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MATRIZES
1C – FRENTE 01
INTRODUÇÃO
João e Maria conseguiram obter as seguintes notas em
matemática, Física e Química:
Com as notas de João e Maria, podemos formar a tabela:
𝐴 =
7 5 6
9 4 5
Essa tabela chamamos de matriz A do tipo 2x3, onde 2 é o
número de linhas, e 3 o número de colunas.
Matemática Física Química
João 7,0 5,0 6,0
Maria 9,0 4,0 5,0
𝐴 =
7 5 6
9 4 5
Identificamos um elemento em uma tabela olhando para a sua
posição.
• Qual foi a nota de João em química ?
• Qual é a posição do número 6 na matriz A ?
Matemática Física Química
João 7,0 5,0 6,0
Maria 9,0 4,0 5,0
DEFINIÇÃO
Chama-se matriz um conjunto de números dispostos numa tabela e distribuídos em
𝑚 linhas e 𝑛 colunas (m, n ∈ 𝑁∗
) .
CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES
As matrizes são classificadas de acordo com seu número de linhas e colunas. Temos
dois casos a considerar.
Quadradas: número de linhas = número de colunas.
Exemplos
𝐴 =
−1 2
0 3
𝐵 =
1 2 5
0 −3 𝑥
1 𝑦 9
, neste caso, 𝑥 e 𝑦 são “números desconhecidos”.
𝐶 = 10
Onde A é de ordem 2, B de ordem 3, C de ordem 1.
Retangulares: número de linhas ≠ número de colunas.
Exemplos
𝐴 =
1 α 14
−2 3 β
𝐵 =
3
6
2
(matriz coluna)
𝐶 = 2 20 (matriz linha)
Onde A tem duas linhas e três colunas, B tem 3 linhas e uma coluna, e C tem
uma linha e duas colunas.
NOTAÇÃO
Dada uma matriz A, cada elemento é denotado por 𝒂𝒊𝒋 onde i é o
número da linha e j é o número da coluna.
Assim, se a matriz A é do tipo 3x3, então a notação da matriz com seus
elementos é:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os elementos 𝑎𝑖𝑗
com 𝑖 = 𝑗 , são os elementos da diagonal principal dessa matriz. Já os
elementos da diagonal secundária satisfazem a condição 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1.
No caso de ordem 3 por exemplo.
Elementos da diagonal principal: 𝑎11, 𝑎22 , 𝑎33.
Elementos da diagonal secundária: 𝑎13, 𝑎22, 𝑎31.
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
IGUALDADE DE DUAS MATRIZES
Dadas duas matrizes 𝐴 e 𝐵 do mesmo tipo, dizemos que 𝐴 = 𝐵 se, e
somente se, os seus elementos correspondentes forem iguais.
Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo m x n (m linhas e n colunas),
temos:
𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗
Exemplo: A =
1 −1
0 1
e 𝐵 =
−1 −1
0 1
são distintas pois 𝑎11 ≠ 𝑏11.
𝐶 = 𝑎 𝑏 3 e 𝐷 =
𝑎
𝑏
3
são distintas pois antes de qualquer coisa, elas nem
são do mesmo tipo.
TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ TRANSPOSTA
Dada uma matriz A do tipo mxn, chama-se matriz transposta de A a
matriz 𝐴𝑡, nxm, obtida a partir de A, onde as linhas de A são as colunas de 𝐴𝑡,
e vice-versa.
Exemplos 𝐴 =
2 −1 0
5 2 1
e 𝐴𝑡
=
2 5
−1 2
0 1
.
𝐵 = 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝐵 𝑡 =
𝑥
𝑦
𝑧
.
𝐶 =
𝑎 𝑏
𝑐 1
e 𝐶 𝑡 =
𝑎 𝑐
𝑏 1
.
Generalizando: Todo elemento 𝑎𝑖𝑗 de A é o elemento 𝑎𝑗𝑖 de 𝐴𝑡.
TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ NULA
Chama-se matriz nula a matriz onde todos os elementos são iguais a zero.
Denotamos por 0.
Exemplo 0 =
0 0 0
0 0 0
*A matriz nula é o elemento neutro da soma de matrizes.
MATRIZ SIMÉTRICA
Chama-se matriz simétrica, toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que
𝐴𝑡
= 𝐴.
