Plano de aula po1 capitulo 2 revisão algebra 2015 vrs 0001
1. Apostila de Exercícios da
Disciplina de Pesquisa
Operacional I
Luís Alberto Duncan Rangel
UFF – EEIMVR
Depto. de Engenharia de Produção de Volta Redonda
luisduncan@id.uff.br
Volta Redonda 16/03/2015
2. SUMÁRIO
2. Revisão de Álgebra Linear – Matrizes:
2.1. Introdução - Notação:
2.2. Matriz qualquer;
2.3. Matriz nula;
2.4. Matriz quadrada;
2.5. Matriz identidade;
2.6. Matriz transposta;
2.7. Operações com Matrizes:
2.7.1. Adição de Matrizes;
2.7.2. Multiplicação de Matriz por um Escalar;
2.7.3. Multiplicação de Matrizes
2.7.4. Determinante de uma Matriz;
3. 2.8. Matriz Singular;
2.9. Matriz Não Singular;
2.10. Matriz inversa
2.11. Utilização do software Excel.
2.11.1 Transposta de uma Matriz;
2.11.2 Soma de matrizes;
2.11.3 Determinante de uma Matriz;
2.11.4 Multiplicação de Matriz por um Escalar;
2.11.5 Multiplicação de Matrizes;
2.11.6 Matriz inversa;
2.12. Exercício sobre matrizes através do Excel;
SUMÁRIO
4. 2.13. Sistemas de equações lineares;
2.13.1 Solução através do produto da inversa da
matriz pelo vetor C;
2.13.2 Solução do sistema por adição das equações;
2.13.3 Solução do sistema por substituição;
2.13.4 Solução do sistema pelo método de Gaus-
Jordan;
2.14. Representação de retas no plano e interseção
de retas no plano;
2.15. Exercícios: Determinação de interseções de
retas no plano;
SUMÁRIO
5. Pretende-se nesta revisão de álgebra linear, fazer uma
breve apresentação da notação de matrizes, dos tipos de
matrizes e algumas operações com matrizes, tais como,
transformações lineares, que serão muito úteis na resolução
de problemas de programação linear empregando o
algoritmo Simplex.
Para uma revisão completa consultar a seguinte referência
bibliográfica (Kolman, B. Introdução a Álgebra Linear com
Aplicações. 7a ed. Rio de Janeiro, Ed. Prentice-Hall do Brasil,
1998; Lay, D.C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 2a ed. Rio
de Janeiro, Ed. LTC S.A., 1999).
2.1 Introdução - Notação
6. Uma matriz é definida como sendo um conjunto de números
complexos ou reais, dispostos ordenadamente, em forma
retangular ou quadrada. Uma matriz pode ser representada
da seguinte forma:
Nesta revisão, considera-se que os elementos da matriz aij
R, isto é, assumam somente valores reais, e que i = 1, 2,
..., m e j = 1, 2, ..., n. Em cada elemento da matriz aij, i
representa a i-ésima linha e j representa a j-ésima coluna.
Desta forma, uma matriz A com a notação Amxn informa que
a matriz A possui m linhas e n colunas.
2.1 Introdução - Notação
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
7. Diz-se que B é uma matriz qualquer.
B é uma matriz qualquer de três linhas (m) e
cinco colunas (n).
2.2 Matriz Qualquer
87531
09876
54321
53 xB
8. Diz-se que C é uma matriz nula de duas linhas (m) e
quatro colunas (n).
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos da
matriz são nulos.
2.3 Matriz Nula
0000
0000
42 xC
9. Diz-se que D é uma matriz quadrada, quando o número de
linhas (m) e colunas da matriz (n) são iguais.
D é uma matriz quadrada de ordem 4.
2.4 Matriz Quadrada
11852
9630
8642
7531
44 xD
10. Uma matriz identidade é uma matriz quadrada e nesta
matriz todo elemento da diagonal principal é igual a 1 e
todos os outros elementos da matriz, fora da diagonal
principal, são zeros. E1 é uma matriz identidade de ordem 3,
e E2 é uma matriz quadrada de ordem 5.
2.5 Matriz Identidade
100
010
001
1 33 xE
10000
01000
00100
00010
00001
2 55 xE
11. Dada uma matriz qualquer F, diz-se que a matriz transposta
desta matriz é uma nova matriz obtida, invertendo-se linhas
por colunas e as colunas por linha de forma ordenada.
