1. O documento apresenta uma revisão de álgebra linear com foco em matrizes, incluindo operações como transposição, soma, determinante, inversa e sistemas de equações lineares.
2. As seções abordam diferentes tipos de matrizes, suas propriedades e como realizar operações com elas utilizando a ferramenta Excel.
3. O objetivo é revisar conceitos de matrizes que serão úteis na resolução de problemas de programação linear usando o algoritmo Simplex.
Plano de aula po1 capitulo 2 revisão algebra 2015 vrs 0001Luis Duncan
1. O documento apresenta uma revisão de álgebra linear com foco em matrizes, incluindo definições, tipos, operações e cálculos com matrizes.
2. É apresentada a notação de matrizes e vários tipos como matrizes quaisquer, nulas, quadradas e identidade.
3. São explicadas operações com matrizes como adição, multiplicação por escalar, multiplicação entre matrizes, determinante, matriz singular, não singular e inversa.
O documento apresenta uma revisão de álgebra linear com foco em matrizes, incluindo definições e operações com matrizes como transposição, adição, multiplicação por escalar e entre matrizes, determinante, matriz singular, inversa e sistemas de equações lineares. Também apresenta como utilizar funções no Excel para operações com matrizes como transposição, soma, determinante e inversa.
O documento descreve as matrizes, suas propriedades e operações. As matrizes são tabelas de números utilizadas em diversas áreas e são compostas por linhas e colunas. São apresentados conceitos como matriz quadrada, identidade, transposta, adição, multiplicação e inversa de matrizes. Determinantes são números associados a matrizes quadradas.
1) O documento discute conceitos básicos sobre matrizes, incluindo definição de matriz, tipos de matrizes (quadrada, nula, oposta etc), operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação) e propriedades de matrizes (transposta, simétrica, determinante).
2) É apresentada a regra de Sarrus para calcular determinantes de matrizes 3x3 e conceitos relacionados como menor complementar e cofator.
3) Discutem-se matrizes inversíveis e a regra para calcular a inversa de uma matriz
Este documento descreve os conceitos básicos de matrizes, incluindo suas definições, notações, tipos, operações e propriedades. As três principais informações são:
1) Uma matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Pode ser representada por parênteses, colchetes ou barras duplas.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como quadradas, diagonais, simétricas e identidade.
3) As operações básicas com matrizes incluem adição, subtração, multiplicação por escal
Matrizes são tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Existem diferentes tipos de matrizes como quadradas, retangulares, linhas e colunas. Pode-se realizar operações com matrizes como adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes. É possível calcular a transposta e inversa de uma matriz. Determinantes são números associados a matrizes quadradas.
O documento introduz o conceito de matrizes, definindo-as como tabelas que relacionam dados numéricos de forma lógica. É explicado o que é uma matriz, sua ordem e elementos, apresentando exemplos de matrizes especiais como quadradas e identidade. Por fim, são descritas operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação por um número.
O documento explica os conceitos básicos de determinantes de matrizes quadradas, incluindo como calcular determinantes de 1a, 2a e 3a ordem utilizando a regra de Sarrus, e apresenta propriedades importantes dos determinantes como o Teorema de Laplace.
Plano de aula po1 capitulo 2 revisão algebra 2015 vrs 0001Luis Duncan
1. O documento apresenta uma revisão de álgebra linear com foco em matrizes, incluindo definições, tipos, operações e cálculos com matrizes.
2. É apresentada a notação de matrizes e vários tipos como matrizes quaisquer, nulas, quadradas e identidade.
3. São explicadas operações com matrizes como adição, multiplicação por escalar, multiplicação entre matrizes, determinante, matriz singular, não singular e inversa.
O documento apresenta uma revisão de álgebra linear com foco em matrizes, incluindo definições e operações com matrizes como transposição, adição, multiplicação por escalar e entre matrizes, determinante, matriz singular, inversa e sistemas de equações lineares. Também apresenta como utilizar funções no Excel para operações com matrizes como transposição, soma, determinante e inversa.
O documento descreve as matrizes, suas propriedades e operações. As matrizes são tabelas de números utilizadas em diversas áreas e são compostas por linhas e colunas. São apresentados conceitos como matriz quadrada, identidade, transposta, adição, multiplicação e inversa de matrizes. Determinantes são números associados a matrizes quadradas.
1) O documento discute conceitos básicos sobre matrizes, incluindo definição de matriz, tipos de matrizes (quadrada, nula, oposta etc), operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação) e propriedades de matrizes (transposta, simétrica, determinante).
2) É apresentada a regra de Sarrus para calcular determinantes de matrizes 3x3 e conceitos relacionados como menor complementar e cofator.
3) Discutem-se matrizes inversíveis e a regra para calcular a inversa de uma matriz
Este documento descreve os conceitos básicos de matrizes, incluindo suas definições, notações, tipos, operações e propriedades. As três principais informações são:
1) Uma matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Pode ser representada por parênteses, colchetes ou barras duplas.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como quadradas, diagonais, simétricas e identidade.
3) As operações básicas com matrizes incluem adição, subtração, multiplicação por escal
Matrizes são tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Existem diferentes tipos de matrizes como quadradas, retangulares, linhas e colunas. Pode-se realizar operações com matrizes como adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes. É possível calcular a transposta e inversa de uma matriz. Determinantes são números associados a matrizes quadradas.
