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Matemática




Professor: Roberto Rayala
Janeiro   Fevereiro   Março

                Matemática     20 000     32 000     45 000

                   Física      15 000     18 000     25 000

                 Química       16 000     17 000     23 000

Quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro?
 Quantos livros de física foram vendidos em janeiro?
    Quantos livros de Química foram vendidos em março?
      Quantos livros de matemática foram vendidos durante este período?
         Durante este período , qual foi a maior venda entre os livros citados?
Matrizes                                                    Conceitos Básicos
Consideremos o sistema

           a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1
           a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
           a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3
            ...




           am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm


                        A= a11 a12 a13 ...          a1n
                           a21 a22 a23 ...          a2n
                           a31 a32 a33 ...          a3n
                                       ...
                              ...
                                    ...




                                                   ...
                                          ...

                              am1 am2 am3 ...       amn


      Amxn = [aij]mxn       Matriz de ordem m por n de elementos aij
Matemática
   As linhas horizontais da matriz são chamadas
    de linhas e as linhas verticais são chamadas de
    colunas.
   Uma matriz com m linhas e n colunas é
    chamada de uma matriz m por n (escreve-se
    m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões,
    tipo ou ordem.
   Um elemento de uma matriz A que está na i-
    ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de
    elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A.
   Ele é escrito como Ai,j ou A[i,j].




                                 Professor: Roberto Rayala
Matrizes                                                     Conceitos Básicos



                        1 2 2 0 1
                        2 5 4 2 0 
                                         a13=   2
                        0 1 4 7 8 
                                   3x5


                                           a34=   7




      Amxn = [aij]mxn        Matriz de ordem m por n de elementos aij
Matemática




Professor: Roberto Rayala
Matemática




Professor: Roberto Rayala
Matemática




Professor: Roberto Rayala
Matrizes                                                  Conceitos Básicos

                             Amxn = [aij]mxn



           As matrizes podem ser classificadas segundo:

                      A forma

                      A natureza dos elementos
Matrizes                                                 Conceitos Básicos
Segundo a forma em:                                      Amxn = [aij]mxn
Retangular
      Se o número de linhas é diferente do número de colunas
                                                         1 0 2 3 4 
                                                         0 2 5 2 1 
                                                                   
                                                         2 4 4 5 0 3×5
                                                                   
Quadrada
      Se o número de linhas é igual do número de colunas
                                                          1 0 2
                                                         0 1 3
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m          
                                                         1 3 23×3
                                                               
Linha
           Se o número de linhas é igual a um             [1   2 2]1 3
                                                                    ×


Coluna
           Se o número de colunas é igual a um
                                                         1
                                                         0 
                                                          
                                                         13×1
                                                          
Matrizes                                           Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:                Amxn = [aij]mxn
Real se todos os seus elementos são reais
           ∀ a ij ∈ A :   a ij ∈ ℜ            1 5 2
                                             0 0 1
                                                   



Complexa se pelo menos um dos seus elementos é complexo
           ∃ a ij ∈ A :   a ij ∈ C            1 5 2
                                             0 i 1
                                                   


Nula se todos os seus elementos são nulos
           ∀ a ij ∈ A :   a ij = 0
                                             0 0 0 
                                             0 0 0 
                                                   
Matrizes                                                 Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:                      Amxn = [aij]mxn

Triangular Superior     uma matriz quadrada em que os elementos abaixo
                        da diagonal principal são nulos
 ∀ a ij ∈ A : i > j a ij = 0                     1    1 2 7
                                                 0    0 3 0
                                                           
                                                 0    0 2 6
                                                           
                                                 0    0 0 5

Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos acima
                    da diagonal principal são nulos
 ∀ a ij ∈ A : i < j a ij = 0                      1   0 0 0
                                                  5   2 0 0
                                                           
                                                  0   2 2 0
                                                           
                                                  3   0 1 5
Matrizes                                                   Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:                        Amxn = [aij]mxn
Diagonal uma matriz quadrada em que os      ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0
         elementos não principais são nulos

                                                     1    0 0 0
                                                     0    0 0 0
                                                               
                                                     0    0 2 0
                                                               
                                                     0    0 0 5
Escalar    uma matriz diagonal em que os      ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0
           elementos principais são iguais
                                                            i = j a ij = λ

                                                      2    0 0 0
                                                      0    2 0 0
                                                                
                                                      0    0 2 0
                                                                
                                                      0    0 0 2
É uma matriz quadrada de ordem n em que todos
os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e
os outros elementos iguais a zero. É representada
por pelo símbolo In
   Ex: Escreva a matriz I3.

