1) Uma matriz é um conjunto de elementos agrupados em tabela com linhas e colunas. Existem diferentes tipos como quadrada, retangular, nula e identidade. 2) Podemos realizar operações como soma, subtração e multiplicação entre matrizes seguindo certas regras. O determinante fornece informações sobre a inversibilidade. 3) Uma matriz inversa existe quando a multiplicação da matriz original com outra resulta na identidade, e possui propriedades únicas.

1. Matemática
Mário
Matrizes Observação: Matrizes retangulares não possuem
nenhuma diagonal, portanto não podem ser matrizes
diagonais ou identidades.
Definição: Uma matriz é um conjunto de elementos
agrupados em uma “tabela” de m linhas por n colunas tal É importante lembrarmos que existem outros
que m e n pertençam aos N*. tipos de matrizes, mas não são tão comuns.
Igualdade: Uma matriz é igual a outra se são de mesma Operações:
ordem, ou seja, possuem o mesmo número linhas e
colunas, além disso os respectivos elementos devem ser Soma e subtração: Para somar ou subtrair matrizes, as
iguais. mesmas devem ser de mesma ordem. A soma ou
subtração é feita elemento a elemento correspondente.
Tipos de matrizes: A soma e subtração possuem propriedades que
podem e devem ser usadas. Suponhamos A, B e C
Matriz linha: A matriz só possui uma linha. matrizes de mesma ordem.
Matriz coluna: A matriz só possui uma coluna.
A + B = B + A (comutativa)
Matriz nula: Matriz que possui todos os seus elementos (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
iguais a zero. A + 0 = 0 + A = A (elemento neutro)
A + (-A) = -A + A = 0 (elemento oposto)
t t t
Matriz quadrada: Matriz em que o nº de linhas é igual ao (A+B) = A + B
nº de colunas. Quando uma matriz não é quadrada ela é
chamada de matriz retangular, é fácil, basta ver seu
formato.
Multiplicação: Pode ser feita entre matrizes e entre
matriz e números reais. A multiplicação feita com um
Matriz oposta: A matriz é oposta a alguma outra quando
número real resulta em uma matriz em que todos os
o sinal de todos seus elementos é trocado.
elementos ficam multiplicados por tal número, já a
multiplicação entre matrizes é mais complicada, vamos
Matriz transposta: Matriz em que as linhas e as colunas
t ver:
foram trocadas entre si. É tida como A .
Para multiplicar duas matrizes, uma com a outra,
é necessário que o número de colunas da primeira seja
Matriz simétrica: Uma matriz é dita simétrica se for igual
igual ao número de linhas da segunda. O resultado é
a sua transposta.
uma matriz com o nº de linhas da primeira e o nº de
colunas da segunda. Veja o exemplo:
Matriz anti-simétrica: A matriz é anti-simétrica se sua
oposta for igual a sua transposta.
Por fim temos a matriz identidade e matriz
diagonal, mas para falarmos sobre elas é necessário
descrever as diagonais de uma matriz.
Uma matriz, quadrada possui diagonais, sendo
duas, a diagonal principal e a diagonal secundária. É
como se fizéssemos a diagonal de um quadrado. A
diagonal principal é composta pelo primeiro elemento da
primeira linha e coluna, o segundo da segunda linha e
coluna e assim sucessivamente, já a diagonal
secundaria possui o ultimo elemento da primeira linha e
primeiro elemento da ultima coluna, o penúltimo
elemento da segunda linha e o segundo elemento
penúltima coluna e assim sucessivamente.
A multiplicação também possui propriedades
Matriz diagonal: É composta por elementos na diagonal importantes, suponhamos A, B e C matrizes
principal, não importando quais sejam, mas os demais convenientes para a multiplicação:
elementos da matriz devem ser iguais a zero.
(A.B).C = A.(B.C) (associativa)
Matriz identidade: Para que uma matriz seja identidade
C.(A+B) = C.A + C.B (distributiva)
ela precisa que os componentes da diagonal principal
A.I=I.A=A
sejam iguais a um e que os demais elementos da matriz t t t
(A.B) = A . B
sejam iguais a zero.
Observação: A.B não é sempre igual a B.A.
1

2. Matemática
Mário
Determinantes: 3 – Se uma matriz quadrada for multiplicada por
um número real, o determinante da matriz que resultará
É necessário compreender o método de calculo é igual ao determinante da matriz original multiplicado
de determinantes de matrizes de ordem igual ou inferior pelo mesmo número real elevado a ordem da matriz.
a 3. 4 – Se uma fila de uma matriz quadrada for
multiplicada por um numero real, o seu determinante é
Determinantes de matrizes de ordem 1: É a multiplicado pelo mesmo número real.
própria matriz. 5 – Se duas filas paralelas forem trocadas de
lugar entre si, o determinante troca de sinal.
Determinantes de matrizes de ordem 2: É 6 – Sendo A uma matriz, podemos escrever sua
simples, basta fazer o seguinte: Multiplique os elementos determinante da seguinte forma: det(A).
da diagonal principal, agora multiplique os elementos da 7 – det(A.B) = det(A).det(B)
diagonal secundária, subtraia o primeiro resultado do n n
8 – det(A ) = (detA)
segundo, o resultado será a determinante.
9 – det(I) = 1
Determinantes de matrizes de ordem 3: Para -1
10 – det(A ) = 1/det(A)
calcular o determinante neste caso também é simples,
veja o exemplo:
Matriz inversa:
Suponha A uma matriz, B será sua matriz
inversa se e somente se A.B = B.A = Identidade
conveniente. Sendo a matriz B dita como matriz inversa
-1
de A e representada por A .
Nem toda matriz é inversível, quando a matriz
em questão é inversível a chamamos de matriz não-
singular, já quando ela não é inversível e tida como
matriz singular.
As matrizes inversas possuem algumas
propriedades, então considere A e B matrizes
convenientes, daí temos:
Outra forma de calcular o determinante é a -1 .
A A=I
seguinte: escolhe-se uma linha ou coluna, de preferência -1 -1
(A ) = A
a que contenha maior número de zeros, para facilitar as -1 t t -1
(A ) = (A )
contas. Distingui-se o primeiro número da linha ou -1 -1
(A.B) = B . A
-1
coluna escolhida, depois, forme outra matriz com os Se a matriz inversa existir ela é única.
números que não estejam na mesma linha e coluna do
número escolhido. O número escolhido então deve
multiplicar (-1) elevado a soma das linhas e colunas em Observação: O determinante de uma matriz inversível é
que o mesmo esta e tudo isso deve multiplicar o sempre diferente de zero.
determinante da pequena matriz restante, faça isso para
os outros números. Esse método é extremamente válido
quando a matriz original possui zeros, pois agiliza as Sistemas Lineares
contas. Veja um exemplo de uma matriz onde convém
esta forma: Uma equação linear é dada na seguinte forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b
Onde a1, a2,...,an e b são números reais e os demais são
incógnitas (variáveis). O número representado por b é
chamado de termo independente.
Exemplo: x+4y = 2
As soluções são dadas pelo conjunto de
Observações: números que satisfaz as equações, no exemplo anterior
podemos citar (0,1/2).
1 – O determinante de uma matriz é igual ao
determinante da sua transposta. Observação: uma equação linear é dita homogênea
2 – Uma matriz que possui duas linhas ou quando seu termo independente for nulo.
colunas iguais possui determinante igual a zero.
2

