Implementação mód4 - encontro 1-

"Não é possível refazer este país,
democratizá-lo, humanizá-lo,
torná-lo sério, com adolescentes
brincando de matar gente,
ofendendo a vida, destruindo o
sonho, inviabilizando o amor. Se
a educação sozinha não transformar
a sociedade, sem ela
tampouco a sociedade muda." Paulo Freire

....DownloadsAcreditar na
Vida.pps

Matrizes
Qual o seu significado imediato?
Uma tabela de dupla entrada
contendo dados numéricos( na
grande maioria das vezes)
Matrizes são freqüentemente
utilizadas para organizar dados.

Ex: As notas finais dos alunos de
uma série, podem formar uma
matriz cujas colunas correspondem
às matérias lecionadas naquela
série e cujas linhas representam os
alunos.
Na interseção de uma linha com
uma coluna figura a nota daquele
aluno naquela matéria.

MATRIZES DIFERENTES SIGNIFICADOS

Operações entre duas matrizes
O polígono EFGH é uma translação do polígono
ABCD em quantas unidades na horizontal e
na vertical?

Represente em uma matriz A(4x2) as
coordenadas dos vértices do
polígono ABCD, de maneira que cada
linha da matriz contenha
coordenadas de um ponto, com
abscissa na primeira coluna e a
ordenada na segunda coluna .

• Represente em uma matriz B(4x2) as
coordenadas dos vértices do
polígono EFGH, de maneira que
cada linha da matriz contenha
coordenadas de um ponto, com
abscissa na primeira coluna e a
ordenada na segunda coluna.

Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma
que A + C = B

Matriz de compensação

37 62 45
63 38 55
37 62 45

a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual a
porcentagem de audiência prevista para cada
programa?
b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede
terá maior audiência? Quantos por cento a mais?
c) Qual das combinações de dois programas, um de A
e outro de B, permite a maior diferença entre as
audiências das duas redes no horário? E qual
combinação permite a menor diferença entre as
audiências?

MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM
MATRIZES

Um tipo de matriz é aquela em
que seus elementos respeitam
determinada relação matemática
entre os índices que definem sua
posição na matriz.
Obter a matriz A assim definida:
A= (aij)3x3, tal que aij = i + 2j

Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com j
Se o elemento cij= 1, devemos unir i com j

Em uma prova com 20 questões, cada
questão respondida corretamente
ganha-se 2 pontos, cada questão não
respondida perde-se 1 ponto, e cada
questão respondida erradamente
perde-se 2 ponto,
Camila acertou 12, errou 6 e as outras
deixou em branco.
Pedro acertou 13, errou 7 e as outras
em branco.

ACERTOS ERROS BRANCO

CAMILA

PEDRO

RESULTADO PONTOS
ACERTOS
ERROS
EM BRANCO

Calcule quantos pontos cada um fez
e coloque o resultado em uma
matriz E2x1.

Uma empresa, que possui duas
confeitarias, chamadas A e B fabrica
3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quais
são feitos de farinha, açúcar, leite e
manteiga e ovos. Em cada semana,
as vendas dessas duas confeitarias
são estimadas conforme a matriz de
venda semanal abaixo:

Confeitaria Bolo tipo1 Bolo tipo2 Bolo tipo3
A 50 unidades 30 unidades 25 unidades
B 29 unidades 20 unidades 40 unidades

Para a fabricação desses bolos, o material é
usado de acordo com a matriz n seguinte:
Bolo farinha açúcar leite manteiga ovos

Tipo1 500g 200g 500ml 150g 4

Tipo2 400g 100g 300ml 250g 5

Tipo3 450g 150g 600ml 0 6

A direção da empresa, a fim de atender
à demanda, quer saber a quantidade
de cada uma das cinco matérias primas
que deve alocar às suas duas
confeitarias. A resposta deve ser uma
matriz P, do tipo 2x5, onde as linhas
representam as duas confeitarias e as
colunas correspondem aos cinco
materiais usados.

Matriz Transposta: Dada uma matriz
A=(aij)mxn, chama-se transposta de A a
matriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todo
i e todo j.

