Este documento apresenta um resumo da disciplina de Álgebra Linear para o curso de Engenharia de Petróleo. Aborda conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. Inclui também o conteúdo programático organizado em quatro unidades, os objetivos da disciplina, procedimentos de ensino e avaliação.
O documento apresenta conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Matrizes podem ser classificadas de acordo com sua forma (retangular, quadrada, linha, coluna) ou natureza dos elementos (real, complexa, nula, triangular superior/inferior, diagonal, escalar, simétrica, densa, dispersa);
2) Uma matriz identidade I é uma matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros nos demais elementos;
3) A soma de duas matrizes do mesmo tipo resulta em uma matriz do mesmo tipo obtida somando elementos da mesma posição.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.
O documento descreve as matrizes, suas propriedades e operações. As matrizes são tabelas de números utilizadas em diversas áreas e são compostas por linhas e colunas. São apresentados conceitos como matriz quadrada, identidade, transposta, adição, multiplicação e inversa de matrizes. Determinantes são números associados a matrizes quadradas.
1. O documento define e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes, incluindo matrizes especiais como matrizes nulas, diagonais, identidade e transpostas.
2. São descritas regras para representar elementos de uma matriz usando índices e para verificar igualdade entre matrizes.
3. Uma lista de exercícios é fornecida para praticar conceitos como escrever matrizes com elementos definidos por funções dos índices, calcular traços, transpor e igualar matrizes.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, o desenvolvimento da álgebra de matrizes no século XIX e suas aplicações atuais na computação, mecânica, eletrônica e planilhas eletrônicas.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)Pedro Povoleri
As matrizes foram inicialmente utilizadas pelo matemático inglês James Sylvester em meados do século XIX. Seu colega Arthur Cayley definiu operações básicas entre matrizes. O matemático alemão Gotthold Eisenstein contribuiu para o desenvolvimento da multiplicação matricial.
1) Uma matriz é uma tabela m x n utilizada para resolver sistemas de equações lineares e transformações lineares.
2) As operações básicas com matrizes incluem soma, subtração, multiplicação escalar e multiplicação matriz por matriz.
3) O determinante de uma matriz quadrada é calculado usando regras específicas e indica se o sistema linear associado tem solução única.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
O documento apresenta conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Matrizes podem ser classificadas de acordo com sua forma (retangular, quadrada, linha, coluna) ou natureza dos elementos (real, complexa, nula, triangular superior/inferior, diagonal, escalar, simétrica, densa, dispersa);
2) Uma matriz identidade I é uma matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros nos demais elementos;
3) A soma de duas matrizes do mesmo tipo resulta em uma matriz do mesmo tipo obtida somando elementos da mesma posição.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.
O documento descreve as matrizes, suas propriedades e operações. As matrizes são tabelas de números utilizadas em diversas áreas e são compostas por linhas e colunas. São apresentados conceitos como matriz quadrada, identidade, transposta, adição, multiplicação e inversa de matrizes. Determinantes são números associados a matrizes quadradas.
1. O documento define e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes, incluindo matrizes especiais como matrizes nulas, diagonais, identidade e transpostas.
2. São descritas regras para representar elementos de uma matriz usando índices e para verificar igualdade entre matrizes.
3. Uma lista de exercícios é fornecida para praticar conceitos como escrever matrizes com elementos definidos por funções dos índices, calcular traços, transpor e igualar matrizes.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, o desenvolvimento da álgebra de matrizes no século XIX e suas aplicações atuais na computação, mecânica, eletrônica e planilhas eletrônicas.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)Pedro Povoleri
As matrizes foram inicialmente utilizadas pelo matemático inglês James Sylvester em meados do século XIX. Seu colega Arthur Cayley definiu operações básicas entre matrizes. O matemático alemão Gotthold Eisenstein contribuiu para o desenvolvimento da multiplicação matricial.
1) Uma matriz é uma tabela m x n utilizada para resolver sistemas de equações lineares e transformações lineares.
2) As operações básicas com matrizes incluem soma, subtração, multiplicação escalar e multiplicação matriz por matriz.
3) O determinante de uma matriz quadrada é calculado usando regras específicas e indica se o sistema linear associado tem solução única.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.
O documento explica o que é um determinante e como calculá-lo para matrizes quadradas de 1a, 2a e 3a ordem. O determinante é um número real associado à matriz e é calculado usando a diferença entre produtos de elementos nas diagonais principal e secundária para matrizes de 2a ordem ou a regra de Sarrus para 3a ordem. Propriedades incluem o determinante ser zero se houver linhas iguais ou proporcionais ou se uma linha for combinação linear de outras.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, definindo-as como tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes podem ser somadas e multiplicadas, seguindo regras específicas, e apresenta exemplos ilustrativos dessas operações.
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
O documento descreve conceitos básicos sobre matrizes, incluindo: (1) matrizes são tabelas formadas por linhas e colunas; (2) exemplos de matrizes retangulares e quadradas; (3) elementos de uma matriz genérica; (4) tipos especiais de matrizes como linha, coluna, nula, triangular, diagonal, identidade, transposta, simétrica.
Este documento descreve os conceitos básicos de matrizes, incluindo suas definições, notações, tipos, operações e propriedades. As três principais informações são:
1) Uma matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Pode ser representada por parênteses, colchetes ou barras duplas.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como quadradas, diagonais, simétricas e identidade.
3) As operações básicas com matrizes incluem adição, subtração, multiplicação por escal
A matriz apresentada mostra as notas de três alunos, Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007. Cada elemento da matriz representa a nota de um aluno em um determinado ano.
Este documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e representação; (2) igualdade de matrizes; (3) tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; (4) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação e operações. É descrito como João e Maria obtiveram notas em diferentes matérias e como essas informações podem ser organizadas em matrizes. Também são explicados conceitos como produto de matrizes, matriz identidade e propriedades de operações com matrizes.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantesPedro Povoleri
As matrizes foram utilizadas pela primeira vez pelo matemático e advogado inglês James Sylvester em 1848. Seu colega também inglês Arthur Cayley instituiu algumas operações básicas entre as matrizes em 1858. A multiplicação matricial deveu-se ao matemático alemão Gotthold Eisenstein.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda: 1) definição e tipos de matrizes; 2) cálculo de determinantes usando regras de Sarrus e Laplace; 3) resolução de sistemas lineares por escalonamento e método de Cramer. Também apresenta aplicações dos determinantes no cálculo de áreas de polígonos.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que representa elementos ordenados.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, nulas e transpostas.
