O documento apresenta uma introdução sobre matrizes, definindo-as como tabelas ordenadas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes permitem expressar situações envolvendo múltiplas variáveis de forma concisa. Em seguida, descreve operações básicas com matrizes e conceitos como matriz quadrada, identidade e nula.
1) O documento apresenta uma avaliação de matemática para alunos do 9o ano, com 12 questões objetivas de múltipla escolha.
2) As questões vão desde operações com números até expressões algébricas e propriedades de potências e raízes.
3) O aluno deve assinalar a alternativa correta para cada questão no gabarito no final.
1) O documento apresenta 8 questões sobre funções lineares. As questões fornecem gráficos de funções lineares e pedem a representação algébrica correspondente.
2) As questões abordam conceitos como função linear, coeficiente angular, interseção com o eixo y e representação algébrica y=ax+b.
3) O documento é um teste sobre funções lineares, com ênfase na interpretação gráfica e correspondência com a representação algébrica.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
1) O documento apresenta uma lista de 21 exercícios de geometria que envolvem o teorema de Tales sobre retas paralelas cortadas por uma transversal. Os exercícios pedem para calcular medidas de segmentos e lados de figuras geométricas dadas essas condições.
1. A média das idades de um time de basquete é 28,2 anos. Quando o pivô de 23 anos é substituído por um jogador de 17 anos, a nova média passa a ser menor que a original.
2. A altura média de 4 ocupantes de um carro era Y. Quando 2 pessoas de altura total 2,25m saíram, a média remanescente foi 1,6m, ou seja, 0,2m menor que Y.
3. A média aritmética de 40 números era 48. Após remover os números 46 e 23,
O documento apresenta uma lista de 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, determinar valores de funções para valores específicos de x, identificar gráficos e vértices de funções quadráticas, e resolver problemas envolvendo máximos e mínimos. Há também um gabarito no final com as respostas para os exercícios.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
1) O documento apresenta uma lista de 9 exercícios de matemática sobre razão e proporção. Os exercícios envolvem cálculos com dados sobre desempenho de times de futebol, população de uma cidade, divisão de uma ripa de madeira e medidas de retângulos.
1) O documento apresenta uma avaliação de matemática para alunos do 9o ano, com 12 questões objetivas de múltipla escolha.
2) As questões vão desde operações com números até expressões algébricas e propriedades de potências e raízes.
3) O aluno deve assinalar a alternativa correta para cada questão no gabarito no final.
1) O documento apresenta 8 questões sobre funções lineares. As questões fornecem gráficos de funções lineares e pedem a representação algébrica correspondente.
2) As questões abordam conceitos como função linear, coeficiente angular, interseção com o eixo y e representação algébrica y=ax+b.
3) O documento é um teste sobre funções lineares, com ênfase na interpretação gráfica e correspondência com a representação algébrica.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
1) O documento apresenta uma lista de 21 exercícios de geometria que envolvem o teorema de Tales sobre retas paralelas cortadas por uma transversal. Os exercícios pedem para calcular medidas de segmentos e lados de figuras geométricas dadas essas condições.
1. A média das idades de um time de basquete é 28,2 anos. Quando o pivô de 23 anos é substituído por um jogador de 17 anos, a nova média passa a ser menor que a original.
2. A altura média de 4 ocupantes de um carro era Y. Quando 2 pessoas de altura total 2,25m saíram, a média remanescente foi 1,6m, ou seja, 0,2m menor que Y.
3. A média aritmética de 40 números era 48. Após remover os números 46 e 23,
O documento apresenta uma lista de 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, determinar valores de funções para valores específicos de x, identificar gráficos e vértices de funções quadráticas, e resolver problemas envolvendo máximos e mínimos. Há também um gabarito no final com as respostas para os exercícios.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
1) O documento apresenta uma lista de 9 exercícios de matemática sobre razão e proporção. Os exercícios envolvem cálculos com dados sobre desempenho de times de futebol, população de uma cidade, divisão de uma ripa de madeira e medidas de retângulos.
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
Este documento contém 10 questões de matemática com 5 alternativas de resposta cada. As questões abordam tópicos como potenciação, combinatória, operações algébricas, área, volume, notação científica e raízes.
1ª lista de exercícios(razão e proporção) 9º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre razão e proporção para alunos do 9o ano. A lista contém 10 exercícios que envolvem cálculos de razões entre distâncias, números de alunos, áreas de retângulos, e valores numéricos. Os exercícios também abordam o conceito de proporção e o cálculo do valor de pi.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
O documento contém 7 questões sobre ângulos em geometria para atividade em grupo. As questões incluem cálculos de medidas de ângulos, soma e subtração de ângulos, identificação de ângulos adjacentes, e determinação de valores de ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
3 exercícios - potenciação de números naturais[1]Rejane Zancanaro
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação de números naturais. Os exercícios incluem transformar produtos em potências e vice-versa, escrever potências por extenso, calcular potências, e resolver problemas envolvendo a base, expoente e potência de vários números.
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grauBetão Betão
1. The document contains a math exercise with 26 quadratic equations.
2. Students are asked to solve each quadratic equation for the set of solutions (S).
3. The equations cover a range of standard quadratic forms including factored, unfactored, and equations set to other expressions.
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exerciciostrigono_metria
O documento é um conjunto de exercícios de matemática sobre produtos notáveis e fatoração ministrado por Paulo Roberto Martins Berndt em um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 19 de maio de 2011, contendo 30 exercícios e testes com as respostas.