Matriz Simétrica: Chama-se matriz
simétrica toda matriz quadrada A, de
ordem n, tal que At = A

Matrizes Inversíveis:
Seja A uma matriz quadrada de ordem
n. Dizemos que A é matriz inversível se
existir uma matriz B tal que AB= BA= In.
Se A não é inversível, temos que A é
uma matriz singular

Qual é a inversa da matriz A = ?

Qual é a inversa da matriz A = ?

DETERMINANTES

A teoria dos determinantes teve
origem em meados do século XVII,
quando eram estudados processos
para resolução de sistemas
lineares de equações.

Determinante de uma matriz ordem 1
O determinante da matriz de ordem , é
o próprio número que origina a
matriz. Dada uma matriz quadrada
de 1ª ordem temos que o
determinante é o número real

Determinante de matriz de ordem 2
O determinante de uma matriz de
segunda ordem é a diferença entre o
produto dos termos da diagonal
principal e o produto dos termos da
diagonal secundária. Esses produtos se
chamam, respectivamente, termo
principal e termo secundário da matriz.

Determinante de matriz de terceira
ordem
O determinante de uma matriz 3x3 é
calculado através de suas diagonais.
Para calcular o determinante de matrizes
de terceira ordem, utilizamos a chamada
regra de Sarrus, que resulta no seguinte
cálculo:

Calcular o determinante

3125

Menor Complementar:
Consideremos uma matriz M de ordem
n≥2;
Seja aij um elemento de M. Definimos
menor complementar do elemento
aij, e indicamos por Dij, como sendo o
determinante da matriz que se obtém
suprimindo a linha i e a coluna j de M.

Seja M= calculemos D11 e D32

, então D11=

, então D32=

Complemento algébrico do
elemento aij - Cofator

Consideremos uma matriz de ordem
n≥2; seja aij um elemento de M.
Definimos cofator de aij, e indicamos
por Aij, como sendo o número (-1)i+j.
Dij

Seja M = calculemos A11, A12, A13

A11= (-1) 1+1 =

A12= (-1)1+2 =

A13= (-1)1+3 =

Teorema Fundamental (de Laplace)

O determinante de uma matriz M, de
ordem n≥ 2, é a soma dos produtos
dos elementos de uma fila qualquer
(linha ou coluna) pelos respectivos
cofatores.

Calcule o determinante da matriz abaixo

3 4 2 1
5 0 -1 -2
0 0 4 0
-1 0 3 3

Trabalho

Propriedades dos determinantes

Matriz de Vandermonde (ou das
potências)
São as matrizes de ordem n ≥2,

. .
. .
. .
. .
. .
. .

As colunas das matrizes são
formadas por potências de mesma
base, com expoente inteiro,
variando desde 0 até n -1 ( os
elementos de cada coluna formam
uma progressão geométrica cujo
primeiro elemento é 1.

O determinante V(a1,a2,a3,...,an) é
igual ao produto de todas as
diferenças possíveis entre os
elementos característicos, com a
condição de que, nas diferenças, o
minuendo tenha índice maior que o
subtraendo.

=

(5-(-3)) . (5 -1) . ( 5 – 2) . ( -3 -1) . (-3 -2) . (1 – 2)=

8.4.3.(-4).(-5).(-1) = -1920

Calcule os determinantes abaixo:

Resolva a equação:

1 1 1 1
1 2 x -5
= 0
1 4 x2 25
1 8 x3 -125

Processo de Cálculo da Inversa de
uma Matriz Quadrada M
Teorema: Se M é uma matriz quadrada
de ordem n e determinante M ≠0, então
a inversa de M é:

= M’ = matriz dos cofatores

Qual a condição sobre a para que a
matriz

M= Seja inversível?

Vamos resolver:
2x - 3y = 11
x + 2y = 2
Para um sistema linear qualquer,
podemos associar uma matriz
denominada completa, que é formada
pelos coeficientes das incógnitas e
também pelos termos independentes.

