Este documento apresenta um resumo da disciplina de Álgebra Linear para o curso de Engenharia de Petróleo. Aborda conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. Inclui também o conteúdo programático organizado em quatro unidades, os objetivos da disciplina, procedimentos de ensino e avaliação.

1. 1
APOSTILA
DE
ÁLGEBRA LINEAR
CURSO: ENGENHARIA DE PETRÓLEO
PROF.: MÁRIO S. TARANTO

2. 2
CÓDIGO DA DISCIPLINA: FIM0431
Carga Horária Teórica: 44 horas
Carga Horária Prática: 0 horas
Carga Horária Campo: 22 horas
EMENTA:
Sistemas Lineares. Espaços vetoriais. Transformações lineares. Autovalores e autovetores.
OBJETIVO(S) GERAL (IS):
Adquirir e aplicar os conhecimentos de álgebra linear na resolução de problemas e situações
concretas em Engenharia.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS :
1. Compreender o conceito de vetor.
2. Utilizar o cálculo com matrizes na resolução de sistemas lineares
3. Compreender o conceito de espaços vetoriais
4. Aplicar o conceito de Transformação Linear na resolução de problemas
5. Calcular Autovalores e Autovetores
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
Unidade I - SISTEMAS LINEARES
1.1 Matrizes e Determinantes
1.2 Discussão e Resolução de Sistemas Lineares
1.3 Métodos da Substituição, Regra de Cramer, Escalonamento e Matriz inversa
Unidade II - ESPAÇOS VETORIAIS
2.1 Definição.
2.2 Subespaços Vetoriais - Definição; Subespaços Gerados
2.3 Dependência e Independência Linear; Base e Dimensão.
Unidade III - TRANSFORMAÇÕES LINEARES
3.1 Definição e Propriedades; Matriz de uma Transformação
3.2 Operações com Transformações Lineares
3.3 Transformações Lineares no Plano e no Espaço
Unidade IV - AUTOVALORES E AUTOVETORES
4.1 Definição; Polinômio Característico.
4.2 Determinação dos Autovalores e Autovetores de um Operador
4.3 Diagonalização
PROCEDIMENTOS DE ENSINO:
Aulas Teóricas:
Aulas expositivas dialogadas com apresentação dos conteúdos relevantes e potencialmente
significativos, exemplificações e discussão dos resultados. Resolução de exercícios,
objetivando desenvolver habilidades. Uso de transparências e de outros recursos didáticos.
Atividades de Campo:
Serão desenvolvidas atividades de pesquisa e aplicação na prática (p. ex: lista de exercícios,
simulações computacionais) dos conhecimentos estudados na disciplina pelos alunos, sob a
orientação do professor.
AVALIAÇÃO:
Aulas Teóricas:
Consiste na avaliação continuada do desempenho dos alunos, sendo sistematizado em três
momentos no calendário acadêmico: AV1, AV2 e AV3.
Atividades de Campo:
Apresentação de relatório das atividades de pesquisa e aplicações práticas.

3. 3
1 MATRIZES
1.1 NOTAÇÃO GERAL
Denomina-se matriz toda tabela disposta em linhas e colunas que encontram-se entre
parênteses ou colchetes.
Normalmente, as matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas acompanhados do duplo índice ij que representam,
respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento se encontra.
EXERCÍCIO
1) Construa a matriz A = (aij)2x3 tal que aij =
i j se i j
i jse i j
 
  



2
2
, :
, : e a matriz B = (bij) 3x3 tal
que bij =
3
22
i jse i j
i jse i j
 
 



, :
, : .
1.2 DENOMINAÇÕES ESPECIAIS DAS MATRIZES
MATRIZ LINHA
É toda matriz com uma única linha.
MATRIZ COLUNA
É toda matriz com uma única coluna.
MATRIZ QUADRADA
É toda matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e de colunas. Esse
tipo de matriz possui duas diagonais: a diagonal principal e a diagonal secundária.
MATRIZ NULA
É toda matriz que seus elementos são nulos.
MATRIZ DIAGONAL
É toda matriz quadrada que os elementos que não se encontram na diagonal principal
são nulos.
MATRIZ IDENTIDADE
É toda matriz quadrada que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os
demais iguais a zero.
MATRIZ TRANSPOSTA
É toda matriz obtida pela troca ordenada de suas linhas por suas colunas. Denota-se a
matriz transposta de A por At
.
MATRIZ SIMÉTRICA
É toda matriz quadrada de ordem n que A = At.
MATRIZ OPOSTA
Chama-se matriz oposta de A a matriz obtida pela troca de todos os sinais de seus
elementos.
EXERCÍCIOS
2) A matriz A =  1 0 0 é do tipo:
( a ) diagonal ( b ) 1x3 ( c ) nula ( d ) 1x1