3. Matemática
Mário
Pode ser que encontremos um problema que Exercícios:
envolva duas restrições, ou até mais, bom, sendo estas
restrições entendidas como equações lineares, como 01 – Calcule o resultado das seguintes operações com
resolver? matrizes:
Bata fazer um sistema de equações, mas como
resolver? Bom, existem alguns métodos. 2 3 0 4
A)  + 
Substituição: basta isolar uma variável de uma  4 5  7 3 
das equações e substituir em outra, por exemplo:
7 6   2 0 
x+y=2 B) 5 4 − 9 10
x+2y = 3 => x = 3 – 2y    
Voltando a equação x+y=2 e substituindo o x temos:
3-2y+y = 2 => y = 1 => x = 1 02 – Muitas das vezes antes de começar a resolver um
exercício pode ser interessante perder algum tempo
Soma ou subtração: Em alguns casos convém pensando como fazê-lo. Veja a operação abaixo, que
somar ou subtrair as equações, veja como seria isso neste caso é simples e defina dois métodos de
com o exemplo anterior resolução (lembrando que um deles é o mesmo do
exercício anterior, ou seja, somar termo a termo).
x+y=2 Se subtrairmos a
x+2y = 3 2ª da 1ª
0 3 4  0 3 4 
x+2y – (x+y) = 3-2 6 10 13 + 6 10 13
=> x+2y-x-y = 1    
7 21 9  7 21 9 
   
Perceba que o x e o -x vão se anular, e diretamente já
teremos o valor de y 03 – Tire suas conclusões dos seguintes casos:
=> y = 1 => x = 1
45 97 25
Tente você, verá que na maioria das vezes, quando
 48 0
temos esta possibilidade, as contas ficam reduzidas, A) 32 1
 3+
 44 0
79 2 0   
diminuindo o tempo gasto para a resolução.
 
As vezes você poderá encontrar sistemas que
não poderão ser resolvidos,eles são chamados sistemas 0 0 0 0
impossíveis ou incompatíveis, por exemplo: 0 1 2 
  0 0 0 0
B) 1 1 0 −  
x+y=1   0 0 0 1
x+y=2 2 0 2 
  0 
 0 0 1
Observação: Um sistema é dito possível determinado
se possuir uma única solução e possível indeterminado 04 – De o resultado das operações abaixo, quando for
se possuir infinitas soluções. possível.
Matriz associada a um sistema linear
2 3 1 1
A)   x 
Podemos associar um sistema linear a uma 0 0 1 0
matriz, veja como ficaria:
1 0 3
1 2 1 
B)  x 3 1 0
 6 4 3  
 0 0 1 
 
 1 
 0 10  29,5 7
11
  
C) 25 19 x  0

45 2 
 
 4 7  43,74
  23 9 
 
 
3

4. Matemática
Mário
2
05 - Calcule o determinante de A . Veja que alguns y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.
números pertencem aos complexos.
A matriz M é? Tal que
3 + i 2 
A=
 5 3 − i

6 – (UFU – 2005) Considere a matriz
11 – Quando possível, calcule o determinante das
matrizes abaixo:
1 2 3 
4 1 2  
Então A + 2A³ + 4A² + 8A é igual a A)   B) 2 0 0
 
3 4 1 1 1 
A) A
6
 
8
B) A
10
C) A
5
D) A 0 0 0 0
2 2
1 4 1 0 9
07 – (UFU – 2006) Considere a matriz C)   D) 8 7 9
9 0 7 3  
 
5 5 5 8
1 + a − 1 
12 – Para que o determinante da matriz  3 1 − a
 
Determine quantas soluções tem o sistema linear. seja nulo, o valor da variável “a” deve ser:
A) 4 ou 5
09 – (UFU – 2007) Sejam A e P matrizes quadradas de B) 1
-1
ordem 3, com P inversível, e B = P A P . Assinale a C) 2 ou -2
única alternativa incorreta. D) 3 ou -3
10 10 -1
A) B = P A P
B) Se det A = 2, então, det (-3B) = -6 p 2 2
C) Se A não é inversível, então det B = 0 
13 – (UESP) Se o determinante da matriz p 4 4 é
-1
D) A = P B P  
p 4
 1

10 – (UFU – 2006 / adaptada) Por recomendação
 p −1 2
médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com

-18, então o determinante da matriz p − 2 4 é
duas refeições diárias. Estas refeições são compostas
 
por dois tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas
p − 2
 1

dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte igual a:
tabela:
A) -9
Vitamina A Vitamina B B) -6
C) 3
Alimento 1 20 uni./ grama 30 uni./ grama D) 6
Alimento 2 50 uni./ grama 45 uni./ grama E) 9
De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada
Gabarito:
refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500
unidades de vitamina B.
06. A
09. B
Considere nesta dieta:
12. C
x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas.
4