• Dizemos que o sistema linear está
escalonado quando realizarmos
combinações lineares entre as linhas da
matriz completa de modo a zerar todos
os elementos aij da matriz em que i > j.
2 -3 11 Essa é a matriz
completa
1 2 2

2 -3 11 L1
1 2 2 L2

2 -3 11
L1-2L2 0 -7 7
Aqui está a
combinação
linear entre as
linhas 1 e 2 da
matriz,m
gerando uma
nova linha 2

A matriz do sistema foi escalonada,.
Na nova equação da linha2 da matriz
temos:
0x – 7y = 7 ou y = - 1
Substituindo esse valor em uma das
equações iniciais, obtém-se x = 4

Vamos escalonar?

x+ y+ z=3
2x – y – 2z = 2
x + 2z = 4

S= {(2, 0, 1)}

No método de Cramer, o aluno segue uma
rotina determinada- montagem e cálculo
dos determinantes, e divisão entre eles.
No método do escalonamento o aluno vê
envolvido em avaliar possibilidades e
escolher estratégias, adotando, dessa
forma, uma postura que remete à
mobilização de habilidades mais
elaboradas e valorizadas na aprendizagem
matemática.

Escalonamento x Cramer
Apesar de a regra de Cramer ser uma regra geral para a resolução
de sistemas lineares, na prática ela requer uma quantidade de
operações (adições, subtrações, multiplicações e divisões)
muito superior ao método do escalonamento, além do fato de
ela só servir para resolver sistemas possíveis e determinados.
Vejamos o que ocorre com um sistema de vinte equações e
vinte incógnitas:
Pelo método do escalonamento serão necessárias até 16.000
operações
Pela regra de Cramer serão necessárias até
1.021.818.843.434.190.000.000 operações.
Muitos dos problemas práticos envolvem uma quantidade muito
grande de operações, e mesmo utilizando programas de
computadores, é nítida a vantagem do método do
escalonamento, pois se deseja o máximo de eficiência e,
portanto, o menor tempo de processamento.

Resolver o sistema abaixo:
x – 3y = -6
2x + y + z = 1
-x + 2y – 2z = 6

S={(0, 2, -1)}

Por Cramer o sistema será apenas
identificado como possível e
indeterminado, mas não ajudaria na
resolução.
x+y+z=3
2x – y + 3z = 4
-x -4y = -5

S={(5 – 4k, k, -2 + 3k), kϵ R}

• O método de Sarrus para a
obtenção de um determinante é
bastante prático de ser utilizado em
outra situações , que não envolvam
resolução de sistemas lineares , por
ex. em cálculo de áreas de polígonos
representados no plano cartesiano.

Conhecendo as coordenadas dos
vértices de um triângulo
representado no plano cartesiano, é
possível calcularmos sua área por
intermédio da composição e/ou de
composição de polígonos auxiliares.

Área(ABC)= área(ADEF) –
área(AFC) – área(ABD) – área(BCE)

Área(DEFC)= (xB - xC).(yA - yC)
Área(BFC) = [(xB - xC).(yB - yC)]/2
Área(ABE) = [(xB - xA).(yA- yB)]/2
Área(ADC) = [(xA - xC).(yA - yC)]/2
Área do triângulo ABC=
(xB - xC).(yA - yC)-{[(xB - xC).(yB - yC)]/2 +
[(xB - xA).(yA- yB)]/2 + [(xA - xC).(yA - yC)]/2}
Área do ABC = [xA.yB+xC.yA+xB.yC-
(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2

• Por determinante

½

xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2

Vamos determinar a área do polígono?

De outra maneira, em uma extensão
de regra de Sarrus, o cálculo da área
de um polígono de n lados,
representado no plano cartesiano,
pode ser feito como segue, sendo xi e
yi as coordenadas de cada vértice do
polígono com n vértices.
A=

• Nos produtos indicados pelas setas,
vale, seguindo o mesmo raciocínio do
cálculo pelo método de Sarrus.
• Metade do resultado final da soma, em
módulo, é igual à área do polígono de n
lados.
• O ponto inicial pode ser qualquer um
dos vértices do polígono e o sentido,
horário ou anti-horário, não importa,
dado que o valor final é tomado em
módulo.

Calcule a área do pentágono COISA
representado abaixo

Discussão de um Sistema Linear

Se b= 5/6 S= {(5,-5)} Sist. possível e determinado –
S.P.D.
Sistema impossível –
S.I.

