SlideShare uma empresa Scribd logo
PROF. GILBERTO SANTOS JR
MATRIZES
1 . INTRODUÇÃO
Muitas vezes, para designar com clareza
certas situações é necessário um grupo orde-
nado de números que se apresentam dispostos
em linhas e colunas, formando o que se chama
matriz.
Observe por exemplo a seguinte situa-
ção:
As vendas de uma editora em relação
aos livros de Matemática, Física e Química, no
primeiro trimestre de um ano, podem ser ex-
pressas pela tabela a seguir.
Janeiro Fevereiro Março
Matemática 20000 32000 45000
Física 15000 18000 25000
Química 16000 17000 23000
Se quisermos saber:
 Quantos livros de Matemática foram vendidos
em Fevereiro, basta olharmos o número que
está na primeira linha e na segunda co-
luna;
 Quantos livros de Física foram vendidos em
Janeiro, basta olharmos o número que está
na segunda linha e na primeira coluna;
 Quantos livros de Química foram vendidos
nos 3 meses, basta somarmos os números
da terceira linha. E assim por diante.
Uma tabela desse tipo, em que os nú-
meros estão dispostos em 3 linhas e 3 co-
lunas, denomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três
por três) e podemos representá-la por:








230001700016000
250001800015000
450003200020000
ou








230001700016000
250001800015000
450003200020000
2 . DEFINIÇÃO
Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n)
qualquer tabela retangular formada por m
linhas e n colunas, sendo m e n números
inteiro maior que zero.
Dizemos que a matriz é do tipo m × n
ou de ordem m × n.
Exemplo:
A2 × 3 = 





015
43 2
é uma matriz de ordem dois
por três.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Os estudantes de um colégio responderam
a seguinte pergunta: “Você prefere Matemática
ou Português?” Cada estudante escolheu uma
única matéria. As respostas foram computadas
e alguns dados colocados no quadro:
a) Quantos estudantes escolheram a Mate-
mática? R: 235 alunos
b) Quantos estudantes do sexo feminino res-
ponderam à pergunta? R: 215 alunos
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam
à pergunta? R: 457 alunos
2) Observe a matriz seguinte e responda:












258114
212617
9731
51010
a) De que tipo ou ordem é a matriz dada?
R: 4 por 4
b) Quais são os números da 1ª linha?
R: 10, 0, 1 e 5
c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na
2ª coluna? R: 3
e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5
f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11
g) Qual o resultado da soma dos números da
2ª coluna? R: 20
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR
3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por
estudantes da Faculdade de Estatística mostra,
em horas por dia, como os jovens entre 12 e
18 anos gastam seu tempo, tanto durante a
semana (de segunda-feira a sexta-feira), como
no fim de semana (sábado e domingo). A
seguinte tabela ilustra os resultados da
pesquisa. R: (e)
Sexo
Matéria masculino Feminino
Matemática 137 98
Português 105 117
2
De acordo com esta pesquisa, quantas horas
de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18
anos, na semana inteira (de segunda-feira a
domingo), nas atividades escolares? R: (e)
(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE
UMA MATRIZ
O elemento genérico de uma matriz A
será indicado por aij em que i representa a
linha e j a coluna na qual o elemento se en-
contra. Uma matriz A, do tipo m × n será es-
crita, genericamente, assim:
A =
















mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se:
matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n.
Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que
aij = i + j.
Resolução:
A matriz é do tipo 2 x 2 então, generi-
camente,






2221
1211
aa
aa
Resta descobrir quem são esses termos
a11, a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j.
Então, usando os cálculos auxiliares:
a11 = 1 + 1 = 2
a12 = 1 + 2 = 3
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 + 2 = 4
Logo a matriz 





2221
1211
aa
aa
é igual a






43
32
.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
4) Escreva as matrizes:
a) A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j. R = 




543
432
b) A = (aij)3 × 2 tal que aij = i - j. R =







 
12
01
10
c) B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j.
R = 




23
01
d) C = (cij)3 × 3 tal que





jipara1c
jipara0c
ij
ij
.
R =








011
101
110
e) D = (dij)2 × 4, com dij = j-i R = 




2101
3210
4 . MATRIZES ESPECIAIS
MATRIZ QUADRADA
É toda matriz cujo número de linhas é igual
ao número de colunas.
Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois
por dois ou simplesmente ordem 2.
A2 × 2 = 





15
32
ou simplesmente, A2 = 





15
32
Observação: Numa matriz quadrada A de or-
dem n, os elementos aij tais que i = j formam
a diagonal principal da matriz, e os elemen-
tos aij tais que i + j = n + 1 formam a diago-
nal secundária.












333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
diagonal principal
diagonal secundária
MATRIZ IDENTIDADE
É uma matriz quadrada de ordem n em
que todos os elemento da diagonal principal
são iguais a 1 e os outros elementos são iguais
a zero, seu símbolo é igual a In.
Exemplos: I2 = 





10
01
, I3 =










100
010
001
.
MATRIZ NULA
É qualquer matriz que possui todos os
elementos iguais a zero. Simboliza-se a matriz
nula de ordem m × n por 0m × n e a de ordem
n por 0n.
Exemplos: 03 × 2 =










00
00
00
, 02 = 





00
00
,
03 =










000
000
000
, 01 × 4 =  0000
MATRIZ TRANSPOSTA
Seja A uma matriz de ordem m × n de-
nomina-se transposta de A a matriz de or-
dem n × m obtida, isto é, trocando-se orde-
nadamente as linhas pelas colunas.
Indica-se transposta de A por At
.
Exemplo: seja a matriz A =
2307
53
21











a sua
transposta é At
=
32052
731







3
5 . IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B são iguais se, e somen-
te se, tem a mesma ordem e seus elementos
correspondentes (que estão na mesma linha
e na mesma coluna) são iguais.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
5) Calcule os termos desconhecidos:
a) 





dc
ba
= 





85
36
R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8
b) 





2y5
3x
= 





85
36
R: x = 6 e y = 4
c) 





qp
nm
= I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1
d) 





 1n0
0m
= 





50
03
R: m = 3 e n = 4
e) 





 yx0
0y
= I2 R: x = 0 e y = 1
f) 




 
b-ay
byx
= 





81
35
R: x = 4; y = 1; a = 11; b = 3
g) 




 
d-2a2b
3dba
= 





176
95
R: a = 2; b = 3 e d = 3
h)







 
1-y0
65x-xz 2
= I2 R: x = 2 ou x = 3; y = 2 e z = 1
6) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de or-
dem 2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t
para que se tenha 







zty2x
ztyx
= A.
R: x = 1; y = 1 t = 7/2 e z = -1/2 (Veja a resolução dessa questão )
6 . ADIÇÃO DE MATRIZES
Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m
× n denomina-se soma da matriz A com a
matriz B, que representamos por A + B, a
matriz C do tipo m × n na qual cada elemento
é obtido adicionando os elementos correspon-
dentes de A e B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
7) Dadas as matrizes A = 





10
42
, B = 





07
14
e
C = 





2-5
03
, calcule:
a) A + B = R: 




17
56
c) B + C = R: 




 212
17
b) A + C = R: 




 15
45 d) A + B + C =
R: 




 112
59
8) Determine x, y, z e t, sabendo que:
a)










z
y
x
+










5
1
3
=










5
4
1 0
R: x = 7; y = 10 e z = 0
b)










z
y
x
+










4
z
y
=










9
1 5
2 0
R: x = 10; y = 10 e z = 5
c) 





2z3
yx
+ 





zt
3x
= 





184
110
R: x = 5; y = -2; t = 1 e z = 6
d) 





t3x
yx
+ 





2y-
zy
= 





014
76
R: x = 5; y = 1; t = - 2 e z = 6
7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Sendo A e B duas matrizes do tipo m × n,
denomina-se diferença entre A e B (repre-
sentada por A – B) a soma da matriz oposta
de B.
A – B = A + (-B)
EXERCÍCIOS BÁSICOS
9) Calcule:
a)




