5. Matemática
Mário
Trigonometria
Tangente: Cateto oposto sobre hipotenusa ou seno
sobre cosseno.
Na trigonometria, estudamos os triângulos, seus
“componentes” e algumas aplicações, muitas das vezes Observação: Cateto oposto e cateto adjacente são
praticas, mas para isso, vamos ver antes alguns vistos com relação ao ângulo que se quer a informação,
conceitos. o cateto oposto ao ângulo é aquele que se encontra a
frente dele, ou seja, dos três lados do triângulo, é aquele
Arco: Tendo uma circunferência escolhemos dois pontos que não tem “contato” com o ângulo. Por eliminação o
sobre a mesma, o pedaço da circunferência contido cateto adjacente é o lado que sobra, ou seja, para saber
entre estes dois pontos é dito um arco da circunferência qual é ele, basta excluir a hipotenusa e o cateto oposto.
e recebe o nome dos pontos escolhidos, ex.: AB.
É possível com estas relações encontrar alguns
Ângulos: Dados dois segmentos ou mesmo duas retas valores dos “componentes” do triângulo, como por
com um ponto em comum é possível medir a inclinação exemplo, a medida de um dos lados, mas antes de
entre os dois segmentos ou retas partindo do ponto em vermos um exemplo disso, é necessário saber os
questão. Esse seria o ângulo. Existem alguns tipos de valores destas relações para os ângulos ditos notáveis.
ângulo, citados a seguir: O que são ângulos notáveis? São aqueles
primordiais para a resolução de vários exercícios. Quais
- Ângulo reto: ângulo cuja medida é exatamente são? 30°, 45°, 60°.
90°. Os ângulos de 0° e 90° também são importantes,
- Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre mas vamos falar sobre eles em um tópico posterior.
0°(maior que 0°) e 90° (menor que 90°). Existe uma tabela muito comum para os valores
- Ângulo obtuso: ângulo cuja medida está entre dos ângulos notáveis, veja abaixo:
90° (maior que 90°) e 180° (menor que 180°).
- Ângulo raso: ângulo cuja medida é exatamente
30° 45° 60°
180°.
seno 1/2 √2 / 2 √3 / 2
Observação: grau é uma unidade de ângulo, que pode cosseno √3 / 2 √2 / 2 1/2
ser medido também em radianos (aquela representação
usada com um “pi”). Veremos isso ainda. tangente √3 /3 1 √3
Relação e conversão de ângulos Agora podemos partir para um exemplo.
Encontre o valor de x e y.
Imagine 360 arcos iguais em uma circunferência
e segmentos ligando suas extremidades a origem da
circunferência. Um grau corresponde a inclinação entre
dois segmentos que ligam as extremidades de um único
arco destes.
Bom, alem dos graus temos os radianos, basta
saber que qualquer circunferência possui comprimento
de 2π.
Vale a igualdade: π = 180°. Então para
transformarmos graus em radianos ou o contrario, basta
fazer regra de três.
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Um triângulo retângulo é um triângulo que
possui um ângulo reto. Ele é formado por dois catetos e
uma hipotenusa, que são os lados do mesmo. Como
saber quais são os catetos e qual é a hipotenusa? É fácil,
a hipotenusa está sempre oposta ao ângulo de 90 graus
(ângulo reto), os outros lados são os catetos.
Veja que não é complicado encontrar o valor de
X e Y, pois temos um ângulo notável acompanhado da
É possível relacionarmos os lados de um
medida do seu cateto adjacente. Nas relações ditas
triângulo desses citados acima. E quais relações são
anteriormente, quais as que nos interessa, ou seja, quais
essas? Bom, vamos vê-las agora.
envolvem a hipotenusa e o cateto oposto juntamente ao
ângulo de 30°?
Seno: Cateto oposto sobre hipotenusa
Note que:
Cosseno: Cateto adjacente sobre hipotenusa
5

6. Matemática
Mário
cos 30° = √3 / 2 Observação 2: Essa é muito importante, pois as vezes
esquecemos dos valores das tangentes para os ângulos
Mas o cosseno de algum ângulo também é igual notáveis. Quando isso acontecer, recorram a formula da
a: tangente, “seno sobre cosseno”. Pegue os valores dos
senos e cossenos correspondentes ao ângulo e
cateto adjacente substitua na formula para obter a tangente desejada.
hipotenusa Portanto não existe a necessidade de memorizar os
valores das tangentes dos ângulos notáveis, a não ser
Nesse caso o cateto oposto é Y e a hipotenusa é para agilizar a resolução de problemas.
x, então temos
Redução ao primeiro quadrante
cos 30° = √3 / 2 = cateto adjacente = 20
hipotenusa X Sabemos que existem quatro quadrantes
angulares, o que são estes quadrantes? Veja abaixo a
Logo temos: figura e entenderão perfeitamente. Detalhe: já estão
numerados em ordem.
√3 = 20
2 X
Para descobrir o valor de X temos que isolá-lo,
daí:
X = 20 . 2
√3
É comum racionalizar, mas não é errado deixar
desta forma.
Agora vamos encontrar o valor de Y, tendo em
mãos os valores da hipotenusa e do cateto adjacente. É Reduzir para o primeiro quadrante as vezes
possível encontrar Y de duas formas, a primeira usando favorece o calculo de senos, cossenos ou tangentes de
seno e a segunda usando tangente, vamos ver. ângulos que estão nos demais, veja que na tabela não
possuímos os valores para ângulos nos quadrantes que
Sen 30° = ½ = cateto oposto = Y = Y não sejam o primeiro. Veja abaixo a figura mostrando as
hipotenusa X 40/√3 formulas de reduções.
Daí,
1= Y
2 40/√3
Basta isolar o Y, como fizemos a pouco com o X.
Agora usando a tangente.
Tg 30° = √3 = cateto oposto = Y
3 cateto adjacente 20
Logo temos:
É necessário ficar atento ao que estamos
Y = √3 querendo, pois dependendo do quadrante em que o
20 3 ângulo original está o sinal seno, cosseno ou tangente,
muda, quando calculamos reduzindo ao primeiro
Novamente basta isolar o Y, veja que usando o quadrante. Olhe abaixo os sinais e os quadrantes:
seno e a tangente o resultado é o mesmo.
1° 2° 3° 4°
Observação 1: Para memorizar a tabela de senos e Sen + + - -
cossenos para ângulos notáveis, existe uma pequena
frase. Após posicionar a primeira linha e coluna Cos + - - +
(seno/cosseno e ângulos) é só lembrar: “um dois três, Tg + - + -
três dois um, todos sobre dois, só não tem raiz onde tem
um”. Observe a formação da tabela.
Então se formos calcular o seno de 210°,
reduzindo ao primeiro quadrante temos:
6