O documento apresenta uma bateria de exercícios de matemática do 1o trimestre do 7o ano sobre números inteiros. Os exercícios abordam conceitos como conjuntos de números inteiros, temperaturas, andares de prédios e posições em retas numéricas usando números inteiros positivos e negativos.
O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de áreas de polígonos planos e regiões sombreadas. A lista está dividida em duas partes, a primeira sobre conceitos iniciais de área e a segunda sobre cálculo de área de regiões sombreadas. Cinco exercícios são apresentados em cada parte para cálculo e determinação de áreas.
Este documento contém um protocolo de avaliação de matemática com 21 questões para um aluno específico. Ele lista o nome do aluno, professor, escola e as questões de 1 a 21 divididas em 6 páginas.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
O documento contém 20 exercícios de juros simples com diferentes taxas e períodos de aplicação. Os exercícios envolvem cálculos para determinar taxas, períodos, montantes e capitais iniciais. O gabarito com as respostas está listado no final.
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
Este documento é uma lista de exercícios de matemática para o 9o ano preparada pela professora Andréia. Contém 32 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau, probabilidade e situações-problema envolvendo funções. Os exercícios abordam conceitos como zeros de funções, vértice de parábolas, probabilidade e princípio da contagem.
O documento contém 15 exercícios de matemática sobre equações do 1° grau. Os exercícios envolvem identificar equações de 1° grau, verificar se números são raízes de equações, resolver equações, calcular massas usando balanças e equações, e resolver problemas envolvendo idades e quantidades de itens.
Matemática para concursos regra de três simples e composta - 10 exercícios ...Sulaine Almeida
1. O documento apresenta resoluções de exercícios utilizando a regra de três para proporcionalidade direta e inversa.
2. Os exercícios envolvem cálculos com variáveis como área, tempo, quantidade e preço para determinar valores desconhecidos.
3. A regra de três é usada para estabelecer relações entre as variáveis e chegar à resposta correta para cada exercício.
Este documento é uma lista de exercícios de porcentagem para alunos do 7o ano. A lista contém 10 exercícios sobre cálculos envolvendo porcentagem, como calcular porcentagens de um total e alterações de preços com base em porcentagens de aumento ou redução. O documento fornece também as alternativas de respostas para cada exercício e a solução correta.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
1) O jogador que está pior classificado é o Silvio, que pontuou 8 pontos negativos.
2) A situação "Tinha 15 reais e gastei 12 reais" pode ser representada por 15 - 12.
3) Dos números listados, o maior é 2 e o menor é -5.
A matriz é um conjunto numérico disposto em linhas e colunas. O documento explica os conceitos de matriz, incluindo matriz quadrada, linha, coluna, elementos, transposta e operações como adição. Há também exercícios para fixar os conceitos ensinados.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e exemplos. Resume os principais conceitos de matrizes como tabelas com linhas e colunas para organizar dados, indicando elementos individuais e realizando operações como soma, subtração e multiplicação.
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
Este documento contém 10 questões de matemática com 5 alternativas de resposta cada. As questões abordam tópicos como potenciação, combinatória, operações algébricas, área, volume, notação científica e raízes.
1ª lista de exercícios(razão e proporção) 9º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre razão e proporção para alunos do 9o ano. A lista contém 10 exercícios que envolvem cálculos de razões entre distâncias, números de alunos, áreas de retângulos, e valores numéricos. Os exercícios também abordam o conceito de proporção e o cálculo do valor de pi.
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre equações de segundo grau. A lista contém 32 exercícios que abordam tópicos como raízes reais e imaginárias de equações, resolução de problemas geométricos usando equações de segundo grau e determinação de valores que satisfaçam certas condições nas equações.
O documento contém 7 questões sobre ângulos em geometria para atividade em grupo. As questões incluem cálculos de medidas de ângulos, soma e subtração de ângulos, identificação de ângulos adjacentes, e determinação de valores de ângulos desconhecidos em figuras geométricas.
3 exercícios - potenciação de números naturais[1]Rejane Zancanaro
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação de números naturais. Os exercícios incluem transformar produtos em potências e vice-versa, escrever potências por extenso, calcular potências, e resolver problemas envolvendo a base, expoente e potência de vários números.
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grauBetão Betão
1. The document contains a math exercise with 26 quadratic equations.
2. Students are asked to solve each quadratic equation for the set of solutions (S).
3. The equations cover a range of standard quadratic forms including factored, unfactored, and equations set to other expressions.
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exerciciostrigono_metria
O documento é um conjunto de exercícios de matemática sobre produtos notáveis e fatoração ministrado por Paulo Roberto Martins Berndt em um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 19 de maio de 2011, contendo 30 exercícios e testes com as respostas.
O documento apresenta uma bateria de exercícios de matemática do 1o trimestre do 7o ano sobre números inteiros. Os exercícios abordam conceitos como conjuntos de números inteiros, temperaturas, andares de prédios e posições em retas numéricas usando números inteiros positivos e negativos.
O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de áreas de polígonos planos e regiões sombreadas. A lista está dividida em duas partes, a primeira sobre conceitos iniciais de área e a segunda sobre cálculo de área de regiões sombreadas. Cinco exercícios são apresentados em cada parte para cálculo e determinação de áreas.