3) Podemos realizar operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação seguindo regras de ordem das linhas e colunas.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, definição moderna no século XIX, e aplicações em diversas áreas como computação, mecânica e eletrônica. Explica termos como matriz identidade, transposta, oposta, simétrica e anti-simétrica.
áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chióPedro Povoleri
O documento apresenta várias propriedades dos determinantes de matrizes quadradas. Entre elas: (1) o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta; (2) se uma linha ou coluna for constituída apenas de zeros, o determinante será igual a zero; (3) se duas linhas ou colunas forem trocadas, o novo determinante terá valor simétrico do original.
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1) O documento discute conceitos básicos sobre matrizes, incluindo definição de matriz, tipos de matrizes (quadrada, nula, oposta etc), operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação) e propriedades de matrizes (transposta, simétrica, determinante).
2) É apresentada a regra de Sarrus para calcular determinantes de matrizes 3x3 e conceitos relacionados como menor complementar e cofator.
3) Discutem-se matrizes inversíveis e a regra para calcular a inversa de uma matriz
O documento define matrizes e conceitos relacionados como ordem, elementos, igualdade, tipos especiais de matrizes e operações com matrizes. Em particular, define matriz como tabela de elementos dispostos em linhas e colunas, apresenta exemplos de matrizes e operações como adição, subtração e multiplicação por escalar.
O documento aborda operações com matrizes, definindo matrizes, transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes. Apresenta exemplos destas operações e exercícios sobre matrizes, incluindo determinação do tipo de matriz resultante de operações e cálculo de inversas.
1) O documento apresenta definições e notações sobre matrizes, incluindo tipos de matrizes, operações com matrizes e matrizes elementares.
2) São definidos conceitos como matrizes do tipo m x n, elementos de uma matriz, soma e multiplicação de matrizes, matrizes nulas e identidade.
3) São introduzidos os conceitos de matrizes elementares, que são obtidas a partir da matriz identidade por meio de operações elementares nas linhas.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.
O documento explica o que é um determinante e como calculá-lo para matrizes quadradas de 1a, 2a e 3a ordem. O determinante é um número real associado à matriz e é calculado usando a diferença entre produtos de elementos nas diagonais principal e secundária para matrizes de 2a ordem ou a regra de Sarrus para 3a ordem. Propriedades incluem o determinante ser zero se houver linhas iguais ou proporcionais ou se uma linha for combinação linear de outras.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, definindo-as como tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes podem ser somadas e multiplicadas, seguindo regras específicas, e apresenta exemplos ilustrativos dessas operações.
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
O documento descreve conceitos básicos sobre matrizes, incluindo: (1) matrizes são tabelas formadas por linhas e colunas; (2) exemplos de matrizes retangulares e quadradas; (3) elementos de uma matriz genérica; (4) tipos especiais de matrizes como linha, coluna, nula, triangular, diagonal, identidade, transposta, simétrica.
Este documento descreve os conceitos básicos de matrizes, incluindo suas definições, notações, tipos, operações e propriedades. As três principais informações são:
1) Uma matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Pode ser representada por parênteses, colchetes ou barras duplas.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como quadradas, diagonais, simétricas e identidade.
3) As operações básicas com matrizes incluem adição, subtração, multiplicação por escal
A matriz apresentada mostra as notas de três alunos, Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007. Cada elemento da matriz representa a nota de um aluno em um determinado ano.
Este documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e representação; (2) igualdade de matrizes; (3) tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; (4) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação e operações. É descrito como João e Maria obtiveram notas em diferentes matérias e como essas informações podem ser organizadas em matrizes. Também são explicados conceitos como produto de matrizes, matriz identidade e propriedades de operações com matrizes.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantesPedro Povoleri
As matrizes foram utilizadas pela primeira vez pelo matemático e advogado inglês James Sylvester em 1848. Seu colega também inglês Arthur Cayley instituiu algumas operações básicas entre as matrizes em 1858. A multiplicação matricial deveu-se ao matemático alemão Gotthold Eisenstein.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda: 1) definição e tipos de matrizes; 2) cálculo de determinantes usando regras de Sarrus e Laplace; 3) resolução de sistemas lineares por escalonamento e método de Cramer. Também apresenta aplicações dos determinantes no cálculo de áreas de polígonos.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que representa elementos ordenados.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, nulas e transpostas.
3) Podemos realizar operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação seguindo regras de ordem das linhas e colunas.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, definição moderna no século XIX, e aplicações em diversas áreas como computação, mecânica e eletrônica. Explica termos como matriz identidade, transposta, oposta, simétrica e anti-simétrica.
áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chióPedro Povoleri
O documento apresenta várias propriedades dos determinantes de matrizes quadradas. Entre elas: (1) o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta; (2) se uma linha ou coluna for constituída apenas de zeros, o determinante será igual a zero; (3) se duas linhas ou colunas forem trocadas, o novo determinante terá valor simétrico do original.
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1) O documento discute conceitos básicos sobre matrizes, incluindo definição de matriz, tipos de matrizes (quadrada, nula, oposta etc), operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação) e propriedades de matrizes (transposta, simétrica, determinante).
2) É apresentada a regra de Sarrus para calcular determinantes de matrizes 3x3 e conceitos relacionados como menor complementar e cofator.
3) Discutem-se matrizes inversíveis e a regra para calcular a inversa de uma matriz
O documento define matrizes e conceitos relacionados como ordem, elementos, igualdade, tipos especiais de matrizes e operações com matrizes. Em particular, define matriz como tabela de elementos dispostos em linhas e colunas, apresenta exemplos de matrizes e operações como adição, subtração e multiplicação por escalar.
O documento aborda operações com matrizes, definindo matrizes, transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes. Apresenta exemplos destas operações e exercícios sobre matrizes, incluindo determinação do tipo de matriz resultante de operações e cálculo de inversas.
1) O documento apresenta definições e notações sobre matrizes, incluindo tipos de matrizes, operações com matrizes e matrizes elementares.
2) São definidos conceitos como matrizes do tipo m x n, elementos de uma matriz, soma e multiplicação de matrizes, matrizes nulas e identidade.