Exemplos 𝐴 =
2 1
1 3
e 𝐵 =
1 2 4
2 3 −1
4 −1 3
. Verifique.
TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA
Chama-se matriz antissimétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal
que 𝐴𝑡
= −𝐴 ou equivalentemente 𝐴 = −𝐴𝑡
.
Exemplos C =
0 2
−2 0
e 𝐷 =
0 −2 −1
2 0 −4
1 4 0
. Verifique.
Nem toda matriz quadrada pode ser simétrica ou antissimétrica ! Tal
característica é privilégio de apenas algumas =]
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo
tipo, isto é, tenham mesmo número de linhas e de colunas. Como resultado
da soma temos uma nova matriz C definida por:
𝐶 = 𝐴 + 𝐵, com 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗.
(somar seus elementos correspondentes)
Exemplo na apostila.
Subtração
Para subtrairmos duas matrizes A e B, basta que elas sejam do mesmo
tipo. Analogamente, segue:
𝐶 = 𝐴 − 𝐵, com 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗.
(subtrair seus elementos correspondentes)
Produto de um número por uma Matriz
Definimos o produto de um número por uma matriz mxn como sendo uma
nova matriz mxn, onde multiplicamos cada um dos seus elementos pelo
número dado.
Exemplo na apostila.
Propriedades de soma de Matrizes
Sejam A, B e C matrizes quaisquer do tipo mxn, e 0 a matriz nula. Para a
soma podemos usufruir das seguintes propriedades:
* (A + B) + C = A + (B + C) - PROP. ASSOCIATIVA
* A + B = B + A - PROP. COMUTATIVA
* A + 0 = 0 + A = A - Existência do elemento neutro.
* A + (-A) = (-A) + A = 0 - Existência da matriz oposta. (-A)
Propriedades de multiplicação de uma matriz por um
número e de matrizes transpostas.
Sejam A, B matrizes quaisquer do tipo mxn, e k um número real qualquer.
* (𝐴𝑡
) 𝑡
= 𝐴
* (𝐴 + 𝐵) 𝑡
= 𝐴𝑡 + 𝐵 𝑡
* (𝑘. 𝐴) 𝑡= 𝑘. (𝐴) 𝑡
* 𝑘. 𝐴 + 𝐵 = 𝑘. 𝐴 + 𝑘. 𝐵 – Prop. Distributiva.
MATRIZES
1C – FRENTE 02
INTRODUÇÃO
Consideremos o seguinte exemplo: João e Maria conseguiram em
matemática as seguintes notas nos 4 bimestres do colégio:
Sabendo-se que o colégio adota em cada nota os seguintes pesos:
Como podemos calcular o total de pontos conseguido por João e
Maria ?
1º bi 2º bi 3º bi 4º bi
João 7 5 9 6
Maria 8 6 7 9
1º bi 2º bi 3º bi 4º bi
Peso 1 2 3 3
Efetuando os cálculos:
João 7.1 + 5.2 + 9.3 + 6.3
Maria 8.1 + 6.2 + 7.3 + 9.3
João 62
Maria 68
Vimos na aula anterior como escrever uma matriz a partir das tabelas
dadas.
Considerando
𝑁 =
7 5
8 6
9 6
7 9
e 𝑃 =
1
2
3
3
onde N é a matriz das notas e P é a matriz dos pesos, definimos o produto
da matriz N pela matriz P como sendo
62
68
onde cada elemento é a soma
dos produtos dos elementos da linha da matriz N pela coluna da matriz P.
OBSERVAÇÕES
1. O produto de duas matrizes existe se, e somente se, o número de
colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
2. Se as matrizes A e B são do tipo mxn e nxp, respectivamente, então o
produto C = A.B existe e é uma matriz do tipo mxp.
Exemplo:
𝐴 =
2 3
1 0
4 5
e 𝐵 =
3 1
2 4
, calcular C = A.B
* Teremos uma matriz C do tipo 3x2.
*𝑐11 = 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 1ª 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑐𝑜𝑚 𝑎 1ª 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐵.
*𝑐12 = multiplicação da 1ª linha de A com a 2ª coluna de B.
... E assim por diante.