1) Vamos discutir o sistema

Em função dos parâmetros a e b

2)Encontre o valor de a para que o
sistema

+
Seja possível. Para o valor
encontrado de a ache a solução geral
do sistema,isto é, ache expressões
que representem todas as soluções
do sistema. Explicite duas dessas
soluções.

Sistemas Lineares homogêneos

Se num sistema linear todos os
termos independentes são nulos,
o sistema é denominado sistema
linear homogêneo.

Como os sistemas homogêneos são
sempre possíveis, são os únicos que
podem ser classificados apenas a
partir do cálculo do determinante.
Como não há chance de o sistema
homogêneo ser SI, se o determinante
for nulo, o sistema homogêneo será
SPI

D=0 SPI

Vamos determinar uma solução geral
Fazendo y = k, S={(3k/2,k) , k ϵ R}

D≠ 0 o sistema é homogêneo,
então a única solução é a trivial, ou
seja S= {(0, 0, 0)}

Verifique se o sist. linear
homogêneo

é determinado ou indeterminado

Calcule o valor de a para os quais o
sistema

Admita outras soluções além de x = y = z = 0

a= 1 , a = -1

Verifique se o sistema
x y z
x y t
x z t
y t z

Admite soluções próprias

O latão é uma liga metálica composta
basicamente de cobre e zinco. Em geral a
porcentagem de zinco na liga varia de
20% a 35%, dependendo das
características que se quer dar ao latão.
Uma empresa possui em estoque dois
grandes lotes de latão, sendo um lote de
4 toneladas de latão com 23% de zinco
na sua composição e um lote de 5
toneladas de latão com 33% de zinco.

Essa empresa foi consultada sobre a
probabilidade de fazer uma entrega
de certa quantidade de latão, de
modo que no total a porcentagem
de zinco fosse de 25%
a) Para cada tonelada com 25% de
zinco, quantos quilos de cada tipo
de latão que a empresa tinha em
estoque seria necessários?

b)Qual é a quantidade máxima que
ela poderia obter de latão com25%
de zinco, com base em seus
estoques atuais?

 Joaquim pagou n reais por cada uma
de m canetas e m reais por cada um de
n lápis, tendo gastado em média R$7,50
por item comprado. Em seguida,
Joaquim observou que se cada caneta
tivesse custado 1 real a menos e cada
lápis tivesse custado 1 real a mais ele
teria pago em média R$7,75 por cada
item comprado. Determine a
quantidade de caneta que Joaquim
comprou.

Um grupo de amigos acabou de
comer uma pizza. Se cada um
der R$ 8,00 faltarão R$ 2,50 para
pagar a pizza e se cada um der
R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50. Qual o
preço da pizza?

Uma empresa deve enlatar uma
mistura de amendoim, castanha de
caju e castanha-do-pará. Sabe-se que
o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o
quilo de castanha de caju,R$ 20,00, e o
quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00.

Cada lata deve conter meio quilo
da mistura e o custo total dos
ingredientes de cada lata deve ser
de R$ 5,75. Além disso, a
quantidade de castanha de caju em
cada lata deve ser igual a um terço
da soma das outras duas

a) Escreva o sistema linear que
representa a situação descrita
acima.
b) Resolva o referido
sistema, determinando as
quantidades em gramas, de cada
ingrediente por lata.

Roberto gosta de fazer caminhada
em uma pista próxima a sua casa. Ao
longo da pista existem uma
lanchonete, um posto médico e uma
banca de revistas. Fazendo o mesmo
caminho diariamente, Roberto
constatou que , da lanchonete à banca
de revistas, passando pelo posto
médico, caminhou 1000 passos.

 Do posto médico à lanchonete
passando pela banca caminhou 800
passos e da banca ao posto
passando pela lanchonete,
caminhou 700 passos. Considerando
que cada um dos passos de Roberto
mede 80cm, qual é o comprimento
da pista.

Ao descontar um cheque, recebi
somente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00,
em um total de 14 notas. Quando fui
conferir, descobri que o caixa havia se
enganado, pois recebi tantas notas de R$
50,00 quanto as de R$ 10,00 que deveria
ter recebido e vice-versa. Percebido o
erro, verifiquei que, se gastasse R$
240,00 da importância recebida, ainda
ficaria com o valor do meu cheque. Qual
o valor do meu cheque?

