1) Uma matriz é uma tabela com elementos dispostos em linhas e colunas. Cada elemento pertence a uma linha e uma coluna específicas.
2) Existem diferentes tipos de matrizes, como matrizes quadradas, diagonais, nulas e identidade.
3) É possível realizar operações com matrizes, como adição, subtração e multiplicação, desde que respeitem certas propriedades.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que organiza dados numéricos chamados elementos.
2) Para representar uma matriz, indica-se o número de linhas e colunas e os elementos são dispostos dentro de parênteses ou barras duplas.
3) Existem diferentes tipos de matrizes como quadrada, diagonal, nula e identidade. Sua classificação depende do número e valores dos elementos.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que representa elementos ordenados.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, nulas e transpostas.
3) Podemos realizar operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação seguindo regras de ordem das linhas e colunas.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, definindo-as como tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes podem ser somadas e multiplicadas, seguindo regras específicas, e apresenta exemplos ilustrativos dessas operações.
O documento apresenta os principais conceitos sobre matrizes em álgebra linear. Introduz o conceito de matriz e como representar tabelas numéricas dispostas em linhas e colunas por meio de matrizes. Apresenta diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, identidade e transposta. Também explica operações básicas com matrizes como adição, subtração, multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes.
O documento resume conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Definição de matriz, linhas, colunas e elementos;
2) Operações como transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes;
3) Tipos especiais de matrizes como matrizes quadradas e booleanas.
Este documento descreve as características básicas de matrizes, incluindo suas dimensões, elementos, transposição e operações como adição, subtração e multiplicação. Matrizes podem ser quadradas ou retangulares, e vetores são considerados matrizes de dimensão especial.
1. O documento define e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes, incluindo matrizes especiais como matrizes nulas, diagonais, identidade e transpostas.
2. São descritas regras para representar elementos de uma matriz usando índices e para verificar igualdade entre matrizes.
3. Uma lista de exercícios é fornecida para praticar conceitos como escrever matrizes com elementos definidos por funções dos índices, calcular traços, transpor e igualar matrizes.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que organiza dados numéricos chamados elementos.
2) Para representar uma matriz, indica-se o número de linhas e colunas e os elementos são dispostos dentro de parênteses ou barras duplas.
3) Existem diferentes tipos de matrizes como quadrada, diagonal, nula e identidade. Sua classificação depende do número e valores dos elementos.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que representa elementos ordenados.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, nulas e transpostas.
3) Podemos realizar operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação seguindo regras de ordem das linhas e colunas.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, definindo-as como tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes podem ser somadas e multiplicadas, seguindo regras específicas, e apresenta exemplos ilustrativos dessas operações.
O documento apresenta os principais conceitos sobre matrizes em álgebra linear. Introduz o conceito de matriz e como representar tabelas numéricas dispostas em linhas e colunas por meio de matrizes. Apresenta diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, identidade e transposta. Também explica operações básicas com matrizes como adição, subtração, multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes.
O documento resume conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Definição de matriz, linhas, colunas e elementos;
2) Operações como transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes;
3) Tipos especiais de matrizes como matrizes quadradas e booleanas.
Este documento descreve as características básicas de matrizes, incluindo suas dimensões, elementos, transposição e operações como adição, subtração e multiplicação. Matrizes podem ser quadradas ou retangulares, e vetores são considerados matrizes de dimensão especial.
1. O documento define e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes, incluindo matrizes especiais como matrizes nulas, diagonais, identidade e transpostas.
2. São descritas regras para representar elementos de uma matriz usando índices e para verificar igualdade entre matrizes.
3. Uma lista de exercícios é fornecida para praticar conceitos como escrever matrizes com elementos definidos por funções dos índices, calcular traços, transpor e igualar matrizes.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, definição moderna no século XIX, e aplicações em diversas áreas como computação, mecânica e eletrônica. Explica termos como matriz identidade, transposta, oposta, simétrica e anti-simétrica.
