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1. Matrizes
1.1 Definição
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias
operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que
apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.
Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m)
Ricardo 70 23 1,70
José 60 42 1,60
João 55 21 1,65
Pedro 50 18 1,72
Augusto 66 30 1,68
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado
elemento da matriz.
















68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
ou
















68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e
3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes.
Exemplos:






8
1
6
3
7
2
: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)
 314 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)








5
3
4,0
: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
1.2 Representação Algébrica
Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os
elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:
*
21
22221
11211
...













nemcom
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n



Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)m x n
aij = i – linha
j – coluna
Exemplo1: Determinar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j.
Exemplo 2- Determinar os elementos da matriz B = (bij)4 x 2 em que bij = i – j².
Matrizes especiais
1.3.1 Matriz Quadrada
Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada.
Exemplo:








01
43
A é uma matriz quadrada de ordem 2
Observações:
1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula.
2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal.
A outra diagonal é chamada diagonal secundária. Ex:
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
]
1.3.2 Matriz identidade
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais
elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz identidade por In.
Exemplo:







10
01
2I











100
010
001
3I
1.3.3 Matriz transposta
Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca
ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.
Exemplo:











7
4
1
8
5
2
A a sua transposta é 






7
8
4
5
1
2t
A
1.4 Igualdade de Matrizes
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as
matrizes A e B são ditas iguais.
 mxnijaA   mxnijbB 
32232221
131211
x
aaa
aaa
A 






32232221
131211
x
bbb
bbb
B 






ijij baBA 
Exemplo: Dadas as matrizes 














13
5
110
52
yx
yx
BeA , calcular x e y para que A =B.
1.5. Operações com matrizes
Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ou subtraindo-
se os seus elementos correspondentes.
Propriedades da Adição:
Comutativa: A + B = B + A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C
Elemento Neutro: A + 0 = A
Elemento Oposto: A + (-A) = 0
1.5.1 Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz – A cujos elementos são os simétricos
dos elementos correspondentes de A
Exemplo:















52
01
52
01
AA
Exemplo 2 : Dadas as matrizes 










 








16
03
52
10
,
43
12
CeBA , calcule:
a) A+B =
b) 𝐴 − 𝐵 𝑇 + 𝐶 =
Exemplo 3 : Dadas as matrizes
























2
4
1
5
2
3
BeA , calcular a matriz X tal que 0 BAX
Exemplo 4: Dada a matriz













210
432
011
A , obtenha a matriz X tal que t
AAX 
1.6. Multiplicação de um número real por uma matriz:
Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por todos os elementos da matriz, e o
resultado é uma matriz do mesmo tipo.
Exemplo: Dada a matriz C =[
3 1
2 −5
] e o número real p = 3. O produto p . C será:
Exemplo2: Dadas as matrizes 








450
123
A e 








113
024
B , determine:
a) 3A + 2B=
b) 02  BAX
1.7. Multiplicação de Matrizes
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é
obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima
coluna B.
ATENÇÃO: na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B.
Exemplo: Determine o produto de A.B, sabendo que A=[
9 7
0 8
] 𝑒 𝐵 = [
1 2 3
4 5 6
].
Exemplo2: Determine o produto de A.B, sabendo que A=[
2 3 1
−1 0 2
] 𝑒 𝐵 = [
1 −2
0 5
4 1
].
Exemplo 3:Resolva a equação matricial A.X=B,sendo A= [
2 4 6
1 2 3
] 𝑒 𝐵 = [
4
1
].
1.8. Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. se existir uma matriz B tal que A.B=B.A=I, dizemos que a matriz B é inversa de
A e indicamos por 𝐴−1.
Portanto: 𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏. 𝑨 = 𝑰
Exemplo: Determine a matriz inversa de A =[
3 2
5 4
].
Exemplo 2- Mostre que a inversa da Matriz A= [
−1 −1 2
2 1 −2
1 1 1
] é B= [
1 1 0
0 −1 2
1 0 1
]