Este documento contém um protocolo de avaliação de matemática com 21 questões para um aluno específico. Ele lista o nome do aluno, professor, escola e as questões de 1 a 21 divididas em 6 páginas.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
Lista de Exercicios Sistemas Lineares do 1 grau.Gleidson Luis
1) O documento apresenta exercícios resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis e inequações de 1o grau. 2) São dados 10 sistemas de equações para serem resolvidos e encontradas suas soluções. 3) Também são apresentadas 23 inequações para serem resolvidas e encontrados os números que as satisfazem.
O documento contém 20 exercícios de juros simples com diferentes taxas e períodos de aplicação. Os exercícios envolvem cálculos para determinar taxas, períodos, montantes e capitais iniciais. O gabarito com as respostas está listado no final.
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeAndréia Rodrigues
Este documento é uma lista de exercícios de matemática para o 9o ano preparada pela professora Andréia. Contém 32 exercícios sobre funções do 1o e 2o grau, probabilidade e situações-problema envolvendo funções. Os exercícios abordam conceitos como zeros de funções, vértice de parábolas, probabilidade e princípio da contagem.
O documento contém 15 exercícios de matemática sobre equações do 1° grau. Os exercícios envolvem identificar equações de 1° grau, verificar se números são raízes de equações, resolver equações, calcular massas usando balanças e equações, e resolver problemas envolvendo idades e quantidades de itens.
Matemática para concursos regra de três simples e composta - 10 exercícios ...Sulaine Almeida
1. O documento apresenta resoluções de exercícios utilizando a regra de três para proporcionalidade direta e inversa.
2. Os exercícios envolvem cálculos com variáveis como área, tempo, quantidade e preço para determinar valores desconhecidos.
3. A regra de três é usada para estabelecer relações entre as variáveis e chegar à resposta correta para cada exercício.
Este documento é uma lista de exercícios de porcentagem para alunos do 7o ano. A lista contém 10 exercícios sobre cálculos envolvendo porcentagem, como calcular porcentagens de um total e alterações de preços com base em porcentagens de aumento ou redução. O documento fornece também as alternativas de respostas para cada exercício e a solução correta.
1) O documento contém 15 questões sobre cálculo de áreas de figuras geométricas planas como retângulos, triângulos e círculos.
2) As questões envolvem determinar medidas desconhecidas, calcular áreas de figuras isoladas ou de regiões formadas por mais de uma figura.
3) Os resultados esperados variam entre alternativas como números inteiros, decimais ou expressões algébricas envolvendo π.
1) O jogador que está pior classificado é o Silvio, que pontuou 8 pontos negativos.
2) A situação "Tinha 15 reais e gastei 12 reais" pode ser representada por 15 - 12.
3) Dos números listados, o maior é 2 e o menor é -5.
A matriz é um conjunto numérico disposto em linhas e colunas. O documento explica os conceitos de matriz, incluindo matriz quadrada, linha, coluna, elementos, transposta e operações como adição. Há também exercícios para fixar os conceitos ensinados.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e exemplos. Resume os principais conceitos de matrizes como tabelas com linhas e colunas para organizar dados, indicando elementos individuais e realizando operações como soma, subtração e multiplicação.
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Jussileno Souza
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo: (1) definição de matrizes e elementos; (2) representação algébrica de matrizes; (3) tipos de matrizes como quadrada e identidade.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Apresenta também algumas propriedades importantes dos determinantes, como quando ele é nulo, como muda quando se multiplica linhas, e como é afetado por transposição e inversão de matrizes.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3, além de apresentar 7 propriedades importantes dos determinantes, como que estes podem ser nulos ou mudar de sinal a depender das operações realizadas na matriz. Por fim, aborda conceitos sobre matriz inversa.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Apresenta também algumas propriedades importantes dos determinantes, como quando ele é nulo, como muda quando se multiplica linhas, e como é afetado por transposição e multiplicação de matrizes.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Apresenta também algumas propriedades importantes dos determinantes, como quando ele é nulo, como muda quando se multiplica linhas, e como é afetado por transposição e inversão de matrizes.
Este documento descreve os conceitos básicos de matrizes, incluindo suas definições, notações, tipos, operações e propriedades. As três principais informações são:
1) Uma matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Pode ser representada por parênteses, colchetes ou barras duplas.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como quadradas, diagonais, simétricas e identidade.
3) As operações básicas com matrizes incluem adição, subtração, multiplicação por escal
O documento fornece informações sobre determinantes de matrizes. Em três frases ou menos:
1) Determinantes representam valores numéricos associados a matrizes e são calculados de diferentes formas dependendo da ordem da matriz. 2) Propriedades dos determinantes incluem que se uma linha ou coluna for nula ou proporcional a outra, o determinante será nulo. 3) O Teorema de Laplace permite calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 3 somando produtos de elementos por seus respectivos cofatores.
(a) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com 32 questões sobre conjuntos numéricos, geometria plana e trigonometria. (b) As questões abordam tópicos como interseção e união de conjuntos, coordenadas de pontos no plano cartesiano, simetria, arcos trigonométricos e identidades trigonométricas. (c) Há também exercícios propostos envolvendo funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente.
O documento discute a Geometria Analítica, que estabelece relações entre álgebra e geometria por meio de equações e inequações, permitindo transformar questões geométricas em questões algébricas e vice-versa. A Geometria Analítica pode representar fenômenos físicos usando coordenadas cartesianas.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Apresenta conceitos básicos de matrizes como definição, tipos, operações e inversa. Também aborda determinantes e como representar sistemas de equações lineares na forma matricial.
1. O documento define e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes, incluindo matrizes especiais como matrizes nulas, diagonais, identidade e transpostas.
2. São descritas regras para representar elementos de uma matriz usando índices e para verificar igualdade entre matrizes.