7. Matemática
Mário
Com o teorema de Pitágoras e o circulo
210 = 180 + X trigonométrico podemos chegar a seguinte relação,
muito importante por sinal:
Onde X é o ângulo correspondente a 210 no primeiro
quadrante. sen²(x) + cos²(x) = 1
Estamos seguindo as formulas anteriores.
Isolando o X, Identidades trigonométricas
X = 210 – 180
X = 30° sen2x + cos2x = 1
O seno de X é então o seno de 30° que na sen (-x) = -sen x
verdade é ½, mas como nosso ângulo “original” (210°)
está no terceiro quadrante temos que a resposta não é cos (-x) = cos x
½ e sim -½ .
sec (x) = 1 / cos (x)
Observação: cada quadrante é composto de 90°.
cossec (x) = 1 / sen (x)
Certo, mas e se o ângulo for 0°, 90°, 180°, 270°
ou 360°. cotg (x) = 1/ tg (x)
Aí entra o circulo trigonométrico, que na verdade
já está implícito nos outros valores dos ângulos. O tg (a-b) = tg (a) – tg (b)
circulo trigonométrico é um circulo no plano cartesiano, 1 + tg (a) . tg (b)
com origem no ponto (0,0) e raio igual a 1 sempre.
O seno é “medido” no eixo Y e o cosseno no tg (a+b) = tg (a) + tg (b)
eixo X. Como o raio do circulo trigonométrico é 1, o valor 1 - tg (a) . tg (b)
máximo do seno e do cosseno é o próprio 1.
cos (a + b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b)
cos (a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
sen (a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)
sen (a - b) = sen(a).cos(b) – sen(b).cos(a)
cos² (x) = 1+ cos(2x)
2
sen² (x) = 1 – cos(2x)
Temos que o 360° coincide com o 0° logo os 2
valores de seno e cosseno serão iguais.
Logo, sen(a/2) =± √ (1-cos(a))/2
cos(a/2) = ± √ (1+cos(a))/2
0° 90° 180° 270°
sen 0 1 0 -1 Lei dos senos
cos 1 0 -1 0
sen(A) = sen(B) = sen(C) ou
a b c
A tangente é medida por fora, como mostra a figura
anterior. a = b = c = 2r
Observação: os gráficos serão feitos na sala de aula. sen(A) sen(B) sen(C)
Teorema de Pitágoras onde r é o raio da circunferência em que o triângulo está
inscrito. Veja na figura:
H² = A² + B²
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa (para os que gostam, ta numa
música dos Mamonas Assassinas).
7

8. Matemática
Mário
Exercícios:
01 - (Fuvest-SP) Qual das afirmações a seguir é
verdadeira?
A) sen 210° < cos 210° < tg 210°
B) cos 210° < sem 210° < tg 210°
C) tg 210° < sen 210° < cos 210°
D) tg 210° < cos 210° < sem 210°
E) sen 210° < tg 210° < cos 210°
Lei dos cossenos 02 – (UEA-AM) Sabendo que sen x = 2/3 e que x está no
1° quadrante, o valor de cotg x é:
Considerando ainda os lados e ângulos do
triângulo anterior, a lei dos cossenos fica da seguinte A) 5/2
forma: B) 1/3
C) 5 /3
a² = b² + c² – 2.b.c.cos(A)
D) 5/3
E) 5/2
03 – (UFPA) Qual das expressões a seguir é idêntica a
1 − sen 2 ( x)
?
cot g ( x).sen( x)
A) sen(x)
B) cos (x)
C) tg (x)
D) cossec (x)
E) cotg (x)
04 – (PUC-BA) Qualquer que seja o número real x, a
expressão cos 4 ( x) − sen 4 ( x) é equivalente a:
A) sen² (x) - 1
B) 2(senx).(cosx)
C) 2cos²(x) – 1
D) 2 – cos²(x)
E) (sen x + cos x). cos x
05 – Se f é uma função real definida por f(x) =
(2tgx)/(1+tg²x) então f(x) é igual a:
A) cossec 2x
B) sec 2x
C) tg 2x
D) cos 2x
E) sen 2x
06 – (Fuvest – SP) Se cos(x/2) = 2/4 então cos(x) vale:
A) -3/8
B) 3/8
C) 14 / 4
D) 1/8
E) 32 / 4
07 – (PUC-RJ) Se tg 3x = 4, então tg 6x é igual a:
8