João contou os coelhos, os patos e os
bois que havia em sua fazenda, obtendo
um total de 340 animais. A seguir,
verificou que o nº de coelhos era o triplo
do de patos e que o número de bois
excedia em 20 unidades o total de coelhos
e patos. Determine o número de patos
que havia na fazenda.

Em uma mesa de lanchonete, o
consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras
de café e 1 pedaço de torta
totalizou R$ 31,50. Em outra mesa,
o consumo de 4 sanduíches, 10
xícaras de café e um pedaço de
torta totalizou R$ 42,00. Quanto
deve totalizar o consumo de 1
sanduíche, 1 xícara de café e 1
pedaço de torta nessa lanchonete?

 Um estudante em férias observou
que durante d dias:
Choveu 7 vezes de manhã ou de
tarde;
Houve 5 manhãs sem chuva;
Houve 6 tardes sem chuva
Calcule d

 Eu tenho o dobro da idade
que tu tinhas quando eu tinha
a idade que tu tens. Quando
tiveres a idade que eu tenho,
juntos teremos 135 anos.
Qual é a minha idade?

Os números complexos apareceram
no século XVI ao longo das
descobertas de procedimentos gerais
para resolução de equações
algébricas de terceiro e quarto grau.
No século XVII os complexos são
usados de maneira tímida para
facilitar os cálculos.

No século XVIII são mais usados
na medida que se descobre que
os complexos permitem a
conexão de vários resultados
dispersos da Matemática no
conjunto dos números reais.

• No entanto, nada é feito para
esclarecer o significado desses
novos números. No século XIX,
aparece a representação geométrica
dos números complexos, motivada
pela necessidade em Geometria,
Topografia e Física, de se trabalhar
com o conceito de vetor no plano.

• Os números complexos passam a
ser aplicados em várias áreas do
conhecimento humano, dentro e
fora da Matemática

http://matmagias.blogspot.com/
2009/06/ainda-proposito-dos-
numeros-complexos.html

• Introdução
Em 1545, Jerônimo Cardano (1501-1576),
em seu livro “A Grande Arte”, mostrou o
método para resolver equações do
terceiro grau que é hoje chamada de
Fórmula de Cardano. Bombelli (1526-
1572), discípulo de Cardano, em sua
“Álgebra”, aplicou a fórmula de Cardano à
equação x3 -15x -4 = 0 obtendo
X= +

• Embora não se sentisse completamente
a vontade em relação às raízes
quadradas de números negativos
(diziam que eram inúteis e
sofísticas), Bombelli operava livremente
com elas, aplicando-lhes as regras
usuais da Álgebra.
Bombelli mostrou que:

= ... (vamos desenvolver)

Portanto x = 2 + +2- =4.
Bombelli trabalhava
Sistematicamente com a quantidade
,
que hoje chamamos de unidade
imaginária e representamos por i.

Apenas no séc. XIX, quando
Gauss(1787-1855), o grande
matemático da época e um dos
maiores de todos os tempos, divulga
a representação geométrica dos
números complexos e a sensação de
desconforto desaparece (Mat. do
E.M. vol3-SBM)

Os números complexos
constituem um conjunto C, onde
estão definidas operações de
adição e de multiplicação com as
propriedades (comutativas,
associativas, distributiva , *)

•*Existem e são únicos os
números 0 e 1 satisfazendo às
condições a+0=a, a.1=a
•*A todo real a corresponde um
único número real (-a), e se a≠0
um único nº real 1/a, tais que:
•a+(-a)=0 e a.(1/a) =1

Além disso, os números reais estão
incluídos em C e:
a) Existem um nº complexo i com i2 = -1
b) Todo número complexo pode ser
escrito de uma maneira única na forma
a + bi, onde a e b são reais (a é
chamado parte real e b é chamado
parte imaginária do complexo a+bi).
Usa-se a notação Re(a+bi)= a e
Im(a +bi)=b

Fixando um sistema de coordenadas
no plano, o complexo z = x + yi é
representado pelo ponto P(x, y) . O
ponto P é chamado de imagem do
complexo z.
O plano no qual representamos os
complexos é chamado de plano de
Argand-Gauss (Argand 1768-1822,
matemático francês).