3. Uma lista de exercícios é fornecida para praticar conceitos como escrever matrizes com elementos definidos por funções dos índices, calcular traços, transpor e igualar matrizes.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre matrizes e determinantes, incluindo a construção e operações com matrizes de diferentes tamanhos e determinação de valores numéricos usando determinantes.
Semelhante a Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito) (20)
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Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)
Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
1. PROF. GILBERTO SANTOS JR
MATRIZES
1 . INTRODUÇÃO
Muitas vezes, para designar com clareza
certas situações é necessário um grupo orde-
nado de números que se apresentam dispostos
em linhas e colunas, formando o que se chama
matriz.
Observe por exemplo a seguinte situa-
ção:
As vendas de uma editora em relação
aos livros de Matemática, Física e Química, no
primeiro trimestre de um ano, podem ser ex-
pressas pela tabela a seguir.
Janeiro Fevereiro Março
Matemática 20000 32000 45000
Física 15000 18000 25000
Química 16000 17000 23000
Se quisermos saber:
Quantos livros de Matemática foram vendidos
em Fevereiro, basta olharmos o número que
está na primeira linha e na segunda co-
luna;
Quantos livros de Física foram vendidos em
Janeiro, basta olharmos o número que está
na segunda linha e na primeira coluna;
Quantos livros de Química foram vendidos
nos 3 meses, basta somarmos os números
da terceira linha. E assim por diante.
Uma tabela desse tipo, em que os nú-
meros estão dispostos em 3 linhas e 3 co-
lunas, denomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três
por três) e podemos representá-la por:
230001700016000
250001800015000
450003200020000
ou
230001700016000
250001800015000
450003200020000
2 . DEFINIÇÃO
Denomina-se matriz m × n (lê-se m por n)
qualquer tabela retangular formada por m
linhas e n colunas, sendo m e n números
inteiro maior que zero.
Dizemos que a matriz é do tipo m × n
ou de ordem m × n.
Exemplo:
A2 × 3 =
015
43 2
é uma matriz de ordem dois
por três.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Os estudantes de um colégio responderam
a seguinte pergunta: “Você prefere Matemática
ou Português?” Cada estudante escolheu uma
única matéria. As respostas foram computadas
e alguns dados colocados no quadro:
a) Quantos estudantes escolheram a Mate-
mática? R: 235 alunos
b) Quantos estudantes do sexo feminino res-
ponderam à pergunta? R: 215 alunos
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam
à pergunta? R: 457 alunos
2) Observe a matriz seguinte e responda:
258114
212617
9731
51010
a) De que tipo ou ordem é a matriz dada?
R: 4 por 4
b) Quais são os números da 1ª linha?
R: 10, 0, 1 e 5
c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na
2ª coluna? R: 3
e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5
f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11
g) Qual o resultado da soma dos números da
2ª coluna? R: 20
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR
3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por
estudantes da Faculdade de Estatística mostra,
em horas por dia, como os jovens entre 12 e
18 anos gastam seu tempo, tanto durante a
semana (de segunda-feira a sexta-feira), como
no fim de semana (sábado e domingo). A
seguinte tabela ilustra os resultados da
pesquisa. R: (e)
Sexo
Matéria masculino Feminino
Matemática 137 98
Português 105 117
2. 2
De acordo com esta pesquisa, quantas horas
de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18
anos, na semana inteira (de segunda-feira a
domingo), nas atividades escolares? R: (e)
(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE
UMA MATRIZ
O elemento genérico de uma matriz A
será indicado por aij em que i representa a
linha e j a coluna na qual o elemento se en-
contra. Uma matriz A, do tipo m × n será es-
crita, genericamente, assim:
A =
mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
ou, simplesmente, por A = (aij)m × n. Lê-se:
matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n.
Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 2 tal que
aij = i + j.
Resolução:
A matriz é do tipo 2 x 2 então, generi-
camente,
2221
1211
aa
aa
Resta descobrir quem são esses termos
a11, a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j.
Então, usando os cálculos auxiliares:
a11 = 1 + 1 = 2
a12 = 1 + 2 = 3
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 + 2 = 4
Logo a matriz
2221
1211
aa
aa
é igual a
43
32
.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
4) Escreva as matrizes:
a) A = (aij)2 × 3 tal que aij = i + j. R =
543
432
b) A = (aij)3 × 2 tal que aij = i - j. R =
12
01
10
c) B = (bij)2 × 2 de modo que bij = 2i – j.
R =
23
01
d) C = (cij)3 × 3 tal que
jipara1c
jipara0c
ij
ij
.
R =
011
101
110
e) D = (dij)2 × 4, com dij = j-i R =
2101
3210
4 . MATRIZES ESPECIAIS
MATRIZ QUADRADA
É toda matriz cujo número de linhas é igual
ao número de colunas.
Exemplo: A matriz A abaixo é de ordem dois
por dois ou simplesmente ordem 2.
A2 × 2 =
15
32
ou simplesmente, A2 =
15
32
Observação: Numa matriz quadrada A de or-
dem n, os elementos aij tais que i = j formam
a diagonal principal da matriz, e os elemen-
tos aij tais que i + j = n + 1 formam a diago-
nal secundária.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
diagonal principal
diagonal secundária
MATRIZ IDENTIDADE
É uma matriz quadrada de ordem n em
que todos os elemento da diagonal principal
são iguais a 1 e os outros elementos são iguais
a zero, seu símbolo é igual a In.