Resultado:
𝐶 =
2.3 + 3.2 2.1 + 3.4
1.3 + 0.2 1.1 + 0.4
4.3 + 5.2 4.1 + 5.4
𝐶 =
12 14
3 1
22 24
MATRIZ IDENTIDADE
Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os elementos da
diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero.
Exemplos:
𝐼2 =
1 0
0 1
e 𝐼3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
* A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes.
Propriedades de multiplicação de matrizes
Considere as matrizes 𝐴 𝑚𝑥𝑛, 𝐵𝑛𝑥𝑝, e 𝐶 𝑝𝑥𝑞:
*𝐴. 𝐵. 𝐶 = 𝐴. 𝐵. 𝐶 = 𝐴. 𝐵 . 𝐶 – PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
Considere as matrizes 𝐴 𝑚𝑥𝑛, 𝐵 𝑚𝑥𝑛 e 𝐶 𝑛𝑥𝑝:
* 𝐴 + 𝐵 . 𝐶 = 𝐴. 𝐶 + 𝐵. 𝐶 – PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
*𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵. 𝐴 – Não Comutativa de um modo geral.
Considere 𝐴 e B matriz quadrada de ordem n:
*𝐴. 𝐼 𝑛 = 𝐼 𝑛. 𝐴 = 𝐴 – Elemento Neutro (Matriz Identidade)
* 𝐴. 𝐵 𝑡
= 𝐵 𝑡
. 𝐴𝑡
ATIVIDADE
(FMU-SP) O administrador da “Só carrão”, uma cadeia de revenda de
automóveis Tigre e Flecha, montou as seguintes tabelas para controlar as
quantidades vendidas desses carros durante os meses de janeiro, fevereiro e
março de 2002, nas três lojas da rede.
Preço por unidade(milhares de reais)
das lojas A, B e C.
Tigre Flecha
A 20 10
B 18 15
C 22 10
Unidades vendidas:
Pergunta:
Escreva a matriz que representa a receita, em milhares de reais, de cada
loja, nos meses de janeiro, fevereiro e março.
R:
220 350 50
270 405 51
230 370 54
Janeiro Fevereiro Março
Tigre 5 10 2
Flecha 12 15 1

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Matrizes aula 01

  • 2. INTRODUÇÃO João e Maria conseguiram obter as seguintes notas em matemática, Física e Química: Com as notas de João e Maria, podemos formar a tabela: 𝐴 = 7 5 6 9 4 5 Essa tabela chamamos de matriz A do tipo 2x3, onde 2 é o número de linhas, e 3 o número de colunas. Matemática Física Química João 7,0 5,0 6,0 Maria 9,0 4,0 5,0
  • 3. 𝐴 = 7 5 6 9 4 5 Identificamos um elemento em uma tabela olhando para a sua posição. • Qual foi a nota de João em química ? • Qual é a posição do número 6 na matriz A ? Matemática Física Química João 7,0 5,0 6,0 Maria 9,0 4,0 5,0
  • 4. DEFINIÇÃO Chama-se matriz um conjunto de números dispostos numa tabela e distribuídos em 𝑚 linhas e 𝑛 colunas (m, n ∈ 𝑁∗ ) . CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES As matrizes são classificadas de acordo com seu número de linhas e colunas. Temos dois casos a considerar. Quadradas: número de linhas = número de colunas. Exemplos 𝐴 = −1 2 0 3 𝐵 = 1 2 5 0 −3 𝑥 1 𝑦 9 , neste caso, 𝑥 e 𝑦 são “números desconhecidos”. 𝐶 = 10 Onde A é de ordem 2, B de ordem 3, C de ordem 1.
  • 5. Retangulares: número de linhas ≠ número de colunas. Exemplos 𝐴 = 1 α 14 −2 3 β 𝐵 = 3 6 2 (matriz coluna) 𝐶 = 2 20 (matriz linha) Onde A tem duas linhas e três colunas, B tem 3 linhas e uma coluna, e C tem uma linha e duas colunas.