9. Matemática
Mário
A) 8 18 – (UFU) Num triângulo ABC, o ângulo  é reto. A
B) -8/15 altura ha divide a hipotenusa a e, dois segmentos, m e n
C) 3/4
D) -3/4 (com m > n). Sabendo que o cateto b é o dobro do
cateto c, podemos afirmar que m/n vale:
E) 5/8
2
A) 4
 x x B) 3
08 – (Unifor-CE) A expressão  sen + cos  é C) 2
 2 2
D) 7/2
equivalente a: E) 5
A) 1 19 – (UFU – 2007) O valor de tg 10° (sec 5°+cossec 5°)
B) 0 (cos 5° - sen 5°) é igual a:
C) cos²(x/2)
D) 1 + sen x A) 2
B) ½
09 – (UFJF) O conjunto solução da equação |cos2x| = 0 C) 1
é:
D) 2
A) {x є R; x = 2kπ, k є Z}
B) {x є R; x = 2kπ ± π/2, k є Z}
C) {x є R; x = kπ ± π/4, k є Z} Gabarito:
D) {x є R; x = kπ, k є Z}
01. B
10 – Quando Resolvida no intervalo [0; 2π], o número de 02. E
03. B
quadrantes nos quais a desigualdade 2cos x < 3 04. C
apresenta soluções é: 05. E
06. D
A) 0 07. B
B) 1 08. D
C) 2 09. C
D) 3 10. E
E) 4 18. A
19. A
11 – Sabendo que o triângulo ABO é retângulo em B,
que o lado oposto ao ângulo OÂB mede 5 unidades e
que o ângulo AÔB mede 12 unidades. Determine o valor
do seno, cosseno e tangente dos dois últimos ângulos
citados.
12 – Num campeonato de asa-delta, um participante se
encontra a uma altura de 160m e vê o ponto de chegada
a um ângulo de 60°. Calcular a componente horizontal x
da distância aproximada em que ele está desse ponto de
chegada.
13 – Quais valores k pode assumir para tornar possível a
igualdade sen x = 2k – 5?
14 – Quais valores k pode assumir para tornar possível a
igualdade cos x = 2k – 9?
15 – Determine o conjunto verdade da equação 2sen² (x)
+ sen (x) – 1 = 0 (Dica: veja que esta é uma equação do
segundo grau).
16 – Determine o conjunto verdade da equação sem x +
cos x = 1.
17 – Mostre sen² (x) + cos²(x) = 1.
9

10. Matemática
Mário
Geometria plana
3 – Dois ângulos são suplementares se a soma dos dois
é igual a 180°.
Paralelismo: Uma reta ou um segmento de reta é
paralelo a outro quando a distancia entre dois pontos Teorema de Tales
(um de cada reta) for igual, sendo estes pontos,
pertencentes a um seguimento perpendicular a ambas O teorema de Tales afirma que, tendo duas
as retas. Isso deve ser válido para todo par de pontos retas paralelas e duas retas transversais a estas
das retas que seguirem esse perfil, porém, para se paralelas, os segmentos correspondentes formados
certificar basta analisar dois pares, veja abaixo na figura: pelas retas transversais, são proporcionais, observe:
Perpendicularismo: Duas retas, semi-retas e/ou Daí o teorema de Tales diz que:
segmentos são perpendiculares entre si quando têm um
ponto em comum e alem disso, o ângulo formado entre AB = AE = AC
os dois é reto, ou seja, de 90° BC ED AD
Congruência de figuras planas: Duas figuras planas são Classificar triângulos quanto aos lados
congruentes quando possuem lados e ângulos iguais.
Triângulo isósceles: possui dois lados iguais e os dois
Semelhança de figuras planas: Duas figuras planas são ângulos formados com o lado “diferente” também são
semelhantes se possuem a mesma forma, mas não iguais.
necessariamente o mesmo tamanho.
Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e os três
Semelhança de triângulos ângulos também.
Existem alguns casos de semelhanças de Triângulo escaleno: todos os lados diferentes.
triângulos, vamos ver alguns deles:
Algumas definições
AA: Se dois ângulos (por conseqüência três
ângulos também) correspondentes de um triângulo são Polígono regular: um polígono é regular quando seus
congruentes então os dois triângulos são semelhantes. lados e ângulos são congruentes. Por exemplo, o
quadrado, todos os seus ângulos internos medem 90° e
LLL: Se dois triângulos possuem seus lados os lados são todos de mesma medida. Um polígono
correspondentes, sendo proporcionais, então estes regular pode ser inscrito em uma circunferência, de
triângulos são semelhantes. forma que seus vértices estejam sobre a circunferência.
Cuidado, nem todo polígono inscrito em uma
LAL: Se dois triângulos possuem dois lados circunferência é regular.
correspondentes semelhantes, de forma que estes dois
lados formem entre si um ângulo correspondente ao do Apótema: o segmento que liga o centro de um polígono
outro triângulo que seja congruente, existe também o regular a um lado, fazendo 90° com esse lado é dito
caso de semelhança. apótema.
Os casos citados acima são os principais
critérios usados para verificar a semelhança entre Diagonal de um retângulo: A diagonal de um retângulo,
triângulos. ou quadrado, pode ser calculada usando o teorema de
Pitágoras.
Observações:
Corda: Segmento que une dois pontos de uma
1 - A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. circunferência.
2 - Dois ângulos são complementares se a soma dos Diâmetro: o diâmetro é um “componente” da
dois é igual a 90°. circunferência, é uma corda que passa pelo centro.
10

11. Matemática
Mário
Ou seja, para a área total da circunferência temos 360°,
Setor circular: é realmente o setor de um circulo, ou para a área do setor circular temos X graus. É
sejam uma parte dele, como se fosse uma fatia de uma simplesmente uma “comparação” de áreas com graus.
pizza.
Outras fórmulas
Perímetros
Cordas se interceptando dentro de uma circunferência:
O perímetro de um polígono é simplesmente a
soma de todos os seus lados, mas e o perímetro (na Fica válido nesse caso, dizer que:
verdade chamado de comprimento) da circunferência?
Existe uma formula que nos responde isso.
C = 2.π.r
Observação: π vale aproximadamente 3,14. Nas
respostas das questões, a não ser que seja realmente
necessário, não é interessante gastar tempo substituindo
a letra por esse valor.
a.d=c.b
Áreas
Secantes se interceptando fora de uma circunferência:
Área de um triângulo:
A=b.h
2
onde b é o tamanho da base e h o tamanho da altura do
triângulo.
Área de um quadrado:
A = lado x lado
Área de um retângulo:
Fica valido nesse caso, dizer que:
A=b.h
(a+b).b = (c+d).d
onde b é o tamanho da base e h é o tamanho da altura
do retângulo. Secante e tangente se interceptando fora da
circunferência:
Área de um polígono regular: veja que um polígono
regular possui todos os lados iguais, portanto tente
dividi-lo em triângulos e calcular a área de um deles,
depois multiplicar pela quantidade de triângulos divididas.
Como um polígono regular pode ser inscrito em uma
circunferência, dois dos lados desses triângulos citados
serão do mesmo tamanho do raio da circunferência.
Temos então triângulos isósceles.
Área de uma circunferência:
A = π . r²
Fica valido nesse caso, dizer que:
onde r é o raio da circunferência.
a² = (b+c).c
Área do setor circular: Para calcular a área de um setor
circular basta fazer uma regra de três. Ângulo inscrito e central:
área da circunferência ---------- 360°
área do setor ----------------- graus
11