Exemplos: I2 =
10
01
, I3 =
100
010
001
.
MATRIZ NULA
É qualquer matriz que possui todos os
elementos iguais a zero. Simboliza-se a matriz
nula de ordem m × n por 0m × n e a de ordem
n por 0n.
Exemplos: 03 × 2 =
00
00
00
, 02 =
00
00
,
03 =
000
000
000
, 01 × 4 = 0000
MATRIZ TRANSPOSTA
Seja A uma matriz de ordem m × n de-
nomina-se transposta de A a matriz de or-
dem n × m obtida, isto é, trocando-se orde-
nadamente as linhas pelas colunas.
Indica-se transposta de A por At
.
Exemplo: seja a matriz A =
2307
53
21
a sua
transposta é At
=
32052
731
3. 3
5 . IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B são iguais se, e somen-
te se, tem a mesma ordem e seus elementos
correspondentes (que estão na mesma linha
e na mesma coluna) são iguais.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
5) Calcule os termos desconhecidos:
a)
dc
ba
=
85
36
R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8
b)
2y5
3x
=
85
36
R: x = 6 e y = 4
c)
qp
nm
= I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1
d)
1n0
0m
=
50
03
R: m = 3 e n = 4
e)
yx0
0y
= I2 R: x = 0 e y = 1
f)
b-ay
byx
=
81
35
R: x = 4; y = 1; a = 11; b = 3
g)
d-2a2b
3dba
=
176
95
R: a = 2; b = 3 e d = 3
h)
1-y0
65x-xz 2
= I2 R: x = 2 ou x = 3; y = 2 e z = 1
6) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de or-
dem 2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t
para que se tenha
zty2x
ztyx
= A.
R: x = 1; y = 1 t = 7/2 e z = -1/2 (Veja a resolução dessa questão )
6 . ADIÇÃO DE MATRIZES
Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo m
× n denomina-se soma da matriz A com a
matriz B, que representamos por A + B, a
matriz C do tipo m × n na qual cada elemento
é obtido adicionando os elementos correspon-
dentes de A e B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
7) Dadas as matrizes A =
10
42
, B =
07
14
e
C =
2-5
03
, calcule:
a) A + B = R:
17
56
c) B + C = R:
212
17
b) A + C = R:
15
45 d) A + B + C =
R:
112
59
8) Determine x, y, z e t, sabendo que:
a)
z
y
x
+
5
1
3
=
5
4
1 0
R: x = 7; y = 10 e z = 0
b)
z
y
x
+
4
z
y
=
9
1 5
2 0
R: x = 10; y = 10 e z = 5
c)
2z3
yx
+
zt
3x
=
184
110
R: x = 5; y = -2; t = 1 e z = 6
d)
t3x
yx
+
2y-
zy
=
014
76
R: x = 5; y = 1; t = - 2 e z = 6
7 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Sendo A e B duas matrizes do tipo m × n,
denomina-se diferença entre A e B (repre-
sentada por A – B) a soma da matriz oposta
de B.
A – B = A + (-B)
EXERCÍCIOS BÁSICOS
9) Calcule:
a)
3
6
3
-
2
7
8
= R:
1
1
5
b)
41
32
-
51
20
= R:
10
12
c)
1036
421
-
156
210
= R:
920
211
10) Dadas as matrizes A =
3
6
2
, B =
2
6
1
e
C =
2-
4
0
, calcule:
a) A + B – C b) A - B + C c) A - B – C
R: a)
7
8
3
; b)
1
4
1
e c)
3
4
1
11) Determine x, y e z sabendo que:
a)
z
y
x
-
8
5
3
=
6
4
1 0
R: x = 13; y = 1 e z = 2
b)
0
z
y
-
z
y
x
=
8
2
1 5
R: x = 25; y = 10 e z = 8
c)
z3-
4x-
-
2z1
6x
=
14
y12
R: x = 6; y = 2 e z = 1
d)
2
2
zy
1x
-
1-5-
3-2
=
108
41-
R: x = -1 ou x = 1; y = 3 e z = -3 ou z = 3
4. 4
8 . MULTIPLICAÇÃO DE UM N° REAL
POR UMA MATRIZ
Se A é uma matriz m × n, de elementos aij,
e é um número real, então A é uma ma-
triz m × n cujos elementos são aij.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
12) Sendo A =
314
102
e B =
605
21-0
,
determine:
a) 5A = R:
15520
5010
b) -2B = R:
12001
420
c) A
2
1
= R:
2/32/12
2/101
d) 2A + B = R:
12213
414
e) 5A – 02 x 3 = R:
15520
5010
13) Se A =
02
31
, B =
2-1
31-
e C =
34
21
,
calcule 3A + 2B - 4C. R:
168
73
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m x n e
uma matriz B = (bij) do tipo n x p, o produto
da matriz A pela matriz B é a matriz C =
(cij) do tipo m x p tal que o elemento cij é
calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i, da matriz A, pelos ele-
mentos da coluna j, da matriz B, e somando-
se os produtos obtidos.
Para dizer que a matriz C é o produto de A
por B, vamos indicá-la por AB.