3) São introduzidos os conceitos de matrizes elementares, que são obtidas a partir da matriz identidade por meio de operações elementares nas linhas.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
O documento apresenta um resumo sobre matrizes, abordando sua história, definição, tipos especiais e operações básicas. As matrizes surgiram para resolver sistemas lineares e seu nome foi dado por Cayley em 1850, sendo amplamente utilizadas na álgebra linear.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades relacionadas a matrizes.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades de matrizes.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo sua definição, tipos de matrizes e suas propriedades. É introduzido o conceito de matriz como uma tabela de números e são descritos os tipos especiais de matrizes como matriz quadrada, triangular, diagonal e identidade.
1. O documento discute conceitos básicos de matrizes, incluindo definição, representação algébrica, tipos especiais de matrizes como quadrada e identidade, e operações como adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes.
2. São apresentados exemplos ilustrativos de como representar e calcular matrizes.
3. As principais operações com matrizes discutidas são adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes, além de conceitos como matriz inversa e transposta.
Este documento apresenta os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e notação, (2) tipos de matrizes especiais como quadrada e identidade, (3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Apresenta conceitos básicos de matrizes como definição, tipos, operações e inversa. Também aborda determinantes e como representar sistemas de equações lineares na forma matricial.
O documento apresenta um capítulo sobre matrizes no contexto de álgebra linear. Introduz conceitos básicos como definição de matriz, notação matricial e exemplos. Apresenta também classificações de matrizes como retangular, quadrada, nula, diagonal e identidade.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda operações entre matrizes, cálculo de determinantes usando regras como a de Sarrus e Laplace, resolução de sistemas lineares pelos métodos de escalonamento e Cramer, e classificação de sistemas lineares homogêneos.
O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda conceitos como matriz identidade, matriz nula, operações entre matrizes, regras para calcular determinantes, propriedades dos determinantes, sistemas lineares e os métodos para resolvê-los, como escalonamento e regra de Cramer.
O documento apresenta os principais conceitos sobre matrizes em álgebra linear. Introduz o conceito de matriz e como representar tabelas numéricas dispostas em linhas e colunas por meio de matrizes. Apresenta diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, identidade e transposta. Também explica operações básicas com matrizes como adição, subtração, multiplicação por escalar e multiplicação de matrizes.
1. O documento apresenta exercícios sobre determinantes de matrizes, incluindo propriedades como det(A+B)=detA+detB e det(-A)=(-1)^n detA.
2. São discutidos sistemas lineares através da regra de Cramer e posto de matrizes.
3. É mostrado que se uma coluna ou linha de uma matriz for combinação linear das demais, seu determinante será zero.
Geometria Analitica - Matrizes e DeterminantesFernando Alves
Esta aula aborda o conceito de matrizes, explorando sua definição, tipos, operações e propriedades. Inicialmente, definimos matrizes e sua representação. Em seguida, discutimos vários tipos de matrizes, como quadradas, retangulares, diagonais, entre outras.
Avançamos para as operações com matrizes, incluindo adição, subtração, multiplicação e transposição. Finalmente, examinamos as propriedades dessas operações, como comutatividade, associatividade e distributividade.
Ao final da aula, os alunos terão uma compreensão sólida das matrizes, preparando-os para estudos mais avançados em matemática e ciência da computação.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que organiza dados numéricos chamados elementos.
2) Para representar uma matriz, indica-se o número de linhas e colunas e os elementos são dispostos dentro de parênteses ou barras duplas.
3) Existem diferentes tipos de matrizes como quadrada, diagonal, nula e identidade. Sua classificação depende do número e valores dos elementos.
O documento apresenta um resumo de um curso introdutório sobre álgebra matricial, abordando tópicos como espaços vetoriais, transformações lineares e métodos numéricos. É introduzido o conceito de matrizes e operações matriciais, como soma, subtração, multiplicação por escalar e produto. Propriedades como transposta, traço e inversa também são explicadas.
2. 2
CÓDIGO DA DISCIPLINA: FIM0431
Carga Horária Teórica: 44 horas
Carga Horária Prática: 0 horas
Carga Horária Campo: 22 horas
EMENTA:
Sistemas Lineares. Espaços vetoriais. Transformações lineares. Autovalores e autovetores.
OBJETIVO(S) GERAL (IS):
Adquirir e aplicar os conhecimentos de álgebra linear na resolução de problemas e situações
concretas em Engenharia.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS :
1. Compreender o conceito de vetor.
2. Utilizar o cálculo com matrizes na resolução de sistemas lineares
3. Compreender o conceito de espaços vetoriais
4. Aplicar o conceito de Transformação Linear na resolução de problemas
5. Calcular Autovalores e Autovetores
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
Unidade I - SISTEMAS LINEARES
1.1 Matrizes e Determinantes
1.2 Discussão e Resolução de Sistemas Lineares
1.3 Métodos da Substituição, Regra de Cramer, Escalonamento e Matriz inversa
Unidade II - ESPAÇOS VETORIAIS
2.1 Definição.
2.2 Subespaços Vetoriais - Definição; Subespaços Gerados
2.3 Dependência e Independência Linear; Base e Dimensão.
Unidade III - TRANSFORMAÇÕES LINEARES
3.1 Definição e Propriedades; Matriz de uma Transformação
3.2 Operações com Transformações Lineares
3.3 Transformações Lineares no Plano e no Espaço
Unidade IV - AUTOVALORES E AUTOVETORES
4.1 Definição; Polinômio Característico.
4.2 Determinação dos Autovalores e Autovetores de um Operador
4.3 Diagonalização
PROCEDIMENTOS DE ENSINO:
Aulas Teóricas:
Aulas expositivas dialogadas com apresentação dos conteúdos relevantes e potencialmente
significativos, exemplificações e discussão dos resultados. Resolução de exercícios,
objetivando desenvolver habilidades. Uso de transparências e de outros recursos didáticos.
Atividades de Campo:
Serão desenvolvidas atividades de pesquisa e aplicação na prática (p. ex: lista de exercícios,
simulações computacionais) dos conhecimentos estudados na disciplina pelos alunos, sob a
orientação do professor.
AVALIAÇÃO:
Aulas Teóricas:
Consiste na avaliação continuada do desempenho dos alunos, sendo sistematizado em três
momentos no calendário acadêmico: AV1, AV2 e AV3.
Atividades de Campo:
Apresentação de relatório das atividades de pesquisa e aplicações práticas.
3. 3
1 MATRIZES
1.1 NOTAÇÃO GERAL
Denomina-se matriz toda tabela disposta em linhas e colunas que encontram-se entre
parênteses ou colchetes.
Normalmente, as matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas acompanhados do duplo índice ij que representam,
respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento se encontra.
