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 Origem da matriz:
 O primeiro vestígio de matrizes foi escrito durante a dinastia Han
entre  200 a.C e 300 a.C no texto texto “Nove Capítulos da Arte
Matemática”. Mas o 1º a usar o termo “matriz” foi Sylvester
em 1850 que ao voltar a Inglaterra conheceu Cayley e
compartilharam seus interesses na matemática. Cayley percebeu
rapidamente o significado do conceito de matriz e por volta
de 1853, Cayley havia publicado uma nota apresentando pela
primeira vez a inversa de uma matriz.
 O uso das matrizes no dia-a-dia:
• Imagens de internet (GIF, JPEG)
• Planilhas eletrônicas (Excel)
 Uma matriz pode ser representada de três formas:
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
Colchetes Parênteses
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Elemento
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 Vamos ver algumas definições úteis:
Matriz A ( m linha e n colunas )
Elemento qualquer que está na linha i e na
coluna j
 Uma matriz pode ser descrita também através de uma lei
de formação. Exemplo: A = (a ) onde a = i + j:
ij 2x3 ij
A = (a )ij 2x3
a = i + j
ij
A = =
 Matriz linha: Só tem uma linha.
Exemplo:
 Exercício - Matriz linha:
 a) Escreva a matriz linha do tipo 1x4 tal que
aij = 2i + 3j.
 Matriz coluna: Só tem uma coluna
 Exemplo:
A =
 Matriz quadrada: m = n
 Exemplo 1: Exemplo 2:
 Exercícios – Matriz quadrada
 (PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em
que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. 
 Matriz triangular inferior: Matriz em que os elementos acima da
diagonal são iguais a zero.
 Exemplo 1: Exemplo 2:
 Matriz triangular superior: Matriz em que os elementos
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
 Exemplo 1: Exemplo 2:
A =
 Matriz diagonal
Exemplo 1: Exemplo 2:
Exercício – Matriz diagonal
Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos
diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição aij = i - 3j.
 Matriz identidade: os elementos que pertencem à diagonal
principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não
pertencem à diagonal principal são iguais a zero. 
 Exemplo: Matriz de ordem 2:
Matriz de ordem 3:
 Matriz nula: é qualquer matriz onde todos os elementos
são 0. 
A =
 Se A = B, então:
• a=
• b=
• c=
• d=
A =
1
2
3
4
B =
a
c
b
d
 Exercício: Determine x e y para que as matrizes A e B
sejam iguais:
 Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta
somarmos os elementos correspondentes. Exemplo:
A =
1 2
3
4 5 6
B =
2 5 4
1 2 9
A + B = =
 Exercício:  Determine a matriz C, resultado da soma da
matriz A e B:
 A = 2 0 -4 B = 2 3 2
10 7 1 0 4 7
C = C =
 Exemplo:
2 . 1 2
3 4 =
 Considerando a matriz: -2 3
4 -5
, determine:
a) 4 . ( A + B)
A= E
B= 1 0
2 1
 Exercício: Determine a matriz oposta de
e depois determine (–A + A):
 Para calcular A-B as matrizes devem ser da mesma ordem.
 Exemplo: Dada a matriz A =  e a matriz B =
, se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos: 
 Para que seja possível: colunas da 1ª matriz deve ser
igual ao nº de linhas da segunda. Exemplo:
B = 2 1
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4 5
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 Exercício: Seja A= 1 4 e B= 1 :
2 5
3 6 2
a) Existe o produto AB? Justifique:
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c) Calcule o produto AB:
 Exemplo 1:
 Exemplo 2:
B =
 Exercício: a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = i.3 + 3j.
b) Determine a matriz transposta da obtida no item A.
 É quando uma matriz e sua transposta são
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Matrizes - Completo com exercícios

  • 1.
  • 2.  Origem da matriz:  O primeiro vestígio de matrizes foi escrito durante a dinastia Han entre  200 a.C e 300 a.C no texto texto “Nove Capítulos da Arte Matemática”. Mas o 1º a usar o termo “matriz” foi Sylvester em 1850 que ao voltar a Inglaterra conheceu Cayley e compartilharam seus interesses na matemática. Cayley percebeu rapidamente o significado do conceito de matriz e por volta de 1853, Cayley havia publicado uma nota apresentando pela primeira vez a inversa de uma matriz.
  • 3.  O uso das matrizes no dia-a-dia: • Imagens de internet (GIF, JPEG)
  • 5.  Uma matriz pode ser representada de três formas: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Colchetes Parênteses Barra dupla
  • 7.  Vamos ver algumas definições úteis: Matriz A ( m linha e n colunas ) Elemento qualquer que está na linha i e na coluna j
  • 8.  Uma matriz pode ser descrita também através de uma lei de formação. Exemplo: A = (a ) onde a = i + j: ij 2x3 ij A = (a )ij 2x3 a = i + j ij A = =
  • 9.  Matriz linha: Só tem uma linha. Exemplo:
  • 10.  Exercício - Matriz linha:  a) Escreva a matriz linha do tipo 1x4 tal que aij = 2i + 3j.
  • 11.  Matriz coluna: Só tem uma coluna  Exemplo: A =
  • 12.  Matriz quadrada: m = n  Exemplo 1: Exemplo 2:
  • 13.  Exercícios – Matriz quadrada  (PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. 
  • 14.  Matriz triangular inferior: Matriz em que os elementos acima da diagonal são iguais a zero.  Exemplo 1: Exemplo 2:
  • 15.  Matriz triangular superior: Matriz em que os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.  Exemplo 1: Exemplo 2: A =
  • 17. Exercício – Matriz diagonal Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição aij = i - 3j.
  • 18.  Matriz identidade: os elementos que pertencem à diagonal principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.   Exemplo: Matriz de ordem 2: Matriz de ordem 3:
  • 19.  Matriz nula: é qualquer matriz onde todos os elementos são 0.  A =
  • 20.  Se A = B, então: • a= • b= • c= • d= A = 1 2 3 4 B = a c b d
  • 21.  Exercício: Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais:
  • 22.  Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta somarmos os elementos correspondentes. Exemplo: A = 1 2 3 4 5 6 B = 2 5 4 1 2 9 A + B = =
  • 23.  Exercício:  Determine a matriz C, resultado da soma da matriz A e B:  A = 2 0 -4 B = 2 3 2 10 7 1 0 4 7 C = C =
  • 24.  Exemplo: 2 . 1 2 3 4 =
  • 25.  Considerando a matriz: -2 3 4 -5 , determine: a) 4 . ( A + B) A= E B= 1 0 2 1
  • 26.  Exercício: Determine a matriz oposta de e depois determine (–A + A):
  • 27.  Para calcular A-B as matrizes devem ser da mesma ordem.  Exemplo: Dada a matriz A =  e a matriz B = , se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos: 
  • 28.  Para que seja possível: colunas da 1ª matriz deve ser igual ao nº de linhas da segunda. Exemplo: B = 2 1 3 2 4 5 A = 1 2 3 3 1 1
  • 29.  Exercício: Seja A= 1 4 e B= 1 : 2 5 3 6 2 a) Existe o produto AB? Justifique: b) Existe o produto BA? Justifique: c) Calcule o produto AB:
  • 30.  Exemplo 1:  Exemplo 2: B =
  • 31.  Exercício: a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = i.3 + 3j. b) Determine a matriz transposta da obtida no item A.
  • 32.  É quando uma matriz e sua transposta são iguais. Exemplo: Dada a matriz A = , sua transposta será?  Toda matriz identidade é simétrica.
  • 33.  A . A = In e A . A = In  A= 5 1 4 1 -1 -1