3
6
3
-
2
7
8
= R:








 1
1
5
b) 





41
32
- 





51
20
= R: 




 10
12
c) 





1036
421
- 





156
210
= R: 




 920
211
10) Dadas as matrizes A =










3
6
2
, B =










2
6
1
e
C =










2-
4
0
, calcule:
a) A + B – C b) A - B + C c) A - B – C
R: a)








7
8
3
; b)








 1
4
1
e c)









3
4
1
11) Determine x, y e z sabendo que:
a)










z
y
x
-










8
5
3
=












6
4
1 0
R: x = 13; y = 1 e z = 2
b)




















0
z
y
-
z
y
x
=










8
2
1 5
R: x = 25; y = 10 e z = 8
c) 











z3-
4x-
-
2z1
6x
= 





14
y12
R: x = 6; y = 2 e z = 1
d)








2
2
zy
1x
- 





1-5-
3-2
= 





108
41-
R: x = -1 ou x = 1; y = 3 e z = -3 ou z = 3
4
8 . MULTIPLICAÇÃO DE UM N° REAL
POR UMA MATRIZ
Se A é uma matriz m × n, de elementos aij,
e  é um número real, então A é uma ma-
triz m × n cujos elementos são aij.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
12) Sendo A = 





314
102
e B = 





605
21-0
,
determine:
a) 5A = R: 




15520
5010
b) -2B = R: 






12001
420
c) A
2
1
= R: 




2/32/12
2/101
d) 2A + B = R: 




12213
414
e) 5A – 02 x 3 = R: 




15520
5010
13) Se A = 





02
31
, B = 





2-1
31-
e C = 





34
21
,
calcule 3A + 2B - 4C. R: 




 168
73
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e
uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto
da matriz A pela matriz B é a matriz C =
(cij) do tipo m x p tal que o elemento cij é
calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i, da matriz A, pelos ele-
mentos da coluna j, da matriz B, e somando-
se os produtos obtidos.
Para dizer que a matriz C é o produto de A
por B, vamos indicá-la por AB.
Observe que só definimos o produto AB
de duas matrizes quando o número de colunas
de A for igual ao número de linhas de B; além
disso, notamos que o produto AB possui o nú-
mero de linhas de A e o número de colunas de
B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
14) Determine os produtos:
a) 











31
42
01
56
= R: 




42
3917
b) 











3-41-2
6150
23
15
= R:




1211134
279242
c) 















21-
53
34
12-
61
= R:










269
87
173
d) 











26-
47
12
4-5
= R: 




108
1259
e)




















23
42
05
204
152
631
= R:








426
2232
2429
f)  052
6
3
1










= R:








03012
0156
052
15) O quadro abaixo registra os resultados
obtidos por quatro times em um torneio em
que todos se enfrentam uma vez:
Vitórias Empates Derrotas
América 0 1 2
Botafogo 2 1 0
Nacional 0 2 1
Comercial 1 2 0
a) Represente a matriz A = (aij) correspon-
dente.
b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3
c) O que representa o elemento a23 da matriz
A? R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo
d) Qual o elemento da matriz A que indica a
vitória do Comercial? R: a41
e) Considerando que um time ganha três pon-
tos na vitória e um ponto no empate, calcule
quantos pontos fez cada time. R:










5
2
7
1
R: América: 1pt; Bota Fogo: 7 pts; Nacional: 2 pts; Comercial: 5 pts
f) Qual foi a classificação final do torneio?
R: Bota Fogo campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América
4º lugar.
16) Para a fabricação de caminhões, uma in-
dústria montadora precisa de eixos e rodas
para seus três modelos de caminhões, com a
seguinte especificação:
Componentes/modelos A B C
Eixos 2 3 4
Rodas 4 6 8
Para os primeiros meses do ano, a produção da
fábrica deverá seguir a tabela abaixo:
Modelo/Meses Janeiro Fevereiro
A 30 20
B 25 18
C 20 15
Usando a multiplicação de matrizes, responda:
nessas condições, quantos eixos e quantas
rodas são necessários em cada um dos meses
para que a montadora atinja a produção pla-
nejada? R: 215 eixos e 430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308
rodas no mês de Fevereiro.
10 . MATRIZ INVERSA DE UMA
MATRIZ DADA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n,
se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In,
então X é denominada matriz inversa de A e
é indicada por A-1.
5
Quando existe a matriz inversa de A,
dizemos que A é uma matriz inversível ou não-
singular.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17) Determine, se existir, a inversa de cada
uma das seguintes matrizes:
a) A = 





20
31
R: 



 
2/10
2/31
b) A = 





42
85
R: 






4/52/1
21
(Veja a resolução )
c) A = 





54
32
R: 




1-2
3/25/2-
d) A = 





31
21
R: 






11
23
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
18) Um técnico de basquetebol descreveu o
desempenho dos titulares de sua equipe em
sete jogos através da matriz:
















18172014121819
23221820202218
22141421201920
18212218181615
20182117181718
Cada elemento aij dessa matriz é um número
de pontos marcados pelo jogador de número i
no jogo j.
a) Quantos pontos marcou o jogador de nú-
mero 3 no jogo 5? R: 14
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4?
R: 90
c) Quantos pontos marcou o jogador de nú-
mero 2 em todos os jogos? R: 128
19) Obtenha x, x ∈ R, de modo que a matriz:
A =










86x-x0
065xx
2
2
Seja igual à matriz nula de ordem 2.
R: S = {2, 3, 4}
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
20)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz
quadrada de ordem 2 tal que
aij =






jipara1i
jipara2
2
ji
. Nessas condições: R: (c)
(a) A = 





58
42
(d) A = 





52
82
(b) A = 





65
82 (e) n.d.a.
(c) A = 





55
82
21)(FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e
B = (bij) estão assim definidas: R: (d)










jise0a
jise1a
ij
ij










4jise0b
4jise1b
ij
ij
em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
(a)










100
010
001
(c)










101
010
101
(e)










010
110
011
(b)










001
010
100
(d)










101
020
101
22)(ENEM-2012) Um aluno registrou as no-
tas bimestrais de algumas de suas disciplinas
numa tabela. Ele observou que as entradas
numéricas da tabela formavam uma matriz
4x4, e que poderia calcular as médias anuais
dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a
tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
Para obter essas médias, ele multiplicou a ma-
triz obtida a partir da tabela por: R: (e)
(a)










2
1
2
1
2
1
2
1 (d)
































2
1
2
1
2
1
2
1
(b)










4
1
4
1
4
1
4
1 (e)
























4
1
4
1
4
1
4
1
(c)


















1
1
1
1
R: (e)
23)(Unificado-RJ) Cláudio anotou suas mé-
dias bimestrais de matemática, português,
ciências e estudos sociais em uma tabela com
quatro linhas e quatro colunas, formando uma
matriz, como mostra a figura: R: (e)
1º b 2º b 3º b 4º b
matemática 5,0 4,5 6,2 5,9
português 8,4 6,5 7,1 6,6
ciências 9,0 7,8 6,8 8,6
est. sociais 7,7 5,9 5,6 6,2
6
Sabe-se que as notas de todos os bimestres
têm o mesmo peso, isto é, para calcular a mé-
dia anual do aluno em cada matéria basta fa-
zer a média aritmética de suas médias bimes-
trais. Para gerar uma nova matriz cujos ele-
mentos representem as médias anuais de
Cláudio, na mesma ordem acima apresentada,
bastará multiplicar essa matriz por:
(a)
2
1
(c)
























2
1
2
1
2
1
2
1
(e)
























4
1
4
1
4
1
4
1
(b) 





4
1
4
1
4
1
4
1
(d)
4
1
24) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o
custo das porções de arroz, carne e salada
usados num restaurante. A matriz P fornece o
número de porções de arroz, carne e salada
usados na composição dos pratos tipo P1, P2,
P3 desse restaurante.
C =
salada
carne
arroz
2
3
1