Observe que só definimos o produto AB
de duas matrizes quando o número de colunas
de A for igual ao número de linhas de B; além
disso, notamos que o produto AB possui o nú-
mero de linhas de A e o número de colunas de
B.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
14) Determine os produtos:
a)
31
42
01
56
= R:
42
3917
b)
3-41-2
6150
23
15
= R:
1211134
279242
c)
21-
53
34
12-
61
= R:
269
87
173
d)
26-
47
12
4-5
= R:
108
1259
e)
23
42
05
204
152
631
= R:
426
2232
2429
f) 052
6
3
1
= R:
03012
0156
052
15) O quadro abaixo registra os resultados
obtidos por quatro times em um torneio em
que todos se enfrentam uma vez:
Vitórias Empates Derrotas
América 0 1 2
Botafogo 2 1 0
Nacional 0 2 1
Comercial 1 2 0
a) Represente a matriz A = (aij) correspon-
dente.
b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 x 3
c) O que representa o elemento a23 da matriz
A? R: quantidade de derrotas do Bota-Fogo
d) Qual o elemento da matriz A que indica a
vitória do Comercial? R: a41
e) Considerando que um time ganha três pon-
tos na vitória e um ponto no empate, calcule
quantos pontos fez cada time. R:
5
2
7
1
R: América: 1pt; Bota Fogo: 7 pts; Nacional: 2 pts; Comercial: 5 pts
f) Qual foi a classificação final do torneio?
R: Bota Fogo campeão: Comercial vice-campeão; Nacional 3º lugar; América
4º lugar.
16) Para a fabricação de caminhões, uma in-
dústria montadora precisa de eixos e rodas
para seus três modelos de caminhões, com a
seguinte especificação:
Componentes/modelos A B C
Eixos 2 3 4
Rodas 4 6 8
Para os primeiros meses do ano, a produção da
fábrica deverá seguir a tabela abaixo:
Modelo/Meses Janeiro Fevereiro
A 30 20
B 25 18
C 20 15
Usando a multiplicação de matrizes, responda:
nessas condições, quantos eixos e quantas
rodas são necessários em cada um dos meses
para que a montadora atinja a produção pla-
nejada? R: 215 eixos e 430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308
rodas no mês de Fevereiro.
10 . MATRIZ INVERSA DE UMA
MATRIZ DADA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n,
se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In,
então X é denominada matriz inversa de A e
é indicada por A-1.
5. 5
Quando existe a matriz inversa de A,
dizemos que A é uma matriz inversível ou não-
singular.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17) Determine, se existir, a inversa de cada
uma das seguintes matrizes:
a) A =
20
31
R:
2/10
2/31
b) A =
42
85
R:
4/52/1
21
(Veja a resolução )
c) A =
54
32
R:
1-2
3/25/2-
d) A =
31
21
R:
11
23
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
18) Um técnico de basquetebol descreveu o
desempenho dos titulares de sua equipe em
sete jogos através da matriz:
18172014121819
23221820202218
22141421201920
18212218181615
20182117181718
Cada elemento aij dessa matriz é um número
de pontos marcados pelo jogador de número i
no jogo j.
a) Quantos pontos marcou o jogador de nú-
mero 3 no jogo 5? R: 14
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4?
R: 90
c) Quantos pontos marcou o jogador de nú-
mero 2 em todos os jogos? R: 128
19) Obtenha x, x ∈ R, de modo que a matriz:
A =
86x-x0
065xx
2
2
Seja igual à matriz nula de ordem 2.
R: S = {2, 3, 4}
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
20)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz
quadrada de ordem 2 tal que
aij =
jipara1i
jipara2
2
ji
. Nessas condições: R: (c)
(a) A =
58
42
(d) A =
52
82
(b) A =
65
82 (e) n.d.a.
(c) A =
55
82
21)(FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e
B = (bij) estão assim definidas: R: (d)
jise0a
jise1a
ij
ij
4jise0b
4jise1b
ij
ij
em que 1 ≤ i, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
(a)
100
010
001
(c)
101
010
101
(e)
010
110
011
(b)
001
010
100
(d)
101
020
101
22)(ENEM-2012) Um aluno registrou as no-
tas bimestrais de algumas de suas disciplinas
numa tabela. Ele observou que as entradas
numéricas da tabela formavam uma matriz
4x4, e que poderia calcular as médias anuais
dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a
tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
Para obter essas médias, ele multiplicou a ma-
triz obtida a partir da tabela por: R: (e)
(a)
2
1
2
1
2
1
2
1 (d)
2
1
2
1
2
1
2
1
(b)
4
1
4
1
4
1
4
1 (e)
4
1
4
1
4
1
4
1
(c)
1
1
1
1
R: (e)
23)(Unificado-RJ) Cláudio anotou suas mé-
dias bimestrais de matemática, português,
ciências e estudos sociais em uma tabela com
quatro linhas e quatro colunas, formando uma
matriz, como mostra a figura: R: (e)
1º b 2º b 3º b 4º b
matemática 5,0 4,5 6,2 5,9
português 8,4 6,5 7,1 6,6
ciências 9,0 7,8 6,8 8,6
est. sociais 7,7 5,9 5,6 6,2
6. 6
Sabe-se que as notas de todos os bimestres
têm o mesmo peso, isto é, para calcular a mé-
dia anual do aluno em cada matéria basta fa-
zer a média aritmética de suas médias bimes-
trais. Para gerar uma nova matriz cujos ele-
mentos representem as médias anuais de
Cláudio, na mesma ordem acima apresentada,
bastará multiplicar essa matriz por:
(a)
2
1
(c)
2
1
2
1
2
1
2
1
(e)
4
1
4
1
4
1
4
1
(b)
4
1
4
1
4
1
4
1
(d)
4
1
24) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o
custo das porções de arroz, carne e salada
usados num restaurante. A matriz P fornece o
número de porções de arroz, carne e salada
usados na composição dos pratos tipo P1, P2,
P3 desse restaurante.