Este documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e representação; (2) igualdade de matrizes; (3) tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; (4) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda conceitos como matriz identidade, matriz nula, operações entre matrizes, regras para calcular determinantes, propriedades dos determinantes, sistemas lineares e os métodos para resolvê-los, como escalonamento e regra de Cramer.
O documento discute matrizes, definindo-as como tabelas de números organizados em linhas e colunas. Explica brevemente a história das matrizes, tipos como identidade e transposta, operações como adição e multiplicação, e aplicações práticas como organização de preços. Finaliza com uma curiosidade sobre representação de números complexos por matrizes.
O documento define e explica os conceitos básicos de matrizes, incluindo tipos de matrizes (quadrada, diagonal, identidade), operações (adição, subtração, multiplicação), propriedades (transposta, simétrica, anti-simétrica) e inversão.
- Tabelas;
- Tipos de Matrizes;
- Soma e subtração de matrizes;
- Multiplicação de uma matriz por um número real;
- Multiplicação de duas matrizes;
- Matriz inversa;
- Dicas para o cálculo da matriz inversa de ordem 2;
- Atividades.
1) O documento discute conceitos básicos sobre matrizes, incluindo definição de matriz, tipos de matrizes (quadrada, nula, oposta etc), operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação) e propriedades de matrizes (transposta, simétrica, determinante).
2) É apresentada a regra de Sarrus para calcular determinantes de matrizes 3x3 e conceitos relacionados como menor complementar e cofator.
3) Discutem-se matrizes inversíveis e a regra para calcular a inversa de uma matriz
Este documento é uma apostila sobre matrizes que define matrizes e várias operações com elas, como adição, subtração, multiplicação por escalar, produto e transposta de matrizes. Também apresenta conceitos como matriz simétrica, triangular, determinantes, propriedades dos determinantes, matriz inversa e exercícios sobre o assunto.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação e operações. É descrito como João e Maria obtiveram notas em diferentes matérias e como essas informações podem ser organizadas em matrizes. Também são explicados conceitos como produto de matrizes, matriz identidade e propriedades de operações com matrizes.
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O documento apresenta os principais conceitos e notações relacionados a matrizes, incluindo: definição de matriz, tipos de matrizes (linha, coluna, quadrada, diagonal, identidade, transposta), igualdade e operações entre matrizes (adição, subtração, multiplicação por número e entre matrizes), propriedades de matrizes e inversão de matrizes.
O documento apresenta conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Matrizes podem ser classificadas de acordo com sua forma (retangular, quadrada, linha, coluna) ou natureza dos elementos (real, complexa, nula, triangular superior/inferior, diagonal, escalar, simétrica, densa, dispersa);
2) Uma matriz identidade I é uma matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros nos demais elementos;
3) A soma de duas matrizes do mesmo tipo resulta em uma matriz do mesmo tipo obtida somando elementos da mesma posição.
I. Uma matriz é uma tabela disposta em linhas e colunas que permite representar sistemas lineares e realizar operações algébricas com esses sistemas.
II. Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, triangulares e identidade.
III. É possível realizar operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes, desde que respeitem certas propriedades dimensionais. Determinantes e inversão de matrizes também são abordados.
O documento apresenta informações sobre a produção de guarda-roupas e uso de fechaduras em uma fábrica durante o mês de outubro de 2005. As tabelas 1 e 2 mostram respectivamente a produção de guarda-roupas por modelo e madeira e a quantidade de fechaduras usadas em cada tipo de armário. A questão pede a quantidade total de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte no período, que de acordo com a tabela 2 foi de 192.
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Álgebra Linear para o curso de Engenharia de Petróleo. Aborda conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. Inclui também o conteúdo programático organizado em quatro unidades, os objetivos da disciplina, procedimentos de ensino e avaliação.