P =
3P
2P
1P
prato
prato
prato
022
121
112
saladacarnearroz










A matriz que fornece o custo de produção, em
reais, dos pratos P1, P2, P3 é: R: (a)
(a)










8
9
7
(c)










4
1 1
9
(e)










4
2
2
(b)










4
4
4
(d)










8
6
2
25)(UNAMA-2006/2) Nas matrizes













00,000.6$RZ
00,800.5$RY
00,600.5$RX
UnitárioeçoPrModelo
A e











402015Trimestreº2
503025Trimestreº1
ZYXModeloTrimestre
B estão
representados os preços unitário das motone-
tas em função do modelo e a quantidade ven-
dida no 1º e 2º trimestres de 2006 por uma
revendedora de motonetas, respectivamente.
Com base nesses dados, podemos afirmar que
a receita obtida por essa revendedora no 1º
trimestre de 2006 foi de: R: (b)
(a) R$ 720.000,00 (c) R$ 560.000,00
(b) R$ 614.000,00 (d) R$ 440.000,00
26)(UEPA-2012) O cálcio é essencial para a
transmissão nervosa, coagulação do sangue e
contração muscular; atua também na respira-
ção celular, além de garantir uma boa forma-
ção e manutenção de ossos e dentes. A tabela
1 abaixo mostra que a ingestão diária reco-
mendada de cálcio por pessoa varia com a ida-
de.
Foi por essa importância que o cálcio tem para
o corpo humano que a diretora de uma escola
resolveu calcular a quantidade de cálcio que
teria de usar nas refeições diárias dos seus
alunos para suprir a essa necessidade. A tabela
2 abaixo mostra a quantidade de alunos por
idade existente nessa escola.
A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria
que usar nas refeições desses alunos é: R: (e)
(a) 286.000 (c) 300.000 (e) 322.000
(b) 294.000 (d) 310.000
27)(PROSEL-2008) Uma campanha foi de-
flagrada para angariar alimentos não perecí-
veis com o objetivo de amenizar problemas
gerados em uma região assolada pelas secas.
Os alimentos doados foram: arroz; feijão e
açúcar, todos em sacos de 1kg, totalizando
1.436kg desses alimentos. Sabe-se que a ter-
ça parte do número de sacos de feijão, soma-
dos aos
11
2
do número de sacos de açúcar, dá
um total de 292kg e que há 144kg de açúcar
a mais que de feijão. Se X é a quantidade de
sacos de arroz; Y a quantidade de sacos de
feijão e Z a quantidade de sacos de açúcar, a
representação matricial do sistema formado,
tomando por base esses dados, é: R: (a)
(a)










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
9 6 3 6
1 4 3 6
(b)










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
1 6 0 6
1 4 3 6
7
(c)










11-0
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
1 4 3 6
9 6 3 6
(d)










11-0
6110
11-1
.










Z
Y
X
=










1 4 4
1 4 3 6
9 6 3 6
(e)










1-10
6110
111
.










Z
Y
X
=










1 4 4
1 4 3 6
9 6 3 6
28)(PROSEL-2006) Para a confecção de um
cartaz, uma gráfica dispõe das cores: preto,
amarelo, vermelho e azul, cujas doses tem
preços unitários, em reais, representado pela
matriz A abaixo. Atendendo à solicitação do
cliente, a gráfica apresentou um orçamento
com as possiveis combinações de cores, cujas
quantidades de doses utilizadas em cada cartaz
estão representadas pela matriz B abaixo.
Nessas condições, o cartaz de menor custo
terá preço de: R: (d)
Dados:
(a) R$ 13,00 (c) R$ 11,00 (e) R$ 9,00
(b) R$ 12,00 (d) R$ 10,00
29)(UFPA-2009) Pedro, João e Antônio co-
mercializam três tipos de fruta com períodos
de safra parecidos: manga, abacate e cupuaçu.
No período da safra os três vendem o quilo de
cada uma dessas frutas por R$ 1,00, R$ 2,00
e R$ 3,00 e, na entressafra, por R$ 2,00, R$
3,00 e R$ 6,00. Sobre a comercialização des-
sas frutas, considere que R: (c)
A = 





642
321
, matriz que representa o preço
das frutas na safra e na entressafra;
B =










51510
102015
152520
, matriz que representa uma
quantidade (Kg) comercializada dessas frutas;
C =








zwy
vut
, matriz que representa o produ-
to A.B, em que a 1ª, 2ª e 3ª colunas represen-
tam o valor arrecadado, respectivamente, por
Pedro, João e Antônio, com a venda dessa
quantidade de frutas.
Sobre o valor arrecadado na venda, é correto
afirmar que
(A) Na safra, com a venda de 20 kg de man-
ga, 25 kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pe-
dro arrecadou t = R$ 85,00.
(B) Na entressafra, com a venda de 10 kg de
manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu,
Antônio arrecadou z = R$ 110,00.
(C) Na safra, com a venda de 25 kg de man-
ga, 20 kg de abacate e 15 kg de cupuaçu,
João u = R$110,00.
(D) Na entressafra, com a venda de 20 kg de
manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu,
João arrecadou w = R$ 170,00
(E) Na entressafra, com a venda de 15 kg de
manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu,
Pedro arrecadando y = R$ 170,00.
30)(IFPA-2011) Considere três dias da se-
mana, D1, D2 e D3, e três medidas de tempe-
raturas feitas em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A
matriz a seguir descreve a medida de tempera-
tura verificada nesses três dias da semana.
Cada elemento aij da matriz indica a quantida-
de de temperatura em graus Celsius Ti em ca-
da dia Dj , sendo i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2, 3}.
Analisando a matriz, não podemos afirmar que
(A) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C.
(B) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C.
(C) a média das temperaturas, no dia D3, é de
30°C.
(D) a soma das temperaturas Ti verificadas
nos dias Di, i = 1, 2, 3 é, aproximadamente,
30,8°C.
(E) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia
D1, é 54°C. R: (d)
EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS
DE VESTIBULARES
31)(UFES) Os valores de x e y que satisfa-
zem a equação matricial:






2x4
2-x
+ 





y-1
73y
= 





15
54
são:
(a) x = - 1 e y = - 1 (c) x = 2 e y = - 1
(b) x = 1 e y = 1 (d) x = 2 e y = 2
32)(FGV-SP) Sendo A =








0
2
1
20
, obtenha a
matriz A2
+ A3
.
8
33)(Unifor-CE) Os números reais x e y que
satisfazem o sistema matricial 





1-2
21-






y
x
=






 2
4
são tais que seu produto é igual a:
(a) – 2 (b) - 1 (c) 0 (d) 1 (e) 2
34)(PUC-SP) São dadas as matrizes
A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2,
com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. se
C = A + B, então C2
é igual a:
(a) 





10
01
(c) 





10
01
(e) 





1-0
0-1
(b) 





01
10
(d) 





01-
-10
35)(PUCC-SP) Seja a matriz A = (aij)2 × 2,
onde aij =





jisej-i
jiseji
. Se At
é a matriz trans-
posta de A, então a matriz B = A2
– At
é igual
a:
(a) 





147
10-4
(c) 




 
117
71
(e) 




 
162
82
(b) 







171
33
(d) 