C =
salada
carne
arroz
2
3
1
P =
3P
2P
1P
prato
prato
prato
022
121
112
saladacarnearroz
A matriz que fornece o custo de produção, em
reais, dos pratos P1, P2, P3 é: R: (a)
(a)
8
9
7
(c)
4
1 1
9
(e)
4
2
2
(b)
4
4
4
(d)
8
6
2
25)(UNAMA-2006/2) Nas matrizes
00,000.6$RZ
00,800.5$RY
00,600.5$RX
UnitárioeçoPrModelo
A e
402015Trimestreº2
503025Trimestreº1
ZYXModeloTrimestre
B estão
representados os preços unitário das motone-
tas em função do modelo e a quantidade ven-
dida no 1º e 2º trimestres de 2006 por uma
revendedora de motonetas, respectivamente.
Com base nesses dados, podemos afirmar que
a receita obtida por essa revendedora no 1º
trimestre de 2006 foi de: R: (b)
(a) R$ 720.000,00 (c) R$ 560.000,00
(b) R$ 614.000,00 (d) R$ 440.000,00
26)(UEPA-2012) O cálcio é essencial para a
transmissão nervosa, coagulação do sangue e
contração muscular; atua também na respira-
ção celular, além de garantir uma boa forma-
ção e manutenção de ossos e dentes. A tabela
1 abaixo mostra que a ingestão diária reco-
mendada de cálcio por pessoa varia com a ida-
de.
Foi por essa importância que o cálcio tem para
o corpo humano que a diretora de uma escola
resolveu calcular a quantidade de cálcio que
teria de usar nas refeições diárias dos seus
alunos para suprir a essa necessidade. A tabela
2 abaixo mostra a quantidade de alunos por
idade existente nessa escola.
A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria
que usar nas refeições desses alunos é: R: (e)
(a) 286.000 (c) 300.000 (e) 322.000
(b) 294.000 (d) 310.000
27)(PROSEL-2008) Uma campanha foi de-
flagrada para angariar alimentos não perecí-
veis com o objetivo de amenizar problemas
gerados em uma região assolada pelas secas.
Os alimentos doados foram: arroz; feijão e
açúcar, todos em sacos de 1kg, totalizando
1.436kg desses alimentos. Sabe-se que a ter-
ça parte do número de sacos de feijão, soma-
dos aos
11
2
do número de sacos de açúcar, dá
um total de 292kg e que há 144kg de açúcar
a mais que de feijão. Se X é a quantidade de
sacos de arroz; Y a quantidade de sacos de
feijão e Z a quantidade de sacos de açúcar, a
representação matricial do sistema formado,
tomando por base esses dados, é: R: (a)
(a)
11-0
6110
111
.
Z
Y
X
=
1 4 4
9 6 3 6
1 4 3 6
(b)
11-0
6110
111
.
Z
Y
X
=
1 4 4
1 6 0 6
1 4 3 6
7. 7
(c)
11-0
6110
111
.
Z
Y
X
=
1 4 4
1 4 3 6
9 6 3 6
(d)
11-0
6110
11-1
.
Z
Y
X
=
1 4 4
1 4 3 6
9 6 3 6
(e)
1-10
6110
111
.
Z
Y
X
=
1 4 4
1 4 3 6
9 6 3 6
28)(PROSEL-2006) Para a confecção de um
cartaz, uma gráfica dispõe das cores: preto,
amarelo, vermelho e azul, cujas doses tem
preços unitários, em reais, representado pela
matriz A abaixo. Atendendo à solicitação do
cliente, a gráfica apresentou um orçamento
com as possiveis combinações de cores, cujas
quantidades de doses utilizadas em cada cartaz
estão representadas pela matriz B abaixo.
Nessas condições, o cartaz de menor custo
terá preço de: R: (d)
Dados:
(a) R$ 13,00 (c) R$ 11,00 (e) R$ 9,00
(b) R$ 12,00 (d) R$ 10,00
29)(UFPA-2009) Pedro, João e Antônio co-
mercializam três tipos de fruta com períodos
de safra parecidos: manga, abacate e cupuaçu.
No período da safra os três vendem o quilo de
cada uma dessas frutas por R$ 1,00, R$ 2,00
e R$ 3,00 e, na entressafra, por R$ 2,00, R$
3,00 e R$ 6,00. Sobre a comercialização des-
sas frutas, considere que R: (c)
A =
642
321
, matriz que representa o preço
das frutas na safra e na entressafra;
B =
51510
102015
152520
, matriz que representa uma
quantidade (Kg) comercializada dessas frutas;
C =
zwy
vut
, matriz que representa o produ-
to A.B, em que a 1ª, 2ª e 3ª colunas represen-
tam o valor arrecadado, respectivamente, por
Pedro, João e Antônio, com a venda dessa
quantidade de frutas.
Sobre o valor arrecadado na venda, é correto
afirmar que
(A) Na safra, com a venda de 20 kg de man-
ga, 25 kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pe-
dro arrecadou t = R$ 85,00.
(B) Na entressafra, com a venda de 10 kg de
manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu,
Antônio arrecadou z = R$ 110,00.
(C) Na safra, com a venda de 25 kg de man-
ga, 20 kg de abacate e 15 kg de cupuaçu,
João u = R$110,00.
(D) Na entressafra, com a venda de 20 kg de
manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu,
João arrecadou w = R$ 170,00
(E) Na entressafra, com a venda de 15 kg de
manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu,
Pedro arrecadando y = R$ 170,00.