O documento introduz o conceito de matrizes, definindo-as como tabelas que relacionam dados numéricos de forma lógica. É explicado o que é uma matriz, sua ordem e elementos, apresentando exemplos de matrizes especiais como quadradas e identidade. Por fim, são descritas operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação por um número.
O documento explica os conceitos básicos de determinantes de matrizes quadradas, incluindo como calcular determinantes de 1a, 2a e 3a ordem utilizando a regra de Sarrus, e apresenta propriedades importantes dos determinantes como o Teorema de Laplace.
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O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.
O documento apresenta conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Matrizes podem ser classificadas de acordo com sua forma (retangular, quadrada, linha, coluna) ou natureza dos elementos (real, complexa, nula, triangular superior/inferior, diagonal, escalar, simétrica, densa, dispersa);
2) Uma matriz identidade I é uma matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros nos demais elementos;
3) A soma de duas matrizes do mesmo tipo resulta em uma matriz do mesmo tipo obtida somando elementos da mesma posição.
1) Um determinante é calculado para resolver sistemas lineares e está associado a matrizes quadradas.
2) Existem métodos como o de Sarrus e o teorema de Laplace para calcular determinantes de ordem maior.
3) Determinantes possuem propriedades como ser zero se houver linhas ou colunas iguais e mudar de sinal ao trocar linhas/colunas.
O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.
O documento explica o que é um determinante e como calculá-lo para matrizes quadradas de 1a, 2a e 3a ordem. O determinante é um número real associado à matriz e é calculado usando a diferença entre produtos de elementos nas diagonais principal e secundária para matrizes de 2a ordem ou a regra de Sarrus para 3a ordem. Propriedades incluem o determinante ser zero se houver linhas iguais ou proporcionais ou se uma linha for combinação linear de outras.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)Pedro Povoleri
As matrizes foram inicialmente utilizadas pelo matemático inglês James Sylvester em meados do século XIX. Seu colega Arthur Cayley definiu operações básicas entre matrizes. O matemático alemão Gotthold Eisenstein contribuiu para o desenvolvimento da multiplicação matricial.
1) Uma matriz é uma tabela m x n utilizada para resolver sistemas de equações lineares e transformações lineares.
2) As operações básicas com matrizes incluem soma, subtração, multiplicação escalar e multiplicação matriz por matriz.
3) O determinante de uma matriz quadrada é calculado usando regras específicas e indica se o sistema linear associado tem solução única.
A matriz é um conjunto numérico disposto em linhas e colunas. O documento explica os conceitos de matriz, incluindo matriz quadrada, linha, coluna, elementos, transposta e operações como adição. Há também exercícios para fixar os conceitos ensinados.
I. Uma matriz é uma tabela disposta em linhas e colunas que permite representar sistemas lineares e realizar operações algébricas com esses sistemas.
II. Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, triangulares e identidade.
III. É possível realizar operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes, desde que respeitem certas propriedades dimensionais. Determinantes e inversão de matrizes também são abordados.
Funçao trig matriz determinante e sistema 2 x2GabrielaMansur
1) O documento discute sistemas lineares e matrizes. Apresenta 30 questões sobre determinantes, sistemas lineares, funções trigonométricas e operações com matrizes.
2) As questões abordam tópicos como classificação de sistemas lineares, cálculo de determinantes, resolução de sistemas lineares, gráficos de funções trigonométricas e operações com matrizes como soma, produto e transposta.
3) São solicitados cálculos, discussões e classificações relacionadas a esses conceitos da ál
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo:
1) Definição de matrizes, dimensões e elementos.
2) Tipos de matrizes como nula, quadrada, diagonal, identidade e transposta.
3) Operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação por uma constante.
O documento define matrizes e conceitos relacionados como ordem, elementos, igualdade, tipos especiais de matrizes e operações com matrizes. Em particular, define matriz como tabela de elementos dispostos em linhas e colunas, apresenta exemplos de matrizes e operações como adição, subtração e multiplicação por escalar.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
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O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.
O documento apresenta conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Matrizes podem ser classificadas de acordo com sua forma (retangular, quadrada, linha, coluna) ou natureza dos elementos (real, complexa, nula, triangular superior/inferior, diagonal, escalar, simétrica, densa, dispersa);
2) Uma matriz identidade I é uma matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros nos demais elementos;
3) A soma de duas matrizes do mesmo tipo resulta em uma matriz do mesmo tipo obtida somando elementos da mesma posição.
1) Um determinante é calculado para resolver sistemas lineares e está associado a matrizes quadradas.
2) Existem métodos como o de Sarrus e o teorema de Laplace para calcular determinantes de ordem maior.
3) Determinantes possuem propriedades como ser zero se houver linhas ou colunas iguais e mudar de sinal ao trocar linhas/colunas.
O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.
O documento explica o que é um determinante e como calculá-lo para matrizes quadradas de 1a, 2a e 3a ordem. O determinante é um número real associado à matriz e é calculado usando a diferença entre produtos de elementos nas diagonais principal e secundária para matrizes de 2a ordem ou a regra de Sarrus para 3a ordem. Propriedades incluem o determinante ser zero se houver linhas iguais ou proporcionais ou se uma linha for combinação linear de outras.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)Pedro Povoleri
As matrizes foram inicialmente utilizadas pelo matemático inglês James Sylvester em meados do século XIX. Seu colega Arthur Cayley definiu operações básicas entre matrizes. O matemático alemão Gotthold Eisenstein contribuiu para o desenvolvimento da multiplicação matricial.
1) Uma matriz é uma tabela m x n utilizada para resolver sistemas de equações lineares e transformações lineares.