EXERCÍCIO
1) Construa a matriz A = (aij)2x3 tal que aij =
i j se i j
i jse i j
2
2
, :
, : e a matriz B = (bij) 3x3 tal
que bij =
3
22
i jse i j
i jse i j
, :
, : .
1.2 DENOMINAÇÕES ESPECIAIS DAS MATRIZES
MATRIZ LINHA
É toda matriz com uma única linha.
MATRIZ COLUNA
É toda matriz com uma única coluna.
MATRIZ QUADRADA
É toda matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e de colunas. Esse
tipo de matriz possui duas diagonais: a diagonal principal e a diagonal secundária.
MATRIZ NULA
É toda matriz que seus elementos são nulos.
MATRIZ DIAGONAL
É toda matriz quadrada que os elementos que não se encontram na diagonal principal
são nulos.
MATRIZ IDENTIDADE
É toda matriz quadrada que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os
demais iguais a zero.
MATRIZ TRANSPOSTA
É toda matriz obtida pela troca ordenada de suas linhas por suas colunas. Denota-se a
matriz transposta de A por At
.
MATRIZ SIMÉTRICA
É toda matriz quadrada de ordem n que A = At.
MATRIZ OPOSTA
Chama-se matriz oposta de A a matriz obtida pela troca de todos os sinais de seus
elementos.
EXERCÍCIOS
2) A matriz A = 1 0 0 é do tipo:
( a ) diagonal ( b ) 1x3 ( c ) nula ( d ) 1x1
4. 4
3) Sendo a matriz A =
1 1
1 1
, a oposta de sua transposta é:
( a )
1 1
1 1 ( b )
1 0
0 1
( c )
1 1
0 0
( d )
1 1
1 1
1.3 IGUALDADE DE MATRIZES
Diz-se que duas matrizes A e B, do mesmo tipo, são iguais se, e somente se, todos os
elemento que ocupam a mesma posição, são idênticos.
EXERCÍCIO
4) Para que A =
765
143
1021
z
y
x
seja uma matriz simétrica, quanto deverá valer x, y e z?
1.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES
1.4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
São operações que só podem ser efetuadas entre matrizes do mesmo tipo. A matriz
resultante dessas operações é encontrada através da soma ou da subtração dos elementos
que ocupam a mesma posição.
1.4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dado um número real x e uma matriz A, o produto de x pela matriz A é a matriz obtida
pela multiplicação de x por todos os elementos da matriz A.
EXERCÍCIO
5) Calcule X na equação 3X – A + 2B = 0, sabendo que A =
1 3 1
3 2 1
1 1 2
e B =
1 2 3
1 1 3 2
1 2 3 1
/
/
.
1.4.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
O produto de uma matriz A por uma matriz B, é a matriz C onde cada um de seus
elementos é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima
linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
EXERCÍCIOS
6) Sejam as matrizes A =
2
0
1
3
1
4
e B =
1
2
2
0
3
4
, caalcule:
a) AxB b) BxA
7) Dadas A =
13
11
e B =
32
75
, calcule A x Bt + At x B, se possível.
5. 5
8) Dadas a matriz A =(aij)2x3 tal que aij =
i j se i j
i jse i j
2
2
, :
, : e a matriz
B = (bij)3x4 tal que bij =
i jse i j
i jse i j
, :
, :2 de forma que do produto de A X B obtenha-se a
matriz C. Determine o elemento c22.
1.5 MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A’ ,de mesma ordem,
tal que A x A’ = In = A’ x A, dizemos então que a matriz A’ é inversa de A e denotamos A -1.
EXERCÍCIOS
9) Calcule a matriz inversa, se existir, de A =
2 1
3
2
1
2
.
10) Calcule a matriz inversa, se existir, de A =
53
32
.
11) Sendo A =
0 1
2 3
, calcule A-1 caso exista.
1.6 DETERMINANTES
Chama-se determinante o número associado a uma matriz quadrada.
1.6.1 DETERMINANTE DE 1ª ORDEM
Dado uma matriz A, de 1ª ordem, seu determinante é o próprio elemento de A.
1.6.2 DETERMINANTE DE 2ª ORDEM
Dado uma matriz A, de 2ª ordem, seu determinante é a diferença encontrada entre o
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal
secundária.
1.6.3 DETERMINANTE DE 3ª ORDEM
O determinante de uma matriz A de 3ª ordem pode ser feito através de um dispositivo
denominado regra de Sarrus, que consiste primeiramente na repetição das duas primeiras
colunas ao lado da terceira, para então somarmos os produtos encontrados pelos elementos
da diagonal principal e suas paralelas e os produtos encontrados pelos elementos da diagonal
secundária e suas paralelas, e finalmente, nessa ordem, determinar essa diferença.
6. 6
EXERCÍCIOS
12) Calcule o valor de x na equação
3 1 2 3
2 1 1
2 0 4
x
x
= 12.
13) Resolva em R a inequação
2
1 1 0
0 1
0
x x
x
.
14) Calcule o(s) valor(es) de x Î R em
1 1
0 1
1 3 3
0
x
x
.
1.7 MATRIZ ADJUNTA
1.7.1 MENOR COMPLEMENTAR
Chamamos de menor complementar relativo ao elemento aij de uma matriz A,
quadrada de n > 1, o determinante MCij, de ordem n -1, associado à matriz obtida de A quando
excluímos a linha e a coluna de aij.
1.7.2 COFATOR
Chamamos de cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o
número Aij, tal que Aij = (-1)i + j x MCij. Denota-se a matriz dos cofatores de A por A .
1.7.3 MATRIZ ADJUNTA
Chamamos de matriz adjunta de A a matriz transposta da matriz dos cofatores de A.
Denota-se adj A.
EXERCÍCIOS
15) Determine a matriz adjunta de A =
3 0 2
6 5 1
1 4 0
.
16) Calcule a matriz adjunta da matriz A =
1 0 3
2 1 1
0 1 0
.
1.8 TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz quadrada A, quando sua ordem for maior que 2, pode
ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da
matriz A pelos respectivos cofatores.
a
i
ijijAaA
1
det
7. 7
EXERCÍCIOS
17) Calcule, utilizando o Teorema de Laplace, os determinantes das seguintes matrizes:
a)
650
212
432
b)
3201
1113
0200
1432
c)
0010
1000
2002
3110
18) O determinante de
0300
210
021
100
x
x
x
está representado pelo polinômio:
( a ) x2 + 1 ( b ) –x2 – 1 ( c ) 3x2 – 1 ( d ) 3(x2 + 1) ( e ) 3(x + 1)(x – 1)
19) O determinante da matriz
ab
ba
, onde 2a = ex + e–x e 2b = ex – e–x é igual a:
( a ) 1 ( b ) –1 ( c ) ex ( d ) e–x ( e ) 0
1.9 SISTEMAS LINEARES
1.9.1 EQUAÇÃO LINEAR
É toda equação na forma axaxax axbnn11 22 33 ... , onde os valores de a
são os coeficientes reais de x e b é um número real chamado de termo independente.
