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- 2. Janeiro Fevereiro Março Matemática 20 000 32 000 45 000 Física 15 000 18 000 25 000 Química 16 000 17 000 23 000 Quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro? Quantos livros de física foram vendidos em janeiro? Quantos livros de Química foram vendidos em março? Quantos livros de matemática foram vendidos durante este período? Durante este período , qual foi a maior venda entre os livros citados?
- 3. Matrizes Conceitos Básicos Consideremos o sistema a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1 a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2 a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3 ... am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm A= a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n a31 a32 a33 ... a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
- 4. Matemática As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Um elemento de uma matriz A que está na i- ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como Ai,j ou A[i,j]. Professor: Roberto Rayala
- 5. Matrizes Conceitos Básicos 1 2 2 0 1 2 5 4 2 0 a13= 2 0 1 4 7 8 3x5 a34= 7 Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
- 9. Matrizes Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxn As matrizes podem ser classificadas segundo: A forma A natureza dos elementos
- 10. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a forma em: Amxn = [aij]mxn Retangular Se o número de linhas é diferente do número de colunas 1 0 2 3 4 0 2 5 2 1 2 4 4 5 0 3×5 Quadrada Se o número de linhas é igual do número de colunas 1 0 2 0 1 3 Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m 1 3 23×3 Linha Se o número de linhas é igual a um [1 2 2]1 3 × Coluna Se o número de colunas é igual a um 1 0 13×1
- 11. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Real se todos os seus elementos são reais ∀ a ij ∈ A : a ij ∈ ℜ 1 5 2 0 0 1 Complexa se pelo menos um dos seus elementos é complexo ∃ a ij ∈ A : a ij ∈ C 1 5 2 0 i 1 Nula se todos os seus elementos são nulos ∀ a ij ∈ A : a ij = 0 0 0 0 0 0 0
- 12. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Triangular Superior uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos ∀ a ij ∈ A : i > j a ij = 0 1 1 2 7 0 0 3 0 0 0 2 6 0 0 0 5 Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos ∀ a ij ∈ A : i < j a ij = 0 1 0 0 0 5 2 0 0 0 2 2 0 3 0 1 5
- 13. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Diagonal uma matriz quadrada em que os ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0 elementos não principais são nulos 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 5 Escalar uma matriz diagonal em que os ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0 elementos principais são iguais i = j a ij = λ 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2
- 14. É uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero. É representada por pelo símbolo In Ex: Escreva a matriz I3. 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1
- 15. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Simétrica se os elementos aij são iguais aos aji 1 1 2 0 1 0 3 4 2 3 2 7 0 4 7 5 Densa se a maioria dos seus elementos são não nulos Dispersa se a maioria dos seus elementos são nulos
- 16. Matrizes Operações com Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. ∀ A,B ∈M m×n ∃C ∈ M m×n :C = A + B c ij = a ij + bij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n 1 2 3 2 1 3 A = 5 1 0 B = 1 3 0 2 4 3 3 0 3 33 3 3 66 c = A + B = 6 6 4 4 0 0 5 4 66 4
- 17. Matrizes Operações com Matrizes A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades: Comutativa ∀ A,B ∈M m×n A + B = B + A Associativa ∀ A , B , C ∈M m×n ( A + B ) + C = A + (B + C ) Tem elemento neutro ∀ A ∈M m×n ∃ O ∈M m×n : A + O = A Todos os elementos têm oposto ∀ A ∈ M m×n : A + ( − A) = O
- 18. Vamos igualar as duas matrizes A e B, de mesmo tipo 2 x 3. a11 a 12 a13 b11 b12 b13 A= a eB= 21 a 22 a 23 b 21 b 22 b 23 a11 = b11 , a12 = b12 , a13 = b13 Logo: a21 = b 21 , a 22 = b22 , a 23 = b23 Ex.: Calcule os valores de x, y, z e w para que as matrizes A e B sejam iguais. 2x + y 1 5 y A= 1 eB= z w w + 3
- 19. Matrizes Operações com Matrizes Produto por um escalar Sejam A uma matriz e λ um escalar O produto de λ por A é uma matriz C do mesmo tipo de A que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por λ ∀ A∈M m×n λ A ∈ M m×n :C = λ A c ij = λ a ij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n 1 2 3 3 6 9 A = 5 1 0 3 A = 15 3 0 2 4 3 6 12 9
- 20. Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo e os escalares λ e µ as seguintes propriedades são válidas: ( λ µ ) A = λ ( µ A) (λ + µ ) A = λ A + µ A λ ( A + B) = λ A + λ B 1 A= A
- 21. Matrizes Operações com Matrizes Consideremos o sistema a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1 a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2 a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3 ... am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm a11 a12 a13 ... a1n x1 b1 a21 a22 a23 ... a2n x2 b2 a31 a32 a33 ... a3n x3 = b3 ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn xn ... bm Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
- 22. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3 x3 =
- 23. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
- 24. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
- 25. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
- 26. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
- 27. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
- 28. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
- 29. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 27 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
- 30. Matrizes Operações com Matrizes Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp. O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp cujos elementos são dados por: n ci j = ∑ ai k bk j k =1 e escreve-se C=AB. O produto de matrizes não é comutativo
- 31. Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A, B e C, e α um escalar. Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades são válidas: ( A B) C = A ( B C ) (A+ B ) C = A C + B C A ( B + C) = A B + A C α ( A B ) = (α A) B = A(α B )
- 32. Matrizes Operações com Matrizes Transposição de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: bi j = ai j ( i = 1,..., n; j = 1,....m ) e escreve-se B=AT 1 0 2 3 4 1 0 2 0 2 4 A = 0 2 5 2 1 2 4 4 5 03×5 A = 2 T 5 4 3 2 5 4 1 05×3
- 33. A transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se- ão elementos da m coluna.
- 34. Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B e α um escalar. Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, as seguintes propriedades são válidas: (A ) T T =A ( A + B )T = AT + BT (α A ) = (α A) T T ( A B)T = BT AT