Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre matrizes, incluindo: 1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que organiza dados de forma estruturada; 2) Cada elemento de uma matriz tem uma posição definida por sua linha e coluna; 3) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais e nulas.

1. Fabiana de Sousa Santos Gonçalves

3. O colégio Tales distribui, durante o ano
letivo, 100 pontos por matéria. O quadro a
seguir mostra os totais de pontos obtidos por
Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos
de 2006 e 2007.
Ana Carlos Pedro
2006 80 75 72,5
2007 76 82,5 78
 Quadros como esses ajudam a organizar
dados. Fica mais fácil analisá-los, combiná-los
com outros.

4. Foi o matemático inglês, James Joseph,
Sylvester, quem usou pela primeira vez esta
forma de trabalhar com um conjunto de
informações, dispondo-as em linhas e colunas
em uma tabela.
A um quadro desse tipo, damos o nome de
Matriz. Cada número que o constitui é um
elemento da matriz.
O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto
é, possui 2 linhas e 3 colunas.

5.  Matriz
Podemos dizer que uma matriz é uma
tabela com colunas (vertical) e linhas
(horizontal). Então chamamos de matriz
toda tabela m x n sendo que m e n
podem assumir qualquer valor natural
menos o zero. Sendo que m é o número
de linhas e n o número de colunas.
Para representar uma matriz devemos
colocar as linhas e colunas entre
parênteses, chaves ou entre duas barras
duplas, veja alguns exemplos:

6. Para nomear matrizes, usamos letras
latinas maiúsculas. Seus elementos
ficam dentro de parênteses ou
colchetes.
 Exemplo
80 75 72,5
80 75 72,5
A= ou A =
76 85,2 78
76 82,5 78

7. Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas.
Dizemos que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três)
ou, simplesmente, uma matriz 2 x 3.
80 75 72,5 → 1ª linha
A =
76 82,5 78 → 2ª linha
1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna
 Nossa matriz é indicada por A2x3.

8. Observe que em cada matriz dos
exemplos à esquerda, tem ao lado
indicando o número de linhas e o de
colunas da matriz, o primeiro
exemplo esta indicado 2 x 3 que lê
assim a matriz é de ordem dois por
três.
Se pegarmos uma matriz qualquer
de ordem m x n, como iríamos
representá-la?
Cada elemento de uma matriz
pertence a uma linha e uma
coluna. Dada a matriz de ordem 3
x 2:

10. De maneira geral, indicamos um elemento de
uma matriz por uma letra minúscula,
acompanhada de dois índices, que definem sua
posição na matriz.
 Um elemento genérico da matriz A é
indicado assim:
i indica a linha do elemento
aij j indica a coluna do elemento

11. a11 ; a21 ; a12 ; a22 são
elementos da matriz
de ordem 2 x 2 (duas
linhas e duas colunas).
Então o elemento a21
pertence a 2ª linha e
1º coluna.

12. O elemento - 5 pertence a
1ª linha e a 1ª coluna.
O elemento 2 pertence a
2ª linha e 2ª coluna.
 Pararepresentarmos uma matriz de
ordem 2 x 2 onde não temos seus
elementos definidos, representamos da
seguinte forma:

13.  Se m e n são dois números naturais positivos,
chama-se matriz do tipo m x n todo quadro
formado por m.n números reais, dispostos de
forma ordenada em m linhas e n colunas.
 Uma matriz genérica Am x n pode ser representada
assim:
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
A =
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 ... amn
 De forma simplificada, temos A = [aij]m x n

14. Na matriz A representada a seguir, cada
elemento aij indica a média, em
Matemática, da turma i no bimestre j.
Identificar o tipo de matriz e obter a
média da turma 2 no 3.º bimestre e a
média da turma 3 no 4.º bimestre.
6,2 8,3 9 7,4
A = 8 7,3 8,7 6,5
7,2 8,1 6,9 7
 A3 x 2.  a23 = 8,7  a34 = 7

15. Na matriz A exemplificada, temos
A=
80 75 72,5
76 82,5 78
 a11 = 80  a12 = 75  a13 = 72,5
 a21 = 76  a = 82,5
22  a23 = 78

17. Uma matriz pode ser
definida, indicando-se seu tipo
e uma fórmula para o cálculo
de cada elemento aij, em
função de i e j.