4. 4
3) Sendo a matriz A =
1 1
1 1







 , a oposta de sua transposta é:
( a )








1 1
1 1 ( b )
1 0
0 1





 ( c )
1 1
0 0





 ( d )
1 1
1 1








1.3 IGUALDADE DE MATRIZES
Diz-se que duas matrizes A e B, do mesmo tipo, são iguais se, e somente se, todos os
elemento que ocupam a mesma posição, são idênticos.
EXERCÍCIO
4) Para que A =












765
143
1021
z
y
x
seja uma matriz simétrica, quanto deverá valer x, y e z?
1.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES
1.4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
São operações que só podem ser efetuadas entre matrizes do mesmo tipo. A matriz
resultante dessas operações é encontrada através da soma ou da subtração dos elementos
que ocupam a mesma posição.
1.4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dado um número real x e uma matriz A, o produto de x pela matriz A é a matriz obtida
pela multiplicação de x por todos os elementos da matriz A.
EXERCÍCIO
5) Calcule X na equação 3X – A + 2B = 0, sabendo que A =
1 3 1
3 2 1
1 1 2













e B =












1 2 3
1 1 3 2
1 2 3 1
/
/
.
1.4.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
O produto de uma matriz A por uma matriz B, é a matriz C onde cada um de seus
elementos é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima
linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
EXERCÍCIOS
6) Sejam as matrizes A =
2
0
1
3
1
4










e B =
1
2
2
0
3
4





, caalcule:
a) AxB b) BxA
7) Dadas A = 




 
13
11
e B = 





32
75
, calcule A x Bt + At x B, se possível.

5. 5
8) Dadas a matriz A =(aij)2x3 tal que aij =
i j se i j
i jse i j
 
 



2
2
, :
, : e a matriz
B = (bij)3x4 tal que bij =
i jse i j
i jse i j
 
 



, :
, :2 de forma que do produto de A X B obtenha-se a
matriz C. Determine o elemento c22.
1.5 MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A’ ,de mesma ordem,
tal que A x A’ = In = A’ x A, dizemos então que a matriz A’ é inversa de A e denotamos A -1.
EXERCÍCIOS
9) Calcule a matriz inversa, se existir, de A =








2 1
3
2
1
2
.
10) Calcule a matriz inversa, se existir, de A = 





53
32
.
11) Sendo A =
0 1
2 3





, calcule A-1 caso exista.
1.6 DETERMINANTES
Chama-se determinante o número associado a uma matriz quadrada.
1.6.1 DETERMINANTE DE 1ª ORDEM
Dado uma matriz A, de 1ª ordem, seu determinante é o próprio elemento de A.
1.6.2 DETERMINANTE DE 2ª ORDEM
Dado uma matriz A, de 2ª ordem, seu determinante é a diferença encontrada entre o
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal
secundária.
1.6.3 DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
O determinante de uma matriz A de 3ª ordem pode ser feito através de um dispositivo
denominado regra de Sarrus, que consiste primeiramente na repetição das duas primeiras
colunas ao lado da terceira, para então somarmos os produtos encontrados pelos elementos
da diagonal principal e suas paralelas e os produtos encontrados pelos elementos da diagonal
secundária e suas paralelas, e finalmente, nessa ordem, determinar essa diferença.

6. 6
EXERCÍCIOS
12) Calcule o valor de x na equação
3 1 2 3
2 1 1
2 0 4
x
x
 











= 12.
13) Resolva em R a inequação
2
1 1 0
0 1
0
x x
x
 .
14) Calcule o(s) valor(es) de x Î R em
1 1
0 1
1 3 3
0
x
x











 .
1.7 MATRIZ ADJUNTA
1.7.1 MENOR COMPLEMENTAR
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento aij de uma matriz A,
quadrada de n > 1, o determinante MCij, de ordem n -1, associado à matriz obtida de A quando
excluímos a linha e a coluna de aij.
1.7.2 COFATOR
Chamamos de cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o
número Aij, tal que Aij = (-1)i + j x MCij. Denota-se a matriz dos cofatores de A por A .
1.7.3 MATRIZ ADJUNTA
Chamamos de matriz adjunta de A a matriz transposta da matriz dos cofatores de A.
Denota-se adj A.
EXERCÍCIOS
15) Determine a matriz adjunta de A =
3 0 2
6 5 1
1 4 0










.
16) Calcule a matriz adjunta da matriz A =
1 0 3
2 1 1
0 1 0










.
1.8 TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz quadrada A, quando sua ordem for maior que 2, pode
ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da
matriz A pelos respectivos cofatores.


