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ESCOLA ESTADUAL: CEL. PEDRO CÂMARA – CMPM VIII
Professor: Leudo Silva de Abreu
Disciplina: Matemática
1) Matriz
Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas
(horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem
assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o
número de colunas.
Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses,
colchetes ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos:
Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número
de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim
- a matriz é de ordem dois por três. E cada número pertencente a uma matriz é o seu
elemento.
Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de
ordem 3 x 2:
O elemento – 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna.
O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.
Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos
definidos, representamos da seguinte forma:
a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas
colunas).
Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna.
Exemplo: Escreva a matriz A = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i + j.
A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim:
Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão
depender da equação dada no enunciado: aij = 2i + j.
Então iremos calcular cada elemento sabendo que:
i é a linha que o elemento pertence.
j é a coluna que o elemento pertence.
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1 a12 = 2 . 1 + 2
a11 = 3 a21 = 5 a22 = 2 . 2 + 2
a12 = 4 a22 = 6
a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3
a13= 5 a23 = 7
Então os elementos que pertencem a matriz A são:
Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em
suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.
►Matriz linhas
Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de
colunas é independente. Por exemplo:
1 x 3
►Matriz coluna
Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O
número de linhas é independente. Por exemplo:
5 x 1
►Matriz nula
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de
linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:
Podendo ser representada por 03 x 2.
►Matriz quadrada
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de
linhas. Por exemplo:
Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal
secundária e uma diagonal principal.
►Matriz diagonal
Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não
pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da
diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:
►Matriz identidade
Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos
que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos
iguais a zero. Veja o exemplo:
►Matriz oposta
Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:
A matriz oposta a ela é:
Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar
os sinais dos elementos.
►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes
Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus
elementos correspondentes forem iguais.
►Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada por At
de ordem “invertida” n x m.
Essa ordem invertida significa que para transformarmos uma matriz em matriz
transposta, basta trocar os elementos das linhas pelo das colunas e vice-versa.
Veja o exemplo:
Dada a matriz A = 3 x 2, a matriz transposta representada por At, será:
At = 2 x 3.
Observamos que a ordem das matrizes A e da sua transposta At foi invertida, o que era
linha virou coluna e o que era coluna virou linha.
Veja mais um exemplo:
Dada a matriz B = 3 x 3, a matriz transposta representada por
Bt, será:
Bt = 3 x 3
Observamos que quando temos uma matriz quadrada a sua matriz transposta terá a
mesma ordem o que irá diferenciar uma da outra é a disposição das linhas e colunas.
►Matriz simétrica
É quando a matriz transposta é igual à matriz (A = At). Ou seja, os elementos da
diagonal principal de A e At são iguais.
Dada a matriz A = 2 x 2, a sua transposta é At = .
Adição e Subtração de Matrizes
A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente
da operação utilizada.
Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma
matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e
colunas.
A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem
representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de
ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por
b12.
►Adição
As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa
soma será também outra matriz com a mesma ordem.
Assim podemos concluir que:
Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como
resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C
somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.
Exemplos:
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se
somarmos a A + B, teremos:
+ = 3 x 3
Observe os elementos em destaques:
a13 = - 1 e b13 = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6
O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos
que somar a32 + b32. Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2
Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.
►Subtração
As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença
delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.
Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra
matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os
elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21.
Exemplos:
Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se
subtrairmos A – B, teremos:
- = 3 x 3
Observe os elementos destacados:
Quando subtraímos a13 – b13 = c13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
Quando subtraímos a31 – b31 = c31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3
Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.
Multiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do
numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por
k.
Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de
Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da
multiplicação de numero real por matriz:
- 1.A = A
- (-1).A = -A
- p.O = O
- 0.A = 0
- p.(A + B) = p.A + p.B
- (p + q).B = p.B + q.B
- p.(q.A) = (p.q).A
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da
matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij)
satisfaz:
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente
os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da
matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:
O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de
colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I).
Existência de uma matriz inversa
Sabemos que uma matriz irá admitir inversa se, somente se, ela for quadrada e o
produto dela com a inversa forem iguais a uma matriz identidade de mesma ordem,
mas será que podemos concluir que qualquer matriz quadrada tem uma matriz inversa
correspondente? Veja o exemplo abaixo:
Dado a matriz A = , para verificar se ela é invisível temos que verificar se
existe sua matriz inversa A-1, como não conhecemos os elementos da matriz A-1
iremos defini-la como sendo uma matriz qualquer de ordem 2: A-1 = . Para
que A-1 seja a matriz inversa de A o produto delas deverá ser igual a
.