12. Matemática
Mário
Exercícios:
1 – Mostre a fórmula da diagonal de um quadrado de
lado “a”.
2 – Mostre a fórmula de área de um triangulo eqüilátero
de lado “a”.
3 – Um triângulo eqüilátero possui 6 cm de lado. Qual é
o perímetro e a área deste triângulo?
Fica valido nesse caso, dizer que: 4 – (UFU – 2007) Na figura abaixo, a área do triângulo
ADE corresponde a 20% da área do quadrado ABCD.
2b = a
Mais definições
Nos triângulos também podemos encontrar:
Mediana: Mediana é o segmento que une o ponto médio
de um lado ao seu ângulo oposto. O ponto de encontro
das medianas é chamado baricentro. O tamanho do
segmento do baricentro ao vértice é de 2/3 do tamanho
total da mediana.
Mediatriz: reta que sai de forma perpendicular do ponto
médio do segmento, ou no caso, do lado do triângulo.
Para que a área do triângulo EBC seja igual a 30cm², o
lado do quadrado ABCD deve ser igual a
Bissetriz: reta que divide o ângulo em dois iguais.
A) 10cm.
B) 10√2 cm.
C) 5√3 cm.
D) 5cm.
5 – (UFU – 2006) Na figura abaixo, O é o centro da
circunferência de raio 1 cm.
Sabendo-se que ABCD é um quadrado e que “alpha” é
igual a 60º, a área da região sombreada é igual a
12

13. Matemática
Mário
A) ( π + 2 – 2√3) cm²
B) ( π - 1 - √3) cm²
C) ( π + 1 - √3) cm²
D) ( π - 2 – 2√3) cm²
6 – (UFU – 2004) Na figura abaixo o ângulo x, em graus, A) 20°
pertence ao intervalo B) 30°
C) 50°
D) 60°
E) 90°
10 – No triângulo ADE da figura, em que B e C são
pontos dos lados AD e AE, respectivamente, AB=AC,
BC=BD e CD=CE.
A) (0º, 15º)
B) (15º, 20º)
C) (20º,25º)
D) (25º, 30º)
7 – Da figura abaixo deduza (considerando as bases
paralelas) a formula da área de um trapézio, usando as
formulas para as áreas de retângulos e triângulos.
A) x = 48°
B) x = 50°
C) x = 52°
D) x = 54°
E) x = 56°
Gabarito:
8 – (UFU – 2004) Sabendo-se que, na figura abaixo, CD
= 1 cm e BD = √3 cm, determine:
04. A
05. A
06. B
09. A
10. C
A) os ângulos “alpha” e “beta”.
B) a área do triângulo ABC.
9 – (Fuvest – 2001) Na figura abaixo, tem-se que
AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF mede 80°,
então o ângulo ABC mede:
13

14. Matemática
Mário
Geometria espacial Se o sólido possui ponta, por exemplo, o cone,
ou uma pirâmide, basta fazer:
Por dois pontos no espaço passa uma única 1/3 (área da base x altura)
reta e por três pontos não colineares um único plano.
O que é um plano? Um conjunto de retas que Se o sólido não possuir ponta, como o cubo, o
podem ser concorrentes ou paralelas entre si. Indo mais paralelepípedo ou o cilindro, basta retirar da
alem, as retas são conjuntos de pontos, se um plano é formula anterior o “1/3”, ou seja, o volume é dado por:
um conjunto de retas, um plano também é um conjunto
de pontos. (área da base x altura)
Se dois planos diferentes se interceptam, a
interseção é uma reta. Note que alguns sólidos são formados por
alguns mais simples, como por exemplo, o
Posições relativas entre retas “classiquissimo” balão de São João, daqueles pequenos
feito em escolas, aqueles de papel. Têm a forma de
Retas concorrentes: interceptam-se em um único ponto. duas pirâmides, uma de cabeça para baixo e outra de
cabeça para cima, dividindo a mesma base.
Retas paralelas: já foram citadas anteriormente. Para calcular o volume de um sólido desse tipo,
basta calcular o volume de uma das pirâmides de dobrar
Retas reversas: não são coplanares (não pertencem a (considerando que as duas são iguais).
um único plano).
Mas e o volume e área da esfera? E a área do
Retas ortogonais: não reversas e apresentam um ângulo cone? Vamos falar deles agora.
reto entre si.
Área de um cone
Posições relativas entre retas e planos
Agora a pouco vimos que a área de um sólido
Concorrentes: uma reta e um plano são concorrentes geométrico é a soma das áreas de suas faces.
quando possuem apenas um ponto em comum, pode-se A base de um cone é uma circunferência, cuja
dizer também que a reta é secante ao plano. formula para a área já foi mencionada quando tratamos
da geometria plana.
Paralelos: uma reta é paralela a um plano quando Falta agora ver a área daquela parte que fica
ambos não possuem nenhum ponto em comum. “em volta”.
Perpendiculares: se uma reta é perpendicular a duas
retas concorrentes de um plano, então ela é concorrente
ao plano.
Posições relativas entre planos
Planos concorrentes: dois planos são concorrente
quando possuem apenas uma reta em comum.
Planos paralelos: dois planos são paralelos se não
possuem nenhuma reta em comum.
Planos perpendiculares: dois planos são perpendiculares
se algum deles contem uma reta perpendicular ao outro.
Na figura acima “g” é a geratriz do cone, é como
Áreas e volumes se fizéssemos a projeção desta vista lateral em um
plano, ficaria um triângulo, g é um dos lados desse
Como calcular a área e volume de sólidos triângulo.
geométricos? Para isso precisamos usar os conceitos e
formulas de áreas da geometria plana, que vimos Observe que o cone estando “aberto” vira um
anteriormente. setor circular, novamente, para calcular sua área basta
Repare que não é tão difícil quanto parece. fazer uma regra de três.
A área se resume em somar as áreas das faces
do sólido. As faces são geralmente retângulos ou Área e volume da esfera
triângulos, salvo o cone, que veremos com mais calma.
E o volume? Para todos os sólidos que iremos A = 4.π.r²
estudar, exceto a esfera, as formulas são fáceis.
V = 4.π.r²
3
14