a
i
ijijAaA
1
det

7. 7
EXERCÍCIOS
17) Calcule, utilizando o Teorema de Laplace, os determinantes das seguintes matrizes:
a)












650
212
432
b)

















3201
1113
0200
1432
c)














0010
1000
2002
3110
18) O determinante de

















0300
210
021
100
x
x
x
está representado pelo polinômio:
( a ) x2 + 1 ( b ) –x2 – 1 ( c ) 3x2 – 1 ( d ) 3(x2 + 1) ( e ) 3(x + 1)(x – 1)
19) O determinante da matriz 





ab
ba
, onde 2a = ex + e–x e 2b = ex – e–x é igual a:
( a ) 1 ( b ) –1 ( c ) ex ( d ) e–x ( e ) 0
1.9 SISTEMAS LINEARES
1.9.1 EQUAÇÃO LINEAR
É toda equação na forma axaxax axbnn11 22 33    ... , onde os valores de a
são os coeficientes reais de x e b é um número real chamado de termo independente.
1.9.2 SISTEMA LINEAR
É todo conjunto de equações lineares na forma:
ax ax ax ax b
ax ax ax ax b
ax ax ax ax b
nn
nn
m m m mnn m
111 122 133 1 1
211 222 233 2 2
11 22 33
    
    
    







...
...
...
    
, com m equações e n incógnitas.
Chamamos de n-upla, de números reais, a solução simultânea de todas as equações
do sistema.
1.9.3 ASSOCIAÇÃO DE UMA MATRIZ A UM SISTEMA LINEAR
MATRIZ INCOMPLETA
É a matriz formada somente pelos coeficientes das incógnitas do sistema linear.
MATRIZ COMPLETA
É a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema linear, acrescida de
uma última coluna com os termos independentes.

8. 8
1.9.4 SISTEMA HOMOGÊNEO
Um sistema é chamado de homogêneo quando todos os termos independentes de
suas equações são nulos. A n-upla (0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema homogêneo e
recebe o nome de solução trivial.
1.9.5 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Um sistema linear pode ser:
 possível e determinado (possui apenas uma única solução)
 possível e indeterminado (possui infinitas soluções)
 impossível (não possui solução)
1.9.6 SISTEMA NORMAL
Um sistema é normal quando possui o mesmo número de equações e incógnitas e o
determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Assim, se m = n e det A ¹ 0, o sistema é normal.
1.10 REGRA DE CRAMER
Chama-se regra de Cramer a técnica usada para solucionar um sistema linear.
Fazendo x
D
Di
xi
 , onde D é o determinante da matriz incompleta associada ao
sistema e Dxi é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna
i pela coluna formada pelos termos independentes.
1.11 SISTEMAS EQUIVALENTES
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
1.11.1 PROPRIEDADES DOS SISTEMAS EQUIVALENTES
 Trocando-se de posição as equações de um sistema linear, obtém-se um outro sistema
equivalente.
 Multiplicando-se uma equação do sistema linear por um número real diferente de zero,
obtém-se um outro sistema equivalente.
 Adicionando-se a uma das equações do sistema linear o produto de uma outra
equação desse mesmo sistema por um número real diferente de zero, obtém-se um outro
sistema equivalente.
1.12 SISTEMAS ESCALONADOS
O procedimento para o escalonamento de um sistema é o seguinte:
1º - Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente
de zero.
2º - Utilizando as propriedades dos sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da
1ª incógnita das demais equações.
3º - Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.
4º - Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

9. 9
EXERCÍCIOS
20) Resolva, por substituição, e classifique os sistemas abaixo:
a)
x y z
x y z
x y z
  
  
  





3
2 0
3 2 6
. b)
x y z
x y z
x y z
  
  
  





3
4 1
2 4 4
.
21) Resolva, por substituição, e classifique os sistemas abaixo:
a)
3 1
2
4
x y z w
x y z
y z
   
  
 





b)
2 7
2 5
3 6
x y z w
y z w
y z
   
  
 





22) Resolva, utilizando a regra de Cramer, e classifique os sistemas abaixo:
a)
x y z
x y z
x y z
  
  
  





2 3 1
2 5 8 3
5 12 19 7
. b)
x y z
x y z
x y z
  
  
  





2 4
3 11
2 6 6
23) Resolva, por escalonamento, e classifique os sistemas abaixo:
a)
x y z
x y z
x y z
  
  
  





2 3 2
2 4 5 3
3 5 6 4
. b)
x y z
x y z
x y z
  
  
  





2 4
3 11
2 6 6
24) Resolva, utilizando o método da matriz inversa, e classifique os sitemas abaixo:
a)
x y z
x y z
x y z
  
  
  





2 3
2 1
3 2 2
. b)
x y z
x y z
x y z
  
  
   





2
2 4 5 8
9 8 50
25) Calcule a n-upla que satisfaz o sistema
x y
y z
z x
 
 
 





1
2
3
e classifique-o.
26) Calcule os valores de m e p de modo que o sistema
x z p
y z
z mx
 
  
 





3
2
tenha uma infinidade de
soluções.
27) Resolva o sistema linear











42
32
22
12
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
.