Agora, formamos dois sistemas com a igualdade de matrizes abaixo:
Ao resolvermos o primeiro sistema chegaremos à seguinte conclusão:
4a + 2b = 1
2a + b = 0 (-2)
4a + 2b = 1
-4a – 2b = -2
0a + 0b = -1
Assim, podemos concluir que esse sistema é impossível, então não terá solução.
Portanto, A matriz A não é invisível.
Veja esse outro exemplo, onde a matriz terá sua inversa.
Dada a matriz B = , para verificar se ela é invisível temos que verificar se
existe sua matriz inversa A-1, como não conhecemos os elementos da matriz B-1 iremos
defini-la como sendo uma matriz qualquer de ordem 2: B-1 = . Para que B-1 seja a
matriz inversa de B, o produto delas deverá ser igual a .
Formando dois sistemas com a igualdade das matrizes, teremos:
Resolvendo o primeiro sistema, encontraremos os valores de a e c:
a + 4c = 1
0a + 2c = 0
2c = 0
c = 0
a + 4 . 0 = 1
a = 1
Resolvendo o segundo sistema, encontraremos os valores de b e d:
b + 4d = 0
0b + 2d = 1
2d = 1
d = 1 / 2
b + 4 . 1/2 = 0
b = -2
Portanto, concluímos que a inversa de B será B-1 = .
Determinante
Determinante é o valor numérico de uma matriz quadrada (que tem o mesmo número
de linhas e de colunas).
• Determinantes de matrizes de ordem 1
Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna.
Por exemplo:
A = (1)
B = [-5]
O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz de ordem
1, assim podemos concluir que o determinante das matrizes A e B serão:
det A = | 1 | = 1
det B = | -5 | = -5
OBSERVAÇÃO: As duas barras que limitam os elementos de um determinante não
devem ser considerados módulos, é apenas um símbolo que representa os
determinantes.
• Determinantes de matrizes de ordem 2
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta multiplicar os
elementos da diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal
secundária.
Dada uma matriz de ordem 2:
O seu determinante será = a11 . a22 – a21 . a12.
Exemplo:
Dada a matriz B de ordem 2x2 . Calcule o seu determinante:
= -3 . 0 – 1 . 2 = 0 – 2 = -2, portanto det B = -2
• Determinantes de matrizes de ordem 3
O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é feito utilizando um processo
diferente. Veja como é feito.
Dada a matriz A de ordem 3x3 , o seu determinante será
calculado da seguinte forma:
Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da
matriz A:
Agora devemos multiplicar os elementos conforme o esquema montado abaixo,
sabendo que os produtos da direita conservaram os sinais e os produtos da esquerda
inverteram os sinais, veja:
Depois de ter feito as multiplicações devemos somar os seus produtos.
det A = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59, portanto det A = -59
Esse processo é chamado de regra de Sarrus.

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  • 1. ESCOLA ESTADUAL: CEL. PEDRO CÂMARA – CMPM VIII Professor: Leudo Silva de Abreu Disciplina: Matemática 1) Matriz Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas. Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos: Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim - a matriz é de ordem dois por três. E cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento. Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2: O elemento – 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna. O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna. Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma: a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas). Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna. Exemplo: Escreva a matriz A = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i + j. A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim: Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no enunciado: aij = 2i + j. Então iremos calcular cada elemento sabendo que: i é a linha que o elemento pertence. j é a coluna que o elemento pertence. a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1 a12 = 2 . 1 + 2 a11 = 3 a21 = 5 a22 = 2 . 2 + 2 a12 = 4 a22 = 6 a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3 a13= 5 a23 = 7 Então os elementos que pertencem a matriz A são: Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas. ►Matriz linhas Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo: 1 x 3 ►Matriz coluna Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O
  • 2. número de linhas é independente. Por exemplo: 5 x 1 ►Matriz nula Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo: Podendo ser representada por 03 x 2. ►Matriz quadrada Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo: Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal. ►Matriz diagonal Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo: ►Matriz identidade Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo: ►Matriz oposta Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:
  • 3. A matriz oposta a ela é: Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos. ►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais. ►Matriz transposta Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada por At de ordem “invertida” n x m. Essa ordem invertida significa que para transformarmos uma matriz em matriz transposta, basta trocar os elementos das linhas pelo das colunas e vice-versa. Veja o exemplo: Dada a matriz A = 3 x 2, a matriz transposta representada por At, será: At = 2 x 3. Observamos que a ordem das matrizes A e da sua transposta At foi invertida, o que era linha virou coluna e o que era coluna virou linha. Veja mais um exemplo: Dada a matriz B = 3 x 3, a matriz transposta representada por Bt, será: Bt = 3 x 3 Observamos que quando temos uma matriz quadrada a sua matriz transposta terá a mesma ordem o que irá diferenciar uma da outra é a disposição das linhas e colunas. ►Matriz simétrica É quando a matriz transposta é igual à matriz (A = At). Ou seja, os elementos da diagonal principal de A e At são iguais. Dada a matriz A = 2 x 2, a sua transposta é At = . Adição e Subtração de Matrizes A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada. Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas. A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por b12.
