C c) A – (B + C) d) B – C + A
  • 69. 8 – Dê cada tipo das matrizes:
  • 70. 9 – Em cada caso determine o valor de elemento a22, se existir: 10 – Escreva a matriz A = (aij)3x4, em que aij = 3.i – 2j +1 11 – Determine a matriz B = (bij)4x3, em que bij = 2 + i2 + j
  • 71. 12 – Determine a soma dos elementos da diagonal principal de cada matriz quadrada seguinte:
  • 72. 13 – Em cada caso obtenha a transposta da matriz dada:
  • 73. 14 – Seja A = (aij)3x4, em que aij = 2i + 3j2. Escreva a matriz At. . 15 – Qual é o elemento a46 da matriz A = (aij)8x8, em que aij = ( - 1)i + j. ? 16 – Seja a matriz A = (aij)3x3, em que aij = i.j. Forneça os elementos que pertencem às diagonais principal e secundária de A. 17 – Dê a matriz A = (aij)4x3, em que: aij =
  • 74. 18 – Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando A = At. a) Sabendo-se que a matriz é simétrica, qual é o valor de x + 2y – z ? b)Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando A = - At . determine os valores de x e y a fim de que a matriz seja antiassimétrica 19 – Sejam as matrizes A = (aij)10x12, em que aij = 2i – j, e B = (bij)10x12, em que bij = i + j. Seja C = A + B, em que cij = aij + bij. Determine os elementos: a) c78 b) c1012
  • 75. 19 – Em um fim de semana, registrou-se o número de fregueses que fizeram compras em uma padaria, bem como o período (manhã, tarde ou noite) da visita. Na matriz a seguir, o elemento aij indica o número de fregueses que foram à padaria no dia i e no período j. Sabendo que sábado e domingo correspondem, respectivamente, os índices 1 e 2 e que manhã, tarde e noite são representados pelos índices 1, 2 e 3, respectivamente, determine: •O número de clientes que a padaria recebeu sábado à tarde; O número total de clientes no domingo.
  • 76. Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2. –2 1 2 0 M= N= 3 2 3 4 3.–2 3.1 –6 3 3.M = = 3.3 3.2 9 6 –2.2 –2.0 –4 0 –2.M = = –2.3 –2.4 –6 –8
  • 77. Uma empresa fabrica dois produtos A e B, que podem ser acondicionados nas embalagens E1, E2 e E3, com 12, 24 ou 30 unidades, respectivamente. Os quadros abaixo mostram os custos de fabricação do produto e da embalagem, em cada caso. Custo do produto (R$) Custo da embalagem (R$) A B A B E1 60 80 E1 2 3 E2 100 130 E2 3 4 E3 120 160 E3 4 6
  • 78. O fabricante quer vender o produto com lucro de 50% sobre o custo do produto, mas não quer obter lucro no custo da embalagem. Qual será o preço de venda dos produtos A e B. 60 80 2 3 P = 100 130 E = 3 4 120 160 4 6  O preço de venda é obtido efetuando-se a operação: 1,5 . P + E
  • 79. V = 1,5 . P + E 60 80 2 3 100 130 E = 3 4 P = 120 160 4 6 1,5.60 1,5.80 90 120 1,5 . P = 1,5.100 1,5.130 = 150 195 1,5.120 1,5.160 180 240 90 120 2 3 92 123 1,5 . P + E = 150 195 + 3 4 = 153 199 180 240 184 246 4 6
  • 80. Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2. –2 1 2 0 M = N = 3 2 3 4 3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2 = 1 0 –9 3 = –6 3 + –4 0 + = 9 6 –6 –8 0 1 3 –1
  • 81.  Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. A matriz produto (A x B)mxn terá número de linhas de A e número de colunas de B.
  • 82.  Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.  Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:
  • 87. Assim , Observe que: Portanto , A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
  • 88. Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
  • 89. A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
  • 91. 1 – Determine, se existirem, os produtos:
  • 92. 31 – Sejam as matrizes: Determine se existir: a) A.B d) Bt.C b) B.A e) B.At c) A.C f) (3.A).B
  • 93. Encontre os valores de x e y, para que a matriz M abaixo seja nula. x2 – 1 x2 – x – 2 M = x 2 – y2 x + y x2 – 1 = 0 ⇒ x = ±1 x2 – x – 2 = 0 ⇒ x = –1 ou x = 2 x2 – y2 = 0 x+y=0 ⇒ x = –y ⇒ x = –1 e y = 1
  • 94. Toda matriz quadrada na qual são nulos todos os elementos situados num mesmo lado da diagonal principal. Exemplos 3 1 ½ 7 3 A = 0 –5 B = 0 –2 1 0 0 2
  • 96. Resolver a equação 3X – A = 2B, onde –5 0 B = 1 –3 A = –1 4 2 1 A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B. X= x y z t x y –5 0 1 –3 3.X – A = 2B ⇒ 3. – = 2. z t –1 4 2 1
  • 97.  Resolver a equação 3X – A = 2B, onde –5 0 1 –3 A= B= –1 4 2 1 Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja. 1 3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B ⇒ X= (A + 2B) 3 –5 0 2 –6 –3 –6 A + 2B = + = –1 4 4 2 3 6
  • 98. Resolver a equação 3X – A = 2B, onde –5 0 1 –3 A= B= –1 4 2 1 Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja. 3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B ⇒ X = 1 (A + 2B) 3 1 –3 –6 –1 –2 X = = 1 2 3 3 6
  • 100. 23 – Resolva as seguintes equações matriciais:
  • 101. 24 – Determine a matriz X, tal que ( X + A)t = B, sendo: e 25 – Dada a matriz , obtenha as matrizes: a) 4.A b) 1/3.A c) – 2.A
  • 102. 26 – Sejam as matrizes e . Determine as seguintes matrizes: a) 3.A + B b) A – 3.B c) 2.A + 4.B d) 5.A – 2.B