Matrizes

1. MATEMÁTIC
A
Aula 01
Matrizes: definição, representação genérica,
tipos de matriz, lei de formação e
operações.

2. Parte 1: Definição, representação
genérica e
lei de
formação
ESTUDO DAS
MATRIZES

3. Definição
Uma matriz do tipo m x n é uma tabela com (m . n) elementos
dispostos em m linhas e n colunas.
m = 2 (duas linhas)
n = 3 (três colunas)
m = 1 (uma linha)
n = 3 (três colunas)
m = 4 (quatro linhas)
n = 1 (uma coluna)
1 5
2
 9

0

 
A = 7
0 6
B = 2 
3
5
 
8


1
2





C =

A2x3
B1x3
C4x1
Matriz A do tipo 2x3
Matriz B do tipo 1x3
(Matriz linha)
Matriz C do tipo 4x1
(Matriz coluna)
Exemplos:

4. Representação genérica
De modo genérico, uma matriz A, do tipo mxn pode ser representada por:
Cada elemento (ou termo) da matriz é representado por uma letra
com dois índices: aij em que i indica a linha e j a coluna em que o
elemento está posicionado.
Amxn Matriz genérica A do tipo mxn

5. Exemplos


 6

14

7
3
3
1
2
 5  2 1
8
A  0
a12 = -2
1ª linha: i = 1
2ª coluna: j = 2
Elemento genérico: aij
i = linha
j = coluna

6. Exemplos


 6


3

7
3
8
1
 5  2
A  0 1
14 2
a13 = 1
1ª linha: i = 1
3ª coluna: j = 3
Elemento genérico: aij
i = linha
j = coluna

7. Exemplos



 6

2 3
14
 5  2 1
8
1 7 3
A  0
a13 = 1
2ª linha: i = 2
4ª coluna: j = 4
a24 = 3

8. 




6

2 3
14
1 7
3
0
 2 1
8
5
A 

a13 = 1
2ª linha: i = 2
1ª coluna: j = 1
a24 = 3
a21 = 0
Exemplos

9. 

 6

2
14
 5  2 1 8

A  0 1 7
3
3
a13 = 1
3ª linha: i = 3
2ª coluna: j = 2
a24 = 3
a21 = 0
a32 = 2
Exemplos

10. 


 6

14
 5  2 1 8
A  0 1 7
3
2
3
a13 = 1
3ª linha: i = 3
4ª coluna: j = 4
a24 = 3
a21 = 0
a32 = 2
a34 = 6
Exemplos

11. 


6

14
 5  2 1 8

A  0 1 7
3
2
3
a13 = 1
a24 = 3
a21 = 0
a32 = 2
a34 = 6
Exemplos





6
3
2
14
3
7
1
0
8
2 1
5
 a11 a12 a13
a14
A 

a
21 22 23 24


a
a
a
31 32
a a
a33 a34


12. Lei de formação da matriz
 23

22
21
b12 b13


b11
B  
b b
b





 

3
5

4
5 6 7
Uma matriz pode ser descrita por uma lei de formação, regra que
descrevem os elementos da matriz segundo a posição que eles ocupam
nas linhas e colunas.
bij = 2i + j
Exemplo 1: Lei de formação da matriz B2 x 3:

13. Exemplo 2: Na matriz A = (aij)4x4 , onde aij = 4i – j², o valor de 2.a32 é:
Resolução:
aij = 4i – j² Lei de formação
a32
=
4 .
Exercícios resolvidos

14. Questão 01:
Exercícios propostos

16. Questão 01:
=
B =
b) 1 3
3
1
4
5
a11 a12
a21 a22
- 1
1
1
-
1
c) C =
a11 a12
a21 a22
a13
a23
=
a)
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
3
4
5
5
6
7
C
=
Exercícios propostos
Resolução:

17. ESTUDO DAS MATRIZES
Parte 2: Tipos de matriz e
operações

18. Matriz quadrada
É toda matriz em que m = n, ou seja, o número de linhas é igual ao de colunas.


2
7
3
A  

m = n = 2
Matriz quadrada de ordem 2




1
9

 2 5
3 
B  0
1
11 0
m = n = 3
Matriz quadrada de ordem 3


1

 5 1 0

8 5
9
C  
1
m = n = 4
Matriz quadrada de ordem 4
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal
5
diagonal
secundária
diagonal secundária
0 
diagonal secundária
Exemplos:

19. Matriz triangular
Matriz quadrada em que os elementos acima (ou abaixo) a diagonal principal são
nulos.




7
3
0
A 
  2


 9


0

 2 0
0
B  5
1
11 4

0

 2 7 3


9 1  22
C 
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal



7
 3
5
D 
 0


 9


0

7

 2  4
8

E   0 1
0 


0 3 0

0
5
 0 0 0 

 5
  4  6 1 

1 8 0 0  F   0
8 4  23
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal

20. Matriz diagonal
Matriz quadrada em que os elementos acima e abaixo da diagonal principal são
nulos.



1
8
0
A 

0


  4

0

0

 2 0
0

B   0 8
0



12
0


0
 1 0 0 0

 2 0
0


C  
0
diagonal principal
diagonal principal
 diagonal principal

21. Matriz identidade
Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são
iguais a um e os outros elementos são iguais a zero.





0 1
1
0
2
I



 1


0

0

 1 0
0
I3   0 1
0



1
0


0
 1 0 0
0


 0 1 0
0
0 1
4
I
 diagonal
principal
diagonal principal
 diagonal

22. Matriz nula
Matriz que tem todos os elementos iguais a zero.



 0
0
 0
0
0 

2 



0
0


0
 0 0 0
0


0 0 0
0

0 0
0 0 0
0 

4


 0
 0
0



 0
0
 0
0
04 
2



0 0
0

0 0
0
0

2 
3

23. 


t
Matriz transposta
At
: matriz transposta de A.
At
é a matriz cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.


 2 7
5
A  

0
4
1
A  
7
 2 0


4

 5 1


24. 


 5 1

 2 0

t

A   7
4
Matriz transposta
At
: matriz transposta de A.
At
é a matriz cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.


 2 7
5
A  

0
4
1
A quantidade de linhas de At é igual à quantidade de colunas de A, e a
quantidade de colunas de At
é igual à quantidade de linhas de A.

25. Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais se e somente se elas são do mesmo tipo
e seus elementos correspondentes são iguais.



 5 1
0

12 3 1
A2  3 


1 8 
8
1 2 8 
7


 2 
3
B2  3 
IGUAIS IGUAIS IGUAIS
IGUAIS IGUAIS
 2
6
IGUAIS





1

 2 3
4
2 
3
C 


1
1
2
3 
2
D 

1
3

C ≠ D
não são do mesmo tipo.
A = B
mesmo tipo

26. Adição de matrizes
A matriz soma das matrizes A e B (que devem ser do mesmo tipo) é a
matriz C obtida pela soma dos elementos correspondentes: C = A + B.



 2

 20 9

12    8

8


A B C
=
-15 9

+ +
 5 0

+


 5 -1

+
 
0
14

 

 2  7 +
+ 3
6
+ =

27. Adição de matrizes
A matriz soma das matrizes A e B (que devem ser do mesmo tipo) é a
matriz C obtida pela soma dos elementos correspondentes: C = A + B.







 2

12    8

8
  

2  7  3
6
0   20 9


5
15 9


5
1

 

0
14

 
A B C
=
+ =

28. Matriz oposta
A matriz oposta de A (representada por – A) é obtida pela troca de
sinais dos elementos de A, de modo que A + (– A) seja a matriz nula.


 0

 7
– A 0
A



7 0


1

=


+ +
 0 0

 11 2
+
+  11  2 

 00


8 1+ ++  
8  00

+ =

29. Matriz oposta
A matriz oposta de A (representada por – A) é obtida pela troca de
sinais dos elementos de A, de modo que A + (– A) seja a matriz
nula.