121-
02
EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS
DE VESTIBULARES
36)(UFPA-2001) Numa farmácia de manipu-
lação, para fazer dois tipos de medicamentos
(I e II), o farmacêutico precisa das substâncias
A, B e C, expressas na tabela abaixo, em gra-
mas:
A B C
I 10 30 60
II 20 50 30
As substâncias podem ser compradas em dois
fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das
substâncias em cada fornecedor, está expresso
em reais na tabela a seguir:
F1 F2
A 4 2
B 5 4
C 3 5
Após construir a matriz cujos elementos indi-
cam o preço de custo dos medicamentos pelo
fornecedor, calcule os valores das despesas se
a compra for toda feita no mesmo fornecedor.
Considerando que o pagamento é feito à vista,
determine como o farmacêutico pode combinar
a compra das três substâncias de modo a gas-
tar o mínimo possível.
37)(UF-MT) Os aeroportos 1, 2 e 3 estão
interligados por vôos diretos e/ou com escalas.
A = (aij), abaixo, descreve a forma de interli-
gação dos mesmos, sendo que:
 aij = 1 significa que há vôo direto (sem es-
cala) do aeroporto i para o aeroporto j;
 aij = 0 significa que não há vôo direto do
aeroporto i para o aeroporto j.
A diagonal principal de A é nula, significando
que não há vôo direto de um aeroporto para
ele mesmo.
A =










010
101
110
Seja A2
= A.A = (bij). Se bij ≠ 0 significa que
há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com
uma escala. Com base nessas informações,
julgue os itens.
a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aero-
porto 3, mas não há vôo direto do aeroporto 3
para o 1.
b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3
com uma escala.
EXERCÍCIOS EXTRAS
38) Dois alunos A e B, apresentaram a se-
guinte pontuação em uma prova de português
e em outra de matemática:
Português Matemática
aluno A 4 6
aluno B 9 3
a) Se o peso da prova de português é 3 e o da
prova de matemática é x, obtenha, através de
produto de matrizes, a matriz que fornece a
pontuação total dos alunos A e B.
b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e
B apresentam mesma pontuação final?
39) Um fast-food de sanduíches naturais ven-
de dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os
ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas
seguintes quantidades (em gramas) por sandu-
íches:
Sanduíche A Sanduíche B
queijo 18g 10g
salada 26g 33g
rosbife 23g 12g
atum - 16g
Durante um almoço foram vendidos 6 sanduí-
ches do tipo A e 10 sanduíches do tipo B.
Qual foi a quantidade necessária de cada in-
grediente para a preparação desses 16 sanduí-
ches? Represente-a na forma de produto de
matrizes.
40) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de
roupa utilizando materiais diferentes. Consi-
dere a matriz A = (aij) abaixo,
9
A =










124
310
205
, na qual aij representa quantas
unidades do material j serão empregadas para
fabricar uma roupa do tipo i.
a) Quantas unidades do material 3 serão em-
pregadas na confecção de uma roupa do tipo
2?
b) Calcule o total de unidades do material 1
que será empregado para fabricar cinco roupas
do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas rou-
pas do tipo 3.
Apostila atualizada em 31/7/2014
Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados
como grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o
Excepcional Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é
necessária uma matriz de 453.060 linhas e colunas.
Nunca deixe que lhe digam:
Que não vale a pena
Acreditar no sonho que se tem
Ou que seus planos
Nunca vão dar certo
Ou que você nunca
Vai ser alguém...
Renato Russo
Gostou da Apostila? Você a en-
contra, e muitas outras, no site:
http://gilssantos51.wix.com/inicio#!apost
ilas-de-matematica/cncg
Link! Dê uma olhada.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Lista de exercícios – expressões algébricas
Lista de exercícios – expressões algébricasLista de exercícios – expressões algébricas
Lista de exercícios – expressões algébricas
Everton Moraes
 
Prova números inteiros - 7° ano
Prova números inteiros  - 7° anoProva números inteiros  - 7° ano
Prova números inteiros - 7° ano
Gentil De Almeida Junior
 
Aula 02 polígonos - exercicios
Aula 02   polígonos - exerciciosAula 02   polígonos - exercicios
Aula 02 polígonos - exercicios
Jeane Carvalho
 
Lista de exercícios 1º em - áreas
Lista de exercícios   1º em - áreasLista de exercícios   1º em - áreas
Lista de exercícios 1º em - áreas
Colégio Parthenon
 
Atividades números inteiros
Atividades números inteirosAtividades números inteiros
Atividades números inteiros
Leandro Marin
 
Exercícios de equações de 1º grau
Exercícios de equações de 1º grauExercícios de equações de 1º grau
Exercícios de equações de 1º grau
Aluizio Santos
 
Lista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicaisLista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicais
alunosderoberto
 
Equações 1º grau simples e com parenteses
Equações 1º grau   simples e com parentesesEquações 1º grau   simples e com parenteses
Equações 1º grau simples e com parentesesRita Sousa
 
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exercicios
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exerciciosMat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exercicios
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exercicios
trigono_metria
 
Exercícios área figuras planas e radicais
Exercícios área figuras planas e radicaisExercícios área figuras planas e radicais
Exercícios área figuras planas e radicais
karfrio
 
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton bruno
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano   ilton bruno2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano   ilton bruno
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton bruno
Ilton Bruno
 
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagem
1ª lista de exercícios   análise de gráficos e porcentagem1ª lista de exercícios   análise de gráficos e porcentagem
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagem
lualvares
 
6º ano potências e raízes
6º ano   potências e raízes6º ano   potências e raízes
6º ano potências e raízes
Marisa Carnieto Santos
 
Lista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afimLista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afim
ProfessoraIve
 
Areas de figuras planas
Areas de figuras planasAreas de figuras planas
Areas de figuras planas
Bruno Araujo Lima
 
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º ano
2º lista de exercícios   potenciação e radiciação - 9º ano2º lista de exercícios   potenciação e radiciação - 9º ano
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º ano
afpinto
 
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeListão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Andréia Rodrigues
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2p
Jean Silveira
 
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
Ilton Bruno
 
Lista de Exercícios – Razão e Proporção
Lista de Exercícios – Razão e ProporçãoLista de Exercícios – Razão e Proporção
Lista de Exercícios – Razão e Proporção
Everton Moraes
 

Mais procurados (20)

Lista de exercícios – expressões algébricas
Lista de exercícios – expressões algébricasLista de exercícios – expressões algébricas
Lista de exercícios – expressões algébricas
 
Prova números inteiros - 7° ano
Prova números inteiros  - 7° anoProva números inteiros  - 7° ano
Prova números inteiros - 7° ano
 
Aula 02 polígonos - exercicios
Aula 02   polígonos - exerciciosAula 02   polígonos - exercicios
Aula 02 polígonos - exercicios
 
Lista de exercícios 1º em - áreas
Lista de exercícios   1º em - áreasLista de exercícios   1º em - áreas
Lista de exercícios 1º em - áreas
 
Atividades números inteiros
Atividades números inteirosAtividades números inteiros
Atividades números inteiros
 
Exercícios de equações de 1º grau
Exercícios de equações de 1º grauExercícios de equações de 1º grau
Exercícios de equações de 1º grau
 
Lista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicaisLista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicais
 
Equações 1º grau simples e com parenteses
Equações 1º grau   simples e com parentesesEquações 1º grau   simples e com parenteses
Equações 1º grau simples e com parenteses
 
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exercicios
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exerciciosMat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exercicios
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exercicios
 
Exercícios área figuras planas e radicais
Exercícios área figuras planas e radicaisExercícios área figuras planas e radicais
Exercícios área figuras planas e radicais
 
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton bruno
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano   ilton bruno2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano   ilton bruno
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton bruno
 
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagem
1ª lista de exercícios   análise de gráficos e porcentagem1ª lista de exercícios   análise de gráficos e porcentagem
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagem
 
6º ano potências e raízes
6º ano   potências e raízes6º ano   potências e raízes
6º ano potências e raízes
 
Lista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afimLista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afim
 
Areas de figuras planas
Areas de figuras planasAreas de figuras planas
Areas de figuras planas
 
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º ano
2º lista de exercícios   potenciação e radiciação - 9º ano2º lista de exercícios   potenciação e radiciação - 9º ano
2º lista de exercícios potenciação e radiciação - 9º ano
 
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeListão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2p
 
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
 
Lista de Exercícios – Razão e Proporção
Lista de Exercícios – Razão e ProporçãoLista de Exercícios – Razão e Proporção
Lista de Exercícios – Razão e Proporção
 