1) O documento apresenta um plano de trabalho para o ensino de matrizes e determinantes para uma turma de 38 alunos sem recursos tecnológicos. 2) Serão ministradas 6 aulas de conteúdo e 2 de avaliação. 3) O conteúdo inclui definição e tipos de matrizes, operações entre matrizes, e cálculo de determinantes para matrizes de ordem 1 a 3.
Este documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo: (1) definição de matrizes e sua representação matemática; (2) tipos de matrizes como quadradas, retangulares, nulas e identidade; e (3) igualdade entre matrizes. Exemplos ilustram como localizar elementos e calcular a ordem de matrizes. Exercícios são fornecidos para praticar os conceitos.
O documento aborda operações com matrizes, definindo matrizes, transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes. Apresenta exemplos destas operações e exercícios sobre matrizes, incluindo determinação do tipo de matriz resultante de operações e cálculo de inversas.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, definição moderna no século XIX, e aplicações em diversas áreas como computação, mecânica e eletrônica. Explica termos como matriz identidade, transposta, oposta, simétrica e anti-simétrica.
Este documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e representação; (2) igualdade de matrizes; (3) tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; (4) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda conceitos como matriz identidade, matriz nula, operações entre matrizes, regras para calcular determinantes, propriedades dos determinantes, sistemas lineares e os métodos para resolvê-los, como escalonamento e regra de Cramer.
O documento discute matrizes, definindo-as como tabelas de números organizados em linhas e colunas. Explica brevemente a história das matrizes, tipos como identidade e transposta, operações como adição e multiplicação, e aplicações práticas como organização de preços. Finaliza com uma curiosidade sobre representação de números complexos por matrizes.
O documento define e explica os conceitos básicos de matrizes, incluindo tipos de matrizes (quadrada, diagonal, identidade), operações (adição, subtração, multiplicação), propriedades (transposta, simétrica, anti-simétrica) e inversão.
- Tabelas;
- Tipos de Matrizes;
- Soma e subtração de matrizes;
- Multiplicação de uma matriz por um número real;
- Multiplicação de duas matrizes;
- Matriz inversa;
- Dicas para o cálculo da matriz inversa de ordem 2;
- Atividades.
1) O documento discute conceitos básicos sobre matrizes, incluindo definição de matriz, tipos de matrizes (quadrada, nula, oposta etc), operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação) e propriedades de matrizes (transposta, simétrica, determinante).
2) É apresentada a regra de Sarrus para calcular determinantes de matrizes 3x3 e conceitos relacionados como menor complementar e cofator.
3) Discutem-se matrizes inversíveis e a regra para calcular a inversa de uma matriz
Este documento é uma apostila sobre matrizes que define matrizes e várias operações com elas, como adição, subtração, multiplicação por escalar, produto e transposta de matrizes. Também apresenta conceitos como matriz simétrica, triangular, determinantes, propriedades dos determinantes, matriz inversa e exercícios sobre o assunto.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação e operações. É descrito como João e Maria obtiveram notas em diferentes matérias e como essas informações podem ser organizadas em matrizes. Também são explicados conceitos como produto de matrizes, matriz identidade e propriedades de operações com matrizes.
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O documento apresenta os principais conceitos e notações relacionados a matrizes, incluindo: definição de matriz, tipos de matrizes (linha, coluna, quadrada, diagonal, identidade, transposta), igualdade e operações entre matrizes (adição, subtração, multiplicação por número e entre matrizes), propriedades de matrizes e inversão de matrizes.
O documento apresenta conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Matrizes podem ser classificadas de acordo com sua forma (retangular, quadrada, linha, coluna) ou natureza dos elementos (real, complexa, nula, triangular superior/inferior, diagonal, escalar, simétrica, densa, dispersa);
2) Uma matriz identidade I é uma matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros nos demais elementos;
3) A soma de duas matrizes do mesmo tipo resulta em uma matriz do mesmo tipo obtida somando elementos da mesma posição.