15. Matemática
Mário
Exercícios: 4 – (UFU – 2004) Bóias de sinalização marítima são
construídas de acordo com a figura abaixo, em que um
1 – (UFU – 2006) Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cone de raio da base e altura r é sobreposto a um
cm será fundida e todo o material derretido será usado hemisfério de raio r.
na confecção de um cilindro circular e de um cone
circular ambos, maciços com raio da base r cm e altura
também r cm. Não havendo perda de material durante o
processo, r será igual a
A) 4 cm.
B) 8 cm.
C) 5 cm.
D) 10 cm.
2 – (UFU – 2005) Uma certa empresa dispõe de dois
reservatórios, um com formato cônico e outro cilíndrico,
ambos com o mesmo raio da base circular. O
reservatório cônico está totalmente cheio de álcool e
todo seu conteúdo será transferido para o reservatório
cilíndrico, inicialmente vazio. O restante do reservatório
cilíndrico será preenchido com gasolina. Sabendo-se
que a altura do reservatório cilíndrico é igual a 10 m, e
que a mistura resultante deve conter 30% de álcool e
70% de gasolina, a altura do reservatório cônico deve
ser igual a
A) 9 metros. Aumentando-se r em 50%, o volume da bóia é
B) 3 metros. multiplicado por
C) 7 metros.
D) 1 metro. A) 8.
B) 27/8.
3 – (UFU – 2004) Cubos são colocados uns sobre os C) 9/4.
outros, do maior para o menor, para formar uma coluna, D) 4.
como mostra a figura abaixo.
5 – Deduza a fórmula da diagonal do cubo usando o
Teorema de Pitágoras.
6 – (UFU – 2008) Dispõe-se de um cilindro maciço
circular reto, feito de alumínio, cujo raio da base mede 4
cm e a altura 10 cm. Esse cilindro será derretido e com o
material fundido serão fabricadas esferas de aço de raio
2 cm. Supondo que nesse processo não ocorra perda de
material, então o número de esferas a ser fabricadas, a
partir do cilindro dado, é igual a:
A) 13
B) 15
C) 14
D) 16
Gabarito:
O volume do cubo maior é 1 m³ e o volume de cada um
dos cubos seguintes é igual a 1/27 do volume do cubo 01. D
sobre o qual ele está apoiado. Se fosse possível colocar 02. A
uma infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual a 03. C
04. B
A) (27/26) m. 06. B
B) 2 m.
C) 1,5 m.
D) 4,5 m.
15

16. Matemática
Mário
Análise combinatória Existem muitas coisas clássicas nessa vida, por
exemplo: uma manhã de domingo, frango no almoço,
Este conteúdo é tido por muitos como complicado e alguns desenhos, algumas séries... e... aquela
na verdade realmente não é tão fácil, muitas das vezes brincadeira de dançar em volta da cadeira! É sobre ela
pela sua simplicidade. Por isso vamos tentar abordá-la que vamos falar... imagine, o quão perigoso pode ser
da maneira mais didática possível. aquele jogo em que se ouve uma música e quando a
Iremos nos deparar com 3 tipos de situações: mesma para, todos correm para sentar nas cadeiras,
aquilo lá sim, é danado! Então vamos imaginar uma
1ª situação: aventura dessas, mas para tornar tudo mais
emocionante teremos 3 cadeiras a menos que o número
Imagine que você vá ao cinema com seu (sua) de pessoas. Vamos de novo imaginar 10 pessoas na
namorado(a), as coisas estão muito paradas e o filme brincadeira, portanto 7 cadeiras, quando a musica para,
está muito chato, daí você olha para o lado e vê mais um quantas são as possibilidades de grupos se sentarem?
tanto de gente e imagina... “de quantas maneiras seria O importante é se sentar, não importa em que
possível todos nós sentarmos nesta fileira?” Ahh, agora cadeira seja, portanto, não importa a ordem dos
sim as coisas ficam divertidas. Então vamos pensar, elementos nesse caso.
imaginando que naquela fileira estejam 10 poltronas, Isso se classifica como uma permutação. Temos
todas elas com pessoas. menos cadeiras do que pessoas e não importa a ordem
Vamos imaginar quando todos estavam entrando e que se sentem. É extremamente aconselhável o uso da
as poltronas ainda estavam vazias. A primeira pessoa a fórmula:
chegar, teria quantas opções de lugar? 10 correto, pois
não havia ninguém sentado até então. 10!
C7 =
10
Pronto, a primeira pessoa já se sentou, aí lá vem a 7!(10 − 7)!
segunda, que da aquela clássica tropeçada na escada
devido a pouca luz, quando ela chega a fileira, quantas
opções restam? Por certo que são 9 opções.
Resumindo:
Bom, esse raciocínio continua, até que toda a fileira
seja preenchida com a chegada da ultima pessoa e sua
Nome Ordem Fórmula
única opção, que por certo não será no meio.
Permutação Importa Pn = n!
E daí!? E daí que tivemos uma seqüência
decrescente de números: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. E a Arranjo Importa n!
resposta para a pergunta que você havia feito é Ap =
n
justamente a multiplicação destes números, ou seja, (n − p)!
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10! (dez fatorial) Combinação Não importa n!
Isso é o que chamam de permutação! Cp =
n
p!(n − p)!
2ª situação:
Pronto, imagine agora a mesma situação anterior, Exercícios:
mas desta vez teremos 15 pessoas para 10 poltronas. Aí
lascou, alguns vão rodar! Agora é como se ao invés das
pessoas escolherem as poltronas, na verdade as 01 – (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos
poltronas escolheriam as pessoas, pois estas estão em poder ser formados com 1,2,3,4,5,6 e 7, satisfazendo a
menor quantidade, é como se fosse um sorteio. seguinte regra: O número não pode ter algarismos
O sorteio funcionaria assim, para a primeira poltrona, repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em
quantas pessoas poderiam ganhar o direito de sentar que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez.
nela? Se pensarmos um pouco, a resposta é 15. O Assinale o resultado obtido.
mesmo acontece para a segunda poltrona, no caso,
como uma pessoa já se sentou na primeira, então resta A) 204
apenas 14 possibilidades. Isso se repete, assim como na B) 206
situação anterior, mas quando chegar na ultima poltrona, C) 208
teremos 6 possibilidades e não apenas uma, como D) 210
ocorreu na primeira situação. Logo, sempre cinco E) 212
pessoas ficarão de fora.
Essa é a diferença entre permutação (caso anterior) 02 – (UFU - 2003) Um sério problema enfrentado pelas
e arranjo (este caso), ou seja, na permutação todos os autoridades de saúde é diagnosticar a chamada
elementos são usados enquanto no arranjo isso não pneumonia asiática. Atualmente são conhecidos 7
acontece. Mas a forma de resolver é a mesma, sintomas dessa doença. Se em um paciente forem
multiplicando as possibilidades. detectados 5 ou mais desses possíveis sintomas, a
doença é diagnosticada. Diante disso, pode-se afirmar
3ª situação: que o número total de combinações distintas dos
16