Semelhante a Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)

10 - Matrizes
10 - Matrizes10 - Matrizes
2 ano matrizes 2010
2 ano   matrizes 20102 ano   matrizes 2010
2 ano matrizes 2010
profcesarlassis
 
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Jussileno Souza
 
Matrizes-57559627dd3f9d98.pptxxxxxxxxxxxx
Matrizes-57559627dd3f9d98.pptxxxxxxxxxxxxMatrizes-57559627dd3f9d98.pptxxxxxxxxxxxx
Matrizes-57559627dd3f9d98.pptxxxxxxxxxxxx
bernardoalmeidasanto
 
Exercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabaritoExercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabarito
Otávio Sales
 
Determinantes sistemas lineares
Determinantes sistemas linearesDeterminantes sistemas lineares
Determinantes sistemas lineares
ISJ
 
Determinantes Sistemas Lineares
Determinantes Sistemas LinearesDeterminantes Sistemas Lineares
Determinantes Sistemas Lineares
ISJ
 
Determinantes sistemas lineares
Determinantes sistemas linearesDeterminantes sistemas lineares
Determinantes sistemas lineares
ISJ
 
Determinantes sistemas lineares
Determinantes sistemas linearesDeterminantes sistemas lineares
Determinantes sistemas lineares
Antonio Carneiro
 
Matrizes determinantes
Matrizes determinantesMatrizes determinantes
Matrizes determinantes
slidericardinho
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Determinantes
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Determinanteswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Determinantes
www.aulasapoio.com - Matemática - Determinantes
Aulas Apoio
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Determinantes
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Determinantes www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Determinantes
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Determinantes
Clarice Leclaire
 
www.professoraparticularapoio.com.br -Matemática - Determinantes
www.professoraparticularapoio.com.br -Matemática -  Determinanteswww.professoraparticularapoio.com.br -Matemática -  Determinantes
www.professoraparticularapoio.com.br -Matemática - Determinantes
Patrícia Morais
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Determinantes
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Determinantes www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Determinantes
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Determinantes
Beatriz Góes
 
L mat02(estudo.com)
L mat02(estudo.com)L mat02(estudo.com)
L mat02(estudo.com)
Arthur Prata
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
wilso saggiori
 
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales  ccesa007Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales  ccesa007
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
JosivaldoFarias1
 
2º ano matriz
2º ano matriz2º ano matriz
2º ano matriz
celio pacheco
 
Lista de-exercicios-2c2bas-anos
Lista de-exercicios-2c2bas-anosLista de-exercicios-2c2bas-anos
Lista de-exercicios-2c2bas-anos
JELIANNE carlosjeliane
 

Semelhante a Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito) (20)

10 - Matrizes
10 - Matrizes10 - Matrizes
10 - Matrizes
 
2 ano matrizes 2010
2 ano   matrizes 20102 ano   matrizes 2010
2 ano matrizes 2010
 
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
 
Matrizes-57559627dd3f9d98.pptxxxxxxxxxxxx
Matrizes-57559627dd3f9d98.pptxxxxxxxxxxxxMatrizes-57559627dd3f9d98.pptxxxxxxxxxxxx
Matrizes-57559627dd3f9d98.pptxxxxxxxxxxxx
 
Exercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabaritoExercícios matrizes ii gabarito
Exercícios matrizes ii gabarito
 
Determinantes sistemas lineares
Determinantes sistemas linearesDeterminantes sistemas lineares
Determinantes sistemas lineares
 
Determinantes Sistemas Lineares
Determinantes Sistemas LinearesDeterminantes Sistemas Lineares
Determinantes Sistemas Lineares
 
Determinantes sistemas lineares
Determinantes sistemas linearesDeterminantes sistemas lineares
Determinantes sistemas lineares
 
Determinantes sistemas lineares
Determinantes sistemas linearesDeterminantes sistemas lineares
Determinantes sistemas lineares
 
Matrizes determinantes
Matrizes determinantesMatrizes determinantes
Matrizes determinantes
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Determinantes
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Determinanteswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Determinantes
www.aulasapoio.com - Matemática - Determinantes
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Determinantes
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Determinantes www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Determinantes
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Determinantes
 
www.professoraparticularapoio.com.br -Matemática - Determinantes
www.professoraparticularapoio.com.br -Matemática -  Determinanteswww.professoraparticularapoio.com.br -Matemática -  Determinantes
www.professoraparticularapoio.com.br -Matemática - Determinantes
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Determinantes
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Determinantes www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Determinantes
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Determinantes
 
L mat02(estudo.com)
L mat02(estudo.com)L mat02(estudo.com)
L mat02(estudo.com)
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
 
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales  ccesa007Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales  ccesa007
Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007
 
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
 
2º ano matriz
2º ano matriz2º ano matriz
2º ano matriz
 
Lista de-exercicios-2c2bas-anos
Lista de-exercicios-2c2bas-anosLista de-exercicios-2c2bas-anos
Lista de-exercicios-2c2bas-anos
 

Último

Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo FreireLivro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
WelberMerlinCardoso
 
Leonardo da Vinci .pptx
Leonardo da Vinci                  .pptxLeonardo da Vinci                  .pptx
Leonardo da Vinci .pptx
TomasSousa7
 
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Mary Alvarenga
 
livro ciclo da agua educação infantil.pdf
livro ciclo da agua educação infantil.pdflivro ciclo da agua educação infantil.pdf
livro ciclo da agua educação infantil.pdf
cmeioctaciliabetesch
 
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
MessiasMarianoG
 
Sinais de pontuação
Sinais de pontuaçãoSinais de pontuação
Sinais de pontuação
Mary Alvarenga
 
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptxAula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
edivirgesribeiro1
 
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptxTreinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
MarcosPaulo777883
 
Funções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prismaFunções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prisma
djincognito
 
educação inclusiva na atualidade como ela se estabelece atualmente
educação inclusiva na atualidade como ela se estabelece atualmenteeducação inclusiva na atualidade como ela se estabelece atualmente
educação inclusiva na atualidade como ela se estabelece atualmente
DeuzinhaAzevedo
 
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sonsAula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Érika Rufo
 
atividade 8º ano entrevista - com tirinha
atividade 8º ano entrevista - com tirinhaatividade 8º ano entrevista - com tirinha
atividade 8º ano entrevista - com tirinha
Suzy De Abreu Santana
 
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escolaIntrodução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
Professor Belinaso
 
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdfEspecialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
DanielCastro80471
 
Egito antigo resumo - aula de história.pdf
Egito antigo resumo - aula de história.pdfEgito antigo resumo - aula de história.pdf
Egito antigo resumo - aula de história.pdf
sthefanydesr
 
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
LucianaCristina58
 
“A classe operária vai ao paraíso os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
“A classe operária vai ao paraíso  os modos de produzir e trabalhar ao longo ...“A classe operária vai ao paraíso  os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
“A classe operária vai ao paraíso os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
AdrianoMontagna1
 
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.pptEstrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
livrosjovert
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 

Último (20)

Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo FreireLivro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
Livro: Pedagogia do Oprimido - Paulo Freire
 
Leonardo da Vinci .pptx
Leonardo da Vinci                  .pptxLeonardo da Vinci                  .pptx
Leonardo da Vinci .pptx
 
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
 
livro ciclo da agua educação infantil.pdf
livro ciclo da agua educação infantil.pdflivro ciclo da agua educação infantil.pdf
livro ciclo da agua educação infantil.pdf
 
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
759-fortaleza-resultado-definitivo-prova-objetiva-2024-05-28.pdf
 
Sinais de pontuação
Sinais de pontuaçãoSinais de pontuação
Sinais de pontuação
 
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptxAula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
 
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptxTreinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
 