                1 0 0 
                       
           I3 =  0 1 0 
                 0 0 1
                       
Matrizes                                                  Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:                       Amxn = [aij]mxn

Simétrica se os elementos aij são iguais aos aji
                                                     1   1 2 0
                                                     1   0 3 4
                                                              
                                                     2   3 2 7
                                                              
                                                     0   4 7 5



Densa se a maioria dos seus elementos são não nulos

Dispersa se a maioria dos seus elementos são nulos
Matrizes                                                                 Operações com Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os
elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
                 ∀ A,B ∈M m×n ∃C ∈ M m×n :C = A + B
                               c ij = a ij + bij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n



                     1 2 3                   2 1 3 
                A = 5 1 0 
                                         B =  1 3 0
                                                     
                    2 4 3 
                                             3 0 3 
                                                     


                                  33    3
                                         3 66
                      c = A + B = 6
                                  6     4
                                         4  0
                                           0
                                  5
                                        4 66
                                         4 
Matrizes                                                                Operações com Matrizes

A soma de matrizes do mesmo tipo                goza das seguintes propriedades:

Comutativa

                              ∀ A,B ∈M m×n A + B = B + A


Associativa

                      ∀ A , B , C ∈M m×n ( A + B ) + C = A + (B + C )


Tem elemento neutro
                         ∀ A ∈M m×n ∃ O ∈M m×n : A + O = A


Todos os elementos têm oposto
                            ∀ A ∈ M m×n : A + ( − A) = O
Vamos igualar as duas matrizes A e B, de mesmo tipo 2 x 3.

    a11      a 12 a13       b11 b12 b13                
 A=
   a                    eB=                            
    21       a 22 a 23 
                        
                             b
                              21 b 22 b 23
                                                          
                                                          
                   a11 = b11 , a12 = b12 , a13 = b13
   Logo:
                   a21 = b 21 , a 22 = b22 , a 23 = b23
   Ex.: Calcule os valores de x, y, z e w para que as
   matrizes A e B sejam iguais.
                            2x + y           1    5          y 
                         A=
                            1                  eB=              
                                             z
                                               
                                                    w
                                                             w + 3
                                                                   
Matrizes                                                                  Operações com Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e λ um escalar
O produto de λ por A é uma matriz C do mesmo tipo de A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por λ
                  ∀ A∈M m×n λ A ∈ M m×n :C = λ A
                                c ij = λ a ij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n



                      1 2 3                  3 6 9
                 A = 5 1 0 
                                      3 A = 15 3 0
                                                     
                     2 4 3 
                                             6 12 9
                                                     
Matrizes                                              Operações com Matrizes

Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
e os escalares λ e µ as seguintes propriedades são válidas:

                               ( λ µ ) A = λ ( µ A)



                             (λ + µ ) A = λ A + µ A




                            λ ( A + B) = λ A + λ B




                                     1 A= A
Matrizes                                                 Operações com Matrizes
Consideremos o sistema
    a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1
    a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
    a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3
      ...




    am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm




      a11 a12 a13 ...      a1n           x1     b1
      a21 a22 a23 ...      a2n           x2     b2
      a31 a32 a33 ...      a3n           x3   = b3
                  ...
      ...
            ...
                  ...


                           ...



                                        ...


       am1 am2 am3 ...      amn          xn        ...
                                                   bm

Amxn = [aij]mxn          Matriz de ordem m por n de elementos aij
Matrizes                                      Operações com Matrizes




                                        =
           1   2   3       1   2   3
           2   5   3       2   5   3
                       2x3                     2x 3
                           1   0   2
                                       3 x3
                               =
Matrizes                                         Operações com Matrizes




                                        =
           1   2   3       1   2   3         8
           2   5   3       2   5   3
                       2x3                        2x 3
                           1   0   2
                                       3x3
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                                        =
           1   2   3       1   2   3         8 12
           2   5   3       2   5   3
                       2x3                           2x 3
                           1   0   2
                                       3x3
Matrizes                                               Operações com Matrizes