2) As operações básicas com matrizes incluem soma, subtração, multiplicação escalar e multiplicação matriz por matriz.
3) O determinante de uma matriz quadrada é calculado usando regras específicas e indica se o sistema linear associado tem solução única.
A matriz é um conjunto numérico disposto em linhas e colunas. O documento explica os conceitos de matriz, incluindo matriz quadrada, linha, coluna, elementos, transposta e operações como adição. Há também exercícios para fixar os conceitos ensinados.
I. Uma matriz é uma tabela disposta em linhas e colunas que permite representar sistemas lineares e realizar operações algébricas com esses sistemas.
II. Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, triangulares e identidade.
III. É possível realizar operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes, desde que respeitem certas propriedades dimensionais. Determinantes e inversão de matrizes também são abordados.
Funçao trig matriz determinante e sistema 2 x2GabrielaMansur
1) O documento discute sistemas lineares e matrizes. Apresenta 30 questões sobre determinantes, sistemas lineares, funções trigonométricas e operações com matrizes.
2) As questões abordam tópicos como classificação de sistemas lineares, cálculo de determinantes, resolução de sistemas lineares, gráficos de funções trigonométricas e operações com matrizes como soma, produto e transposta.
3) São solicitados cálculos, discussões e classificações relacionadas a esses conceitos da ál
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo:
1) Definição de matrizes, dimensões e elementos.
2) Tipos de matrizes como nula, quadrada, diagonal, identidade e transposta.
3) Operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação por uma constante.
O documento define matrizes e conceitos relacionados como ordem, elementos, igualdade, tipos especiais de matrizes e operações com matrizes. Em particular, define matriz como tabela de elementos dispostos em linhas e colunas, apresenta exemplos de matrizes e operações como adição, subtração e multiplicação por escalar.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda: 1) definição e tipos de matrizes; 2) cálculo de determinantes usando regras de Sarrus e Laplace; 3) resolução de sistemas lineares por escalonamento e método de Cramer. Também apresenta aplicações dos determinantes no cálculo de áreas de polígonos.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades relacionadas a matrizes.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades de matrizes.
1. O documento discute conceitos básicos de matrizes, incluindo definição, representação algébrica, tipos especiais de matrizes como quadrada e identidade, e operações como adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes.
2. São apresentados exemplos ilustrativos de como representar e calcular matrizes.
3. As principais operações com matrizes discutidas são adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes, além de conceitos como matriz inversa e transposta.
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Álgebra Linear para o curso de Engenharia de Petróleo. Aborda conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. Inclui também o conteúdo programático organizado em quatro unidades, os objetivos da disciplina, procedimentos de ensino e avaliação.
Este documento fornece uma introdução sobre matrizes, definindo-as como tabelas de números formadas por linhas e colunas e apresentando seus principais tipos e operações. Explica que as matrizes podem ser classificadas de acordo com o número de linhas e colunas, apresentando exemplos de matrizes linha, coluna, quadrada e nula. Também define operações básicas como soma, subtração, multiplicação por escalar e igualdade entre matrizes.
O documento define matrizes e apresenta seus principais tipos e operações. São definidas matrizes quadradas, triangulares, nulas, identidade e diagonal. São explicadas operações como adição, subtração, multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes. Por fim, são apresentados exemplos ilustrativos.
O documento define e explica os conceitos básicos de matrizes, incluindo tipos de matrizes como quadradas, triangulares, nulas e identidade. Também aborda operações com matrizes como adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes.
O documento discute determinantes de matrizes. Explica que determinantes são números associados a matrizes quadradas obtidos por operações entre os elementos da matriz e que podem ser calculados usando regras como a regra de Sarrus para matrizes de 3a ordem. Também apresenta propriedades dos determinantes como que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
1) O documento apresenta definições e notações sobre matrizes, incluindo tipos de matrizes, operações com matrizes e matrizes elementares.
2) São definidos conceitos como matrizes do tipo m x n, elementos de uma matriz, soma e multiplicação de matrizes, matrizes nulas e identidade.
3) São introduzidos os conceitos de matrizes elementares, que são obtidas a partir da matriz identidade por meio de operações elementares nas linhas.
áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chióPedro Povoleri
O documento apresenta várias propriedades dos determinantes de matrizes quadradas. Entre elas: (1) o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta; (2) se uma linha ou coluna for constituída apenas de zeros, o determinante será igual a zero; (3) se duas linhas ou colunas forem trocadas, o novo determinante terá valor simétrico do original.
Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte IMaths Tutoring
1. O documento apresenta exercícios sobre números reais, funções e equações. Inclui questões sobre intervalos, aproximações, gráficos de funções e resolução de inequações.
2. São abordados conceitos como números racionais e irracionais, comparação e operações com números reais, representação gráfica de funções, resolução de sistemas de inequações e noções geométricas relacionadas a funções.
3. Os exercícios visam a consolidação destes conteúdos matemáticos essencia
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda operações entre matrizes, cálculo de determinantes usando regras como a de Sarrus e Laplace, resolução de sistemas lineares pelos métodos de escalonamento e Cramer, e classificação de sistemas lineares homogêneos.
O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda conceitos como matriz identidade, matriz nula, operações entre matrizes, regras para calcular determinantes, propriedades dos determinantes, sistemas lineares e os métodos para resolvê-los, como escalonamento e regra de Cramer.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e exemplos. Resume os principais conceitos de matrizes como tabelas com linhas e colunas para organizar dados, indicando elementos individuais e realizando operações como soma, subtração e multiplicação.