Os números representados no eixo x
são da forma (x, 0)= x + 0i = x, isto
é, são números reais, por esse
motivo, o eixo dos x é chamado de
eixo real.
Os complexos representados no eixo
y são da forma (0, y) = 0 + yi =
yi, esses complexos são chamados
de números imaginários puros.

• Módulos e Conjugados
• Dado um nº Complexo z = a +bi, e z≠0,
temos z.(1/z) = 1. Convém definir o
conjugado de um nº complexo =a - bi
• Geometricamente o conjugado é
representado pelo simétrico de z
relativamente ao eixo z=(a,b)

=(a,-b)

• Chama-se módulo de z (|z|) ao número real
não negativo |z|= .
• Geometricamente |z| mede a distancia de
Oaz
z=(a, b)

=
=(a+bi)(a-bi) = = |z|

• Corolário:
Se um polinômio de coeficientes reais
admite uma raiz complexa a +bi, a e b
reais, então ele admite também a raiz
a – bi.
P(a + bi) = 0 = 0 + 0i, então, pelo teorema
P(a –bi) = 0 – 0i = 0

• Lista de classe nº 1
• Lista para casa nº 1

FORMA TRIGONOMÉTRICA

z= a+ bi z=(a,b)
|z| = r
b= r sen Ѳ
Ѳ
a= r cos Ѳ

z= a+bi = r cosѲ + r senѲ i

= r (cosѲ + i senѲ)

Encontrar a forma trigonométrica

• z = 3 +3i
|z|= =3

cosѲ= Ѳ= π/4 +2kπ, k ϵ Z argumento

z= 3 (cos(

Multiplicação de Complexos
Sendo

Na figura P é afixo do número complexo z.
Determine o complexo

Na figura abaixo, o triângulo ABC é
isósceles e está inscrito em uma
circunferência de raio 3.
Im(z)

2

Re(z)

Qual a área do triângulo ABC ?

• No plano de Argand-Gauss, as
imagens dos complexos z, tais que
|z + z| = 6 e z.z = 10, são vértices de
um polígono regular.
a) Qual é o perímetro desse polígono?
b) Qual é a área desse polígono?

Radiciação
Dado um número complexo z, chama-se raíz
enésima de z, e denota-se , a um número
complexo , tal que

=

Exs: 1 é um valor de pois 13 = 1
- é um valor de pois =1

- é um valor de pois =1

SEGUNDA FÓRMULA DE MOIVRE
Teorema:
Dado o número complexo z = ƿ (cosѲ + i senѲ)
e o número natural n (n ≥ 2), então existem n
raízes enésimas de z que são da forma:

em R+ e K ϵ Z

Interpretação geométrica da
multiplicação de complexos

Quando multiplicamos um complexo z
por , o vetor que representa z
sofre uma rotação de um ângulo em torno
da origem.
Como tem módulo =1,
z.[ ] tem o mesmo módulo que z.

O argumento de z. [ ]éo
argumento de z aumentado de Ѳ .
Logo o vetor que representa
z.[ ] é o resultado da
rotação do vetor que representa z de
um ângulo Ѳ em torno da origem.

• ABCD é um quadrado. Se A(1; 2) e
B(2; 5), determine as coordenadas
de C e D.
D C

A B

D’ C’

O vetor AD é obtido por uma rotação de
+ 90°. Portanto (D – A) = (B – A) [cos90° +
i sen 90°].
D – ( 1 + 2i) = ( 1 + 3i). i e
D = 1 + 2i + i + 3i2 = -2 + 3i = (-2; 3).
Vetor AD = vetor BC. Daí D - A = C – B,
C = B + D – A = ( -1; 6)
A é o ponto médio de DD’.
Logo D’= (4; 1) e C’= ( 5, 4)

ABCD é um quadrado.
Dados A= (1, 2) , e B= (3, 5),
determine as coordenadas C e D.

 Dois vértices consecutivos de um
octógono regular convexo são (1, 2) e
( 3, -2). Determine o centro do
octógono

• No plano de Gauss, as imagens dos
complexos z, tais que |z + z| = 6 e z.
z = 10 são vértices de um polígono
regular.
a) Qual é o perímetro desse polígono?
b) Qual a área desse polígono?

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