  • 6. NOTAÇÃO Dada uma matriz A, cada elemento é denotado por 𝒂𝒊𝒋 onde i é o número da linha e j é o número da coluna. Assim, se a matriz A é do tipo 3x3, então a notação da matriz com seus elementos é: 𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33
  • 7. Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os elementos 𝑎𝑖𝑗 com 𝑖 = 𝑗 , são os elementos da diagonal principal dessa matriz. Já os elementos da diagonal secundária satisfazem a condição 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1. No caso de ordem 3 por exemplo. Elementos da diagonal principal: 𝑎11, 𝑎22 , 𝑎33. Elementos da diagonal secundária: 𝑎13, 𝑎22, 𝑎31. 𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33
  • 8. IGUALDADE DE DUAS MATRIZES Dadas duas matrizes 𝐴 e 𝐵 do mesmo tipo, dizemos que 𝐴 = 𝐵 se, e somente se, os seus elementos correspondentes forem iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo m x n (m linhas e n colunas), temos: 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 Exemplo: A = 1 −1 0 1 e 𝐵 = −1 −1 0 1 são distintas pois 𝑎11 ≠ 𝑏11. 𝐶 = 𝑎 𝑏 3 e 𝐷 = 𝑎 𝑏 3 são distintas pois antes de qualquer coisa, elas nem são do mesmo tipo.
  • 9. TIPOS DE MATRIZES MATRIZ TRANSPOSTA Dada uma matriz A do tipo mxn, chama-se matriz transposta de A a matriz 𝐴𝑡, nxm, obtida a partir de A, onde as linhas de A são as colunas de 𝐴𝑡, e vice-versa. Exemplos 𝐴 = 2 −1 0 5 2 1 e 𝐴𝑡 = 2 5 −1 2 0 1 . 𝐵 = 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝐵 𝑡 = 𝑥 𝑦 𝑧 . 𝐶 = 𝑎 𝑏 𝑐 1 e 𝐶 𝑡 = 𝑎 𝑐 𝑏 1 . Generalizando: Todo elemento 𝑎𝑖𝑗 de A é o elemento 𝑎𝑗𝑖 de 𝐴𝑡.
  • 10. TIPOS DE MATRIZES MATRIZ NULA Chama-se matriz nula a matriz onde todos os elementos são iguais a zero. Denotamos por 0. Exemplo 0 = 0 0 0 0 0 0 *A matriz nula é o elemento neutro da soma de matrizes. MATRIZ SIMÉTRICA Chama-se matriz simétrica, toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que 𝐴𝑡 = 𝐴. Exemplos 𝐴 = 2 1 1 3 e 𝐵 = 1 2 4 2 3 −1 4 −1 3 . Verifique.
  • 11. TIPOS DE MATRIZES MATRIZ ANTISSIMÉTRICA Chama-se matriz antissimétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que 𝐴𝑡 = −𝐴 ou equivalentemente 𝐴 = −𝐴𝑡 . Exemplos C = 0 2 −2 0 e 𝐷 = 0 −2 −1 2 0 −4 1 4 0 . Verifique. Nem toda matriz quadrada pode ser simétrica ou antissimétrica ! Tal característica é privilégio de apenas algumas =]
  • 12. OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo, isto é, tenham mesmo número de linhas e de colunas. Como resultado da soma temos uma nova matriz C definida por: 𝐶 = 𝐴 + 𝐵, com 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗. (somar seus elementos correspondentes) Exemplo na apostila. Subtração Para subtrairmos duas matrizes A e B, basta que elas sejam do mesmo tipo. Analogamente, segue: 𝐶 = 𝐴 − 𝐵, com 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗. (subtrair seus elementos correspondentes)
  • 13. Produto de um número por uma Matriz Definimos o produto de um número por uma matriz mxn como sendo uma nova matriz mxn, onde multiplicamos cada um dos seus elementos pelo número dado. Exemplo na apostila.
  • 14. Propriedades de soma de Matrizes Sejam A, B e C matrizes quaisquer do tipo mxn, e 0 a matriz nula. Para a soma podemos usufruir das seguintes propriedades: * (A + B) + C = A + (B + C) - PROP. ASSOCIATIVA * A + B = B + A - PROP. COMUTATIVA * A + 0 = 0 + A = A - Existência do elemento neutro. * A + (-A) = (-A) + A = 0 - Existência da matriz oposta. (-A)
  • 15. Propriedades de multiplicação de uma matriz por um número e de matrizes transpostas. Sejam A, B matrizes quaisquer do tipo mxn, e k um número real qualquer. * (𝐴𝑡 ) 𝑡 = 𝐴 * (𝐴 + 𝐵) 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵 𝑡 * (𝑘. 𝐴) 𝑡= 𝑘. (𝐴) 𝑡 * 𝑘. 𝐴 + 𝐵 = 𝑘. 𝐴 + 𝑘. 𝐵 – Prop. Distributiva.