Por exemplo, dada a matriz F, a matriz transposta de F é
denotado por FT e tem como resultado:
2.6 Matriz Transposta
09
87
65
43
21
25 xF
08642
97531
52 x
T
F
12. 2.7.1 Adição de Matrizes:
A adição de matrizes só pode ser realizada quando o
número de linhas e colunas da primeira matriz (G) for igual
ao número de linhas e colunas, respectivamente, da
segunda matriz (H). Os elementos da matriz resultante (R)
serão obtidos somando-se os elementos de mesma posição
da primeira e da segunda matriz. Desta forma, a matriz R
resultante da soma de G com H é:
2.7 Operações com Matrizes
654
321
32 xG
654
321
32 xH
12108
642
32 xR
13. 2.7.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar:
A multiplicação de um número por uma matriz terá como
resultado o produto de número por cada elemento da
matriz. Por exemplo, multiplicando o número dois pela
matriz J, obtém-se a matriz K. =2 (escalar). K = 2 * J:
2.7 Operações com Matrizes
103
654
987
321
34 xJ
206
12108
181614
642
34 xK
14. 2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:
A operação de multiplicação de duas matrizes só poderá ser
realizada quando o número de colunas da primeira matriz
(n1) for igual ao número de linhas da segunda matriz (m2).
A matriz resultante deste produto terá como dimensão o
número de linhas da primeira matriz (m1) e o número de
colunas da segunda matriz (n2). Desta forma, uma matriz
L2x3 multiplicada pela matriz M3x4 terá como resultado a
matriz N2x4. A ordem da operação não pode ser alterada.
N2x4 = L2x3 x M3x4.
2.7 Operações com Matrizes
15. 2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:
A ordem da operação de multiplicação não pode ser
alterada, pois a operação pode não ser viável.
N = L x M.
2.7 Operações com Matrizes
:
8765
4112
1201
210
321
4332 resultadocomoteráMdamultiplicaL xx
824110721120621100522110
834211731221631201532211
42
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
N x
20151312
33252020
42 xN
16. 2.7.4 Determinante de uma Matriz:
Por definição, o determinante de uma matriz só pode ser
calculado se a matriz for quadrada. O valor obtido é um
valor real que é associado a matriz.
Utiliza-se det M como sendo a notação para representar o
determinante de uma Matriz. Por exemplo, dada uma matriz
A3x3:
Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas
para baixo e três setas para cima de tal forma a interceptar
três elementos da matriz de cada vez:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2.7 Operações com Matrizes
17. 2.7.4 Determinante de uma Matriz:
Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas
para baixo, somando-se os produtos de cada multiplicação,
e três setas para cima, subtraindo os produtos de cada
multiplicação. Assim, por exemplo, dada a matriz A, verifica-
se o calculo do determinante da matriz A, da seguinte
forma:
det A = 1x5x9 + 2x6x7 + 4x4x8 – 7x5x4 – 8x6x1 – 9x4x2 =
det A = 45 + 84 + 128 – 140 – 48 – 72 = 257 – 260 =
det A = -3
2.7 Operações com Matrizes
8
5
2
7
4
1
987
654
421
det A
987
654
421
A
18. Uma Matriz Singular é uma matriz quadrada que apresenta o
determinante igual a zero.
det B = 1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8 – 7x5x3 – 8x6x1 – 9x4x2 =
det B = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 225 – 225 =
det B = 0.
2.8 Matriz Singular
8
5
2
7
4
1
987
654
321
det B
19. Uma Matriz Não-Singular é uma matriz quadrada que
apresenta o determinante diferente de zero.
det C = 1x1x5 + 2x6x4 + 2x1x3 – 4x1x2 – 3x6x1 – 5x1x2 =
det C = 5 + 48 + 6 – 8 – 18 – 10 = 59 – 36 =
det C = 23
2.9 Matriz Não-Singular
3
1
2
4
1
1
534
611
221
det C
20. Dada uma matriz quadrada E, com determinante de E
diferente de zero, o produto da matriz E pela sua inversa E-1,
resulta na matriz identidade I de ordem igual a da matriz E.
det.E = 6.