18. Construir a matriz A = (aij)3x2, em
que aij = 3i – j.
a11 a12 2 1
A= a21 a22 A = 5 4
a31 a32 8 7
 aij = 3i – j
a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1
a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4
a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 =7

19. Construir a matriz B = (bij)2x2, tal que
bij = 2i + j, se i ≥ j
ji , se i < j b11 b12
B=
b21 b22
b11 = 2.1 + 1 = 3
b12 = 21 = 2 3 2
B=
b21 = 2.2 + 1 = 5 5 6
b22 = 2.2 + 2 = 6

20. Exemplo:
Escreva a matriz A = (a
A matriz A é de ordem 2 x 3,
então podemos escrevê-la assim:
( i j)2 x 3 tal que aij = 2i + j.

21.  Agora os números que ocuparam o lugar de:
a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da
equação dada no enunciado: aij = 2i + j.
Então iremos calcular cada elemento
sabendo que:
i é a linha que o elemento pertence.
j é a coluna que o elemento pertence.
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1
a11 = 3 a21 = 5
a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2
a12 = 4 a22 = 6
a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3
a =5 a =7

22. Então os elementos que pertencem
a matriz A são:

24. 1 – Uma rede é composta por
cinco lojas, numeradas de 1 a
5.
A tabela a seguir apresenta o
faturamento, em dólares, de
cada loja nos quatro primeiros
dias de janeiro:
Cada elemento aij dessa
matriz é o faturamento da
loja i no dia j.
a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?
b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3?
c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias?

25. 2 – Represente explicitamente cada uma das matrizes:
3 – Identifique os tipos de matrizes:

26. 4 – Determine quantos elementos possui uma matriz do
tipo:
a) 1 x 6 b) 4 x 1 c) 3 x 3 d) 3 x 5
5 – É dada a matriz , Identifique os
elementos da:
a) 1ª linha b) 3ª linha c) 4ª linha d) 2ª coluna
6 – Considere a matriz
Determine o valor dos seguintes elementos:
a) b11 b) b21 c) b12
d) b23 e) b32 f) b22

27. 7 – Uma matriz possui quatro elementos. Quais os tipos
possíveis para essa matriz?
8 – Determine a matriz A = (aij)2x3 , tal que:
a) aij = i + 2.j c) aij = 2.i – j
b) aij = i2 + j d) aij = j – 2.i
9 – Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que:
a) aij = 1, se i = j c) aij = i + j, se i = j
0, se i ≠ j - i – j, se i ≠ j
b) aij = 2, se i = j d) aij = i2 , se i = j
-1, se i ≠ j j2 , se i ≠ j
10 – Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por
aij = 3.i – j2 +3.

28. É toda matriz do tipo 1xn(n ∈ R*).
Observe os exemplos:

29. É toda matriz do tipo mx1(m R*).

30. Uma matriz que tem apenas uma linha é
chamada de matriz linha. Uma matriz que
tem somente uma coluna é denominada de
matriz coluna.
 Exemplos
–1 2 5 É uma matriz linha 1 x 3.
3
É uma matriz coluna 2 x 1.
6

31. É Toda matriz quadrada possui duas
diagonais:
• A principal, composta por elementos aij
tais que i=j, isto é:
 Toda matriz cujo numero de linhas é igual
ao numero de colunas. Assim, chamamos
matriz quadrada de ordem n toda matriz
do tipo n x n. Exemplos:

32. A secundária, em que os elementos aij
são tais que, i+j = n+1. veja como são as
diagonais de uma matriz quadrada do
tipo 3×3.

