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1 Matrizes
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os
ramos da ciência. Ela é composta de linhas (Horizontais) e colunas (Verticais). A
célula da matriz é o encontro de uma linha e de uma coluna e será indicada pelo
nome e tantos índices quantas forem as dimensões da matriz.
Exemplo
A i x j = 54
0145667
23679053
27817349
8477562
x












A representação anterior é uma matriz e cada número dentro da matriz é chamado
de elemento da matriz. A matriz pode ser representada entre parênteses ou entre
colchetes. No exemplo, a matriz A é do tipo 4 x 5 (quatro por cinco), isto é, 4 linhas
por 5 colunas.
Para indicarmos a ordem da matriz, dizemos primeiro o número de linhas e, em
seguida, o número de colunas. Por exemplo:





 
374
142
matriz de ordem 2 x 3 ( 2 Linhas e 3 colunas)
 491  matriz de ordem 1 x 3 ( 1 Linha e 3 colunas)
1.1 Representação Algébrica
Utilizamos letras minúsculas para indicar matrizes genéricas e letras
maiúsculas correspondentes aos elementos. Algebricamente a matriz pode ser
representada por:
mxnmnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A






















321
3333231
2232221
1131211
com m e n  * . Como o A é bastante extenso podemos representar por
nxmijaA )(
a11 ( Lê-se a um um ) elemento localizado na 1ª Linha e 1ª Coluna
a12 ( Lê-se a um dois ) elemento localizado na 1ª Linha e 2ª Coluna
Onde, i = Linha da Matriz
j = Coluna da Matriz
2
1.2 Matriz Quadrada
Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita
Quadrada.
Exemplo








43
41
A
é uma matriz de ordem 2












254
763
731
B
é uma matriz de ordem 3
Observações: Quando uma matriz tem todos os seus elementos iguais a zero,
dizemos que é uma matriz nula.
Os elementos aij onde i = j, formam a diagonal principal.
mxnmnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A






















321
3333231
2232221
1131211
Diagonal Secundária Diagonal Principal
1.3 Matriz Unidade ou Identidade
A matriz quadrada de ordem n, em que todos as elementos da diagonal
principal são iguais a 1 (um) e os demais elementos iguais a 0 (zero) é denominada
matriz identidade.
Representação: In











100
010
001
nI
1.4 Matriz Transposta
Se A é uma matriz de ordem m x n , denominamos transposta de A a matriz
de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas.
Representação : At
3
Exemplo









 

056
453
931
A
então a transposta será












049
553
631
t
A
1.5 Operação com Matrizes
As operações entre matrizes são:
1.5.1 Adição e Subtração
A adição ou a subtração de duas matrizes A e B, efetuada somando-se ou
subtraindo-se os seus elementos correspondentes e deverá ter a mesma dimensão.
Exemplo
Seja





 

54
81
A
e









43
22
B
então





 













 






 













 

17
61
43
22
54
81
91
103
43
22
54
81
BA
BA
1.5.2 Multiplicação
Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas de A tem que ser
igual ao número de linhas de B ; O produto AB terá o mesmo número de linhas de A
e o mesmo número de colunas de B.
mxpnxpmxn BABA )( 
Sejam as matrizes A e B, então a multiplicação das matrizes é:
4




































323322321231313321321131
322322221221312321221121
321322121211311321121111
233231
2221
1211
33333231
232221
131211
babababababa
babababababa
babababababa
BA
bb
bb
bb
Be
aaa
aaa
aaa
A
xx
Obs.: A multiplicação de um número real K qualquer por uma matriz é feita
multiplicando cada um dos elementos da matriz pelo número real K.
Exemplo
Seja K = 3
Se a matriz















1512
06
54
02
AkA
1.6 Matriz Oposta
Denominamos de matriz oposta a matriz cujos elementos são simétricos dos
elementos correspondentes.
Exemplo:















91
72
91
72
AA
1.7 Propriedades
Adição
A + B = B + A (Comutativa)
(A + B) + C = A + (B + C) (Associativa)
A + 0 = A (Elemento Neutro)
A + (-A) = 0 (Elemento Oposto)
Multiplicação
A . (BC) = (AB) . C (Associativa)
A . (B + C) = AB + AC (Distributiva à Direita)
(B + C) . A = BA + CA (Distributiva à Esquerda)
Obs.: A multiplicação de matrizes não é comutativa, mas se ocorrer AB = BA,
dizemos que as matrizes A e B comutam.
5
1.8 Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada, se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I, dizemos
que a matriz B é uma matriz inversa de A e a indicaremos por A-1. Vale lembrar que
I é a matriz identidade. Caso exista a inversa dizemos que a matriz A é inversível e,
em caso contrário, não inversível ou singular. Se a matriz quadrada A é inversível, a
sua inversa é única.
nIAAAA   11
Exemplo:
Determinar a inversa da matriz







23
21
A
. Fazendo







dc
ba
A 1
e sabendo que
nIAA  1
teremos:





























































4
1
4
3
2
1
2
1
4
1
2
1
123
02
4
3
2
1
023
12
10
01
2323
22
10
01
23
21
1
A
deb
db
db
ceaca
ca
dbca
dbca
dc
ba
1.9 DETERMINANTES
É um número real associado a matriz quadrada.
1.9.1 Determinante de uma matriz quadrada de 2ª Ordem
O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem é obtido pela diferença
entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
6
21122211
2221
1211
det aaaa
aa
aa
AA 
Exemplo
Achar o valor do determinante
33)5(28)1(574
71
54


1.9.2 Determinante de uma matriz quadrada de 3ª Ordem
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem
utilizaremos uma regra muita prática denominada regra de Sarrus.
Seja a matriz












154
230
321
A
. Para Calcularmos o determinante vamos repetir a 1ª e
a 2ª colunas à direita da matriz, conforme o esquema abaixo:










 54154
30230
21321
- - - + + +
det A = | A | = (1)(3)(-1) + (2)(2)(4) + (3)(0)(-5) – (2)(0)(-1) – (1)(2)(-5) – (3)(3)(4)
det A = | A | = -3 + 16 – 0 + 0 + 10 – 36 = -13

