O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.

1. MATEMÁTICA
Aula 02
Matrizes: definição, representação genérica, tipos
de matriz, lei de formação e operações.
Prof. Me. Valderlândio Pontes

2. Parte 1: Definição, representação
genérica e lei de formação
ESTUDO DAS MATRIZES

3. Definição
Uma matriz do tipo m x n é uma tabela com (m . n) elementos
dispostos em m linhas e n colunas.
m = 2 (duas linhas)
n = 3 (três colunas)
m = 1 (uma linha)
n = 3 (três colunas) (Matriz linha)
m = 4 (quatro linhas)
n = 1 (uma coluna) (Matriz coluna)
1 5 9
7 2 0
 
 

 
A =
 
2 0 6
B =
3
8
12
5
 
 

 
 
 
 
C =
A2x3
B1x3
C4x1
Matriz A do tipo 2x3
Matriz B do tipo 1x3
Matriz C do tipo 4x1
Exemplos:

4. Representação genérica
De modo genérico, uma matriz A, do tipo mxn pode ser representada por:
Cada elemento (ou termo) da matriz é representado por uma letra
com dois índices: aij em que i indica a linha e j a coluna em que o
elemento está posicionado.
Amxn Matriz genérica A do tipo mxn

5. Exemplos













6
3
2
14
3
7
1
0
8
1
2
5
A
a12 = -2
1ª linha: i = 1
2ª coluna: j = 2
Elemento genérico: aij
i = linha
j = coluna

6. Exemplos













6
3
2
14
3
7
1
0
8
1
2
5
A
a13 = 1
1ª linha: i = 1
3ª coluna: j = 3
Elemento genérico: aij
i = linha
j = coluna

7. Exemplos













6
3
2
14
3
7
1
0
8
1
2
5
A
a13 = 1
2ª linha: i = 2
4ª coluna: j = 4
a24 = 3

8. 












6
3
2
14
3
7
1
0
8
1
2
5
A
a13 = 1
2ª linha: i = 2
1ª coluna: j = 1
a24 = 3
a21 = 0
Exemplos

9. 












6
3
2
14
3
7
1
0
8
1
2
5
A
a13 = 1
3ª linha: i = 3
2ª coluna: j = 2
a24 = 3
a21 = 0
a32 = 2
Exemplos

10. 












6
3
2
14
3
7
1
0
8
1
2
5
A
a13 = 1
3ª linha: i = 3
4ª coluna: j = 4
a24 = 3
a21 = 0
a32 = 2
a34 = 6
Exemplos

11. 












6
3
2
14
3
7
1
0
8
1
2
5
A
a13 = 1
a24 = 3
a21 = 0
a32 = 2
a34 = 6
Exemplos













6
3
2
14
3
7
1
0
8
1
2
5
A
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34

12. Lei de formação da matriz









23
22
21
13
12
11
b
b
b
b
b
b
B 








3
b11 = 2 . 1 + 1
4 5
5 6 7
b12 = 2 . 1 + 2
b13 = 2 . 1 + 3
b21 = 2 . 2 + 1
b22 = 2 . 2 + 2
b23 = 2 . 2 + 3
Uma matriz pode ser descrita por uma lei de formação, regra que
descrevem os elementos da matriz segundo a posição que eles ocupam
nas linhas e colunas.
Lei de formação da matriz B2 x 3: bij = 2i + j
Exemplo 1:

13. 4 . 3 – 2²
Na matriz A = (aij)4x4 , onde aij = 4i – j², o valor de 2.a32 é:
Exemplo 2:
a32 =
Resolução:
aij = 4i – j² Lei de formação
12 – 4
a32 =
8
a32 =
Logo, 2.a32 = 2.8 = 16
Exercícios resolvidos

14. Questão 01:
Exercícios propostos

15. Questão 01:
a11
=
B =
b) 1
1
3
3 4
5
a11 a12
a21 a22
C =
1 - 1
1
- 1
c)
a12 a13
a21 a22 a23
=
A =
a)
a12
a22
a11
a21
a31 a32
3 5
4 6
5 7
C =
Exercícios propostos
Resolução:

16. Parte 2: Tipos de matriz e operações
ESTUDO DAS MATRIZES

17. Matriz quadrada
É toda matriz em que m = n, ou seja, o número de linhas é igual ao de colunas.










7
2
5
3
A m = n = 2
Matriz quadrada de ordem 2













9
0
11
1
1
0
3
5
2
B m = n = 3
Matriz quadrada de ordem 3

















15
22
1
0
1
3
0
2
9
5
8
1
0
0
1
5
C m = n = 4
Matriz quadrada de ordem 4
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal
diagonal secundária
diagonal secundária
diagonal secundária
Exemplos:

18. Matriz triangular
Matriz quadrada em que os elementos acima (ou abaixo) a diagonal principal são nulos.










7
2
0
3
A












9
4
11
0
1
5
0
0
2
B

















15
22
1
9
0
3
7
2
0
0
8
1
0
0
0
5
C
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal









7
0
5
3
D









 

9
0
0
7
1
0
8
4
2
E


















15
0
0
0
0
3
0
0
23
4
8
0
1
6
4
5
F
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal

19. Matriz diagonal
Matriz quadrada em que os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos.









1
0
0
8
A












4
0
0
0
8
0
0
0
2
B
















12
0
0
0
0
7
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
C
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal

20. Matriz identidade
Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são
iguais a um e os outros elementos são iguais a zero.









1
0
0
1
2
I











1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
I















1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
4
I
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal

21. Matriz nula
Matriz que tem todos os elementos iguais a zero.









0
0
0
0
02















0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
04
















0
0
0
0
0
0
0
0
0 2
4










0
0
0
0
0
0
0 3
2

22. 










t
A
Matriz transposta
At
: matriz transposta de A.
At
é a matriz cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.