2.10 Matriz Inversa
167,01667,1
167,01333,1
167,02333,3
33
1
xE
402
253
132
33 xE
10152
1761169
16101
. 33
1
33
E
EE
E
EEI xx
21. Uma matriz só é inversível se seu determinante for diferente
de zero (matriz não-singular). Só podemos calcular a matriz
inversa de uma matriz quadrada.
Existem diferentes formas de se calcular a matriz inversa de
uma matriz, a seguir será empregada o procedimento que
utiliza a seguinte seqüencia de cálculo: Dada uma matriz H e
ao seu lado a matriz identidade I, isto é, “H.I” realizando
transformação lineares para obter na posição de H a matriz
identidade I, com estas transformação lineares, ao seu lado
surge a matriz inversa de H-1, na posição da matriz
identidade.
2.10 Matriz Inversa
22. Assim, dada as matrizes “ H . I”, por transformação linear
obtemos as matrizes “ I . H-1”, se a matriz H for não-singular.
Por transformação linear (TL), fazendo, L2 = L2 – L1, e
L3 = L3 – 4*L1, temos:
2.10 Matriz Inversa
534
611
221
33 xH
100
010
001
33 xI
3
2
1
100534
010611
001221
. 3333
L
L
L
IH xx
23. Por TL fazendo: L2 = L2/(-1), temos:
Por TL fazendo: L1 = L1 - (2)*L2, e L3 = L3 – (-5)*L2, temos:
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
104350
011410
001221
. 3333
L
L
L
IH xx
3
2
1
104350
011410
001221
. 3333
L
L
L
IH xx
3
2
1
104350
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
24. Por TL fazendo: L3 = L3/(-23), temos:
Por TL fazendo: L1 = L1 - (10)*L3, e L2 = L2 - (-4)*L3, temos:
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
1512300
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
3
2
1
04348,021739,004348,0100
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
3
2
1
04348,021739,004348,0100
011410
434783,017391,056522,0001
. 3333
L
L
L
IH xx
25. Como resultado das transformações lineares, obtemos:
Assim, temos “ I x H-1”. Se procedermos a multiplicação de
matrizes HxH-1, obtemos a matriz identidade I.
I = H x H-1.
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
04348,021739,004348,0100
17391,013043,0826087,0010
434783,017391,056522,0001
. 3333
L
L
L
IH xx
534
611
221
33 xH
04348,021739,004348,0
17391,013043,0826087,0
434783,017391,0565221,0
33
1
xH
100
010
001
33 xI
26. Existem diversas funções pré-definidas na planinha Excel que
podem ser utilizadas para auxiliar a Álgebra Linear.
Todas as exposições feitas a seguir consideram-se que
estamos trabalhando com o Excel.
2.11.1 Transposta de Matriz:
Seleciona a matriz na planilha Excel que se quer realizar a sua
transposta.
Posiciona o cursor em um local da planilha, fora da área de
edição da matriz, seleciona-se a função Editar, seleciona-se
Colar Especial, seleciona-se a seguir Transpor e tecle Enter.
A operação é realizada.
2.11 Utilização do Software EXCEL
28. 2.11.2 Soma de Matriz:
Após a digitação das matrizes, que queremos realizar a
operação de adição, posiciona o cursor em um local da
planilha, digite “=” na célula, seleciona a primeira célula da
primeira matriz, digite “+”, seleciona a primeira célula da
segunda matriz e tecle Enter.
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,
mude a forma de seleção do cursor para “+”, e arraste o
cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão
das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta
da última célula, mude a forma de seleção do cursor para “+”
e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da
dimensão das matrizes e solte o cursor. Lembrando, só
podemos proceder a soma de duas matrizes com a mesma
dimensão, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.
2.11 Utilização do Software EXCEL
29. 2.11.2 Soma de Matriz:
2.11 Utilização do Software EXCEL
30. 2.11.3 Determinante da Matriz:
Seleciona a matriz que se quer calcular o seu determinante.
Posicionando o cursor em uma local qualquer da planilha
Excel, seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a
função “Matriz.Determinante” e tecle Enter. O valor retornado
desta operação é o determinante da matriz selecionada.
Lembrando, só podemos calcular o determinante de matriz
quadrada.
2.11 Utilização do Software EXCEL
32. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
Existem dois procedimentos que podem ser utilizados, o
primeiro, após a digitação da matriz, posicione o cursor em
um local da planilha Excel, digite “=”, a constante que você
quer multiplicar a matriz, por exemplo, “2” digite “*” e em
seguida tecle na primeira posição da matriz. Posicionando o
cursor no canto inferior a direta da célula, mude a forma de
seleção do cursor para “+” e arraste o cursor o mesmo
número de células (colunas) da dimensão das matrizes.