30)(IFPA-2011) Considere três dias da se-
mana, D1, D2 e D3, e três medidas de tempe-
raturas feitas em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A
matriz a seguir descreve a medida de tempera-
tura verificada nesses três dias da semana.
Cada elemento aij da matriz indica a quantida-
de de temperatura em graus Celsius Ti em ca-
da dia Dj , sendo i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2, 3}.
Analisando a matriz, não podemos afirmar que
(A) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C.
(B) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C.
(C) a média das temperaturas, no dia D3, é de
30°C.
(D) a soma das temperaturas Ti verificadas
nos dias Di, i = 1, 2, 3 é, aproximadamente,
30,8°C.
(E) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia
D1, é 54°C. R: (d)
EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS
DE VESTIBULARES
31)(UFES) Os valores de x e y que satisfa-
zem a equação matricial:
2x4
2-x
+
y-1
73y
=
15
54
são:
(a) x = - 1 e y = - 1 (c) x = 2 e y = - 1
(b) x = 1 e y = 1 (d) x = 2 e y = 2
32)(FGV-SP) Sendo A =
0
2
1
20
, obtenha a
matriz A2
+ A3
.
8. 8
33)(Unifor-CE) Os números reais x e y que
satisfazem o sistema matricial
1-2
21-
y
x
=
2
4
são tais que seu produto é igual a:
(a) – 2 (b) - 1 (c) 0 (d) 1 (e) 2
34)(PUC-SP) São dadas as matrizes
A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2,
com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. se
C = A + B, então C2
é igual a:
(a)
10
01
(c)
10
01
(e)
1-0
0-1
(b)
01
10
(d)
01-
-10
35)(PUCC-SP) Seja a matriz A = (aij)2 × 2,
onde aij =
jisej-i
jiseji
. Se At
é a matriz trans-
posta de A, então a matriz B = A2
– At
é igual
a:
(a)
147
10-4
(c)
117
71
(e)
162
82
(b)
171
33
(d)
121-
02
EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS
DE VESTIBULARES
36)(UFPA-2001) Numa farmácia de manipu-
lação, para fazer dois tipos de medicamentos
(I e II), o farmacêutico precisa das substâncias
A, B e C, expressas na tabela abaixo, em gra-
mas:
A B C
I 10 30 60
II 20 50 30
As substâncias podem ser compradas em dois
fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das
substâncias em cada fornecedor, está expresso
em reais na tabela a seguir:
F1 F2
A 4 2
B 5 4
C 3 5
Após construir a matriz cujos elementos indi-
cam o preço de custo dos medicamentos pelo
fornecedor, calcule os valores das despesas se
a compra for toda feita no mesmo fornecedor.
Considerando que o pagamento é feito à vista,
determine como o farmacêutico pode combinar
a compra das três substâncias de modo a gas-
tar o mínimo possível.
37)(UF-MT) Os aeroportos 1, 2 e 3 estão
interligados por vôos diretos e/ou com escalas.
A = (aij), abaixo, descreve a forma de interli-
gação dos mesmos, sendo que:
aij = 1 significa que há vôo direto (sem es-
cala) do aeroporto i para o aeroporto j;
aij = 0 significa que não há vôo direto do
aeroporto i para o aeroporto j.
A diagonal principal de A é nula, significando
que não há vôo direto de um aeroporto para
ele mesmo.
A =
010
101
110
Seja A2
= A.A = (bij). Se bij ≠ 0 significa que
há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com
uma escala. Com base nessas informações,
julgue os itens.
a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aero-
porto 3, mas não há vôo direto do aeroporto 3
para o 1.
b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3
com uma escala.
EXERCÍCIOS EXTRAS
38) Dois alunos A e B, apresentaram a se-
guinte pontuação em uma prova de português
e em outra de matemática:
Português Matemática
aluno A 4 6
aluno B 9 3
a) Se o peso da prova de português é 3 e o da
prova de matemática é x, obtenha, através de
produto de matrizes, a matriz que fornece a
pontuação total dos alunos A e B.
b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e
B apresentam mesma pontuação final?
39) Um fast-food de sanduíches naturais ven-
de dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os
ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas
seguintes quantidades (em gramas) por sandu-
íches:
Sanduíche A Sanduíche B
queijo 18g 10g
salada 26g 33g
rosbife 23g 12g
atum - 16g
Durante um almoço foram vendidos 6 sanduí-
ches do tipo A e 10 sanduíches do tipo B.
Qual foi a quantidade necessária de cada in-
grediente para a preparação desses 16 sanduí-
ches? Represente-a na forma de produto de
matrizes.
40) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de
roupa utilizando materiais diferentes. Consi-
dere a matriz A = (aij) abaixo,
9. 9
A =
124
310
205
, na qual aij representa quantas
unidades do material j serão empregadas para
fabricar uma roupa do tipo i.
a) Quantas unidades do material 3 serão em-
pregadas na confecção de uma roupa do tipo
2?
b) Calcule o total de unidades do material 1
que será empregado para fabricar cinco roupas
do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas rou-
pas do tipo 3.
Apostila atualizada em 31/7/2014
Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados
como grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o
Excepcional Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é
necessária uma matriz de 453.060 linhas e colunas.
Nunca deixe que lhe digam:
Que não vale a pena
Acreditar no sonho que se tem
Ou que seus planos
Nunca vão dar certo
Ou que você nunca
Vai ser alguém...
Renato Russo
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