17. Matemática
Mário
sintomas possíveis para que o diagnóstico da Progressão Aritmética
pneumonia asiática seja efetivado é igual a:
A) 21 Observe a seqüência abaixo:
B) 29 ( 2, 5, 8, 11, ...)
C) 147
D) 210 Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa
seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:
03 – (FUVEST) Uma lotação possui três bancos para
passageiros, cada um com três lugares e deve 5–2=3
transportar os três membros da família Sousa, o casal 8–5=3
Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Alem disso, 11 – 8 = 3
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Assim:
Nessas condições, o número de maneiras distintas de Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de
dispor os nove passageiros na lotação é igual a números reais em que a diferença entre um termo
qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é
A) 918 sempre a mesma (constante).
B) 1152 Essa constante é chamada de razão da P.A
C) 1828 representada por r.
D) 2412
E) 3456 Exemplos:
04 – (UFU – 2007) A prova de um concurso é composta • (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.
somente de 10 questões de múltipla escolha, com as
alternativas A, B,C e D por questão. Sabendo-se que, no • (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.
gabarito da prova, não aparece a letra A e que a letra D
aparece apenas uma vez, quantos são os gabaritos • (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.
possíveis de ocorrer?
A razão tem algumas particularidades como:
A) 410 • r > 0, dizemos que a P.A é crescente
B) 2
10 • r < 0, dizemos que a P.A é decrescente
9 • r = 0, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a P.A
C) 2 é constante.
9
D) 10.2
TERMO GERAL DA P.A.
5 – (UFU – 2004) De quantas maneiras distintas um
fazendeiro pode escolher, entre 12 vacas selecionadas Considerando a P.A (a1, a2, a3, a4, ...., an) de razão r.
de seu rebanho, 4 vacas e distribuí-las entre as 4 Temos:
instituições de caridade de sua cidade, sendo uma vaga • a2 - a1 = r → a2 = a1 + r
para cada instituição?
• a3 - a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r
A) 495
B) 11880 • a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r
C) 1980 . . .
D) 5940 . . .
. . .
Assim:
an = a1 + ( n – 1) . r
Gabarito:
Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do
01. E termos geral de uma P.A.
02. B
03. E Exemplo:
04. D
05. B Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):
Para efetuarmos os cálculos é necessário que retiremos
os dados necessários.
Como: a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5
Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º
termo da P.A.
17

18. Matemática
Mário
a20 = 26 + ( 20 – 1) . 5 •
a20 = 26 + 19 . 5
a20 = 26 + 95
É fácil demonstrar por indução matemática que:
a20 = 121
Concluímos que o 20º termo dessa P.A é 121.
NOTAÇÕES ESPECIAIS
Soma dos termos de uma P.G.
Para determinar uma P.A apartir de seus elementos
utilizamos de algumas notações que facilitam a A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é
resolução de alguns exercícios. definida por:
• Para três termos em P.A, podemos escrever:
(x–r,x,x+r)
Exemplo:
Demonstração
Determine três números em P.A, sabendo que o
elemento central é 4 e o produto entre eles é 28. Essa fórmula pode ser deduzida do seguinte modo.
Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos Escreva:
os dados:
Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4
(x – r) . x . (x + r) = 28.
Então:
Multiplique por q:
(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28
r = +3 e r = -3
Assim iremos obter duas P.A
Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)
Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os
Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)
termos repetidos:
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A
A fórmula que nos permite calcular a soma dos n
primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso: o que é equivalente a:
Considere a P.A (a1, a2, a3, ..., an - 2, an – 1 , ... , an, … )
Indiquemos a soma dos n primeiros termos por Sn.
Temos então:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an - 1 + an ou
Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... +a3 + a2 + a1 Divida ambas os termos por: : eo
resultado segue.
Somando essas igualdades membro a membro,
obtemos: Soma dos infinitos termos de uma P.G.
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada
série geométrica e está bem definida quando | q | < 1.
Sua soma é:
Progressão Geométrica
Costuma-se denotar por an n-ésimo termo de uma
progressão geométrica. Assim, a progressão fica
totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a1 e
sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:
•
18