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da última
célula à direita, mude a forma de seleção do cursor para “+”
e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da
dimensão das matrizes e solte o cursor. O produto da
constante “2” pela matriz será apresentado.
2.11 Utilização do Software EXCEL
34. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
O segundo procedimento que pode ser utilizado é o seguinte,
primeiro digite matriz, depois em uma célula qualquer digite a
constante que você quer multiplicar a matriz digitada.
Posicione o cursor em um local da planilha Excel, digite “=”,
selecione a celular onde foi digitado a constante que se quer
multiplicar a matriz, em seguida tecle “F4”, irá aparecer
“$Coluna$Linha”. A seleção da célula com a função “F4” fixa
o valor que está na célula. Em seguida, digite “*” e selecione
a primeira célula da matriz que se quer executar o produto.
2.11 Utilização do Software EXCEL
35. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,
mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste o
cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão
das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta
da última célula à direita, mude a forma de seleção do cursor
para “+” e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de
células da dimensão das matrizes e solte o cursor. O produto
da constante digitada na célula pela matriz será apresentado.
A diferença destes dois procedimentos é que ao se alterar o
valor que está na célula do segundo procedimento descrito,
por exemplo, alterando o valor de “2” para “10”, e teclando
Enter, o produto do valor de “10” pela matriz será
automaticamente apresentado.
2.11 Utilização do Software EXCEL
37. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes:
Após a digitação das duas matrizes que se quer calcular a sua
multiplicação, seleciona-se com o cursor a dimensão da
matriz resultante do produto das duas matrizes, em um local
da planilha Excel.
Seleciona-se a função “fx” da planilha Excel, em seguida,
seleciona-se a função “Matriz.Produto” e tecle Enter.
Selecionando através da seta vermelha, a primeira matriz da
caixa aberta pelo Excel. Após a sua seleção acione
novamente a seta vermelha da primeira matriz.
Selecionando a seta vermelha da segunda matriz da caixa
aberta pelo Excel, seleciona a segunda matriz na planilha
Excel, após a sua seleção acione novamente a seta vermelha
da segunda matriz.
2.11 Utilização do Software EXCEL
38. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes:
Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo
tempo, sem soltar estas teclas selecionadas.
O produto das duas matrizes será apresentado na planilha
Excel.
2.11 Utilização do Software EXCEL
40. 2.11.6 Matriz Inversa:
Após a digitação da matriz que se quer calcular a sua inversa,
seleciona-se com o cursor a dimensão da matriz inversa, isto
é, a mesma dimensão da matriz que se quer calcular a sua
inversa.
Seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a função
“Matriz.Inversa” e tecle Enter. Selecionando a seta vermelha
da caixa aberta pelo Excel, seleciona a matriz na planilha
Excel, após a sua seleção acione novamente a seta vermelha
da caixa aberta pelo Excel.
Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo
tempo sem soltar estas teclas selecionadas. A matriz inversa
será apresentada pelo Excel, se esta matriz for inversível.
Lembrando, só podemos calcular a matriz inversa de uma
matriz em que o seu determinante é diferente de “zero”.
2.11 Utilização do Software EXCEL
43. Calcule:
a1) AT; a2) BT; a3) CT;
b1) A1 = K * A; b2) B1 = J * B;
c) A2 = K * AT ; B2 = J * BT (empregue a função “F4”
para fixar os valores de “K” e de “J” para estas
operações);
d) det. C; e) det. CT; f) E = A x B;
g) F = B x C; h) C-1; i) (CT)-1;
j) Para a matriz D e a matriz identidade L associada a
matriz D, calcule o inverso da matriz D por
transformações lineares ( D . L => L . D-1 ).
k) Para a matriz H e a matriz identidade L associada a
matriz H, calcule o inverso da matriz H por
transformações lineares ( H . L => L . H-1 ).