I. Uma matriz é uma tabela disposta em linhas e colunas que permite representar sistemas lineares e realizar operações algébricas com esses sistemas.
II. Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, triangulares e identidade.
III. É possível realizar operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes, desde que respeitem certas propriedades dimensionais. Determinantes e inversão de matrizes também são abordados.
O documento apresenta informações sobre a produção de guarda-roupas e uso de fechaduras em uma fábrica durante o mês de outubro de 2005. As tabelas 1 e 2 mostram respectivamente a produção de guarda-roupas por modelo e madeira e a quantidade de fechaduras usadas em cada tipo de armário. A questão pede a quantidade total de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte no período, que de acordo com a tabela 2 foi de 192.
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Álgebra Linear para o curso de Engenharia de Petróleo. Aborda conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. Inclui também o conteúdo programático organizado em quatro unidades, os objetivos da disciplina, procedimentos de ensino e avaliação.
1) O documento apresenta um plano de trabalho para o ensino de matrizes e determinantes para uma turma de 38 alunos sem recursos tecnológicos. 2) Serão ministradas 6 aulas de conteúdo e 2 de avaliação. 3) O conteúdo inclui definição e tipos de matrizes, operações entre matrizes, e cálculo de determinantes para matrizes de ordem 1 a 3.
Este documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo: (1) definição de matrizes e sua representação matemática; (2) tipos de matrizes como quadradas, retangulares, nulas e identidade; e (3) igualdade entre matrizes. Exemplos ilustram como localizar elementos e calcular a ordem de matrizes. Exercícios são fornecidos para praticar os conceitos.
O documento aborda operações com matrizes, definindo matrizes, transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes. Apresenta exemplos destas operações e exercícios sobre matrizes, incluindo determinação do tipo de matriz resultante de operações e cálculo de inversas.
O documento descreve as matrizes, suas propriedades e operações. As matrizes são tabelas de números utilizadas em diversas áreas e são compostas por linhas e colunas. São apresentados conceitos como matriz quadrada, identidade, transposta, adição, multiplicação e inversa de matrizes. Determinantes são números associados a matrizes quadradas.
O documento define matrizes e suas propriedades, incluindo tipos de matrizes como quadrada, transposta e identidade. Ele também descreve operações matriciais como adição, subtração e multiplicação, além de propriedades como distributividade e transposição.
1. O documento discute conceitos básicos de matrizes, incluindo definição, representação algébrica, tipos especiais de matrizes como quadrada e identidade, e operações como adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes.
2. São apresentados exemplos ilustrativos de como representar e calcular matrizes.
3. As principais operações com matrizes discutidas são adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes, além de conceitos como matriz inversa e transposta.
Compreender o significado das matrizes e das operações entre elas na represen...engcivilcrisalves
Este material, será o apoio para executar os
exercícios propostos sobre matrizes.
Leia com atenção os enunciados dos
exercícios, e as resoluções dos exemplos,
para que você possa executá-los com êxito.
1) O documento descreve operações com matrizes, incluindo adição, subtração e multiplicação.
2) Para adicionar ou subtrair matrizes, elas devem ter o mesmo número de linhas e colunas. Os termos correspondentes são somados ou subtraídos.
3) Na multiplicação, cada elemento do resultado é obtido pela soma dos produtos dos elementos correspondentes de uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda.
Este documento fornece uma introdução sobre matrizes, definindo-as como tabelas de números formadas por linhas e colunas e apresentando seus principais tipos e operações. Explica que as matrizes podem ser classificadas de acordo com o número de linhas e colunas, apresentando exemplos de matrizes linha, coluna, quadrada e nula. Também define operações básicas como soma, subtração, multiplicação por escalar e igualdade entre matrizes.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.
1) Uma matriz é um conjunto de elementos agrupados em tabela com linhas e colunas. Existem diferentes tipos como quadrada, retangular, nula e identidade.