1.9.2 SISTEMA LINEAR
É todo conjunto de equações lineares na forma:
ax ax ax ax b
ax ax ax ax b
ax ax ax ax b
nn
nn
m m m mnn m
111 122 133 1 1
211 222 233 2 2
11 22 33
...
...
...
, com m equações e n incógnitas.
Chamamos de n-upla, de números reais, a solução simultânea de todas as equações
do sistema.
1.9.3 ASSOCIAÇÃO DE UMA MATRIZ A UM SISTEMA LINEAR
MATRIZ INCOMPLETA
É a matriz formada somente pelos coeficientes das incógnitas do sistema linear.
MATRIZ COMPLETA
É a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema linear, acrescida de
uma última coluna com os termos independentes.
8. 8
1.9.4 SISTEMA HOMOGÊNEO
Um sistema é chamado de homogêneo quando todos os termos independentes de
suas equações são nulos. A n-upla (0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema homogêneo e
recebe o nome de solução trivial.
1.9.5 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Um sistema linear pode ser:
possível e determinado (possui apenas uma única solução)
possível e indeterminado (possui infinitas soluções)
impossível (não possui solução)
1.9.6 SISTEMA NORMAL
Um sistema é normal quando possui o mesmo número de equações e incógnitas e o
determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Assim, se m = n e det A ¹ 0, o sistema é normal.
1.10 REGRA DE CRAMER
Chama-se regra de Cramer a técnica usada para solucionar um sistema linear.
Fazendo x
D
Di
xi
, onde D é o determinante da matriz incompleta associada ao
sistema e Dxi é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna
i pela coluna formada pelos termos independentes.
1.11 SISTEMAS EQUIVALENTES
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
1.11.1 PROPRIEDADES DOS SISTEMAS EQUIVALENTES
Trocando-se de posição as equações de um sistema linear, obtém-se um outro sistema
equivalente.
Multiplicando-se uma equação do sistema linear por um número real diferente de zero,
obtém-se um outro sistema equivalente.
Adicionando-se a uma das equações do sistema linear o produto de uma outra
equação desse mesmo sistema por um número real diferente de zero, obtém-se um outro
sistema equivalente.
1.12 SISTEMAS ESCALONADOS
O procedimento para o escalonamento de um sistema é o seguinte:
1º - Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente
de zero.
2º - Utilizando as propriedades dos sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da
1ª incógnita das demais equações.
3º - Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.
4º - Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
9. 9
EXERCÍCIOS
20) Resolva, por substituição, e classifique os sistemas abaixo:
a)
x y z
x y z
x y z
3
2 0
3 2 6
. b)
x y z
x y z
x y z
3
4 1
2 4 4
.
21) Resolva, por substituição, e classifique os sistemas abaixo:
a)
3 1
2
4
x y z w
x y z
y z
b)
2 7
2 5
3 6
x y z w
y z w
y z
22) Resolva, utilizando a regra de Cramer, e classifique os sistemas abaixo:
a)
x y z
x y z
x y z
2 3 1
2 5 8 3
5 12 19 7
. b)
x y z
x y z
x y z
2 4
3 11
2 6 6
23) Resolva, por escalonamento, e classifique os sistemas abaixo:
a)
x y z
x y z
x y z
2 3 2
2 4 5 3
3 5 6 4
. b)
x y z
x y z
x y z
2 4
3 11
2 6 6
24) Resolva, utilizando o método da matriz inversa, e classifique os sitemas abaixo:
a)
x y z
x y z
x y z
2 3
2 1
3 2 2
. b)
x y z
x y z
x y z
2
2 4 5 8
9 8 50
25) Calcule a n-upla que satisfaz o sistema
x y
y z
z x
1
2
3
e classifique-o.
26) Calcule os valores de m e p de modo que o sistema
x z p
y z
z mx
3
2
tenha uma infinidade de
soluções.
27) Resolva o sistema linear
42
32
22
12
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
.
10. 10
2 ESPAÇOS VETORIAIS
2.1 VETORES NO PLANO
No plano cartesiano ortogonal um ponto P do plano é identificado pelo par (a,b) de
números reais, onde as quantidades a e b são as coordenadas do ponto P.
Os segmentos orientados com ponto inicial na origem e ponto final em P, são
denominados vetores no plano e são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, uma
vez que o ponto inicial é fixo na origem.
A cada ponto no plano P(a,b) é associado um único vetor v = OP e, reciprocamente,
dado um vetor, este fica associado a um único ponto do plano, que é seu ponto final.
Desta forma, um vetor v = OP é representado, simplesmente, pelas coordenadas do
seu ponto final P(a,b). Usamos a notação v ou v = (a,b) para identificar um vetor cujo ponto
final é (a,b).
A origem do plano fica associada a um vetor denominado vetor nulo, que tem os
pontos inicial e final coincidentes com a origem. O vetor nulo é representado por 0 = (0,0).
O oposto de um vetor v = OP é o vetor w = OQ , que tem o mesmo comprimento e
direção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a,b), então w = (-a,-b) e denotamos w = –
v.
2.1.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO PLANO
a) Multiplicação de um vetor v por um escalar k:
• Se k > 0, o vetor w = kv possui mesma direção de v e comprimento k vezes o comprimento
de v.
• Se k < 0, o vetor w = kv será igual ao oposto do vetor |k|v.
• Se k = 0, w = kv será o vetor nulo.
A multiplicação de um vetor por um escalar corresponde à multiplicação de cada coordenada
desse vetor por esse escalar. Assim, se v = (a,b) e w = kv, então w = (ka,kb).
b) Adição de dois vetores:
• Se v = (a,b) e w = (c,d), então o vetor soma será v + w = (a + c, b + d).
• A soma de um vetor v = (a,b) com seu oposto w = -v = (-a,-b) é o vetor nulo.
Isto é, v + w = v + (-v) = (a - a, b - b) = (0,0).
• A diferença entre dois vetores v e w, é a soma do primeiro com o oposto do segundo vetor:
v – w = v + (-w).