  • 4. ►Adição As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem. Assim podemos concluir que: Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11. Exemplos: Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos: + = 3 x 3 Observe os elementos em destaques: a13 = - 1 e b13 = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o c13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6 O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos que somar a32 + b32. Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2 Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B. ►Subtração As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. Assim temos: Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21. Exemplos: Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos: - = 3 x 3 Observe os elementos destacados: Quando subtraímos a13 – b13 = c13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4 Quando subtraímos a31 – b31 = c31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3 Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B. Multiplicação de número real por matriz Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k. Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da multiplicação de numero real por matriz: - 1.A = A - (-1).A = -A
  • 5. - p.O = O - 0.A = 0 - p.(A + B) = p.A + p.B - (p + q).B = p.B + q.B - p.(q.A) = (p.q).A Multiplicação de matrizes Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz: Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo: O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim: O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I). Existência de uma matriz inversa Sabemos que uma matriz irá admitir inversa se, somente se, ela for quadrada e o produto dela com a inversa forem iguais a uma matriz identidade de mesma ordem, mas será que podemos concluir que qualquer matriz quadrada tem uma matriz inversa correspondente? Veja o exemplo abaixo: Dado a matriz A = , para verificar se ela é invisível temos que verificar se existe sua matriz inversa A-1, como não conhecemos os elementos da matriz A-1 iremos defini-la como sendo uma matriz qualquer de ordem 2: A-1 = . Para que A-1 seja a matriz inversa de A o produto delas deverá ser igual a . Agora, formamos dois sistemas com a igualdade de matrizes abaixo: Ao resolvermos o primeiro sistema chegaremos à seguinte conclusão: 4a + 2b = 1 2a + b = 0 (-2) 4a + 2b = 1 -4a – 2b = -2 0a + 0b = -1 Assim, podemos concluir que esse sistema é impossível, então não terá solução. Portanto, A matriz A não é invisível.
  • 6. Veja esse outro exemplo, onde a matriz terá sua inversa. Dada a matriz B = , para verificar se ela é invisível temos que verificar se existe sua matriz inversa A-1, como não conhecemos os elementos da matriz B-1 iremos defini-la como sendo uma matriz qualquer de ordem 2: B-1 = . Para que B-1 seja a matriz inversa de B, o produto delas deverá ser igual a . Formando dois sistemas com a igualdade das matrizes, teremos: Resolvendo o primeiro sistema, encontraremos os valores de a e c: a + 4c = 1 0a + 2c = 0 2c = 0 c = 0 a + 4 . 0 = 1 a = 1 Resolvendo o segundo sistema, encontraremos os valores de b e d: b + 4d = 0 0b + 2d = 1 2d = 1 d = 1 / 2 b + 4 . 1/2 = 0 b = -2 Portanto, concluímos que a inversa de B será B-1 = . Determinante Determinante é o valor numérico de uma matriz quadrada (que tem o mesmo número de linhas e de colunas). • Determinantes de matrizes de ordem 1 Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna. Por exemplo: A = (1) B = [-5] O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz de ordem 1, assim podemos concluir que o determinante das matrizes A e B serão: det A = | 1 | = 1 det B = | -5 | = -5 OBSERVAÇÃO: As duas barras que limitam os elementos de um determinante não devem ser considerados módulos, é apenas um símbolo que representa os determinantes. • Determinantes de matrizes de ordem 2 Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta multiplicar os elementos da diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal secundária. Dada uma matriz de ordem 2:
  • 7. O seu determinante será = a11 . a22 – a21 . a12. Exemplo: Dada a matriz B de ordem 2x2 . Calcule o seu determinante: = -3 . 0 – 1 . 2 = 0 – 2 = -2, portanto det B = -2 • Determinantes de matrizes de ordem 3 O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é feito utilizando um processo diferente. Veja como é feito. Dada a matriz A de ordem 3x3 , o seu determinante será calculado da seguinte forma: Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A: Agora devemos multiplicar os elementos conforme o esquema montado abaixo, sabendo que os produtos da direita conservaram os sinais e os produtos da esquerda inverteram os sinais, veja: Depois de ter feito as multiplicações devemos somar os seus produtos. det A = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59, portanto det A = -59 Esse processo é chamado de regra de Sarrus.