2) Podemos realizar operações como soma, subtração e multiplicação entre matrizes seguindo certas regras. O determinante fornece informações sobre a inversibilidade.
3) Uma matriz inversa existe quando a multiplicação da matriz original com outra resulta na identidade, e possui propriedades únicas.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Apresenta conceitos básicos de matrizes como definição, tipos, operações e inversa. Também aborda determinantes e como representar sistemas de equações lineares na forma matricial.
O documento descreve conceitos básicos sobre matrizes, incluindo suas dimensões, elementos, tipos (vetor, matriz geral, quadrada), operações (adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes) e transposta.
A matriz apresentada mostra as notas de três alunos, Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007. Cada elemento da matriz representa a nota de um aluno em um determinado ano.
Slide Matriz explicação do coneteudi medfejkfegItamar57
O documento discute conceitos básicos sobre matrizes, incluindo: matrizes são tabelas de números dispostos em linhas e colunas; matrizes podem ser classificadas como do tipo mxn, matrizes linha, coluna, quadrada, nula, diagonal e identidade; e operações como transposição, oposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes.
Introdução a matrizes, matrizes especiais e igualdade de matrizes.WillOliveira20
Este documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo definição, representação, ordem, tipos especiais como matrizes quadradas e diagonais, e igualdade de matrizes. Também fornece exemplos e questões sobre o assunto.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo definição, tipos de matrizes (linha, coluna, quadrada, diagonal, identidade), operações (adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes), propriedades e inversão.
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Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre matrizes, incluindo:
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que organiza dados de forma estruturada;
2) Cada elemento de uma matriz tem uma posição definida por sua linha e coluna;
3) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais e nulas.
1) As matrizes surgiram na China antiga e o termo "matriz" foi introduzido por Sylvester em 1850.
2) Matrizes são usadas em imagens digitais e planilhas.
3) Uma matriz pode ser representada de três formas: colchetes, parênteses ou barra dupla.
1) O documento apresenta resumos de diversos tópicos de matemática, incluindo álgebra elementar, funções, logaritmos, trigonometria, progressões, matrizes e determinantes.
2) São definidos conceitos básicos como conjuntos, operações com conjuntos, simbologia matemática e propriedades de funções e logaritmos.
3) Também são apresentadas fórmulas e propriedades importantes de trigonometria, progressões aritméticas e geométricas, matrizes, determinantes e análise combinat
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre geometria e matemática para alunos do 3o ano do ensino fundamental. Os exercícios envolvem preencher palavras usando uma tabela de coordenadas, calcular distâncias em um mapa rodoviário, e determinar a localização ideal para construção de uma torre de transmissão com base nas coordenadas de três antenas existentes.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre geometria e matemática para alunos do 3o ano do ensino fundamental. Os exercícios envolvem preencher palavras usando uma tabela de coordenadas, calcular distâncias em um mapa rodoviário, e determinar a localização ideal para construção de uma torre de transmissão com base nas coordenadas de três antenas existentes.
O documento apresenta uma atividade sobre o sistema cartesiano ortogonal para alunos do 3o ano. A atividade inclui identificar pares ordenados de pontos em planos cartesianos, determinar coordenadas de extremidades de segmentos e pontos de interseção de retas, traçar segmentos com coordenadas dadas e determinar vértices, área, perímetro e comprimentos de lados de figuras geométricas em planos cartesianos.
Este documento apresenta uma atividade avaliativa sobre equações de circunferências com 10 questões. As questões incluem recuperar o centro e traçar o diâmetro de circunferências dadas, fazer uma circunferência passar por três pontos não colineares, determinar equações de circunferências com centros e raios dados, e calcular comprimentos e áreas de regiões limitadas por circunferências.
Este documento descreve uma atividade avaliativa para alunos do 3o ano sobre a determinação da constante pi. Os alunos serão divididos em grupos para medir o diâmetro e circunferência de círculos e calcular o valor de pi. A atividade visa ajudar os alunos a compreender como as fórmulas para a área do círculo e comprimento da circunferência foram elaboradas.