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Apostila de matrizes ju

  • 1. 1. Matrizes 1.1 Definição As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas. Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m) Ricardo 70 23 1,70 José 60 42 1,60 João 55 21 1,65 Pedro 50 18 1,72 Augusto 66 30 1,68 O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.                 68,13066 72,11850 65,12155 60,14260 70,12370 ou                 68,13066 72,11850 65,12155 60,14260 70,12370 Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes. Exemplos:       8 1 6 3 7 2 : matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)  314 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)         5 3 4,0 : matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna) 1.2 Representação Algébrica Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por: * 21 22221 11211 ...              nemcom aaa aaa aaa mnmm n n    Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)m x n aij = i – linha j – coluna Exemplo1: Determinar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j. Exemplo 2- Determinar os elementos da matriz B = (bij)4 x 2 em que bij = i – j².
  • 2. Matrizes especiais 1.3.1 Matriz Quadrada Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada. Exemplo:         01 43 A é uma matriz quadrada de ordem 2 Observações: 1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula. 2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada diagonal secundária. Ex: [ 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 ] 1.3.2 Matriz identidade A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz identidade por In. Exemplo:        10 01 2I            100 010 001 3I 1.3.3 Matriz transposta Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At. Exemplo:            7 4 1 8 5 2 A a sua transposta é        7 8 4 5 1 2t A 1.4 Igualdade de Matrizes Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais.  mxnijaA   mxnijbB  32232221 131211 x aaa aaa A        32232221 131211 x bbb bbb B        ijij baBA  Exemplo: Dadas as matrizes                13 5 110 52 yx yx BeA , calcular x e y para que A =B.
  • 3. 1.5. Operações com matrizes Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ou subtraindo- se os seus elementos correspondentes. Propriedades da Adição: Comutativa: A + B = B + A Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C Elemento Neutro: A + 0 = A Elemento Oposto: A + (-A) = 0 1.5.1 Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz – A cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A Exemplo:                52 01 52 01 AA Exemplo 2 : Dadas as matrizes                      16 03 52 10 , 43 12 CeBA , calcule: a) A+B = b) 𝐴 − 𝐵 𝑇 + 𝐶 = Exemplo 3 : Dadas as matrizes                         2 4 1 5 2 3 BeA , calcular a matriz X tal que 0 BAX
  • 4. Exemplo 4: Dada a matriz              210 432 011 A , obtenha a matriz X tal que t AAX  1.6. Multiplicação de um número real por uma matriz: Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por todos os elementos da matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo. Exemplo: Dada a matriz C =[ 3 1 2 −5 ] e o número real p = 3. O produto p . C será: Exemplo2: Dadas as matrizes          450 123 A e          113 024 B , determine: a) 3A + 2B= b) 02  BAX 1.7. Multiplicação de Matrizes Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. ATENÇÃO: na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. Exemplo: Determine o produto de A.B, sabendo que A=[ 9 7 0 8 ] 𝑒 𝐵 = [ 1 2 3 4 5 6 ].
  • 5. Exemplo2: Determine o produto de A.B, sabendo que A=[ 2 3 1 −1 0 2 ] 𝑒 𝐵 = [ 1 −2 0 5 4 1 ]. Exemplo 3:Resolva a equação matricial A.X=B,sendo A= [ 2 4 6 1 2 3 ] 𝑒 𝐵 = [ 4 1 ]. 1.8. Matriz Inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. se existir uma matriz B tal que A.B=B.A=I, dizemos que a matriz B é inversa de A e indicamos por 𝐴−1. Portanto: 𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏. 𝑨 = 𝑰 Exemplo: Determine a matriz inversa de A =[ 3 2 5 4 ]. Exemplo 2- Mostre que a inversa da Matriz A= [ −1 −1 2 2 1 −2 1 1 1 ] é B= [ 1 1 0 0 −1 2 1 0 1 ]