1. O documento explica o conceito de determinante de matrizes, como calcular determinantes de matrizes de diferentes ordens e algumas propriedades importantes dos determinantes.
2. São apresentados métodos para calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3, além do Teorema de Laplace que permite calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 3.
3. São listadas 9 propriedades importantes dos determinantes, como que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
1. O documento define e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes, incluindo matrizes especiais como matrizes nulas, diagonais, identidade e transpostas.
2. São descritas regras para representar elementos de uma matriz usando índices e para verificar igualdade entre matrizes.
3. Uma lista de exercícios é fornecida para praticar conceitos como escrever matrizes com elementos definidos por funções dos índices, calcular traços, transpor e igualar matrizes.
6. Método SIMPLEX:
1) Introduz o método simplex para resolver problemas de programação linear, incluindo colocar o problema na forma padrão e implementar o algoritmo simplex.
2) Discutem os tipos de soluções que podem surgir ao resolver um problema de programação linear usando o método simplex, como solução única ótima, múltiplas soluções ótimas e solução ilimitada.
3) Apresentam o método das duas fases para lidar com problemas que não tenham solução ou tenham solução ilimitada.
O documento descreve o método gráfico para resolver problemas de programação linear, apresentando conceitos como:
- Características de um problema de programação linear (PPL);
- Limitações do método gráfico;
- Interpretação no plano cartesiano R2 e R3;
- Esquema gráfico;
- Tipos de soluções de um PPL no plano R2: única solução ótima, múltiplas soluções ótimas, solução ilimitada, sem solução, degenerada.
Ele também fornece exemplos ilustrativos de cada tipo
3.1 Histórico da Pesquisa Operacional: O documento discute o histórico da pesquisa operacional, desde suas origens na Segunda Guerra Mundial até o desenvolvimento do método simplex por Dantzig em 1947.
3.2 Áreas da Pesquisa Operacional: São listadas diversas áreas da pesquisa operacional, incluindo programação linear, programação inteira, grafos, simulação, teoria das filas e teoria dos jogos.
3.4 Introdução à Programação Linear: São apresentadas as hipóteses e limitações
Este documento apresenta a programação didática das aulas da disciplina de Pesquisa Operacional I ministrada pelo professor Luís Alberto Duncan Rangel no segundo semestre de 2013. A disciplina abordará temas como introdução à pesquisa operacional, programação linear, método gráfico, método simplex, dualidade, análise de sensibilidade e modelos como programação de corte e problemas de transporte. Serão realizadas duas avaliações parciais e uma verificação suplementar.
Este documento apresenta uma apostila sobre a disciplina de Pesquisa Operacional I ministrada na Universidade Federal Fluminense. A apostila descreve os objetivos da disciplina, o método de avaliação dos alunos e fornece referências bibliográficas sobre o assunto.
(Tarefa semana 7 e 8 planejamento execução)luisadr
Planejamento de projeto incluiu definição de escopo, cronograma e orçamento. Execução de projeto cobriu monitoramento de tarefas, riscos e custos para garantir que o projeto seja concluído a tempo e dentro do orçamento. Links forneceram detalhes adicionais sobre as etapas de planejamento e execução do projeto.
1. O documento apresenta uma apostila sobre a disciplina de Pesquisa Operacional I, com informações sobre o objetivo e programação do curso, métodos de avaliação e referências bibliográficas.
2. A disciplina aborda técnicas de programação linear para apoiar a tomada de decisão em problemas industriais e empresariais.
3. O curso inclui aulas sobre métodos gráficos e Simplex para resolver problemas de programação linear, além de modelos como transporte, designação e corte.
Este documento apresenta o plano de ensino para a disciplina de Auxílio Multicritério à Decisão. Ele inclui a justificativa e objetivo da disciplina, o método de avaliação dos alunos e a programação didática com os tópicos a serem ensinados nas aulas.
Planejamento de projeto incluiu planejamento de escopo, tempo, custo e qualidade. Execução de projeto cobriu monitoramento e controle de escopo, cronograma, custos, riscos, aquisições e partes interessadas. Ambos os projetos foram concluídos dentro do escopo, cronograma e orçamento planejados.
(Publicação dos trabalhos no slideshare tutor luis alberto)luisadr
O documento fornece instruções em 3 etapas para publicar trabalhos no SlideShare: 1) Pesquisar pelo SlideShare no Google e criar uma conta; 2) Fazer upload do arquivo desejado; 3) Não esquecer do nome do arquivo durante o upload.
Projeto Execucao - Luis Alberto - 20 out 2012 - VFluisadr
O documento descreve uma série de aulas sobre pontos notáveis de um triângulo ministradas para alunos. Nas aulas, os alunos constroem triângulos físicos e aprendem a identificar pontos como o baricentro usando o software Geogebra. Exercícios e desafios são propostos para que os alunos apliquem os conceitos, como determinar a localização ideal para instalar luminárias em um terreno triangular.
Projeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VFluisadr
Este documento apresenta um projeto de aprendizagem sobre pontos notáveis de um triângulo envolvendo matemática e física no ensino médio. O projeto utiliza atividades práticas e o software Geogebra para que os alunos determinem pontos como o baricentro e compreendam suas aplicações na vida real e em outros campos.
Projeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VF
2 0 cap 002
1. Apostila de Exercícios da
Disciplina de Pesquisa
Operacional I
Luís Alberto Duncan Rangel
UFF – EEIMVR – Volta Redonda
Departamento de Engenharia de Produção
2. SUMÁRIO
2. Revisão de Álgebra Linear – Matrizes:
2.1. Introdução - Notação:
2.2. Matriz qualquer;
2.3. Matriz nula;
2.4. Matriz quadrada;
2.5. Matriz identidade;
2.6. Matriz transposta;
2.7. Operações com Matrizes:
2.7.1. Adição de Matrizes;
2.7.2. Multiplicação de Matriz por um Escalar;
2.7.3. Multiplicação de Matrizes
2.7.4. Determinante de uma Matriz;
3. 2.8. Matriz Singular;
2.9. Matriz Não Singular;
2.10. Matriz inversa
2.11. Utilização do software Excel.
2.11.1 Transposta de uma Matriz;
SUMÁRIO
2.11.2 Soma de matrizes;
2.11.3 Determinante de uma Matriz;
2.11.4 Multiplicação de Matriz por um Escalar;
2.11.5 Multiplicação de Matrizes;
2.11.6 Matriz inversa;
2.12. Exercício sobre matrizes através do Excel;
4. 2.13. Sistemas de equações lineares;
2.13.1 Solução através do produto da inversa da
matriz pelo vetor C;
2.13.2 Solução do sistema por adição das equações;
2.13.3 Solução do sistema por substituição;
2.13.4 Solução do sistema pelo método de Gaus-
SUMÁRIO
2.13.4 Solução do sistema pelo método de Gaus-
Jordan;
2.14. Representação de retas no plano e interseção
de retas no plano;
2.15. Exercícios: Determinação de interseções de
retas no plano;
5. Pretende-se nesta revisão de álgebra linear, fazer uma
breve apresentação da notação de matrizes, dos tipos de
matrizes e algumas operações com matrizes, tais como,
transformações lineares, que serão muito úteis na resolução
de problemas de programação linear empregando o
algoritmo Simplex.
2.1 Introdução - Notação
algoritmo Simplex.
Para uma revisão completa consultar a seguinte referência
bibliográfica (Kolman, B. Introdução a Álgebra Linear com
Aplicações. 7a ed. Rio de Janeiro, Ed. Prentice-Hall do Brasil,
1998; Lay, D.C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 2a ed. Rio
de Janeiro, Ed. LTC S.A., 1999).
6. Uma matriz é definida como sendo um conjunto de números
complexos ou reais, dispostos ordenadamente, em forma
retangular ou quadrada. Uma matriz pode ser representada
da seguinte forma:
2.1 Introdução - Notação
n
n
aaa
aaa
A
...
...
22221
11211
=
Nesta revisão, considera-se que os elementos da matriz aij ∈
R, isto é, assumam somente valores reais, e que i = {1, 2,
..., m} e j = {1, 2, ..., n}. Em cada elemento da matriz aij, i
representa a i-ésima linha e j representa a j-ésima coluna.
Desta forma, uma matriz A com a notação Amxn informa que
a matriz A possui m linhas e n colunas.
mnmm
n
aaa
A
...
............
...
21
22221
=
7. Diz-se que B é uma matriz qualquer.
B é uma matriz qualquer de três linhas (m) e
cinco colunas (n).
2.2 Matriz Qualquer
54321
87531
0987653 =xB
8. Diz-se que C é uma matriz nula de duas linhas (m) e
quatro colunas (n).
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos da
matriz são nulos.
2.3 Matriz Nula
0000
0000
0000
42 =xC
9. Diz-se que D é uma matriz quadrada, quando o número de
linhas (m) e colunas da matriz (n) são iguais.
D é uma matriz quadrada de ordem 4.
2.4 Matriz Quadrada
8642
7531
=D
11852
9630
8642
44 =xD
10. Uma matriz identidade é uma matriz quadrada e nesta
matriz todo elemento da diagonal principal é igual a 1 e
todos os outros elementos da matriz, fora da diagonal
principal, são zeros. E1 é uma matriz identidade de ordem 3,
e E2 é uma matriz quadrada de ordem 5.
2.5 Matriz Identidade
00001
100
010
001
1 33 =xE
10000
01000
00100
00010
00001
2 55 =xE
11. Dada uma matriz qualquer F, diz-se que a matriz transposta
desta matriz é uma nova matriz obtida, invertendo-se linhas
por colunas e as colunas por linha de forma ordenada.
Por exemplo, dada a matriz F, a matriz transposta de F é
denotado por FT e tem como resultado:
2.6 Matriz Transposta
09
87
65
43
21
25 =xF
08642
97531
52 =x
T
F
12. 2.7.1 Adição de Matrizes:
A adição de matrizes só pode ser realizada quando o
número de linhas e colunas da primeira matriz (G) for igual
ao número de linhas e colunas, respectivamente, da
segunda matriz (H). Os elementos da matriz resultante (R)
serão obtidos somando-se os elementos de mesma posição
2.7 Operações com Matrizes
serão obtidos somando-se os elementos de mesma posição
da primeira e da segunda matriz. Desta forma, a matriz R
resultante da soma de G com H é:
654
321
32 =xG
654
321
32 =xH
12108
642
32 =xI
13. 2.7.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar:
A multiplicação de um número por uma matriz terá como
resultado o produto de número por cada elemento da
matriz. Por exemplo, multiplicando o número dois pela
matriz J, obtém-se a matriz K. α =2 (escalar). K = 2 * J:
2.7 Operações com Matrizes
321
103
654
987
321
34 =xJ
206
12108
181614
642
34 =xK
14. 2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:
A operação de multiplicação de duas matrizes só poderá ser
realizada quando o número de colunas da primeira matriz
(n1) for igual ao número de linhas da segunda matriz (m2).