2.2 VETORES NO ESPAÇO
Analogamente ao caso de vetores no plano, podemos estender a idéia de vetor ao
espaço tridimensional, onde um ponto P do espaço é identificado com uma terna de números
reais (x,y,z), onde x, y e z são as coordenadas do ponto P.
Agora cada ponto do espaço P(a,b,c) é associado um único vetor v = OP e,
reciprocamente, dado um vetor, este fica associado a um único ponto do espaço, que é seu
ponto final.
Assim, um vetor v = OP é representado pelas coordenadas do seu ponto final
P(a,b,c).
Denotamos v =
c
b
a
ou v = (a,b,c) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b,c).
A origem do espaço representa o vetor nulo 0 = (0,0,0).
Se V é o conjunto de vetores no espaço, então V = {(x1, x2, x3); xi R} = R×R×R = R3.
11. 11
2.2.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO
Sejam u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3) vetores no espaço. A soma de dois vetores e o
produto de um vetor por um escalar, são denotados respectivamente por u + v e ku, e são
definidos da forma: u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) e ku = (kx1, kx2, kx3).
2.2.1.1 PROPRIEDADES
Sejam u, v, w V e a, b escalares quaisquer, então podem ser facilmente verificadas
as propriedades seguintes:
i) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa)
ii) u + v = v + u (comutativa)
iii) existe 0 V tal que u + 0 = u, onde 0 é chamado vetor nulo (existência de elemento neutro)
iv) existe –u V tal que u + (-u) = 0 (existência de simétrico aditivo)
v) a(u + v) = au + av
vi) (a + b)v = av + bv
vii) (ab)v = a(bv)
viii) 1u = u
2.3 ESPAÇOS VETORIAIS
Um espaço vetorial real é um conjunto V ≠ , sobre o qual estão definidas duas
operações: soma e multiplicação por escalar, tais que, para quaisquer u,v,w V e a,b R, as
propriedades de i a vii sejam satisfeitas.
Se ao invés de escalares reais, tivermos escalares complexos, V será um espaço
vetorial complexo.
Neste contexto, a palavra vetor é utilizada de maneira mais geral, ou seja, designa um
elemento de um espaço vetorial. Contudo, considerando o espaço vetorial das matrizes
quadradas reais de ordem 2, denotado por V = M(2,2), um vetor deste espaço será na
realidade uma matriz real 2x2.
Notas:
1 – Retas que passam pela origem são espaços vetoriais.
2 – Planos que passam pela origem são espaços vetoriais.
3 – O elemento de um espaço vetorial é chamado de vetor.
2.3.1 SUPESPAÇOS VETORIAIS
Dado um espaço vetorial real V, um subconjunto W ≠ , será um subespaço vetorial
de V se:
i) u,v W u + v W
ii) a R, u W au W
A definição acima garante que operações realizadas em W, no caso a adição e a
multiplicação por escalar, resultam em elementos de W, sendo o suficiente para afirmar o
próprio W é um espaço vetorial. As operações são bem definidas e não é preciso verificar as
sete propriedades que definem um espaço vetorial, pois, sendo válidas em V, que contém W,
também o são em W.
Todo subespaço W V, necessariamente contém o vetor nulo (devido à definição ii). É
fácil verificar esta condição, quando se faz a = 0.
Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços, denominados subespaços
triviais, o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial (0 e V).
12. 12
EXERCÍCIOS
28) Verifique quais, dentre os subconjuntos abaixo, são subespaços vetoriais?
a) {(x, y) R2 / x = y} b) {(x, y, z) R3 / x = y = 2z}
c) {(x, y, z) R3 / x2 = y} d) {(x, y, z, w) R4 / x + z = y + w}
e) {(x, y) R2 / x + 1 = y} f) {(x, y, z, w) R4 / x – 2y = 3z + w}
g) {(x, y) R2 / x3 = y}
2.4 COMBINAÇÃO LINEAR
Consideremos um espaço vetorial real V (ou complexo), v1, v2, ..., vn V e a1, a2, ..., an
números reais (ou complexos). Chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn como sendo o
vetor v V, definido por v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn.
EXERCÍCIOS
29) Dados os vetores v = (1, -2, 1), v1 = (1, 0, 1) e v2 = (0, 2, 0). Verifique se v é combinação
linear de v1 e v2.
30) Sendo v = (1, 3, -4) R3 e v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 2), v3 = (0, -1, 1) e v4 = (0, 0, 1).
Verifique se v pode ser escrito como combinação linear de v1, v2, v3 e v4.
31) Escreva o vetor v = (0, 1) R2 como combinação linear dos vetores v1 = (3, 2) e v2 = (2, 2).
32) Sendo o vetor v = (1, -1, 4) R3. Escreva-o como combinação linear dos vetores
v1 = (1, -3, 4), v2 = (1, -3, 2) e v3 = (0, 0, 1).
2.5 SUBESPAÇO GERADO
Fixados os vetores v1, v2, ..., vn V, o conjunto W de todos os vetores que são
combinação linear dos vi (i = 1, 2, ..., n) é chamado subespaço gerado pelos vi e usamos a
notação: W = [v1, v2, ..., vn].
Escrevendo W = [v1, v2, ..., vn] = {v V: v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn, ai R, 1 ≤ i ≤ n},
onde W é o “menor” subespaço de V que contém o conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn}. O termo
“menor” significa que qualquer outro subespaço W’ de V que contenha {v1, v2, ..., vn} deverá
satisfazer W’ W.
13. 13
EXERCÍCIOS
33) Sendo V o conjunto de vetores v1 = (1, 0, -1), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (0, 1, 1). Determine o
subespaço gerado por esses vetores. Escreva a solução em equação cartesiana.
34) Verifique se W R3 gerado por u1 = (1, 1, -1), u2 = (2, 3, -1) e u3 = (3, 1, -5), é o mesmo
subespaço gerado por v1 = (1, -1, -3), v2 = (3, -2, -8) e v3 = (2, 1, -3). Escreva a solução em
equação cartesiana.
35) Sendo V o conjunto de vetores v1 = (1, -2, 0), v2 = (2, -1, -1) e v3 = (0, 3, -1). Determine o
subespaço gerado por esses vetores. Escreva a solução em equação cartesiana.
36) Determine o subespaço W V, sendo V o conjunto formado pelos vetores v1 = (1, -1, 0, 2),
v2 = (3, 5, 2, -4) e v3 = (5, 3, 6, 1). Escreva a solução em equação cartesiana.