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Matrizes e determinantes

  • 1. 1 Matrizes As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência. Ela é composta de linhas (Horizontais) e colunas (Verticais). A célula da matriz é o encontro de uma linha e de uma coluna e será indicada pelo nome e tantos índices quantas forem as dimensões da matriz. Exemplo A i x j = 54 0145667 23679053 27817349 8477562 x             A representação anterior é uma matriz e cada número dentro da matriz é chamado de elemento da matriz. A matriz pode ser representada entre parênteses ou entre colchetes. No exemplo, a matriz A é do tipo 4 x 5 (quatro por cinco), isto é, 4 linhas por 5 colunas. Para indicarmos a ordem da matriz, dizemos primeiro o número de linhas e, em seguida, o número de colunas. Por exemplo:        374 142 matriz de ordem 2 x 3 ( 2 Linhas e 3 colunas)  491  matriz de ordem 1 x 3 ( 1 Linha e 3 colunas) 1.1 Representação Algébrica Utilizamos letras minúsculas para indicar matrizes genéricas e letras maiúsculas correspondentes aos elementos. Algebricamente a matriz pode ser representada por: mxnmnmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa A                       321 3333231 2232221 1131211 com m e n  * . Como o A é bastante extenso podemos representar por nxmijaA )( a11 ( Lê-se a um um ) elemento localizado na 1ª Linha e 1ª Coluna a12 ( Lê-se a um dois ) elemento localizado na 1ª Linha e 2ª Coluna Onde, i = Linha da Matriz j = Coluna da Matriz
  • 2. 2 1.2 Matriz Quadrada Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita Quadrada. Exemplo         43 41 A é uma matriz de ordem 2             254 763 731 B é uma matriz de ordem 3 Observações: Quando uma matriz tem todos os seus elementos iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula. Os elementos aij onde i = j, formam a diagonal principal. mxnmnmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa A                       321 3333231 2232221 1131211 Diagonal Secundária Diagonal Principal 1.3 Matriz Unidade ou Identidade A matriz quadrada de ordem n, em que todos as elementos da diagonal principal são iguais a 1 (um) e os demais elementos iguais a 0 (zero) é denominada matriz identidade. Representação: In            100 010 001 nI 1.4 Matriz Transposta Se A é uma matriz de ordem m x n , denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representação : At
  • 3. 3 Exemplo             056 453 931 A então a transposta será             049 553 631 t A 1.5 Operação com Matrizes As operações entre matrizes são: 1.5.1 Adição e Subtração A adição ou a subtração de duas matrizes A e B, efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes e deverá ter a mesma dimensão. Exemplo Seja         54 81 A e          43 22 B então                                               17 61 43 22 54 81 91 103 43 22 54 81 BA BA 1.5.2 Multiplicação Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas de A tem que ser igual ao número de linhas de B ; O produto AB terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B. mxpnxpmxn BABA )(  Sejam as matrizes A e B, então a multiplicação das matrizes é:
  • 4. 4                                     323322321231313321321131 322322221221312321221121 321322121211311321121111 233231 2221 1211 33333231 232221 131211 babababababa babababababa babababababa BA bb bb bb Be aaa aaa aaa A xx Obs.: A multiplicação de um número real K qualquer por uma matriz é feita multiplicando cada um dos elementos da matriz pelo número real K. Exemplo Seja K = 3 Se a matriz                1512 06 54 02 AkA 1.6 Matriz Oposta Denominamos de matriz oposta a matriz cujos elementos são simétricos dos elementos correspondentes. Exemplo:                91 72 91 72 AA 1.7 Propriedades Adição A + B = B + A (Comutativa) (A + B) + C = A + (B + C) (Associativa) A + 0 = A (Elemento Neutro) A + (-A) = 0 (Elemento Oposto) Multiplicação A . (BC) = (AB) . C (Associativa) A . (B + C) = AB + AC (Distributiva à Direita) (B + C) . A = BA + CA (Distributiva à Esquerda) Obs.: A multiplicação de matrizes não é comutativa, mas se ocorrer AB = BA, dizemos que as matrizes A e B comutam.
  • 5. 5 1.8 Matriz Inversa Seja A uma matriz quadrada, se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I, dizemos que a matriz B é uma matriz inversa de A e a indicaremos por A-1. Vale lembrar que I é a matriz identidade. Caso exista a inversa dizemos que a matriz A é inversível e, em caso contrário, não inversível ou singular. Se a matriz quadrada A é inversível, a sua inversa é única. nIAAAA   11 Exemplo: Determinar a inversa da matriz        23 21 A . Fazendo        dc ba A 1 e sabendo que nIAA  1 teremos:                                                              4 1 4 3 2 1 2 1 4 1 2 1 123 02 4 3 2 1 023 12 10 01 2323 22 10 01 23 21 1 A deb db db ceaca ca dbca dbca dc ba 1.9 DETERMINANTES É um número real associado a matriz quadrada. 1.9.1 Determinante de uma matriz quadrada de 2ª Ordem O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
  • 6. 6 21122211 2221 1211 det aaaa aa aa AA  Exemplo Achar o valor do determinante 33)5(28)1(574 71 54   1.9.2 Determinante de uma matriz quadrada de 3ª Ordem Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem utilizaremos uma regra muita prática denominada regra de Sarrus. Seja a matriz             154 230 321 A . Para Calcularmos o determinante vamos repetir a 1ª e a 2ª colunas à direita da matriz, conforme o esquema abaixo:            54154 30230 21321 - - - + + + det A = | A | = (1)(3)(-1) + (2)(2)(4) + (3)(0)(-5) – (2)(0)(-1) – (1)(2)(-5) – (3)(3)(4) det A = | A | = -3 + 16 – 0 + 0 + 10 – 36 = -13