A matriz resultante deste produto terá como dimensão o
número de linhas da primeira matriz (m1) e o número de
2.7 Operações com Matrizes
número de linhas da primeira matriz (m1) e o número de
colunas da segunda matriz (n2). Desta forma, uma matriz
L2x3 multiplicada pela matriz M3x4 terá como resultado a
matriz N2x4. A ordem da operação não pode ser alterada.
N2x4 = L2x3 x M3x4.
15. 2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:
A ordem da operação de multiplicação não pode ser
alterada, pois a operação pode não ser viável.
N = L x M.
2.7 Operações com Matrizes
1201
321
:
8765
4112
210
321
4332 resultadocomoteráMdamultiplicaL xx ==
824110721120621100522110
834211731221631201532211
42
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
N x
++++++++
++++++++
=
20151312
33252020
42 =xN
16. 2.7.4 Determinante de uma Matriz:
Por definição, o determinante de uma matriz só pode ser
calculado se a matriz for quadrada. O valor obtido é um
valor real que é associado a matriz.
Utiliza-se det M como sendo a notação para representar o
determinante de uma Matriz. Por exemplo, dada uma matriz
2.7 Operações com Matrizes
determinante de uma Matriz. Por exemplo, dada uma matriz
A3x3:
Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas
para baixo e três setas para cima de tal forma a interceptar
três elementos da matriz de cada vez:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A =
17. 2.7.4 Determinante de uma Matriz:
Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas
para baixo, somando-se os produtos de cada multiplicação,
e três setas para cima, subtraindo os produtos de cada
multiplicação. Assim, por exemplo, dada a matriz A, verifica-
se o calculo do determinante da matriz A, da seguinte
2.7 Operações com Matrizes
se o calculo do determinante da matriz A, da seguinte
forma:
det A = 1x5x9 + 2x6x7 + 4x4x8 – 7x5x4 – 8x6x1 – 9x4x2 =
det A = 45 + 84 + 128 – 140 – 48 – 72 = 257 – 260 =
det A = -3
8
5
2
7
4
1
987
654
421
det =A
987
654
421
=A
18. Uma Matriz Singular é uma matriz quadrada que apresenta o
determinante igual a zero.
2.8 Matriz Singular
5
2
4
1
654
321
det =B
det B = 1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8 – 7x5x3 – 8x6x1 – 9x4x2 =
det B = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 225 – 225 =
det B = 0.
87987
19. Uma Matriz Não-Singular é uma matriz quadrada que
apresenta o determinante diferente de zero.
2.9 Matriz Não-Singular
1
2
1
1
611
221
det =C
det C = 1x1x5 + 2x6x4 + 2x1x3 – 4x1x2 – 3x6x1 – 5x1x2 =
det C = 5 + 48 + 6 – 8 – 18 – 10 = 59 – 36 =
det C = 23
34534
20. Dada uma matriz quadrada E, com determinante de E
diferente de zero, o produto da matriz E pela sua inversa E-1,
resulta na matriz identidade I de ordem igual a da matriz E.
Portanto, uma matriz só é inversível se seu determinante for
diferente de zero (matriz não-singular). Só podemos calcular
a matriz inversa de uma matriz quadrada.
2.10 Matriz Inversa
a matriz inversa de uma matriz quadrada.
Existem diferentes formas de se calcular a matriz inversa de
uma matriz, a seguir será empregada o procedimento que
utiliza a seguinte seqüencia de cálculo: Dada uma matriz H e
ao seu lado a matriz identidade I, isto é, “H.I” realizando
transformação lineares para obter na posição de H a matriz
identidade I, com estas transformação lineares, ao seu lado
surge a matriz inversa de H-1, na posição da matriz
identidade.
21. Assim, dada as matrizes “ H . I”, por transformação linear
obtemos as matrizes “ I . H-1”, se a matriz H for não-singular.
2.10 Matriz Inversa
534
611
221
33 =xH
100
010
001
33 =xI
Por transformação linear (TL), fazendo, L2 = L2 – L1, e
L3 = L3 – 4*L1, temos:
534 100
3
2
1
100534
010611
001221
. 3333
L
L
L
IH xx =
22. Por TL fazendo: L2 = L2/(-1), temos:
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
104350
011410
001221
. 3333
L
L
L
IH xx
−−−
−−=
1001221 L
Por TL fazendo: L1 = L1 - (2)*L2, e L3 = L3 – (-5)*L2, temos:
3
2
1
104350
011410
001221
. 3333
L
L
L
IH xx
−−−
−−=
3
2
1
104350
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−−
−−
−
=
23. Por TL fazendo: L3 = L3/(-23), temos:
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
1512300
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−
−−
−
=
Por TL fazendo: L1 = L1 - (10)*L3, e L2 = L2 - (-4)*L3, temos:
3
2
1
04348,021739,004348,0100
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−
−−
−
=
3
2
1
04348,021739,004348,0100
011410
434783,017391,056522,0001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−
−−
−−
=
24. Como resultado das transformações lineares, obtemos:
Assim, temos “ I x H-1”. Se procedermos a multiplicação de
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
04348,021739,004348,0100
17391,013043,0826087,0010
434783,017391,056522,0001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−
−−
−−
=
Assim, temos “ I x H-1”. Se procedermos a multiplicação de
matrizes HxH-1, obtemos a matriz identidade I.