  • 17. INTRODUÇÃO Consideremos o seguinte exemplo: João e Maria conseguiram em matemática as seguintes notas nos 4 bimestres do colégio: Sabendo-se que o colégio adota em cada nota os seguintes pesos: Como podemos calcular o total de pontos conseguido por João e Maria ? 1º bi 2º bi 3º bi 4º bi João 7 5 9 6 Maria 8 6 7 9 1º bi 2º bi 3º bi 4º bi Peso 1 2 3 3
  • 18. Efetuando os cálculos: João 7.1 + 5.2 + 9.3 + 6.3 Maria 8.1 + 6.2 + 7.3 + 9.3 João 62 Maria 68
  • 19. Vimos na aula anterior como escrever uma matriz a partir das tabelas dadas. Considerando 𝑁 = 7 5 8 6 9 6 7 9 e 𝑃 = 1 2 3 3 onde N é a matriz das notas e P é a matriz dos pesos, definimos o produto da matriz N pela matriz P como sendo 62 68 onde cada elemento é a soma dos produtos dos elementos da linha da matriz N pela coluna da matriz P.
  • 20. OBSERVAÇÕES 1. O produto de duas matrizes existe se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. 2. Se as matrizes A e B são do tipo mxn e nxp, respectivamente, então o produto C = A.B existe e é uma matriz do tipo mxp. Exemplo: 𝐴 = 2 3 1 0 4 5 e 𝐵 = 3 1 2 4 , calcular C = A.B * Teremos uma matriz C do tipo 3x2. *𝑐11 = 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 1ª 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑐𝑜𝑚 𝑎 1ª 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐵. *𝑐12 = multiplicação da 1ª linha de A com a 2ª coluna de B. ... E assim por diante.
  • 21. Resultado: 𝐶 = 2.3 + 3.2 2.1 + 3.4 1.3 + 0.2 1.1 + 0.4 4.3 + 5.2 4.1 + 5.4 𝐶 = 12 14 3 1 22 24
  • 22. MATRIZ IDENTIDADE Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero. Exemplos: 𝐼2 = 1 0 0 1 e 𝐼3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . * A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes.
  • 23. Propriedades de multiplicação de matrizes Considere as matrizes 𝐴 𝑚𝑥𝑛, 𝐵𝑛𝑥𝑝, e 𝐶 𝑝𝑥𝑞: *𝐴. 𝐵. 𝐶 = 𝐴. 𝐵. 𝐶 = 𝐴. 𝐵 . 𝐶 – PROPRIEDADE ASSOCIATIVA Considere as matrizes 𝐴 𝑚𝑥𝑛, 𝐵 𝑚𝑥𝑛 e 𝐶 𝑛𝑥𝑝: * 𝐴 + 𝐵 . 𝐶 = 𝐴. 𝐶 + 𝐵. 𝐶 – PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA *𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵. 𝐴 – Não Comutativa de um modo geral. Considere 𝐴 e B matriz quadrada de ordem n: *𝐴. 𝐼 𝑛 = 𝐼 𝑛. 𝐴 = 𝐴 – Elemento Neutro (Matriz Identidade) * 𝐴. 𝐵 𝑡 = 𝐵 𝑡 . 𝐴𝑡
  • 24. ATIVIDADE (FMU-SP) O administrador da “Só carrão”, uma cadeia de revenda de automóveis Tigre e Flecha, montou as seguintes tabelas para controlar as quantidades vendidas desses carros durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2002, nas três lojas da rede. Preço por unidade(milhares de reais) das lojas A, B e C. Tigre Flecha A 20 10 B 18 15 C 22 10
  • 25. Unidades vendidas: Pergunta: Escreva a matriz que representa a receita, em milhares de reais, de cada loja, nos meses de janeiro, fevereiro e março. R: 220 350 50 270 405 51 230 370 54 Janeiro Fevereiro Março Tigre 5 10 2 Flecha 12 15 1