Funções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prismaFunções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prisma
 
educação inclusiva na atualidade como ela se estabelece atualmente
educação inclusiva na atualidade como ela se estabelece atualmenteeducação inclusiva na atualidade como ela se estabelece atualmente
educação inclusiva na atualidade como ela se estabelece atualmente
 
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sonsAula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
 
atividade 8º ano entrevista - com tirinha
atividade 8º ano entrevista - com tirinhaatividade 8º ano entrevista - com tirinha
atividade 8º ano entrevista - com tirinha
 
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escolaIntrodução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
 
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdfEspecialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
 
Egito antigo resumo - aula de história.pdf
Egito antigo resumo - aula de história.pdfEgito antigo resumo - aula de história.pdf
Egito antigo resumo - aula de história.pdf
 
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
 
“A classe operária vai ao paraíso os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
“A classe operária vai ao paraíso  os modos de produzir e trabalhar ao longo ...“A classe operária vai ao paraíso  os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
“A classe operária vai ao paraíso os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
 
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptx
 
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.pptEstrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
 

Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)

  • 1. PROF. GILBERTO SANTOS JR MATRIZES 1 . INTRODUÇÃO Muitas vezes, para designar com clareza certas situações é necessário um grupo orde- nado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas, formando o que se chama matriz. Observe por exemplo a seguinte situa- ção: As vendas de uma editora em relação aos livros de Matemática, Física e Química, no primeiro trimestre de um ano, podem ser ex- pressas pela tabela a seguir. Janeiro Fevereiro Março Matemática 20000 32000 45000 Física 15000 18000 25000 Química 16000 17000 23000 Se quisermos saber:  Quantos livros de Matemática foram vendidos em Fevereiro, basta olharmos o número que está na primeira linha e na segunda co- luna;  Quantos livros de Física foram vendidos em Janeiro, basta olharmos o número que está na segunda linha e na primeira coluna;  Quantos livros de Química foram vendidos nos 3 meses, basta somarmos os números da terceira linha. E assim por diante. Uma tabela desse tipo, em que os nú- meros estão dispostos em 3 linhas e 3 co- lunas, denomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:         230001700016000 250001800015000 450003200020000 ou         230001700016000 250001800015000 450003200020000 2 . DEFINIÇÃO Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n) qualquer tabela retangular formada por m linhas e n colunas, sendo m e n números inteiro maior que zero. Dizemos que a matriz é do tipo m × n ou de ordem m × n. Exemplo: A2 × 3 =       015 43 2 é uma matriz de ordem dois por três. EXERCÍCIOS BÁSICOS 1) Os estudantes de um colégio responderam a seguinte pergunta: “Você prefere Matemática ou Português?” Cada estudante escolheu uma única matéria. As respostas foram computadas e alguns dados colocados no quadro: a) Quantos estudantes escolheram a Mate- mática? R: 235 alunos b) Quantos estudantes do sexo feminino res- ponderam à pergunta? R: 215 alunos c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à pergunta? R: 457 alunos 2) Observe a matriz seguinte e responda:             258114 212617 9731 51010 a) De que tipo ou ordem é a matriz dada? R: 4 por 4 b) Quais são os números da 1ª linha? R: 10, 0, 1 e 5 c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8 d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª coluna? R: 3 e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5 f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11 g) Qual o resultado da soma dos números da 2ª coluna? R: 20 EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa. R: (e) Sexo Matéria masculino Feminino Matemática 137 98 Português 105 117
  • 2. 2 De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? R: (e) (a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27 3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ O elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij em que i representa a linha e j a coluna na qual o elemento se en- contra. Uma matriz A, do tipo m × n será es- crita, genericamente, assim: A =                 mnm3m2m1 3n333231 2n232221 1n131211 aaaa aaaa aaaa aaaa      ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se: matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n. Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que aij = i + j. Resolução: A matriz é do tipo 2 x 2 então, generi- camente,       2221 1211 aa aa Resta descobrir quem são esses termos a11, a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j. Então, usando os cálculos auxiliares: a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 Logo a matriz       2221 1211 aa aa é igual a       43 32 . EXERCÍCIOS BÁSICOS 4) Escreva as matrizes: a) A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j. R =      543 432 b) A = (aij)3 × 2 tal que aij = i - j. R =          12 01 10 c) B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j. R =      23 01 d) C = (cij)3 × 3 tal que      jipara1c jipara0c ij ij . R =         011 101 110 e) D = (dij)2 × 4, com dij = j-i R =      2101 3210 4 . MATRIZES ESPECIAIS MATRIZ QUADRADA É toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois por dois ou simplesmente ordem 2. A2 × 2 =       15 32 ou simplesmente, A2 =       15 32 Observação: Numa matriz quadrada A de or- dem n, os elementos aij tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os elemen- tos aij tais que i + j = n + 1 formam a diago- nal secundária.             333231 232221 131211 aaa aaa aaa diagonal principal diagonal secundária MATRIZ IDENTIDADE É uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elemento da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, seu símbolo é igual a In. Exemplos: I2 =       10 01 , I3 =           100 010 001 . MATRIZ NULA É qualquer matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Simboliza-se a matriz nula de ordem m × n por 0m × n e a de ordem n por 0n. Exemplos: 03 × 2 =           00 00 00 , 02 =       00 00 , 03 =           000 000 000 , 01 × 4 =  0000 MATRIZ TRANSPOSTA Seja A uma matriz de ordem m × n de- nomina-se transposta de A a matriz de or- dem n × m obtida, isto é, trocando-se orde- nadamente as linhas pelas colunas. Indica-se transposta de A por At . Exemplo: seja a matriz A = 2307 53 21            a sua transposta é At = 32052 731       
  • 3. 3 5 . IGUALDADE DE MATRIZES Duas matrizes A e B são iguais se, e somen- te se, tem a mesma ordem e seus elementos correspondentes (que estão na mesma linha e na mesma coluna) são iguais. EXERCÍCIOS BÁSICOS 5) Calcule os termos desconhecidos: a)       dc ba =       85 36 R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8 b)       2y5 3x =       85 36 R: x = 6 e y = 4 c)       qp nm = I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1 d)        1n0 0m =       50 03 R: m = 3 e n = 4 e)        yx0 0y = I2 R: x = 0 e y = 1 f)        b-ay byx =       81 35 R: x = 4; y = 1; a = 11; b = 3 g)        d-2a2b 3dba =       176 95 R: a = 2; b = 3 e d = 3 h)          1-y0 65x-xz 2 = I2 R: x = 2 ou x = 3; y = 2 e z = 1 6) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de or- dem 2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t para que se tenha         zty2x ztyx = A. R: x = 1; y = 1 t = 7/2 e z = -1/2 (Veja a resolução dessa questão ) 6 . ADIÇÃO DE MATRIZES Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m × n denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos por A + B, a matriz C do tipo m × n na qual cada elemento é obtido adicionando os elementos correspon- dentes de A e B. EXERCÍCIOS BÁSICOS 7) Dadas as matrizes A =       10 42 , B =       07 14 e C =       2-5 03 , calcule: a) A + B = R:      17 56 c) B + C = R:       