10. 10
2 ESPAÇOS VETORIAIS
2.1 VETORES NO PLANO
No plano cartesiano ortogonal um ponto P do plano é identificado pelo par (a,b) de
números reais, onde as quantidades a e b são as coordenadas do ponto P.
Os segmentos orientados com ponto inicial na origem e ponto final em P, são
denominados vetores no plano e são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, uma
vez que o ponto inicial é fixo na origem.
A cada ponto no plano P(a,b) é associado um único vetor v = OP e, reciprocamente,
dado um vetor, este fica associado a um único ponto do plano, que é seu ponto final.
Desta forma, um vetor v = OP é representado, simplesmente, pelas coordenadas do
seu ponto final P(a,b). Usamos a notação v ou v = (a,b) para identificar um vetor cujo ponto
final é (a,b).
A origem do plano fica associada a um vetor denominado vetor nulo, que tem os
pontos inicial e final coincidentes com a origem. O vetor nulo é representado por 0 = (0,0).
O oposto de um vetor v = OP é o vetor w = OQ , que tem o mesmo comprimento e
direção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a,b), então w = (-a,-b) e denotamos w = –
v.
2.1.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO PLANO
a) Multiplicação de um vetor v por um escalar k:
• Se k > 0, o vetor w = kv possui mesma direção de v e comprimento k vezes o comprimento
de v.
• Se k < 0, o vetor w = kv será igual ao oposto do vetor |k|v.
• Se k = 0, w = kv será o vetor nulo.
A multiplicação de um vetor por um escalar corresponde à multiplicação de cada coordenada
desse vetor por esse escalar. Assim, se v = (a,b) e w = kv, então w = (ka,kb).
b) Adição de dois vetores:
• Se v = (a,b) e w = (c,d), então o vetor soma será v + w = (a + c, b + d).
• A soma de um vetor v = (a,b) com seu oposto w = -v = (-a,-b) é o vetor nulo.
Isto é, v + w = v + (-v) = (a - a, b - b) = (0,0).
• A diferença entre dois vetores v e w, é a soma do primeiro com o oposto do segundo vetor:
v – w = v + (-w).
2.2 VETORES NO ESPAÇO
Analogamente ao caso de vetores no plano, podemos estender a idéia de vetor ao
espaço tridimensional, onde um ponto P do espaço é identificado com uma terna de números
reais (x,y,z), onde x, y e z são as coordenadas do ponto P.
Agora cada ponto do espaço P(a,b,c) é associado um único vetor v = OP e,
reciprocamente, dado um vetor, este fica associado a um único ponto do espaço, que é seu
ponto final.
Assim, um vetor v = OP é representado pelas coordenadas do seu ponto final
P(a,b,c).
Denotamos v =










c
b
a
ou v = (a,b,c) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b,c).
A origem do espaço representa o vetor nulo 0 = (0,0,0).
Se V é o conjunto de vetores no espaço, então V = {(x1, x2, x3); xi  R} = R×R×R = R3.