2.6 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam V um espaço vetorial e v1, ... , vn V. Dizemos que o conjunto {v1, ... , vn} é
linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, ... , vn são LI, se (a1, ... , an) = (0, ... , 0)
for a única solução da equação
a1v1 + ... + anvn = 0.
Se existir algum a1 0, que satisfaça a equação anterior dizemos que {v1, ... , vn} é
linearmente dependente (LD), ou que os vetores v1, ... , vn são LD.
O conjunto de vetores { v1, ... , vn} é LD se, e somente se existe um vi neste conjunto
que é combinação linear de v1, v2, ... , vi-1, vi+1, ... , vn.
Um conjunto de vetores é LI se, e somente se nenhum deles for uma combinação
linear dos outros.
EXERCÍCIOS
37) Verifique se v1 = (1, 2, 3) e v2 = (2, 4, 6) são LD ou LI.
38) Sejam V = R2 e o conjunto P = {(1, –1), (1, 0), (1, 1)}. Verifique se P é LD ou LI.
39) Dados v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, 2, 3). Verifique se são LD ou LI.
40) Verifique se o conjunto de vetores do R4, v1 = (1, 0, -1, 0), v2 = (0, 1, 1, 1) e v3 = (1, 1, 0, 1)
são LD ou LI.
14. 14
41) Verifique se o conjunto de matrizes A =
11
01
, B =
11
20
e C =
00
11
é LD ou LI.
42) Verifique se as matrizes A =
43
21
, B =
43
21
e C =
43
21
são LD ou LI.
2.7 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Um conjunto {v1, ... , vn} de vetores de um espaço vetorial V será uma base de V se
este conjunto for LI e se ele gerar o espaço, ou seja:
i) {v1, ... , vn} é LI
ii) [v1, ... , vn] = V
Sejam v1, v2, ..., vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, dentre
estes vetores podemos extrair uma base de V.
Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, ..., vn. Então,
qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto
LI tem no máximo n vetores).
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos.
Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dimV.
Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser
completado de modo a formar uma base de V.
Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.
Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então
dimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Além disso,
dim(U + W) = dimU + dimW – dim(U∩W).
Dada uma base β = {v1, v2, ..., vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única
como combinação linear de v1, v2, ..., vn.
EXERCÍCIOS
43) Exiba uma base para cada um dos subespaços W, gerado pelos conjuntos de vetores a
seguir, determine sua dimensão e descreva W em equações paramétricas.
a) {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (-1, 0, 1), (1, 4, 7)} do R3. b) {(1, -1, 0, 2), (3, 5, 2, -4), (5, 3, 6, 1)} do R4.
c) {(1, 1, -1, 0), (4, 8, -4, -3), (2, 5, 2, 4)} do R4. d) {(1, 1, -1), (2, 3, -1), (3, 1, -5)} do R3.
44) Sejam W1 = {(x, y, z, w) / x = y, z = w} e W2 = {(x, y, z, w) / x – y + z + w = 0} subespaços
vetoriais do R4, determine: uma base e a dimensão de W1; uma base e a dimensão de W2; uma
base e a dimensão de W1 + W2; e, W1 W2 em equações paramétricas, sua base e dimensão.
15. 15
2.8 MUDANÇA DE BASE
COORDENADAS DE UM VETOR EM RELAÇÃO A UMA BASE
= {e1, e2} base canônica do R2
.
v = (x, y)
v = xe1 + ye2
’ = {v1, v2} base do R2
.
v = (x’, y’)
v = x’v1 + y’v2
COMO RELACIONAR AS COORDENADAS (x, y) COM (x’, y’) DO VETOR v?
Seja = {(1, 0), (0, 1)} base canônica do R2
. ’ = {(a, b), (c, d)} base do R2
.
v = (x, y) = xe1 + ye2
v = (x’, y’) = x’v1 + y’v2 = x’(a, b) + y’(c, d) = (x’a, x’b) + (y’c, y’d) = (ax’ + cy’, bx’ + dy’)
v = (x’, y’) = x’(ae1 + be2) + y’(ce1 + de2) = (ax’ + cy’)e1 + (bx’ + dy’)e2
'
'
''
''
y
x
db
ca
y
x
dybxy
cyaxx
, logo:
A matriz
db
ca
M é a matriz mudança da base ’ para base .
Portanto, para o cálculo das coordenadas de (v), temos:
(v) = M (v)’
Para o cálculo das coordenadas de (v)’ devemos fazer:
M –1 (v) = M –1 M (v)’
M –1 (v) = I (v)’
I (v)’ = M –1 (v)
(v)’ = M –1 (v)
EXERCÍCIOS
45) Seja ’ = {(1, 1), (–1, 1)} base do R2
e (v)’ = (2, 3). Quais são as coordenadas de (v)?
46) Seja ’ = {(1, 1), (–1, 1)} base do R2
e (v) = (3, 4). Quais são as coordenadas de (v)’?
16. 16
3 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
3.1 DEFINIÇÃO
Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função T :V →W é uma
transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por
escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:
TL1. Para quaisquer v,u V , T(v + u) = T(v) + T(u) .
TL2. Para todo v V e para todo k R, T(k ⋅ v) = k ⋅T(v).
Exemplos:
1) T : R2
→ R2
(x, y) T(x, y) = (−x,− y)
Verificando os axiomas:
TL1. T((x, y) + (z, t)) = T(x, y) + T(z, t), para quaisquer (x, y), (z, t) R2
?
T((x, y) + (z,t)) = T(x + z, y + t) = (−(x + z),−( y + t)) = (−x − z,− y − t)
T(x, y) + T(z, t) = (−x,− y) + (−z,−t) = (−x − z,− y − t)
Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores.
TL2. T(k ⋅ (x, y)) = k ⋅T(x, y) , para todo (x, y) R2
e para todo k R?
T(k ⋅ (x, y)) = T(kx, ky) = (−(kx),−(ky)) = (k(−x), k(− y)) = k ⋅ (−x,− y) = k ⋅T(x, y)
Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar.
Considere v = (1, 2) e u = (−1, 3).
T(v) = T(1, 2) = (−1, −2)
T(u) = T(−1, 3) = (1, −3)
T(v) + T(u) = (−1, −2) + (1, −3) = (0, −5)
T(v + u) = T((1, 2) + (−1, 3)) = T(0, 5) = (0, −5)
T(2 ⋅ v) = T(2 ⋅ (1, 2)) = T(2, 4) = (−2, −4) = 2 ⋅ (−1, −2) = 2 ⋅T(1, 2) = 2 ⋅T(v)
2) T :R3
→ R3
(x, y, z) a T(x, y, z) = (x, y, 0)
T é uma transformação linear (Verifique !)