2.12 Exercício sobre Matrizes:
44. A equação de uma reta no plano (x,y) é representada pela:
ax + by = c. Quando duas retas pertencem ao mesmo plano
pode-se verificar se há interseção entre estas retas no plano
através da resolução de um sistema de equações lineares. A
representação dessas duas retas na forma de um sistema é
dada por:
A sua representação na forma matricial é dada por:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
1 1
1 2
a b
A
a b
x
X
y
1
2
c
C
c
45. Desta forma, tem-se a matriz A, o vetor coluna X e o vetor
coluna C.
Existem diversas modos de resolver este sistema.
Apresenta-se a seguir algumas maneiras de resolver este
sistema através de exemplos.
2.13 Sistemas de Equações Lineares
46. 2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo produto da A-1 pelo
vetor C:
Verifica-se que os valores da matriz X (ou vetor coluna)
podem ser determinados através do seguinte produto:
Calculado a A-1, tem-se:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2 5 10
4 3 12
x y
x y
1 0,214,92 0,357143
0,285714 0,14286
A
CA.X .C.A.XA 1-1
A
.CI.X 1
A .CX 1
A
47. 2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C
Calculando o produto de A-1 x C temos a solução do sistema:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
1 0,214,92 0,357143 10 2,142857
. .
0,285714 0,14286 12 1,142857
X A C
48. 2.13.2 Solução de sistema por adição das equações:
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:
Multiplica-se a primeira equação por (-2) e adiciona esta
equação a segunda equação:
Executando-se a soma temos:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2 5 10
4 3 12
x y
x y
4 10 20
4 3 12
x y
x y
10 20
3 12
y
y
49. 2.13.2 Solução de sistema por adição das equações:
Logo tem-se:
determinando o valor de y temos:
substituindo este valor na primeira equação temos o valor
de x:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
7 8y
1,142857y
2,142857x
50. 2.13.3 Solução de sistema por substituição:
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:
Retira-se o valor de x da primeira equação e o substituía na
segunda equação.
Substituindo x na segunda equação temos:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2 5 10
4 3 12
x y
x y
(10 5 )/ 2x y
4.(10 5 )/ 2 3 12y y
51. 2.13.3 Solução do sistema por substituição:
Resolvendo esta equação temos:
Substituindo o valor de y na primeira equação, obtém-se o
valor de
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2.(10 5 ) 3 12 20 10 3 12 7 8 1,142857y y y y y y
.
2,142857x
52. 2.13.4 Método de Gaus-Jordan:
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo método de Gaus-
Jordan:
Primeiramente divide-se a primeira equação por 2 para
obter 1 na posição a11 da matriz.
Elimina-se o elemento a21 da segunda equação por
transformação linear. Multiplica-se toda a primeira equação
por (- 4) e adiciona-se a segunda equação.
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2 5 10
4 3 12
x y
x y
2,5 5
4 3 12
x y
x y
53. 2.13.4 Método de Gaus-Jordan:
Temos o seguinte resultado:
Divide-se a segunda equação por (-7).
Elimina-se o elemento a12 da primeira equação por
transformação linear. Multiplica-se toda a segunda equação
(-2,5) e adiciona-se a primeira equação.
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2,5 5
0 7 8
x y
y
2,5 5
0 1,142857
x y
y
0 2,142857
0 1,142857
x
y
54. 2.14.1 Exemplo 1:
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:
Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de
interseção das equações no plano, que é a solução do
sistema.
2.14 Representação de retas no plano e
interseção de retas no plano.
2 5 10
4 3 12
x y
x y
56. 2.14.2 Exemplo 2:
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:
Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de
interseção das equações no plano, que é a solução do
sistema.
2.14 Representação de retas no plano e
interseção de retas no plano.
3 2 6
2 5 8
x y
x y
58. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:
2.16 Representação de Inequação no Plano
0x
x
y
59. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:
2.16 Representação de Inequação no Plano
0y
60. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:
2.16 Representação de Inequação no Plano
632 yx
61. 2.17 Determinação de Região Viável de
Inequações no Plano
0x
0y
632 yx
824 yx
3065 yx
62. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:
a)
3X + 6Y >= 36
5X >= 10
4Y >= 12
2X + 4Y <= 40
X >= 0
Y >= 0
b)
2X + 5Y >= 10
8X + 4Y <= 32
X >= 0
Y >= 0
2.18 Exercício sobre interseção de
inequações no plano
63. No Software Winplot assinalar “2-dim”, duas dimensões.
Em “Equações” trabalhar com”3-Implícita”.
Digitar as equações.
2.19 Software Winplot