33. Chama-se matriz quadrada toda matriz em
que o número de linhas é igual ao de
colunas. O número de linhas (ou colunas) é a
ordem da matriz.
0 3
é matriz quadrada de ordem 2.
–2 5
3 0 –3
7 2 –5
é matriz quadrada de ordem 3.
1 4 0

34. Numa matriz quadrada A =[aij], de ordem n,
chama-se
 Diagonal principal o conjunto dos elementos aij
em que i = j;
 Diagonal secundária o conjunto dos elementos
aij em que i + j = n + 1;
Diagonal secundária
a11 a12 a13 (i + j = 4)
a21 a22 a23
Diagonal principal
a31 a32 a33 (i = j)

35.  É toda matriz do tipo m x n
cujos elementos são todos
nulos. Para indicar uma matriz
nula utiliza-s a notação:

36. Uma matriz que tem os seus elementos
iguais a zero é chamada matriz nula.
Existe uma matriz nula de cada tipo. A
matriz nula pode ser indicada por Om x n.
O = 0 0 0
É uma matriz nula 2 x 3.
0 0 0
0 0
O = É uma matriz nula 2 x 2.
0 0

37. Étoda matriz quadrada em que os
elementos não pertencentes à
diagonal principal são todos nulos.
Por exemplo:

38. É uma matriz quadrada onde aij = 0,
para i j, isto é, os elementos que não
estão na diagonal principal são nulos.

39. Toda matriz quadrada em que todos os
elementos fora da diagonal principal são iguais
a zero é chamada matriz diagonal.
 Chama-se traço de uma matriz quadrada a
soma dos elementos de sua diagonal principal.
M = 3 0 ½ 0 0
N =
0 –5 0 0 0
Traço de M é –2. 0 0 2
Traço de N é 3/2.

40. Calcule o traço da matriz quadrada A abaixo,
sabendo que ela é matriz diagonal.
x – 2y x – y + 6
A =
x + 2y x + y
x + 2y = 0 x + 2y = 0 +
⇒ 2x – 2y + 12 = 0
x – y + 6 = 0 x (2)
3x + 12 = 0
⇒ x = –4 e y = 2
O traço da matriz é:
x – 2y + x + y = 2x – y = –10

41. Chama-se matriz identidade de ordem n a
matriz quadrada indicada In tal que.
 Os elementos da diagonal principal são
todos iguais a 1;
 Todos os outros elementos são iguais a 0;
1 0
I2 = é matriz identidade de ordem 2.
0 1
1 0 0
I3 = é matriz identidade de ordem 3.
0 1 0
0 0 1

42. Desse modo, se a matriz A é do tipo
m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à
1ª coluna de At e a 2ª linha de A
corresponde à 2ª coluna de At.

43. Veja como podemos apresentar os dados
referente à tabela da introdução de
matrizes.
2006 2007
Ana Carlos Pedro
Ana 80 76
2006 80 75 72,5
Carlos 75 82,5
2007 76 82,5 78
Pedro 72,5 78
80 75 72,5 80 76
A = ⇒
76 82,5 78 75 82,5
B = 72,5 78

44. Se A é uma matriz do tipo m x n, chama-se
transposta de A (simbolicamente At), a matriz do
tipo n x m, obtida de A, trocando-se de posição
linhas com colunas, de forma que
A = (aij)m x n ⇒ At = (aji)n x m
2 3
⇒
2 –1 1
A = At =
3 0 –5 –1 0
1 –5

45. matriz quadrada de ordem n tal
que A = At . Por exemplo,
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 =
a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos
sempre a ij = a ij.

46. Toda matriz quadrada que é igual a sua
transposta é chamada matriz simétrica.
A é simétrica ⇔ A = At
1 –3 5
N =
–3 2 –1
5 –1 6

47. Obtenha m, n, e p, para que seja simétrica a
matriz.
3 m + n 2
P =
–1 1 5
m – 2n p + 2 0
m + n = –1 m + n = –1 2m + 2n = –2
m – 2n = 2 ⇒ m – 2n = 2 ⇒ m – 2n = 2 +
3m = 0
p + 2= 5 ⇒ p = 3 ⇒ m = 0
e n = –1

48. Toda matriz quadrada que é igual à oposta de sua
transposta é chamada matriz anti-simétrica.
A é anti-simétrica ⇔ A = –At
0 3 –5
N = –3 0 –1
5 1 0

49. Complete a matriz para que ela seja
anti-simétrica.
0
.... 2
.... 5
Q =
–2 ....
0 3
....
–5 ....
–3 ....
0

50. matriz -A obtida a partir de A
trocando-se o sinal de todos os
elementos de A.

