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Matriz
Matriz Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas. Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos:
Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três. E cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento.  Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la? Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2:  O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna. O elemento  2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.
Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma:  a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas).  Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna.
Exemplo:Escreva a matriz A = (aA matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim: i j)2 x 3  tal que ai j = 2i + j.
Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no enunciado: ai j = 2i + j. Então iremos calcular cada elemento sabendo que: i é a linha que o elemento pertence. j é a coluna que o elemento pertence. a11 = 2 . 1 + 1              a21 = 2 . 2 + 1 a11 = 3                          a21 = 5 a12 = 2 . 1 + 2              a22 = 2 . 2 + 2 a12 = 4                          a22 = 6 a13 = 2 . 1 + 3              a23 = 2 . 2 + 3 a13= 5                           a23 = 7
Então os elementos que pertencem a matriz A são:
Tipos de matrizes Matriz linhaÉ toda matriz do tipo 1xn(n ∈ R*). Observe os exemplos:
Matriz coluna É toda matriz do tipo mx1(m R*).
Matriz quadrada É Toda matriz quadrada possui duas diagonais:• A principal, composta por elementos aij tais que i=j, isto é: Toda matriz cujo numero de linhas é igual ao numero de colunas. Assim, chamamos matriz quadrada de ordem n toda matriz do tipo n x n. Exemplos:
• A secundária, em que os elementos aij são tais que, i+j = n+1. veja como são as diagonais de uma matriz quadrada do tipo 3×3.
Matriz nula : É toda matriz do tipo m x n cujos elementos são todos nulos. Para indicar uma matriz nula utiliza-s a notação:
Matriz diagonal É toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes à diagonal principal são todos nulos. Por exemplo:
Matriz Transposta (At)
Matriz Diagonal  É uma matriz quadrada onde aij = 0, para i  j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Matriz simétrica matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
Matriz oposta matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A.
Operações com Matrizes  Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij.
Adição e subtração de Matrizes A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij.  A subtração de matrizes é dada pela sentença:
Exemplos Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo
 Produto de um Número Real por uma Matriz  Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = (aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal que bij =        . aij 
Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. 
Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.    Vamos multiplicar a matriz                                para entender como se obtém cada Cij:
1ª linha e 1ª coluna
1ª linha e 2ª coluna
2ª linha e 1ª coluna
2ª linha e 2ª coluna
   Assim ,    Portanto , A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
   Vejamos outro exemplo com as matrizes
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  • 2. Matriz Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas. Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos:
  • 3. Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três. E cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento. Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la? Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2: O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna. O elemento  2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.
  • 4. Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma: a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas). Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna.
  • 5. Exemplo:Escreva a matriz A = (aA matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim: i j)2 x 3  tal que ai j = 2i + j.
  • 6. Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no enunciado: ai j = 2i + j. Então iremos calcular cada elemento sabendo que: i é a linha que o elemento pertence. j é a coluna que o elemento pertence. a11 = 2 . 1 + 1              a21 = 2 . 2 + 1 a11 = 3                          a21 = 5 a12 = 2 . 1 + 2              a22 = 2 . 2 + 2 a12 = 4                          a22 = 6 a13 = 2 . 1 + 3              a23 = 2 . 2 + 3 a13= 5                           a23 = 7
  • 7. Então os elementos que pertencem a matriz A são:
  • 8. Tipos de matrizes Matriz linhaÉ toda matriz do tipo 1xn(n ∈ R*). Observe os exemplos:
  • 9. Matriz coluna É toda matriz do tipo mx1(m R*).
  • 10. Matriz quadrada É Toda matriz quadrada possui duas diagonais:• A principal, composta por elementos aij tais que i=j, isto é: Toda matriz cujo numero de linhas é igual ao numero de colunas. Assim, chamamos matriz quadrada de ordem n toda matriz do tipo n x n. Exemplos:
  • 11. • A secundária, em que os elementos aij são tais que, i+j = n+1. veja como são as diagonais de uma matriz quadrada do tipo 3×3.
  • 12. Matriz nula : É toda matriz do tipo m x n cujos elementos são todos nulos. Para indicar uma matriz nula utiliza-s a notação:
  • 13. Matriz diagonal É toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes à diagonal principal são todos nulos. Por exemplo:
  • 15. Matriz Diagonal  É uma matriz quadrada onde aij = 0, para i  j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
  • 16. Matriz simétrica matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
  • 17. Matriz oposta matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A.
  • 18. Operações com Matrizes Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij.
  • 19. Adição e subtração de Matrizes A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij. A subtração de matrizes é dada pela sentença:
  • 20. Exemplos Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo
  • 21.  Produto de um Número Real por uma Matriz Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = (aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal que bij = . aij 
  • 22. Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. 
  • 23. Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.   Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:
  • 24. 1ª linha e 1ª coluna
  • 25. 1ª linha e 2ª coluna
  • 26. 2ª linha e 1ª coluna
  • 27. 2ª linha e 2ª coluna
  • 28.    Assim ,    Portanto , A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
  • 29.    Vejamos outro exemplo com as matrizes