I = H x H-1.
534
611
221
33 =xH
04348,021739,004348,0
17391,013043,0826087,0
434783,017391,0565221,0
33
1
−−
−−
−−
=−
xH
100
010
001
33 =xI
25. Existem diversas funções pré-definidas na planinha Excel que
podem ser utilizadas para auxiliar a Álgebra Linear.
Todas as exposições feitas a seguir consideram-se que
estamos trabalhando com o Excel.
2.11.1 Transposta de Matriz:
2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.1 Transposta de Matriz:
Seleciona a matriz na planilha Excel que se quer realizar a sua
transposta.
Posiciona o cursor em um local da planilha, fora da área de
edição da matriz, seleciona-se a função Editar, seleciona-se
Colar Especial, seleciona-se a seguir Transpor e tecle Enter.
A operação é realizada.
27. 2.11.2 Soma de Matriz:
Após a digitação das matrizes, que queremos realizar a
operação de adição, posiciona o cursor em um local da
planilha, digite “=” na célula, seleciona a primeira célula da
primeira matriz, digite “+”, seleciona a primeira célula da
segunda matriz e tecle Enter.
2.11 Utilização do Software EXCEL
segunda matriz e tecle Enter.
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,
mude a forma de seleção do cursor para “+”, e arraste o
cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão
das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta
da última célula, mude a forma de seleção do cursor para “+”
e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da
dimensão das matrizes e solte o cursor. Lembrando, só
podemos proceder a soma de duas matrizes com a mesma
dimensão, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.
28. 2.11.2 Soma de Matriz:
2.11 Utilização do Software EXCEL
29. 2.11.3 Determinante da Matriz:
Seleciona a matriz que se quer calcular o seu determinante.
Posicionando o cursor em uma local qualquer da planilha
Excel, seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a
função “Matriz.Determinante” e tecle Enter. O valor retornado
desta operação é o determinante da matriz selecionada.
2.11 Utilização do Software EXCEL
desta operação é o determinante da matriz selecionada.
Lembrando, só podemos calcular o determinante de matriz
quadrada.
31. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
Existem dois procedimentos que podem ser utilizados, o
primeiro, após a digitação da matriz, posicione o cursor em
um local da planilha Excel, digite “=”, a constante que você
quer multiplicar a matriz, por exemplo, “2” digite “*” e em
seguida tecle na primeira posição da matriz. Posicionando o
2.11 Utilização do Software EXCEL
seguida tecle na primeira posição da matriz. Posicionando o
cursor no canto inferior a direta da célula, mude a forma de
seleção do cursor para “+” e arraste o cursor o mesmo
número de células (colunas) da dimensão das matrizes.
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da última
célula à direita, mude a forma de seleção do cursor para “+”
e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da
dimensão das matrizes e solte o cursor. O produto da
constante “2” pela matriz será apresentado.
33. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
O segundo procedimento que pode ser utilizado é o seguinte,
primeiro digite matriz, depois em uma célula qualquer digite a
constante que você quer multiplicar a matriz digitada.
Posicione o cursor em um local da planilha Excel, digite “=”,
selecione a celular onde foi digitado a constante que se quer
2.11 Utilização do Software EXCEL
selecione a celular onde foi digitado a constante que se quer
multiplicar a matriz, em seguida tecle “F4”, irá aparecer
“$Coluna$Linha”. A seleção da célula com a função “F4” fixa
o valor que está na célula. Em seguida, digite “*” e selecione
a primeira célula da matriz que se quer executar o produto.
34. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,
mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste o
cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão
das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta
da última célula à direita, mude a forma de seleção do cursor
2.11 Utilização do Software EXCEL
da última célula à direita, mude a forma de seleção do cursor
para “+” e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de
células da dimensão das matrizes e solte o cursor. O produto
da constante digitada na célula pela matriz será apresentado.
A diferença destes dois procedimentos é que ao se alterar o
valor que está na célula do segundo procedimento descrito,
por exemplo, alterando o valor de “2” para “10”, e teclando
Enter, o produto do valor de “10” pela matriz será
automaticamente apresentado.
36. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes:
Após a digitação das duas matrizes que se quer calcular a sua
multiplicação, seleciona-se com o cursor a dimensão da
matriz resultante do produto das duas matrizes, em um local
da planilha Excel.
Seleciona-se a função “fx” da planilha Excel, em seguida,
2.11 Utilização do Software EXCEL
Seleciona-se a função “fx” da planilha Excel, em seguida,
seleciona-se a função “Matriz.Produto” e tecle Enter.
Selecionando através da seta vermelha, a primeira matriz da
caixa aberta pelo Excel. Após a sua seleção acione
novamente a seta vermelha da primeira matriz.
Selecionando a seta vermelha da segunda matriz da caixa
aberta pelo Excel, seleciona a segunda matriz na planilha
Excel, após a sua seleção acione novamente a seta vermelha
da segunda matriz.
37. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes:
Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo
tempo, sem soltar estas teclas selecionadas.
O produto das duas matrizes será apresentado na planilha
Excel.
2.11 Utilização do Software EXCEL
39. 2.11.6 Matriz Inversa:
Após a digitação da matriz que se quer calcular a sua inversa,
seleciona-se com o cursor a dimensão da matriz inversa, isto
é, a mesma dimensão da matriz que se quer calcular a sua
inversa.
Seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a função
2.11 Utilização do Software EXCEL
Seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a função
“Matriz.Inversa” e tecle Enter. Selecionando a seta vermelha
da caixa aberta pelo Excel, seleciona a matriz na planilha
Excel, após a sua seleção acione novamente a seta vermelha
da caixa aberta pelo Excel.
Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo
tempo sem soltar estas teclas selecionadas. A matriz inversa
será apresentada pelo Excel, se esta matriz for inversível.
Lembrando, só podemos calcular a matriz inversa de uma
matriz em que o seu determinante é diferente de “zero”.
42. Calcule:
a1) AT; a2) BT; a3) CT;
b1) A1 = K * A; b2) B1 = J * B;
c) A2 = K * AT ; B2 = J * BT (empregue a função “F4”
para fixar os valores de “K” e de “J” para estas
operações);
2.12 Exercício sobre Matrizes:
operações);
d) det. C; e) det. CT; f) E = A x B;
g) F = B x C; h) C-1; i) (CT)-1;
j) Para a matriz D e a matriz identidade L associada a
matriz D, calcule o inverso da matriz D por
transformações lineares ( D . L => L . D-1 ).
k) Para a matriz H e a matriz identidade L associada a
matriz H, calcule o inverso da matriz H por
transformações lineares ( H . L => L . H-1 ).
43. A equação de uma reta no plano (x,y) é representada pela:
ax + by = c. Quando duas retas pertencem ao mesmo plano
pode-se verificar se há interseção entre estas retas no plano
através da resolução de um sistema de equações lineares. A
representação dessas duas retas na forma de um sistema é
dada por:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
1 1 1a x b y c+ =
dada por:
A sua representação na forma matricial é dada por:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
1 1
1 2
a b
A
a b
=
x
X
y
=
1
2
c
C
c
=
44. Desta forma, tem-se a matriz A, o vetor coluna X e o vetor
coluna C.
Existem diversas modos de resolver este sistema.
Apresenta-se a seguir algumas maneiras de resolver este
sistema através de exemplos.
2.13 Sistemas de Equações Lineares
45. 2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo produto da A-1 pelo
vetor C:
Verifica-se que os valores da matriz X (ou vetor coluna)
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =
+ =
Verifica-se que os valores da matriz X (ou vetor coluna)
podem ser determinados através do seguinte produto:
Calculado a A-1, tem-se:
1 0,214,92 0,357143
0,285714 0,14286
A− −
= −
CA.X = .C.A.XA 1-1 −
= A
.CI.X 1−
= A .CX 1−
= A
=> =>
=>
46. 2.13.1 Através do produto da A-1 pelo vetor C
Calculando o produto de A-1 x C temos a solução do sistema:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
0,214,92 0,357143 10 2,142857− 1 0,214,92 0,357143 10 2,142857
. .
0,285714 0,14286 12 1,142857
X A C− −
= = = −
47. 2.13.2 Solução de sistema por adição das equações:
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:
Multiplica-se a primeira equação por (-2) e adiciona esta
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =
+ =
Multiplica-se a primeira equação por (-2) e adiciona esta
equação a segunda equação:
Executando-se a soma temos:
4 10 20
4 3 12
x y
x y
− − = −
+ =
10 20
3 12
y
y
− = −
+ =
48. 2.13.2 Solução de sistema por adição das equações:
Logo tem-se:
determinando o valor de y temos:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
7 8y− = −
substituindo este valor na primeira equação temos o valor
de x:
1,142857y =
2,142857x =
49. 2.13.3 Solução de sistema por substituição:
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:
Retira-se o valor de x da primeira equação e o substituía na
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =
+ =
Retira-se o valor de x da primeira equação e o substituía na
segunda equação.
Substituindo x na segunda equação temos:
(10 5 ) / 2x y= −
4.(10 5 ) / 2 3 12y y− + =
50. 2.13.3 Solução do sistema por substituição:
Resolvendo esta equação temos:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2.(10 5 ) 3 12 20 10 3 12 7 8 1,142857y y y y y y− + = => − + = => − = − => =
Substituindo o valor de y na primeira equação, obtém-se o
valor de
.
2,142857x =
51. 2.13.4 Método de Gaus-Jordan:
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo método de Gaus-
Jordan:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =
+ =
Primeiramente divide-se a primeira equação por 2 para
obter 1 na posição a11 da matriz.
Elimina-se o elemento a21 da segunda equação por
transformação linear. Multiplica-se toda a primeira equação
por (- 4) e adiciona-se a segunda equação.
4 3 12x y+ =
2,5 5
4 3 12
x y
x y
+ =
+ =
52. 2.13.4 Método de Gaus-Jordan:
Temos o seguinte resultado:
Divide-se a segunda equação por (-7).
2.13 Sistemas de Equações Lineares
2,5 5
0 7 8
x y
y
+ =
− = −
Divide-se a segunda equação por (-7).
Elimina-se o elemento a12 da primeira equação por
transformação linear. Multiplica-se toda a segunda equação
(-2,5) e adiciona-se a primeira equação.
2,5 5
0 1,142857
x y
y
+ =
+ =
0 2,142857
0 1,142857
x
y
+ =
+ =
53. 2.14.1 Exemplo 1:
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:
2.14 Representação de retas no plano e
interseção de retas no plano.
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =
+ =
Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de
interseção das equações no plano, que é a solução do
sistema.
55. 2.14.2 Exemplo 2:
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:
2.14 Representação de retas no plano e
interseção de retas no plano.
3 2 6
2 5 8
x y
x y
− =
− + =
Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de
interseção das equações no plano, que é a solução do
sistema.