 0

 7

8 1
2


11
– A 0
A
+



7 0


  8 1

 11  2


 0 0



 0 0

 0 0

=
+ =

30. 


 2 1 
3
A  
0 5
8
e  = 5 



5A

Multiplicação de um número real por matriz
Seja  um número real, a matriz  A é a matriz obtida a partir de A
multiplicando-se todos os seus elementos pelo número real .
X 5 X 5 X 5
 10 5 –15

0 25 40
X 5 X 5 X 5

31. 


 2 1 
3
A  
0 5
8
e  = 5


10 5
15
5A  

0 25
40
Multiplicação de um número real por matriz
Seja  um número real, a matriz  A é a matriz obtida a partir de A
multiplicando-se todos os seus elementos pelo número real .

32. Multiplicação de matrizes
Condição: O produto AB entre as matrizes A e B existe se e somente se
o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.



1
3
0 5
A 

2
3 colunas



 1


4
 9
4
3
1
 B 

1 5 1
3 linhas
=

Existe a matriz
produto AB

33. Tipo da matriz produto
A matriz produto AB tem a quantidade de linhas da matriz A e
a quantidade de colunas da matriz B.




2 1
3

5
8
A  
0


 1


4
 9 4 3 1

B   1 5 1
0
0
3
A 2  3 B 3  4
Condição
para existir AB
A B 2  4 

? ?
? ?
AB  


34. Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.



1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


18 + 1 +
? ?
? ?
AB  

12

= 31

35. Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.



1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


AB 

?
18 + 1 +
? ? ?


? ? ?
12

= 31

31
Cálculo dos elementos da matriz AB

36. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


 31 ?
? ?
AB  

8 + 5 + 0

= 13
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

37. 

?
?


31
AB  
?



1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3
8 + 5 + 0

= 13
13
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

38. Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.



1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3



? ?
 31 13
? ?
AB  
? ?
6 + 1 + 9

= 16
Cálculo dos elementos da matriz AB

39. Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.



1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3
6 + 1 + 9

= 16


?

 31 13
AB  

?
16
Cálculo dos elementos da matriz AB

40. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


 31 13
16 ?
AB  

2 + 0 + 3

= 5
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

41. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3
2 + 0 + 3

= 5



?
 31
13
16
AB  
5

Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

42. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


 31 13
16 5
AB  

0 + 5 + 32

= 37
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

43. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


 31 13 16
5

?
AB 

0 + 5 + 32

= 37
37
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

44. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


 31 13
16 5
AB  

0 + 25 + 0

= 25
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

45. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


 31 13 16
5

?
AB  
37
0 + 25 + 0

= 25
25
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

46. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3



? ?
 31 13
16 5
AB  
37 25
0 + 5 + 24

= 29
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

47. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3



?
 31 13
16 5
AB  
37 25
0 + 5 + 24

= 29
29
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

48. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


 31 13
16 5
AB  

0 + 0 + 8

= 8
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

49. 


1
3


0 5
8
A 

2



1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


 31 13
16 5
AB  
37 25
0 + 0 + 8

= 8

8
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

50. 


1
3


0 5
8
A 

2



 1


4
 9 4 3
1
B 

1 5 1
0

0
3


 31 13 16
5

25
29
AB 
 37
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

51. Exercícios resolvidos
Exemplo 03:
+ =
2 + 4 3 + 5 8 + (-
9)
1 + 6 - 4 + 2 0 + 7
=
6
7
8
- 2
- 1
7
2. - =
0
- 4
1
- 6
7
- 7
=
= 3.
- =
5
3
5
0
16
5
8 - 4
0 6 - 10
C t
2
1 .
2

52. Exercícios resolvidos
duas matrizes, calcule o produto AB.
Resolução:
Exemplo 04:

53. Exercícios
propostos
Questão 02:

54. Questão 03:
Questão 04:
Exercícios propostos