212 17 b) A + C = R:       15 45 d) A + B + C = R:       112 59 8) Determine x, y, z e t, sabendo que: a)           z y x +           5 1 3 =           5 4 1 0 R: x = 7; y = 10 e z = 0 b)           z y x +           4 z y =           9 1 5 2 0 R: x = 10; y = 10 e z = 5 c)       2z3 yx +       zt 3x =       184 110 R: x = 5; y = -2; t = 1 e z = 6 d)       t3x yx +       2y- zy =       014 76 R: x = 5; y = 1; t = - 2 e z = 6 7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Sendo A e B duas matrizes do tipo m × n, denomina-se diferença entre A e B (repre- sentada por A – B) a soma da matriz oposta de B. A – B = A + (-B) EXERCÍCIOS BÁSICOS 9) Calcule: a)                     3 6 3 - 2 7 8 = R:          1 1 5 b)       41 32 -       51 20 = R:       10 12 c)       1036 421 -       156 210 = R:       920 211 10) Dadas as matrizes A =           3 6 2 , B =           2 6 1 e C =           2- 4 0 , calcule: a) A + B – C b) A - B + C c) A - B – C R: a)         7 8 3 ; b)          1 4 1 e c)          3 4 1 11) Determine x, y e z sabendo que: a)           z y x -           8 5 3 =             6 4 1 0 R: x = 13; y = 1 e z = 2 b)                     0 z y - z y x =           8 2 1 5 R: x = 25; y = 10 e z = 8 c)             z3- 4x- - 2z1 6x =       14 y12 R: x = 6; y = 2 e z = 1 d)         2 2 zy 1x -       1-5- 3-2 =       108 41- R: x = -1 ou x = 1; y = 3 e z = -3 ou z = 3
  • 4. 4 8 . MULTIPLICAÇÃO DE UM N° REAL POR UMA MATRIZ Se A é uma matriz m × n, de elementos aij, e  é um número real, então A é uma ma- triz m × n cujos elementos são aij. EXERCÍCIOS BÁSICOS 12) Sendo A =       314 102 e B =       605 21-0 , determine: a) 5A = R:      15520 5010 b) -2B = R:        12001 420 c) A 2 1 = R:      2/32/12 2/101 d) 2A + B = R:      12213 414 e) 5A – 02 x 3 = R:      15520 5010 13) Se A =       02 31 , B =       2-1 31- e C =       34 21 , calcule 3A + 2B - 4C. R:       168 73 9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo m x p tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos ele- mentos da coluna j, da matriz B, e somando- se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB. Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o nú- mero de linhas de A e o número de colunas de B. EXERCÍCIOS BÁSICOS 14) Determine os produtos: a)             31 42 01 56 = R:      42 3917 b)             3-41-2 6150 23 15 = R:     1211134 279242 c)                 21- 53 34 12- 61 = R:           269 87 173 d)             26- 47 12 4-5 = R:      108 1259 e)                     23 42 05 204 152 631 = R:         426 2232 2429 f)  052 6 3 1           = R:         03012 0156 052 15) O quadro abaixo registra os resultados obtidos por quatro times em um torneio em que todos se enfrentam uma vez: Vitórias Empates Derrotas América 0 1 2 Botafogo 2 1 0 Nacional 0 2 1 Comercial 1 2 0 a) Represente a matriz A = (aij) correspon- dente. b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3 c) O que representa o elemento a23 da matriz A? R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo d) Qual o elemento da matriz A que indica a vitória do Comercial? R: a41 e) Considerando que um time ganha três pon- tos na vitória e um ponto no empate, calcule quantos pontos fez cada time. R:           5 2 7 1 R: América: 1pt; Bota Fogo: 7 pts; Nacional: 2 pts; Comercial: 5 pts f) Qual foi a classificação final do torneio? R: Bota Fogo campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América 4º lugar. 16) Para a fabricação de caminhões, uma in- dústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação: Componentes/modelos A B C Eixos 2 3 4 Rodas 4 6 8 Para os primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo: Modelo/Meses Janeiro Fevereiro A 30 20 B 25 18 C 20 15 Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção pla- nejada? R: 215 eixos e 430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308 rodas no mês de Fevereiro. 10 . MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ DADA Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1.
  • 5. 5 Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não- singular. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17) Determine, se existir, a inversa de cada uma das seguintes matrizes: a) A =       20 31 R:       2/10 2/31 b) A =       42 85 R:        4/52/1 21 (Veja a resolução ) c) A =       54 32 R:      1-2 3/25/2- d) A =       31 21 R:        11 23 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 18) Um técnico de basquetebol descreveu o desempenho dos titulares de sua equipe em sete jogos através da matriz:                 18172014121819 23221820202218 22141421201920 18212218181615 20182117181718 Cada elemento aij dessa matriz é um número de pontos marcados pelo jogador de número i no jogo j. a) Quantos pontos marcou o jogador de nú- mero 3 no jogo 5? R: 14 b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4? R: 90 c) Quantos pontos marcou o jogador de nú- mero 2 em todos os jogos? R: 128 19) Obtenha x, x ∈ R, de modo que a matriz: A =           86x-x0 065xx 2 2 Seja igual à matriz nula de ordem 2. R: S = {2, 3, 4} EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 20)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que aij =       jipara1i jipara2 2 ji . Nessas condições: R: (c) (a) A =       58 42 (d) A =       52 82 (b) A =       65 82 (e) n.d.a. (c) A =       55 82 21)(FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão assim definidas: R: (d)           jise0a jise1a ij ij           4jise0b 4jise1b ij ij em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é: (a)           100 010 001 (c)           101 010 101 (e)           010 110 011 (b)           001 010 100 (d)           101 020 101 22)(ENEM-2012) Um aluno registrou as no- tas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir. Para obter essas médias, ele multiplicou a ma- triz obtida a partir da tabela por: R: (e) (a)           2 1 2 1 2 1 2 1 (d)                                 2 1 2 1 2 1 2 1 (b)           4 1 4 1 4 1 4 1 (e)                         4 1 4 1 4 1 4 1 (c)                   1 1 1 1 R: (e) 23)(Unificado-RJ) Cláudio anotou suas mé- dias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura: R: (e) 1º b 2º b 3º b 4º b matemática 5,0 4,5 6,2 5,9 português 8,4 6,5 7,1 6,6 ciências 9,0 7,8 6,8 8,6 est. sociais 7,7 5,9 5,6 6,2
  • 6. 6 Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a mé- dia anual do aluno em cada matéria basta fa- zer a média aritmética de suas médias bimes- trais. Para gerar uma nova matriz cujos ele- mentos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem acima apresentada, bastará multiplicar essa matriz por: (a) 2 1 (c)                         2 1 2 1 2 1 2 1 (e)                         4 1 4 1 4 1 4 1 (b)       4 1 4 1 4 1 4 1 (d) 4 1 24) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante. C = salada carne arroz 2 3 1           P = 3P 2P 1P prato prato prato 022 121 112 saladacarnearroz           A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é: R: (a) (a)           8 9 7 (c)           4 1 1 9 (e)           4 2 2 (b)           4 4 4 (d)           8 6 2 25)(UNAMA-2006/2) Nas matrizes              00,000.6$RZ 00,800.5$RY 00,600.5$RX UnitárioeçoPrModelo A e            402015Trimestreº2 503025Trimestreº1 ZYXModeloTrimestre B estão representados os preços unitário das motone- tas em função do modelo e a quantidade ven- dida no 1º e 2º trimestres de 2006 por uma revendedora de motonetas, respectivamente. Com base nesses dados, podemos afirmar que a receita obtida por essa revendedora no 1º trimestre de 2006 foi de: R: (b) (a) R$ 720.000,00 (c) R$ 560.000,00 (b) R$ 614.000,00 (d) R$ 440.000,00 26)(UEPA-2012) O cálcio é essencial para a transmissão nervosa, coagulação do sangue e contração muscular; atua também na respira- ção celular, além de garantir uma boa forma- ção e manutenção de ossos e dentes. A tabela 1 abaixo mostra que a ingestão diária reco- mendada de cálcio por pessoa varia com a ida- de. Foi por essa importância que o cálcio tem para o corpo humano que a diretora de uma escola resolveu calcular a quantidade de cálcio que teria de usar nas refeições diárias dos seus alunos para suprir a essa necessidade. A tabela 2 abaixo mostra a quantidade de alunos por idade existente nessa escola. A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria que usar nas refeições desses alunos é: R: (e) (a) 286.000 (c) 300.000 (e) 322.000 (b) 294.000 (d) 310.000 27)(PROSEL-2008) Uma campanha foi de- flagrada para angariar alimentos não perecí- veis com o objetivo de amenizar problemas gerados em uma região assolada pelas secas. Os alimentos doados foram: arroz; feijão e açúcar, todos em sacos de 1kg, totalizando 1.436kg desses alimentos. Sabe-se que a ter- ça parte do número de sacos de feijão, soma- dos aos 11 2 do número de sacos de açúcar, dá um total de 292kg e que há 144kg de açúcar a mais que de feijão. Se X é a quantidade de sacos de arroz; Y a quantidade de sacos de feijão e Z a quantidade de sacos de açúcar, a representação matricial do sistema formado, tomando por base esses dados, é: R: (a) (a)           11-0 6110 111 .           Z Y X =           1 4 4 9 6 3 6 1 4 3 6 (b)           11-0 6110 111 .           Z Y X =           1 4 4 1 6 0 6 1 4 3 6