11. 11
2.2.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO
Sejam u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3) vetores no espaço. A soma de dois vetores e o
produto de um vetor por um escalar, são denotados respectivamente por u + v e ku, e são
definidos da forma: u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) e ku = (kx1, kx2, kx3).
2.2.1.1 PROPRIEDADES
Sejam u, v, w  V e a, b escalares quaisquer, então podem ser facilmente verificadas
as propriedades seguintes:
i) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa)
ii) u + v = v + u (comutativa)
iii) existe 0  V tal que u + 0 = u, onde 0 é chamado vetor nulo (existência de elemento neutro)
iv) existe –u  V tal que u + (-u) = 0 (existência de simétrico aditivo)
v) a(u + v) = au + av
vi) (a + b)v = av + bv
vii) (ab)v = a(bv)
viii) 1u = u
2.3 ESPAÇOS VETORIAIS
Um espaço vetorial real é um conjunto V ≠ , sobre o qual estão definidas duas
operações: soma e multiplicação por escalar, tais que, para quaisquer u,v,w  V e a,b  R, as
propriedades de i a vii sejam satisfeitas.
Se ao invés de escalares reais, tivermos escalares complexos, V será um espaço
vetorial complexo.
Neste contexto, a palavra vetor é utilizada de maneira mais geral, ou seja, designa um
elemento de um espaço vetorial. Contudo, considerando o espaço vetorial das matrizes
quadradas reais de ordem 2, denotado por V = M(2,2), um vetor deste espaço será na
realidade uma matriz real 2x2.
Notas:
1 – Retas que passam pela origem são espaços vetoriais.
2 – Planos que passam pela origem são espaços vetoriais.
3 – O elemento de um espaço vetorial é chamado de vetor.
2.3.1 SUPESPAÇOS VETORIAIS
Dado um espaço vetorial real V, um subconjunto W ≠ , será um subespaço vetorial
de V se:
i)  u,v  W  u + v  W
ii)  a  R, u  W  au  W
A definição acima garante que operações realizadas em W, no caso a adição e a
multiplicação por escalar, resultam em elementos de W, sendo o suficiente para afirmar o
próprio W é um espaço vetorial. As operações são bem definidas e não é preciso verificar as
sete propriedades que definem um espaço vetorial, pois, sendo válidas em V, que contém W,
também o são em W.
Todo subespaço W  V, necessariamente contém o vetor nulo (devido à definição ii). É
fácil verificar esta condição, quando se faz a = 0.
Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços, denominados subespaços
triviais, o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial (0 e V).

12. 12
EXERCÍCIOS
28) Verifique quais, dentre os subconjuntos abaixo, são subespaços vetoriais?
a) {(x, y)  R2 / x = y} b) {(x, y, z)  R3 / x = y = 2z}
c) {(x, y, z)  R3 / x2 = y} d) {(x, y, z, w)  R4 / x + z = y + w}
e) {(x, y)  R2 / x + 1 = y} f) {(x, y, z, w)  R4 / x – 2y = 3z + w}
g) {(x, y)  R2 / x3 = y}
2.4 COMBINAÇÃO LINEAR
Consideremos um espaço vetorial real V (ou complexo), v1, v2, ..., vn  V e a1, a2, ..., an
números reais (ou complexos). Chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn como sendo o
vetor v  V, definido por v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn.
EXERCÍCIOS
29) Dados os vetores v = (1, -2, 1), v1 = (1, 0, 1) e v2 = (0, 2, 0). Verifique se v é combinação
linear de v1 e v2.
30) Sendo v = (1, 3, -4)  R3 e v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 2), v3 = (0, -1, 1) e v4 = (0, 0, 1).
Verifique se v pode ser escrito como combinação linear de v1, v2, v3 e v4.
31) Escreva o vetor v = (0, 1)  R2 como combinação linear dos vetores v1 = (3, 2) e v2 = (2, 2).
32) Sendo o vetor v = (1, -1, 4)  R3. Escreva-o como combinação linear dos vetores
v1 = (1, -3, 4), v2 = (1, -3, 2) e v3 = (0, 0, 1).
2.5 SUBESPAÇO GERADO
Fixados os vetores v1, v2, ..., vn  V, o conjunto W de todos os vetores que são
combinação linear dos vi (i = 1, 2, ..., n) é chamado subespaço gerado pelos vi e usamos a
notação: W = [v1, v2, ..., vn].
Escrevendo W = [v1, v2, ..., vn] = {v  V: v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn, ai  R, 1 ≤ i ≤ n},
onde W é o “menor” subespaço de V que contém o conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn}. O termo
“menor” significa que qualquer outro subespaço W’ de V que contenha {v1, v2, ..., vn} deverá
satisfazer W’  W.