51. Chama-se oposta de uma matriz A a
matriz representada por –A, cujos
elementos são os opostos dos elementos de
mesma posição em A.
0 –3
A oposta da matriz A = , é a matriz
2 –5
0 3
–A =
–2 5

52. Dizemos que duas matrizes A e B são
iguais só se elas são do mesmo tipo e
cada elemento de uma delas é igual
ao elemento de mesma posição da
outra.
Se alguma das condições anteriores
falhar, dizemos que A e B são
matrizes diferentes.

53. Duas matrizes A = (aij)mxn e B =
(bij)mxn de mesma ordem, são
iguais se, e somente se, aij = bij.

54. Verificar se as matrizes A e B abaixo são
iguais.
2 1 2 1
A = B =
5 4 8 4
8 7 5 7
 As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e
têm os mesmos elementos. Elas são
diferentes pois os elementos 5 e 8 ocupam
posições diferentes.

55. Calcular x, y, z e t para que ocorra a
igualdade.
2x –1 4 x+z
y+1 3 =
5 t–y
2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x=2
y+1=5 ⇒ y=4
x + z = –1 ⇒ 2 + z = –1 ⇒ z = –3
t–y=3 ⇒ t–4=3 ⇒ t=7

57. 1 – Determine a, b, c e d para que se tenha
2 – Determine x, y e z que satisfaçam;
3 – Em cada item determine, caso exista, o
número real m que satisfaz a igualdade:

58. 4 – seja A = (aij)2x3, em que aij = i + j. Determine
m, n e p em B =
, a fim de que tenhamos A = B.
5 – Determine os valores de a, b, c, d, e e f que
tornam verdadeira a igualdade:

60. Em certos casos surge a necessidade de
efetuar operações com matrizes.
 Adição;
 Subtração;
 Multiplicação de uma constante real por
uma matriz;
 Multiplicação.

61. Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma
constante real, definem-se as seguintes
operações:
 Adição de matrizes: A + B é a matriz em que
cada elemento é a soma dos elementos de mesma
posição em A e B.
 Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a
soma de A com a oposta de B.
 Multiplicação de um número por uma matriz: kA é
a matriz obtida multiplicando-se, por k, cada um
dos elementos de A.

62. A soma de duas matrizes A = (aij)mxn
e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma
matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij.
A subtração de matrizes é dada
pela sentença:
A + B = C

63. Se é um número real, o produto
desse número por uma matriz A =
(aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal
que bij = . aij

64. Calcule:
2 –1
4 5 2+4 –1 + 5 6 4
+ = =
1 3 –5 –2 1–5 3–2 –4 1
3 -7 10 9 -21 30
N= 3N =
-1 8 -5 -3 24 -15
0 4 -2 0 12 6

65. Observação: A + B existe se, e somente
se, A e B forem do mesmo tipo

67. 1 – Calcule:
2 – Sejam A = ,B= eC=
Determine as matrizes:
a) A + B + C b) A – B + C
c) A – (B + C) d) B – C + A

68. 3 – Dê cada tipo das matrizes:

69. 4 – Em cada caso determine o valor de elemento a22,
se existir:
5 – Escreva a matriz A = (aij)3x4, em que
aij = 3.i – 2j +1
6 – Determine a matriz B = (bij)4x3, em que
bij = 2 + i2 + j

70. 7 – Determine a soma dos elementos da diagonal
principal de cada matriz quadrada seguinte:

71. 8 – Em cada caso obtenha a transposta da matriz
dada:

72. 9 – Seja A = (aij)3x4, em que aij = 2i + 3j2. Escreva a
matriz At.
.
10 – Qual é o elemento a46 da matriz A = (aij)8x8,
em que aij = ( - 1)i + j. ?
11 – Seja a matriz A = (aij)3x3, em que aij = i.j.
Forneça os elementos que pertencem às diagonais
principal e secundária de A.
12 – Dê a matriz A = (aij)4x3, em que:
aij =

73. 13 – Uma matriz quadrada A é dita simétrica
quando A = At.
a) Sabendo-se que a matriz é simétrica,
qual é o valor de
x + 2y – z ?
b)Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica
quando A = - At . determine os valores de x e y a
fim de que a matriz seja
antiassimétrica
14 – Sejam as matrizes A = (aij)10x12, em que
aij = 2i – j, e B = (bij)10x12, em que bij = i + j.
Seja C = A + B, em que cij = aij + bij. Determine os
elementos:
a) c78 b) c1012