O documento resume a história da panificação desde os tempos pré-históricos até a Idade Média, destacando o surgimento da panificação fermentada e as diferentes variedades de pão consumidas pelos egípcios, gregos e romanos. Também descreve os principais ingredientes do pão, como a farinha, água e fermento, e suas funções no processo de panificação.
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1. ESCOLA ESTADUAL: CEL. PEDRO CÂMARA – CMPM VIII
Professor: Leudo Silva de Abreu
Disciplina: Matemática
1) Matriz
Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas
(horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem
assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o
número de colunas.
Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses,
colchetes ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos:
Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número
de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim
- a matriz é de ordem dois por três. E cada número pertencente a uma matriz é o seu
elemento.
Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de
ordem 3 x 2:
O elemento – 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna.
O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.
Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos
definidos, representamos da seguinte forma:
a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas
colunas).
Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna.
Exemplo: Escreva a matriz A = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i + j.
A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim:
Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão
depender da equação dada no enunciado: aij = 2i + j.
Então iremos calcular cada elemento sabendo que:
i é a linha que o elemento pertence.
j é a coluna que o elemento pertence.
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1 a12 = 2 . 1 + 2
a11 = 3 a21 = 5 a22 = 2 . 2 + 2
a12 = 4 a22 = 6
a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3
a13= 5 a23 = 7
Então os elementos que pertencem a matriz A são:
Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em
suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.
►Matriz linhas
Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de
colunas é independente. Por exemplo:
1 x 3
►Matriz coluna
Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O
2. número de linhas é independente. Por exemplo:
5 x 1
►Matriz nula
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de
linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:
Podendo ser representada por 03 x 2.
►Matriz quadrada
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de
linhas. Por exemplo:
Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal
secundária e uma diagonal principal.
►Matriz diagonal
Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não
pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da
diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:
►Matriz identidade
Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos
que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos
iguais a zero. Veja o exemplo:
►Matriz oposta
Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:
3. A matriz oposta a ela é:
Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar
os sinais dos elementos.
►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes
Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus
elementos correspondentes forem iguais.
►Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada por At
de ordem “invertida” n x m.
Essa ordem invertida significa que para transformarmos uma matriz em matriz
transposta, basta trocar os elementos das linhas pelo das colunas e vice-versa.
Veja o exemplo:
Dada a matriz A = 3 x 2, a matriz transposta representada por At, será:
At = 2 x 3.
Observamos que a ordem das matrizes A e da sua transposta At foi invertida, o que era
linha virou coluna e o que era coluna virou linha.
Veja mais um exemplo:
Dada a matriz B = 3 x 3, a matriz transposta representada por
Bt, será:
Bt = 3 x 3
Observamos que quando temos uma matriz quadrada a sua matriz transposta terá a
mesma ordem o que irá diferenciar uma da outra é a disposição das linhas e colunas.
►Matriz simétrica
É quando a matriz transposta é igual à matriz (A = At). Ou seja, os elementos da
diagonal principal de A e At são iguais.
Dada a matriz A = 2 x 2, a sua transposta é At = .
Adição e Subtração de Matrizes
A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente
da operação utilizada.
Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma
matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e
colunas.
A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem
representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de
ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por
b12.
4. ►Adição
As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa
soma será também outra matriz com a mesma ordem.
Assim podemos concluir que:
Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como
resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C
somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.
Exemplos:
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se
somarmos a A + B, teremos:
+ = 3 x 3
Observe os elementos em destaques:
a13 = - 1 e b13 = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6
O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos
que somar a32 + b32. Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2
Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.
►Subtração
As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença
delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.
Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra
matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os
elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21.
Exemplos:
Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se
subtrairmos A – B, teremos:
- = 3 x 3
Observe os elementos destacados:
Quando subtraímos a13 – b13 = c13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
Quando subtraímos a31 – b31 = c31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3
Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.
Multiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do
numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por
k.
Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de
Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da
multiplicação de numero real por matriz:
- 1.A = A
- (-1).A = -A
5. - p.O = O
- 0.A = 0
- p.(A + B) = p.A + p.B
- (p + q).B = p.B + q.B
- p.(q.A) = (p.q).A
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da
matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij)
satisfaz:
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente
os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da
matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:
O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de
colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I).
Existência de uma matriz inversa
Sabemos que uma matriz irá admitir inversa se, somente se, ela for quadrada e o
produto dela com a inversa forem iguais a uma matriz identidade de mesma ordem,
mas será que podemos concluir que qualquer matriz quadrada tem uma matriz inversa
correspondente? Veja o exemplo abaixo:
Dado a matriz A = , para verificar se ela é invisível temos que verificar se
existe sua matriz inversa A-1, como não conhecemos os elementos da matriz A-1
iremos defini-la como sendo uma matriz qualquer de ordem 2: A-1 = . Para
que A-1 seja a matriz inversa de A o produto delas deverá ser igual a
.
Agora, formamos dois sistemas com a igualdade de matrizes abaixo:
Ao resolvermos o primeiro sistema chegaremos à seguinte conclusão:
4a + 2b = 1
2a + b = 0 (-2)
4a + 2b = 1
-4a – 2b = -2
0a + 0b = -1
Assim, podemos concluir que esse sistema é impossível, então não terá solução.
Portanto, A matriz A não é invisível.
6. Veja esse outro exemplo, onde a matriz terá sua inversa.
Dada a matriz B = , para verificar se ela é invisível temos que verificar se
existe sua matriz inversa A-1, como não conhecemos os elementos da matriz B-1 iremos
defini-la como sendo uma matriz qualquer de ordem 2: B-1 = . Para que B-1 seja a
matriz inversa de B, o produto delas deverá ser igual a .
Formando dois sistemas com a igualdade das matrizes, teremos:
Resolvendo o primeiro sistema, encontraremos os valores de a e c:
a + 4c = 1
0a + 2c = 0
2c = 0
c = 0
a + 4 . 0 = 1
a = 1
Resolvendo o segundo sistema, encontraremos os valores de b e d:
b + 4d = 0
0b + 2d = 1
2d = 1
d = 1 / 2
b + 4 . 1/2 = 0
b = -2
Portanto, concluímos que a inversa de B será B-1 = .
Determinante
Determinante é o valor numérico de uma matriz quadrada (que tem o mesmo número
de linhas e de colunas).
• Determinantes de matrizes de ordem 1
Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna.
Por exemplo:
A = (1)
B = [-5]
O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz de ordem
1, assim podemos concluir que o determinante das matrizes A e B serão:
det A = | 1 | = 1
det B = | -5 | = -5
OBSERVAÇÃO: As duas barras que limitam os elementos de um determinante não
devem ser considerados módulos, é apenas um símbolo que representa os
determinantes.
• Determinantes de matrizes de ordem 2
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta multiplicar os
elementos da diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal
secundária.
Dada uma matriz de ordem 2:
7. O seu determinante será = a11 . a22 – a21 . a12.
Exemplo:
Dada a matriz B de ordem 2x2 . Calcule o seu determinante:
= -3 . 0 – 1 . 2 = 0 – 2 = -2, portanto det B = -2
• Determinantes de matrizes de ordem 3
O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é feito utilizando um processo
diferente. Veja como é feito.
Dada a matriz A de ordem 3x3 , o seu determinante será
calculado da seguinte forma:
Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da
matriz A:
Agora devemos multiplicar os elementos conforme o esquema montado abaixo,
sabendo que os produtos da direita conservaram os sinais e os produtos da esquerda
inverteram os sinais, veja:
Depois de ter feito as multiplicações devemos somar os seus produtos.
det A = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59, portanto det A = -59
Esse processo é chamado de regra de Sarrus.