13. 13
EXERCÍCIOS
33) Sendo V o conjunto de vetores v1 = (1, 0, -1), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (0, 1, 1). Determine o
subespaço gerado por esses vetores. Escreva a solução em equação cartesiana.
34) Verifique se W  R3 gerado por u1 = (1, 1, -1), u2 = (2, 3, -1) e u3 = (3, 1, -5), é o mesmo
subespaço gerado por v1 = (1, -1, -3), v2 = (3, -2, -8) e v3 = (2, 1, -3). Escreva a solução em
equação cartesiana.
35) Sendo V o conjunto de vetores v1 = (1, -2, 0), v2 = (2, -1, -1) e v3 = (0, 3, -1). Determine o
subespaço gerado por esses vetores. Escreva a solução em equação cartesiana.
36) Determine o subespaço W  V, sendo V o conjunto formado pelos vetores v1 = (1, -1, 0, 2),
v2 = (3, 5, 2, -4) e v3 = (5, 3, 6, 1). Escreva a solução em equação cartesiana.
2.6 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam V um espaço vetorial e v1, ... , vn  V. Dizemos que o conjunto {v1, ... , vn} é
linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, ... , vn são LI, se (a1, ... , an) = (0, ... , 0)
for a única solução da equação
a1v1 + ... + anvn = 0.
Se existir algum a1  0, que satisfaça a equação anterior dizemos que {v1, ... , vn} é
linearmente dependente (LD), ou que os vetores v1, ... , vn são LD.
O conjunto de vetores { v1, ... , vn} é LD se, e somente se existe um vi neste conjunto
que é combinação linear de v1, v2, ... , vi-1, vi+1, ... , vn.
Um conjunto de vetores é LI se, e somente se nenhum deles for uma combinação
linear dos outros.
EXERCÍCIOS
37) Verifique se v1 = (1, 2, 3) e v2 = (2, 4, 6) são LD ou LI.
38) Sejam V = R2 e o conjunto P = {(1, –1), (1, 0), (1, 1)}. Verifique se P é LD ou LI.
39) Dados v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, 2, 3). Verifique se são LD ou LI.
40) Verifique se o conjunto de vetores do R4, v1 = (1, 0, -1, 0), v2 = (0, 1, 1, 1) e v3 = (1, 1, 0, 1)
são LD ou LI.

14. 14
41) Verifique se o conjunto de matrizes A = 





11
01
, B = 





11
20
e C = 




 
00
11
é LD ou LI.
42) Verifique se as matrizes A = 





43
21
, B = 







43
21
e C = 







43
21
são LD ou LI.
2.7 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Um conjunto {v1, ... , vn} de vetores de um espaço vetorial V será uma base de V se
este conjunto for LI e se ele gerar o espaço, ou seja:
i) {v1, ... , vn} é LI
ii) [v1, ... , vn] = V
Sejam v1, v2, ..., vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, dentre
estes vetores podemos extrair uma base de V.
Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, ..., vn. Então,
qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto
LI tem no máximo n vetores).
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos.
Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dimV.
Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser
completado de modo a formar uma base de V.
Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.
Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então
dimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Além disso,
dim(U + W) = dimU + dimW – dim(U∩W).
Dada uma base β = {v1, v2, ..., vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única
como combinação linear de v1, v2, ..., vn.
EXERCÍCIOS
43) Exiba uma base para cada um dos subespaços W, gerado pelos conjuntos de vetores a
seguir, determine sua dimensão e descreva W em equações paramétricas.
a) {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (-1, 0, 1), (1, 4, 7)} do R3. b) {(1, -1, 0, 2), (3, 5, 2, -4), (5, 3, 6, 1)} do R4.
c) {(1, 1, -1, 0), (4, 8, -4, -3), (2, 5, 2, 4)} do R4. d) {(1, 1, -1), (2, 3, -1), (3, 1, -5)} do R3.
44) Sejam W1 = {(x, y, z, w) / x = y, z = w} e W2 = {(x, y, z, w) / x – y + z + w = 0} subespaços
vetoriais do R4, determine: uma base e a dimensão de W1; uma base e a dimensão de W2; uma
base e a dimensão de W1 + W2; e, W1  W2 em equações paramétricas, sua base e dimensão.

15. 15
2.8 MUDANÇA DE BASE
COORDENADAS DE UM VETOR EM RELAÇÃO A UMA BASE
 = {e1, e2} base canônica do R2
.
v = (x, y)
v = xe1 + ye2
’ = {v1, v2} base do R2
.
v = (x’, y’)
v = x’v1 + y’v2
COMO RELACIONAR AS COORDENADAS (x, y) COM (x’, y’) DO VETOR v?
Seja  = {(1, 0), (0, 1)} base canônica do R2
. ’ = {(a, b), (c, d)} base do R2
.
v = (x, y) = xe1 + ye2
v = (x’, y’) = x’v1 + y’v2 = x’(a, b) + y’(c, d) = (x’a, x’b) + (y’c, y’d) = (ax’ + cy’, bx’ + dy’)
v = (x’, y’) = x’(ae1 + be2) + y’(ce1 + de2) = (ax’ + cy’)e1 + (bx’ + dy’)e2
























'
'
''
''
y
x
db
ca
y
x
dybxy
cyaxx
, logo:
A matriz 






db
ca
M é a matriz mudança da base ’ para base .
Portanto, para o cálculo das coordenadas de (v), temos:
(v) = M  (v)’
Para o cálculo das coordenadas de (v)’ devemos fazer:
M –1  (v) = M –1  M  (v)’
M –1  (v) = I  (v)’
I  (v)’ = M –1  (v)
(v)’ = M –1  (v)
EXERCÍCIOS
45) Seja ’ = {(1, 1), (–1, 1)} base do R2
e (v)’ = (2, 3). Quais são as coordenadas de (v)?
46) Seja ’ = {(1, 1), (–1, 1)} base do R2
e (v) = (3, 4). Quais são as coordenadas de (v)’?