  • 7. 7 (c)           11-0 6110 111 .           Z Y X =           1 4 4 1 4 3 6 9 6 3 6 (d)           11-0 6110 11-1 .           Z Y X =           1 4 4 1 4 3 6 9 6 3 6 (e)           1-10 6110 111 .           Z Y X =           1 4 4 1 4 3 6 9 6 3 6 28)(PROSEL-2006) Para a confecção de um cartaz, uma gráfica dispõe das cores: preto, amarelo, vermelho e azul, cujas doses tem preços unitários, em reais, representado pela matriz A abaixo. Atendendo à solicitação do cliente, a gráfica apresentou um orçamento com as possiveis combinações de cores, cujas quantidades de doses utilizadas em cada cartaz estão representadas pela matriz B abaixo. Nessas condições, o cartaz de menor custo terá preço de: R: (d) Dados: (a) R$ 13,00 (c) R$ 11,00 (e) R$ 9,00 (b) R$ 12,00 (d) R$ 10,00 29)(UFPA-2009) Pedro, João e Antônio co- mercializam três tipos de fruta com períodos de safra parecidos: manga, abacate e cupuaçu. No período da safra os três vendem o quilo de cada uma dessas frutas por R$ 1,00, R$ 2,00 e R$ 3,00 e, na entressafra, por R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 6,00. Sobre a comercialização des- sas frutas, considere que R: (c) A =       642 321 , matriz que representa o preço das frutas na safra e na entressafra; B =           51510 102015 152520 , matriz que representa uma quantidade (Kg) comercializada dessas frutas; C =         zwy vut , matriz que representa o produ- to A.B, em que a 1ª, 2ª e 3ª colunas represen- tam o valor arrecadado, respectivamente, por Pedro, João e Antônio, com a venda dessa quantidade de frutas. Sobre o valor arrecadado na venda, é correto afirmar que (A) Na safra, com a venda de 20 kg de man- ga, 25 kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pe- dro arrecadou t = R$ 85,00. (B) Na entressafra, com a venda de 10 kg de manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, Antônio arrecadou z = R$ 110,00. (C) Na safra, com a venda de 25 kg de man- ga, 20 kg de abacate e 15 kg de cupuaçu, João u = R$110,00. (D) Na entressafra, com a venda de 20 kg de manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, João arrecadou w = R$ 170,00 (E) Na entressafra, com a venda de 15 kg de manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu, Pedro arrecadando y = R$ 170,00. 30)(IFPA-2011) Considere três dias da se- mana, D1, D2 e D3, e três medidas de tempe- raturas feitas em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A matriz a seguir descreve a medida de tempera- tura verificada nesses três dias da semana. Cada elemento aij da matriz indica a quantida- de de temperatura em graus Celsius Ti em ca- da dia Dj , sendo i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2, 3}. Analisando a matriz, não podemos afirmar que (A) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C. (B) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C. (C) a média das temperaturas, no dia D3, é de 30°C. (D) a soma das temperaturas Ti verificadas nos dias Di, i = 1, 2, 3 é, aproximadamente, 30,8°C. (E) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia D1, é 54°C. R: (d) EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS DE VESTIBULARES 31)(UFES) Os valores de x e y que satisfa- zem a equação matricial:       2x4 2-x +       y-1 73y =       15 54 são: (a) x = - 1 e y = - 1 (c) x = 2 e y = - 1 (b) x = 1 e y = 1 (d) x = 2 e y = 2 32)(FGV-SP) Sendo A =         0 2 1 20 , obtenha a matriz A2 + A3 .
  • 8. 8 33)(Unifor-CE) Os números reais x e y que satisfazem o sistema matricial       1-2 21-       y x =        2 4 são tais que seu produto é igual a: (a) – 2 (b) - 1 (c) 0 (d) 1 (e) 2 34)(PUC-SP) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. se C = A + B, então C2 é igual a: (a)       10 01 (c)       10 01 (e)       1-0 0-1 (b)       01 10 (d)       01- -10 35)(PUCC-SP) Seja a matriz A = (aij)2 × 2, onde aij =      jisej-i jiseji . Se At é a matriz trans- posta de A, então a matriz B = A2 – At é igual a: (a)       147 10-4 (c)        117 71 (e)        162 82 (b)         171 33 (d)       121- 02 EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS DE VESTIBULARES 36)(UFPA-2001) Numa farmácia de manipu- lação, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e C, expressas na tabela abaixo, em gra- mas: A B C I 10 30 60 II 20 50 30 As substâncias podem ser compradas em dois fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das substâncias em cada fornecedor, está expresso em reais na tabela a seguir: F1 F2 A 4 2 B 5 4 C 3 5 Após construir a matriz cujos elementos indi- cam o preço de custo dos medicamentos pelo fornecedor, calcule os valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor. Considerando que o pagamento é feito à vista, determine como o farmacêutico pode combinar a compra das três substâncias de modo a gas- tar o mínimo possível. 37)(UF-MT) Os aeroportos 1, 2 e 3 estão interligados por vôos diretos e/ou com escalas. A = (aij), abaixo, descreve a forma de interli- gação dos mesmos, sendo que:  aij = 1 significa que há vôo direto (sem es- cala) do aeroporto i para o aeroporto j;  aij = 0 significa que não há vôo direto do aeroporto i para o aeroporto j. A diagonal principal de A é nula, significando que não há vôo direto de um aeroporto para ele mesmo. A =           010 101 110 Seja A2 = A.A = (bij). Se bij ≠ 0 significa que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com uma escala. Com base nessas informações, julgue os itens. a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aero- porto 3, mas não há vôo direto do aeroporto 3 para o 1. b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3 com uma escala. EXERCÍCIOS EXTRAS 38) Dois alunos A e B, apresentaram a se- guinte pontuação em uma prova de português e em outra de matemática: Português Matemática aluno A 4 6 aluno B 9 3 a) Se o peso da prova de português é 3 e o da prova de matemática é x, obtenha, através de produto de matrizes, a matriz que fornece a pontuação total dos alunos A e B. b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B apresentam mesma pontuação final? 39) Um fast-food de sanduíches naturais ven- de dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas seguintes quantidades (em gramas) por sandu- íches: Sanduíche A Sanduíche B queijo 18g 10g salada 26g 33g rosbife 23g 12g atum - 16g Durante um almoço foram vendidos 6 sanduí- ches do tipo A e 10 sanduíches do tipo B. Qual foi a quantidade necessária de cada in- grediente para a preparação desses 16 sanduí- ches? Represente-a na forma de produto de matrizes. 40) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Consi- dere a matriz A = (aij) abaixo,
  • 9. 9 A =           124 310 205 , na qual aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i. a) Quantas unidades do material 3 serão em- pregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas rou- pas do tipo 3. Apostila atualizada em 31/7/2014 Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados como grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o Excepcional Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é necessária uma matriz de 453.060 linhas e colunas. Nunca deixe que lhe digam: Que não vale a pena Acreditar no sonho que se tem Ou que seus planos Nunca vão dar certo Ou que você nunca Vai ser alguém... Renato Russo Gostou da Apostila? Você a en- contra, e muitas outras, no site: http://gilssantos51.wix.com/inicio#!apost ilas-de-matematica/cncg Link! Dê uma olhada.