1
4
0
5
7
2
A
2
7
5
0
4
1

23. 










1
5
4
7
0
2
t
A
Matriz transposta
At
: matriz transposta de A.
At
é a matriz cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.









1
4
0
5
7
2
A
A quantidade de linhas de At
é igual à quantidade de colunas de A, e a
quantidade de colunas de At
é igual à quantidade de linhas de A.

24. Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais se e somente se elas são do mesmo tipo
e seus elementos correspondentes são iguais.











1
3
12
0
1
5
3
2
A 















7
8
2
1
6
2
8
8
1
3
2
3
2
B
IGUAIS IGUAIS IGUAIS
IGUAIS IGUAIS IGUAIS










1
1
1
4
3
2
3
2
C












4
1
3
1
2
1
2
3
D C ≠ D
não são do mesmo tipo.
A = B
mesmo tipo

25. Adição de matrizes
A matriz soma das matrizes A e B (que devem ser do mesmo tipo) é a
matriz C obtida pela soma dos elementos correspondentes: C = A + B.
























2
8
6
3
9
20
12
8
7
2
0
5










A B C
=
-15
+
9
+
5
+
-1
+
0
+
14
+
+ =

26. Adição de matrizes
A matriz soma das matrizes A e B (que devem ser do mesmo tipo) é a
matriz C obtida pela soma dos elementos correspondentes: C = A + B.
























2
8
6
3
9
20
12
8
7
2
0
5 15 9
5 1
0 14

 
 

 
 
 
A B C
=
+ =

27. Matriz oposta
A matriz oposta de A (representada por – A) é obtida pela troca de
sinais dos elementos de A, de modo que A + (– A) seja a matriz nula.












0
7
1
8
2
11
– A 0
A
+













0
7
1
8
2
11
=
+









 0
+
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+ =

28. Matriz oposta
A matriz oposta de A (representada por – A) é obtida pela troca de
sinais dos elementos de A, de modo que A + (– A) seja a matriz nula.












0
7
1
8
2
11
– A 0
A
+













0
7
1
8
2
11










0
0
0
0
0
0
=
+ =

29. Multiplicação de um número real por matriz
Seja  um número real, a matriz  A é a matriz obtida a partir de A
multiplicando-se todos os seus elementos pelo número real .







 

8
5
0
3
1
2
A  = 5
e  








5A
X 5
10
X 5
5
X 5
–15
0
X 5
25
X 5
40
X 5

30. Seja  um número real, a matriz  A é a matriz obtida a partir de A
multiplicando-se todos os seus elementos pelo número real .







 

8
5
0
3
1
2
A  = 5
e  






 

40
25
0
15
5
10
5A
Multiplicação de um número real por matriz

31. Multiplicação de matrizes
Condição: O produto AB entre as matrizes A e B existe se e somente se
o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.









8
5
0
3
1
2
A
3 colunas











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
3 linhas
=

Existe a matriz
produto AB

32. Tipo da matriz produto
A matriz produto AB tem a quantidade de linhas da matriz A e a
quantidade de colunas da matriz B.









8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
3
2 
A 4
3 
B
Condição
para existir AB
4
2
AB 








?
?
?
?
?
?
?
?
AB

33. Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.









8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
?
?
?
?
?
?
AB
18 + 1 + 12 = 31

34. Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.









8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
?
?
?
?
?
AB
18 + 1 + 12 = 31
31
Cálculo dos elementos da matriz AB

35. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
?
?
?
?
?
31
AB
8 + 5 + 0 = 13
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

36. 








?
?
?
?
?
?
31
AB









8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
8 + 5 + 0 = 13
13
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

37. Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.









8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
?
?
?
?
13
31
AB
6 + 1 + 9 = 16
Cálculo dos elementos da matriz AB

38. Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.









8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
6 + 1 + 9 = 16









?
?
?
?
?
13
31
AB
16
Cálculo dos elementos da matriz AB

39. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
?
?
?
16
13
31
AB
2 + 0 + 3 = 5
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

40. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
2 + 0 + 3 = 5









?
?
?
?
16
13
31
AB
5
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

41. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
?
?
5
16
13
31
AB
0 + 5 + 32 = 37
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

42. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
?
5
16
13
31
AB
0 + 5 + 32 = 37
37
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

43. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
?
37
5
16
13
31
AB
0 + 25 + 0 = 25
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

44. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
37
5
16
13
31
AB
0 + 25 + 0 = 25
25
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

45. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
?
25
37
5
16
13
31
AB
0 + 5 + 24 = 29
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

46. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
25
37
5
16
13
31
AB
0 + 5 + 24 = 29
29
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

47. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









?
29
25
37
5
16
13
31
AB
0 + 0 + 8 = 8
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

48. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









29
25
37
5
16
13
31
AB
0 + 0 + 8 = 8
8
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

49. 








8
5
0
3
1
2
A











1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B









8
29
25
37
5
16
13
31
AB
Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.

50. Exercícios resolvidos
Exemplo 03:
+ =
2 + 4 3 + 5 8 + (-9)
1 + 6 - 4 + 2 0 + 7
=
6 8 - 1
7 - 2 7
2. - =
0 1 7
- 4 - 6 - 7
=
3.
= - =
5 5 16
3 0 5
2 8 - 4
0 6 - 10
t
C 1
2
.

51. Exercícios resolvidos
duas matrizes, calcule o produto AB.
Resolução:
Exemplo 04:

52. Exercícios propostos
Questão 02:

53. Questão 03:
Questão 04:
Exercícios propostos

54. Muito obrigado.
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