                                        =
           1   2   3       1   2   3         8 12 15
           2   5   3       2   5   3
                       2x3                              2x 3
                           1   0   2
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                                        =
           1   2   3       1   2   3         8 12 15
           2   5   3       2   5   3
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                                        =
           1   2   3       1   2   3         8 12 15
           2   5   3       2   5   3         15
                       2x3                              2x 3
                           1   0   2
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                                        =
           1   2   3       1   2   3         8 12 15
           2   5   3       2   5   3         15 29
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                                        =
           1   2   3       1   2   3         8 12 15
           2   5   3       2   5   3         15 29 27
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Matrizes                                          Operações com Matrizes
Produto de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp.
O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp
cujos elementos são dados por:
                                  n
                          ci j = ∑ ai k bk j
                                 k =1

e escreve-se C=AB.




       O produto de matrizes não é comutativo
Matrizes                                                  Operações com Matrizes

Dadas as matrizes A, B e C, e α um escalar.
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,
as seguintes propriedades são válidas:
                              ( A B) C = A ( B C )



                           (A+ B ) C = A C + B C




                           A ( B + C) = A B + A C




                          α ( A B ) = (α A) B = A(α B )
Matrizes                                                Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.
Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
                    bi j = ai j    ( i = 1,..., n;   j = 1,....m )
e escreve-se B=AT


                  1 0 2 3 4          1   0 2
                                       0   2 4
              A = 0 2 5 2 1
                                            
                  2 4 4 5 03×5
                                 A = 2
                                    T
                                            5 4
                                              
                                       3   2 5
                                       4
                                           1 05×3
                                               
   A transposta de uma matriz Am × n é a matriz
    Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da
    primeira linha, tornar-se-ão elementos da
    primeira coluna, todos os elementos da segunda
    linha, tornar-se-ão elementos da segunda
    coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-
    ão elementos da m coluna.
Matrizes                                             Operações com Matrizes

Dadas as matrizes A e B e α um escalar.
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,
as seguintes propriedades são válidas:

                                 (A )
                                    T T
                                          =A




                            ( A + B )T = AT + BT




                              (α A ) = (α A)
                                   T           T




                              ( A B)T   = BT AT

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  • 2. Janeiro Fevereiro Março Matemática 20 000 32 000 45 000 Física 15 000 18 000 25 000 Química 16 000 17 000 23 000 Quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro? Quantos livros de física foram vendidos em janeiro? Quantos livros de Química foram vendidos em março? Quantos livros de matemática foram vendidos durante este período? Durante este período , qual foi a maior venda entre os livros citados?
  • 3. Matrizes Conceitos Básicos Consideremos o sistema a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1 a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2 a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3 ... am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm A= a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n a31 a32 a33 ... a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
  • 4. Matemática  As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas.  Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.  Um elemento de uma matriz A que está na i- ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A.  Ele é escrito como Ai,j ou A[i,j]. Professor: Roberto Rayala
  • 5. Matrizes Conceitos Básicos 1 2 2 0 1 2 5 4 2 0    a13= 2 0 1 4 7 8    3x5 a34= 7 Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
  • 9. Matrizes Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxn As matrizes podem ser classificadas segundo: A forma A natureza dos elementos
  • 10. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a forma em: Amxn = [aij]mxn Retangular Se o número de linhas é diferente do número de colunas 1 0 2 3 4  0 2 5 2 1    2 4 4 5 0 3×5   Quadrada Se o número de linhas é igual do número de colunas  1 0 2 0 1 3 Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m   1 3 23×3   Linha Se o número de linhas é igual a um [1 2 2]1 3 × Coluna Se o número de colunas é igual a um 1 0    13×1  
  • 11. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Real se todos os seus elementos são reais ∀ a ij ∈ A : a ij ∈ ℜ  1 5 2 0 0 1   Complexa se pelo menos um dos seus elementos é complexo ∃ a ij ∈ A : a ij ∈ C  1 5 2 0 i 1   Nula se todos os seus elementos são nulos ∀ a ij ∈ A : a ij = 0 0 0 0  0 0 0   
  • 12. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Triangular Superior uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos ∀ a ij ∈ A : i > j a ij = 0 1 1 2 7 0 0 3 0   0 0 2 6   0 0 0 5 Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos ∀ a ij ∈ A : i < j a ij = 0 1 0 0 0 5 2 0 0   0 2 2 0   3 0 1 5
  • 13. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Diagonal uma matriz quadrada em que os ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0 elementos não principais são nulos 1 0 0 0 0 0 0 0   0 0 2 0   0 0 0 5 Escalar uma matriz diagonal em que os ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0 elementos principais são iguais i = j a ij = λ 2 0 0 0 0 2 0 0   0 0 2 0   0 0 0 2
  • 14. É uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero. É representada por pelo símbolo In Ex: Escreva a matriz I3. 1 0 0    I3 =  0 1 0   0 0 1  
  • 15. Matrizes Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn Simétrica se os elementos aij são iguais aos aji 1 1 2 0 1 0 3 4   2 3 2 7   0 4 7 5 Densa se a maioria dos seus elementos são não nulos Dispersa se a maioria dos seus elementos são nulos
  • 16. Matrizes Operações com Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. ∀ A,B ∈M m×n ∃C ∈ M m×n :C = A + B c ij = a ij + bij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n  1 2 3 2 1 3  A = 5 1 0    B =  1 3 0   2 4 3    3 0 3    33 3 3 66 c = A + B = 6 6 4 4 0 0 5  4 66 4 
  • 17. Matrizes Operações com Matrizes A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades: Comutativa ∀ A,B ∈M m×n A + B = B + A Associativa ∀ A , B , C ∈M m×n ( A + B ) + C = A + (B + C ) Tem elemento neutro ∀ A ∈M m×n ∃ O ∈M m×n : A + O = A Todos os elementos têm oposto ∀ A ∈ M m×n : A + ( − A) = O
  • 18. Vamos igualar as duas matrizes A e B, de mesmo tipo 2 x 3.  a11 a 12 a13   b11 b12 b13  A= a  eB=   21 a 22 a 23   b  21 b 22 b 23   a11 = b11 , a12 = b12 , a13 = b13 Logo: a21 = b 21 , a 22 = b22 , a 23 = b23 Ex.: Calcule os valores de x, y, z e w para que as matrizes A e B sejam iguais.  2x + y 1 5 y  A=  1  eB=   z  w  w + 3 
  • 19. Matrizes Operações com Matrizes Produto por um escalar Sejam A uma matriz e λ um escalar O produto de λ por A é uma matriz C do mesmo tipo de A que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por λ ∀ A∈M m×n λ A ∈ M m×n :C = λ A c ij = λ a ij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n  1 2 3  3 6 9 A = 5 1 0    3 A = 15 3 0   2 4 3     6 12 9  
  • 20. Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo e os escalares λ e µ as seguintes propriedades são válidas: ( λ µ ) A = λ ( µ A) (λ + µ ) A = λ A + µ A λ ( A + B) = λ A + λ B 1 A= A
  • 21. Matrizes Operações com Matrizes Consideremos o sistema a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1 a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2 a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3 ... am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm a11 a12 a13 ... a1n x1 b1 a21 a22 a23 ... a2n x2 b2 a31 a32 a33 ... a3n x3 = b3 ... ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn xn ... bm Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
  • 22. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3 x3 =
  • 23. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  • 24. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  • 25. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  • 26. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  • 27. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  • 28. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  • 29. Matrizes Operações com Matrizes = 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 3 15 29 27 2x3 2x 3 1 0 2 3x3
  • 30. Matrizes Operações com Matrizes Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp. O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp cujos elementos são dados por: n ci j = ∑ ai k bk j k =1 e escreve-se C=AB. O produto de matrizes não é comutativo
  • 31. Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A, B e C, e α um escalar. Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades são válidas: ( A B) C = A ( B C ) (A+ B ) C = A C + B C A ( B + C) = A B + A C α ( A B ) = (α A) B = A(α B )
  • 32. Matrizes Operações com Matrizes Transposição de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: bi j = ai j ( i = 1,..., n; j = 1,....m ) e escreve-se B=AT 1 0 2 3 4 1 0 2 0 2 4 A = 0 2 5 2 1     2 4 4 5 03×5   A = 2 T 5 4   3 2 5 4  1 05×3 
  • 33. A transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se- ão elementos da m coluna.
  • 34. Matrizes Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B e α um escalar. Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, as seguintes propriedades são válidas: (A ) T T =A ( A + B )T = AT + BT (α A ) = (α A) T T ( A B)T = BT AT