16. 16
3 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
3.1 DEFINIÇÃO
Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função T :V →W é uma
transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por
escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:
TL1. Para quaisquer v,u  V , T(v + u) = T(v) + T(u) .
TL2. Para todo v  V e para todo k  R, T(k ⋅ v) = k ⋅T(v).
Exemplos:
1) T : R2
→ R2
(x, y)  T(x, y) = (−x,− y)
Verificando os axiomas:
TL1. T((x, y) + (z, t)) = T(x, y) + T(z, t), para quaisquer (x, y), (z, t)  R2
?
T((x, y) + (z,t)) = T(x + z, y + t) = (−(x + z),−( y + t)) = (−x − z,− y − t)
T(x, y) + T(z, t) = (−x,− y) + (−z,−t) = (−x − z,− y − t)
Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores.
TL2. T(k ⋅ (x, y)) = k ⋅T(x, y) , para todo (x, y)  R2
e para todo k  R?
T(k ⋅ (x, y)) = T(kx, ky) = (−(kx),−(ky)) = (k(−x), k(− y)) = k ⋅ (−x,− y) = k ⋅T(x, y)
Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar.
Considere v = (1, 2) e u = (−1, 3).
T(v) = T(1, 2) = (−1, −2)
T(u) = T(−1, 3) = (1, −3)
T(v) + T(u) = (−1, −2) + (1, −3) = (0, −5)
T(v + u) = T((1, 2) + (−1, 3)) = T(0, 5) = (0, −5)
T(2 ⋅ v) = T(2 ⋅ (1, 2)) = T(2, 4) = (−2, −4) = 2 ⋅ (−1, −2) = 2 ⋅T(1, 2) = 2 ⋅T(v)
2) T :R3
→ R3
(x, y, z) a T(x, y, z) = (x, y, 0)
T é uma transformação linear (Verifique !)
Esta transformação linear associa a cada vetor do R3
sua projeção ortogonal sobre o
plano XY.
A transformação linear T0: V → W tal que v  T0(v) 0w é denominada Transformação
Nula.
Seja a transformação linear T :V → W . Se os conjuntos V e W são iguais, V = W, então
T é denominada um Operador Linear.
O operador linear Iv : V → V tal que v  Iv (v) = v é denominado Operador Identidade.
As transformações lineares T :V → R são denominadas Funcionais Lineares.

17. 17
3.2 OPERADORES LINEARES NO ESPAÇO VETORIAL R2
Reflexão em torno do eixo X: T(x, y) = (x, − y) .
Reflexão em torno do eixo Y: T(x, y) = (−x, y) .
Reflexão em torno da origem: T(x, y) = (−x, − y) .
Reflexão em torno da reta x = y : T(x, y) = ( y, x) .
Reflexão em torno da reta x = − y : T(x, y) = (− y, −x) .
EXERCÍCIOS
47) Seja T : R2
→ R2
um operador linear tal que T(2, 3) = (−1, 5) e T(0, 1) = (2, 1). Determine a
lei que define este operador?
48) Qual é a transformação linear T : R2
 R3
tal que T(1, 0) = (2, –1, 0) e T(0, 1) = (0, 0, 1)?
49) Ache a transformação linear T : R3
→ R2
tal que T(1, 0, 0) = (2, 0), T(0, 1, 0) = (1, 1) e
T(0, 0, 1) = (0, –1).
50) Sendo a transformação do exercício anterior, encontre v de R3
tal que T(v) = (3, 2).
51) Qual é a transformação linear T : R2
 R3
tal que T(1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, –2 ) = (0, 1, 0)?
Ache T(1, 0) e T(0, 1).
52) Seja T : R2
→ R2
um operador linear tal que T(1, 1) = (1, −1) e T(1, 2) = (1, 0). Determine a
lei que define este operador?
53) Ache a transformação linear T : R3
→ R2
tal que T(3, 2, 1) = (1, 1), T(0, 1, 0) = (0, –2) e
T(0, 0, 1) = (0, 0).
54) Sejam  = {(1, –1), (0, 2)} e  = {(1, 0, –1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2
e R3
respectivamente e  












1
1
0
0
1
1

T .
a) Ache T.
b) Se S(x, y) = (2y, x – y, x), ache 
S .