74. 15 – Em um fim de semana, registrou-se o número
de fregueses que fizeram compras em uma padaria,
bem como o período (manhã, tarde ou noite) da
visita.
Na matriz a seguir, o elemento aij indica
o número de fregueses que foram à
padaria no dia i e no período j.
Sabendo que sábado e domingo correspondem,
respectivamente, os índices 1 e 2 e que manhã,
tarde e noite são representados pelos índices 1, 2 e
3, respectivamente, determine:
a) O número de clientes que a padaria recebeu
sábado à tarde;
b) O número total de clientes no domingo.

75. 16 – Quatro seleções (Rússia, Itália,
Brasil e EUA) disputam a etapa
final de um torneio internacional de
vôlei no sistema “todos jogam
contra todos” uma única vez. O
campeão do torneio será a equipe
que obtiver mais vitórias; em caso
de empate no número de vitórias, o
campeão é decidido pelo resultado
obtido direto entre as equipes
empatadas. Na matriz seguinte, o
elemento aij indica o número de sets
que a seleção i venceu no jogo
contra a seleção j. Lembre que o
jogo de vôlei termina quando uma
equipe completa 3 sets.

76. Representando Rússia por 1, Itália por 2 Brasil por
3 e EUA por 4, determine:
a) O número de vitórias da equipe norte-americana;
b) O placar do jogo Brasil x Itália;
c) O número de sets marcados contra a Rússia;
d) O campeão do torneio.

77. 17 - As tabelas a seguir indicam o número de
faltas de três alunos (A, B e C) em cinco disciplinas
(Português, Matemática, Biologia, História e Física,
representadas por suas iniciais), nos meses de
março e abril.
Março
P M B H F
Aluno A 2 1 0 4 2
Aluno B 1 0 2 1 1
Aluno C 5 4 2 2 2
Abril
P M B H F
Aluno A 1 2 0 1 3
Aluno B 0 1 1 3 1
Aluno C 3 1 3 2 3

78. a) Qual tabela indica o número de faltas desses
alunos no primeiro bimestre?
b) No primeiro bimestre, qual aluno teve o maior
número de faltas em Português? E em matemática?
E em história?
18 – Resolva as seguintes equações matriciais:

79. 19 – Determine a matriz X, tal que ( X + A)t = B,
sendo:
e
e
20 – Dada a matriz
, obtenha as matrizes:
a) 4.A b) 1/3.A c) – 2.A
21 – Sejam as matrizes e
. Determine as seguintes matrizes:
a) 3.A + B b) A – 3.B c) 2.A + 4.B
d) 5.A – 2.B

80. 22 – Sejam as matrizes
ee B = (bij)3x3, em que bij = 2i – 3j. Determine as
matrizes:
a) 3.A + 4.B b) 2.At – Bt
23 – Resolva a equação matricial:
24 ,– Dadas as matrizes ,
. Determine a matriz X que verifica
a equação 2.A + B = X + 2.C

81.  Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B =
(bij)mxn, o produto da matriz A pela
matriz B, nesta ordem, somente será
possível quando o número de colunas da
matriz A for igual ao número de linhas
da matriz B.
A matriz produto (A x B)mxn terá número de
linhas de A e número de colunas de B.

82.  Os elementos da matriz produto são
obtidos multiplicando-se cada elemento
das linhas da matriz A pelo
correspondente elemento das colunas da
matriz B e adicionando os produtos
obtidos.
 Vamos multiplicar a matriz
para entender como se obtém cada Cij:

87. Assim ,
Observe que:
Portanto , A, ou seja, para a multiplicação de
matrizes não
vale a propriedade comutativa.

88. Da definição, temos que a matriz produto A . B
só existe se o número de colunas de A for igual ao
número de linhas de B:

89. A matriz produto terá o número de
linhas de A (m) e o número de colunas
de B(n):
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o
produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1

91. 1 – Determine, se existirem, os produtos:

92. 2 – Sejam as matrizes:
Determine se existir:
a) A.B d) Bt.C
b) B.A e) B.At
c) A.C f) (3.A).B