Esta transformação linear associa a cada vetor do R3
sua projeção ortogonal sobre o
plano XY.
A transformação linear T0: V → W tal que v T0(v) 0w é denominada Transformação
Nula.
Seja a transformação linear T :V → W . Se os conjuntos V e W são iguais, V = W, então
T é denominada um Operador Linear.
O operador linear Iv : V → V tal que v Iv (v) = v é denominado Operador Identidade.
As transformações lineares T :V → R são denominadas Funcionais Lineares.
17. 17
3.2 OPERADORES LINEARES NO ESPAÇO VETORIAL R2
Reflexão em torno do eixo X: T(x, y) = (x, − y) .
Reflexão em torno do eixo Y: T(x, y) = (−x, y) .
Reflexão em torno da origem: T(x, y) = (−x, − y) .
Reflexão em torno da reta x = y : T(x, y) = ( y, x) .
Reflexão em torno da reta x = − y : T(x, y) = (− y, −x) .
EXERCÍCIOS
47) Seja T : R2
→ R2
um operador linear tal que T(2, 3) = (−1, 5) e T(0, 1) = (2, 1). Determine a
lei que define este operador?
48) Qual é a transformação linear T : R2
R3
tal que T(1, 0) = (2, –1, 0) e T(0, 1) = (0, 0, 1)?
49) Ache a transformação linear T : R3
→ R2
tal que T(1, 0, 0) = (2, 0), T(0, 1, 0) = (1, 1) e
T(0, 0, 1) = (0, –1).
50) Sendo a transformação do exercício anterior, encontre v de R3
tal que T(v) = (3, 2).
51) Qual é a transformação linear T : R2
R3
tal que T(1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, –2 ) = (0, 1, 0)?
Ache T(1, 0) e T(0, 1).
52) Seja T : R2
→ R2
um operador linear tal que T(1, 1) = (1, −1) e T(1, 2) = (1, 0). Determine a
lei que define este operador?
53) Ache a transformação linear T : R3
→ R2
tal que T(3, 2, 1) = (1, 1), T(0, 1, 0) = (0, –2) e
T(0, 0, 1) = (0, 0).
54) Sejam = {(1, –1), (0, 2)} e = {(1, 0, –1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2
e R3
respectivamente e
1
1
0
0
1
1
T .
a) Ache T.
b) Se S(x, y) = (2y, x – y, x), ache
S .
18. 18
55) Seja T : R3
R2
tal que T(x, y, z) = (2x + y – z, 3x – 2y + 4z). Sejam = {(1, 1, 1), (1, 1, 0),
(1, 0, 0)} e = {(1, 3), (1, 4)}. Calcule
T .
56) Ache a transformação T do plano no plano que é uma reflexão em torno da reta x = y.
3.3 NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Núcleo de uma transformação linear T : V → W é o conjunto de vetores do espaço vetorial V
cuja imagem é o vetor 0w.
Notação: N(T) = {v V / T(v) = 0w}
Imagem de uma transformação linear T : V → W é o conjunto de vetores de W que são
imagem dos vetores do conjunto V.
Notação: Im(T) = T(V ) = {w W / T(v) = w, para algum v V}
Propriedades
1. N(T ) é um subespaço vetorial de V.
2. Im(T ) é um subespaço vetorial de W.
3. Teorema do Núcleo e da Imagem : dimV = dim N(T ) + dim Im(T )
Exemplo: Seja T : R2
→ R3
tal que T(x, y) = (0, x + y, 0).
N(T ) = {(x, y) R2
/ T(x, y) = (0, 0, 0)}.
Então, T(x, y) = (0, x + y, 0) = (0, 0, 0).
Assim, x + y = 0 x = − y.
Portanto, N(T ) = {(x, y) R2
/ x = − y} = {(− y, y), y R}.
Uma base é {(−1, 1)} e dim N(T ) = 1.
EXERCÍCIOS
57) Seja a transformação linear T(x, y, z) = (x + z, x + y, –x – y) de T : R3
R3
. Calcule:
a) a imagem da base canônica do R3
;
b) uma base e a dimensão para Im(T); e
c) o núcleo de T e sua dimensão.
58) Sendo T : R2
R4
e T(x, y) = (x – y, x + y, x, y), determine:
a) Base da Im(T);
b) Dimensão da Im(T); e
c) N(T).
19. 19
4 AUTOVALORES E AUTOVETORES
4.1 DEFINIÇÃO
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O número real é autovalor de A se existir
um vetor não nulo v tal que:
A.v = .v
Todo vetor não nulo v é chamado de autovetor de A associado ao autovalor .
Autovalores são também chamados de valores próprios ou valores característicos e os
autovetores são chamados de vetores próprios ou vetores característicos.
EXERCÍCIOS
59) Para
42
11
A e = 3, determine seu autovetor.
60) Sendo
42
11
A e seu autovetor
1
1
, calcule o seu autovalor.
61) Se
02/1
2/10
A pode ser associada ao autovalor 1/2, determine o autovetor desse
autovalor.
4.2 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO
Seja a equação A.v = .v, se I for identidade da mesma ordem de A, então a equação
pode ser escrita na forma A.v = (I).v, daí:
(A – I) .v = 0
Essa equação resulta em um polinômio chamado de polinômio característico de A,
onde os valores de são as raízes do polinômio e, portanto, os autovalores da matriz A.
EXERCÍCIOS
62) Encontre os polinômios característicos das matrizes abaixo:
a)
10
21
b)
100
210
321
c)
112
121
211
20. 20
63) Sendo
31
22
A , encontre seus autovalores e seu autovetor(es).
64) Se
21
43
A , quais são seus autovalores e autovetor(es).
65) Se
10
22
A , quais são seus autovalores e autovetor(es).
66) Encontre os autovalores e autovetores de
210
011
024
A .
67) Encontre os autovalores e autovetores de
133
040
331
A .
22. 22
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Introdução à álgebra linear: com aplicações. Rio de
Janeiro: LTC, c2006.
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro, LTC; 2007.
LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra linear: teoria e problemas. 3. ed. rev. e ampl. São Paulo:
Makron, 1994.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2
v.
STEINBRUCH, Alfredo. Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares. São
Paulo: McGraw-Hill, 1989.