18. 18
55) Seja T : R3
 R2
tal que T(x, y, z) = (2x + y – z, 3x – 2y + 4z). Sejam  = {(1, 1, 1), (1, 1, 0),
(1, 0, 0)} e  = {(1, 3), (1, 4)}. Calcule  
T .
56) Ache a transformação T do plano no plano que é uma reflexão em torno da reta x = y.
3.3 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Núcleo de uma transformação linear T : V → W é o conjunto de vetores do espaço vetorial V
cuja imagem é o vetor 0w.
Notação: N(T) = {v  V / T(v) = 0w}
Imagem de uma transformação linear T : V → W é o conjunto de vetores de W que são
imagem dos vetores do conjunto V.
Notação: Im(T) = T(V ) = {w  W / T(v) = w, para algum v  V}
Propriedades
1. N(T ) é um subespaço vetorial de V.
2. Im(T ) é um subespaço vetorial de W.
3. Teorema do Núcleo e da Imagem : dimV = dim N(T ) + dim Im(T )
Exemplo: Seja T : R2
→ R3
tal que T(x, y) = (0, x + y, 0).
N(T ) = {(x, y)  R2
/ T(x, y) = (0, 0, 0)}.
Então, T(x, y) = (0, x + y, 0) = (0, 0, 0).
Assim, x + y = 0  x = − y.
Portanto, N(T ) = {(x, y)  R2
/ x = − y} = {(− y, y), y  R}.
Uma base é {(−1, 1)} e dim N(T ) = 1.
EXERCÍCIOS
57) Seja a transformação linear T(x, y, z) = (x + z, x + y, –x – y) de T : R3
 R3
. Calcule:
a) a imagem da base canônica do R3
;
b) uma base e a dimensão para Im(T); e
c) o núcleo de T e sua dimensão.
58) Sendo T : R2
 R4
e T(x, y) = (x – y, x + y, x, y), determine:
a) Base da Im(T);
b) Dimensão da Im(T); e
c) N(T).

19. 19
4 AUTOVALORES E AUTOVETORES
4.1 DEFINIÇÃO
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O número real  é autovalor de A se existir
um vetor não nulo v tal que:
A.v = .v
Todo vetor não nulo v é chamado de autovetor de A associado ao autovalor .
Autovalores são também chamados de valores próprios ou valores característicos e os
autovetores são chamados de vetores próprios ou vetores característicos.
EXERCÍCIOS
59) Para 




 

42
11
A e  = 3, determine seu autovetor.
60) Sendo 







42
11
A e seu autovetor 





1
1
, calcule o seu autovalor.
61) Se 






02/1
2/10
A pode ser associada ao autovalor 1/2, determine o autovetor desse
autovalor.
4.2 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO
Seja a equação A.v = .v, se I for identidade da mesma ordem de A, então a equação
pode ser escrita na forma A.v = (I).v, daí:
(A – I) .v = 0
Essa equação resulta em um polinômio chamado de polinômio característico de A,
onde os valores de  são as raízes do polinômio e, portanto, os autovalores da matriz A.
EXERCÍCIOS
62) Encontre os polinômios característicos das matrizes abaixo:
a) 





10
21
b)










100
210
321
c)










112
121
211

20. 20
63) Sendo 








31
22
A , encontre seus autovalores e seu autovetor(es).
64) Se 








21
43
A , quais são seus autovalores e autovetor(es).
65) Se 






10
22
A , quais são seus autovalores e autovetor(es).
66) Encontre os autovalores e autovetores de











210
011
024
A .
67) Encontre os autovalores e autovetores de













133
040
331
A .

21. 21
RESPOSTAS
1 – 2 – 3 – 4 – 5 –
6 – 7 – 8 – 9 – 10 –
11 – 12 – 13 – 14 – 15 –
16 – 17 – 18 – 19 – 20 –
21 – 22 – 23 – 24 – 25 –
26 – 27 – 28 – 29 – 30 –
31 – 32 – 33 – 34 – 35 –
36 – 37 – 38 – 39 – 40 –
41 – 42 – 43 – 44 – 45 –
46 – 47 – 48 – 49 – 50 –
51 – 52 – 53 – 54 – 55 –
56 – 57 – 58 – 59 – 60 –
61 – 62 – 63 – 64 – 65 –
66 – 67 – 68 – 69 – 70 –

22. 22
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Introdução à álgebra linear: com aplicações. Rio de
Janeiro: LTC, c2006.
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro, LTC; 2007.
LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra linear: teoria e problemas. 3. ed. rev. e ampl. São Paulo:
Makron, 1994.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2
v.
STEINBRUCH, Alfredo. Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares. São
Paulo: McGraw-Hill, 1989.